UHF-Algebra
# UHF-Algebra

UHF-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um eine Klasse von C*-Algebren, die nach ihrem Entdecker James Glimm auch Glimm-Algebren genannt werden. Die UHF-Algebren sind einfach, das heißt, sie besitzen außer 0 und sich selbst keine zweiseitigen Ideale, und sie können zur Konstruktion bestimmter Von-Neumann-Algebren herangezogen werden.

## Konstruktion

Es bezeichne $M_{n}$ die C*-Algebra der komplexen $n\times n$-Matrizen. Ist $n$ ein Teiler von $m$, so sei $\iota :M_{n}\rightarrow M_{m}$ derjenige *-Homomorphismus, der eine Matrix aus $M_{n}$ auf diejenige $m\times m$-Matrix abbildet, die aus $m/n$ Kopien der Ausgangsmatrix längs der Diagonalen besteht, zum Beispiel

    $M_{2}\rightarrow M_{6},{\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&0&0&0&0\\x_{21}&x_{22}&0&0&0&0\\0&0&x_{11}&x_{12}&0&0\\0&0&x_{21}&x_{22}&0&0\\0&0&0&0&x_{11}&x_{12}\\0&0&0&0&x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}}$.

Dieser *-Homomorphismus ist injektiv und bildet das Einselement auf das Einselement ab. Da injektive *-Homomorphismen zwischen C*-Algebren automatisch isometrisch sind, kann man $M_{n}$ in diesem Sinne als Unteralgebra von $M_{m}$ auffassen, und statt $\iota$ schreiben wir einfach $M_{n}\subset M_{m}$.

Ist nun ${\vec {n}}=(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge natürlicher Zahlen $\geq 2$, so erhält man eine Kette von Inklusionen:

    $M_{n_{1}}\subset M_{n_{1}\cdot n_{2}}\subset M_{n_{1}\cdot n_{2}\cdot n_{3}}\subset \ldots$.

Auf der Vereinigung $\bigcup _{k=1}^{\infty }M_{n_{1}\cdot \ldots \cdot n_{k}}$ gibt es dann eine eindeutige Norm, die jede der C*-Normen von $M_{n_{1}\cdot \ldots \cdot n_{k}}$ fortsetzt, und daher bis auf die Vollständigkeit alle Eigenschaften einer C*-Norm hat. Die Vervollständigung ist daher eine C*-Algebra, die man UHF-Algebra oder Glimm-Algebra vom Rang ${\vec {n}}$ nennt.

## Eigenschaften

### Isomorphien

Die UHF-Algebren hängen natürlich von der definierenden Folge ${\vec {n}}=(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ ab. Zu jeder Primzahl $p$ sei $\delta _{\vec {n}}(p)\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$ das Supremum aller $n\in \mathbb {N}$, so dass $p^{n}$ ein Teiler von $n_{1}\cdot \ldots \cdot n_{k}$, wobei $k$ gegen Unendlich läuft. Dadurch wird der definierenden Folge ${\vec {n}}$ die Folge $\delta _{\vec {n}}=(\delta _{\vec {n}}(p))_{p}$ zugeordnet, die man in Analogie zur Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen auch als $\prod _{p}p^{\delta _{\vec {n}}(p)}$ schreibt und eine übernatürliche Zahl nennt, was freilich nur rein symbolisch zu verstehen ist; $p$ durchläuft hierbei alle Primzahlen. Es gilt

* Zwei UHF-Algebren vom Rang ${\vec {n}}$ bzw. ${\vec {m}}$ sind genau dann isomorph, wenn die zugeordneten übernatürlichen Zahlen gleich sind, das heißt falls $\delta _{\vec {n}}(p)=\delta _{\vec {m}}(p)$ für alle Primzahlen $p$.

Dieser Satz findet sich bereits in. Insbesondere gibt es überabzählbar viele paarweise nicht-isomorphe UHF-Algebren.

### UHF-Algebren als AF-Algebren

Nach oben angegebener Konstruktion sind UHF-Algebren spezielle AF-Algebren; letztere sind allerdings erst später eingeführt worden. Ist ${\vec {n}}=(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ der Rang der UHF-Algebra, so ist das zugehörige Bratteli-Diagramm gegeben durch

    ${\begin{matrix}&\rightrightarrows &&\rightrightarrows &&\rightrightarrows &\\n_{1}&\vdots &n_{1}\cdot n_{2}&\vdots &n_{1}\cdot n_{2}\cdot n_{3}&\vdots &n_{1}\cdot n_{2}\cdot n_{3}\cdot n_{4}\ldots \\&\underbrace {\rightarrow } _{n_{2}\,{\text{mal}}}&&\underbrace {\rightarrow } _{n_{3}\,{\text{mal}}}&&\underbrace {\rightarrow } _{n_{4}\,{\text{mal}}}\end{matrix}}$.

Man liest unmittelbar ab, dass alle UHF-Algebren einfach sind, was sich aber auch ohne die Verwendung der Bratteli-Diagramme zeigen lässt. Als AF-Algebren werden UHF-Algebren auch durch ihre geordnete, skalierte $K_0-Gruppe$ klassifiziert, diese ist isomorph zu

    $\left\{{\frac {a}{b}};\,a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0,b|n_{1}\cdot \ldots \cdot n_{k}{\text{ für ein }}k\in \mathbb {N} \right\}\subset \mathbb {Q}$

mit der durch [0,1] gegebenen Skala.

### Darstellungen

UHF-Algebren sind antiliminal. Jede irreduzible Darstellung ist treu und ihr Bild enthält außer 0 keinen weiteren kompakten Operator. UHF-Algebren besitzen überabzählbar viele, paarweise nicht-äquivalente, irreduzible Darstellungen.

## Konstruktion von Faktoren

Jede UHF-Algebra $A$ besitzt einen eindeutigen Spurzustand, das heißt ein stetiges lineares Funktional $\tau$ mit $\tau (x^{*}x)\geq 0$, $\tau (1)=1$ und $\tau (xy)=\tau (yx)$ für alle Elemente $x,y\in A$. Die zugehörige GNS-Konstruktion liefert eine Darstellung $\pi _{\tau }:A\rightarrow L(H)$ auf einem Hilbertraum $H$. Man kann zeigen, dass der Bikommutant des Bildes $\pi _{\tau }(A)^{''}\subset L(H)$ ein Typ $II_1-Faktor$ ist.

Man nennt Faktoren hyperfinit, wenn sie als Von-Neumann-Algebren durch eine aufsteigende Folge endlich-dimensionaler Unter-von-Neumann-Algebren erzeugt werden. Daraus leitet sich der Name der UHF-Algebren ab, denn diese liegen in solchen hyperfiniten Faktoren, UHF steht für uniformly-hyperfinite.

Eine besondere Rolle spielt die CAR-Algebra, die gleich der UHF-Algebra mit der übernatürlichen Zahl $2^{\infty }$ ist. In werden Darstellungen dieser Algebra konstruiert, deren Bilder Typ III-Faktoren als Bikommutanten haben.

