title: Lemme de Kronecker
text: # Lemme de Kronecker
  
  Le lemme de Kronecker est un résultat d'analyse concernant les séries de nombres réels.
  
  Enoncé —  Si $u_{n}$ est le terme général d'une série convergente, et si $(b_{n})_{n}$ est une suite croissante de réels positifs divergeant vers l'infini, alors :
  
  $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}u_{k}=0$
  
  Sa forme la plus connue, utilisée en particulier en probabilités dans une preuve classique de la loi des grands nombres, est la suivante :
  
  Si la série de terme général ${\frac {x_{n}}{n}}$ converge alors ${\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}x_{k}$ tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.
  
  ## Preuve
  
  Notons $s_{n}:=\sum _{k=n}^{\infty }u_{k}$ et $b_{0}:=0$. Une transformation d'Abel donne :
  
  ${\begin{aligned}{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}u_{k}&={\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}(s_{k}-s_{k+1})\\&={\frac {1}{b_{n}}}\left(\sum _{k=1}^{n}(b_{k}-b_{k-1})s_{k}-b_{n}s_{n+1}\right)\\&={\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}(b_{k}-b_{k-1})s_{k}-s_{n+1}\end{aligned}}$
  
  Comme la suite $(s_{n})_{n}$ tend vers 0, le second terme tend vers 0, et le premier aussi d'après le lemme de Cesàro généralisé.
  
  