Satz von Mackey-Arens
# Satz von Mackey-Arens

Der Satz von Mackey-Arens (nach George Mackey und Richard Friederich Arens) ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis, genauer aus der Theorie der lokalkonvexen Räume. Der Satz von Mackey-Arens behandelt die Frage, in welchen Topologien bestimmte wichtige Abbildungen stetig sind.

Genauer sei ein lokalkonvexer Raum $E$ mit einer Topologie $t$ gegeben. Dann betrachtet man den Dualraum E' der bezüglich $t$ stetigen, linearen Funktionale auf $E$. Die Frage ist nun, welche weiteren lokalkonvexen Topologien auf $E$ zu denselben stetigen, linearen Funktionalen wie $t$ führen. Solche Topologien heißen zulässig.

Es stellt sich heraus, dass es eine schwächste und eine stärkste zulässige Topologie gibt.

## Die schwächste zulässige Topologie

Die schwächste zulässige Topologie, d. h. die schwächste Topologie, bzgl. der alle Funktionale aus E' stetig sind, ist die schwache Topologie $\sigma (E,E')$. Es ist klar, dass es keine zulässige Topologie geben kann, die echt schwächer ist, und es ist nicht schwer zu zeigen, dass $\sigma (E,E')$ selbst zulässig ist.

## Die Mackey-Topologie

Der Dualraum E' trägt die schwach-*-Topologie, das ist die schwächste Topologie auf E', die alle Abbildungen der Form ${\hat {x}}:E'\rightarrow {\mathbb {K} },\,f\mapsto f(x)$, wobei $x\in E$, stetig macht. Sei ${\mathcal {M}}$ die Menge aller absolutkonvexen und schwach-*-kompakten Mengen $M\subset E'$. Zu $M\in {\mathcal {M}}$ sei $p_{M}$ die durch $\textstyle p_{M}(x):=\sup _{f\in M}|f(x)|$ definierte Halbnorm auf $E$. Dann definiert die Menge $\{p_{M};M\in {\mathcal {M}}\}$ eine lokalkonvexe Topologie auf $E$, die man die Mackey-Topologie auf $E$ nennt und mit $\tau (E,E')$ bezeichnet. Identifiziert man $x$ mit ${\hat {x}}$, d. h. mit einer Funktion auf E', so ist die Mackey-Topologie nichts anderes als die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf absolutkonvexen, schwach-*-kompakten Mengen.

Es zeigt sich nun, dass man mit der Mackey-Topologie die zulässigen Topologien charakterisieren kann.

## Satz von Mackey-Arens

* Ist $E$ ein lokalkonvexer Raum, so ist eine lokalkonvexe Topologie $s$ auf $E$ genau dann zulässig, wenn $\sigma (E,E')\subset s\subset \tau (E,E')$.

Nach diesem Satz ist die Mackey-Topologie die stärkste zulässige Topologie auf $E$, die Existenz einer solchen Topologie ist nicht offensichtlich! Die Ausgangstopologie von $E$ ist definitionsgemäß selbst zulässig, liegt also ebenfalls zwischen $\sigma (E,E')$ und $\tau (E,E')$. Stimmt die Ausgangstopologie von $E$ mit der Mackey-Topologie überein, so nennt man $E$ einen Mackey-Raum. Man kann zeigen, dass quasitonnelierte Räume stets Mackey-Räume sind. Insbesondere sind daher alle tonnelierten und alle bornologischen Räume Mackey-Räume.

## Satz von Mackey

Eine Menge $B$ eines lokalkonvexen Raums heißt beschränkt, wenn es zu jeder Nullumgebung $U$ ein $r>0$ gibt mit $B\subset rU$. Die Beschränktheit hängt damit von der Topologie ab. Daher ist der folgende Satz von Mackey bemerkenswert:

Für eine Teilmenge $B$ eines lokalkonvexen Raumes sind äquivalent:

* $B$ ist beschränkt bzgl. der Topologie auf $E$.
* $B$ ist bezüglich jeder zulässigen Topologie beschränkt.
* $B$ ist bezüglich $\sigma (E,E')$ beschränkt.
* $B$ ist bezüglich $\tau (E,E')$ beschränkt.

## Bedeutung

Der Sätze von Mackey und Mackey-Arens und die Mackey-Topologie spielen eine wichtige Rolle in der Dualitätstheorie lokalkonvexer Räume. Sie finden u. a. Anwendung in der Charakterisierung der Halbreflexivität. Weitere Folgerungen sind Sätze der Art

* Der schwache Dualraum eines tonnelierten Raums ist folgenvollständig.
* Der schwache Dualraum eines Fréchet-Raums, der kein Banachraum ist, ist nicht metrisierbar.

In den mathematischen Wirtschaftswissenschaften treten sogenannte Präferenz- oder Nutzenfunktionen auf gewissen $L^{\infty }$-Räumen auf, auf denen man die schwach-*-Topologie der $L^{1}$-$L^{\infty }$-Dualität betrachtet. Diese Nutzenfunktionen sind im Allgemeinen unstetig bzgl. der schwach-*-Topologie aber stetig bzgl. der feineren Mackey-Topologie $\tau (L^{\infty },L^{1})$.

