title: Inégalité de Bonse
text: # Inégalité de Bonse
  
  En théorie des nombres, l'inégalité de Bonse, du nom de H. Bonse, permet une comparaison entre un nombre primoriel et le plus petit nombre premier qui ne figure pas dans sa décomposition.
  
  Elle déclare que si $p_1,$ ..., $p_n,$ $p_{n+1}$ sont les n + 1 plus petits nombres premiers et n ≥ 4, alors
  
      $p_{n}\#=p_{1}\cdots p_{n}>p_{n+1}^{2}$ ou $p_{n+1}<{\sqrt {p_{n}\#}}$.
  
  Elle est une conséquence facile du postulat de Bertrand : $p_{n+1}<2p_{n}$ ; en effet $p_{n+1}^{2}<4p_{n}^{2}<8p_{n-1}p_{n}<2\times 3\times 5\times p_{n-1}p_{n}\leqslant p_{1}p_{2}...p_{n}$ pour $n\geqslant 5$, le cas $n=4$ se montrant à la main.
  
  Mais elle possède une démonstration élémentaire directe plus courte que celle du postulat de Bertrand.
  
  