Z-Kurve
# Z-Kurve

Die Z-Kurve (Lebesgue-Kurve, englisch Z-order curve) ist eine Abbildung, die Punkte aus dem mehrdimensionalen Raum in eine lineare Ordnung, die Z-Ordnung oder Morton-Ordnung, bringt, eine Ordnung mit nachbarschaftserhaltenden Eigenschaften: Wenn zwei Raumpunkte im Mehrdimensionalen nah beisammen liegen, liegen mit hoher Wahrscheinlichkeit auch ihre Z-Werte nah beisammen. Der Z-Wert eines Raumpunktes wird durch bitweises Verschränken der binären Koordinatenwerte berechnet.

Mit Hilfe der Z-Ordnung lassen sich (effiziente) Verfahren, die auf einer linearen Ordnung beruhen, ins Mehrdimensionale übertragen. Dazu gehört Binäres Suchen, Binärer Suchbaum, Skip-Liste, B-Baum, oder ein $B^+-Baum.$ Im letzteren Fall wird er nach Rudolf Bayer UB-Baum (Universal B-Tree) genannt. Die Z-Ordnung ist auch vorteilhaft, wenn sich an einen Direktzugriff eine sequentielle Suche anschließt, bei der Nachbarschaftsbeziehungen vorteilhaft ausgenutzt werden können.

Die Z-Ordnung ist beliebt aufgrund ihrer guten Nachbarschaftserhaltung und der einfachen Berechenbarkeit der Z-Werte. Bei der Hilbert-Kurve ist die Nachbarschaftserhaltung besser, doch sind die Rechnungen komplizierter.

Anwendungen finden sich bei der Nachbarschaftssuche in Datenbanken, bei diversen technischen Anwendungen, sowie – zur besseren Nutzung der Speicherhierarchie – in der linearen Algebra.

## Zahlentheorie

Die nebenstehende Abbildung zeigt die Z-Werte im zweidimensionalen Fall für ganzzahlige Koordinaten $0\leq x\leq 7,\,0\leq y\leq 7$. Das bitweise Verschränken der $x$- und $y$-Werte (auch bitweises Verzahnen oder Binärbruchpressung genannt) ergibt die binären $z$-Werte. Verbindet man diese in ihrer aufsteigenden numerischen Reihenfolge, dann entsteht eine Kurve (Polygonzug), die Z-Kurve genannt wird. Die zugrunde liegende Abbildung sei in ihrer $n$-ten Iteration durch

    ${\begin{array}{lllll}M_{n}\;\colon &{\Bigl\{0,1,\dotso ,2^{n}\!\!-\!\!1\}\cdot 2^{-n}{\Bigr )}^{2}&\to \{0,1,\dotso ,4^{n}\!\!-\!\!1\}\cdot 4^{-n}\\&\displaystyle {\Biggl\sum _{i=1}^{n}z_{2i-1}2^{-i},\;\sum _{i=1}^{n}z_{2i}2^{-i}{\Biggr )}&\mapsto \displaystyle \sum _{i=1}^{2n}z_{i}2^{-i}\\\end{array}}$

spezifiziert. Sie lässt sich leicht auf höhere Dimensionen erweitern und ist umkehrbar eindeutig (bijektiv).

In den binären Darstellungen der Z-Werte $M_{n}(x,0)$ für $y=0$ gibt es 1-Bits höchstens an Binärstellen mit geradem Index. Im System zur Basis 4 bestehen diese Zahlen also nur aus Ziffern 0 und 1. Diese Zahlen heißen Z-Werte im engeren Sinn oder Moser-de Bruijn-Zahlen. Sie machen die Folge A000695 in OEIS aus.

