Goldenes Rechteck
# Goldenes Rechteck

Ein Goldenes Rechteck ist ein Rechteck, dessen Seitenverhältnis der beiden Seiten $a$ und $b$ dem Goldenen Schnitt entspricht.

Dabei gilt für die Seitenverhältnisse

    $a:b=(a+b):a$.

Eine markante Eigenschaft dieser geometrischen Figur ist: Entfernt man einen quadratischen Abschnitt, entsteht wiederum ein Goldenes Rechteck.

## Konstruktionen und Eigenschaften

* Die wohl einfachste Konstruktion erhält man, indem man mit einem Quadrat beginnt (Bild 1) und dieses zu einem Goldenen Rechteck ausbaut. Hierzu wählt man zunächst ein paralleles Seitenpaar des Quadrates aus und konstruiert dessen Seitenmitten. Dann verlängert man das Seitenpaar auf einer Seite des Quadrates und zeichnet um die Seitenmitte einen Kreis, der durch die der Seitenmitte gegenüberliegenden Eckpunkte des Quadrats geht. Dieser Kreis schneidet die Verlängerung der Quadratseite im Eckpunkt des Goldenen Rechtecks. Den zweiten Eckpunkt erhält man, indem man eine analoge Konstruktion mit der zweiten Seitenmitte durchführt oder indem man dem ersten Eckpunkt des Goldenen Rechtecks eine Senkrechte errichtet, die die zweite Seitenverlängerung des Quadrates schneidet.
* Die Seiten eines Quadrats (Bild 2) werden so im Goldenen Schnitt geteilt, dass an dem einen gegenüberliegenden Eckenpaar nur die kürzeren Seitenabschnitte anliegen und an dem anderen nur die längeren Seitenabschnitte. Die vier Teilungspunkte auf den Quadratseiten bilden nun ein Goldenes Rechteck.
* In einem regulären Fünfeck (Bild 3) teilen sich die Diagonalen gegenseitig im Goldenen Schnitt. Diese Eigenschaft lässt sich ebenfalls zur Konstruktion eines Goldenen Rechtecks verwenden. Zunächst konstruiert man ein reguläres Fünfeck mit Seitenlänge $a$ samt zwei seiner sich überschneidenden Diagonalen. Nun nimmt man eine der Diagonalen als die Grundseite des Rechtecks und errichtet an ihren Enden jeweils eine zu ihr senkrechte Strecke der Länge $a,$ so erhält man ein Goldenes Rechteck.
* Die Tatsache, dass ein Goldenes Rechteck sich aus einem Quadrat und einem weiteren Goldenen Rechteck zusammensetzt, kann man verwenden, um ein gegebenes Goldenes Rechteck spiralförmig (Bild 4) in eine unendliche Folge von Quadraten zur zerlegen. Zeichnet man in diese Quadrate jeweils aneinandergrenzende Viertelkreise, so erhält man eine aus immer kleiner werdenden Viertelkreisen zusammengesetzte ebene Spirale. Besitzt das Ausgangsrechteck hierbei die Seitenlängen 1 und $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ so bildet diese Spirale eine relativ genaue Approximation der Goldenen Spirale
