title: Lemme de Hadamard
text: # Lemme de Hadamard
  
  Le lemme de Hadamard est un résultat de calcul différentiel très utile pour trouver des modèles locaux de fonctions différentiables. Il est utilisé par exemple dans la preuve du lemme de Morse.
  
  ## Énoncé
  
  Soit $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ une fonction de classe $C^{p}$ avec $p\geq 1$. Alors pour tout $a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$, il existe des fonctions $g_{1},\cdots g_{n}$, de classe $C^{p-1}$ telles que pour tout $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$,
  
  $f(x)=f(a)+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-a_{i})g_{i}(x).$
  
  ## Démonstration
  
  On a $f(x)-f(a)=\int _{0}^{1}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}f(a+t(x-a))~{\rm {d}}t$ (second théorème fondamental de l'analyse).
  
  Mais ${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}f(a+t(x-a))=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-a_{i}){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))$ (théorème de dérivation des fonctions composées).
  
  Le résultat s'ensuit, avec $g_{i}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))~{\rm {d}}t$ qui est $C^{p-1}$ en raison du théorème de dérivation sous le signe somme (règle de Leibniz).
  
  ## Remarques
  
  * On a nécessairement $g_{i}(a)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)$.
  * Les fonctions $g_{i}$ ne sont pas uniques.
  
  ## Applications
  
  Par application du lemme, on peut justifier que pour toute fonction lisse f telle que f(0) = 0, la fonction qui à x associe f(x)/x est lisse et bien définie. Par exemple, le sinus cardinal est bien défini.
  
  