title: Inégalité de Bessel
text: # Inégalité de Bessel
  
  En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne ou hilbertienne, l'inégalité de Bessel est un résultat étroitement lié à la question de la projection orthogonale. Elle tient son nom du mathématicien allemand Friedrich Wilhelm Bessel.
  
  ## Énoncé pour une famille finie
  
  Dans tout l'article E désigne un espace préhilbertien sur le corps des réels ou celui des complexes. Le produit scalaire est noté < , > et la norme associée : || ||. La valeur absolue ou le module d'un scalaire λ est noté |λ|. Une famille de vecteurs est dite orthonormale si ses vecteurs sont de norme 1 et orthogonaux deux à deux.
  
  Énoncé pour une famille finie —  Soit $(e_1,$ … , $e_n)$ une famille orthonormale de vecteurs. Alors pour tout vecteur x de E, l'inégalité suivante est vérifiée :
  
  $\sum _{i=1}^{n}\left|\langle x,e_{i}\rangle \right|^{2}\leq \|x\|^{2}.$
  
  En outre il y a égalité si et seulement si x est dans l'espace vectoriel engendré par les vecteurs $e_1,$ … , $e_n.$
  
  Notons F le sous-espace vectoriel engendré par la famille $(e_1,$ … , $e_n),$ et définissons le vecteur
  
      $y=\sum _{i=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}.$
  
  Ce vecteur y appartient à F et x-y est orthogonal à chaque $e_j,$ donc à F. On a donc
  
      $\|x\|^{2}=\|y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\geq \|y\|^{2}=\sum _{i=1}^{n}|\langle x,e_{i}\rangle |^{2},$
  
  avec égalité si et seulement si x = y.
  
  Si x = y alors x appartient à F. Réciproquement, si x appartient à F alors x – y est à la fois orthogonal à F et élément de F, donc nul, d'où x = y.
  
  ## Généralisation à une famille quelconque
  
  Le résultat précédent s'étend au cas où la famille $(e_i)$ est indexée par un ensemble I quelconque (ni fini, ni nécessairement dénombrable) :
  
  Énoncé dans le cas général —  Soit $(e_i)$ une famille orthonormale de vecteurs. Alors pour tout vecteur x de E, l'inégalité suivante est vérifiée :
  
  $\sum _{i\in I}\left|\langle x,e_{i}\rangle \right|^{2}\leq \|x\|^{2},$
  
  et l'ensemble des indices i tels que $〈e_i,$ x〉 soit non nul est au plus dénombrable.
  
  Cas d'égalité et unicité des coefficients de Fourier — En outre il y a égalité si et seulement si x est dans l'adhérence du sous-espace vectoriel engendré par la famille, et dans ce cas x s'écrit de manière unique comme somme d'une famille de terme général $λ_ie_i.$ La somme est la suivante :
  
  $x=\sum _{i\in I}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}.$
  
  Si la famille $(e_i)$ est simplement orthogonale et formée de vecteurs non nuls, l'inégalité de Bessel s'écrit :
  
  $\sum _{i\in I}\left|{\frac {\langle x,e_{i}\rangle }{\|e_{i}\|}}\right|^{2}\leq \|x\|^{2}.$
  
  Si E est un espace de Hilbert, et si la famille est une base de Hilbert, alors la majoration est une égalité dénommée égalité de Parseval.
  
     * Inégalité et dénombrabilité :
  
  Soit J une sous-famille finie de I. Le résultat du paragraphe précédent montre que :
  
  $\sum _{j\in J}\left|\langle x,e_{j}\rangle \right|^{2}\leq \|x\|^{2}.$
  
  Ce résultat est vrai quelle que soit la sous-famille finie J de I. Ce qui montre la majoration de l'énoncé, donc la sommabilité de la famille. Or l'ensemble des termes non nuls d'une famille sommable est au plus dénombrable.
  
     * Cas d'égalité :
  
  Notons H l'espace de Hilbert complété de E et F l'adhérence dans H du sous-espace vectoriel engendré par les $e_i$ (l'adhérence dans E de ce même sous-espace est donc F∩E). L'inégalité précédente permet de définir, dans H,
  
      $y=\sum _{i\in I}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}.$
  
  Le reste de la preuve est identique au cas fini.
  
     * Unicité des coefficients :
  
  Si
  
      $x=\sum _{i\in I}\lambda _{i}e_{i}$
  
  alors pour tout j,
  
      $\langle x,e_{j}\rangle =\sum _{i\in I}\lambda _{i}\langle e_{i},e_{j}\rangle =\lambda _{j}.$
  