Monogenes Signal
# Monogenes Signal

Das monogene Signal ist eine Verallgemeinerung des analytischen Signals auf mehr als eine Dimension auf Basis der Riesz-Transformation. Das monogene Signal findet Anwendung in der Bildverarbeitung. Mit ihm können Bilder in lokale Amplitude und lokale Phase zerlegt werden.

## Definitionen

### Monogenes Signal

Es sei d eine natürliche Zahl und $f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})$ eine Funktion. Dann ist das monogene Signal $f_{M}$ definiert durch

    $f_{M}:=(f,R_{1}f,\ldots ,R_{d}f),$

wobei $R_{j},j=1,\ldots ,d$ die j-te Komponente der Riesz-Transformation bezeichnet.

### Riesz-Transformation

Es sei d eine natürliche Zahl. Die j-te Komponente, $j=1,\ldots ,d,$ der Riesz-Transformation $R_{j}$ ist definiert durch

    $R_{j}f(x):=c_{d}\lim _{\epsilon \to 0}\int _{0<\epsilon \leq \left|y\right|}{\frac {y_{j}}{\left|y\right|^{d+1}}}f(x-y)\,\mathrm {d} y$

mit

    $c_{d}={\frac {\Gamma \left({\frac {d+1}{2}}\right)}{\pi ^{(d+1)/2}}},$

wobei $\Gamma$ die Gammafunktion bezeichnet.

Die Riesz-Transformation ist definiert als d-dimensionaler Vektor der j-Komponenten $R_{j}$

    $Rf(x):=(R_{1}f(x),\ldots ,R_{d}f(x)).$

## Zusammenhang mit dem analytischen Signal und der Hilberttransformation

Für $d=1$ ist die Riesz-Transformation die Hilbert-Transformation ${\mathcal {H}}$ und das monogene Signal entspricht in diesem Fall dem analytischen Signal, wenn man den Vektor des monogenen Signals als komplexe Zahl auffasst, d. h.

    $\left(f(x),R_{1}f(x)\right)=f(x)+iR_{1}f(x)=f(x)+i{\mathcal {H}}f(x)$

## Zerlegung in Phase und Amplitude

Das monogene Signal erlaubt eine Zerlegung eines mehrdimensionalen Signals in lokale Amplitude und lokale Phase. Die lokale Amplitude $A$ ist in diesem Falle definiert durch

    $A(x)={\sqrt {f^{2}(x)+(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}},$

der lokale Phasenwinkel $\alpha$ durch

    $\alpha (x)=\left|\operatorname {atan2} ({\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}},f)\right|,$

die lokale Phasenrichtung $u$ durch

    $u(x)={\frac {(R_{1}f(x),\ldots ,R_{d}f(x))}{\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}}}$

und die lokale Phase $\phi$ durch

    $\phi (x)=\alpha (x)u(x)=\left|\operatorname {atan2} ({\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}},f)\right|{\frac {(R_{1}f(x),\ldots ,R_{d}f(x))}{\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}}}.$

## Anwendung in der Bildanalyse

Fasst man die Funktion $f$ als zwei- oder dreidimensionales Bild auf, hat das monogene Signal folgende mögliche Anwendungen:

* Die lokale Phase kann als eine Art optischer Fluss eines Bildes aufgefasst werden. Dabei gibt die lokale Phasenrichtung eine Flussrichtung an, der lokale Phasenwinkel eine Flussstärke.
* Unter Verwendung einer Multiskalenanalyse kann das monogene Signal dazu verwendet werden, Strukturen aus Bildern unabhängig von Helligkeit und Beleuchtungsstärke zu extrahieren.
