Satz von van Est
# Satz von van Est

In der mathematischen Theorie der Lie-Gruppen ermöglicht der van Est-Isomorphismus oder Satz von van Est die Berechnung der stetigen Kohomologie von halbeinfachen Lie-Gruppen. Er wurde von Willem Titus van Est bewiesen.

## Aussage

    Die stetige Kohomologie $H_{c}^{*}(G)$ einer nicht-kompakten halbeinfachen Lie-Gruppe $G$ kann berechnet werden als
          $H_{c}^{*}(G)=H_{dR}^{*}(G^{u}/K)$.
    Hierbei bezeichnet $K$ eine maximal kompakte Untergruppe von $G$ und $G^{u}/K$ das kompakte Dual des symmetrischen Raumes $G/K$, sowie $H_{dR}^{*}(G^{u}/K)$ die De-Rham-Kohomologie von $G^{u}/K$.

## Beispiele

* Für $G=SO(n,1)$ ist $G/K=H^{n}$ der hyperbolische Raum, sein dualer symmetrischer Raum ist die Sphäre $G^{u}/K=S^{n}$ und mit dem Satz von van Est erhält man

       $H_{c}^{i}(SO(n,1)=H_{dR}^{i}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {R} ,&{\text{für }}i=0,n\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$
* Für $G=SL(n,\mathbb {C} )$ ist $G/K=SL(n,\mathbb {C} )/SU(n)$ mit kompaktem Dual $G^{u}/K=(SU(n)\times SU(n))/SU(n)\simeq SU(n)$, mit dem Satz von van Est erhält man

       $H_{c}^{*}(SL(n,\mathbb {C} ))=H_{dR}^{*}(SU(n))=\Lambda _{\mathbb {Z} }(b_{3},b_{5},\ldots ,b_{2n-1}),$
    wobei $b_{i}\in H_{c}^{i}(SL(n,\mathbb {C} ))$ die i-te Borel-Klasse bezeichnet.
