Satz vom höchsten Gewicht
# Satz vom höchsten Gewicht

In der Mathematik ist der Satz vom höchsten Gewicht ein auf Elie Cartan zurückgehender grundlegender Lehrsatz der Darstellungstheorie. Er besagt, dass endlichdimensionale Darstellungen von Lie-Algebren oder Lie-Gruppen durch ihr höchstes Gewicht eindeutig bestimmt sind.

## Verwendete Begriffe

Sei ${\mathfrak {g}}$ eine Lie-Algebra, ${\mathfrak {h}}$ eine Cartan-Unteralgebra und $\pi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$ eine Darstellung. Eine lineare Abbildung

    $\lambda \colon {\mathfrak {h}}\to \mathbb {C}$

heißt Gewicht von $\pi$, wenn der Gewichtsraum

    $V_{\lambda }=\left\{v\in V\colon \pi (h)v=\lambda (h)v\ \forall h\in {\mathfrak {h}}\right\}$

nicht nur aus dem Nullvektor besteht.

Die Wurzeln $R$ der Lie-Algebra sind definiert wie folgt. Zu $\alpha \in {\mathfrak {h}}$ definiere $\alpha ^{\vee }\in {\mathfrak {h}}^{*}$ durch

    $\alpha ^{\vee }(x)=2{\frac {B(x,\alpha )}{B(\alpha ,\alpha )}}\ \forall x\in {\mathfrak {h}}$,

wobei $B$ die Killing-Form ist. Dann ist $\alpha$ genau dann eine Wurzel, wenn $\alpha ^{\vee }$ ein Gewicht der adjungierten Darstellung $ad\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$ ist.

Nach Wahl einer Weyl-Kammer ${\mathfrak {h}}^{+}$ kann man die Menge der positiven Wurzeln definieren durch

    $R^{+}:=\left\{\alpha \in R:\alpha ^{\vee }(x)>0\ \forall x\in {\mathfrak {h}}^{+}\right\}$.

Dies erlaubt die Definition einer Teilordnung auf den Gewichten einer gegebenen Darstellung durch

    $\lambda \leq \mu \Longleftrightarrow \lambda (\alpha )\leq \mu (\alpha )\ \forall \alpha \in R^{+}$.

Ein Gewicht heißt ein höchstes Gewicht, wenn es kein größeres Gewicht bzgl. dieser Teilordnung gibt.

Weiterhin heißt eine lineare Abbildung $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$ ein integrales Element, wenn

    $\lambda (\alpha )\in \mathbb {Z} \ \ \forall \alpha \in R$

gilt. Es heißt ein dominantes integrales Element, wenn

    $\lambda (\alpha )\in \mathbb {N} \ \ \forall \alpha \in R^{+}$

ist.

## Satz vom höchsten Gewicht

Sei ${\mathfrak {g}}$ eine halbeinfache komplexe Lie-Algebra. Im Folgenden seien alle Darstellungen endlich-dimensional. Dann besagt der Satz vom höchsten Gewicht:

* Jede irreduzible Darstellung hat ein eindeutiges höchstes Gewicht.
* Zwei irreduzible Darstellungen mit demselben höchsten Gewicht sind äquivalent.
* Das höchste Gewicht einer irreduziblen Darstellung ist ein dominantes integrales Element.
* Jedes dominante integrale Element ist das höchste Gewicht einer irreduziblen Darstellung.

## Beispiele

### sl(2,C)

Eine Cartan-Unteralgebra von ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ist ${\mathfrak {h}}=\left\{\left({\begin{array}{cc}\lambda &0\\0&-\lambda \end{array}}\right):\lambda \in \mathbb {C} \right\}$, als positive Wurzel kann man $\alpha =\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)$ wählen. Für jedes $n\in \mathbb {N}$ hat man ein dominantes integrales Element $\lambda _{n}$ gegeben durch die Abbildung

    $\lambda _{n}(\alpha )=n$.

Dieses entspricht der bekannten $n$-dimensionalen irreduziblen Darstellung (siehe Darstellungstheorie der sl(2,C)) als $Sym^{n-1}(V)$, wobei $V$ die definierende 2-dimensionale Darstellung von ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ bezeichnet.

### sl(3,C)

Eine Cartan-Unteralgebra von ${\mathfrak {sl}}(3,\mathbb {C} )$ ist

    ${\mathfrak {h}}=\left\{\left({\begin{array}{ccc}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&\lambda _{3}\end{array}}\right):\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in \mathbb {C} \colon \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=0\right\}$,

als positive Wurzeln kann man $\alpha _{1}=\left({\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{array}}\right)$ und $\alpha _{2}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}}\right)$ wählen. Für jedes Paar $(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N}$ hat man ein dominantes integrales Element $\lambda _{m,n}$ gegeben durch die Abbildung

    $\lambda _{m,n}(\alpha _{1})=m,\lambda _{m,n}(\alpha _{2})=n$.

Die zugehörige Darstellung $\pi _{m,n}$ ist eine Unterdarstellung von $Sym^{m}(V)\otimes Sym^{n}(V^{*})$, wobei $V$ die definierende 3-dimensionale Darstellung von ${\mathfrak {sl}}(3,\mathbb {C} )$ bezeichnet. Genauer stimmt $\pi _{m,n}$ mit $Ker(\iota _{m,n})$ überein für die durch

    $\iota _{m,n}(v_{1}\ldots v_{m}\otimes v_{1}^{*}\ldots v_{n}^{*})=\sum _{i,j}v_{j}^{*}(v_{i})v_{1}\ldots {\widehat {v_{i}}}\ldots v_{m}\otimes v_{1}^{*}\ldots {\widehat {v_{j}^{*}}}\ldots v_{n}^{*}$

definierte Kontraktion.

## Darstellungen von Lie-Gruppen

Jeder Darstellung einer Lie-Gruppe kann man eine Darstellung ihrer Lie-Algebra zuordnen, siehe Darstellung (Lie-Algebra)#Von Lie-Gruppen-Darstellungen induzierte Darstellungen. Insbesondere kann man auch für Darstellungen von Lie-Gruppen ein höchstes Gewicht definieren.

Irreduzible, endlich-dimensionale Darstellungen einer kompakten, zusammenhängenden (nicht notwendig halbeinfachen) Lie-Gruppe werden durch ihr höchstes Gewicht klassifiziert. Auch dieser Sachverhalt wird häufig als Satz vom höchsten Gewicht bezeichnet.

