title: Matrice de Hurwitz
text: # Matrice de Hurwitz
  
  En mathématiques, une matrice carrée $A$ est appelée matrice de Hurwitz si toutes les valeurs propres de $A$ ont une partie réelle strictement négative, c'est-à-dire :
  
      $\Re [\lambda _{i}]<0\,$pour toute valeur propre $\lambda _{i}$.
  
  $A$ est aussi appelée une matrice de stabilité, car alors l'équation différentielle ordinaire :
  
      ${\dot {x}}=Ax$
  
  est stable, c'est-à-dire $x(t)\to 0$ quand $t\to \infty .$
  
  Si $G(s)$ est une fonction de transfert matricielle, alors $G$ est appelée Hurwitz si les pôles de tous les éléments de $G$ ont une partie réelle négative. Il n'est pas nécessaire que $G(s)$ pour une valeur spécifique $s$ soit une matrice de Hurwitz — elle n'a même pas besoin d'être carrée. Le lien est que si $A$ est une matrice de Hurwitz, alors le système dynamique :
  
      ${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)$
      $y(t)=Cx(t)+Du(t)\,$
  
  possède une fonction de transfert $G$ de Hurwitz.
  
  