title: Équation hypsométrique
text: # Équation hypsométrique
  
  L’équation hypsométrique est une équation en météorologie et océanographie qui repose sur l'équation hydrostatique pour : déterminer la différence de géopotentiel entre deux niveaux de pression $p_{1}$ et $p_{2}$, réduire la pression observée à celle d'une autre altitude et étalonner un baromètre anéroïde.
  
  ## Équation
  
  L'équation hypsométrique est définie $comme^,:$
  
      $h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\bar {T}}}{g}}\cdot \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)$
  
  où :
  
      $h$ = épaisseur de la couche (m) ;
      $z$ = hauteurs des pressions $p_1$ et $p_2$ (m) ;
      $R$ = constante universelle des gaz parfaits pour l'air sec ;
      ${\bar {T}}$ = température moyenne de la couche (K) ;
      $g$ = accélération normale de la pesanteur terrestre $(m/s^2)$ ;
      $p$ = pression atmosphérique (Pa).
  
  L'équation hydrostatique relie la variation de pression atmosphérique ou hydrologique avec celle de la hauteur. La dérivée de p versus z $est^,$ :
  
      $\mathrm {d} p=-\rho \cdot g\cdot \delta z$
  
  où $\ \rho$ est la masse volumique $(kg/m^3)$ du fluide pour obtenir l'équilibre hydrostatique.
  
  En utilisant l'équation des gaz $parfaits^,$ :
  
      $p=\rho \cdot R\cdot T$.
  
  Il est possible d'éliminer $\rho$ :
  
      ${\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot T}}\,\mathrm {d} z$.
  
  Ensuite en intégrant de $\ z_{1}$ à $\ z_{2}$$^,$ :
  
      $\int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}=\int _{z_{1}}^{z_{2}}{\frac {-g}{R\cdot T}}\,\mathrm {d} z$.
  
  R et g sont considérés comme presque constants avec z dans la faible couche atmosphérique, il est donc possible de les mettre sous $l'intégrale^,.$ Si la température varie de façon linéaire avec z (comme dans l'atmosphère standard internationale), elle peut être sortie de l'intégrale et remplacée par ${\bar {T}}$, une température moyenne de la couche de $z_{1}$ à $z_{2}$$^,.$
  
      $\int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot {\bar {T}}}}\int _{z_{1}}^{z_{2}}\,\mathrm {d} z$
  
  L'intégrale donne donc :
  
      $\ln \left({\frac {p(z_{2})}{p(z_{1})}}\right)={\frac {-g}{R\cdot {\bar {T}}}}(z_{2}-z_{1})$.
  
  Après simplification :
  
      $\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)={\frac {g}{R\cdot {\bar {T}}}}(z_{2}-z_{1})$.
  
  Et réarrangement des termes :
  
      $(z_{2}-z_{1})={\frac {R\cdot {\bar {T}}}{g}}\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)$
  
  ou en éliminant le logarithme naturel (ln) :
  
      ${\frac {p_{1}}{p_{2}}}=e^{{g \over R\cdot {\bar {T}}}\cdot (z_{2}-z_{1})}$.
  