title: Théorème de la base normale
text: # Théorème de la base normale
  
  En mathématiques, le théorème de la base normale s'inscrit dans la théorie de Galois.
  
  Il garantit que si L / K est une extension finie galoisienne de corps commutatifs, de groupe de Galois G, alors il existe un élément x de L dont l'orbite Gx est une base du K-espace vectoriel L. Autrement dit : la représentation naturelle de G sur L est équivalente à la représentation régulière.
  
  ## Histoire
  
  Ce théorème fut d'abord établi dans le cas des corps finis : en 1850, Eisenstein démontra le cas où K est un corps premier fini et Schönemann celui où le degré de l'extension est premier ; c'est Hensel qui démontra le théorème pour les corps finis en toute généralité. En 1932, ce résultat fut étendu à certains corps infinis par Emmy Noether, puis à tous par Deuring.
  
  La démonstration de Deuring traitait simultanément tous les corps (finis ou infinis) grâce à l'« argument de Deuring-Noether $»^,.$ La plupart des manuels proposent cependant une démonstration ultérieure d'Artin dans le cas infini, formulée en termes de déterminants, et donnent un argument complètement différent pour le cas fini.
  
  Ce théorème a été généralisé : il existe même un élément simultanément « libre » sur tous les corps intermédiaires (en qualifiant de « libres sur K » les éléments x dont le théorème de la base normale énonce l'existence) : Faith l'a prouvé en 1957 pour les corps infinis (en étendant l'argument d'Artin), mais ce n'est qu'en 1986 que ce résultat a été établi pour les corps finis, par Blessenohl et Johnsen.
  
  ## Démonstration
  
  La preuve suivante, inspirée de Deuring, consiste à décomposer de deux façons le K[G]-module (à gauche) des endomorphismes du K-espace vectoriel L, puis à invoquer le théorème de $Krull-Schmidt^,^,.$
  
  Soient n le degré de l'extension, $(x_1,$ … , $x_n)$ une base du K-espace vectoriel L et $(y_1,$ … , $y_n)$ une base de son dual. Une première décomposition est
  
  $\mathrm {End} _{K}(L)=\oplus _{j=1}^{n}Ly_{j}.$
  
  C'est non seulement une somme directe de K[G]-sous-modules mais aussi de L-sous-espaces vectoriels, donc $End_K(L)$ est de dimension n sur L. Or d'après le théorème d'indépendance de Dedekind, les n éléments de G sont L-linéairement indépendants. Ils forment donc eux aussi une base du L-espace vectoriel $End_K(L)$ :
  
  $\mathrm {End} _{K}(L)=\oplus _{g\in G}Lg.$
  
  Contrairement aux $Ly_j,$ les Lg ne sont pas stables pour l'action à gauche de G, mais on a (en identifiant tout élément ℓ de L avec l'élément de $End_K(L)$ « multiplication par ℓ ») :
  
  $\forall g\in G,\quad \forall \ell \in L,~g.\ell =g(\ell )g\quad {\text{donc}}\quad g.L=Lg,$
  
  ce qui permet de décomposer $End_K(L)$ en K-sous-espaces vectoriels puis, en regroupant, en K[G]-sous-modules :
  
  $\mathrm {End} _{K}(L)=\oplus _{g\in G}g.L=\oplus _{g\in G}g.\left(\oplus _{i=1}^{n}Kx_{i}\right)=\oplus _{i=1}^{n}K[G].x_{i}.$
  
  On aboutit ainsi à l'isomorphisme de K[G]-modules
  
  $L^{n}\simeq \oplus _{j=1}^{n}Ly_{j}=\oplus _{i=1}^{n}K[G].x_{i}\simeq \left(K[G]\right)^{n},$
  
  dont on déduit, grâce au théorème de Krull-Schmidt, que L est isomorphe à K[G].
  
  