Zariski-Topologie
# Zariski-Topologie

Die Zariski-Topologie ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie. Sie ist die natürliche Topologie auf den Studienobjekten der algebraischen Geometrie, den algebraischen Varietäten oder allgemeiner den Schemata.

## Die Zariski-Topologie in der klassischen algebraischen Geometrie

In der klassischen algebraischen Geometrie ist die Zariski-Topologie (nach Oscar Zariski) diejenige Topologie auf dem affinen Raum $K^{n}$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$, die von den offenen Mengen der Form

    $\operatorname {D} (f)=\{x\in K^{n}\mid f(x)\neq 0\}$ für $f\in K[X_{1},\dotsc ,X_{n}]$

erzeugt wird. Affine Varietäten tragen die induzierte Topologie, und die Zariski-Topologie auf allgemeineren Varietäten wird über affine Karten definiert.

Beispielsweise ist die Zariski-Topologie auf der affinen Geraden die Topologie der koendlichen Mengen.

Auf einer affinen Varietät ist die Zariski-Topologie die gröbste Topologie, für die die regulären Funktionen als Abbildungen in die affine Gerade $K$ (mit ihrer Zariski-Topologie) stetig sind.

## Die Zariski-Topologie auf dem Spektrum eines Ringes

Ist $A$ ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist das Spektrum $\operatorname {Spec} A$ die Menge der Primideale von $A$ mit der Topologie, bei der die abgeschlossenen Mengen die Mengen

    $\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A\mid {\mathfrak {p}}\supseteq I\}$

für Ideale $I\subseteq A$ sind.

Ist $A=K[X_{1},\dotsc ,X_{n}]$ für einen algebraisch abgeschlossenen Körper $K$, so entsprechen die maximalen Ideale von $A$ nach dem hilbertschen Nullstellensatz eineindeutig den Elementen von $K^{n}$, und die Topologien auf diesen beiden Mengen stimmen überein.

## Eigenschaften

Die Zariski-Topologie unterscheidet sich stark von den gewohnten, auf den reellen Zahlen basierenden topologischen Räumen.

* Die Topologie ist i. A. nicht hausdorffsch; in der Tat ist der Raum $K^{n}$ irreduzibel, d. h., je zwei nichtleere offene Teilmengen schneiden sich. Irreduzibilität ist also ein stärkerer Begriff als Zusammenhang.
* Quasi-kompakte Teilmengen müssen nicht notwendigerweise abgeschlossen sein.

## Verallgemeinerungen

* Die Zariski-Topologie eines Schemas ist Teil seiner Struktur; allerdings verwendet man den Ausdruck „Zariski-Topologie“ im Kontext von Schemata meist nur zur Unterscheidung von anderen Grothendieck-Topologien.
