title: Énergie potentielle élastique
text: # Énergie potentielle élastique
  
  En physique, l’énergie potentielle élastique est l'énergie potentielle emmagasinée dans un corps à caractère élastique lorsque ce dernier est compressé ou étiré par rapport à sa position naturelle. Lorsque la force comprimant ou étirant le ressort cesse, le corps tend naturellement à retourner à sa position naturelle et transforme ainsi son énergie potentielle en énergie cinétique. Le caractère élastique d'un objet est remarquable par la capacité de celui-ci à rebondir ou encore à reprendre sa forme après déformation.
  
  ## Démonstration
  
  L'énergie potentielle élastique, notée $E_{pe}$ et exprimée en joules, dépend de x (allongement ou raccourcissement du ressort par rapport à la longueur au repos de celui-ci) en mètres et de la constante de rappel ou de raideur k du ressort, exprimée en newtons par mètre (N/m) selon la relation :
  
  $E_{pe}={\frac {1}{2}}kx^{2}$
  
  Supposons un repère $(O,{\vec {i}})$ avec O représentant la position de l'extrémité du ressort au repos et ${\vec {i}}$ dirigé suivant l'axe du ressort.
  
  Alors une force élastique ${\vec {F}}$ a une expression du type :
  
  ${\vec {F}}=-k{\vec {x}}$
  
  donnée par la loi de Hooke.
  
  Alors, d'après la relation :
  
  $\ \delta W_{F}={\vec {F}}\cdot {\vec {dx}}=-\delta E_{pe}$
  
  Donc,
  
  $\delta E_{pe}=kxdx=d({\frac {1}{2}}kx^{2})\!$
  
  Ainsi, on en déduit par intégration la relation suivante :
  
  $E_{pe}={\frac {1}{2}}kx^{2}+cte$
  
  On peut faire un calcul similaire avec une rotation, au lieu d'une translation.
  
  ## Énergie potentielle élastique d'un ressort
  
  À sa position naturelle, c'est-à-dire lorsqu'il n'est ni comprimé, ni étiré, l'énergie potentielle d'un ressort est nulle. Aussi, puisque la variation de position par rapport à sa position naturelle est élevée au carré dans la formule servant à déterminer son énergie potentielle, cette dernière prend toujours une valeur positive. L'énergie potentielle d'un ressort peut donc s'illustrer sous la forme d'une parabole positive fonction de x. Il est à noter que, pour que les relations mathématiques précédentes s'avèrent exactes, le ressort doit être idéal, c'est-à-dire qu'il ne doit pas subir de déformation et ses spires ne doivent pas se toucher lors de l'étirement ou de la compression.
  
  ## Exemple
  
  ### Arc
  
  Le tir à l'arc est une application de l'énergie potentielle élastique. L'archer, en bandant son arc, fléchit les branches de l'arc ce qui a pour résultat d'y stocker de l'énergie potentielle élastique. Lorsqu'il lâche la corde, cette énergie emmagasinée dans les branches se transforme en énergie cinétique, partiellement transmise à la flèche par l'intermédiaire de la corde. La flèche acquiert ainsi une énergie cinétique importante, et, au vu de sa faible masse, acquiert donc une vitesse élevée et peut alors parcourir une distance importante.
  
  