title: Opérateur bilaplacien
text: # Opérateur bilaplacien
  
  L'opérateur bilaplacien, ou opérateur biharmonique est, comme son nom le suggère, le nom donné à l'opérateur laplacien appliqué deux fois.
  
  ## Expression
  
  Dans un système de coordonnées cartésiennes $x_{1},x_{2},...x_{n}$, le bilaplacien s'écrit
  
  $\Delta ^{2}=\nabla ^{4}=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{4}}{\partial x_{i}^{2}\partial x_{j}^{2}}}$
  
  D'autre part, dans un espace euclidien de dimension $n$, la relation suivante est toujours vérifiée :
  
  $\Delta ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)={\frac {3(15-8n+n^{2})}{r^{5}}}$
  
  avec $r$ la distance euclidienne :
  
  $r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}}=\left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$
  
  