Sellmeier-Gleichung
# Sellmeier-Gleichung

Die Sellmeier-Gleichung ist in der Optik eine empirisch ermittelte, funktionelle Beschreibung der Abhängigkeit des Brechungsindex $n$ eines lichtdurchlässigen Mediums von der Wellenlänge $\lambda$ des Lichts. Die Gleichung wurde nach Wolfgang von Sellmeier benannt, der sie 1871 in Anlehnung an die Cauchy-Gleichung und Kramers-Kronig-Relation veröffentlichte. Anwendung findet sie vor allem in der technischen Optik zur Beschreibung der Dispersion von optischem Glas und anderen optischen Werkstoffen.

## Mathematische Beschreibung

Beispiel: Koeffizienten für das Borosilikatglas BK7 :

| Koeffizient | Wert |
| - | - |
| $B_1$ | 1,03961212 |
| $B_2$ | 0,231792344 |
| $B_3$ | 1,01046945 |
| $C_1$ | $6,00069867·10^{−3}$ $μm^2$ |
| $C_2$ | $2,00179144·10^{−2}$ $μm^2$ |
| $C_3$ | 103,560653 $μm^2$ |

Die Sellmeier-Gleichung kann als Erweiterung der Cauchy-Gleichung aufgefasst werden, sie lautet:

    $n^{2}(\lambda )\,=\,1+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}+{\frac {B_{3}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{3}}}$

mit $B_{1,2,3}$ und $C_{1,2,3}$ als experimentell ermittelte Sellmeier-Koeffizienten. Die $B_{1,2,3}$ sind dimensionslos und die $C_{1,2,3}$ werden gewöhnlich in μm² angegeben.

Die Genauigkeit im sichtbaren Bereich ist in der Regel besser als $\pm 5\cdot 10^{-6}$.

Der rechte Term der Gleichung kann für eine größere Genauigkeit auch um weitere Summanden erweitert werden:

    $n^{2}(\lambda )\,=\,1+\sum _{i=1}^{m}{\frac {B_{i}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{i}}}$

Setzt man $C_{i}=\lambda _{i}^{2}$, so lassen sich die $\lambda _{i}$ als Resonanzwellenlängen von Absorptionslinien oder -banden erklären.

