title: Inégalité de Hardy-Littlewood
text: # Inégalité de Hardy-Littlewood
  
  L'inégalité de Hardy-Littlewood est un théorème d'analyse à plusieurs variables d'après lequel, si f et g sont des fonctions Lebesgue-mesurables de $ℝ^n$ dans [0, +∞] et si f* et g* sont leurs réarrangements symétriques décroissants, $alors^,$
  
  $\int _{\mathbb {R} ^{n}}fg~\mathrm {d} \lambda \leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}g^{*}~\mathrm {d} \lambda ,$
  
  où λ désigne la mesure de Lebesgue sur $ℝ^n.$
  
  ## Démonstration
  
  Dans le cas particulier où f et g sont des fonctions indicatrices, compte tenu de la propriété $\scriptstyle (\mathbb {I} _{A})^{*}=\mathbb {I} _{A^{*}}$, l'inégalité à démontrer se réécrit
  
  $\lambda (A\cap B)\leq \lambda (A^{*}\cap B^{*})$
  
  et vient du fait que si, par exemple λ(A) ≤ λ(B), alors A* ⊂ B* donc
  
  $\lambda (A\cap B)\leq \lambda (A)=\lambda (A^{*})=\lambda (A^{*}\cap B^{*}).$
  
  Pour en déduire le cas général, on utilise que pour toute fonction positive f et tout réel r, si l'on note [f > r] l'ensemble de sur-niveau associé, c'est-à-dire
  
  $[f>r]=\{x~|~f(x)>r\},$
  
  on a :
  
  $f(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{[f>r]}(x)~\mathrm {d} r.$
  
  Grâce au théorème de Fubini, on obtient $ainsi^,$ :
  
  ${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)~\mathrm {d} x&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{[f>r]}(x)~\mathrm {d} r\right)\left(\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{[g>s]}(x)~\mathrm {d} s\right)~\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\lambda ([f>r]\cap [g>s])~\mathrm {d} r~\mathrm {d} s\\&\leq \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\lambda ([f>r]^{*}\cap [g>s]^{*})~\mathrm {d} r~\mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\lambda ([f^{*}>r]\cap [g^{*}>s])~\mathrm {d} r~\mathrm {d} s\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{[f^{*}>r]}(x)~\mathrm {d} r\right)\left(\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{[g^{*}>s]}(x)~\mathrm {d} s\right)~\mathrm {d} x\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}(x)g^{*}(x)~\mathrm {d} x.\end{aligned}}$
  
  