title: Polynôme osculateur
text: # Polynôme osculateur
  
  En analyse, un polynôme osculateur ou osculatoire est un polynôme fournissant une « bonne approximation » d'une fonction.
  
  ## Définition
  
  Considérons ƒ une fonction réelle n fois dérivable en un point $x_0.$ Le polynôme p est dit osculatoire si
  
      $\forall i\in 0,...,n,p^{(i)}(x_{0})=f^{(i)}(x_{0})$
  
  En particulier, pour n = 2, on constate donc que le polynôme est tangent et a la même courbure que ƒ en $x_0.$
  
  ### Formule
  
  Le polynôme osculateur de degré minimal est donc son polynôme de Taylor :
  
  $p(x)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}\,(x-x_{0})^{i}=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}\,(x-x_{0})+{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}\,(x-x_{0})^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}\,(x-x_{0})^{n}$
  
  Cependant, pour tout polynôme Q, tout polynôme de la forme
  
  $p_{1}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}\,(x-x_{0})^{i}+(x-x_{0})^{n+1}Q(x)$
  
  est également osculateur.
  
  ## Applications
  
  Un polynôme osculateur peut remplacer localement une fonction ƒ. Cela permet d'avoir une fonction plus facile à manipuler.
  
  