Kompaktes Objekt
# Kompaktes Objekt

Ein kompaktes Objekt (auch endlich präsentiertes Objekt) ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ein Objekt einer Kategorie, das eine gewisse Endlichkeitsbedingung erfüllt.

## Definition

Ein Objekt $X$ einer Kategorie ${\mathcal {C}}$, die alle filtrierten Kolimiten enthält heißt kompakt, falls der Funktor

    $\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,\cdot ):C\to \mathbf {Set} ,Y\mapsto \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$

filtrierte Kolimiten erhält, das heißt, falls die kanonische Abbildung

    $\operatorname {colim} _{i}\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y_{i})\to \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,\operatorname {colim} _{i}Y_{i})$

für jedes filtrierte System von Objekten $Y_{i}$ in ${\mathcal {C}}$ eine Bijektion ist. Analog heißt $X$ kokompakt, falls der Funktor $\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(\cdot ,X)$ kofiltrierte Limiten erhält.

