Diagonalensatz
# Diagonalensatz

Der Diagonalensatz ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie, mit dem eine charakteristische Bedingung formuliert wird, unter der ein Viereck der euklidischen Ebene ein Parallelogramm ist.

## Formulierung des Satzes

Der Satz besagt folgendes:

    Gegeben sei ein Viereck $\square {ABCD}$ der euklidischen Ebene.
    Dann gilt:
    $\square {ABCD}$ ist jedenfalls dann ein Parallelogramm, wenn die beiden Diagonalen ${\overline {AC}}$ und ${\overline {BD}}$ sich gegenseitig halbieren in der Weise, dass die Mittelpunkte der beiden Diagonalen übereinstimmen.

## Herleitung mittels Vektorrechnung

Die Bedingung besagt, dass es in der euklidischen Ebene einen Punkt $S$ gibt dergestalt, dass die beiden Vektorgleichungen ${\overrightarrow {AS}}={\overrightarrow {SC}}$ und ${\overrightarrow {BS}}={\overrightarrow {SD}}$ bestehen.

Daraus folgert man:

    ${\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AS}}+{\overrightarrow {SD}}={\overrightarrow {SC}}+{\overrightarrow {BS}}={\overrightarrow {BS}}+{\overrightarrow {SC}}={\overrightarrow {BC}}$.

Genauso ergibt sich:

    ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {AS}}+{\overrightarrow {SB}}={(-{\overrightarrow {CS}})}+{(-{\overrightarrow {BS}})}={(-{\overrightarrow {CS}})}+{(-{\overrightarrow {SD}})}=-({\overrightarrow {CS}}+{\overrightarrow {SD}})=-{\overrightarrow {CD}}={\overrightarrow {DC}}$.

Dies beweist den Satz.

## Verallgemeinerung auf Koordinatenebenen

Der Diagonalensatz lässt sich auf affine Koordinatenebenen ${\mathbb {A} }_{2}(K)=K^{2}$ über kommutativen Körpern $K$ einer Charakteristik $\operatorname {char} (K)\neq 2$ ausdehnen und verschärfen; und zwar wie folgt:

    Gegeben seien vier paarweise verschiedene nichtkollineare Punkte $A,B,C,D\in {\mathbb {A} }_{2}(K)$.
    Dann sind die folgenden beiden Bedingungen gleichwertig:
       (A1) Die vier Punkte bilden ein Parallelogramm; d. h.:
          Es sind ${A\vee B}\parallel {C\vee D}$ und ${A\vee D}\parallel {B\vee C}$.
       (A2) Die beiden Diagonalen ${A\vee C}$ und ${B\vee D}$ schneiden sich im Mittelpunkt der beiden Diagonalen; d. h.:
          Es gilt ${\frac {1}{2}}(A+C)={\frac {1}{2}}(B+D)$ .

### Anmerkung zu Koordinatenebenen über Körpern der Charakteristik 2

Für einen kommutativen Körper $K$ der Charakteristik $\operatorname {char} (K)=2$ ist der Sachverhalt anders. Bilden in diesem Falle vier Punkte ein Parallelogramm, so sind die Diagonalen parallel.

