title: Signal analytique
text: # Signal analytique
  
  ## Introduction
  
  Dans le domaine du traitement du signal et plus particulièrement en télécommunications, le signal analytique est un signal satisfaisant un certain nombre de propriétés, mais qui peut être tout d'abord vu comme le prolongement d'un signal réel $x(t),\;\forall t\in \mathbb {R}$ dans le plan complexe $\mathbb {C}$:
  
  Soit un signal réel $x(t),\;\forall t\in \mathbb {R}$ de la forme:
  
  $x(t)=\cos(\omega t)$
  
  On peut le considérer comme étant la partie réelle du signal complexe:
  
  $z(t)={\begin{cases}e^{\imath \omega t}&=\cos(\omega t)+\imath \sin(\omega t)\\e^{-\imath \omega t}&=\cos(\omega t)+\imath \sin(-\omega t)\end{cases}}$
  
  $x(t)$
  
  $z(t)=e^{\imath \omega t}$
  
  Introduisons certaines notions pour argumenter ce choix.
  
  ## Définition et Propriété
  
  Soit un signal réel $x(t)$, la transformée de Hilbert de $x(t)$ est définie par:
  
  ${\mathcal {H}}\{x\}(t)={\dfrac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\frac {x(\tau )}{t-\tau }}d\tau ={\dfrac {1}{\pi t}}\ast x(t)$
  
  Soit un signal réel $x(t),\;\forall t\in \mathbb {R}$, on dit que $x^{A}(t)$ est le signal analytique formé à partir de $x(t)$ s'il est holomorphe dans le demi-plan complexe supérieur et fonction de la variable $t\in \mathbb {C}$. Sous ces conditions, il est défini par:
  
  $x^{A}(t)=x(t)+\imath {\mathcal {H}}\{x\}(t)=x(t)\ast \left(\delta (t)+{\dfrac {\imath }{\pi t}}\right)$
  
  Le terme ${\mathcal {H}}\{x\}(t)$ (resp. $x(t)$) est appelé l'information en quadrature (resp. en phase). La précédente équation provient du filtre ${\mathcal {H}}$ relatif à la transformée de Hilbert, soit:
  
  ${\mathcal {H}}(\omega )={\begin{cases}0&{\text{si }}\omega <0\\2&{\text{si }}\omega \geq 0\end{cases}}=1+\operatorname {sgn}(\omega )$
  
  En effet, la symétrie du spectre fréquentiel d'un signal réel permet de ne considérer que les fréquences positives. De plus, étant donné la transformée de Fourier de $\operatorname {sgn}(t)$, on obtient la réponse impulsionnelle du filtre, soit:
  
  $h(t)=\delta (t)+{\dfrac {\imath }{\pi t}}$
  
  ## Relation avec d'autres grandeurs
  
  En utilisant la définition de la transformée de Hilbert, on obtient également: $x_{a}(t)=x(t)+j\cdot {\widehat {x}}(t)$ .
  
  Selon la définition d'enveloppe complexe, on a aussi: $x_{a}(t)=e_{x}(t).\exp(j\omega t)$
  
  