Konvex-kokompakte Gruppe
# Konvex-kokompakte Gruppe

In der mathematischen Theorie der Kleinschen Gruppen sind konvex-kokompakte Gruppen eine Verallgemeinerung kokompakter Gitter mit zahlreichen Anwendungen etwa in der Theorie der dynamischen Systeme, der niedrig-dimensionalen Topologie und der harmonischen Analysis.

Sie können nicht nur in der Theorie der Kleinschen Gruppen, sondern auch allgemeiner in der Theorie von diskreten Isometriegruppen nichtpositiv gekrümmter Räume betrachtet werden.

## Definition

Eine diskrete Gruppe $\Gamma$ von Isometrien eines CAT(0)-Raumes ${\widetilde {M}}$ (zum Beispiel des hyperbolischen Raumes $H^{n}$) heißt konvex-kokompakt, wenn der konvexe Kern von $M=\Gamma \backslash {\widetilde {M}}$ kompakt ist.

## Konvex-kokompakte Kleinsche Gruppen

Für Kleinsche Gruppen $\Gamma \subset Isom^{+}(H^{3})=PSL(2,\mathbb {C} )$ sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

* $\Gamma$ ist konvex-kokompakt.
* Jeder Punkt der Limesmenge ist ein konischer Grenzpunkt.
* Jeder Punkt der Limesmenge ist ein horosphärischer Grenzpunkt.
* Die Kleinsche Mannigfaltigkeit $(H^{3}\cup \Omega (\Gamma ))/\Gamma$ ist kompakt.

## Konvex-kokompakte Gruppen in höherem Rang

Sei ${\widetilde {M}}=G/K$ ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ.

Wenn ${\widetilde {M}}$ irreduzibel und vom Rang $\geq 2$ ist, dann sind die kokompakten Gitter die einzigen konvex-kokompakten Untergruppen von $G$.

Bei beliebigen symmetrischen Räumen nichtkompakten Typs ${\widetilde {M}}=G/K$ gibt es zu jeder konvex-kokompakten Untergruppe $\Gamma \subset G$ Zerlegungen $G=G_{1}\times \ldots \times G_{r}$ und $\Gamma =\Gamma _{1}\times \ldots \times \Gamma _{r}$ mit $\Gamma _{i}\subset G_{i}$ für $i=1,\ldots ,r$, so dass für jedes $i$ entweder $rank(G_{i}/K_{i})=1$ oder $\Gamma _{i}$ ein kokompaktes Gitter in $G_{i}$ ist.

Deshalb werden in der Theorie der symmetrischen Râume höheren Rangs RCA-Gruppen als reichhaltigere Verallgemeinerung konvex-kokompakter Gruppen untersucht.

