Inverse Normalverteilung
# Inverse Normalverteilung

Die inverse Normalverteilung (auch inverse Gauß-Verteilung oder Wald-Verteilung genannt) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird in verallgemeinerten linearen Modellen verwendet. Bei der Untersuchung der Brownschen Molekularbewegung mit Drift $v>0$ und Streuungskoeffizient $\lambda >0$ ist die zufällige Zeit des ersten Erreichens des Niveaus $a>0$ invers normalverteilt mit den Parametern $\left({\frac {a}{v}},{\frac {a^{2}}{\lambda ^{2}}}\right)$. Die inverse Normalverteilung gehört zur Exponentialfamilie.

## Definition

Eine stetige Zufallsvariable $X$ genügt der inversen Normalverteilung mit den Parametern $\lambda >0$ (Ereignisrate) und $\mu >0$ (Erwartungswert), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte $f(x)={\begin{cases}\left({\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}$ besitzt.

## Eigenschaften

### Erwartungswert

Die inverse Normalverteilung besitzt den Erwartungswert

    $\operatorname {E} (X)=\mu$.

### Varianz

Die Varianz ergibt sich analog zu

    $\operatorname {Var} (X)={\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}$.

### Standardabweichung

Daraus erhält man für die Standardabweichung

    $\sigma ={\sqrt {\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}$

### Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

    $\operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}$.

### Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

    $\operatorname {v} (X)=3{\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}$.

### Wölbung (Kurtosis)

Die Wölbung ergibt sich zu

    $\beta _{2}={\frac {15\mu }{\lambda }}+3$.

Die Exzess-Kurtosis ist

    $\gamma _{2}=\beta _{2}-3={\frac {15\mu }{\lambda }}$.

### Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

    $\phi _{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}is}{\lambda }}}}\right)}$.

### Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der inversen Normalverteilung ist

    $m_{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}s}{\lambda }}}}\right)}$.

### Reproduzierbarkeit

Sind $X_{1},\dots ,X_{n}$ Zufallsvariable mit inverser Normalverteilung mit den Parametern $\lambda$ und $\mu$, dann ist die Größe ${\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$ wieder eine Zufallsvariable mit einer inversen Normalverteilung, aber mit den Parametern $n\lambda$ und $\mu$.