Fürs Folgende sei diese Folge angegeben als

    $z[\,]=\{0_{2},1_{2},100_{2},101_{2},10000_{2},10001_{2},10100_{2},10101_{2},\,\dotso \}$ ,

wobei der ersten Komponente der Index 0 gegeben wird. Summen und Differenzen zweier $z$-Komponenten lassen sich bilden durch die bitweisen Operationen

    $z[i+j]=((z[i]\lor {\overline {10}}_{2})+z[j])\land {\overline {01}}_{2}$ und
    $z[i-j]=((z[i]\land {\overline {01}}_{2})-z[j])\land {\overline {01}}_{2}$ falls $i\geq j$ ,

mit ${\overline {01}}_{2}:=\dotso {\overline {01}}0101_{2}$ und mit den Operatoren $\land$ für bitweises logisches UND und $\lor$ für bitweises logisches ODER, jeweils angewendet auf die in Bitketten aufgelösten Operanden.

Eine Formel zum Erzeugen des Folgeelements $z[i+1]$ aus dem Vorgänger $z[i]$ ist

    $z[i+1]:=((z[i]\vee {\overline {10}}_{2})+1)\land {\overline {01}}_{2}$.

## Anwendungen in der Informatik

### Nachbarschaftssuche

Durch Bitverschränken werden die Datenbankeinträge in eine (möglicherweise sehr lange) Folge von Bits umgewandelt. Die Bitfolgen werden als Binärzahlen interpretiert, und die Datenbankeinträge werden nach den Binärwerten sortiert oder indiziert, wobei eine beliebige eindimensionale Datenstruktur verwendet wird, wie in der Einleitung erwähnt. Jedoch ist bei der Abfrage eines mehrdimensionalen Suchbereichs in diesen Daten eine binäre Suche nicht wirklich effizient. Trotz der guten Nachbarschaftserhaltung ist für die mehrdimensionale Bereichssuche ein Algorithmus erforderlich, um, ausgehend von einem in der Datenstruktur außerhalb des Suchbereichs angetroffenen Punkt, den nächstmöglichen Z-Wert zu bestimmen, dessen Koordinaten im Suchbereich liegen.

Im Beispiel der nebenstehenden Abbildung ist der Suchbereich (x=2..3, y=2..6), ein 2D-Intervall, als gestricheltes Rechteck angezeigt. Der höchste Z-Wert darin ist MAX=45. Angenommen, im Laufe der Suche wird der Wert F=19 angetroffen, bei Suche nach steigenden Werten. Das 1D-Intervall zwischen F und MAX (schraffiertes Gebiet) ist Obermenge des noch zu durchsuchenden Teils des Rechtecks. Um die Suche zu beschleunigen, wird der nächstmögliche Z-Wert im Suchbereich berechnet, im Folgenden BIGMIN genannt (36 im Beispiel). Dann muss nur das Intervall zwischen BIGMIN und MAX durchsucht werden (fett gezeichnete Werte), dadurch wird der Großteil des schraffierten Gebiets übersprungen. Die Suche nach fallenden Werten ist analog dazu, mit LITMAX, dem größten Z-Wert im Suchbereich, der kleiner ist als F. Das Problem und seine Lösung wurde zuerst im Jahr 1981 von Tropf und Herzog beschrieben. Die Methode wird auch in UB-Bäumen verwendet, mit dem Namen „GetNextZ-address“ für BIGMIN.

Indem man die Methode hierarchisch (entsprechend der verwendeten Datenstruktur) einsetzt, ggf. nach sowohl steigenden als auch fallenden Z-Werten, erhält man eine hocheffiziente mehrdimensionale Bereichssuche; dies ist nützlich sowohl in kommerziellen als auch technischen Anwendungen, z. B. als Grundfunktion für (Nächste-)Nachbarschaftssuchen.

