Kürzbarkeit
# Kürzbarkeit

Kürzbarkeit ist eine Eigenschaft von Elementen einer algebraischen Struktur.

## Kürzbare/reguläre Elemente

Gegeben sei ein Gruppoid/Magma $(M,*)$.

### Definition

Ein Element $c\in M$ heißt linkskürzbar oder linksregulär, wenn für alle $a,b\in M$ gilt:

    $c*a=c*b\implies a=b,$

und rechtskürzbar oder rechtsregulär, wenn für alle $a,b\in M$ gilt:

    $a*c=b*c\implies a=b.$

$c\in M$ heißt zweiseitig kürzbar bzw. zweiseitig regulär oder einfach nur kürzbar bzw. regulär, wenn $c$ links- und rechtskürzbar ist.

### Bemerkung

Ist * kommutativ, sind alle drei Arten der Kürzbarkeit gleich, im Allgemeinen jedoch nicht.

### Beispiel

* In einem Ring $(R,+,\cdot )$ ist ein Element genau dann kürzbar, wenn es ein Nichtnullteiler ist.
* In einer Quasigruppe sind alle Elemente kürzbar.

## Kürzbare/reguläre Halbgruppen

### Definition

Eine Halbgruppe $(S,*)$ heißt kürzbar oder regulär, wenn jedes $a\in S$ kürzbar ist.

### Beispiele

* Die Menge der natürlichen Zahlen mit der üblichen Addition $(\mathbb {N} ,+)$ oder mit der üblichen Multiplikation $(\mathbb {N} ,\cdot )$ ist eine kürzbare Halbgruppe.
* Die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Maximum $(\mathbb {N} ,{\text{max}})$ oder mit dem Minimum $(\mathbb {N} ,{\text{min}})$ ist keine kürzbare Halbgruppe.
