title: Équation aux différences
text: # Équation aux différences
  
  En mathématiques, une équation aux différences est l'analogue d'une équation différentielle, où les dérivées sont remplacées par des opérateurs de différence finie.
  
  ## Fonctions d'une variable
  
  À l'aide de l'opérateur :
  
      $\Delta :a_{n}\mapsto a_{n+1}-a_{n}$
  
  et de ses puissances :
  
      $\Delta ^{2}:a_{n}\mapsto a_{n+2}-2\,a_{n+1}+a_{n}$, etc.,
  
  des dérivées comme ${\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} t}}$ et ${\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}$ sont remplacées par ${\frac {\Delta T_{n}}{\Delta t_{n}}}$ et ${\frac {\Delta ^{2}T_{n}}{(\Delta t_{n})^{2}}}$, où l'on prend généralement $\Delta t_{n}$ constant (noté simplement $\Delta t$).
  
  ## Fonctions de plusieurs variables
  
  De manière similaire, une équation aux dérivées partielles comme :
  
      ${\frac {\partial T}{\partial t}}=\kappa {\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}$,
  
  portant sur la fonction inconnue $T(x,t)$, est remplacée par l'équation aux différences :
  
      ${\frac {T_{m,n+1}-T_{m,n}}{\Delta t}}=\kappa {\frac {T_{m+2,n}-2\,T_{m+1,n}+T_{m,n}}{(\Delta x)^{2}}}$,
  
  qui porte sur les éléments $T_{m,n}$ d'une double suite (dans l'espace et dans le temps).
  
  