Eine ausführliche Erläuterung des LITMAX/BIGMIN-Berechnungsalgorithmus, zusammen mit Pascal-Quellcode (3D, leicht an nD anzupassen) und Hinweisen zum Umgang mit Fließkommadaten und möglicherweise negativen Daten, wird bereitgestellt 2021 von Tropf. Hier wird die Bitverschränkung nicht explizit durchgeführt; die Datenstruktur hat nur Zeiger auf die ursprünglichen (unsortierten) Datensätze. Mit einer allgemeinen Datensatz-Vergleichsfunktion (größer-kleiner-gleich, im Sinne des Z-Wertes) werden Komplikationen mit Bitfolgen vermieden, deren Länge die Computerwortlänge übersteigt, und der Code kann leicht an eine beliebige Anzahl von Dimensionen und jede Datensatz-Schlüsselwortlänge angepasst werden.

Die Methode wird verwendet in diversen technischen Anwendungen unterschiedlicher Bereiche und in Datenbanksystemen und ist eine der wenigen mehrdimensionalen Zugriffsmethoden, die Eingang in kommerzielle Datenbanken gefunden haben.

Der Ansatz hängt nicht von der gewählten eindimensionalen Datenstruktur ab. Die freie Wahl der Struktur macht es einfacher, die Methode in bestehende Datenbanken zu integrieren. Dies steht im Gegensatz beispielsweise zu R-Bäumen, bei denen besondere Vorkehrungen erforderlich sind. So können z. B. für dynamische Daten fallbewährte, balancierte Strukturen verwendet werden, bei denen die Beibehaltung des Baumgleichgewichts beim Einfügen oder Löschen O(log n) Zeit benötigt.

### Nutzung der Speicherhierarchie

Moderne Mikroprozessoren bieten eine umfangreiche Speicherhierarchie. Auf hoher Ebene sind die Speicher schnell und ausschließlich einem einzelnen Kern zugewiesen, aber klein. Wenn der Datenzugriff eine hohe Lokalität aufweist, können übermäßige Datenübertragungen zwischen den verschiedenen Ebenen der Speicherhierarchie vermieden werden.

So können Matrizen in der linearen Algebra auch anhand von einer raumfüllenden Kurve durchwandert werden. Herkömmliche Schleifen durchwandern eine Matrix zeilenweise. Das Durchwandern mit der Z-Kurve ermöglicht einen effizienten Zugriff auf den Speicher.

## Analysis

### Binärbruchverschränkung

**Bemerkung zur Notation**


    Um Undeutlichkeiten oder Verwechslungen mit dem Komma der Notationen für Intervalle oder Koordinatenpaare zu vermeiden, wird im Folgenden als Trennzeichen zu den Stellen mit negativen Exponenten der Punkt verwendet. Wir folgen diesbezüglich M. Bader wie auch in der Platzierung der Basis als Präfix bei diesem Punkt.
    Ferner verwenden wir zur Kennzeichnung offener reeller Intervalle die umgekehrten eckigen Klammern $]0,1[~,$ da die runden zur Kennzeichnung der $(x,y)$-Paare benötigt werden.

Die durch unendliche Iteration der obigen Vorschrift $M_{n}$ „definierte“ und auf das Einheitsintervall normalisierte Abbildung

    ${\begin{array}{lllll}M\;\colon &[0,1[&\times &[0,1[&\to &[0,1[\\&{\Biggl\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }z_{2i-1}2^{-i}&,&\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }z_{2i}2^{-i}{\Biggr )}&\mapsto &\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }z_{i}2^{-i}\\&&&&=&\displaystyle \lim _{n\to \infty }M_{n}\left(\displaystyle \sum _{i=1}^{n}z_{2i-1}2^{-i},\;\;\sum _{i=1}^{n}z_{2i}2^{-i}\right)\\\end{array}}$

mit Ziffern $z_{i}\in \{0,1\}$

ist zunächst nicht wohldefiniert, weil es zu einem gekürzten Bruch mit Zweierpotenz im Nenner, also zu einem Element

    $x\in E:=\mathbb {N} 2^{-\mathbb {N} }\,\cap \,\,]0,1[$

mit abbrechender Binärdarstellung, zwei Möglichkeiten der Darstellung gibt.

