title: Kappa de Cohen
text: # Kappa de Cohen
  
  En statistique, la méthode du κ (kappa) mesure l’accord entre observateurs lors d'un codage qualitatif en catégories. L'article introduisant le κ a pour auteur Jacob Cohen – d'où sa désignation de κ de Cohen – et est paru dans le journal Educational and Psychological Measurement en 1960. Le κ est une mesure d'accord entre deux codeurs seulement. Pour une mesure de l'accord entre plus de deux codeurs, on utilise le κ de Fleiss (1981).
  
  ## Définition
  
  Le calcul du κ se fait de la manière suivante :
  
      $\kappa ={\frac {\Pr(a)-\Pr(e)}{1-\Pr(e)}},\!$
  
  où Pr(a) est la proportion de l'accord entre codeurs et Pr(e) la probabilité d'un accord aléatoire. Si les codeurs sont totalement en accord, κ = 1. S'ils sont totalement en désaccord (ou en accord dû uniquement au hasard), κ ≤ 0.
  
  ## Exemple
  
  La méthode de Kappa mesure le degré de concordance entre deux évaluateurs, par rapport au hasard.
  
  ### Premier cas
  
  Supposons que deux évaluateurs (Marc et Mathieu) soient chargés de définir dans un groupe de 50 étudiants ceux qui seront reçus ou non à l'examen final. Chacun d'eux contrôle la copie de chaque étudiant et la note comme reçu ou non reçu (OUI ou NON). Le tableau ci-dessous donne les résultats :
  
  | | | Marc | Marc |
  | - | - | - | - |
  | | | OUI | NON |
  | Mathieu | OUI | a | b |
  | Mathieu | NON | c | d |
  | | | Marc | Marc |
  | | | OUI | NON |
  | Mathieu | OUI | 20 | 5 |
  | Mathieu | NON | 10 | 15 |
  
  L'observation des accords entre évaluateurs est :
  
  $P_{accord}=(a+d)/(a+b+c+d)=(20+15)/50=0.7{\textstyle$ P_{accord}={\frac {a+d}{a+b+c+d}}={\frac {20+15}{50}}=0.7}
  
  Pour calculer la probabilité d'accord « au hasard », on note que :
  
  * Mathieu a noté « OUI » à 25 étudiants, soit 50 % des cas.
  * Marc a noté « OUI » dans 60 %, soit 30 étudiants sur 50.
  
  Ainsi la probabilité attendue que les deux correcteurs notent « OUI » est : $P_{OUI}={\frac {a+b}{a+b+c+d}}\times {\frac {a+c}{a+b+c+d}}=0,5\times 0,6=0,3$
  
  De même la probabilité que les deux correcteurs notent « NON » est : $P_{NON}={\frac {c+d}{a+b+c+d}}\times {\frac {b+d}{a+b+c+d}}=0,5\times 0,4=0,2$
  
  La probabilité globale que les correcteurs soient en accord est donc : $P_{Hasard}=P_{OUI}+P_{NON}=0,3+0,2=0,5$
  
  La formule de Kappa donnera alors : $\kappa ={\frac {P_{accord}-P_{Hasard}}{1-P_{Hasard}}}={\frac {0.7-0.5}{1-0.5}}=0.4$
  
  ### Second cas
  
  Dans une autre proportion nous aurions obtenu :
  
  | | | Marc | Marc |
  | - | - | - | - |
  | | | OUI | NON |
  | Mathieu | OUI | 25 | 2 |
  | Mathieu | NON | 3 | 20 |
  
  L'observation des accords entre évaluateurs est :
  
  $P_{accord}=(a+d)/(a+b+c+d)=(25+20)/50=0,$ 9{\textstyle P_{accord}={\frac {a+d}{a+b+c+d}}={\frac {25+20}{50}}=0, 9}
  
  Pour calculer la probabilité d'accord « au hasard », on note que :
  
  * Mathieu a noté « OUI » à 27 étudiants, soit 54 % des cas,
  * et que Marc a noté « OUI » dans 56 %.
  
  Ainsi la probabilité attendue que les deux correcteurs notent « OUI » est : $P_{OUI}={\frac {a+b}{a+b+c+d}}\times {\frac {a+c}{a+b+c+d}}=0,54\times 0,56=0,3024$
  
  De même la probabilité que les deux correcteurs notent « NON » est : $P_{NON}={\frac {c+d}{a+b+c+d}}\times {\frac {b+d}{a+b+c+d}}=0,46\times 0,44=0,2024$
  
  La probabilité globale que les correcteurs soient en accord est donc : $P_{Hasard}=P_{OUI}+P_{NON}=0,3024+0,2024=0,5048$
  
  La formule de Kappa donnera alors : $\kappa ={\frac {P_{accord}-P_{Hasard}}{1-P_{Hasard}}}={\frac {0,9-0,5048}{1-0,5048}}=0,7981$
  
  ## Ordres de grandeur
  
  Landis et Koch ont proposé le tableau suivant pour interpréter le κ de Cohen. Il s'agit d'ordres de grandeurs qui ne font pas consensus dans la communauté scientifique, notamment parce que le nombre de catégories influe sur l'estimation obtenue : moins il y a de catégories, plus κ est élevé.
  
  | $\kappa$ | Interprétation |
  | - | - |
  | < 0 | Désaccord |
  | 0,00 — 0,20 | Accord très faible |
  | 0,21 — 0,40 | Accord faible |
  | 0,41 — 0,60 | Accord modéré |
  | 0,61 — 0,80 | Accord fort |
  | 0,81 — 1,00 | Accord presque parfait |
  