title: Nombre carré triangulaire
text: # Nombre carré triangulaire
  
  En mathématiques, un nombre triangulaire carré est un nombre triangulaire qui est de plus carré. Il y a une infinité de tels nombres.
  
  Ils s'écrivent sous la forme
  
  $N_{k}={\frac {\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}}{32}}={\frac {\left(\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}\right)^{2}}{32}},\quad k\in \mathbb {N} ^{*}.$
  
  ## Démonstration
  
  Le problème se ramène à la résolution d'une équation diophantienne de la manière suivante.
  
  Tout nombre triangulaire est de la forme t(t + 1)/2. On recherche donc les entiers t et s tels que t(t + 1)/2 = $s^2,$ c'est-à-dire, en posant x = 2t + 1 et y = 2s, les solutions de l'équation de Pell-Fermat
  
  $x^{2}-2y^{2}=1.$
  
  Les solutions sont données par
  
  $x_{k}+y_{k}{\sqrt {2}}=(1+{\sqrt {2}})^{2k},$
  
  soit
  
  $x_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}+(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{2}}\quad {\rm {et}}\quad y_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{2{\sqrt {2}}}}.$
  
  On trouve donc
  
  $t_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}+(1-{\sqrt {2}})^{2k}-2}{4}}\quad {\rm {et}}\quad s_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{4{\sqrt {2}}}},$
  
  d'où la valeur annoncée pour $N_k$ = $s_k^2.$
  
  ## Observations numériques
  
  | k | $N_k$ | $s_k$ | $t_k$ | $t_k/s_k$ |
  | - | - | - | - | - |
  | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
  | 2 | 36 | 6 | 8 | 1,3… |
  | 3 | 1 225 | 35 | 49 | 1,4 |
  | 4 | 41 616 | 204 | 288 | 1,411… |
  | 5 | 1 413 721 | 1 189 | 1 681 | 1,413… |
  | 6 | 48 024 900 | 6 930 | 9 800 | 1,4141… |
  | 7 | 1 631 432 881 | 40 391 | 57 121 | 1,41420… |
  | 8 | 55 420 693 056 | 235 416 | 332 928 | 1,414211… |
  | 9 | 1 882 672 131 025 | 1 372 105 | 1 940 449 | 1,4142132… |
  
  (voir la suite A001110 de l'OEIS pour quelques valeurs suivantes de $N_k).$
  
  Lorsque k tend vers l'infini, le rapport
  
  ${\frac {t_{k}}{s_{k}}}={\frac {x_{k}-1}{y_{k}}}\sim {\frac {x_{k}}{y_{k}}}$
  
  tend vers la racine carrée de deux et
  
  ${N_{k+1} \over {N_{k}}}={s_{k+1}^{2} \over s_{k}^{2}}\to (1+{\sqrt {2}})^{4}.$
  
  