title: Inégalité matricielle linéaire
text: # Inégalité matricielle linéaire
  
  En optimisation convexe, une inégalité matricielle linéaire (Linear matricial inequality ou LMI) est une expression de la forme
  
      $LMI(y):=A_{0}+y_{1}A_{1}+y_{2}A_{2}+\cdots +y_{m}A_{m}\geq 0\,$
  
  où
  
  * $y=[y_{i}\,,~i\!=\!1\dots m]$ est un vecteur réel,
  * $A_{0}\,,A_{1}\,,A_{2}\,,\dots \,A_{m}$ sont dans l'ensemble $S_{n}(\mathbb {R} )$ des matrices symétriques,
  * $B\geq 0$ signifie que $B$ est une matrice semi-définie positive appartenant au sous-ensemble $S_{n}^{+}(\mathbb {R} )$ de l'ensemble des matrices symétriques $S_{n}(\mathbb {R} )$.
  
  Cette inégalité matricielle linéaire caractérise un ensemble convexe selon y.
  
  ## Applications
  
  Il existe des méthodes numériques de résolution des LMI performantes pour déterminer notamment leur faisabilité (ie, s'il existe au moins un vecteur $y$ tel que $LMI(y)\geq 0$), ou pour effectuer une optimisation convexe sous contrainte LMI.
  
  De nombreux problèmes d'optimisation en Théorie du contrôle, Identification de système et Traitement du signal peuvent être formulés grâce à des LMI.
  
  ## Résolution des LMI
  
  Un résultat important en optimisation convexe provient de l'introduction de la Méthode du point intérieur. Cette méthode et ses dérivées ont été développées dans une série de publications et sont devenues le centre de l'attention dans le contexte des problèmes LMI dans les travaux de Yurii Nesterov et Arkadii Nemirovskii.
  
  