Cap-Produkt
# Cap-Produkt

In der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, definiert das Cap-Produkt eine Verknüpfung zwischen Kohomologie und Homologie eines Raumes.

## Definition

Sei $X$ ein topologischer Raum, sei $C_{n}(X)$ die $n$-te singuläre Kettengruppe, also die freie abelsche Gruppe über der Menge aller stetigen Abbildungen des Standard-$n$-Simplexes $\Delta ^{n}$ nach $X$ und $C^{n}(X)=Hom(C_{n}(X),\mathbb {Z} )$. Man bezeichne mit $\iota _{0\ldots p}\colon \Delta ^{p}\rightarrow \Delta ^{p+q}$ beziehungsweise $\iota _{p\ldots p+q}\colon \Delta ^{q}\rightarrow \Delta ^{p+q}$ die Inklusionen des Standard-$p$- beziehungsweise $q$-Simplexes als „vordere $p$-dimensionale Seite“ beziehungsweise „hintere $q$-dimensionale Seite“ in den Standard-$(p+q)$-Simplex.

Für $\psi \in C^{q}(X)$ und einen singulären Simplex $\sigma :\Delta ^{p}\rightarrow X$ (mit $p\geq q$) definiert man

    $\sigma \frown \psi :=(-1)^{pq}\psi (\sigma \circ \iota _{0\ldots q})\sigma \circ \iota _{q\ldots p}$

und setzt dies linear zu einer Abbildung

    $C^{q}(X)\times C_{p}(X)\rightarrow C_{p-q}(X)$

fort.

Allgemeiner sei $R$ ein Ring und sei $C_{n}(X;R)=C_{n}(X)\otimes _{\mathbb {Z} }R,C^{n}(X)=Hom(C_{n}(X),R)$. Dann erhält man eine Abbildung

    $C^{q}(X;R)\times C_{p}(X;R)\rightarrow C_{p-q}(X;R)$.

Aus der Relation

    $\partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi )$

folgt, dass das Cap-Produkt eine wohldefinierte Abbildung

    $H^{q}(X;R)\times H_{p}(X;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R)$

definiert.

## Eigenschaften

Für stetige Abbildungen $f:X\rightarrow Y$ gilt

    $f_{*}(c)\frown \psi =f_{*}(c\frown f^{*}(\psi ))$

mit $c\in C_{p}(X;R)$, $\psi \in C^{q}(Y;R)$.

Das Cap-Produkt hängt mit dem Cup-Produkt über die folgende Gleichung zusammen:

    $\psi (c\frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(c)$

für $c\in C_{p}(X;R)$, $\psi \in C^{q}(X;R)$, $\varphi \in C^{p-q}(X;R).$

## Anwendung: Poincaré-Dualität

Sei $M$ eine geschlossene, orientierbare $n$-Mannigfaltigkeit und

    $\left[M\right]\in H_{n}(M;\mathbb {Z} )$

die Fundamentalklasse. Dann realisiert das Cap-Produkt mit $\left[M\right]$ einen Isomorphismus

    $H^{k}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H_{n-k}(M;\mathbb {Z} )$

für $k=0,\ldots ,n$.

