title: Équation aux q-différences
text: # Équation aux q-différences
  
  En mathématiques, les équations aux q-différences forment une famille d'équations fonctionnelles dont l'étude est apparentée à celle des équations différentielles.
  
  Dans une équation aux q-différences, le paramètre q est un nombre complexe dont le module est en général supposé différent de 1 (certains auteurs exigeant que ce module soit strictement supérieur à 1, d'autre qu'il soit strictement inférieur à 1). Sur un espace de fonctions de variable complexe, l'opérateur aux q-différences est défini par :
  
  $\sigma _{q}(f)(z)=f(qz).$
  
  Il joue un rôle analogue à celui de l'opérateur de dérivation dans les équations différentielles. Ainsi, une fonction satisfaisant l'équation :
  
  $\sigma _{q}(f)=f,$
  
  qu'on peut récrire sous la forme
  
  $\delta _{q}(f)=0,$
  
  en posant $\delta _{q}(f)={\frac {\sigma _{q}(f)-f}{q-1}}$, jouera le rôle d'une fonction constante : les fonctions vérifiant cette équation, dans le corps des fonctions méromorphes sur $\mathbf {C} ^{*}$, s'identifient au corps des fonctions méromorphes sur la courbe elliptique $\mathbf {C} ^{*}/q^{\mathbf {Z} }$, donc à un corps de fonctions elliptiques. Une équation (ou système) sera dit linéaire si elle est de la forme :
  
  $\sigma _{q}(f)(z)=A(z)f(z),$
  
  où f est ici un vecteur de fonctions, et A une matrice.
  
  Comme l'opérateur aux q-différences n'a que deux points fixes sur la sphère de Riemann (0 et ∞), l'étude locale des solutions ne se fait qu'au voisinage de ces deux points.
  
  L'étude des équations aux q-différences se fait suivant plusieurs axes, similaires à certains axes pour l'étude des équations différentielles :
  
  $\sigma _{q}(f)=c.f,$
  
  dont la solution joue un rôle analogue à la fonction caractère $x\mapsto x^{c}$ dans la théorie différentielle ; et une équation du logarithme :
  
  $\sigma _{q}(f)=f+1.$
  
  Ces équations sont résolues à l'aide la fonction thêta de Jacobi.
  
  