Gegenring
# Gegenring

Der Gegenring zu einem Ring ist eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Ringtheorie. Der Gegenring zu einem Ring entsteht dadurch, dass man bei der Multiplikation die Faktoren vertauscht.

## Definition

Es sei $R$ ein Ring. Dann wird der Gegenring $R^{op}$ (engl. opposite ring) wie folgt definiert:

* Die unterliegende Menge von $R^{op}$ ist $R$.
* Die Addition + auf $R^{op}$ stimmt mit derjenigen auf $R$ überein.
* Die Multiplikation $\circ$ wird mittels der Multiplikation $\cdot$ von $R$ wie folgt definiert: $a\circ b:=b\cdot a$ für alle $a,b\in R^{op}$.

$R^{op}$ ist also im Wesentlichen der Ausgangsring, lediglich bei der Multiplikation wird gegenüber dem Ausgangsring die Reihenfolge der Faktoren vertauscht.

## Eigenschaften

* Ist $R$ kommutativ, so ist offenbar $R^{op}=R$.
* Sätze über Linksideale in einem Ring $R$ sind Sätze über Rechtsideale in $R^{op}$. Daher gelten Sätze, die für alle Linksideale in allen Ringen gelten, auch für Rechtsideale in allen Ringen.
* Ist $R$ eine $K$-Algebra über einem Körper, so ist auch $R^{op}$ eine solche Algebra, indem man für $R$ und $R^{op}$ dieselbe Vektorraumstruktur verwendet. Man spricht dann auch von der Gegenalgebra.
* Es sei $\mathrm {Mat} _{n}(K)$ die Algebra der $n\times n$-Matrizen über einem Körper. Dann gilt für die Transposition $A\mapsto A^{T}$ bekanntlich die Regel $(A\cdot B)^{T}=B^{T}\cdot A^{T}$. Das bedeutet, dass die Transposition ein Ringhomomorphismus $\mathrm {Mat} _{n}(K)\rightarrow \mathrm {Mat} _{n}(K)^{op}$ ist, sogar ein Isomorphismus. Allgemeiner ist ein Antihomomorphismus $R\rightarrow S$ zwischen zwei Ringen ein Homomorphismus $R\rightarrow S^{op}$ bzw. $R^{op}\rightarrow S$
* Im Allgemeinen sind $R$ und $R^{op}$ nicht isomorph. Beispiele findet man dort, wo gewisse Links-rechts-Symmetrien nicht gelten. So gibt es zum Beispiel linksnoethersche Ringe, die nicht rechtsnoethersch sind; solche Ringe können nicht zu ihrem Gegenring isomorph sein.
* Ist $M$ ein $R$-Linksmodul, so wird $M$ durch die Definition $m\cdot a:=am,\,a\in R,m\in M$ zu einem $R^{op}$-Rechtsmodul.
