Vivianisches Fenster
# Vivianisches Fenster

Ein vivianisches Fenster oder vivianische Kurve, benannt nach dem italienischen Mathematiker und Physiker Vincenzo Viviani, ist eine 8-förmige Kurve auf einer Kugel, die man als Schnittkurve der Kugel (Radius $r$) und einem die Kugel berührenden Zylinder mit Radius $r/2$ erzeugen kann. (S. Bild).

Viviani stellte 1692 die Aufgabe, aus einer Halbkugel (Radius $r$) zwei Fenster so herauszuschneiden, dass der Rest der Halbkugelfläche „quadrierbar“ ist. Dabei bedeutet quadrierbar: Man kann mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches Quadrat konstruieren. Es stellt sich heraus (s. unten), dass der fragliche Flächeninhalt $4r^{2}$ ist.

## Analytische Beschreibung

Um die Quadrierbarkeit möglichst einfach zeigen zu können, wird hier angenommen, dass

    die Kugel durch die Gleichung $\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\;$ beschrieben wird und
    der Zylinder senkrecht steht und der Gleichung $\;x^{2}+y^{2}-rx=0\;$ genügt.

Der Zylinder berührt die Kugel im Punkt $(r,0,0)\ .$

## Eigenschaften der Kurve

### Grund-, Auf- und Seitenrisse

Durch Elimination von $x$ bzw. $y$ bzw. $z$ aus den Gleichungen ergibt sich: Die orthogonale Projektion der Kurve auf die

    $x$-$y$-Ebene ist der Kreis mit der Gleichung $\;(x-{\tfrac {r}{2}})^{2}+y^{2}=({\tfrac {r}{2}})^{2}\ .$
    $x$-$z$-Ebene die Parabel mit der Gleichung $\;x=-{\tfrac {1}{r}}z^{2}+r\;.$
    $y$-$z$-Ebene die algebraische Kurve mit der Gleichung $\;z^{4}+r^{2}(y^{2}-z^{2})=0\;.$

### Parameterdarstellung

Stellt man die Kugel mit Kugelkoordinaten

    ${\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \cos \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&r\cdot \cos \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&r\cdot \sin \theta \qquad \qquad -{\tfrac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\tfrac {\pi }{2}}\ ,\ -\pi \leq \varphi \leq \pi \;,\end{array}}$

dar und setzt $\;\varphi =\theta ,\;$ erhält man die Kurve

    ${\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \cos \theta \cdot \cos \theta \\y&=&r\cdot \cos \theta \cdot \sin \theta \\z&=&r\cdot \sin \theta \qquad \qquad -{\tfrac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\tfrac {\pi }{2}}\ .\end{array}}$

Man prüft leicht nach, dass diese Kurve nicht nur auf der Kugel liegt, sondern auch die Zylindergleichung erfüllt. Diese Kurve ist allerdings nur die eine Hälfte (rot) der Viviani-Kurve, nämlich der Teil von links unten nach rechts oben. Den anderen Teil (grün, von rechts unten nach links oben) erhält man über die Beziehung $\;\color {green}\varphi =-\theta \;.$

Mit Hilfe dieser Parameterdarstellung lässt sich die Aufgabe von Viviani leicht lösen.

### Quadrierbarkeit der Restfläche

Den Inhalt des rechten oberen Viertels des vivianischen Fensters (s. Bild) erhält man mittels eines Oberflächenintegrals:

    $\iint _{O_{Kug}}r^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \theta \mathrm {d} \varphi =r^{2}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\theta }\cos \theta \,\mathrm {d} \varphi \mathrm {d} \theta =r^{2}({\frac {\pi }{2}}-1)\ .$

Der gesamte Flächeninhalt des von der vivianischen Kurve eingeschlossenen Fläche ist also $2\pi r^{2}-4r^{2}$ und

* der Inhalt der Halbkugel-Oberfläche ($2\pi r^{2}$) ohne dem Inhalt des vivianischen Fensters ist $\;4r^{2}\;$, also gleich dem Quadrat des Kugeldurchmessers.

## Beziehung zu anderen Kurven

* Der Aufriss (s. oben) ist eine Lemniskate von Gerono.
* Die vivianische Kurve ist ein Spezialfall einer Clelia-Kurve. Bei einer Clelia-Kurve ist $\;\varphi =c\;\theta \;.$

Subtrahiert man von der Kugelgleichung 2× die Zylindergleichung und führt quadratische Ergänzung durch, erhält man die Gleichung

    $(x-r)^{2}+y^{2}=z^{2}\;.$

Diese Gleichung beschreibt einen senkrechten Kreiskegel mit der Spitze im Punkt $\;(r,0,0)\;$, dem Doppelpunkt der vivianischen Kurve. Also gilt

* Die vivianische Kurve ergibt sich auch sowohl beim Schnitt

    a) der Kugel mit dem Kegel mit der Gleichung $\;(x-r)^{2}+y^{2}=z^{2}\;$
    als auch beim Schnitt
    b) des Zylinders mit diesem Kegel.
