Optionspreistheorie
# Optionspreistheorie

In der Optionspreistheorie gibt es prinzipiell zwei Herangehensweisen zur Bestimmung des fairen Options­preises:

* Mit Hilfe von Abschätzungen ohne Annahmen über mögliche zukünftige Aktienkurse und deren Wahrscheinlichkeiten (Verteilungsfreie No-Arbitrage-Beziehungen, Inhalt dieses Artikels)
* Durch mögliche Aktienkurse und risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten. Hierzu zählen das Binomialmodell sowie das Black-Scholes-Modell

Bei den verteilungsfreien No-Arbitrage-Beziehungen geht es darum mittels No-Arbitrage-Argumenten, Schranken für Call- und Putwerte zu finden. Für die Ermittlung von No-Arbitrage-Beziehungen (ohne Voraussetzung einer bestimmten Verteilung) wird angenommen, dass die verfügbaren Instrumente Aktien, Zero Bonds sowie Calls und Puts verschiedener Serien sind.

* Die Optionen sind nicht dividendengeschützt.
* Es handelt sich um friktionslose Märkte, d. h., es fallen keine Gebühren an; es wird von einem Kauf-Verkauf-Spread abstrahiert.
* Es gibt keinen Steuereffekt, der sich aus unterschiedlicher Besteuerung von Unternehmensebene und Anlegerebene ergibt.
* Leerverkäufe sind möglich, Sollzins ist gleich Habenzins.
* Es besteht kein Ausfallrisiko.

## Obere und untere Schranken

### Calls

**Obere Schranken**

Der unsichere Wert eines europäischen Calls im Ausübungszeitpunkt kann nicht größer sein als der Wert der Aktie; denn der Call beinhaltet das Recht, die Aktie zu einem vorher festgelegten Preis zu kaufen. Diese Relation im Ausübungszeitpunkt muss auch im Anfangszeitpunkt gelten. Also ist der aktuelle Aktienkurs größer als der Callpreis.

**Untere Schranken**

Ein europäischer Call ist mindestens so groß wie der Aktienkurs (vor der Dividendenzahlung) abzüglich des abgezinsten Basispreises und der abgezinsten Dividende. Der Call kann nie einen negativen Wert annehmen; es ist ein Recht ohne Pflichten (limited liability).

Ein amerikanischer Call ist mindestens so viel wert wie ein europäischer Call und der Differenz zwischen dem aktuellen Aktienkurs und dem Basispreis, er könnte heute schon ausgeübt werden.

### Puts

**Obere Schranken**

Ein europäischer Put ist nicht mehr Wert als der abgezinste Basispreis, ein amerikanischer Put nicht mehr als der Basispreis.

**Untere Schranken**

Ein europäischer Put ist mindestens so groß wie der abgezinste Basispreis abzüglich des Aktienkurses und zuzüglich der abgezinsten Dividende. Der Putwert ist mindestens Null.

Ein amerikanischer Put ist mindestens so viel wert wie ein europäischer Put und der Differenz zwischen dem Basispreis und dem aktuellen Aktienkurs.

## Abschätzungen in Abhängigkeit vom Basispreis

Monotonie im Basispreis

Eine (europäische) Kaufoption für eine Aktie (Call) mit niedrigerem Basispreis ist teurer als eine sonst komplett identische Option mit höherem Basispreis. Ein Call ist das Recht, eine Aktie zum vorher festgelegten Basispreis zu kaufen. Dieses Recht ist umso mehr wert, je „billiger“ der Optionsinhaber die Aktie erwerben kann (höherer innerer Wert, d. h. die Differenz zwischen aktuellem Aktienkurs und Basispreis). Dies gilt auch für Verkaufsoptionen für eine Aktie (Put), wobei ein höherer Basispreis einen höheren Wert impliziert.

Optionswertdifferenz

Zusätzlich lässt sich eine Aussage über Wertgrenzen für Optionen anhand der Differenz der Ausübungspreise (höherer minus niedrigerer) machen. Diese ist im Falle von Call-Optionen größer als die Differenz des Calls mit dem niedrigeren Ausübungspreis und des Calls mit dem höheren Basispreis. Im Falle von Puts ist die Differenz der Ausübungspreise kleiner als die Differenz der Puts (mit höherem Minus niedrigerem Ausübungspreis).