Beispielsweise hat der Bruch $x={\tfrac {1}{2}}$ die Darstellung mit einem $0_2-Ende$

    ${\tfrac {1}{2}}=\displaystyle 1\cdot 2^{-1}+\sum _{i=2}^{\infty }0\cdot 2^{-i}=0_{2}.1{\overline {0}}$

und die mit einem $1_2-Ende$

    ${\tfrac {1}{2}}=\displaystyle 0\cdot 2^{-1}+\sum _{i=2}^{\infty }1\cdot 2^{-i}=0_{2}.0{\overline {1}}$ .

Diese Wahlmöglichkeit (Gleichheit) ist bei endlichem $n$ nicht gegeben, im Limes $\textstyle \lim _{n\to \infty }$ aber sehr wohl, wo sie die für die Funktion $M$ erforderliche Rechtseindeutigkeit verletzt, da sie sich auf das Ergebnis der Verschränkung auswirkt. Die Rechtseindeutigkeit lässt sich aber, beispielsweise durch eine der folgenden Vorschriften, herstellen:

Durch jede der beiden Vorschriften wird $M$ wohldefiniert und ist auch injektiv.

$M$ ist aber nicht surjektiv. Denn bei beiden Vorschriften gibt es bspw. zu Brüchen wie $z=0_{2}.01{\overline {10}}=0_{4}.1{\overline {2}}={\tfrac {5}{12}}\in [0,1[$ kein Urbild, da hierfür die $x$-Koordinate zwingend ein $0_2-Ende$ und die $y$-Koordinate zwingend ein $1_2-Ende$ haben müsste (resp. umgekehrt bei $z=0_{2}.10{\overline {01}}=0_{4}.2{\overline {1}}={\tfrac {7}{12}}$.) Das Bild des Einheitsquadrates ist jeweils

    $M_{\downarrow }{\bigl[0,1[^{2}{\bigr )}\;=\;\;\;[0,1[\;\setminus \;{\bigl\mathbb {N} 2^{-\mathbb {N} }+\{-{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}}\}{\bigr )}$bei Vorschrift ↓ resp. $M_{\uparrow }{\bigl[0,1[^{2}{\bigr )}\;=\;{\Bigl[0,1[\;\setminus \;{\bigl\mathbb {N} 2^{-\mathbb {N} }+\{-{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}}\}{\bigr )}{\Bigr )}\cup {\bigl{\tfrac {1}{3}}\cdot 2^{-\mathbb {N} }{\bigr )}$bei Vorschrift ↑.

Ihm fehlt in beiden Fällen zum Einheitsintervall eine abzählbare dichte Teilmenge. Somit ist es nicht kompakt. (Gleichwohl ist die abgeschlossene Hülle beider Bilder das abgeschlossene Intervall $[0,1]$.)

Weder $M_{\downarrow }$ noch $M_{\uparrow }$ ist stetig, da an den Punkten $\in E$ eine infinitesimale Änderung des Arguments eine endliche Änderung des Funktionswerts bewirkt. Das kann man schon in der obigen Abbildung „dritte Iteration“ erkennen, beispielsweise am Einserschritt der $y$-Koordinate von $(000_{2},011_{2})\mapsto 001010_{2}=10_{\rm {dez}}$ zu $(000_{2},100_{2})\mapsto 100000_{2}=32$ oder am Einserschritt der $x$-Koordinate von Punkt $(011_{2},000_{2})\mapsto 000101_{2}=5$ zu Punkt $(100_{2},0)\mapsto 010000_{2}=16$, wo die Positionsnummer in der Z-Kurve um mehr als ein Drittel (32−10=22 > 64/3) resp. um mehr als ein Sechstel (16−5=11 > 64/6) ihrer Gesamtlänge (64) zunimmt.

