title: Équation xʸ=yˣ
text: # Équation xʸ=yˣ
  
  En général, l'exponentiation n'est pas commutative. Cependant, l'équation $x^{y}=y^{x}$ tient dans des cas particuliers, tels que $x=2,y=4.$
  
  ## Histoire
  
  L'équation $x^{y}=y^{x}$ est mentionné dans une lettre de Bernoulli à Goldbach (29 juin 1728). La lettre contient l'affirmation selon laquelle avec $x\neq y,$ les seules solutions d'entiers naturels sont $(2,4)$ et $(4,2),$ bien qu'il y ait une infinité de solutions en nombres rationnels. La réponse de Goldbach (31 janvier 1729) contient une solution générale de l'équation obtenue en substituant $y=vx$. Une solution similaire a été trouvée par Euler.
  
  J. van Hengel a souligné que si $r,n$ sont des entiers positifs avec $r\geq 3$ alors $r^{r+n}>(r+n)^{r};$ il suffit donc d'envisager les possibilités $x=1$ et $x=2$ afin de trouver des solutions entières.
  
  Le problème a été traité dans un certain nombre de publications. En 1960, l'équation était parmi les questions de la William Lowell Putnam Competition qui a incité A. Hausner à étendre les résultats aux champs de nombres algébriques.
  
  ## Solutions réelles positives
  
  Un ensemble infini de solutions triviales en nombres réels positifs est donné par $x=y$.
  
  Des solutions non-triviales peuvent être trouvées en supposant $x\neq y$ et en posant $y=vx$. Ainsi,
  
      $(vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}.$
  
  En élevant les deux côtés à la puissance ${\tfrac {1}{x}}$ et en divisant par $x$,
  
      $v=x^{v-1}.$
  
  Les solutions non triviales en nombres réels positifs sont
  
      $x=v^{\frac {1}{v-1}},$
      $y=v^{\frac {v}{v-1}}.$
  
  Avec $v=2$ ou $v={\tfrac {1}{2}}$ cela génère les solutions non-triviales entières, $4^{2}=2^{4}$.
  
  Les solutions triviales et non triviales se croisent lorsque $v=1$. Les équations ci-dessus ne peuvent pas être évaluées directement, mais nous pouvons prendre la limite $v\to 1$. Ceci est fait en remplaçant $v=1+1/n$ avec $n\to \infty$, ainsi
  
      $x=\lim _{v\to 1}v^{\frac {1}{v-1}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e.$
  
  Ainsi, la ligne et la courbe se croisent lorsque x = y = e.
  
  