Satz von Dini
# Satz von Dini

In der Mathematik besagt der (nach Ulisse Dini benannte) Satz von Dini, dass eine monotone Folge reellwertiger stetiger Funktionen mit stetiger Grenzfunktion auf Kompakta gleichmäßig konvergiert.

## Aussage

Sind $X$ ein kompakter topologischer Raum,

    $(f_{i}\colon X\rightarrow \mathbb {R} )_{i\in \mathbb {N} }$

eine Folge reellwertiger, stetiger Funktionen mit

    $f_{i}(x)\leq f_{i+1}(x)$

für alle natürlichen Zahlen $i$ und alle $x\in X$ und existiert eine stetige Grenzfunktion $f$, das heißt

    $\lim _{i\to \infty }f_{i}(x)=f(x)$

für alle $x\in X$, so konvergiert die Folge bereits gleichmäßig gegen $f$, das heißt

    $\lim _{i\to \infty }\sup _{x\in X}|f_{i}(x)-f(x)|=0.$

## Beweis

Für ein vorgegebenes $\varepsilon >0$ setze

    $E_{i}:=\{x\in X\mid f(x)-f_{i}(x)<\varepsilon \}$.

Da die Folge der $f_{i}$ punktweise gegen $f$ konvergiert, bilden die $E_{i}$ eine Überdeckung von $X$, die wegen der vorausgesetzten Stetigkeit offen ist. Die Überdeckung $(E_{i})_{i}$ ist monoton wachsend, da die Funktionenfolge diese Eigenschaft hat. Weil $X$ kompakt ist, wird $X$ bereits von endlich vielen der $E_{i}$ überdeckt. Ist $N$ der größte Index dieser endlich vielen Überdeckungsmengen, so gilt $E_{i}=X$ für alle größeren Indizes $i$. Also ist

    $|f(x)-f_{i}(x)|=f(x)-f_{i}(x)<\varepsilon \,$ für alle $x\in X$ und $i>N\,$,

woraus die Behauptung folgt.

## Bemerkung

Der Satz von Dini gilt auch für monoton fallende Folgen, wie man entweder durch einen entsprechend angepassten Beweis oder durch Übergang zur Folge $(-f_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ sieht.

Auf die Voraussetzung, dass die Grenzfunktion wieder stetig ist, kann nicht verzichtet werden, wie man an dem Beispiel $f_{i}(x)=1-x^{i}$ auf $X=[0,1]$ einfach sehen kann.

