title: Matrice de Casteljau
text: # Matrice de Casteljau
  
  Les matrices de Casteljau sont des matrices de Markov triangulaires (ou leurs transposées suivant les conventions) principalement utilisées dans l'algorithme de Casteljau.
  
  Pour une taille N fixée, il y a deux matrices $D_0$ et $D_1$ définies par
  
      $[D_{0}]_{i,j}=\left\{{\begin{matrix}B_{i}^{j}(1/2)&{\textrm {si}}&j<i\\0&{\textrm {sinon}}&\end{matrix}}\right.$
      $[D_{1}]_{i,j}=\left\{{\begin{matrix}B_{i}^{N-j}(1/2)&{\textrm {si}}&j<i\\0&{\textrm {sinon}}&\end{matrix}}\right.$
  
  où les $B_{i}^{j}$ sont les polynômes de Bernstein
  
  Exemple (pour N=4)
  
      $D_{0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1/2&1/2&0&0\\1/4&1/2&1/4&0\\1/8&3/8&3/8&1/8\\\end{pmatrix}}\ {\textrm {et}}\ D_{1}={\begin{pmatrix}1/8&3/8&3/8&1/8\\0&1/4&1/2&1/4\\0&0&1/2&1/2\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$
  
  Remarque : Il n'est pas nécessaire d'évaluer les polynômes de Bernstein en 1/2 car les matrices resteraient markoviennes (par une propriété des polynômes de Bernstein). N'importe quelle valeur de [0,1] pourrait convenir, mais ce choix augmente la rapidité de l'algorithme en moyenne.
  
  