title: Théorème de la feuille compacte de Novikov
text: # Théorème de la feuille compacte de Novikov
  
  En mathématiques, le théorème de la feuille compacte de Novikov affirme que tout feuilletage de codimension 1 d'une variété tridimensionnelle compacte dont le revêtement universel n'est pas contractile possède une feuille compacte. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien russe Sergueï Novikov.
  
  ## Le théorème de la feuille compacte de Novikov pour $S^3$
  
  C'est un cas particulier du théorème précédent. Tout feuilletage différentiable de codimension 1 de la sphère $S^3$ possède une feuille compacte. Cette feuille est un des tores $T^2$ du feuilletage de Reeb.
  
  Il a été démontré par Sergueï Novikov en 1964 et avait été conjecturé antérieurement par Charles Ehresmann, en particulier à partir de l'exemple du feuilletage de Reeb.
  
  ## Le théorème de la feuille compacte de Novikov pour toute variété tridimensionnelle $M^3$
  
  En 1965, Novikov a généralisé ce théorème pour toute variété tridimensionnelle $M^3.$
  
  Soit $M^3$ une variété fermée tridimensionnelle munie d'un feuilletage F de codimension 1. Sous l'une quelconque des conditions suivantes :
  
  * Son groupe fondamental $\pi _{1}(M^{3})$ est fini,
  * Son deuxième groupe d'homotopie $\pi _{2}(M^{3})\neq 0$,
  * Il existe une feuille $L\in F$ telle que l'application $\pi _{1}(L)\to \pi _{1}(M^{3})$ induite par l'inclusion possède un noyau non trivial.
  
  alors F possède une feuille compacte de genre g ≤ 1. Excepté dans le cas(2), où la feuille fermée peut être $S^2$ or $RP^{2}$, le feuilletage contient un composant de Reeb.
  
  Ceci peut s'exprimer en termes de revêtement : tout feuilletage de codimension 1 d'une variété tridimensionnelle compacte dont le revêtement universel n'est pas contractile possède une feuille compacte.
  
  