Spektralzerlegung (Mathematik)
# Spektralzerlegung (Mathematik)

Die Spektralzerlegung oder spektrale Zerlegung ist in der linearen Algebra die Zerlegung einer quadratischen Matrix in eine Normalform, bei der die Matrix durch ihre Eigenwerte und Eigenvektoren dargestellt wird. Das gelingt genau dann, wenn die Matrix diagonalisierbar $ist.^{:60}$ Grundlage für die Spektralzerlegung ist der Spektralsatz, unter dessen Bedingungen die Schur-Zerlegung die gegebene Matrix in eine Diagonalmatrix transformiert. Die Spektralzerlegung ist die Darstellung der Rücktransformation als Summe von Dyaden.

Gelegentlich wird

* das Auffinden der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix $M$ oder
* die Darstellung $M=U\Lambda U^{*}$ mit unitärer Matrix $U$ und ihrer adjungierten $U^{*}$

Spektralzerlegung von $M$ genannt. Die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten $\lambda _{j}$ einer $(n\times n)$-Matrix $M$

    $\Lambda ={\text{diag}}\{\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}\}$

ist die sogenannte Spektralmatrix, die das Spektrum der Matrix $enthält.^{:252}$

Der Wert der dyadischen Zerlegung besteht vor allem in der strikten Trennung von Geometrie (dem Vektorgerüst) und dem $Eigenwertspektrum.^{:275}$ Die Spektralzerlegung eines Matrizenpaares ist in der Modalanalyse von zentraler Bedeutung.

## Definition

Die Zerlegung einer quadratischen $(n\times n)$-Matrix über der Grundmenge $G$ in der Form

    M = $λ_1$ $P_1$ + … + $λ_n$ $P_n$

ist die Spektralzerlegung von M, wenn $gilt:^{:60}$

* Die $λ_i$ sind die paarweise verschiedenen Eigenwerte von M.
* Die $P_i$ sind n×n-Matrizen mit den Eigenschaften
   * $P_i$ $P_j$ = O für i ≠ j und $P_i$ $P_j$ = $P_i$ für i = j, wo O die n×n-Nullmatrix ist, und
   * $P_1$ + … + $P_n$ = E, wo E die n×n-Einheitsmatrix ist.
* Es gibt Polynome $f_j$ mit $f_j(M)$ = $P_j.$

Eine solche Zerlegung existiert genau dann, wenn M eine diagonalisierbare Matrix ist. Die Matrizen $P_j$ werden Eigendyaden oder Stützdyaden $genannt.^{:274}$

Die Spektralzerlegung eines n×n-Matrizenpaares K;M, M regulär, $lautet^{:274}$

    K = $λ_1$ $D_1$ + … + $λ_n$ $D_n$ = $Σ_j$ $λ_j$ $D_j$
    M = $D_1$ + … + $D_n$ = $Σ_j$ $D_j$

mit den Merkmalen:

* Die $λ_i$ sind die Eigenwerte des Matrizenpaares K;M, sie erfüllen det(K - $λ_iM)$ = 0.
* Die n×n-Matrizen $D_i$ genügen den Bedingungen
   * $D_i$ $M^{−1}$ $D_j$ = O für i ≠ j und
   * $D_i$ $M^{−1}$ $D_j$ = $D_i$ für i = j.

## Kriterien für Diagonalisierbarkeit

Eine quadratische n-dimensionale Matrix A heißt unitär diagonalisierbar oder diagonalähnlich, wenn

* sie eine normale Matrix ist, deren Eigenwerte Elemente ihrer Grundmenge sind, oder
* es eine Diagonalmatrix D gibt, zu der sie ähnlich ist, d. h. dass es eine reguläre Matrix S gibt, sodass $S^{−1}$ AS eine Diagonalmatrix $ist,^{:344}$ oder
* sie n linear unabhängige Eigenvektoren $besitzt,^{:344}$ oder
* die algebraische und geometrische Vielfachheit für jeden Eigenwert von A $übereinstimmen.^{:344}$

Allgemein gilt:

* Auf der Grundmenge der komplexen Zahlen ist jede normale Matrix und jede hermitesche Matrix diagonalisierbar.
* Jede reelle symmetrische Matrix ist $diagonalisierbar.^{:345}$
* Eine normale Dreiecksmatrix ist eine Diagonalmatrix.

Ein reelles n×n-Matrizenpaar ist diagonalähnlich, $wenn^{:270ff}$

* es n verschiedene Eigenwerte besitzt oder
* es n linear unabhängige Links- und Rechtseigenvektoren besitzt oder
* für jeden der verschiedenen Eigenwerte der Rangabfall (Defekt) gleich der algebraischen Vielfachheit ist.

