title: Tour de corps
text: # Tour de corps
  
  En mathématiques, une tour de corps est une suite d'extensions de corps
  
      $F_0$ ⊆ $F_1$ ⊆ ... ⊆ $F_n$ ⊆ ...
  
  Le nom de tour vient du fait qu'une telle suite est souvent écrite sous la forme
  
      ${\begin{array}{c}\vdots \\|\\F_{2}\\|\\F_{1}\\|\\F_{0}.\end{array}}$
  
  Une tour de corps peut aussi bien être finie qu'infinie.
  
  ## Exemples
  
  * Q ⊆ R ⊆ C est une tour de corps finie composée des corps de nombres rationnels, réels puis complexes.
  * Soit la suite définie par $F_0$ = le corps Q des rationnels et
  
         $F_{n+1}=F_{n}\left(2^{1/2^{n}}\right)$
      (i.e. $F_{n+1}$ est obtenu à partir de $F_n$ en ajoutant la racine $2^n-ième$ de 2). Cette tour de corps est infinie.
  * Si p est un nombre premier, la p-ième tour cyclotomique de Q est obtenue en posant $F_0$ = Q et $F_n$ = l'extension de Q par adjonction des racines $p^n-ièmes$ de l'unité. Cette tour est à la base de la théorie d'Iwasawa.
  * Le théorème de Golod-Shafarevich montre qu'il existe des tours de corps infinies obtenues par l'itération du corps de classes de Hilbert à un corps de nombres.
  