Kettenwurzel
# Kettenwurzel

Eine Kettenwurzel ist ein Ausdruck der Form

    $\left(\left(\left(p_{1}^{a}+p_{2}\right)^{a}+p_{3}\right)^{a}+p_{4}\right)^{a}+\dotsb$,

wobei $0<a<1$ und $\left(p_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge positiver reeller Zahlen ist.

Aus einer so definierten Kettenwurzel lässt sich die Kettenwurzel-Folge $\left(P_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ mit

    $P_{1}=p_{1}^{a}$,
    $P_{2}=\left(p_{1}^{a}+p_{2}\right)^{a}$,
    $P_{3}=\left(\left(p_{1}^{a}+p_{2}\right)^{a}+p_{3}\right)^{a}$,
    $P_{4}=\left(\left(\left(p_{1}^{a}+p_{2}\right)^{a}+p_{3}\right)^{a}+p_{4}\right)^{a}$, ...

bilden.

## Beispiele quadratischer Kettenwurzeln

Ist $a={\frac {1}{2}}$, so sind $p_{n}^{a}$ Quadratwurzeln ($n\in \mathbb {N}$).

* Für $p_{n}=1$ ist

       ${\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\dotsb }}}}}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi$
       der Goldene Schnitt.
* Für $p_{n}=2$ gilt

       ${\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dotsb }}}}}}}}=2$.
* Näherungsweise gilt:

    Mit $p_{n}=n$:
       ${\sqrt {1+{\sqrt {2+{\sqrt {3+{\sqrt {4+\dotsb }}}}}}}}\approx 1,757932757$
    Mit $p_{n}=n^{n}$:
       ${\sqrt {1+{\sqrt {4+{\sqrt {27+{\sqrt {256+\dotsb }}}}}}}}\approx 2,066176687$
    Mit $p_{n}=n!^{n}$:
       ${\sqrt {1+{\sqrt {4+{\sqrt {216+{\sqrt {331776+\dotsb }}}}}}}}\approx 2,618086580$
       Dieses letzte Beispiel verdeutlicht in besonderer Weise, dass trotz einer rapide anwachsenden Folge $\left(p_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ die zugehörige Kettenwurzel einen endlichen Wert annehmen kann.

## Konvergenzkriterium

Gegeben sei eine Kettenwurzel-Folge $\left(P_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ mit der zugrunde liegenden Kettenwurzel $\left(\left(\left(p_{1}^{a}+p_{2}\right)^{a}+p_{3}\right)^{a}+p_{4}\right)^{a}+\dotsb$ und der Folge $\left(p_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ positiver reeller Zahlen ($n\in \mathbb {N}$).

Dann konvergiert $\left(P_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ genau dann, wenn es eine reelle Zahl $C$ gibt mit

    $a^{n}\log p_{n}\leq C$.

Alle Kettenwurzel-Folgen in den obigen Beispielen sind nach diesem Kriterium konvergent.

## Konvergenz bei konstanten zugrundeliegenden Folgen

### Grenzwerte bei speziellen konstanten Folgen

Da in den ersten beiden Beispielen die Folge $\left(p_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ jeweils konstante Glieder $p_{n}=p$ hat, tritt für beliebiges $n\in \mathbb {N}$ jeder Rest-Abschnitt der betreffenden Kettenwurzel als Grenzwert $x>0$ von $\left(P_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ auf. Somit lässt sich $x$ jeweils folgendermaßen bestimmen, wobei stets nur die positive Lösung infrage kommt:

    Im ersten Beispiel:
       $x={\sqrt {1+x}}\Leftrightarrow x^{2}=1+x\Leftrightarrow x^{2}-x-1=0\Leftrightarrow x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi$
    Im zweiten Beispiel:
       $x={\sqrt {2+x}}\Leftrightarrow x^{2}=2+x\Leftrightarrow x^{2}-x-2=0\Leftrightarrow x=2$

### Grenzwerte bei allgemeinen konstanten Folgen

Ersetzt man in den ersten beiden Beispielen allgemein die Zahlen $1$ bzw. $2$ durch $p\in \mathbb {N}$, so ergibt sich analog:

       $x={\sqrt {p+x}}\Leftrightarrow x^{2}=p+x\Leftrightarrow x^{2}-x-p=0\Leftrightarrow x={\frac {1+{\sqrt {4p+1}}}{2}}$

Für $p=6$ ist beispielsweise $x=3$ der nächste ganzzahlige Grenzwert.