Genaue Überlegung :

| $y$ mit $0_2-Ende$ | $y_{k-1}$ | $x_{k-1}$ | $1$ | $x_{k}$ | $0$ | $x_{k+1}$ | $0$ | $x_{k+2}$ |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| $y$ mit $1_2-Ende$ | $y_{k-1}$ | $x_{k-1}$ | $0$ | $x_{k}$ | $1$ | $x_{k+1}$ | $1$ | $x_{k+2}$ |
| Überträge | $\scriptstyle 0$ | $\scriptstyle 0$ | $\scriptstyle 1$ | $\scriptstyle 1$ | $\scriptstyle 1$ | $\scriptstyle 1$ | $\scriptstyle 1$ | $\scriptstyle {\overline {1}}$ |
| Differenz | $0$ | $0$ | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ |
| $x$ mit $0_2-Ende$ | $y_{k}$ | $1$ | $y_{k+1}$ | $0$ | $y_{k+2}$ | $0$ |
| $x$ mit $1_2-Ende$ | $y_{k}$ | $0$ | $y_{k+1}$ | $1$ | $y_{k+2}$ | $1$ |
| Überträge | $\scriptstyle 0$ | $\scriptstyle 1$ | $\scriptstyle 1$ | $\scriptstyle 1$ | $\scriptstyle 1$ | $\scriptstyle {\overline {1}}$ |
| Differenz | $0$ | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ | $0$ |

### Raumfüllend

Die „Umkehrfunktion“

    ${\begin{array}{lllll}U\,\colon &\;[0,1[&\to &[0,1[&\times &[0,1[\\&\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }z_{i}2^{-i}&\mapsto &{\Biggl\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }z_{2i-1}2^{-i}&,&\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }z_{2i}2^{-i}{\Biggr )}\end{array}}$

mit $z_{i}\in \{0,1\}$ ist – wie das obige $M$ aus demselben Grund der fehlenden Rechtseindeutigkeit infolge mehrdeutiger binärer Darstellbarkeit – zunächst nicht wohldefiniert. Wie dort lässt sich die Rechtseindeutigkeit durch die Vorschrift herstellen, dass ein Bruch $z\in E$ entweder immer nur mit $0_2-Ende$ (Vorschrift ↓) oder immer nur mit $1_2-Ende$ (Vorschrift ↑) zu expandieren ist. Je nachdem sei die Variante von $U$ mit $U_{\downarrow }$ oder mit $U_{\uparrow }$ bezeichnet. Durch jede der beiden Vorschriften wird $U$ wohldefiniert. Sie bildet das Einheitsintervall $[0,1[$ surjektiv („raumfüllend“) auf das Einheitsquadrat $[0,1[^{2}$ ab.

$U$ ist aber nicht injektiv, denn die Punkte aus $(E\times [0,1\,\cup \,([0,1[\,\times E)$ haben mehrere Urbilder. Beispielsweise hat der Punkt $({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}})\in E\times [0,1[$ sowohl

    ${\tfrac {23}{60}}$ wegen $U({\tfrac {23}{60}})=U(0_{4}.1{\overline {20}})=U(0_{2}.01{\overline {1000}})=(0_{2}.10,0_{2}.{\overline {01}})=({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}})$ als auch
    ${\tfrac {13}{60}}$ wegen $U({\tfrac {13}{60}})=U(0_{4}.0{\overline {31}})=U(0_{2}.00{\overline {1101}})=(0_{2}.0{\overline {1}},0_{2}.{\overline {01}})=({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}})$

zum $U$-Urbild. Die Umkehrung davon entspricht mit $(x,y)=({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}})$ genau den zwei einseitigen Grenzwerten

    $\lim _{\xi \downarrow x}M(\xi ,y)=M_{\downarrow }(0_{2}.10,0_{2}.{\overline {01}})=0_{2}.01{\overline {1000}}=0_{4}.1{\overline {20}}={\tfrac {23}{60}}$ und
    $\lim _{\xi \uparrow x}M(\xi ,y)=M_{\uparrow }(0_{2}.0{\overline {1}},0_{2}.{\overline {01}})=0_{2}.00{\overline {1101}}=0_{4}.0{\overline {31}}={\tfrac {13}{60}}$ .

