Superstarrheitssatz
# Superstarrheitssatz

In der Mathematik beschreibt der Superstarrheitssatz von Margulis (engl.: Margulis superrigidity theorem) die Darstellungen von Gittern in Lie-Gruppen von höherem Rang. Eine Folgerung aus dem Superstarrheitssatz ist die Arithmetizität dieser Gitter.

## Motivation

Darstellungen von Gruppen sind in Mathematik und Physik von großer Bedeutung. Deshalb würde man gerne zu gegebenen Gruppen ihre Darstellungen, etwa nach $GL(n,\mathbb {C} ),GL(n,\mathbb {R} )$ oder auch in andere Lie-Gruppen klassifizieren.

Der Margulissche Superstarrheitssatz versucht dies für Gruppen, die bereits ein Gitter $\Gamma$ in einer Lie-Gruppe $G$ (vom $\mathbb {R}$-Rang $\geq 2$) sind, zum Beispiel $SL(n,\mathbb {Z} )$ als Gitter in $SL(n,\mathbb {R} )$. (Damit die Bedingung $\mathbb {R} -rk(G)\geq 2$ erfüllt ist, muss in diesem Beispiel $n\geq 3$ sein.) Für solche Gitter gibt die Inklusion $\Gamma \subset G$ eine offensichtliche Darstellung in die Lie-Gruppe $G$ und darüber hinaus liefert jede Darstellung der Lie-Gruppe $G$ in eine andere Lie-Gruppe $H$ auch eine Darstellung von $\Gamma$ in $H$. Da sich die endlich-dimensionalen Darstellungen von Lie-Gruppen vollständig klassifizieren lassen, bleibt dann noch die Frage, ob das Gitter darüber hinaus weitere Darstellungen besitzt.

Gitter in Lie-Gruppen haben in der Regel zahlreiche Homomorphismen auf endliche Gruppen. Zum Beispiel hat $SL(n,\mathbb {Z} )$ surjektive Homomorphismen nach $SL(n,\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )$ für jede natürliche Zahl $N$. Falls eine solche endliche Gruppe in einer Lie-Gruppe $H$ als Untergruppe vorkommt, dann liefert der Homomorphismus eine Darstellung von $\Gamma$ in die Lie-Gruppe $H$.

Der Superstarrheitssatz besagt, dass dies die beiden einzigen Möglichkeiten für Darstellungen von $\Gamma$ in $H$ sind.

Der Superstarrheitssatz gilt nicht für Gitter in $SO(n,1)$ und $SU(n,1)$. Beispielsweise sind Flächengruppen Gitter in $PSL(2,\mathbb {R} )=SO(2,1)$, für ihre Darstellungen nach $SO(2,1)$ gilt aber nicht der Mostowsche Starrheitssatz, und weiterhin haben sie auch zahlreiche treue Darstellungen in $PSL(2,\mathbb {C} )=SO(3,1)_{0}$, die nicht Einschränkungen von Darstellungen $PSL(2,\mathbb {R} )\to PSL(2,\mathbb {C} )$ sind, siehe Quasifuchssche Gruppe und Cannon-Thurston-Abbildungen. Ähnlich gilt zwar für $n>2$ für Gitter in $SO(n,1)$ der Mostowsche Starrheitssatz, jedoch lassen sich manche Gitter $\Gamma \subset SO(n,1)$ in $SO(n+1,1)$ deformieren, ohne dass diese Deformationen sich zu Darstellungen $SO(n,1)\to SO(n+1,1)$ fortsetzen ließen.

## Aussage des Superstarrheitssatzes

Sei $G$ eine nicht-kompakte einfache Lie-Gruppe, die nicht lokal isomorph zu $O(n,1)=Isom(H^{n})$ oder $U(n,1)=Isom(H_{\mathbb {C} }^{n})$ ist, und sei $\Gamma$ ein Gitter in $G$.

Dann ist jede Darstellung $\rho \colon \Gamma \to GL(n,\mathbb {C} )$ mit Zariski-dichtem Bild

* entweder die Einschränkung eines stetigen Homomorphismus $h\colon G\to GL(n,\mathbb {C} )$
* oder sie hat präkompaktes Bild.

## Verallgemeinerungen

Die obige Formulierung ist nicht die allgemeinstmögliche. Zum Beispiel gilt die Aussage auch dann noch, wenn das Bild der Darstellung statt $GL(n,\mathbb {C} )$ eine einfache Lie-Gruppe $H$ mit trivialem Zentrum oder wenn $G$ nur eine halbeinfache Lie-Gruppe, dann aber $\Gamma \subset G$ ein irreduzibles Gitter und das Bild $\rho (\Gamma )$ Zariski-dicht in $H$ ist.

Eine noch allgemeinere Formulierung im Kontext algebraischer Gruppen ist die folgende.

Sei

* $G$ eine zusammenhängende, halbeinfache, reelle algebraische Gruppe ohne kompakten Faktor und sei $\mathbb {R} -rk(G)\geq 2$.
* $\Gamma$ ein irreduzibles Gitter in $G(\mathbb {R} )$.
* $k$ ein lokaler Körper der Charakteristik 0, d. h. $k=\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ oder eine endliche Erweiterung von $\mathbb {Q} _{p}$

und sei $H$ eine einfache, zusammenhängende, algebraische $k$-Gruppe. Sei $\pi \colon \Gamma \to H(k)$ ein Homomorphismus mit Zariski-dichtem Bild. Dann gilt:

* Wenn $k=\mathbb {R}$ und $H(\mathbb {R} )$ nicht kompakt ist, dann kann $\pi$ zu einem rationalen Homomorphismus $G\to H$, definiert über $\mathbb {R}$ (also einen Homomorphismus $G(\mathbb {R} )\to H(\mathbb {R} )$ induzierend) fortgesetzt werden.
* Wenn $k=\mathbb {C}$ ist, dann ist entweder $\pi (\Gamma )$ kompakt, or $\pi$ kann zu einem rationalen Homomorphismus $G\to H$ fortgesetzt werden.
* Wenn $k$ total unzusammenhängend ist, dann ist $\pi (\Gamma )$ kompakt.
