Primmodell
# Primmodell

In der Modelltheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Logik, nennt man ein Modell einer Theorie Primmodell, wenn sich dieses Modell in jedes Modell dieser Theorie elementar einbetten lässt.

## Definition

Im Folgenden ist ${\mathcal {T}}$ eine abzählbare Theorie ohne endliche Modelle.

${\mathfrak {A}}$ ist ein Primmodell der Theorie ${\mathcal {T}}$ genau dann, wenn für alle ${\mathfrak {B}}$ mit ${\mathfrak {B}}\models {\mathcal {T}}$ eine Abbildung $\Phi$ existiert mit $\Phi :{\mathfrak {A\hookrightarrow B}}$

## Beispiele

* Der algebraische Abschluss des Primkörpers $\mathbb {F} _{p}$ (bzw. $\mathbb {Q}$) ist ein Primmodell der Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik $p$ (bzw. 0).
* $\mathbb {Q}$ ist ein Primmodell der dichten linearen Ordnungen ohne Extrema.

## Eigenschaften

* Aus dem Satz von Löwenheim-Skolem folgt, dass ein Primmodell abzählbar ist.
* Ist ${\mathcal {T}}$ $\aleph _{0}$-kategorisch, so ist das abzählbare Modell ein Primmodell.
* Zwei Primmodelle einer Theorie sind isomorph.
* Eine Theorie hat genau dann ein Primmodell, wenn die isolierten Typen dicht liegen.

## Beispiel einer Theorie ohne Primmodell

Folgende Theorie der Sprache $L$ besitzt kein Primmodell: Die Sprache $L$ enthält für jedes $s\in$ $^{<\omega }2$ ein einstelliges Prädikat $P_{s}$.

(Zur Notation: $^{<\omega }2$ ist die Menge aller endliche Folgen, die nur aus Nullen oder Einsen bestehen.)

Die Axiome der Theorie sind ($s$ durchläuft alle endlichen Folgen):

    $\forall xP_{0}(x)$
    $\exists xP_{s}(x)$
    $\forall x((P_{s0}(x)\lor P_{s1}(x))\leftrightarrow P_{s}(x))$
    $\forall x\neg (P_{s0}(x)\land P_{s1}(x))$

Die Theorie hat keine isolierten Typen und daher auch kein Primmodell.

