Abbesche Invariante
# Abbesche Invariante

Die Abbesche Invariante (nach Ernst Abbe; auch Invariante der Brechung, Nullvariante) stellt in der paraxialen Optik den Zusammenhang zwischen objektseitiger und bildseitiger Schnittweite von Lichtstrahlen dar, die an einer Fläche gebrochen werden:

    $n\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{s}}\right)=n'\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{s'}}\right)$

mit

* n, n' = Brechungsindex vor bzw. nach der brechenden Fläche (jeweils ' für die Bildseite)
* r = Krümmungsradius der brechenden Fläche
* s, s' = objektseitige bzw. bildseitige Schnittweite.

Die Gleichung besagt, dass die lineare Beziehung zwischen Brechungsindex, Krümmungsradius und Schnittweite vor und nach der Brechung eine konstante Größe behält.

Diese Invariante ist eine Grundlage für die Ableitung aller Gesetzmäßigkeiten der optischen Abbildung im achsnahen Gebiet.

Eine andere diesbezügliche Grundaussage ist die Helmholtz-Lagrangesche Invariante.

## Herleitung

In den Dreiecken ACO und ACO' bestehen folgende Beziehungen nach dem Sinussatz:

    ${\frac {\sin \epsilon }{\sin(180^{\circ }-\phi )}}={\frac {s-r}{l}}$ und
    ${\frac {\sin \epsilon '}{\sin(180^{\circ }-\phi )}}={\frac {s'-r}{l'}}$ .

Die erste durch die zweite Beziehung geteilt:

    ${\frac {\sin \epsilon }{\sin \epsilon '}}={\frac {l'(s-r)}{l(s'-r)}}$ .

Mit dem Brechungsgesetz n sinε = n' sinε' :

    $n\left({\frac {s-r}{l}}\right)=n'\left({\frac {s'-r}{l'}}\right)$ .

Im paraxialen Gebiet sind die Winkel σ und σ' so klein, dass für die Strahllängen l und l' die Schnittweiten s bzw. s' gesetzt werden können. Damit erhält man:

    $n\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{s}}\right)=n'\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{s'}}\right)$ .
