title: Théorème de fluctuation-dissipation
text: # Théorème de fluctuation-dissipation
  
  En théorie de la réponse linéaire, il existe une relation entre la fonction de réponse $\chi (\omega )$ et la fonction de corrélation $S(\omega )$. Celle-ci a été établie par Herbert Callen et Theodore Welton en 1951, et pour cette raison le théorème de fluctuation-dissipation est aussi appelé théorème de Callen-Welton. Selon ce théorème,
  
  $S(\omega )=\hbar \coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right)\mathrm {Im} \chi (\omega )$.
  
  Le nom de théorème de fluctuation-dissipation vient de ce que la partie imaginaire de la fonction de réponse mesure la dissipation, alors que la fonction de corrélation $S(\omega )$ mesure l'intensité des fluctuations. On peut reformuler ce théorème en introduisant une force fluctuante $f(\omega )$ par $x(\omega )=\chi (\omega )f(\omega )$ où $x(\omega )$ est la grandeur fluctuante. En introduisant cette expression dans la définition de $S(\omega )=\langle x(\omega )x(-\omega )\rangle$ où $\langle \ldots \rangle$ désigne la moyenne sur les fluctuations quantiques ou les fluctuations thermiques, on peut réécrire le théorème de fluctuation-dissipation sous la forme :
  
  $\langle f(\omega )f(-\omega )\rangle =-\hbar \coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right)\mathrm {Im} \left({\frac {1}{\chi (\omega )}}\right)$.
  
  Il est également possible d'obtenir un théorème de fluctuation et dissipation généralisé, faisant intervenir plusieurs variables. Cette extension est discutée dans le livre de Landau et Lifshitz.
  
  