title: Équation de Cole-Cole
text: # Équation de Cole-Cole
  
  L'équation de Cole-Cole est un modèle de relaxation qui est souvent utilisé pour décrire la relaxation diélectrique de polymères.
  
  Elle est donnée par
  
      $\varepsilon ^{*}(\omega )=\varepsilon _{\infty }+{\frac {\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }}{1+(i\omega \tau )^{1-\alpha }}}$
  
  où $\varepsilon ^{*}$ est la constante diélectrique (ou permittivité relative) complexe, $\varepsilon _{s}$ et $\varepsilon _{\infty }$ sont les constantes diélectriques « statique » et « fréquence infinie », $\omega$ est la fréquence angulaire et $\tau$ est un temps caractéristique.
  
  Le paramètre $\alpha$, qui prend une valeur comprise entre 0 et 1, permet de décrire différentes formes spectrales. Quand $\alpha =0$, le modèle Cole-Cole se réduit au modèle de Debye. Quand $\alpha >0$, la relaxation est étirée, c'est-à-dire qu'elle s'étend sur une plage plus large que la relaxation de Debye.
  
  La séparation de la constante diélectrique complexe $\varepsilon (\omega )$ a été donnée dans l'article original de Cole et Cole comme suit :
  
      $\varepsilon '=\varepsilon _{\infty }+(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }){\frac {1+(\omega \tau )^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2}{1+2(\omega \tau )^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2+(\omega \tau )^{2(1-\alpha )}}}$
      $\varepsilon ''={\frac {(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty })(\omega \tau )^{1-\alpha }\cos \alpha \pi /2}{1+2(\omega \tau )^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2+(\omega \tau )^{2(1-\alpha )}}}$
  
  Ces dernières expressions se traduisent, après introduction des fonctions hyperboliques, par
  
      $\varepsilon '=\varepsilon _{\infty }+{\frac {1}{2}}(\varepsilon _{0}-\varepsilon _{\infty })\left[1-{\frac {\sinh((1-\alpha )x)}{\cosh((1-\alpha )x)+\cos \alpha \pi /2}}\right]$
      $\varepsilon ''={\frac {1}{2}}(\varepsilon _{0}-\varepsilon _{\infty }){\frac {\cos \alpha \pi /2}{\cosh((1-\alpha )x)+\sin \alpha \pi /2}}$
  
  Où $x=\ln(\omega \tau )$.
  
  On retrouve les expressions de Debye lorsque $\alpha =0$.
  
  La relaxation de Cole-Cole constitue un cas particulier de la relaxation de Havriliak-Negami lorsque le paramètre de symétrie (β) est égal à 1, c'est-à-dire lorsque les pics de relaxation sont symétriques. Un autre cas particulier de relaxation de Havriliak-Negami (β<1, α=1) est connu sous le nom de « relaxation de Cole-Davidson ».
  
  