Morita-Miller-Mumford-Klassen
# Morita-Miller-Mumford-Klassen

In der Mathematik sind die Morita-Miller-Mumford-Klassen oder MMM-Klassen charakteristische Klassen von Flächenbündeln.

## MMM-Klassen von Flächenbündeln

Für ein Flächenbündel $E\to B$ sind seine Morita-Miller-Mumford-Klassen definiert durch

    $\kappa _{n}(E)=(-1)^{n+1}\pi _{!}((c_{1}(T_{v}E))^{n+1})\in H^{2n}(B;\mathbb {Z} ),n=1,2,\ldots ,$

wobei $T^{v}E$ das vertikale Tangentialbündel, $c_{1}(T^{v}E)$ seine erste Chernklasse und $\pi _{!}$ der Gysin-Homomorphismus sind.

## Modulraum Riemannscher Flächen

Mumford betrachtete den Modulraum $M_{g}$ Riemannscher Flächen mit seinem universellen Flächenbündel und dessen tautologischen Klassen (den MMM-Klassen) und stellte die später nach ihm benannte Vermutung auf, dass in hinreichend kleinen Graden die Kohomologie des Modulraums eine polynomielle Algebra in den tautologischen Klassen ist.

## Kohomologie von Abbildungsklassengruppen

Mit rationalen Koeffizienten hat man einen Isomorphismus

    $H^{*}(M_{g};\mathbb {Q} )=H^{*}(B\Gamma _{g};\mathbb {Q} )$

zwischen der Kohomologie des Modulraums und der Gruppenkohomologie der Abbildungsklassengruppe. Die tautologischen Klassen des universellen Flächenbündels definieren also Klassen in der Kohomologie der Abbildungsklassengruppe.

Aus der Mumford-Vermutung (und dem Stabilitätssatz von Harer) folgt, dass in Graden $\leq {\frac {2}{3}}(g-1)$ die Kohomologie der Abbildungsklassengruppe mit der polynomiellen Algebra in den MMM-Klassen übereinstimmt.

