title: Structure presque complexe
text: # Structure presque complexe
  
  En géométrie différentielle, une structure presque complexe sur une variété différentielle réelle est la donnée d'une structure d'espace vectoriel complexe sur chaque espace tangent.
  
  ## Définition formelle
  
  Une structure presque complexe J sur une variété différentielle M est un champ d'endomorphismes J, c'est-à-dire une section globale du fibré vectoriel $\mathrm {End} (TM)$, vérifiant :
  
      $\forall x\in M,J_{x}^{2}=-\mathrm {Id} _{T_{x}M}$
  
  Une variété différentielle munie d'une structure presque complexe est appelée une variété presque complexe.
  
  Théorème : L'existence d'une structure presque complexe J sur une variété différentielle M implique que M soit de dimension paire, disons 2n. De plus, il existe une unique orientation sur M telle que ...
  
  Donc, pour qu'il existe une structure presque complexe, il faut que la variété soit de dimension paire et orientée. Mais cette condition à elle seule ne suffit pas :
  
  Théorème : L'existence d'une structure presque complexe sur une variété différentielle de dimension paire orientable équivaut à la réduction du groupe structural du fibré tangent de $\mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )$ à $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$.
  
  ## Exemples
  
  Les seules sphères à admettre une structure presque complexe sont :
  
  * La sphère $S^{2}$, vue comme le compactifié de ℂ.
  * La sphère $S^{6}$, vue comme la sphère unité des octonions imaginaires.
  
  ## Formes différentielles
  
  Algèbre linéaire : un opérateur linéaire $A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ vérifiant l'identité $A^{2}=-\mathrm {I} _{n}$ se réduit sur $\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$. Il admet deux espaces propres, $E^{+}$ et $E^{-}$, de valeurs propres respectives $i$ et $-i$.
  
  Structures presque complexes :
  
  * $TM\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =T^{+}M\oplus T^{-}M$
  
  Les formes différentielles sont les sections des produits extérieurs du fibré cotangent.
  
  * $\Omega ^{r}(M)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\bigoplus _{r+q=p}\Omega ^{r,q}(M)$
  