Satz von Hewitt
# Satz von Hewitt

Der Satz von Hewitt, manchmal englisch Hewitt's Stone-Weierstrass theorem genannt, ist ein im Übergangsfeld zwischen den beiden mathematischen Teilgebieten Topologie und Funktionalanalysis gelegener Lehrsatz, der auf einer Arbeit des US-amerikanischen Mathematikers Edwin Hewitt aus dem Jahr 1947 beruht. Er ist eng mit dem Approximationssatz von Stone-Weierstraß verbunden, den er in einem gewissen Sinne umkehrt.

## Formulierung des Satzes

Er lässt sich angeben wie folgt:

    Gegeben seien ein vollständig regulärer Hausdorff-Raum $X\neq \emptyset \;$ und dazu die Funktionenalgebra ${\mathcal {C}}:=C_{b}(X,\mathbb {R} )\;$ der beschränkten stetigen reellwertigen Funktionen $f\colon X\to \mathbb {R} \;$.
    Weiter sei vorausgesetzt, dass eine jede $\mathbb {R}$-Unteralgebra ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {C}}\;$, welche
       1. die konstante Funktion $1\;$ enthält
    und
       2. punktetrennend in Bezug auf die Raumpunkte $x\in X\;$ ist,
    in ${\mathcal {C}}$ stets dicht liege.
    Dann ist $X$ bereits ein kompakter Raum .

## Erläuterungen

* Die Funktionenalgebra ${\mathcal {C}}$ ist wie üblich mit der Supremumsnorm $\|\cdot \|_{\infty }\colon {\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R}$ versehen.
* In ${\mathcal {C}}$ ist ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {C}}$ genau dann eine $\mathbb {R}$-Unteralgebra, wenn ${\mathcal {A}}$ ein $\mathbb {R}$-linearer Unterraum von ${\mathcal {C}}$ ist und zudem die Eigenschaft hat, dass für je zwei $f_{1}\in {\mathcal {A}}$ und $f_{2}\in {\mathcal {A}}$ stets auch die durch punktweise Multiplikation entstehende Funktion $f_{1}f_{2}\colon X\to \mathbb {R} \;,\;x\mapsto f_{1}(x)f_{2}(x)\;,\;$ in ${\mathcal {A}}$ liegt.
* Unter der konstanten Funktion $1$ versteht man $1\colon X\to \mathbb {R} \;,\;x\mapsto 1\;$.
* Dicht-liegen und das damit verknüpfte Konzept der topologischen Abgeschlossenheit innerhalb der Funktionenalgebra ${\mathcal {C}}$ ist im Sinne der vermöge der Supremumsnorm gegebenen Topologie der gleichmäßigen Konvergenz zu verstehen.
