Sierpinski-Kurve
# Sierpinski-Kurve

Die Sierpiński-Kurven sind eine rekursiv definierte Folge von stetigen geschlossenen fraktalen Kurven. Die Sierpiński-Kurve ist ein Beispiel für eine raumfüllende Kurve, die im Übergang $n\rightarrow \infty$ das Einheitsquadrat vollständig ausfüllt. Sie wurden 1912 vom polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński definiert.

## Eigenschaften

* Der Grenzwert der von der Sierpiński-Kurve umschlossenen Fläche ist $5 \over 12$ (in euklidischer Metrik).
* Die euklidische Länge der Kurve $S_{n}$ wächst exponentiell mit $n$: $l_{n}={\frac {2}{3}}(1+{\sqrt {2}})2^{n}-{\frac {1}{3}}(2-{\sqrt {2}}){\frac {1}{2^{n}}}$.
* Da die Kurve raumfüllend ist, hat sie im Grenzwert die Hausdorff-Dimension $2$.
