title: Test Z
text: # Test Z
  
  En statistique, un test Z est un terme générique désignant tout test statistique dans lequel la statistique de test suit une loi normale sous l'hypothèse nulle.
  
  ## Exemple : test sur la moyenne d'une loi normale où la variance est connue
  
  On considère un n-échantillon $X_{1},\dots ,X_{n}$avec $X_{i}\sim {\mathcal {N}}(m,\sigma ^{2})$ et un risque $\alpha$.
  
  * Si l'on teste $H_{0}:m=m_{0}$
  
  La statistique de test sous l'hypothèse nulle est :
  
  $Z={\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}_{n}-m_{0}}{\sigma }}$ qui suit une loi normale ${\mathcal {N}}(0,1)$
  
  Si $|z|$ , la réalisation de la statistique de test, est supérieur au quantile d'ordre $1-{\frac {\alpha }{2}}$ de la loi ${\mathcal {N}}(0,1)$ alors on rejette l'hypothèse nulle.
  
  * Si l'on teste $H_{0}:m\leqslant m_{0}$
  
  Si $z$ est supérieur au quantile d'ordre $1-\alpha$ de la loi ${\mathcal {N}}(0,1)$ alors on rejette l'hypothèse nulle.
  
  * Si l'on teste $H_{0}:m\geqslant m_{0}$
  
  Si $z$ est inférieur au quantile d'ordre $\alpha$ de la loi ${\mathcal {N}}(0,1)$ alors on rejette l'hypothèse nulle.
  
  Remarque : si l'on note $\upsilon _{\alpha }$ le quantile d'ordre $\alpha$ de la loi ${\mathcal {N}}(0,1)$, alors on a l'égalité $\upsilon _{\alpha }=-\upsilon _{1-\alpha }$
  
  ## Exemple : test sur la proportion d'une loi binomiale
  
  On considère un n-échantillon $X_{1},\dots ,X_{n}$ avec $X_{i}\sim {\mathcal {B}}(p)$
  
  * Si l'on teste $H_{0}:p=p_{0}$
  
  La statistique de test sous l'hypothèse nulle est :
  
  $Z={\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}_{n}-p_{0}}{\sqrt {p_{0}(1-p_{0})}}}$converge en loi vers une loi normale ${\mathcal {N}}(0,1)$ quand n tend vers l'infini.
  
  Si $|z|$ , la réalisation de la statistique de test, est supérieur au quantile d'ordre $1-{\frac {\alpha }{2}}$ de la loi ${\mathcal {N}}(0,1)$ alors on rejette l'hypothèse nulle.
  
  * Si l'on teste $H_{0}:p\leqslant p_{0}$
  
  Si $z$ est supérieur au quantile d'ordre $1-\alpha$ de la loi ${\mathcal {N}}(0,1)$ alors on rejette l'hypothèse nulle.
  
  * Si l'on teste $H_{0}:p\geqslant p_{0}$
  
  Si $z$ est inférieur au quantile d'ordre $\alpha$ de la loi ${\mathcal {N}}(0,1)$ alors on rejette l'hypothèse nulle.
  
  Remarque : si l'on note $\upsilon _{\alpha }$ le quantile d'ordre $\alpha$ de la loi ${\mathcal {N}}(0,1)$, alors on a l'égalité $\upsilon _{\alpha }=-\upsilon _{1-\alpha }$
  
  