Triviale Topologie
# Triviale Topologie

Die triviale Topologie, indiskrete Topologie, chaotische Topologie oder Klumpentopologie ist eine im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtete Struktur für eine Menge, die diese zu einem topologischen Raum macht.

## Definition

Sei $X$ eine Menge. Die triviale Topologie auf $X$ ist die Topologie, bei der nur die Menge $X$ und die leere Menge $\emptyset$ offen sind.

## Eigenschaften

Sei $X$ ein topologischer Raum versehen mit der trivialen Topologie.

* Alle Punkte in $X$ sind topologisch ununterscheidbar.
* Entsprechend der Definition sind nur die leere Menge und die ganze Menge $X$ abgeschlossen.
* Der Raum $X$ ist kompakt und somit insbesondere parakompakt, lindelöf und lokalkompakt.
* Der Raum $X$ ist wegzusammenhängend, denn jede Abbildung eines topologischen Raums nach $X$ ist stetig, und somit auch zusammenhängend.
* Die triviale Topologie ist die gröbste aller Topologien auf einer gegebenen Menge, insbesondere ist jede Abbildung von einem topologischen Raum in eine triviale Topologie stetig.
* Die triviale Topologie besitzt alle üblichen Trennungseigenschaften, sofern sie nicht T₀ voraussetzen, und ist pseudometrisierbar durch die Pseudometrik, die beliebigen zwei Punkten den Abstand 0 zuordnet.
* Jeder Filter konvergiert in der trivialen Topologie gegen jeden Punkt, dies charakterisiert die triviale Topologie.
