title: Sphère de Bloch
text: # Sphère de Bloch
  
  La sphère de Bloch, du nom du physicien et mathématicien Félix Bloch, ou sphère de Poincaré (comme cas d'application de celle-ci), est une représentation géométrique d'un état pur d'un système quantique à deux niveaux ; c'est donc, entre autres, une représentation d'un qubit. Il est possible de généraliser la construction de cette sphère à un système à $n$ niveaux.
  
  La mécanique quantique se formalise dans les espaces de Hilbert, ou plus exactement, dans les espaces de Hilbert projectifs. L'espace projectif des états purs d'un système à 2 niveaux est isomorphe à une sphère.
  
  La métrique naturelle de la sphère de Bloch est la métrique de Fubini-Study.
  
  ## Le qubit
  
  Considérons un état pur $|\psi \rangle$ d'un système à deux niveaux. En toute généralité, on peut le décomposer sur les états propres de l'espace $|0\rangle$ et $|1\rangle$ par : $|\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle$ avec $\left|\alpha \right|^{2}+\left|\beta \right|^{2}=1$ et $(\alpha ,\beta )\in \mathbb {C} ^{2}$. De plus, puisque les facteurs de phase n'affectent pas l'état physique d'un système, nous pouvons sans perte de généralité supposer $\alpha$ réel positif, et réécrire $|\psi \rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\,|0\rangle +e^{i\phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\,|1\rangle$ avec $0\leq \theta \leq \pi ,\quad 0\leq \phi <2\pi .$
  
  Cette représentation décrit ψ sans ambiguïté. Les paramètres $\phi$ et $\theta$ spécifient de manière unique un point sur la sphère unité de $\mathbb {R} ^{3}$ ayant pour coordonnées cartésiennes : $\left\{{\begin{matrix}x&=&\sin \theta \times \cos \phi \\y&=&\sin \theta \times \sin \phi \\z&=&\cos \theta \end{matrix}}\right.$.
  
  Dans cette représentation, $|0\rangle \cong (0,0,1)$ et $|1\rangle \cong (0,0,-1)$.
  
  De plus, on peut calculer ${\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}\cong (1,0,0)$ et ${\frac {|0\rangle +i|1\rangle }{\sqrt {2}}}\cong (0,1,0)$
  
  