title: Opposé (mathématiques)
text: # Opposé (mathématiques)
  
  En mathématiques, l'opposé d'un élément x (s'il existe) est le nom donné à l'élément symétrique, lorsque la loi est notée additivement. Dans le cas réel, il s'agit du nombre qui, ajouté par x, donne 0. On le note –x.
  
  ## Cas particulier des nombres
  
  Par exemple :
  
  * l’opposé de 7 est égal à –7 car 7 + (–7) = 0
  * l’opposé de -0,3 est 0,3 car –0,3 + 0,3 = 0.
  
  Ainsi d’après le dernier exemple, –(–0,3) = 0,3.
  
  Plus généralement, si E est un ensemble muni d’une loi interne d’addition associative et commutative, l’opposé d’un élément x de E est le symétrique (s’il existe) de cet élément, et est noté en général –x.
  
  Si de plus tous les éléments de E sont symétrisables pour la loi d’addition, alors il est possible de définir une loi de ℤ×E dans E par :
  
      $\forall n\in \mathbb {Z} ,\forall x\in E,n.x=\left\{{\begin{matrix}\underbrace {x+x+\ldots +x} &{\ {\rm {si\ }}}n>0\\_{n{\ {\rm {fois}}}}\\0&{\ {\rm {si\ }}}n=0\\\underbrace {(-x)+(-x)+\ldots +(-x)} &{\ {\rm {si\ }}}n<0\\_{-n\ {\rm {fois}}}\end{matrix}}\right.$
  
  Dans les cas particuliers des ensembles ℤ, ℚ, ℝ et $\mathbb {C}$, le produit pour la multiplication interne d’un nombre par –1 est égal à l’opposé de ce nombre.
  
  Les ensembles dont tous les éléments admettent un opposé pour l’addition dans cet ensemble sont :
  
  * les entiers relatifs ;
  * les nombres rationnels ;
  * les nombres réels ;
  * les nombres complexes.
  
  En revanche, l'ensemble des entiers naturels n'a pas cette propriété : 3 a bien un opposé, –3, mais ce n'est pas un entier naturel.
  
  Pour construire l’ensemble ℤ des entiers relatifs à partir de l’ensemble ℕ des entiers naturels, il suffit d’inclure formellement à ce dernier les opposés des entiers naturels. Ainsi, on dit que l’ensemble des entiers naturels n’est pas stable pour l’opposé, parce que leurs opposés ne sont pas des entiers naturels.
  
  ## Définition générale
  
  Soient (G,+) un groupe commutatif, dont la loi de composition interne est notée additivement et dont l’élément neutre est noté 0, et x un élément quelconque de G. On appelle opposé de x et on note –x l’élément symétrique de x, i. e. l’unique élément –x de G tel que :
  
      $x+(-x)=(-x)+x=0.$
  
  ## Exemples
  
  La plupart des ensembles stables par l'opposé sont des groupes abéliens :
  
  * l'opposé d'un nombre complexe a + bi est le complexe –(a + bi) = (–a) + (–b)i. Graphiquement, c'est le complexe obtenu par symétrie centrale autour de l'origine.
  * dans un espace vectoriel, le vecteur noté −v désigné le vecteur opposé à v, de même norme et de même direction mais de sens opposé, et leur somme donne le vecteur nul.
  * en arithmétique modulaire, l'inverse additif modulaire d'un nombre x est le nombre a tel que a + x ≡ 0 (mod n). Ce nombre existe toujours. Par exemple, l'inverse de 5 modulo 9 est 4 car il vérifie l'équation 5 + x ≡ 0 (mod 9).
  