title: Inégalité de Markov
text: # Inégalité de Markov
  
  En théorie des probabilités, l'inégalité de Markov donne une majoration de la probabilité qu'une variable aléatoire réelle à valeurs positives soit supérieure ou égale à une constante positive. Cette inégalité a été nommée ainsi en l'honneur d'Andreï Markov.
  
  ## Énoncé
  
  Inégalité de Markov — Soit Z une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé $\left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right)$ et supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors
  
  $\forall a>0,\qquad \mathbb {P} (Z\geqslant a)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (Z)}{a}}.$
  
  Soit $a\in \mathbb {R} _{+}^{*}$. On note $\mathbf {1} _{\{Z\geqslant a\}}$ la fonction indicatrice de l'événement $\{Z\geqslant a\}$.
  
  On a l'inégalité :
  
  $\forall \omega \in \Omega ,\qquad a\,\mathbf {1} _{\{Z(\omega )\geqslant a\}}\leqslant Z(\omega )\,\mathbf {1} _{\{Z(\omega )\geqslant a\}}\leqslant Z(\omega )$
  
  car $Z$ est à valeurs positives ou nulles.
  
  Par croissance de l'espérance, on a :
  
  $\mathbb {E} \left(a\,\mathbf {1} _{\{Z(\omega )\geqslant a\}}\right)\leqslant \mathbb {E} (Z)\qquad (*)$
  
  Puis, par linéarité de l'espérance :
  
  $\mathbb {E} \left(a\,\mathbf {1} _{\{Z(\omega )\geqslant a\}}\right)=a\,\mathbb {E} \left(\mathbf {1} _{\{Z(\omega )\geqslant a\}}\right)=a\,\left(1\times \mathbb {P} (Z\geqslant a)+0\times \mathbb {P} (Z<a)\right)=a\,\mathbb {P} \left(Z\geqslant a\right)$
  
  En réinjectant l'expression dans l'inégalité $(*)$, on obtient :
  
  $a\,\mathbb {P} \left(Z\geqslant a\right)\leqslant \mathbb {E} (Z)$
  
  c'est-à-dire
  
  $\mathbb {P} \left(Z\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (Z)}{a}}$
  
  ### Généralisation
  
  Il existe une version plus générale de ce théorème. Soit X une variable aléatoire de $L^p(Ω,$ F, P){\textstyle L^{p}(\Omega , {\mathcal {F}}, \mathbb {P} )} où Ω est l'ensemble des réalisations, F{\textstyle {\mathcal {F}}} est la tribu des événements et P{\textstyle \mathbb {P} } la mesure de probabilité. Alors, l'inégalité de Markov peut être énoncée de la façon suivante :
  
  Inégalité de Tchebychev — Pour tout réel strictement positif $\alpha$,
  
  $\mathbb {P} \left(|X|\geq \alpha \right)\leq {\frac {\mathbb {E} \left(|X|^{p}\right)}{\alpha ^{p}}}$
  
  La démonstration tient entièrement au fait que pour tout α strictement positif, $α^p1$$_{{|X|≥α}}$$≤|X|^p{\textstyle$ \alpha ^{p}\mathbf {1} _{\left\{|X|\geq \alpha \right\}}\leq |X|^{p}}. Ici, $1_A$ désigne l'indicatrice de l'événement A. Par croissance de l'espérance, on obtient :
  
  $\mathbb {E} \left(|X|^{p}\right)\geq \mathbb {E} \left(\alpha ^{p}\,\mathbf {1} _{\left\{|X|\geq \alpha \right\}}\right)=\alpha ^{p}\,\mathbb {E} \left(\mathbf {1} _{\left\{|X|\geq \alpha \right\}}\right)=\alpha ^{p}\,\mathbb {P} \left\{|X|\geq \alpha \right\}$
  
  En divisant de part et d'autre de l'inégalité par $α^p$ on trouve le résultat recherché.
  
  On voit immédiatement que le résultat cité plus haut n'est rien d'autre qu'un cas particulier de cette inégalité.
  
  De plus en prenant X=Y−E(Y){\textstyle X=Y-\mathbb {E} \left(Y\right)} et p = 2 on obtient exactement l'énoncé de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
  
  ## Corollaire
  
  Elle possède un corollaire fréquemment utilisé :
  
  Corollaire — Soit ϕ une fonction croissante positive ou nulle sur un intervalle I. Soit Y une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé $\left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right)$ telle que $\mathbb {P} (Y\in I)=1$. Alors :
  
  $\forall b\in I\;|\;\phi (b)>0,\qquad \mathbb {P} (Y\geqslant b)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (\phi (Y))}{\phi (b)}}.$
  
  On applique l'inégalité de Markov à $Z=\phi (Y)\$ et à $a=\phi (b)$ pour obtenir :
  
  $\forall b>0,\qquad \mathbb {P} \left(\phi (Y)\geqslant \phi (b)\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (\phi (Y))}{\phi (b)}}$
  
  La croissance de $\phi$ entraîne : $\{Y\geqslant b\}\subset \{\phi (Y)\geqslant \phi (b)\}\$.
  
  Par conséquent : $\mathbb {P} (Y\geqslant b)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (\phi (Y))}{\phi (b)}}$.
  
  ## Applications
  
  * Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de $Y=|X-\mathbb {E} (X)|,~I=[0,+\infty [\$ et ϕ(x) = $x^2$ donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
  * Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de $Y=X-\mathbb {E} (X)$, ou bien $Y=\mathbb {E} (X)-X$, de $I=\mathbb {R}$, et de ϕ(x) = $e^{λx},$ λ > 0 , est le premier pas de la démonstration de l'inégalité de Chernoff ou de l'inégalité de Hoeffding.
  * L'inégalité de Markov est souvent appliquée conjointement au lemme de Borel-Cantelli, par exemple pour démontrer la loi forte des grands nombres.
  
  ## Exemple
  
  Les salaires étant positifs, la part de la population percevant un salaire supérieur à 5 fois le salaire moyen est au maximum d'un cinquième.
  
  