title: Polynôme secondaire
text: # Polynôme secondaire
  
  En mathématiques, un polynôme secondaire est une expression mathématique apparentant au groupe des polynômes.
  
  ## Introduction et définition
  
  On se place sur l'espace de Hilbert $L^{2}(I,\mathbb {R} ,\rho )$ où $I$ est un intervalle de $\mathbb {R}$ et $\rho$ la densité de la mesure.
  
  Les polynômes secondaires associés aux polynômes orthogonaux $\left(P_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ sont les polynômes $\left(Q_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ obtenus par la relation :
  
  $Q_{n}(X)=\int _{I}{\frac {P_{n}(t)-P_{n}(X)}{t-X}}\rho (t){\text{d}}t$
  
  Ces polynômes ne sont plus orthogonaux, mais suivent la même relation de récurrence que les $P_{n}$ :
  
  si $P_{n}$ s'écrit : $P_{n}(X)=\alpha _{n}X^{n}+\alpha _{n-1}X^{n-1}+\cdots +\alpha _{1}X+\alpha _{0}$
  
  alors la relation de récurrence est :
  
  $XP_{n}(X)={\frac {\alpha _{n}}{\alpha _{n+1}}}P_{n+1}(X)+\left({\frac {\beta _{n}}{\alpha _{n}}}-{\frac {\beta _{n+1}}{\alpha _{n+1}}}\right)P_{n}(X)+{\frac {\alpha _{n-1}||P_{n}||^{2}}{\alpha _{n}||P_{n-1}||^{2}}}P_{n-1}(X)$
  
  