title: Réarrangement symétrique décroissant
text: # Réarrangement symétrique décroissant
  
  En analyse à plusieurs variables, le réarrangement symétrique $décroissant^,$ d'une fonction f de $ℝ^n$ dans ℝ est une fonction symétrique décroissante dont les ensembles de sur-niveau sont de même taille que ceux de f.
  
  ## Définition pour les ensembles
  
  Le réarrangement A* d'une partie mesurable A de $ℝ^n$ est la boule ouverte de $ℝ^n$ de centre 0 et de volume égal à celui de A. Formellement :
  
  $A^{*}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}~|~\omega _{n}|x|^{n}<|A|\},$
  
  où $ω_n$ est le volume de la boule unité et |A| est le volume de A.
  
  ## Définition pour les fonctions
  
  Soit f une fonction mesurable positive et, pour tout réel t, $\scriptstyle \mathbb {I} _{[f>t]}$ la fonction indicatrice de son ensemble de sur-niveau t, c'est-à-dire de l'ensemble
  
  $[f>t]:=\{y~|~f(y)>t\}.$
  
  Le réarrangement f* de f est défini par
  
  $f^{*}(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{[f>t]^{*}}(x)~\mathrm {d} t.$
  
  ## Propriétés
  
  * Pour toute partie mesurable A,$(\mathbb {I} _{A})^{*}=\mathbb {I} _{A^{*}}.$En effet, pour toute fonction positive g,$g(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{[g>t]}(x)~\mathrm {d} t.$
  * f* est symétrique (c'est-à-dire que f*(x) est fonction uniquement de la norme euclidienne de x) et décroissante (en tant que fonction de cette norme).
  * Les ensembles de sur-niveau de f* sont les réarrangements de ceux de f et ont par conséquent même mesure, c'est-à-dire que pour tout réel t,$[f^{*}>t]=[f>t]^{*}{\text{ donc }}|~[f^{*}>t]~|=|~[f>t]~|.$
  * Le réarrangement préserve l'ordre :$f\leq g\Rightarrow f^{*}\leq g^{*}.$
  * Si f appartient à l'espace $L^p,$ alors f* aussi et$\|f^{*}\|_{p}=\|f\|_{p}.$
  * Le réarrangement fait décroître la distance dans $L^p$ : si f et g appartiennent à $L^p,$ alors$\|f^{*}-g^{*}\|_{p}\leq \|f-g\|_{p}.$
  * Inégalité de Hardy-Littlewood :$\int fg\leq \int f^{*}g^{*}.$
  * Inégalité de Pólya-Szegő (it) : si 1 ≤ p < ∞ et si f appartient à l'espace de Sobolev W $^{1,p},$ alors$\|\nabla (f^{*})\|_{p}\leq \|\nabla f\|_{p}.$
  
  ## Applications
  
  * L'inégalité de Pólya-Szegő donne, dans le cas limite p = 1, l'inégalité isopérimétrique.
  * En utilisant certaines relations avec les fonctions harmoniques, on peut démontrer l'inégalité de Rayleigh-Faber-Krahn (en).
  