Substitutionselastizität
# Substitutionselastizität

In der Mikroökonomie ist die Substitutionselastizität eine spezielle Elastizität und als solche ein Maß, das die relative Änderung einer abhängigen Variablen auf eine relative Änderung einer ihrer unabhängigen Variablen angibt. Sie berücksichtigt dabei den Substitutionsgedanken, meist in der Produktions- und Nutzentheorie, was bedeutet, dass sich im Konsum oder der Produktion manche Güter oder Produktionsfaktoren in einem gewissen Grad gegeneinander austauschen lassen (vgl. substitutionale Produktionstechnologie oder Substitutionsgut).

## Definition

Im Rahmen der Produktionstheorie beschreibt ein solcher Quotient die relative Veränderung des Faktoreinsatzverhältnisses zur relativen Veränderung des Faktorpreisverhältnisses. Man nehme an, eine Produktionsfunktion hänge von zwei Inputs (Arbeit und Kapital) ab, etwa $Q(x_{1},x_{2})$ (diese Funktion ist stetig differenzierbar). Formal betrachtet:

    $\sigma =-{\frac {\mathrm {d} \,\left({\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right)}{\mathrm {d} \,\left({\frac {dx_{1}}{dx_{2}}}\right)}}\cdot {\frac {\frac {\mathrm {d} \,x_{1}}{\mathrm {d} \,x_{2}}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}$,

wobei $x_{i}$ den Produktionsfaktor $i$ bezeichnet und das negative Vorzeichen nur dazu dient den absoluten Wert größer Null zu setzen, da entweder Zähler oder Nenner immer negativ ist. Dabei ist zu beachten, dass

    ${\frac {\mathrm {d} \,x_{1}}{\mathrm {d} \,x_{2}}}$

der Grenzrate der Substitution (GRS) entspricht, welche unter der Annahme vollkommener Konkurrenz (Preise werden als gegeben angenommen) im Optimum gleich dem Preisverhältnis der Inputfaktoren ist:

    ${\frac {\mathrm {d} \,x_{1}}{\mathrm {d} \,x_{2}}}=-{\frac {p_{2}}{p_{1}}}$.

Aus letzterem folgt, dass die Substitutionselastizität im Optimum angibt, um wie viel Prozent sich das Mengenverhältnis zwischen zwei Produktionsfaktoren (z. B. Arbeits- und Kapitaleinsatz) verändert, wenn sich das Preisverhältnis zwischen den entsprechenden Produktionsfaktoren um ein Prozent ändert:

    $\sigma =-{\frac {\mathrm {d} \,\left({\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right)}{\mathrm {d} \,\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)}}\cdot {\frac {\frac {p_{2}}{p_{1}}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}$.

Die Zusammenhänge gelten analog, wenn man einen Haushalt betrachtet, der seinen Nutzen optimiert. Die Substitutionselastizität gibt dann an, um wie viele Prozente sich das Konsumverhältnis im Optimum bei konstantem Nutzenniveau zwischen zwei Gütermengen verändert, wenn sich das Preisverhältnis zwischen den entsprechenden Gütern um ein Prozent ändert. Je größer $\sigma$, desto besser sind die Güter substituierbar.

## Konstante Substitutionselastizität

Eine wichtige Klasse von Funktionen sind die sogenannten CES-Funktionen, deren Substitutionselastizität konstant ist.

## Intertemporale Substitutionselastizität

In der Makroökonomie sind intertemporale Entscheidungssituationen zu analysieren, die das Konzept der Substitutionselastizität auf mehrere Perioden ausdehnen.

Die intertemporale Substitutionselastizität ist die prozentuale Veränderung des Verhältnisses des Konsums zu zwei Zeitpunkten $c(t_{1})/c(t_{2})$ bzw. $C_{1}/C_{2}$ im Verhältnis zur relativen Veränderung der Steigung der intertemporalen Indifferenzkurve (entspricht hier der Grenzrate der Substitution).

$\sigma _{1,2}=-{\frac {\frac {\mathrm {d} (C_{1}/C_{2})}{C_{1}/C_{2}}}{\frac {\mathrm {d} [U'(C_{1})/U'(C_{2})]}{U'(C_{1})/U'(C_{2})}}}={\frac {\mathrm {d} \ln(C_{2}/C_{1})}{\mathrm {d} \ln GRS}}$

## Eigenschaften der Substitutionselastizität

Die Substitionselastizität ist symmetrisch. Beispielsweise gilt

    $\sigma _{LK}=\sigma _{KL}$

Die Spezialfälle:

* $\sigma =1$: Cobb-Douglas-Funktion
* $\sigma =0$: Leontief-Produktionsfunktion
* $\sigma \rightarrow \infty$: Lineare Produktionsfunktion.

## Empirische Untersuchungen

Informationen über Elastizitäten sind wichtig, um die Effekte von möglichen Politikeingriffen bewerten zu können.

Die Schätzung der Substitutionselastizität [σ] ist besonders wichtig bei der Analyse von Wachstum und anderen wirtschaftlichen Problemen.

Empirische Schätzungen für die Vereinigten Staaten:

* Chirinko (2008) diskutiert unterschiedliche σ-Werte (siehe Tabelle 1 'Estimates of the elasticity of substitution' in Chirinko 2008) und deutet auf eine besondere Evidenz von σ-Werten zwischen 0.40-0.60.
* Young (2013) liefert σ-Werte unter 0.620 und generell σ<1 für eine große Mehrheit der SIC in den Vereinigten Staaten.
* Chirinko und Mallick (2017) sagen, dass die Substitutionswerte zwischen Arbeit und Kapital eine entscheidende Voraussetzung für das Verständnis des wesentlichen Rückgangs des Arbeitsanteils am Einkommen sind. Deren Benchmark-Schätzung von σ ist 0.406.
* Knoblach, Roessler und Zwerschke (2019) schätzen σ im Rahmen einer Meta-Regressions-Analyse und kommen auf σ-Werte = 0.45-0.87.

Dabei sind die Determinanten von $\sigma$ bisher ungenügend erforscht. Die empirischen Schätzungen für andere Länder insbesondere für die Entwicklungsländer zeigen, dass es einen Nachholbedarf gibt.

