title: Théorème du papillon
text: # Théorème du papillon
  
  Le théorème du papillon est un théorème de la géométrie euclidienne. Son nom provient de la similitude entre la disposition des deux triangles (voir figure) et les ailes d'un papillon.
  
  ## Énoncé
  
  Théorème du papillon — Soit M le milieu d'une corde arbitraire [PQ] d'un cercle. Quatre autres cordes sont tracées : [AB] et [CD] passant par M, puis les cordes [AD] et [BC], ces deux dernières intersectant la corde [PQ] en X et Y respectivement. Alors, $MX=MY$.
  
  ## Historique
  
  Ce théorème est une question posée en 1803 par le mathématicien écossais William Wallace. Trois solutions ont été donnée en 1804 et 1805. Actuellement, on dispose de plus de 17 démonstrations différentes.
  
  ## Démonstration
  
  Les notations sont celles de la figure et correspondent à l'énoncé ci-dessus.
  
  On nomme $X_{1}$ le pied de la hauteur issue de X dans le triangle AXM. De même on nomme $X_{2}$ pied de la hauteur issue de X dans le triangle DXM, $Y_{1}$ pied de la hauteur issue de Y dans le triangle BYM et $Y_{2}$ pied de la hauteur issue de Y dans le triangle CYM.
  
  On remarque alors que les triangles $MXX_{1}$ et $MYY_{1}$ sont semblables car ${\widehat {MX_{1}X}}={\widehat {MY_{1}Y}}$ (ce sont des angles droits) et ${\widehat {X_{1}MX}}={\widehat {Y_{1}MY}}$ car ils sont opposés par le sommet ; d'où : ${\frac {MX}{XX_{1}}}={\frac {MY}{YY_{1}}}$.
  
  De même $MXX_{2}$ est semblable à $MYY_{2}$ et ${\frac {MX}{XX_{2}}}={\frac {MY}{YY_{2}}}$.
  
  On procède de la même manière pour les triangles semblables $AXX_{1}$ et $CYY_{2}$ sachant que ${\widehat {XAX_{1}}}={\widehat {YCY_{2}}}$ car ces angles interceptent le même arc (voir Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre) ; d'où : ${\frac {AX}{XX_{1}}}={\frac {CY}{YY_{2}}}$.
  
  De même $DXX_{2}$ est semblable à $BYY_{1}$ et ${\frac {DX}{XX_{2}}}={\frac {BY}{YY_{1}}}$.
  
  On a donc :
  
  $\left({\frac {MX}{MY}}\right)^{2}={\frac {XX_{1}}{YY_{1}}}\cdot {\frac {XX_{2}}{YY_{2}}}$
  
            $={\frac {AX.DX}{CY.BY}}$
            $={\frac {PX.QX}{PY.QY}}$ (voir Puissance d'un point par rapport à un cercle)
            $={\frac {(PM-MX)(QM+MX)}{(PM+MY)(QM-MY)}}$
            $={\frac {PM^{2}-MX^{2}}{PM^{2}-MY^{2}}}$ car $PM=QM$
  
  Ainsi $MX^{2}=MY^{2}$, ce sont des longueurs donc $MX=MY$.
  
  M est bien le milieu du segment $[XY]$.
  
  ## Référence
  
  * ↑ Mohammed AASSILA, 1000 challenges mathématiques, géométrie, Ellipses, 2018, p. 311
  * ↑ Cut-the-knot 17 démonstrations différentes de ce théorème.
  