title: Vecteur directeur
text: # Vecteur directeur
  
  En mathématiques, on appelle vecteur directeur d'une droite $(D)$ tout vecteur ${\vec {U}}$, non nul, qui possède la même direction que la droite $(D)$ .
  
  Pour une droite donnée, il existe une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires entre eux.
  
  ## Propriétés
  
     Propriété : Deux vecteurs directeurs d'une même droite sont colinéaires.
  
  Théorème — Soit une droite $(D)$ du plan repéré par le repère $(O;{\vec {i}};{\vec {j}})$. Si une équation de $(D)$ est $ax+by+c=0$, alors les deux vecteurs de coordonnées respectives $(-b;a)$ et $(b;-a)$ sont des vecteurs directeurs de $(D)$.
  
  Par exemple, supposons que l'équation d'une droite soit $3x-2y+15=0$, alors $(2;3)$ et $(-2;-3)$ sont tous les deux des vecteurs directeurs.
  
  Soit un point $A(x;y)$ appartenant à $(D)$. On a alors $ax+by+c=0$. Soit le point $B(x-b;y+a)$, qui est distinct de A puisque a et b ne sont pas tous les deux nuls ; on peut vérifier qu'il appartient aussi à $(D)$ :
  
  $a(x-b)+b(y+a)+c=ax-ba+ba+by+c=0\,$
  
  ${\vec {AB}}\,$
  
  $(-b;a)\,$
  
  