title: Représentation duale
text: # Représentation duale
  
  En algèbre, si ρ est une représentation de groupe ou une représentation d'algèbre de Lie sur un espace vectoriel V, on définit sa représentation duale ou représentation contragrédiente ρ* sur le dual V* de V.
  
  * Si ρ est une représentation d'un groupe G, alors ρ* est la représentation de G définie par :pour tout élément g de G, ρ*(g) est la transposée de $ρ(g^{-1}).$
  * Si ρ est une représentation d'une algèbre de Lie ${\mathfrak {g}}$, alors ρ* est la représentation de ${\mathfrak {g}}$ définie par :pour tout élément u de ${\mathfrak {g}}$, ρ*(u) est la transposée de - ρ(u).
  
  Pour une représentation unitaire, la représentation duale est équivalente à la représentation conjuguée.
  
  ## Généralisations
  
  * À partir de deux représentations $(ρ_1,V_1)$ et $(ρ_2,V_2)$ d'un groupe G, on définit une représentation $Hom(ρ_1,ρ_2)=ρ$ de G sur $Hom(V_1,V_2)$ en posant :pour tout élément g de G et tout élément f de $Hom(V_1,V_2),$ $ρ(g)(f)=ρ_2(g)∘f∘ρ_1(g^{-1}).$
  * Un module sur un anneau (vu comme représentation de cet anneau sur un groupe abélien) n'a pas de représentation duale en général, mais un module sur une algèbre de Hopf en a une.
  