title: Relation réflexive
text: # Relation réflexive
  
  En mathématiques, une relation binaire peut avoir, entre autres propriétés, la réflexivité ou bien l'antiréflexivité (ou irréflexivité).
  
  Une relation R sur un ensemble X est dite :
  
  * réflexive si tout élément de X est R-relié à lui-même :$\forall a\in X\quad aRa$ou encore, si le graphe de R contient la diagonale de X (qui est le graphe de l'égalité) ;
  * antiréflexive (ou irréflexive) si aucun élément de X n'est R-relié à lui-même :$\forall a\in X\quad \lnot (aRa)$ou encore, si son graphe est disjoint de la diagonale de X.
  
  La réflexivité et l'antiréflexivité sont deux propriétés incompatibles (R n'est jamais à la fois réflexive et antiréflexive, sauf si X est l'ensemble vide) mais ne sont pas la négation l'une de l'autre (R peut n'être ni réflexive, ni antiréflexive).
  
  ## Exemples et contrexemples
  
  Les relations d'équivalence et les préordres (en particulier les relations d'ordre) sont réflexives ; les relations d'ordre strict sont antiréflexives (suivre les liens pour des exemples de tous ces types de relations).
  
  La relation « n'est pas égal à » (≠) est antiréflexive.
  
  Dans un ensemble de personnes, la relation « est enfant de » est antiréflexive : personne n'est son propre enfant.
  
  Une relation sur un ensemble d'au moins deux éléments peut n'être ni réflexive, ni irréflexive : il suffit qu'au moins un élément soit en relation avec lui-même et un autre non :
  
  * sur l'ensemble des entiers naturels, la relation « est premier avec » n'est ni réflexive (en général, un entier n'est pas premier avec lui-même), ni antiréflexive (l'entier 1 est l'exception) ;
  * sur l'ensemble des entiers relatifs, la relation « est l'opposé de » n'est ni réflexive (en général, un nombre n'est pas son propre opposé), ni antiréflexive (l'entier 0 est l'exception).
  
  ## Clôture réflexive
  
  La clôture réflexive d'une relation R sur X est la relation sur X, notée ici $R^{refl},$ dont le graphe est l'union de celui de R et de la diagonale de X :
  
      $\forall x,y\in X\quad xR^{\rm {refl}}y\Leftrightarrow (xRy\lor x=y).$
  
  C'est la plus petite (au sens de l'inclusion des graphes) relation réflexive contenant R.
  
  Par exemple, toute relation d'ordre ≤ est la clôture réflexive de l'ordre strict < associé.
  
  ## Article connexe
  
  Clôture transitive et clôture réflexive transitive
  
  