title: Paquet d'onde gaussien
text: # Paquet d'onde gaussien
  
  ## Introduction sur les paquets d'ondes planes à trois dimensions
  
  Dans le cadre de la mécanique quantique, on peut s'intéresser à la forme des solutions de l'équation de Schrödinger dans le cas d'une particule libre, c'est-à-dire telle que le potentiel auquel elle est soumise est nulle, ou $V({\vec {r}},t)=0$.
  
  On peut alors montrer, en supposant une séparation des variables, que la solution la plus générale est une combinaison linéaire sur le paramètre continu k de la forme
  
  $\psi ({\vec {r}},t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int g({\vec {k}})e^{i({\vec {k}}.{\vec {r}}-\omega (k)(t-t_{0}))}d^{3}k$
  
  Dans cette expression
  
  * $\omega (k)\ =\ {\frac {\hbar k^{2}}{2m}}$
  * ${\vec {k}}$ est un vecteur quelconque de $\mathbb {R} ^{3}$ tel que ${\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=E$
  * $E$ est le paramètre de séparation des variables.
  * Le facteur ${\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}$ est celui choisi pour symétriser la transformée de Fourier à trois dimensions.
  * $g({\vec {k}})$ est le paquet d'ondes planes à trois dimensions.
  
  Si l'on regarde la fonction d'onde en l'instant initial, donc en $t=t_{0}$, on s'aperçoit que $\psi ({\vec {r}},t)$ est la transformée de Fourier de $g({\vec {k}})$, et inversement. Ce résultat est tout à fait général et le fait que l'on puisse écrire $\psi ({\vec {r}},t_{0})$ sous forme d'une transformée de Fourier est également valable pour une particule non libre.
  
  De plus, l'égalité de Parseval fournit
  
  $\int |\psi ({\vec {r}},t_{0})|^{2}d^{3}r=\int |g({\vec {k}})|^{2}d^{3}k$
  
  Ce qui assure que la fonction d'onde est normée si et seulement si $g({\vec {k}})$ l'est. Cette propriété est importante dans le sens où le carré de la norme de la fonction d'onde représente la probabilité de présence de la particule.
  
  ## Le paquet d'onde gaussien
  
  On peut considérer comme expression pour $g({\vec {k}})$ la fonction
  
  $g({\vec {k}})={\frac {a^{3/2}}{(2\pi )^{3/4}}}e^{-{\frac {a^{2}}{4}}({\vec {k}}-{\vec {k_{0}}})^{2}}$
  
  qui constitue le paquet d'onde gaussien.
  
  On peut alors démontrer les relations suivantes, à l'aide des formules de Poisson :
  
  * $\int |g({\vec {k}})|^{2}d^{3}k=1$
  * $\psi ({\vec {r}},t_{0})=\left({\frac {2}{\pi a^{2}}}\right)^{3/4}e^{i{\vec {k_{0}}}.{\vec {r}}}e^{-r^{2}/a^{2}}$
  
  En repartant de l'expression générale de $\psi ({\vec {r}},t)$, on peut également démontrer que
  
  $\psi ({\vec {r}},t)=\left({\frac {2a^{2}}{\pi }}\right)^{3/4}{\frac {1}{\left(a^{2}+{\frac {2i\hbar (t-t_{0})}{m}}\right)^{3/2}}}e^{i\phi (t)}e^{i{\vec {k_{0}}}.{\vec {r}}}e^{-{\frac {\left({\vec {r}}-{\frac {\hbar {\vec {k_{0}}}}{m}}(t-t_{0})\right)^{2}}{a^{2}+{\frac {2i\hbar (t-t_{0})}{m}}}}}$
  
  Où $\phi (t)=-{\frac {\hbar k_{0}^{2}(t-t_{0})}{2m}}$
  
  En calculant le carré du module de cette fonction d'onde, on constate les éléments suivants:
  
  * La densité de probabilité de présence de la particule est une gaussienne à trois dimensions.
  * Dont l'amplitude décroît comme le temps.
  * Dont le centre se déplace avec une vitesse ${\vec {v_{0}}}={\frac {\hbar {\vec {k_{0}}}}{m}}$.
  * Dont la largeur augmente comme le temps.
  
  Ces constatations font partie de l'indéterminisme quantique: la position d'une particule n'est plus décrite que par une probabilité de présence en tout temps t et tout lieu ${\vec {r}}$.
  
  