title: Opérateur hypoelliptique
text: # Opérateur hypoelliptique
  
  En mathématiques, un opérateur différentiel défini sur un ouvert $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ est appelé opérateur hypoelliptique si pour toute distribution $u$ définie sur un ouvert $V\subset U$ telle que $Pu$ soit une fonction lisse, $u$ est nécessairement une fonction lisse également.
  
  Si on remplace la condition d'être une fonction lisse par être une fonction analytique, on parle d'opérateurs hypoelliptiques analytiques.
  
  ## Exemples et contre-exemples
  
  * Tout opérateur elliptique à coefficients ${\mathcal {C}}^{\infty }$ est hypoelliptique. En particulier, le laplacien $\Delta$, qui est elliptique, est hypoelliptique (c'est même un opérateur hypoelliptique analytique).
  * L'opérateur de la chaleur $\partial _{t}-\Delta$ (associé à l'équation de la chaleur) est hypoelliptique (mais pas elliptique).
  * L'opérateur d'alembertien $\partial _{tt}^{2}-\Delta$ (associé à l'équation des ondes) n'est pas hypoelliptique.
  