Mittelbarer G-Raum
# Mittelbarer G-Raum

In der Mathematik ist der Begriff der mittelbaren Gruppenwirkung oder des mittelbaren G-Raums (engl. amenable action) besonders in der Theorie der Operatoralgebren von Bedeutung.

## Definition

Sei $G$ eine topologische Gruppe und $X$ ein messbarer G-Raum, d. h. ein Maßraum mit einer messbaren Gruppenwirkung. Ein invariantes Mittel auf $X$ ist ein lineares Funktional

    $m\colon L^{\infty }(X){\overline {\otimes }}l^{\infty }(G)\to L^{\infty }(X)$

mit $m(f\otimes 1)=f$ und $m(f_{1}\otimes f_{2})\geq 0$ für $f_{1},f_{2}\geq 0$, das invariant unter der Wirkung der Gruppe $G$ ist, für das also $m(g^{*}f)=m(f)$ für alle $g\in G,f=f_{1}\otimes f_{2}\in L^{\infty }(X)\otimes l^{\infty }(G)$ und die durch $g^{*}(f_{1}\otimes f_{2})(x,h)=f_{1}\otimes f_{2}(g^{-1}x,g^{-1}h)$ definierte Funktion $g^{*}f$ gilt.

Ein $G$-Raum heißt mittelbar, wenn es ein invariantes Mittel gibt.

## Beispiele

* Wenn $G$ eine mittelbare Gruppe ist, dann ist jeder $G$-Raum mittelbar.
* Eine freie Wirkung einer Gruppe $G$ ist genau dann mittelbar, wenn $G$ mittelbar ist.
* Die Wirkung einer hyperbolischen Gruppe auf ihrem Rand im Unendlichen ist mittelbar.
* Seien $G$ und $P$ lokalkompakte Gruppen. Wenn $P$ eine mittelbare Gruppe ist, dann ist die Wirkung jeder diskreten Untergruppe $\Gamma \subset G$ auf $G/P$ mittelbar.
