Exponentiales Objekt
# Exponentiales Objekt

Ein exponentiales Objekt (oder kurz Exponential) ist eine Verallgemeinerung der Funktionenräume in der Kategorientheorie. Kategorien, die alle endlichen Produkte und Exponentiale besitzen, nennt man kartesisch abgeschlossen.

## Definition

Sei $\mathbf {K}$ eine Kategorie, $Z$ und $Y$ Objekte in $\mathbf {K}$. Weiter soll $\mathbf {K}$ alle binären Produkte mit $Y$ enthalten. Ein Objekt $Z^Y{\textstyle$ Z^{Y}} zusammen mit einem Morphismus $eval:(Z^Y×Y)→Z{\textstyle$ \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\rightarrow Z} wird Exponential genannt, falls für jedes Objekt $X$ mit Morphismus g:X×Y→Z{\textstyle g\colon X\times Y\to Z} ein eindeutiger Morphismus $λg:X→Z^Y{\textstyle$ \lambda g\colon X\to Z^{Y}} (genannt Transposition von $g$) existiert, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Diese eindeutige Zuweisung eines $\lambda g$ zu jedem $g$ erzeugt einen Isomorphismus Hom(X×Y, Z)≅Hom(X, $Z^Y).{\textstyle$ \mathrm {Hom} (X\times Y, Z)\cong \mathrm {Hom} (X, Z^{Y}).}

## Adjungierte Funktoren

Bezeichnet man bei festem Objekt $Y$ mit $(-\times Y)$ den Produktfunktor, der jedes Objekt $X$ auf $X\times Y$ abbildet mit der offensichtlichen Wirkung auf Morphismen, und mit $(-)^{Y}$ den Exponentialfunktor, der jedes Objekt $Z$ auf das exponentiale Objekt $Z^{Y}$ abbildet mit der offensichtlichen Wirkung auf Morphismen, so besagt obige Beziehung nichts anderes, als dass $(-\times Y)$ linksadjungiert zu $(-)^{Y}$ ist, in Zeichen

    $(-\times Y)\dashv (-)^{Y}$.
