title: Lemme de Krasner
text: # Lemme de Krasner
  
  En théorie des nombres, plus spécifiquement en analyse p-adique, le lemme de Krasner est un résultat de base, dû à Marc Krasner, reliant la topologie d'un corps non archimédien complet à ses extensions algébriques.
  
  ## Énoncé
  
  Soit $K$ un corps valué complet non archimédien et soit ${\bar {K}}$ une clôture algébrique séparable de $K$. Étant donné un élément $\alpha$ dans ${\bar {K}}$, notons $\alpha _{2},\ldots \alpha _{n}$ ses conjugués de Galois. Le lemme de Krasner s'énonce de la façon $suivante^,^,.$
  
  Lemme de Krasner — Si un élément $\beta$ de ${\bar {K}}$ est tel que $\left|\alpha -\beta \right|<\left|\alpha -\alpha _{i}\right|$ pour $i=2,\dots ,n$, alors $K(\alpha )\subseteq K(\beta )$.
  
  ## Applications
  
  * Le lemme de Krasner peut être utilisé pour montrer que la complétion p-adique et la clôture séparable des corps globaux commutent. En d'autres termes, étant donné un idéal premier ${\mathfrak {p}}$ d'un corps global $L$, la clôture séparable de la complétion ${\mathfrak {p}}$-adique de $L$ est égale à la complétion ${\bar {\mathfrak {p}}}$-adique de la clôture séparable de $L$, où ${\bar {\mathfrak {p}}}$ est un idéal premier de ${\bar {L}}$ au-dessus de (qui contient) ${\mathfrak {p}}$.
  * Une autre application consiste à prouver que $\mathbf {C} _{p}$, la complétion de la clôture algébrique de $\mathbf {Q} _{p}$, est algébriquement $clos^,.$
  
  ## Généralisation
  
  Le lemme de Krasner admet la généralisation suivante. Considérons un polynôme unitaire
  
         $f^{*}=\prod _{k=1}^{n}(X-\alpha _{k}^{*})$
  
  de degré $n>1$ à coefficients dans un corps hensélien $(K,v)$ et ayant ses racines dans la clôture algébrique ${\bar {K}}$. Soient I et $J$ deux ensembles disjoints non vides dont l'union est $\{1,\ldots ,n\}$. Considérons de plus un polynôme
  
         $g=\prod _{i\in I}(X-\alpha _{i})$
  
  à coefficients et racines dans ${\bar {K}}$ et supposons que . Supposons que
  
         $v(\alpha _{i}-\alpha _{i}^{*})>v(\alpha _{i}^{*}-\alpha _{j}^{*})$ pour tout $i\in I$ et tout $j\in J$.
  
  Alors les coefficients des polynômes
  
         $g^{*}:=\prod _{i\in I}(X-\alpha _{i}^{*})$ et $\ h^{*}:=\prod _{j\in J}(X-\alpha _{j}^{*})$
  
  sont contenus dans l'extension de $K$ engendré par $g$. (Le lemme de Krasner original correspond au cas où $g$ est de degré 1.)
  
  