Leere Wahrheit
# Leere Wahrheit

Als leere Wahrheit (englisch vacuous truth) bezeichnet man in der mathematischen Logik und der Logik eine Aussage $P\implies Q$, die wahr ist, weil das Antezedens $P$ nicht erfüllt werden kann.

## Form

Leere Wahrheiten sind Implikationen $P\implies Q$, wenn $P$ a priori nicht erfüllt werden kann. Häufig sind sie von der Form

    $\forall x\colon P(x)\implies Q(x),$

wenn $\forall x\colon \neg P(x)$, oder

    $\forall x\in A\colon Q(x),$

wobei $A=\emptyset$.

## Beispiele

Aus der Mathematik:

* Sei $Q$ eine Eigenschaft, dann erfüllen alle $a\in \emptyset$ die Eigenschaft $Q$.
* Sei $x\in \mathbb {R}$, dann gilt $x^{2}<0\implies x=42$.
* Sei $x\in \mathbb {R}$, dann gilt $x>0\;{\land }\;x<0\implies x>\infty$.
* Alle geraden Primzahlen $p>2$ sind durch $9$ teilbar.

Im Sprachgebrauch:

* Die englischen Redewendungen „wenn Schweine fliegen“ (englisch when pigs fly) oder „wenn die Hölle gefriert“ (englisch when hell freezes over) sind Antezedenzien einer leeren Wahrheit.
