Quantisierungstheorem
# Quantisierungstheorem

Das Quantisierungstheorem liefert im Rahmen der Signaltheorie bei der Quantisierung, dies ist die Überführung von einem wertkontinuierlichen Signal in ein wertdiskretes Signal, eine Aussage über die fehlerfreie Rekonstruierbarkeit des ursprünglichen wertkontinuierlichen Signals. Es stellt das Pendant zu dem Nyquist-Shannon-Abtasttheorem dar, welches die Grenzen zur fehlerfreien Rekonstruktion im Zeitbereich bei der Abtastung beschreibt. Das Quantisierungstheorem wurde 1961 von Bernard Widrow mit Hilfe der Fouriertransformation von Verteilungsdichten formuliert und ist dem Bereich der statistischen Signalverarbeitung zuzuordnen.

## Beschreibung

Ein amplitudenkontinuierliches und bandbegrenztes Signal $x$ mit einer Verteilungsdichtefunktion $p_{X}(x)$, wie in der Abbildung rechts dargestellt, wird durch den Quantisierer Q in ein amplitudendiskretes Signal $y$ mit der Verteilungsdichtefunktion $p_{Y}(y)$ übergeführt. Die kontinuierliche Verteilungsfunktion $p_{X}(x)$ wird durch Integration über die einzelnen Quantisierungsintervalle mit der Breite Q, in der Skizze begrenzt durch die strichlierten Bereiche, in eine diskrete Verteilungsdichtefunktion $p_{Y}(y)$ umgewandelt. Die beiden zugehörigen Frequenzspektren $P_{X}(u)$ und $P_{Y}(u)$ der Verteilungsdichtefunktionen, welche durch die Fouriertransformation und die diskrete Fourier-Transformation ${\mathcal {F}}$ gebildet werden, sind in der Skizze rechts mit roten Verlauf beispielhaft dargestellt. Durch die Diskretheit der Verteilungsdichtefunktion $p_{Y}(y)$ weist das zugehörige Spektrum $P_{Y}(u)$ eine periodische Fortsetzung mit der Quantisierungsfrequenz $u_{0}$ auf.

Das Quantisierungstheorem besagt nun, dass wenn die Quantisierungsfrequenz $u_{0}$ mit:

    $u_{0}={\frac {2\pi }{Q}}$

doppelt so groß wie die höchste Frequenzkomponente in $P_{X}(u)$ ist sich dann die einzelnen Frequenzkomponenten $P_{Y}(u)$ der zeitdiskreten Verteilungsdichtefunktion nicht überlappen. Dieser Fall ist in der Abbildung rechts unten dargestellt. Nur dann ist eine Rekonstruktion der wertkontinuierlichen Verteilungsdichtefunktion $p_{X}(x)$ aus der quantisierten Verteilungsdichtefunktion $p_{Y}(y)$ möglich.

Ist die doppelte Quantisierungsfrequenz kleiner als doppelte Frequenzkomponente in $P_{X}(u)$, kommt es zu einer spektralen Überlappung bei der Verteilung der diskreten Verteilungsdichtefunktion und eine fehlerfreie Abbildung auf die wertkontinuierliche Verteilungsdichtefunktion ist nicht möglich.

## Quellen

* ↑ Bernhard Widrow: Statistical analysis of amplitude-quantized sampled-data systems. In: Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, Part II: Applications and Industry. Band 79, Nr. 6, 1961, S. 555–568, doi:10.1109/TAI.1961.6371702 (PDF).
