Pollaczek-Chintschin-Formel
# Pollaczek-Chintschin-Formel

In der Warteschlangentheorie, einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie, ist die Pollaczek-Chintschin-Formel eine Formel zur Berechnung der mittleren Warteschlangenlänge bei einem Bedienmodell, dessen Anforderungsstrom Poisson-verteilt ist und dessen Bedienzeiten einer beliebigen Verteilung unterliegen (ein M/G/1-Modell in der Kendall-Notation). Sie kann ebenso zur Berechnung der durchschnittlichen Wartezeit in diesem Modell verwendet werden.

## Geschichte

Die Formel wurde zunächst von Felix Pollaczek 1930 veröffentlicht und von Alexander Chintschin zwei Jahre später überarbeitet.

## Durchschnittliche Warteschlangenlänge

Die Formel gibt die mittlere Warteschlangenlänge $L$ mit

    $L=\rho +{\frac {\rho ^{2}+\lambda ^{2}\operatorname {Var} (S)}{2(1-\rho )}}$

an. Hierbei sind

* $\lambda$ die Ankunftsrate des Poisson-Stroms,
* $1/\mu$ die durchschnittliche Abfertigungszeit der Abfertigungszeitverteilung $S$,
* $\rho =\lambda /\mu$ die Auslastung und
* $\operatorname {Var} (S)$ die Varianz der Abfertigungszeitverteilung $S$.

Für eine stabile Warteschlangenlänge ist es notwendig, dass $\rho <1$ gilt, da sonst die Anfragen schneller ankommen, als sie abgefertigt werden. Die Verkehrsdichte liegt zwischen $0$ und $1$. Dies bezeichnet die durchschnittliche Leerlaufzeit des Bedienelements. Sollte die Ankunftsrate $\lambda _{a}$ größer oder gleich der Bedienrate $\lambda _{s}$ sein, geht die Wartezeit gegen unendlich. Der Varianzterm der Formel resultiert aus dem Wartezeitparadoxon.

## Durchschnittliche Wartezeit

Die Zeit $W$ bezeichne die durchschnittliche Zeit im System, dann gilt $W=W'+\mu ^{-1}$, wobei $W'$ die durchschnittliche Wartezeit und $\mu$ die Bedienrate ist. Unter Verwendung von Littles Gesetz,

    $L=\lambda W$

mit

* $L$ als durchschnittliche Warteschlangenlänge,
* $\lambda$ als Ankunftsrate des Poissonstroms und
* $W$ als durchschnittliche Zeit im System

gilt

    $W={\frac {\rho +\lambda \mu \operatorname {Var} (S)}{2(\mu -\lambda )}}+\mu ^{-1}$.

Als Formel der durchschnittlichen Wartezeit folgt dann

    $W'={\frac {L}{\lambda }}-\mu ^{-1}={\frac {\rho +\lambda \mu \operatorname {Var} (S)}{2(\mu -\lambda )}}$.
