Margulis-Normalteiler-Theorem
# Margulis-Normalteiler-Theorem

In der Mathematik besagt das Margulis-Normalteiler-Theorem (engl.: Margulis' normal subgroup theorem), dass Normalteiler in Gittern höheren Rangs entweder endlich oder von endlichem Index sind.

## Aussage

Sei $G$ eine zusammenhängende halbeinfache Lie-Gruppe mit $rk_{\mathbb {R} }(G)\geq 2$ und endlichem Zentrum. Sei $\Gamma \subset G$ ein irreduzibles Gitter.

Wenn $N\subset \Gamma$ ein Normalteiler ist, dann ist entweder $N\subset Z(G)$ (und insbesondere $N$ endlich) oder $\Gamma /N$ ist endlich.

## Beweis

Der wesentliche Schritt des Beweises besteht darin, dass für einen Normalteiler von unendlichem Index die Faktorgruppe $\Gamma /N$ mittelbar sein muss. (Das wird durch Konstruktion einer Gruppenwirkung auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum mit invariantem Wahrscheinlichkeitsmaß bewiesen.) Andererseits haben Gitter höheren Rangs und damit auch ihre Faktorgruppen die Eigenschaft T und mittelbare Gruppen mit Eigenschaft T müssen endlich sein.

Der Beweis lässt sich auf Gitter in „Lie-Gruppen über lokalen Körpern“ verallgemeinern.

