title: Théorème des trois cercles de Hadamard
text: # Théorème des trois cercles de Hadamard
  
  En analyse complexe, le théorème des trois cercles de Hadamard est un résultat sur le comportement d'une fonction holomorphe sur une couronne.
  
  ## Énoncé
  
  Soit f une fonction holomorphe sur l'ouvert $C=\{r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\mid (r,\theta )\in ]r_{1},r_{2}[\times \mathbb {R} \}$ et continue sur son adhérence ${\overline {C}}$.
  
  On pose : $M:r\mapsto \sup _{\theta }|f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })|$.
  
  Alors ln(M(r)) est une fonction convexe de ln r.
  
  C'est-à-dire : $\forall r\in ]r_{1},r_{2}[\quad \ln \left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)\ln M(r)\leq \ln \left({\frac {r_{2}}{r}}\right)\ln M(r_{1})+\ln \left({\frac {r}{r_{1}}}\right)\ln M(r_{2})$.
  
  De plus, si f(z) n'est pas de la forme A $z^B,$ alors ln(M(r)) est une fonction strictement convexe de ln r.
  
  ## Démonstration
  
  Le résultat peut se déduire du théorème des trois droites de Hadamard.
  
  On pose $g:z\mapsto f(\mathrm {e} ^{z})$ et $m:s\mapsto \sup _{|z|=\mathrm {e} ^{s}}|f(z)|$.
  
  On a donc : $\forall s\in \left]\ln r_{1},\ln r_{2}\right[\quad m(s)=\sup _{\theta }|f(\mathrm {e} ^{s+\mathrm {i} \theta })|=\sup _{\theta }|g(s+\mathrm {i} \theta )|$.
  
  Or g est holomorphe sur $B=\{x+\mathrm {i} y\mid (x,y)\in \left]\ln r_{1},\ln r_{2}\right[\times \mathbb {R} \}$ et continue sur ${\overline {B}}$.
  
  Donc, par le théorème des trois droites de Hadamard, m est logarithmiquement convexe.
  
  Or m = M ∘ exp, donc ln(M(r)) est bien une fonction convexe de ln r.
  
  ## Histoire
  
  John Edensor Littlewood donna en 1912 l'énoncé et une démonstration du théorème mais ne l'attribua à personne en particulier, le considérant comme un théorème bien connu. Harald Bohr et Edmund Landau l'attribuèrent à Jacques Hadamard, qui l'avait énoncé en 1896, sans toutefois publier de preuve.
  
  