title: Équation de Mathieu
text: # Équation de Mathieu
  
  En physique mathématique, on appelle équation de Mathieu une équation mise en évidence par Émile Mathieu au XIXe siècle.
  
  C'est un cas particulier de l'équation de Hill : ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+G(t)x=0$ où $G(t)$ est une fonction périodique, avec :
  
      $G(t)=a-2q\cos(2t)$, périodique de période T=π.
  
  Son comportement est assez particulier (résonance paramétrique, existence de sous-harmoniques, etc.). Émile Mathieu l'a rencontrée (1865) en étudiant les vibrations d'une membrane elliptique.
  
  Ses solutions seront appelées les fonctions de Mathieu.
  
  * G. W. Hill, dans sa théorie de la Lune, étudiera aussi une équation semblable.
  * G. Floquet étudiera aussi le comportement de ces solutions (notion d'exposants de Floquet)
  * Félix Bloch, en 1930, réutilisera ces résultats en physique du solide cristallin (donc à coefficients périodiques) : on parle des "fonctions de Bloch dans l'espace des « k » " de la zone de Brillouin.
  * Le pendule paramétrique (le botafumeiro par exemple) relève aussi de cette équation.
  * Les cristaux photoniques ont réactualisé ces études.
  