Satz von Datko-Pazy
# Satz von Datko-Pazy

Der Satz von Datko-Pazy ist ein Resultat aus der Funktionalanalysis über die Stabilität von $C_{0}$-Halbgruppen auf Banach-Räumen. Das Theorem findet Anwendung in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Der Satz ist nach Richard Frank Datko und Amnon Pazy benannt. Datko bewies den Satz zuerst für den Fall $p=2$ und Pazy verallgemeinert ihn dann auf $p\in [1,\infty )$.

Es existieren Verallgemeinerungen, zum Beispiel von Zabczyk, Rolewicz sowie eine stochastische Variante.

## Satz von Datko-Pazy

Sei $(T(t))_{t\geq 0}$ eine $C_{0}$-Halbgruppe auf einem Banach-Raum $(E,\|\cdot \|)$.

### Gleichmäßige exponentielle Stabilität

$(T(t))_{t\geq 0}$ ist gleichmäßig exponentiell stabil, wenn zwei Konstanten $M>1$ und $s>0$ existieren, so dass

    $\|T(t)\|\leq Me^{-st}$

für alle $t\geq 0$.

### Aussage

Falls für ein $p\in [1,\infty )$ gilt

    $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\mathrm {d} t<\infty ,{\text{ für alle }}x\in E,$

d. h. $T(t)x\in L^{p}(\mathbb {R} ,E)$ für alle $x\in E$, dann ist $(T(t))_{t\geq 0}$ gleichmäßig exponentiell stabil.

