title: Modèle booléen (probabilités)
text: # Modèle booléen (probabilités)
  
  En théorie des probabilité, le modèle booléen est un cas particulier du modèle germe-grain pour lequel les germes sont générés à partir d'un processus ponctuel de Poisson.
  
  ## Définition
  
  Soit ${\mathcal {C}}^{(d)}$ l'ensemble des sous-ensembles compactes et non vides de $\mathbb {R} ^{d}$. On notera que ${\mathcal {C}}^{(d)}$ équipé de la distance de Hausdorff est un espace métrique séparable et complet. On note ${{\mathcal {B}}({\mathcal {C}}^{(d)})}$ la tribu borélienne associée.
  
  Soit ℚ une mesure de probabilité sur ${({\mathcal {C}}^{(d)},{\mathcal {B}}({\mathcal {C}}^{(d)}))}$ et soit ${\xi =\sum _{n=1}^{\infty }\delta _{(X_{n},Z_{n})}}$ un processus ponctuel de Poisson marqué d'intensité $\lambda$ dont les marques sont induites par la probabilité ℚ. Alors, ${Z:=\cup _{n=1}^{\infty }(X_{n}+Z_{n})}$ est un modèle booléen d'intensité $\lambda$ et avec les grains de distributions ℚ.
  
  