Koerzitive Funktion
# Koerzitive Funktion

In der Mathematik wird eine reellwertige Funktion als koerzitiv (oder koerziv) bezeichnet, falls die Funktionswerte gegen positiv unendlich streben, wenn die Norm der Eingabewerte gegen unendlich strebt.

## Definition

Sei $\left(X,\|\cdot \|\right)$ ein normierter Raum und $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ eine reellwertige Funktion auf $X$. Die Funktion $f$ heißt koerzitiv, falls für alle Folgen $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\subset X$ mit $\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left\|x_{n}\right\|=+\infty$ gilt:

    $\lim \limits _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=+\infty$.

## Motivation

Im Allgemeinen nehmen stetige Funktionen auf nicht-kompakten Mengen kein Minimum oder Maximum an, z. B. realisiert $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\quad x\mapsto x^{3}$ das Maximum und das Minimum nicht. Diese Funktion ist nach unten und nach oben unbeschränkt und nicht koerzitiv. $g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\quad x\mapsto x^{2}$ ist hingegen koerzitiv und nimmt das Minimum ($0=g(0)$) an.

Folgender Satz macht klar, unter welchen Bedingungen eine koerzitive Funktion ihr Minimum tatsächlich annimmt:

Sei $X$ ein reflexiver Banachraum und $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ erfülle wenigstens eine der folgenden Bedingungen:

* $f$ ist schwach halbstetig von unten und koerzitiv
* $f$ ist stetig, konvex und koerzitiv

Dann nimmt $f$ das Minimum an.

## Erweiterung auf Sesquilinearformen

Eine komplexwertige Sesquilinearform $B\colon X\times X\rightarrow \mathbb {C}$ wird als koerzitiv bezeichnet, falls die Funktion $x\mapsto B(x,x)$ reellwertig und koerzitiv ist. Diese Eigenschaft findet z. B. im Lemma von Lax-Milgram Anwendung.

Der Begriff darf nicht mit der Koerzitivfeldstärke verwechselt werden.

