title: Lemme de Fitting
text: # Lemme de Fitting
  
  En mathématiques, le lemme de Fitting est un énoncé d'algèbre d'après lequel si M est un module indécomposable et de longueur finie alors tout endomorphisme de M est soit bijectif, soit nilpotent. Il en résulte que l'anneau des endomorphismes de M est local.
  
  ## Énoncé
  
  Si M est un module de longueur finie n et f un endomorphisme de M alors
  
  $M=\ker(f^{n})\oplus \mathrm {im} (f^{n}).$
  
  ## Démonstration
  
  Par hypothèse sur la longueur de M, on a
  
  $\ker(f^{n+1})=\ker(f^{n})\quad {\text{et}}\quad \mathrm {im} (f^{n+1})=\mathrm {im} (f^{n}).$
  
  De ces égalités on déduit respectivement
  
  $\ker(f^{n})\cap \mathrm {im} (f^{n})=0\quad {\text{et}}\quad \ker(f^{n})+\mathrm {im} (f^{n})=M.$
  
  ## Conséquences
  
  * Sous les hypothèses du lemme, f se restreint en un endomorphisme nilpotent de $ker(f^n)$ et un automorphisme de $im(f^n).$
  * Si M est de plus indécomposable alors f est soit nilpotent, soit inversible, et l'anneau End(M) est local.
  * Ce lemme permet de démontrer le théorème de Krull-Schmidt sur l'unicité de la décomposition d'un module de longueur finie en somme directe d'indécomposables.
  