title: Inégalité de Kato
text: # Inégalité de Kato
  
  En analyse fonctionnelle, l'inégalité de Kato est une inégalité de distribution pour l'opérateur de Laplace ou dans le cas général certains opérateurs elliptiques. Elle a été prouvée en 1972 par le mathématicien japonais Tosio Kato.
  
  On traite ici le cas particulier de l'opérateur de Laplace.
  
  ## Inégalité de Kato
  
  Soit $\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}$ un ensemble ouvert et borné et $f\in L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )$ , de sorte que $\Delta f\in L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )$. On a $alors^,$
  
      $\Delta |f|\geq \operatorname {Re} \left((\operatorname {sgn} {\overline {f}})\Delta f\right)\quad$ in $\;{\mathcal {D}}'(\Omega )$,
  
  où
  
      $\operatorname {sgn} {\overline {f}}={\begin{cases}{\frac {\overline {f(x)}}{|f(x)|}}&{\text{si }}f\neq 0\\0&{\text{si }}f=0.\end{cases}}$
  
  ### Explications
  
  * $L_{\operatorname {loc} }^{1}$ est espace des fonctions localement intégrable.
  