title: Négligeabilité
text: # Négligeabilité
  
  En analyse mathématique, la prépondérance ou négligeabilité relie deux fonctions à valeurs dans $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$, formalisant la notion que l'une devient insignifiante devant l'autre au voisinage d'un point ou de l'infini.
  
  Par exemple, avec $f:x\mapsto x^{2}$ et $g:x\mapsto 3x$, quand $x\rightarrow \pm \infty$, $3x$ devient arbitrairement petit devant $x^{2}$. On dit alors que $g$ est négligeable devant $f$ ou que $f$ est prépondérante devant $g$ au voisinage de l'infini, ce que l'on note $g\ {\underset {\infty }{=}}\ o(f).$
  
  Avec la domination et l'équivalence, la négligeabilité est une relation de comparaison. Elle est transitive, mais n'est ni réflexive, ni symétrique.
  
  ## Définition
  
  Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur une partie $I$ de $\mathbb {R}$ à valeurs dans $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$, et soit $a$ un point adhérent à $I$ ($a$ peut être un réel, $+\infty$ ou $-\infty$).
  
     On dit que $f$ est négligeable devant $g$, ou que $g$ est prépondérante devant $f$ au voisinage de $a$ si il existe une fonction $\varepsilon$ et un voisinage $V$ de $a$ tels que :
     $\varepsilon \ {\underset {a}{\rightarrow }}\ 0$
     $f=\varepsilon g\$
     $V\cap I$
  
  Ce qui est équivalent à :
  
     * si $a\in \mathbb {R}$ : $\forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in \left]a-\eta ,a+\eta \right[\cap I\quad \left|f(x)\right|\leq \varepsilon \left|g(x)\right|$
  
     * si $a=+\infty$ : $\forall \varepsilon >0\quad \exists A\in \mathbb {R} \quad \forall x\in \left[A,+\infty \right[\cap I\quad \left|f(x)\right|\leq \varepsilon \left|g(x)\right|$
  
     * si $a=-\infty$ : $\forall \varepsilon >0\quad \exists A\in \mathbb {R} \quad \forall x\in \left]-\infty ,A\right]\cap I\ \quad \left|f(x)\right|\leq \varepsilon \left|g(x)\right|$
  
  Une autre caractérisation plus commode dans le cas où $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$ est :
  
     $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $a$ si :
     $\lim _{x\rightarrow a}\ \ {f(x) \over g(x)}=0$
  
  On écrit alors $f\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$, qui se lit « $f$ est un petit $o$ de $g$ au voisinage de $a$ ». C'est une des notations de Landau.
  
  Dans le cas où $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$ mais s’annule en $a$, f est négligeable devant g au voisinage de $a$ si :
  
  $\lim _{\underset {x\neq a}{x\to a}}{\dfrac {f(x)}{g(x)}}=0$ et si $f(a)=0$
  
  ## Propriétés
  
  * Si $f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$ et $f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$ alors $f_{1}+f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$.
  * Si $f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{1})$ et $f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,O(g_{2})$ alors $f_{1}f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{1}g_{2})$,
  
      en particulier, si $f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$ et $f_{2}$ est bornée au voisinage de a, alors $f_{1}f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$.
  * Si $f\,{\underset {a}{=}}\,o(g)$ et $g\,{\underset {a}{=}}\,O(h)$, ou si $f\,{\underset {a}{=}}\,O(g)$ et $g\,{\underset {a}{=}}\,o(h)$, alors $f\,{\underset {a}{=}}\,o(h)$
  
      en particulier, $\,{\underset {a}{=}}\,o$ est transitive.
  * $f\,{\underset {a}{\sim }}\,g\Leftrightarrow f-g\,{\underset {a}{=}}\,o(g)\Leftrightarrow f\,{\underset {a}{=}}\,g+o(g)$.
  
  ## Partie principale d'une fonction par rapport à une échelle
  
  ### Échelle de comparaison
  
  Une échelle de comparaison $E_{a}$ est une famille de fonctions définies au voisinage de a (sauf peut-être en a), non équivalentes à 0 en a, telle que :
  
      $\forall (f,g)\in {E_{a}}^{2}\quad f\neq g\Rightarrow \left(f\,{\underset {a}{=}}\,o(g){\text{ ou }}g\,{\underset {a}{=}}\,o(f)\right)$.
  
  ### Définition
  
  Soient f une fonction définie dans un voisinage V de a (sauf peut-être en a), ne s'annulant pas sur $V\setminus \{a\}$, et $E_{a}$ une échelle de comparaison en a.
  
  On dit que f admet la fonction $g\in E_{a}$ comme partie principale par rapport à l'échelle $E_{a}$ s'il existe un réel A non nul tel que $f\,{\underset {a}{\sim }}\,Ag$ (ou $f\,{\underset {a}{=}}\,Ag+o(g)$).
  
  ### Propriétés
  
  * Unicité en cas d'existence
  * Soient $f_{1}$ et $f_{2}$ admettant respectivement $g_{1}$ et $g_{2}$ comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison $E_{a}$.
  * La partie principale de $f_{1}f_{2}$ par rapport à l'échelle de comparaison $E_{a}$ est la même que celle de $g_{1}g_{2}$.
  * Si $g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{2})$ alors $g_{2}$ est la partie principale de $f_{1}+f_{2}$ par rapport à l'échelle de comparaison $E_{a}$.
  * Si $g_{1}=g_{2}$ et $A_{1}+A_{2}\neq 0$ alors $(A_{1}+A_{2})g_{1}$ est la partie principale de $f_{1}+f_{2}$ par rapport à l'échelle de comparaison $E_{a}$.
  
  ## Comparaison pour les suites
  
  Une suite n'est qu'un cas particulier de fonction, définie sur $I=\mathbb {N}$, auquel $a=+\infty$ est adhérent.
  
  Par conséquent, une suite $(u_{n})$ de nombres réels est négligeable devant une suite réelle $(v_{n})$ si et seulement si :
  
      il existe une suite $(\varepsilon _{n})$ de limite nulle telle que, à partir d'un certain rang, $u_{n}=\varepsilon _{n}v_{n}$
  
  ou encore :
  
      $\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N\quad |u_{n}|\leq \varepsilon |v_{n}|$,
  
  ce qui, lorsque $(v_{n})$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang, équivaut à :
  
      $\lim _{n\to +\infty }{\frac {u_{n}}{v_{n}}}=0$.
  
  On note : $u_{n}=o(v_{n})$.
  
  