Spitzenform
# Spitzenform

In der Zahlentheorie wird eine holomorphe Modulform $f$ zur Modulgruppe $\Gamma =SL(2,\mathbb {Z} )$ (manchmal wird auch $PSL(2,\mathbb {Z} )$ als Modulgruppe definiert) als Spitzenform (engl.: cusp form ) bezeichnet, wenn sie in der Spitze (cusp), das heißt für $Im\,z\to \infty$ verschwindet.

Eine äquivalente Bedingung ist, dass der konstante Term $a_{0}=f(0)$ in der Fourier-Entwicklung

    $f(z)=\sum a_{n}e^{2\pi inz}=\sum a_{n}q^{n}$

mit $q=e^{2\pi iz}$, verschwindet:

    $a_{0}=0$.

und keine negativen n in der Entwicklung vorhanden sind (die Modulform ist holomorph). Dann verschwindet $f$ in der Spitze $q=0$.

Man kann auch Spitzenformen zu Kongruenzuntergruppen $\Gamma _{*}$ der Modulgruppe betrachten, dann gibt es im Allgemeinen mehrere Spitzen, parametrisiert durch rationale Zahlen im Unendlichen. Das entspricht dem Grenzwert ${\frac {a}{c}}$ für $z\to \infty$ im Transformationsgesetz $z\to {\frac {az+b}{cz+d}}$ der Modulform, wobei sich nur endliche viele Spitzen im Unendlichen ergeben als Repräsentant jeweils eines Orbits. Kompaktifiziert man den Quotientenraum der oberen Halbebene $\mathbb {H} \backslash \Gamma _{*}$ durch Hinzunahme der Spitzen erhält man die Riemannsche Flächen der zugehörigen Modulkurven.

## Spitzenformen mit gegebenem Gewicht

Im Folgenden werden die Spitzenformen zur vollen Modulgruppe betrachtet. Aus der Definition folgt, dass es für ungerade Gewichte keine nicht-verschwindenden Spitzenformen gibt. Die Dimension des Raumes der Spitzenformen mit gegebenem Gewicht $k\in \mathbb {Z}$ kann mit dem Satz von Riemann-Roch berechnet werden. Die kleinsten Gewichte, für die nichttriviale Spitzenformen existieren, sind

    $k=12,16,18,20,22,26$,

in allen diesen Fällen ist der Raum der Spitzenformen 1-dimensional, es gibt zu diesen Gewichten also jeweils eine bis auf Multiplikation mit komplexen Zahlen eindeutige Spitzenform. Allgemein ist die Dimension des Vektorraums der Spitzenformen zum Gewicht $k=2m$ gleich $\left[{\frac {m}{6}}\right]-1$ falls $m\equiv 1\ mod\ 6$ ist und gleich $\left[{\frac {m}{6}}\right]$ sonst.

Beispielsweise ist die bis auf Multiplikation mit komplexen Zahlen eindeutige Spitzenform zum Gewicht 12 die Diskriminante

    $\Delta (z)=(2\pi )^{12}\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)\,{\mathrm {e} }^{2\pi inz}$,

deren Fourier-Koeffizienten $\tau (n)$ die Ramanujansche tau-Funktion definieren.

Die Fourier-Koeffizienten einer Spitzenform zum Gewicht $k=2m$ verschwinden in $0$ zur Ordnung $m$

    $a_{n}=O(n^{k})$.

Das Petersson-Skalarprodukt auf dem Raum der Spitzenformen ist definiert durch

    $\langle f,g\rangle :=\int _{\mathrm {F} }f(\tau ){\overline {g(z)}}(\operatorname {Im} z)^{k}{\rm {d}}\nu (z)$,

wobei $\mathrm {F} =\{z\in \mathrm {H} |\left|\operatorname {Re} z\right|\leq {\frac {1}{2}},\left|z\right|\geq 1\}$ der Fundamentalbereich der Modulgruppe $\Gamma$ und ${\rm {d}}\nu (z)=y^{-2}{\rm {d}}x{\rm {d}}y$ mit $z=x+iy$ das hyperbolische Volumenelement ist.

