title: Éclatement (mathématiques)
text: # Éclatement (mathématiques)
  
  En mathématiques, un éclatement est un type d'application birationnelle entre variétés analytiques (en) ou algébriques
  
      $f:X\rightarrow Y$
  
  qui est un isomorphisme en dehors de sous-variétés propres
  
      $E\subset X,\ D\subset Y.$
  
  Le cas le plus simple est celui où D est un point ; E est alors un diviseur isomorphe à un espace projectif.
  
  ## Exemple
  
  L'éclatement de l'origine dans $\mathbf {C} ^{n}$ s'obtient de la façon suivante. Soit $P^{n–1}$ l'espace projectif de dimension n – 1 muni de coordonnées $y_{1},\ldots ,y_{n}$. Soit $X$ le sous-ensemble de $C^n$ × $P^{n–1}$ défini par les équations $x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}$ pour i, j = 1, ..., n. La projection
  
      $\pi :\mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}\to \mathbf {C} ^{n}$
  
  induit une application
  
      $f:X\to \mathbf {C} ^{n}$
  
  qui est un éclatement de l'origine.
  
  