Kakwani-Index
# Kakwani-Index

Der Kakwani-Index ist ein Disparitätsmaß, das nach dem Statistiker, Wirtschaftswissenschaftler sowie Ökonometriker Nanak Chand Kakwani benannt wurde.

Variationen des Kakwani-Index werden beispielsweise zur Berechnung von sozialer Ungleichheit in Gesundheitssystemen genutzt.

Für einige Berechnungen wird der Kakwani-Index auch in Kombination mit dem Gini-Koeffizient angewendet oder als Vergleichswert zu diesem präsentiert.

## Herleitung

Aus folgendem Term (vergleiche: Atkinson-Maß!):

    $\mu ^{*}=U^{-1}\left[{\frac {1}{N}}\sum \limits _{i=1}^{N}U\left(x_{i}\right)\right]$

– wobei $\mu ^{*}$ den Vektor des gleichverteilten Äquivalenzeinkommens (equally distributed equivalent income [vector]) darstellt, also die Höhe des gleichverteilten äquivalenten Einkommens angibt, ist Folgendes ersichtlich:

    $M^{*}=\mu (1-A)\,.$

Für die zugrunde liegende Wohlfahrtsfunktion $i$ folgt:

    $W-NU\left(\mu ^{*}\right)+NU\{\mu (1-A)\}\,,$

welche eine monoton steigende Funktion von $u$ und eine monoton fallende Funktion von $A$ ist. Eine weitere Funktion mit diesen Eigenschaften, die allerdings folgendermaßen lautet:

    $W-NU\left({\frac {\mu }{1+K}}\right)\,.$

Hierbei ist $K$ ein Ungleichheitsmaß (dank Kakwani). Durch Hinzufügen der (sozialen) Wohlfahrtsfunktion erhält man:

    $\mu ^{*}={\frac {\mu }{1+K}}$

und folglich:

    $K={\frac {\mu }{\mu ^{*}}}-1\,,$

welches mit $A$ in allen Beziehungen bis auf seine Sensitivität (Empfindlichkeit) auf Einkommensunterschiede im Vergleich zur Ungleichheit völlig übereinstimmt. Es ist anzumerken, dass $(1+K)$ zu $(1-A)$ reziprok ist.

