title: Modèle des urnes d'Ehrenfest
text: # Modèle des urnes d'Ehrenfest
  
  Le modèle des urnes est un modèle stochastique introduit en 1907 par les époux Ehrenfest pour illustrer certains des « paradoxes » apparus dans les fondements de la mécanique statistique naissante. Peu de temps en effet après que Boltzmann a publié son théorème H, des critiques virulentes furent formulées, notamment par Loschmidt, puis par Zermelo, Boltzmann étant accusé de pratiquer des « mathématiques douteuses ».
  
  Ce modèle est parfois également appelé le « modèle des chiens et des puces ». Le mathématicien Mark Kac a écrit à son propos qu'il était :
  
     « ... probablement l'un des modèles les plus instructifs de toute la physique ... »
  
  ## Le modèle des urnes
  
  ### Définition du modèle stochastique
  
  On considère deux urnes A et B, ainsi que N boules, numérotées de 1 à N. Initialement, toutes les boules se trouvent dans l'urne A. Le processus stochastique associé consiste à répéter l'opération suivante :
  
  * Tirer au hasard un numéro i compris entre 1 et N, prendre la boule n°i, la transférer dans l'urne où elle n'était pas.
  
  Par convention, le premier instant est $t_{0}=0$.
  
  ### Dynamique du modèle
  
  Dans ce modèle, on suit au cours du temps t (discret) le nombre total de boules n(t) présentes dans l'urne A. On obtient une courbe qui part initialement de n(0)=N et commence par décroître vers la valeur moyenne N/2, comme on pourrait s'y attendre pour un « bon » système thermodynamique initialement hors d'équilibre et relaxant spontanément vers l'équilibre.
  
  Mais cette décroissance est irrégulière : il existe des fluctuations autour de la valeur moyenne N/2, qui peuvent devenir parfois très importantes (ceci est particulièrement visible lorsque N est petit).
  
  En particulier, quel que soit le nombre de boules N fini, il existe toujours des récurrences à l'état initial, pour lesquelles toutes les boules reviennent dans l'urne A après une durée finie. Mais, comme le temps moyen entre deux récurrences consécutives croît très rapidement avec N, ces récurrences ne nous apparaissent pas lorsque N est très grand.
  
  ### Version « modèle des chiens et des puces »
  
  Dans cette version, les deux urnes sont remplacées par deux chiens, et les N boules par N puces, sautant d'un chien à l'autre.
  
  ## Récurrences et théorème de Kac (1947)
  
  ### Récurrences à l'état initial
  
  Il existe des récurrences à l'état initial, caractérisées par une suite dénombrable d'instants $\{t_{n}\}_{n=1,2,\dots }$ finis pour lesquels toutes les boules reviennent dans l'urne A, c’est-à-dire que l'on a : $n(t_{n})=N$ (par convention, on pose $t_{0}=0$). On peut alors définir une nouvelle suite dénombrable $\tau _{n}=t_{n}-t_{n-1}$ des durées finies entre deux récurrences consécutives.
  
  ### Théorème de Kac (1947)
  
  Il est possible de calculer la durée moyenne entre deux récurrences à l'état initial consécutives :
  
  $\langle \ \tau \ \rangle \ =\ \lim _{p\to \infty }\ {\frac {1}{p}}\ \sum _{n=1}^{p}\ \tau _{n}$
  
  On a le théorème suivant [Kac - 1947] :
  
  $\langle \tau \rangle \ =\ 2^{N}$
  
  De plus, on peut montrer que la dispersion des durées autour de leur valeur moyenne, caractérisée par l'écart-type σ, est du même ordre de grandeur :
  
  $\sigma ={\sqrt {\ \lim _{p\to \infty }{\frac {1}{(p-1)}}\sum _{n=1}^{p}\,\left[\,\tau _{n}\,-\,\langle \tau \rangle \,\right]^{2}\ }}\ \sim \ \langle \tau \rangle$
  
  Voir par exemple [Kac-1957].
  
  ## Solution exacte
  
  * Voir par exemple : [Kac-1947] et : [Kac-1957]
  * Au même titre, la mesure stationnaire du modèle, ainsi que la rapidité de convergence vers la mesure stationnaire ont été étudiées par Mark Kac : voir
     * Modèle des urnes d'Ehrenfest, et
     * Théorie spectrale (cas du modèle des urnes d'Ehrenfest) .
  
  ## Lien avec une marche aléatoire
  
  Le modèle des urnes d'Ehrenfest est formellement similaire à une marche aléatoire non isotrope sur le réseau $\mathbb {Z}$, dont la limite continue converge vers le mouvement brownien d'une particule élastiquement liée. En termes probabilistes on parle de convergence vers le processus d'Ornstein-Uhlenbeck, processus stochastique défini par l'équation différentielle stochastique :
  
      $dx_{t}=\theta (\mu -x_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}.\,$
  
  Voir par exemple : [Kac-1947] et : [Kac-1957]
  
  