title: Spline cubique d'Hermite
text: # Spline cubique d'Hermite
  
  On appelle spline cubique d'Hermite une spline de degré trois, nommée ainsi en hommage à Charles Hermite, permettant de construire un polynôme de degré minimal (le polynôme doit avoir au minimum quatre degrés de liberté et être donc de degré 3) interpolant une fonction en deux points avec ses tangentes.
  
  ## Construction
  
  ### Calcul sur l'intervalle unité
  
  Chaque polynôme $P_{i}(x)$ se trouve sous la forme suivante :
  
      $P_{i}\in Vect\{h_{00},h_{10},h_{01},h_{11}\}\,$
  
  avec
  
      $h_{00}(t)=2t^{3}-3t^{2}+1\,\!$
      $h_{10}(t)=t^{3}-2t^{2}+t\,\!$
      $h_{01}(t)=-2t^{3}+3t^{2}\,\!$
      $h_{11}(t)=t^{3}-t^{2}\,\!$
  
  ce qui donne le polynôme suivant :
  
      $p(t)=h_{00}(t)p_{0}+h_{10}(t)m_{0}+h_{01}(t)p_{1}+h_{11}(t)m_{1}.$
  
  Sous cette écriture, il est possible de voir que le polynôme p vérifie :
  
      $p(0)=p_{0},\,p(1)=p_{1},\,p'(0)=m_{0}{\text{ et }}p'(1)=m_{1}.$
  
  La courbe est déterminée par la position des points et des tangentes.
  
  ### Extension à un intervalle quelconque
  
  Pour trouver le polynôme tel que : $P(x_{0})=p_{0},\;P(x_{1})=p_{1},\;P'(x_{0})=m_{0},\;P'(x_{1})=m_{1}$ il faut poser :
  
      $p(t)=h_{00}(t)p_{0}+h_{10}(t)m_{0}\cdot (x_{1}-x_{0})+h_{01}(t)p_{1}+h_{11}(t)m_{1}\cdot (x_{1}-x_{0}).\!$
  
  et
  
      $P(x)=p\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)$
  
  alors :
  
      $P(x_{0})=p\left({\frac {x_{0}-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)=p(0)=p_{0},\ P(x_{1})=p\left({\frac {x_{1}-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)=p(1)=p_{1}$
      $P'(x)={\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}p'\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)$
  
  d'où
  
      $P'(x_{0})={\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}p'\left({\frac {x_{0}-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)={\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}p'(0)=m_{0}(x_{1}-x_{0})\cdot {\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}=m_{0},$
      $P'(x_{1})={\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}p'\left({\frac {x_{1}-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)={\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}p'(1)=m_{1}(x_{1}-x_{0})\cdot {\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}=m_{1}.$
  