title: Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels
text: # Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels
  
  En mathématiques, le théorème de la dimension pour les espaces vectoriels énonce que deux bases quelconques d'un même espace vectoriel ont même $cardinalité^,^,.$ Joint au théorème de la base incomplète qui assure l'existence de bases, il permet de définir la dimension d'un espace vectoriel comme le cardinal (fini ou infini) commun à toutes ses bases.
  
  ## Énoncé
  
  Théorème — Dans un espace vectoriel E, le cardinal de toute partie libre est inférieur ou égal au cardinal de toute partie génératrice de E.
  
  (Donc par symétrie, deux bases quelconques ont même cardinal.)
  
  ## Démonstration
  
  Soient L libre et G génératrice de E, montrons que |L| ≤ |G|.
  
  ### Cas G finie
  
  Notons n = |G|. D'après le lemme de Steinitz, pour toute partie finie de L de cardinal m, on a m ≤ n. Par conséquent, L elle-même est (finie et) de cardinal inférieur ou égal à n.
  
  ### Cas G infinie
  
  Pour tout ℓ ∈ L, choisissons une partie finie f(ℓ) de G telle que ℓ appartienne au sous-espace engendré par f(ℓ). Pour tout K appartenant à l'ensemble Fin(G) des parties finies de G, on a (d'après le cas fini ci-dessus) $|f^{−1}({K})|$ ≤ |K| < $ℵ_0$ donc (d'après les propriétés générales des cardinaux)
  
  $|L|=\sum _{K\in {\rm {Fin}}(G)}|f^{-1}(\{K\})|\leq \sum _{K\in {\rm {Fin}}(G)}\aleph _{0}=|{\rm {Fin}}(G)|\aleph _{0}=|{\rm {Fin}}(G)|=|G|.$
  
  N.B. : cette démonstration pour le cas infini utilise l'axiome du choix, mais il existe des démonstrations n'utilisant que le lemme des ultrafiltres.
  
  