Spezielle lineare Gruppe
# Spezielle lineare Gruppe

Die spezielle lineare Gruppe vom Grad $n$ über einem Körper $K$ (oder allgemeiner einem kommutativen, unitären Ring) ist die Gruppe aller $n\times n$ Matrizen mit Koeffizienten aus $K$, deren Determinante 1 beträgt; diese werden auch unimodulare Matrizen genannt. Die Gruppenverknüpfung ist die Matrizenmultiplikation.

Die spezielle lineare Gruppe vom Grad $n$ über $K$ wird mit $\operatorname {SL} (n,K)$ bezeichnet. Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper die Menge $\mathbb {R}$ der reellen oder $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen ist, schreibt man auch $\operatorname {SL} (n)$ oder $\operatorname {SL} _{n}$.

## Eigenschaften

Die spezielle lineare Gruppe $\operatorname {SL} (n,K)$ ist ein Normalteiler der allgemeinen linearen Gruppe $\operatorname {GL} (n,K)$.

Die Faktorgruppe $\operatorname {GL} (n,K)/\operatorname {SL} (n,K)$ ist isomorph zu $K^{*}$, der Einheitengruppe von $K$ (für einen Körper $K$ ist $K^{*}$ gleich $K\setminus \{0\}$). Der Beweis erfolgt über den Homomorphiesatz mit der Determinante als Homomorphismus.

Wichtige Untergruppen der $\operatorname {SL} (n,K)$ sind für $K=\mathbb {R}$ die spezielle orthogonale Gruppe $\operatorname {SO} (n)$ und für $K=\mathbb {C}$ die spezielle unitäre Gruppe $\operatorname {SU} (n)$.

Die spezielle lineare Gruppe $\operatorname {SL} (n,K)$ über dem Körper $K=\mathbb {R}$ oder $K=\mathbb {C}$ ist eine Lie-Gruppe über $K$ der Dimension $n^{2}-1$.

Die speziellen linearen Gruppen sind algebraische Gruppen, da die Bedingung, dass die Determinante gleich 1 sein muss, durch eine polynomiale Gleichung in den Matrix-Koeffizienten ausgedrückt werden kann.

Die spezielle lineare Gruppe $\operatorname {SL} (n,K)$ beinhaltet alle orientierungstreuen und volumenerhaltenden linearen Abbildungen.

