title: Écoulement de Hiemenz
text: # Écoulement de Hiemenz
  
  L'écoulement de Hiemenz est un écoulement potentiel de point d'arrêt en symétrie plane dont la solution est analytique au sens où elle se ramène à la résolution d'une simple équation différentielle. Il a été décrit par Karl Hiemenz dans sa thèse à l'université de Göttingen en 1911 et a été étendu au cas de la symétrie de révolution par Fritz Homann en 1936.
  
  ## Solution de Hiemenz
  
  Le problème posé est celui d'un écoulement irrotationnel impactant un cylindre perpendiculairement à celui-ci. Le potentiel est $\textstyle \psi =axz$, $\textstyle z$ étant l'axe portant l'écoulement amont. Les composantes de la vitesse dans le milieu amont sont :
  
      $U=ax\,,\quad V=-az$
  
  Si $\textstyle p_{0}$ est la pression au point d'arrêt, la pression en tout point est donnée par la conservation de quantité de mouvement :
  
         $p_{0}-p={\frac {1}{2}}\rho \,(U^{2}+V^{2})={\frac {1}{2}}\rho \,a^{2}(x^{2}+z^{2})$
  
  Au voisinage de la paroi il apparaît une couche limite et la solution générale est recherchée sous la forme suivante :
  
         $u=xf'(z)\,,\quad v=-f(z)\,,\quad p_{0}-p={\frac {1}{2}}\rho \,a^{2}(x^{2}+F(z)^{2})$
  
  Ces équations satisfont par construction à l'équation de continuité. La conservation de quantité de mouvement conduit à :
  
         $f'^{2}-ff'=a^{2}+\nu f'''$
         $ff'={\frac {1}{2}}a^{2}F'-\nu f''$
  
  où υ est la viscosité cinématique.
  
  Les conditions aux limites sont :
  
         $f(0)=0\,,\quad f'(0)=0\,,\quad F(0)=0\,,\quad \lim \limits _{z\to \infty }{f'}=a$
  
  La première équation est indépendante et peut être transformée en posant :
  
         $\eta =\alpha z\,,\quad f(z)=A\phi (\eta )$
  
  Elle devient :
  
         $\alpha ^{2}A^{2}(\phi '^{2}-\phi \phi '')=a^{2}+\nu A\alpha ^{3}\phi '''$
  
  En posant :
  
         $\alpha ^{2}A^{2}=a^{2}\,,\quad \nu A\alpha ^{3}=a^{2}\quad \Rightarrow \quad \eta ={\sqrt {\frac {a}{\nu }}}z\,,\quad f(z)={\sqrt {a\nu }}\,\phi (\eta )$
  
  Elle devient l'équation adimensionée :
  
         $\phi '''+\phi \phi ''-\phi ^{2}+1=0$
  
  avec les conditions aux limites :
  
         $\phi (0)=0\,,\quad \phi '(0)=0\,,\quad \lim \limits _{\eta \to \infty }{\phi '}=1$
  
  La vitesse relative parallèle à la paroi (dans la « couche limite ») est indépendante de x :
  
         ${\frac {u}{U}}={\frac {1}{a}}f'(z)=\phi '(\eta )$
  
  L'accélération pariétale est $\textstyle \phi ''(0)=1,2326$.
  
  Si l'on prend pour définition de l'épaisseur de couche limite $\textstyle {\frac {u}{U}}=0.99$, l'épaisseur de celle-ci (voir courbe) est donnée par $\textstyle \delta \approx 2.4{\sqrt {\frac {\nu }{a}}}$.
  
  ## Généralisations
  
  La méthode a été généralisée à un point d'arrêt axisymétrique, à un jet en incidence et à des parois en mouvement, par exemple un cylindre en rotation.
  
  