Etwas anders liegt der Fall bei den im vorigen Abschnitt Binärbruchverschränkung erwähnten Punkten ${\tfrac {5}{12}}$ und ${\tfrac {7}{12}}$, die weder Bildpunkte von $M_{\downarrow }$ noch von $M_{\uparrow }$ sind. Unter $U$ ist

    $U({\tfrac {5}{12}})=U(0_{2}.01{\overline {10}})=(0_{2}.1,0_{2}.0{\overline {1}})=({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$ und
    $U({\tfrac {7}{12}})=U(0_{2}.10{\overline {01}})=(0_{2}.0{\overline {1}},0_{2}.1)=({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$ ,

wogegen die einseitigen Grenzwerte von $M$ am Punkt $(x,y)=({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$

    $\lim _{\xi \downarrow x,\,\eta \downarrow y}M(\xi ,\eta )=M_{\downarrow }(0_{2}.1{\overline {0}},0_{2}.1{\overline {0}})=0_{2}.11{\overline {00}}={\tfrac {3}{4}}$ und
    $\lim _{\xi \uparrow x,\,\eta \uparrow y}M(\xi ,\eta )=M_{\uparrow }(0_{2}.0{\overline {1}},0_{2}.0{\overline {1}})=0_{2}.00{\overline {11}}={\tfrac {1}{4}}$

sind.

$U$ ist nicht stetig an einem Punkt $z\in E$, weil linksseitiger Grenzwert ($\lim _{n\to \infty }U(z-2^{-n})=U_{\uparrow }(z)$ am $1_2-Ende)$ und rechtsseitiger ($\lim _{n\to \infty }U(z+2^{-n})=U_{\downarrow }(z)$ am $0_2-Ende)$ sich im Ergebnis unterscheiden (siehe Tabelle mit Beispielen).

Die Summe aller „Sprungweiten“ der Unstetigkeitsstellen (siehe Tabelle) wächst exponentiell mit der Zahl der Iterationen, da pro Iteration (siehe Abbildung „Vier Iterationen“) die Weite der Sprünge zwar mit dem Faktor 2 abnimmt, die Anzahl der Sprünge jedoch mit dem Faktor 4 zunimmt.

Tabelle mit Beispielen :

