Sierpiński-Konstante
# Sierpiński-Konstante

Die Sierpiński-Konstante ist eine mathematische Konstante, benannt nach dem polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński. Sie kann unter anderem durch den folgenden Ausdruck definiert werden:

    $K=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {r_{2}(k)}{k}}-\pi \ln n\right),$

wobei $r_{2}(k)$ die Anzahl der Darstellungen von $k$ in der Form $a^{2}+b^{2}$ mit ganzen Zahlen $a$ und $b$ unter Beachtung der Reihenfolge, $\pi$ die Kreiszahl und $\ln$ der natürliche Logarithmus ist.

## Darstellungsformen

Ein expliziter Ausdruck für die Sierpiński-Konstante $K$ ist

    $K=\pi \left(2\gamma +\ln {\frac {4\pi ^{3}}{\Gamma (1/4)^{4}}}\right)$

mit der Euler-Mascheroni-Konstante $\gamma$ und der Gammafunktion $\Gamma$. Aufgrund der Relation

    $\Gamma (1/4)={\frac {\pi {\sqrt {2}}}{\Gamma (3/4)}}$

ergibt sich die alternative Darstellung

    $K=\pi \left(2\gamma +4\ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)-\ln \pi \right).$

Die Dezimalentwicklung von $K$ ist

    $K=2{,}58498\ 17595\ 79253\ 21706\ 58935\ 87383\ 17116\ 00880\ 51651\ 85263\ \dots$ (Folge A062089 in OEIS)

## $r_n(k)-Funktion$

| $k$ | $r_{2}(k)$ |
| - | - |
| 0 | 1 |
| 1 | 4 |
| 2 | 4 |
| 3 | 0 |
| 4 | 4 |
| 5 | 8 |
| 6 | 0 |
| 7 | 0 |
| 25 | 12 |
| 65 | 16 |

(Folge A004018 in OEIS).

Die Sierpiński-Konstante tritt bei der Untersuchung der Asymptotik der (im Englischen als Sum of Squares bezeichneten) Funktion

    $r_{n}(k)={\bigl |}{\bigl \(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}\mid a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}=k{\bigr \}}{\bigr |}$

für den Fall $n=2$ auf (etwa um den Fall $n=4$ geht es beim Satz von Jacobi).

Beispielsweise ist $r_{2}(3)$ = 0, da sich die Zahl 3 nicht als Summe aus zwei Quadratzahlen darstellen lässt, während $r_{2}(13)$ = 8, denn 13 kann als Summe der Quadratzahlen 9 und 4 in zwei verschiedenen Reihenfolgen, $(\pm 3)^{2}+(\pm 2)^{2}$ und $(\pm 2)^{2}+(\pm 3)^{2}$, jeweils in vier Vorzeichenkonstellationen gebildet werden.

