title: Lexique de la géométrie riemannienne
text: # Lexique de la géométrie riemannienne
  
  La géométrie riemannienne est un domaine des mathématiques étudiant les propriétés des variétés riemanniennes. Cette page rappelle brièvement les définitions des termes récurrents rencontrés.
  
  ## A
  
  * Application conforme : Entre deux variétés riemanniennes, application qui préserve les angles ; de manière équivalente application qui transporte une métrique en une métrique conforme ;
  * Application exponentielle : Application différentiable $TM\rightarrow M$ définie naturellement pour toute variété riemannienne complète. Si $v_{m}\in T_{m}M$ est un vecteur tangent à la variété en m, la géodésique d'origine m et de vitesse initiale $v_{m}$ est donnée par $t\mapsto exp(tv_{m})$ .
  
  ## C
  
  * Centre de masse
  * Cercle osculateur
  * Champ de Jacobi
  * Champ de Killing
  * Classe de Chern
  * Convexité
  * Courbure bisectionnelle
  * Courbure de Gauss
  * Courbure négative
  * Courbure de Ricci
  * Courbure sectionnelle
  * Croissance d'un groupe
  * Cut-locus d'un point m d'une variété riemannienne : Ensemble (négligeable) de points n pour lesquels il n'y a pas unicité de la géodésique minimisante ;
  
  ## E
  
  * Espace homogène : Variété sur laquelle agit transitivement un groupe de Lie.
  * Espace symétrique : Variété riemannienne pour laquelle la symétrie géodésique par rapport à n'importe quel point
  
  est une isométrie globale.
  
  ## F
  
  * Feuilletage riemannien : Feuilletage muni d'une métrique riemannienne transverse;
  * Fibré normal : pour une sous-variété N d'une variété riemannienne M, fibré vectoriel sur N dont la fibre en x est l'orthogonal à $T_xN$ ;
  * Fibré riemannien : Fibré vectoriel muni d'une métrique riemannienne ;
  * Flot géodésique : Flot différentiable sur l'espace tangent ou cotangent d'une variété riemannienne, ou sur le fibré en sphères correspondant, défini par la dynamique des géodésiques ;
  * Fonction de Busemann : Fonction continue définie sur un espace (variété riemannienne ou espace métrique) à courbure négative bornée intervenant dans la compactification ; les fonctions de Buseman forment la sphère à l'infini ;
  * Forme harmonique : Forme différentielle dont le laplacien est nul ;
  * Forme de Kähler :
  * Formule des traces de Selberg :
  
  ## G
  
  * Géodésique : Courbe minimisant localement la distance sur une variété riemannienne ;
  * Géodésique fermée : Géodésique périodique ;
  * Géométrie euclidienne : géométrie d'un espace euclidien ;
  * Géométrie riemannienne : Géométrie d'une variété riemannienne ;
  * Groupe hyperbolique
  
  ## H
  
  * Holonomie
  * Horosphère
  
  ## I
  
  * Identités de Bianchi : Identité remarquable portant sur la courbure de la connexion de Levi-Civita ;
  * Inégalité de Bishop-Gromov : Estimation sur le volume des boules d'une variété riemannienne suivant des estimations sur la courbure de Ricci ;
  * Inégalité isopérimétrique : Toute inégalité donnant une majoration du volume riemannien enfermé par une hypsersurface en fonction du volume de cette dernière ;
  * Involution : Isométrie sur une variété riemannienne fixant un point et dont la différentielle en ce point est -Id ;
  * Isométrie : Entre deux variétés riemanniennes, application différentiable et bijective envoyant métrique riemannienne sur métrique riemannienne ; ou de manière équivalente, application bijective préservant les distances associées;
  
  ## L
  
  * Laplacien : Opérateur différentiel défini sur toute variété riemannienne ;
  
  ## M
  
  * Métrique de Carnot-Carathéodory
  * métrique riemannienne : Collection de formes bilinéaires symétriques définies positives définies sur les espaces tangents d'une variété, avec une certaine régularité dépendant du contexte ;
  * Mouvement brownien ou processus de Wiener, est une description mathématique du mouvement aléatoire d'une « grosse » particule ;
  * Métrique d'Einstein : métrique riemannienne pour laquelle la courbure de Ricci est proportionnelle à la métrique.
  
  ## N
  
  * Nombre de Betti : Dimensions des espaces de cohomologie de De Rham ;
  
  ## P
  
  * Plongement riemannien : Plongement préservant la métrique riemannienne.
  * Problème de Dirichlet
  
  ## Q
  
  * Quasi-isométrie : Applications (pas nécessairement continue) entre variétés riemanniennes ou entre espaces métriques qui ne dilatent pas excessivement les distances.
  
  ## R
  
  * Rayon de convexité
  * Rayon d'injectivité : plus grand rayon tel que l'application exponentielle restreinte aux boules tangentes correspondantes
  
  soit un difféomorphisme sur son image ;
  
  * Revêtement riemannien : Revêtement d'une variété riemannienne muni de la métrique tirée en arrière ;
  * Rigidité de Mostow : sous sa version la plus simple, le théorème de rigidité de Mostow assure qu'à partir de la dimension
  
  3, deux variétés riemanniennes compactes à courbure constante négative qui sont difféomorphes sont aussi isométrique.
  
  ## S
  
  * Spectre du laplacien
  * Spineur
  * Symbole de Christoffel : Symboles permettant d'exprimer dans des cartes locales la connexion de Levi-Civita ;
  * Systole (mathématiques)
  
  ## T
  
  * Théorème d'Abresch-Meyer
  * Théorème de Bishop
  * Théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers
  * Théorème de Brunn-Minkowski
  * Théorème de Cartan-Hadamard : théorème affirmant que le revêtement universel d'une variété riemannienne complète de courbure non positive est difféomorphe à une boule
  * Théorème de comparaison de Toponogov
  * Théorème de Gauss-Bonnet
  * Théorème de Hopf-Rinow
  * Théorème KAM
  * Théorème de Myers : estimation sur le diamètre d'une variété riemannienne complète en courbure de Ricci strictement positive
  * Totalement géodésique : se dit d'une sous-variété N d'une variété riemannienne qui contient toute géodésique issue d'un des points de N et dirigée par un vecteur tangent à N
  * Transport parallèle
  
  ## V
  
  * Variété de Hadamard : Variété riemannienne complète simplement connexe de courbure strictement négative.
  * Variété hyperbolique
  * Variété kählérienne
  * Variété lorentzienne
  * Variété pseudo-riemannienne
  * Variété riemannienne
  * Volume riemannien : forme volume définie sur toute variété riemannannienne orientée valant 1 sur toute base tangente orthonormée orientée ; ou mesure positive associée ;
  
  ## Autres lexiques mathématiques
  
  * Glossaire de topologie
  * Lexique de la géométrie symplectique
  * Lexique des surfaces
  