Binomisches Integral
# Binomisches Integral

Ein binomisches Integral ist ein Integral der Form:

$\int x^{m}\left(ax^{n}+b\right)^{p}\,\mathrm {d} x$ , wobei $m,\ n,\ p$ rationale Zahlen sind und $a\neq 0,n\neq 0$.

Der Satz von Tschebyschow macht nun eine Aussage, wann ein binomisches Integral elementar integrierbar ist. Elementar integrierbar bedeutet, dass das Integral mit Hilfe einer Stammfunktion bestimmt werden kann.

## Satz von Tschebyschow

### Aussage

Ein binomisches Integral ist elementar integrierbar genau dann, wenn mindestens eine der Zahlen $\textstyle p,\ {\frac {m+1}{n}}$ bzw. $\textstyle {\frac {m+1}{n}}+p$ ganz ist.

Ist die Funktion elementar integrierbar, so lässt sich in folgenden drei Fällen die Stammfunktion bestimmen:

* $p\in \mathbb {Z}$ mit der Substitution $x=t^{q}$ wobei q der Hauptnenner von m und n ist
* ${\frac {m+1}{n}}\in \mathbb {Z}$ mit der Substitution $t^{q}=ax^{n}+b$ wobei q der Nenner von p ist
* ${\frac {m+1}{n}}+p\in \mathbb {Z}$ mit der Substitution $t^{q}={\frac {ax^{n}+b}{x^{n}}}$ wobei q der Nenner von p ist.

### Beispiele

1. Beispiel

${\begin{aligned}&\int {\frac {1}{\sqrt {1+x^{4}}}}\,\mathrm {d} x=\int x^{0}\left(1\cdot x^{4}+1\right)^{-{\frac {1}{2}}}\,\mathrm {d} x\\\Rightarrow &m=0,\ n=4,\ p=-{\frac {1}{2}}\\\Rightarrow &p=-{\frac {1}{2}}\notin \mathbb {Z} ,\ {\frac {m+1}{n}}={\frac {0+1}{4}}={\frac {1}{4}}\notin \mathbb {Z} ,\ {\frac {m+1}{n}}+p={\frac {0+1}{4}}-{\frac {1}{2}}=-{\frac {1}{4}}\notin \mathbb {Z} \end{aligned}}$

Somit ist $\textstyle {\frac {1}{\sqrt {1+x^{4}}}}$ nicht elementar integrierbar.

2. Beispiel

${\begin{aligned}&\int {\sqrt[{3}]{x}}{\sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int x^{\frac {1}{3}}\left(1\cdot x^{1}+1\right)^{\frac {2}{3}}\,\mathrm {d} x\\\Rightarrow &m={\frac {1}{3}},\ n=1,\ p={\frac {2}{3}}\\\Rightarrow &p={\frac {2}{3}}\notin \mathbb {Z} ,\ {\frac {m+1}{n}}={\frac {{\frac {1}{3}}+1}{1}}={\frac {4}{3}}\notin \mathbb {Z} ,\ {\frac {m+1}{n}}+p={\frac {{\frac {1}{3}}+1}{1}}+{\frac {2}{3}}=2\in \mathbb {Z} \end{aligned}}$

Also ist $\textstyle {\sqrt[{3}]{x}}{\sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{2}}}$ elementar integrierbar.

## Quelle

* binomisches Integral. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
