title: Nombre d'Euclide
text: # Nombre d'Euclide
  
  En arithmétique, les nombres d'Euclide sont les entiers de la forme $E_{n}=p_{n}\#+1$, où $p_{n}\#=2\times 3\times ...\times p_{n}$ est le n-ième nombre primoriel, c'est-à-dire le produit des $n$ premiers nombres premiers. Ils sont ainsi nommés en référence à la démonstration d'Euclide de l'infinitude des nombres premiers.
  
  ## Propriété fondamentale
  
  D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, $E_{n}$ est divisible par un nombre premier $p$ qui est forcément strictement supérieur à $p_{n}$ , ce qui prouve que la suite croissante des nombres premiers $(p_{n})$ n'est pas finie.
  
  Cette démonstration est très proche de celle d'Euclide, qui utilise bien un produit de n nombres premiers distincts plus un, mais il n'indique jamais qu'il s'agit du produit des $n$ premiers nombres premiers.
  
  ## Décomposition des nombres d'Euclide
  
  Les six premiers nombres d'Euclide : 2, 3, 7, 31, 211, 2 311 sont premiers, et le septième 30 031 = 59 × 509 est composé.
  
  On ne sait pas s'il existe une infinité de nombres d'Euclide premiers, ni s'il existe une infinité de nombres d'Euclide composés.
  
  