title: Équation de Killing
text: # Équation de Killing
  
  L'équation de Killing est l'équation fondamentale satisfaite par un vecteur de Killing.
  
  Elle énonce qu'un champ de vecteurs $\xi$ défini sur une variété riemannienne est un vecteur de Killing si la dérivée de Lie de la métrique riemannienne $g$ est nulle :
  
      ${\mathcal {L}}_{\xi }g=0\,$.
  
  En termes de composantes dans un système de coordonnées donné, cette équation s'écrit :
  
      $D_{a}\xi _{b}+D_{b}\xi _{a}=0\,$,
  
  où D représente la dérivée covariante compatible avec la métrique.
  
  Cette équation peut se réécrire en utilisant la forme symétrisée :
  
      $D_{(a}\xi _{b)}=0\,$.
  
  Elle peut alors être généralisée à un tenseur d'ordre arbitraire, appelé tenseur de Killing.
  
  