title: Transformation de Fortescue
text: # Transformation de Fortescue
  
  En électrotechnique, la transformation de Fortescue est utilisée afin de simplifier l'analyse des systèmes électriques triphasés déséquilibrés. Il s'agit mathématiquement d'un changement de base. L'idée de base est qu'un système asymétrique de N phaseurs (3 pour le triphasé) peut être décomposé comme la somme de N systèmes symétriques. La transformation de Fortescue est ainsi également appelée méthode des composantes symétriques. Un système triphasé, que ce soit des courants, des tensions, des flux..., se décompose ainsi en trois systèmes équilibrés (ou symétriques) :
  
  * un système équilibré direct noté $G_d$ ;
  * un système équilibré inverse noté $G_i$ ;
  * un système de tension homopolaire noté $G_o$ (en réalité une grandeur monophasée que l'on divise en 3 pour le calcul matriciel).
  
  Après transformation, les trois vecteurs forment une famille libre. La méthode est principalement utilisée pour le calcul des courants de court-circuit.
  
  ## Histoire
  
  En 1918, Charles Legeyt Fortescue avec son équipe (R.E. GILMAN, J.F. PETERS, J. SLEPIAN) présente une publication qui démontre qu'un ensemble de N phaseurs déséquilibrés peut être décomposé comme la somme de N systèmes de phaseurs équilibrés pour le peu que N soit un nombre premier. Les phaseurs ont tous la même $fréquence^,.$
  
  La méthode a été employée en premier par les ingénieurs des sociétés General Electric et Westinghouse. Elle est universellement utilisée depuis la Deuxième Guerre mondiale.
  
  ## Principe
  
  Dans le cas d'un système triphasé, pour le système direct les trois phaseurs sont disposés de manière qu'un observateur voit défiler les trois phases dans l'ordre 1, 2 puis 3. Pour le système indirect, l'observateur voit d'abord la phase 1 puis la 3 et enfin la 2. Pour le système homopolaire, les trois vecteurs sont en phase (voir figure ci-contre).
  
  En analysant dans cette nouvelle base les différents composants du réseau électrique : générateurs, transformateurs, lignes hautes tensions... il devient possible de calculer facilement les différents courants de court-circuit.
  
  Dans un transformateur, les courants directs créent un champ tournant dans un sens, les courants indirects un champ tournant dans le sens opposé, enfin les courants homopolaires créent un champ immobile qui oscille en amplitude. Les relais utilisés en protection électrique utilisent ces propriétés pour différencier les différents défauts électriques. L'apparition d'un système indirect est un bon indicateur d'un problème.
  
  ## Systèmes triphasés homopolaires
  
  Comme expliqué précédemment, ce n'est pas vraiment un système triphasé car cela correspond à un système de 3 tensions en phase :
  
      $g_{1}=G_{1}\sin(\omega t+\varphi _{1})$
      $g_{2}=G_{2}\sin(\omega t+\varphi _{2})$
      $g_{3}=G_{3}\sin(\omega t+\varphi _{3})$
  
  L'intérêt de ce « faux système triphasé » est de faciliter l'écriture matricielle de la transformation de Fortescue.
  
  ## Matrice de transformation
  
  Le but est de trouver les valeurs de $G_d,$ $G_i$ et $G_o$ à partir de $G_1,$ $G_2$ et $G_3.$
  
  ### Calcul de $G_o$
  
  Comme la somme des trois grandeurs d'un système équilibré est nulle, on a forcément :
  
      $3G_{o}\sin(\omega t+\varphi _{o})=G_{1}\sin(\omega t+\varphi _{1})+G_{2}\sin(\omega t+\varphi _{2})+G_{3}\sin(\omega t+\varphi _{3})$
  
  ### Opérateur de rotation : a
  
      Remarque : Une grandeur soulignée représente le nombre complexe associé à la grandeur sinusoïdale considérée.
  
  C'est un nombre complexe de module 1 et d'argument ${\tfrac {2}{3}}\pi$ : ${\underline {a}}=e^{j{\frac {2}{3}}\pi }$
  
  Le résultat de sa multiplication par le nombre complexe associé à une grandeur correspond à une autre grandeur de même amplitude et déphasée de ${\tfrac {2}{3}}\pi$ par rapport à la grandeur initiale. Il correspond à une rotation de ${\tfrac {2}{3}}\pi$ dans le plan de Fresnel.
  
  Il vérifie les propriétés suivantes :
  
  * ${\underline {a}}^{3}=1$
  * $1+{\underline {a}}+{\underline {a}}^{2}=0$
  
  ### Matrice de Fortescue
  
  ${\begin{bmatrix}{\underline {G}}_{1}\\{\underline {G}}_{2}\\{\underline {G}}_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&{\underline {a}}^{2}&{\underline {a}}\\1&{\underline {a}}&{\underline {a}}^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\underline {G}}_{o}\\{\underline {G}}_{d}\\{\underline {G}}_{i}\end{bmatrix}}$
  
  ### Matrice de Fortescue inverse
  
  ${\begin{bmatrix}{\underline {G}}_{0}\\{\underline {G}}_{d}\\{\underline {G}}_{i}\end{bmatrix}}={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}1&1&1\\1&{\underline {a}}&{\underline {a}}^{2}\\1&{\underline {a}}^{2}&{\underline {a}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\underline {G}}_{1}\\{\underline {G}}_{2}\\{\underline {G}}_{3}\end{bmatrix}}$
  
  