title: SQUID
text: # SQUID
  
  Un SQUID (de l'anglais Superconducting QUantum Interference Device) est un magnétomètre utilisé pour mesurer des champs magnétiques très faibles. Il est constitué généralement de deux jonctions Josephson montées en parallèle dans une boucle supraconductrice.
  
  Le SQUID permet des mesures très précises, avec une sensibilité de l'ordre de 1E-7 emu. Il est possible de faire des mesures en fonction de la température, jusqu'à quelques kelvins seulement. En revanche il n'est pas possible de faire tourner l'échantillon ou le champ magnétique, et les mesures sont très lentes (il faut compter plusieurs heures pour un cycle d'hystérèse complet).
  
  ## Modèle simple (SQUID DC)
  
  Afin de comprendre simplement le fonctionnement d'un SQUID, nous avons besoin de deux résultats :
  
      $i(t)=i_{c}\sin(\Delta \Phi _{J}(t))$, la relation courant-phase dans l'effet Josephson et
      ${\frac}\Delta \Phi _{B}={\frac {2\pi \phi }{\phi _{0}}}$, la relation due à l'effet Aharonov-Bohm.
  
  Ici, $i_{c}$ est le courant critique (maximal) d'une jonction Josephson, $\Delta \Phi _{J}$ est la différence de phase entre les deux supraconducteurs formant une jonction Josephson, $\Delta \Phi _{B}$ est la différence de phase occasionnée par le champ magnétique entre un électron se déplaçant dans le sens horaire versus un électron se déplaçant dans le sens anti-horaire et $\phi _{0}$ représente le quanta de flux $\phi _{0}=h/2e$.
  
  ### Boucle supraconductrice avec deux jonctions
  
  Regardons d'abord une simple boucle supraconductrice avec deux jonctions Josephson (voir figure).
  
  Nous faisons l'approximation que les jonctions J1 et J2 sont identiques et que s'il n'y a aucun champ magnétique, les deux fonctions d’ondes supraconductrices sont en phase (jonction faible, faible énergie des paires).
  
  On impose ensuite que le déphasage total dans la boucle soit un multiple entier de $2\pi$
  
      $\Delta \Phi _{B}+2\Delta \Phi _{J}=2\pi n$
      $\Delta \Phi _{J}=\pi n-{\frac {\pi \phi }{\phi _{0}}}$
  
  Le courant critique est donc
  
      $i=i_{c}\sin \left(\pi n-{\frac {\pi \phi }{\phi _{0}}}\right)=(-1)^{n+1}\times i_{c}\sin \left({\frac {\pi \phi }{\phi _{0}}}\right)$
  
  On voit donc que le courant dans la boucle est très sensible au flux la traversant. Le seul problème: comment mesurer ce courant ? Pour ce faire, on doit polariser ("bias") le SQUID avec un courant.
  
  ### SQUID DC
  
  Le calcul suivant n'est pas exact mais donne une très bonne idée de la physique derrière le fonctionnement du SQUID. Pour avoir une théorie plus robuste, il faut utiliser le modèle RCSJ ("Resistively and Capacitively Shunted Junction") et écrire les équations du courant en utilisant les deux équations de l'effet Josephson.
  
  On impose maintenant un courant $I$ à-travers le SQUID. Les courants dans les jonctions Josephson sont donc maintenant $I/2+i$ et $I/2-i$. On peut écrire la même condition pour que la phase totale soit encore un multiple de $2\pi$:
  
      $\Delta \Phi _{B}+2\Delta \Phi _{J}=2\pi n$
  
  Malheureusement, $\Delta \Phi _{J1}\neq \Delta \Phi _{J2}$ puisque les courants traversant les jonctions ne sont pas les mêmes. Toutefois, lorsque le champ magnétique est nul, le courant devient $i=0$ et on peut écrire :
  
      $\Delta \Phi _{J1}=\Delta \Phi _{J2}=\pi \left[n-{\frac {\phi }{\phi _{0}}}\right]$
  
  De plus, on sait que lorsque le champ magnétique commence à augmenter, les variations de phase dans chaque jonction devraient être égales et opposées (comme le courant). On peut donc supposer que la phase aura la forme :
  
      $\Delta \Phi _{J1}=\pi \left[n-{\frac {\phi }{\phi _{0}}}\right]+\delta$
      $\Delta \Phi _{J2}=\pi \left[n-{\frac {\phi }{\phi _{0}}}\right]-\delta$
  
  Sans connaître la forme de $\delta$, on peut écrire les équations du courant :
  
      $i+{\frac {I}{2}}=i_{c}\sin \left(\pi \left[n-{\frac {\phi }{\phi _{0}}}\right]+\delta \right)$
      $i-{\frac {I}{2}}=i_{c}\sin \left(\pi \left[n-{\frac {\phi }{\phi _{0}}}\right]-\delta \right)$
  
  On fait la différence de ces deux équations et on trouve :
  
      $I=2i_{c}\left|\cos \left(\pi \left[n-{\frac {\phi }{\phi _{0}}}\right]\right)\sin(\delta )\right|$
      $I_{c}=2i_{c}\left|\cos \left(\pi {\frac {\phi }{\phi _{0}}}\right)\right|$
  
  La réponse du SQUID est une modulation du courant critique en fonction du flux dans la boucle (voir figure).
  
  ## Magnétomètre
  
  En réalité, le courant critique dans un SQUID n'atteint jamais une valeur nulle. De plus, la transition de supraconducteur (tension nulle) à la loi d'Ohm dans les diagrammes du courant en fonction du voltage n'est pas instantanée. C'est seulement avec le modèle RCSJ que l'on peut prédire le comportement dans ces régions. Toutefois, si l'on suppose une transition lisse comme sur la figure de droite (ce qui est réaliste), on peut voir que si l'on se place à un courant de polarisation légèrement au-dessus du courant critique $I_{c}$, la différence de potentiel aux bornes du SQUID dépendra de la courbe I-V où l'on se trouve (dépendant elle-même du flux dans la boucle).
  
  