Konvexität im Ausübungspreis

Eine Kombination aus zwei Calls (bzw. Puts) mit unterschiedlichen Basispreisen ist teurer als eine Option mit dem Durchschnittsbasispreis aus den zwei gewichteten Optionen. Eine Optionsstrategie, die sich in diesem Zusammenhang bilden lässt, ist der Butterfly Spread.

## Abschätzungen in Abhängigkeit von der Optionsfrist

Hier muss zwischen amerikanischen und europäischen Optionen unterschieden werden.

Ein amerikanischer Call mit längerer Laufzeit ist mindestens soviel wert, wie ein entsprechender Call mit kürzerer Laufzeit. Das Recht eine Aktie jederzeit zu einem vorgelegten Ausübungspreis zu kaufen, ist umso mehr wert, je länger dieses Recht ausgeübt werden kann. Umgekehrt gilt dies für Puts.

Bei europäischen Optionen muss danach differenziert werden, ob und wann eine Dividende gezahlt wird. Hier sind Volatilitätseffekte und Zinseffekte zu beachten:

* Ein europäischer Call mit längerer Laufzeit ist mehr wert als ein Call mit kürzerer Laufzeit, wenn der Dividendentermin außerhalb des Intervalls zwischen beiden Ausübungszeitpunkten ist.
* Liegt der Dividendenzeitpunkt jedoch zwischen den beiden Ausübungszeitpunkten, so ist keine definitive Aussage möglich. Die Höhe der Dividende bestimmt den dominierenden Effekt.
* Im Falle von Puts ist es sogar möglich, dass der länger laufende Put weniger wert ist als der mit kurzer Laufzeit. Dies ist abhängig vom aktuellen Preis der Aktie.
   * Ist dieser größer als der Basispreis so ist ein länger laufender Put lohnender.
   * Ist hingegen der aktuelle Aktienkurs sehr viel kleiner als der Basispreis, ist der Put also „deep in the money“ so ist die Relation aufgrund stärkerer Abzinsung möglich: Im Extremfall ist der Aktienkurs Null. Wird der Put zu einem früheren Zeitpunkt ausgeübt, so muss er nicht so stark abgezinst werden. Der Erlös ist nicht steigerbar. Also gilt in diesem Fall, dass der Put mit längerer Laufzeit weniger wert ist.
   * Es handelt sich hier aber lediglich um eine Abschätzung aufgrund heute bekannter Daten. Das Gegenteil heißt nicht automatisch, dass eine Ausübung optimal wäre.

## Beziehungen zwischen Call- und Putwerten

Es werden europäische Put- und Calloptionen betrachtet mit gleichen Underlying, Basispreis und Laufzeit. Setzt man Calls und Puts ein, um eine Aktienposition zu hedgen (durch Call short, Put long, Aktie long), kann man im Falle von europäischen Optionen die Put-Call-Parität herleiten. Diese beruht auf dem Gesetz des einen Preises. Diese Beziehung wurde von Hans Stoll (1969, Journal of Finance) erstmals beschrieben.

Die Aussage ist folgende: Ein europäischer Put hat den Wert eines Portfolios aus europäischen Call abzüglich des aktuellen Aktienkurses zuzüglich des T Perioden abgezinsten Basispreises.

Zusammenfassung

    $C_{0}\geq S_{0}-E\$
    $C_{0}(E_{1})\geq C_{0}(E_{2})\quad {\text{mit}}\quad E_{1}<E_{2}$
    $E_{2}-E_{1}\geq C_{0}(E_{1})-C_{0}(E_{2})\$
    $C_{0}(E_{1})+C_{0}(E_{3})\geq C_{0}(E_{2})\quad {\text{mit}}\quad E_{2}=E_{1}+E_{3}$
    $C(T_{1})\leq C(T_{2})\quad {\text{mit}}\quad T_{2}>T_{1}$

## Arbitragestrategien

Im Handel ist der Kaufpreis (Ask) ungleich dem Verkaufspreis (Bid). Damit wird eine der obigen Annahmen aufgelöst. Arbitragemöglichkeiten ergeben sich in folgenden Situationen:

    $C_{\mathrm {ask} }<S_{\mathrm {bid} }-E$
    $C_{\mathrm {ask} }(E_{1})<C_{\mathrm {bid} }(E_{2})$
