title: Jet de Landau-Squire
text: # Jet de Landau-Squire
  
  En mécanique des fluides le jet de Landau-Squire ou jet de Landau immergé décrit l'influence d'une source ponctuelle dans un écoulement stationnaire, incompressible, en géométrie cylindrique. La solution analytique de ce problème a été donnée par Lev Landau en $1944^,$ et Herbert Squire en 1951.
  
  ## Position du problème
  
  Le problème est décrit en coordonnées sphériques  $(r,\theta ,\phi )$. La vitesse est  $\mathbf {v} =(u,v,0)$. L'équation de conservation de quantité de mouvement pour un écoulement incompressible s'écrit
  
         ${\begin{aligned}&{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}u)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(v\sin \theta )=0\\[8pt]&u{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {v}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}-{\frac {v^{2}}{r}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}}+\nu \left(\nabla ^{2}u-{\frac {2u}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial v}{\partial \theta }}-{\frac {2v\cot \theta }{r^{2}}}\right)\\[8pt]&u{\frac {\partial v}{\partial r}}+{\frac {v}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \theta }}+{\frac {uv}{r}}=-{\frac {1}{\rho r}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+\nu \left(\nabla ^{2}v+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}-{\frac {v}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\end{aligned}}$
  
  où
  
         $\nabla ^{2}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)$
  
  Les conditions limites à l'infini amont sont
  
            $u=v=0\,,\quad p=p_{\infty }$
  
  ## Solution autosimilaire
  
  On recherche une solution sous forme d'un écoulement auto-similaire
  
         $u={\frac {\nu }{r\sin \theta }}f'(\theta ),\quad v=-{\frac {\nu }{r\sin \theta }}f(\theta )$
  
  En introduisant cet ansatz dans l'équation ci-dessus il vient
  
         ${\frac {p-p_{\infty }}{\rho }}=-{\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {\nu u}{r}}+{\frac {c_{1}}{r^{2}}}$
         $-{\frac {u^{2}}{r}}+{\frac {v}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}={\frac {\nu }{r^{2}}}\left[2u+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial u}{\partial \theta }}\right)\right]+{\frac {2c_{1}}{r^{3}}}$
  
  où  $c_{1}$  est une constante.
  
  On effectue le changement de variable  $\mu =\cos \theta$. Les composantes de la vitesse s'écrivent
  
         $u=-{\frac {\nu }{r}}f'(\mu ),\quad v=-{\frac {\nu }{r}}{\frac {f(\mu )}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}$
  
  L'équation de conservation devient
  
         $f'^{2}+ff''=2f'+[(1-\mu ^{2})f'']'-2c_{1}$
  
  Après une double intégration
  
         $f^{2}=4\mu f+2(1-\mu ^{2})f'-2(c_{1}\mu ^{2}+c_{2}\mu +c_{3})$
  
  où  $c_{2}$  et $c_{3}$  sont des constantes d'intégration.
  
  Il s'agit là d'une équation de Riccati dont la solution est
  
         $f=\alpha (1+\mu )+\beta (1-\mu )+{\frac {2(1-\mu ^{2})(1+\mu )^{\beta }}{(1-\mu )^{\alpha }}}\left[c-\int _{1}^{\mu }{\frac {(1+\mu )^{\beta }}{(1-\mu )^{\alpha }}}\right]^{-1}$
  
  où  $\alpha ,\ \beta ,\ c$  sont des constantes. La solution ne peut admettre de singularité qu'à l'origine. On a donc  $\alpha =\beta =0$  où, de manière équivalente  $c_{1}=c_{2}=c_{3}=0$. Dès lors
  
         $f={\frac {2(1-\mu ^{2})}{c+1-\mu }}={\frac {2\sin ^{2}\theta }{c+1-\cos \theta }}$
  
  ## Propriétés de la solution
  
  $f$  est reliée à la fonction de courant par  $\psi =\nu rf$. Ses contours se confondent donc avec celles-ci. Cette solution décrit l'écoulement entraîné en amont écarté de l'axe par la source dont l'intensité est donnée par la constante c qui s'interprète en termes de force volumique axiale. Le « bord » du jet peut être défini par le point où les lignes de courant sont le plus près de l'axe, soit
  
         $\theta _{o}=\arccos \left({\frac {1}{1+c}}\right)$
  
  On voit que
  
         $c\to \infty \quad \Rightarrow \quad \theta _{0}\to {\frac {\pi }{2}}$
  
  La limite correspond au jet de Schlichting dans lequel la source constitue un véritable mur pour l'écoulement amont.
  
  