title: Numération d'Ostrowski
text: # Numération d'Ostrowski
  
  En mathématiques, la numération d'Ostrowski, qui porte le nom d'Alexander Ostrowski, est un système de numération basé sur le développement en fraction continue ; c'est un système de numération positionnel non standard pour les entiers et pour les nombres réels.
  
  ## Notations
  
  Soit $\alpha$ un nombre irrationnel positif avec développement en fraction continue
  
      $\alpha =a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\cdots }}}}}}$
  
  Soit $(q_{n})$ la suite des dénominateurs des convergents $p_{n}/q_{n}$ vers $\alpha$, donnée par
  
      $q_{n}=a_{n}q_{n-1}+q_{n-2}$.
  
  On pose $\alpha _{n}=T^{n}(\alpha )$, où $T$ est l'opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing donné par $T(x)=\{1/x\}$, et $\beta _{n}=(-1)^{n+1}\alpha _{0}\alpha _{1}\cdots \alpha _{n}$ ; on a alors
  
      \$\beta _{n}=a_{n}\beta _{n-1}+\beta _{n-2}$.
  
  ## Représentation des nombres réels
  
  Tout nombre réel positif $x$ peut être écrit sous la forme
  
      $x=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\beta _{n}\$
  
  où les coefficients $b_{n}$ vérifient l'inégalité $b_{n}\leq a_{n}$ et, s'il y a égalité $b_{n}=a_{n}$, alors $b_{n-1}=0$.
  
  ## Représentation des entiers naturels
  
  Tout entier positif $N$ peut être écrit de façon unique sous la forme
  
      $N=\sum _{n=1}^{k}b_{n}q_{n}\$
  
  où les coefficients vérifient l'inégalité $0\leq b_{n}\leq a_{n}$ et si $b_{n}=a_{n}$ alors $b_{n-1}=0$.
  
  Si $\alpha =\varphi$ est le nombre d'or, alors les quotients partiels $a_{n}$ sont tous égaux à 1, les dénominateurs $q_{n}$ denominators $q_n$ sont les nombres de Fibonacci et on retrouve le théorème de Zeckendorf sur le codage de Fibonacci des entiers positifs comme somme de nombre de Fibonacci distincts non consécutifs.
  
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  * Suite complète (en)
  