Gemeinsames Spektrum
# Gemeinsames Spektrum

Das gemeinsame Spektrum von endlich vielen Elementen einer kommutativen $\mathbb {C}$-Banachalgebra verallgemeinert den in der Mathematik bei der Untersuchung von Banachalgebren verwendeten Begriff des Spektrums eines Elementes.

## Motivation und Definition

Sei $A$ eine $\mathbb {C}$-Banachalgebra mit Einselement 1. Das Spektrum $\sigma (a)$ eines Elementes $a\in A$ ist die Menge aller komplexen Zahlen $\lambda$, für die das Element $a-\lambda \cdot 1$ nicht invertierbar ist. Bezeichnet man mit $X_{A}$ die Menge aller $\mathbb {C}$-Homomorphismen $A\rightarrow \mathbb {C}$, so hat man im Falle einer kommutativen Banachalgebra die Beziehung

    $\sigma (a)\,=\,\{\phi (a);\,\phi \in X_{A}\}\,\subset \,\mathbb {C}$.

Diese Beziehung kann man auch auf mehrere Elemente einer Banachalgebra ausdehnen. Für eine kommutative $\mathbb {C}$-Banachalgebra $A$ mit Einselement und Elementen $a_{1},\ldots a_{n}\in A$ setzt man

    $\sigma (a_{1},\ldots ,a_{n})\,=\,\{(\phi (a_{1}),\ldots ,\phi (a_{n}));\,\phi \in X_{A}\}\,\subset \,\mathbb {C} ^{n}$.

$\sigma (a_{1},\ldots ,a_{n})$ heißt das gemeinsame Spektrum der Elemente $a_{1},\ldots a_{n}$. Hat die Banachalgebra kein Einselement, so adjungierte man ein Einselement und definiere dort das gemeinsame Spektrum.

## Eigenschaften

### Invertierbarkeit

Der Zusammenhang zwischen Spektrum und Invertierbarkeit verallgemeinert sich wie folgt auf die Situation mehrerer Elemente:

Ist $A$ eine kommutative $\mathbb {C}$-Banachalgebra mit 1, $a_{1},\ldots ,a_{n}\in A$, $\lambda _{1},\ldots \lambda _{n}\in \mathbb {C}$, so sind folgende Aussagen äquivalent:

* $(\lambda _{1},\ldots \lambda _{n})\notin \sigma (a_{1},\ldots ,a_{n})$
* Es gibt $b_{1},\ldots ,b_{n}\in A$ mit $\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-\lambda _{k})b_{k}\,=\,1$

### Kompaktheit

Das gemeinsame Spektrum $\sigma (a_{1},\ldots ,a_{n})$ von endlich vielen Elementen einer kommutativen $\mathbb {C}$-Banachalgebra ist eine kompakte Teilmenge von $\mathbb {C} ^{n}$. Die Abbildung $X_{A}\rightarrow \mathbb {C} ^{n},\,\phi \mapsto (\phi (a_{1}),\ldots ,\phi (a_{n}))$ ist nach Definition der schwach-*-Topologie, die auf dem Gelfand-Raum $X_{A}$ betrachtet wird, stetig. Da der Gelfand-Raum einer Banachalgebra mit 1 kompakt ist, ergibt sich daraus die Kompaktheit des gemeinsamen Spektrums, denn stetige Bilder kompakter Mengen sind wieder kompakt.

### Polynomkonvexität

Eine Banachalgebra $A$ wird per definitionem von Elementen $a_{1},\ldots ,a_{n}\in A$ erzeugt, wenn $A$ die kleinste Unterbanachalgebra von $A$ ist, die $a_{1},\ldots ,a_{n}$ enthält.

Für eine Teilmenge $K\subset \mathbb {C}$ kann man zeigen, dass genau dann $K=\sigma (a)$ gilt für eine kommutative $\mathbb {C}$-Banachalgebra mit Einselement, die von einem Element $a\in A$ erzeugt wird, wenn $K$ kompakt und $\mathbb {C} \setminus K$ zusammenhängend ist.

Eine entsprechende topologische Charakterisierung von Mengen im $\mathbb {C} ^{n}$, die als gemeinsames Spektrum von erzeugenden Elementen $a_{1},\ldots ,a_{n}$ einer kommutativen $\mathbb {C}$-Banachalgebra mit Einselement auftreten, gelingt nicht. Da eine kompakte Menge $K\subset \mathbb {C}$ genau dann polynomkonvex ist, wenn $\mathbb {C} \setminus K$ zusammenhängend ist, stellt der folgende Satz eine Verallgemeinerung obigen Sachverhaltes dar:

Für eine Menge $K\subset \mathbb {C} ^{n}$ sind folgende Aussagen äquivalent:

* Es gibt eine kommutative $\mathbb {C}$-Banachalgebra mit Einselement, die von $n$ Elementen $a_{1},\ldots ,a_{n}\in A$ erzeugt wird, so dass $K=\sigma (a_{1},\ldots ,a_{n})$.
* $K$ ist kompakt und polynomkonvex.

Hat man endlich viele Elemente, die nicht die gesamte Banachalgebra erzeugen, so ist deren gemeinsames Spektrum im Allgemeinen nicht polynomkonvex.

