title: Inégalité de Cauchy
text: # Inégalité de Cauchy
  
  L'inégalité de Cauchy, établie par Augustin Louis Cauchy, est une relation permettant d'estimer les dérivées d'une fonction holomorphe. Elle découle immédiatement de la formule intégrale de Cauchy.
  
  ## Énoncé
  
  Soit f une fonction holomorphe dans un disque de centre $ω_0$ et de rayon R et soit r un réel de ]0, R[. On note :
  
  $M\left(r\right)=\sup\{|f\left(\omega \right)|\mid |\omega -\omega _{0}|=r\}$
  
  Alors, pour tout entier naturel n,
  
  $\left|{\frac {f^{(n)}\left(\omega _{0}\right)}{n!}}\right|\leq {\frac {M\left(r\right)}{r^{n}}}$
  
  ## Démonstration
  
  Voir le § Principale conséquence de l'article sur la formule intégrale de Cauchy.
  
  ## Conséquence
  
  On peut déduire le théorème de Liouville de cette inégalité.
  
  