title: Sommation de Mittag-Leffler
text: # Sommation de Mittag-Leffler
  
  En mathématiques, la sommation de Mittag-Leffler est une variante de la sommation de Borel pour sommer certaines séries entières divergentes, qui fut introduite par Gösta Mittag-Leffler.
  
  ## Définition
  
  Soit
  
      $y(z)=\sum _{k=0}^{\infty }y_{k}z^{-k}$
  
  une série formelle de la variable z.
  
  On définit la transformée ${\mathcal {B}}_{\alpha }$ de y par :
  
      ${\mathcal {B}}_{\alpha }y(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y_{k}}{\Gamma (1+\alpha k)}}t^{k}.$
  
  La somme de Mittag-Leffler de y est donnée, si chaque somme converge et que la limite existe, par :
  
      $\lim _{\alpha \rightarrow 0}{\mathcal {B}}_{\alpha }y(z).$
  
  Une méthode de sommation étroitement liée, aussi appelé sommation de Mittag-Leffler, est donnée comme suit : supposons que, au voisinage de 0, la transformée de Borel converge vers une fonction analytique qui peut être analytiquement prolongée le long de l'axe réel positif en une fonction à croissance suffisamment lente afin que l'intégrale suivante soit bien définie (il s'agit d'une intégrale impropre). La somme de Mittag-Leffler de y est donnée par
  
      $\int _{0}^{\infty }{\rm {e}}^{-t}{\mathcal {B}}_{\alpha }y(t^{\alpha }z)\,{\rm {d}}t.$
  
  Lorsque α = 1, on retrouve la sommation de Borel.
  
  