title: Ondelette de Daubechies
text: # Ondelette de Daubechies
  
  Nommées d'après leur créatrice Ingrid Daubechies, les ondelettes de Daubechies sont une famille d'ondelettes orthogonales définissant une transformée en ondelettes discrète, caractérisées par un nombre maximal de moments dissipants pour un support donné. Pour chaque type d'ondelette de cette classe, il existe une fonction d'échelle (appelée aussi ondelette mère) qui génère une analyse multirésolution orthogonale.
  
  ## Définition et propriétés
  
  Les filtres de Daubechies sont définis de façon à vérifier les propriété suivantes:
  
  * pour un ordre N, le filtre $m_N$ est un polynôme trigonométrique de degré 2N+1 à coefficients réels
  * ils vérifient :
     * $\forall x,\left|m_{N}(x)\right|^{2}+\left|m_{N}(x+\pi )\right|^{2}=1$
     * $m_{N}(0)=1\ ,\ \forall p\in [\![0,N]\!],\left.{\frac {\partial ^{p}m_{N}}{\partial x^{p}}}(x)\right|_{x=\pi }=0$
  
  Celles-ci ne suffisent pas à définir précisément le filtre, seulement son module :
  
      $\left|m_{N}(x)\right|^{2}=Q_{N}(\cos x)$
  
  où
  
      $Q_{N}(X)=\left({\frac {1+X}{2}}\right)^{N+1}\sum _{k=0}^{N}{\binom {N+k}{k}}\left({\frac {1-X}{2}}\right)^{k}.$
  