title: Équation différentielle d'Euler
text: # Équation différentielle d'Euler
  
  En mathématiques, l'équation d'Euler ou équation de Cauchy-Euler est une équation différentielle linéaire de la forme suivante :
  
      $a_{n}x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\ldots +a_{0}y(x)=f(x)\,\qquad (a_{n}\neq 0).$
  
  Elle peut être ramenée par changement de variable à une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
  
  ## Résolution
  
  Pour appliquer la théorie générale des équations linéaires, on s'intéresse dans un premier temps à l'équation homogène associée, et en se plaçant sur un intervalle où $x^n$ ne s'annule pas : $]-\infty ,0[$ ou $]0,+\infty [$. Dans le premier cas on posera le changement de variable x = – $e^u$ et dans le second x = $e^u.$ On pose ensuite g(u) = $y(e^u).$ Grâce à ces changements de variables, l'équation différentielle d'Euler est alors ramenée à une équation différentielle à coefficients constants, en g, qu'on peut résoudre explicitement.
  
  ### Résolution pour le cas du second ordre
  
  Un cas commun de l'équation de Cauchy est celui du second ordre (n=2), qui apparaît dans plusieurs problèmes physiques comme la résolution de l'équation de Laplace en coordonnées polaires. On peut donc ramener l'équation à la forme
  
      $x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0.\,$
  
  On cherche donc une solution simple de la forme
  
      $y=x^{m}.\,$
  
  et il faut dès lors trouver les valeurs de m vérifiant
  
      $x^{2}(m(m-1)x^{m-2})+ax(mx^{m-1})+b(x^{m})=0\,$
  
  La recherche des solutions m de l'équation du second degré
  
      $m^{2}+(a-1)m+b=0.\,$
  
  amènent classiquement à trois cas :
  
  * Deux racines réelles distinctes $m_1$ et $m_2;$
  * Une racine double m;
  * Deux racines complexes conjuguées α ± β i.
  
  Le cas 1 donne une solution de la forme
  
      $y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}\,$
  
  Le cas 2 donne
  
      $y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}\,$
  
  Le cas 3 donne une solution de la forme
  
      $y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))\,$
      $\alpha =\mathop {\rm {Re}} (m)\,$
      $\beta =\mathop {\rm {Im}} (m)\,$
  
  avec $c_1,$ $c_2$ ∈ ℝ .
  
  