title: Uplet
text: # Uplet
  
  En mathématiques, un uplet (désigné aussi par liste , famille finie, ou suite finie) est une collection ordonnée finie d'objets. Plus précisément, si n est un entier naturel, alors un n-uplet, ou n-uple, ou n-liste est une collection ordonnée de n objets, appelés « composantes » ou « éléments » ou « termes » du n-uplet.
  
  En programmation informatique, on trouve une notion équivalente dans certains langages, tels que Python, Rust, OCaml, Scala, Swift ou MDX. Dans les langages fonctionnels, les tuples sont réalisés comme types produits ; dans les langages impératifs, on trouve des tuples nommés, où les composantes sont repérées par un nom, sous la forme de struct (C) ou record (Pascal).
  
  Note : l'utilisation du terme anglais tuple, suffixe de quin-tuple/sex-tuple/…, est courante dans des ouvrages de programmation informatique en français.
  
  ## Définitions et propriétés
  
  * Pour n > 0, si nous notons $a_1$ le premier élément, $a_2$ le deuxième élément, …, $a_n$ le n-ième élément, le n-uplet s'écrit : $(a_1,a_2,…,a_n).$
  * Le 0-uplet s'écrit $$.
  * Un n-uplet ne peut être égal à un p-uplet qu'à la condition que n et p soient égaux.
  * L'égalité des n-uplets se définit par
  
      $(a_1,a_2,…,a_n)$ = $(b_1,$ $b_2,…,b_n)$ si et seulement si $a_1$ = $b_1$ et $a_2$ = $b_2$ … et $a_n$ = $b_n.$
  
  En résumé, un n-uplet dont les composantes sont dans un ensemble E est un élément du produit cartésien $E^{n}$.
  
  * Si E est fini, l'ensemble $E^{n}$ des n-uplets dont les composantes sont dans E est fini. L'ensemble $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E^{n}$des uplets dont les composantes sont dans E est dénombrable.
  
  ## Cas particuliers
  
  * un 2-uplet est appelé couple (ou doublet) ;
  * un 3-uplet est appelé triplet ;
  * un 4-uplet est appelé quadruplet ;
  * un 5-uplet est appelé quintuplet ;
  * un 6-uplet est appelé sextuplet ;
  * etc.
  
  ## Exemples
  
  * (1, 2) ≠ (2, 1).
  * Si le premier élément et le deuxième sont 1, si le troisième est 5 et si le quatrième est 20, alors le quadruplet formé par ces éléments s'écrit (1, 1, 5, 20).
  * Si le premier élément est ♥, le deuxième et le quatrième sont ♣ et le troisième est ♦, alors le quadruplet formé par ces éléments s'écrit : (♥, ♣, ♦, ♣).
  * La n-ième puissance cartésienne $E^n$ d'un ensemble E est l'ensemble des n-uplets d'éléments de E.
  * Plus généralement, le produit cartésien $E_1$ × … × $E_n$ de n ensembles $E_1,$ …, $E_n$ est l'ensemble des n-uplets $(a_1,a_2,…,a_n)$ où $a_1$ appartient à $E_1,$ …, $a_n$ appartient à $E_n.$
  * De manière générale, les coordonnées sont des n-uplets. En particulier, les points de l'espace vectoriel ordinaire sont représentés par des triplets de nombres réels.
  * Les nombres complexes peuvent se construire à partir de couples de nombres réels.
  * Un quaternion peut être représenté par un quadruplet de nombres réels.
  * En théorie des nombres, les mathématiciens s'intéressent notamment aux triplets, quadruplets, quintuplets, sextuplets, etc. de nombres premiers.
  * En informatique, les objets d'un type de données enregistrement sont des n-uplets.
  * Un n-uplet constitue les paramètres d'une fonction informatique ou les arguments d'une fonction mathématique à n variables.
  
  ## Formalisation
  
  D'après la définition par récurrence du produit cartésien de n ensembles, un n-uplet peut être défini à partir de la notion de couple, qui elle-même peut se définir en termes d'ensembles :
  
      $(a_1,$ $a_2,$ … $,a_n)$ = ((… $((a_1,$ $a_2),$ $a_3),$ … , $a_{n–1}),$ $a_n)$
  
  (c'est-à-dire qu'un (n + 1)-uplet est un couple dont la première composante est un n-uplet). Autrement dit :
  
  * ∅ est un 0-uplet
  * si x = $(a_1,$ $a_2,$ … $,a_n)$ est un n-uplet, alors $(x,a_{n+1})$ est un (n+1)-uplet, et $(a_1,$ $a_2,$ … $,a_n,$ $a_{n+1})$ = (x, $a_{n+1}).$
  
  La propriété caractéristique des n-uplets (la définition de l'égalité) se démontre immédiatement par récurrence à partir de celle des couples.
  
  On a choisi pour définir un n+1-uplet d'ajouter un élément « à la fin » d'un n-uplet : c'est arbitraire, et il est possible de commencer par le début, c'est-à-dire de définir un n+1-uplet comme un couple dont la seconde composante est un n-uplet. Ceci conduit à une définition différente mais qui a les mêmes propriétés.
  
  Il est enfin possible de définir un n-uplet comme une suite finie, c'est-à-dire une fonction définie sur un ensemble fini, {0, …, n – 1} ou {1, …, n}.
  
  