| $l$ | $z=2^{-l}$ $(0_2-Ende)$ | $U_{\downarrow }(z)$ | $U_{\downarrow }(z)$ | $z$ mit $1_2-Ende$ | $U({\overline {1}}_{2}$-Ende$)$ | $U({\overline {1}}_{2}$-Ende$)$ | $U_{\uparrow }(z)$ | $U_{\uparrow }(z)$ | Rich- tung | Wei- te | An- zahl | Bei- trag |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| $l$ | $z=2^{-l}$ $(0_2-Ende)$ | $x,$ | $y$ | $z$ mit $1_2-Ende$ | $x,$ | $y$ | $x,$ | $y$ | Rich- tung | Wei- te | An- zahl | Bei- trag |
| 1 | $0_{2}.{\color {red}1}$ | $(0,$ | $0_{2}.1)$ | $0_{2}.{\color {red}0}{\color {blue}1}{\color {red}1}{\overline {\color {blue}1}}$ | $(0_{2}.\!{\overline {1}},$ | $0_{2}.0{\overline {1}})$ | $(1,$ | $0_{2}.1)$ | ← | $1$ | 1 | 1 |
| 2 | $0_{2}.{\color {red}0}{\color {blue}1}$ | $(0_{2}.1,$ | $0)$ | $0_{2}.{\color {red}0}{\color {blue}0}{\color {red}1}{\color {blue}1}{\overline {\color {red}1}}$ | $(0_{2}.0{\overline {1}},$ | $0_{2}.0{\overline {1}})$ | $(0_{2}.1,$ | $0_{2}.1)$ | ↑ | $0_{2}.1$ | 2 | +1 |
| 3 | $0_{2}.{\color {red}0}{\color {blue}0}{\color {red}1}$ | $(0,$ | $0_{2}.01)$ | $0_{2}.{\color {red}0}{\color {blue}0}{\color {red}0}{\color {blue}1}{\color {red}1}{\overline {\color {blue}1}}$ | $(0_{2}.0{\overline {1}},$ | $0_{2}.00{\overline {1}})$ | $(0_{2}.1,$ | $0_{2}.01)$ | ← | $0_{2}.1$ | 4 | +2 |
| $2k\!-\!1$ | $0_{2}.{\color {red}.}{\color {blue}.}{\color {red}1}$ | $(0,$ | $2^{-k})$ | $0_{2}.{\color {red}.}{\color {blue}.}{\color {red}0}{\color {blue}1}{\color {red}1}{\overline {\color {blue}1}}$ | $(0_{2}.{\color {blue}.}{\overline {\color {blue}1}},$ | $0_{2}.{\color {red}.}{\color {red}0}{\overline {\color {red}1}})$ | $(2^{-k+1},$ | $2^{-k})$ | ← | $2^{-k+1}$ | $2^{2k-2}$ | $2^{k-1}$ |
| 4 | $0_{2}.{\color {red}0}{\color {blue}0}{\color {red}0}{\color {blue}1}$ | $(0_{2}.01,$ | $0)$ | $0_{2}.{\color {red}0}{\color {blue}0}{\color {red}0}{\color {blue}0}{\color {red}1}{\color {blue}1}{\overline {\color {red}1}}$ | $(0_{2}.00{\overline {1}},$ | $0_{2}.00{\overline {1}})$ | $(0_{2}.01,$ | $0_{2}.01)$ | ↑ | $0_{2}.01$ | 8 | +2 |
| $2k$ | $0_{2}.{\color {red}.}{\color {blue}.}{\color {red}0}{\color {blue}1}$ | $(2^{-k},$ | $0)$ | $0_{2}.{\color {red}.}{\color {blue}.}{\color {red}0}{\color {blue}0}{\color {red}1}{\color {blue}1}{\color {red}1}{\overline {\color {blue}1}}$ | $(0_{2}.{\color {blue}.}{\color {blue}0}{\overline {\color {blue}1}},$ | $0_{2}.{\color {red}.}{\color {red}0}{\overline {\color {red}1}})$ | $(2^{-k},$ | $2^{-k})$ | ↑ | $2^{-k}$ | $2^{2k-1}$ | $2^{k-1}$ |
| Tab. 1: Die Sprungweiten von $U$ in Abhängigkeit vom Exponenten $l$ |||||||||||||

Wegen der Unstetigkeit von $U$ ist die Bildmenge von $U$ keine Kurve. Da sie aber in der Ebene liegt, also zweidimensional ist, und $U$ bei wachsendem Argument $z$ an einer Unstetigkeitsstelle immer nur in der $x$- oder der $y$-Koordinate springt, lassen sich die beiden Ränder (linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert) der Unstetigkeitsstelle durch eine Parallele zur Achse der springenden Koordinate verbinden, wie es die Abbildung „Vier Iterationen“ nahelegt (und wie es in der Abbildung „dritte Iteration (Beispiel)“ andeutungsweise ausgeführt ist). Dadurch entsteht eine stetige Abbildung $Z$, deren Bild Z-Kurve genannt wird. Die Stetigkeit impliziert, dass linksseitige und rechtsseitige Grenzwerte gleich sind; mit der Folge, dass Rechtseindeutigkeit auch ohne Entscheidung für Vorschrift ↓ oder Vorschrift ↑ besteht. $Z$ ist stetig und surjektiv, aber nicht injektiv. Da die endlichen Iterationen gleichwohl injektiv und damit selbst-ausweichend sind, gehört die Z-Kurve zu den FASS-Kurven, die ihrerseits eine echte Teilmenge der raumfüllenden Kurven sind.

