title: Graphe d'une fonction
text: # Graphe d'une fonction
  
  Le graphe d'une fonction f de E dans F est le sous-ensemble G de E×F formé par les couples d'éléments liés par la correspondance :
  
  $G=\{(x,y)\in E\times F\mid y=f(x)\}=\{(x,f(x))\mid x\in E\}.$
  
  ## Fonctions numériques
  
  Cet ensemble est appelé le graphe de f parce qu'il permet d'en donner une représentation graphique dans le cas usuel où E et F sont des ensembles de réels : en effet, on peut alors parfois représenter E et F sur deux axes sécants, chaque couple de G peut alors être représenté par un point dans le plan, muni d'un repère défini par les deux axes. On parle aussi de courbe représentative de la fonction.
  
  Si E est le plan $ℝ^2$ et F est l'ensemble des réels ℝ, le graphe de la fonction est une surface gauche dans l'espace euclidien à 3 dimensions.
  
  Il est possible alors de se ramener à une représentation plane en considérant des courbes de niveau, c'est-à-dire en dessinant dans le plan de départ une carte altimétrique du relief de la surface gauche.
  
  Dans le cas des fonctions complexes, E est le plan complexe C et F est aussi l'ensemble des complexes C. Le besoin de 4 dimensions rend la représentation graphique plus compliquée. Plusieurs méthodes existent, soit en utilisant deux graphes en 3 dimensions (parties réelle et imaginaire, module et argument), soit en utilisant un graphe en 2 dimensions associé à la coloration de régions.
  
  ## Tests des verticales et des horizontales
  
  ### Test de la droite verticale
  
      Une partie G de E×F est le graphe d'une fonction de E dans F si et seulement si pour tout élément x de E, G∩({x}×F) est un singleton ou vide.
      C'est le graphe d'une application de E dans F si et seulement si pour tout x dans E, G∩({x}×F) est un singleton.
  
  ### Test de la droite horizontale
  
      Une fonction de E dans F de graphe G est injective si et seulement si pour tout élément y de F, G∩(E×{y}) est un singleton ou vide.
      Elle est surjective si et seulement si pour tout y dans F, G∩(E×{y}) est non vide.
  
  Une partie G de E×F est donc le graphe d'une bijection de E dans F si et seulement si pour tout x dans E, G∩({x}×F) est un singleton et pour tout y dans F, G∩(E×{y}) est un singleton.
  
  ## Topologie
  
  Lorsque E et F sont des espaces topologiques, F étant séparé, si l'application f est continue alors son graphe est fermé dans E×F. La réciproque est fausse, comme en témoigne l'application de ℝ dans ℝ qui à x associe 0 si x ≤ 0 et 1/x si x > 0. Elle est vraie cependant si F est compact (ou même seulement quasi-compact). Ces deux implications se généralisent aux fonctions multivaluées.
  
  