Twist-Knoten (Mathematik)
# Twist-Knoten (Mathematik)

Im mathematischen Gebiet der Knotentheorie ist ein Twist-Knoten ein durch wiederholtes Twisten eines Unknotens entstandener Knoten. Für jede Anzahl $n$ von Halb-Twists gibt es einen Twist-Knoten $T_{n}$. Die Twist-Knoten bilden also eine unendliche Familie von Knoten, neben den Torusknoten werden die Twist-Knoten als die einfachste Familie von Knoten angesehen.

* Ein Halb-Twist (Kleeblattschlinge)
* Zwei Halb-Twists (Achterknoten)
* Drei Halb-Twists $(5_2-Knoten)$
* Vier Halb-Twists (Stevedore-Knoten)
* Fünf Halb-Twists $(7_2-Knoten)$
* Sechs Halb-Twists $(8_1-Knoten)$

Twist-Knoten sind also die Whitehead-Doppel des Unknotens.

## Eigenschaften

Alle Twist-Knoten haben Entknotungszahl $u(K)=1$, weil der Knoten (wie im Bild rechts) durch Entschlingen der beiden Enden entknotet werden kann.

Twist-Knoten sind spezielle 2-Brücken-Knoten.

Mit Ausnahme der Kleeblattschlinge sind alle Twist-Knoten hyperbolisch.

Nur der Unknoten und der Stevedore-Knoten sind Scheibenknoten.

Die Kreuzungszahl des Twist-Knotens $T_{n}$ ist $n+2$.

Alle Twist-Knoten sind invertierbar.

Nur der Unknoten und der Achterknoten sind amphichiral.

Die Knotengruppe von $T_{n}$ hat die Präsentierung $\langle a,b\mid aw^{n}=w^{n}b\rangle$ mit $w=(ba^{-1}b^{-1}a)^{-1}$.

## Invarianten

Das Alexander-Polynom des Twist-Knotens $T_{n}$ ist

    $\Delta (t)={\begin{cases}{\frac {n+1}{2}}t-n+{\frac {n+1}{2}}t^{-1}&{\text{wenn }}n{\text{ ungerade ist}}\\-{\frac {n}{2}}t+(n+1)-{\frac {n}{2}}t^{-1}&{\text{wenn }}n{\text{ gerade ist,}}\\\end{cases}}$

und das Conway-Polynom ist

    $\nabla (z)={\begin{cases}{\frac {n+1}{2}}z^{2}+1&{\text{wenn }}n{\text{ ungerade ist}}\\1-{\frac {n}{2}}z^{2}&{\text{wenn }}n{\text{ gerade ist.}}\\\end{cases}}$

Für ungerade $n$ ist das Jones-Polynom

    $V(q)={\frac {1+q^{-2}+q^{-n}-q^{-n-3}}{q+1}},$

und für gerade $n$ ist es

    $V(q)={\frac {q^{3}+q-q^{3-n}+q^{-n}}{q+1}}.$
