title: Inégalité de Bousquet
text: # Inégalité de Bousquet
  
  L'inégalité de Bousquet est une inégalité de concentration du supremum d'une somme de variables indexé par un ensemble quelconque établie par Bousquet. Ce résultat ressemble à l'inégalité de Bennett et donne la déviation du supremum d'un processus empirique par rapport à sa moyenne.
  
  ## Énoncé
  
  On peut retrouver les énoncés dans l'article de Bousquet ou le livre de Boucheron, Lugosi et Massart. Soient $X_{1,s},\dots ,X_{n,s}$ des variables aléatoires réelles i.i.d. indexés par $s\in T$. On suppose que les variables sont centrées et majorées par 1, i.e. $\mathbb {E} [X_{i,s}]=0$ et $|X_{i,s}|\leq 1$ pour tout $i=1,\dots ,n$ et $s\in T$. On note $Z=\sup _{s\in T}\sum _{i=1}^{n}X_{i,s}$. Alors pour tout $\lambda ,t\geq 0$,
  
  ${\begin{aligned}\log \mathbb {E} e^{\lambda (Z-\mathbb {E} Z)}&\leq v\phi (\lambda )\\\mathbb {P} (Z\geq \mathbb {E} Z+t)&\leq e^{-vh(t/v)}\end{aligned}}$
  
  où $\phi (u)=e^{u}-u-1,h(u)=(1+u)\log(1+u)-u$ pour $u\geq -1$, $v=2\mathbb {E} Z+\sigma ^{2}$ avec $\sigma ^{2}=\sup _{s\in T}\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} X_{i,s}^{2}$. En optimisant la fonction $h$, on obtient en particulier
  
  $\mathbb {P} (Z\geq \mathbb {E} Z+t)\leq \exp \left(-{\frac {t^{2}}{2(v+t/3)}}\right)$
  
  