title: Groupe de Carnot
text: # Groupe de Carnot
  
  Un groupe de Carnot est un groupe de Lie réel, nilpotent et stratifié. On peut considérer les groupes de Carnot comme des « espaces vectoriels non commutatifs » (les espaces vectoriels sont les seuls groupes de Carnot commutatifs). L'exemple le plus simple d'un groupe de Carnot non trivial est le groupe de Heisenberg.
  
  ## Algèbre de Lie
  
  Une algèbre de Lie ${\mathfrak {n}}$ est dite nilpotente s'il existe s tel que ${\mathfrak {n}}^{s+1}=\{0\}$, où ${\mathfrak {n}}^{i}$ est défini récursivement par ${\mathfrak {n}}^{i+1}=[{\mathfrak {n}},{\mathfrak {n}}^{i}]$ pour tout $i\geq 1$ et ${\mathfrak {n}}^{1}={\mathfrak {n}}$. On dispose donc d'une suite descendante ${\mathfrak {n}}={\mathfrak {n^{1}}}\supset ...\supset {\mathfrak {n^{s}}}\supset {\mathfrak {n^{s+1}}}=\{0\}$.
  
  Cette algèbre de Lie est de plus stratifiée s'il existe un sous-espace $V$ satisfaisant pour tout $i\geq 1,$ ${\mathfrak {n}}^{i}={\mathfrak {n}}^{i+1}\oplus V^{i}$ où $V^{i+1}=[V,V^{i}]$ pour $i\geq 1$ et $V^{1}=V$. Ainsi si $X_{1},...,X_{k}$ représente une base de $V$, les vecteurs de la forme $[X_{i_{1}},[X_{i_{2}},[...,[X_{i_{l-1}},X_{i_{l}}]]]]$ engendrent l'algèbre complète (ici $l\in \{1,\ldots ,s\}$ et $X_{i_{j}}$ est un élément de la base pour tout $j\in \{1,\ldots ,l\}$).
  
  Les algèbres de Lie des groupes de Carnot possède des morphismes particuliers $D_{\lambda }$, appelés dilatations. Ceux-ci sont paramétrés par $\lambda >0$ de telle façon que $V^{i}$ soit un espace propre de valeur propre $\lambda ^{i}$.
  
  ## Groupe de Lie
  
  Un groupe de Carnot est un groupe simplement connexe dont l'algèbre de Lie est telle que décrite précédemment. On peut identifier un groupe de Carnot à son algèbre de Lie en utilisant la formule de Baker-Campbell-Hausdorff.
  
  