Mittelbare Wirkung
# Mittelbare Wirkung

In der Mathematik sind mittelbare Wirkungen eine Verallgemeinerung des Begriffs mittelbarer Gruppen.

## Definition

Sei $(S,\mu )$ eine regulärer $G$-Raum. Man sagt, dass die Wirkung von $G$ auf $S$ mittelbar ist, wenn es einen stetigen, $G$-äquivarianten Operator

    $P\colon L^{\infty }(G\times S,\mathbb {R} )\to L^{\infty }(S,\mathbb {R} )$

gibt mit folgenden Eigenschaften:

* $\Vert P\Vert =1$,
* $P(\chi _{G\times S})=\chi _{S}$,
* $P(f\cdot \chi _{G\times A})=P(f)\cdot \chi _{A}$ für alle $f\in L^{\infty }(G\times S)$ und alle messbaren Mengen $A\subset S$.

## Beispiele

* Eine Gruppe $G$ ist genau dann mittelbar, wenn jeder reguläre G-Raum eine mittelbare Wirkung ist.
* Eine abgeschlossene Untergruppe $Q\subset G$ ist genau dann mittelbar, wenn die Wirkung von $G$ auf $G/Q$ mittelbar ist.
* Die Wirkung einer Lie-Gruppe auf ihrem Furstenberg-Rand ist mittelbar.