## Diagonalähnliche Matrix

Wegen ihrer Bedeutung in der $Praxis^{:285},$ beschränkt sich die Darstellung auf reelle symmetrische Matrizen, die immer spektral zerlegt werden können. Des Weiteren wird der n-dimensionale Raum $ℝ^n$ benutzt, in dem sich Summen, angezeigt durch $Σ_j,$ immer über j = 1,…,n erstrecken.

### Eigenwertproblem

Ausgangspunkt ist das Eigenwertproblem einer Matrix M

    Mû = λû, û ≠ ô

mit nicht-trivialen, vom Nullvektor ô verschiedenen Lösungen û. Der Skalar λ ist Eigenwert der Matrix M, wenn es wenigstens einen solchen Vektor û $gibt.^{:338}$ Die Vektoren û, die der Bedingung ersprechen, sind die zu λ gehörenden Eigenvektoren der Matrix M. Mit û ist auch jedes Vielfache von û Eigenvektor, weswegen sie oft, aber nicht notwendigerweise, auf Länge eins normiert werden. Mit der Einheitsmatrix E kann das Eigenwertproblem

    ( M - λE )û = ô, û ≠ ô

geschrieben werden. Damit nicht-triviale Lösungen des Eigenwertproblems existieren, muss die Matrix in den Klammern singulär sein:

    p(λ) := det( M - λE ) = 0

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms p(λ) sind die Eigenwerte, deren Gesamtheit das Spektrum und dessen betraglich größtes Element den Spektralradius der Matrix M bilden.

### Diagonalisierbarkeit einer reellen symmetrischen Matrix

Der Spektralsatz besagt, dass M genau dann diagonalisiert werden kann, wenn

* sie eine normale Matrix ist, sie also mit ihrer transponierten kommutiert $(M^⊤M$ = $MM^⊤),$ und
* alle Eigenwerte zur Grundmenge gehören, hier reell sind.

Reelle symmetrische Matrizen sind normal (wegen M = $M^⊤$ ist $M^⊤M$ = MM = $MM^⊤)$ und besitzen ausschließlich reelle $Eigenwerte.^{:345}$ Denn mit einem komplexen Eigenvektor û und seinem konjugiert komplex transponierten $û^⋆$ ist zunächst

    $û^⋆$ Mû = $û^⋆$ λû = $λû^⋆$ û = $λ|û|^2$

mit dem Betragsquadrat $|û|^2$ ∈ ℝ, > 0. Bei einer Zahl, aufgefasst als 1×1-Matrix, richtet die Transposition nichts aus, weshalb

    $û^⋆$ Mû = $(û^⋆$ $Mû)^⊤$ = $û^⊤$ $Mû^{⋆⊤}$ = $û^⋆Mû$ = $û^⋆$ Mû = $û^⋆$ λû = $λû^⋆$ û = $λ|û|^2$

Der Überstrich bezeichnet den konjugiert komplexen Wert. Es ist also $λ|û|^2$ = $λ|û|^2,$ λ reell und erwiesen, dass jede reelle symmetrische Matrix diagonalisierbar ist.

Ferner gilt:

* bei jedem Eigenwert entspricht die geometrische Vielfachheit seiner $algebraischen^{:345},$
* es gibt eine Vektorraumbasis des $ℝ^n,$ die aus den Eigenvektoren von M $besteht^{:343}$ und
* es gibt eine orthogonale Matrix Q, sodass $Q^⊤$ MQ Diagonalgestalt besitzt.

### Orthogonalität der Eigenvektoren

Die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren sind orthogonal zueinander, denn bei zwei Eigenwert-Eigenvektor-Paaren Mû = λû und Mŵ = ηŵ ist bei symmetrischer Matrix M

    $ŵ^⊤$ Mû = $λŵ^⊤$ û = $(ŵ^⊤$ $Mû)^⊤$ = $û^⊤$ Mŵ = $ηû^⊤$ ŵ = $ηŵ^⊤$ û

was bei λ ≠ η die Orthogonalität $û^⊤$ ŵ = $ŵ^⊤$ û = 0 erzwingt.

Bei gleichen Eigenwerten gilt das nicht, sondern vielmehr, weil die geometrische Vielfachheit der algebraischen entspricht, dass die zu einem k-fachen Eigenwert λ gehörenden Eigenvektoren einen k-dimensionalen Unterraum bilden, den Eigenraum von λ. Bei einem doppelten Eigenwert erschaffen alle zu ihm gehörenden Eigenvektoren beispielsweise eine zweidimensionale (Hyper-) Ebene. Für die spektrale Zerlegung ist jede Orthonormalbasis des Eigenraums gleich geeignet.

Jedenfalls gibt es n paarweise orthogonale Eigenvektoren $û_{1,…,n};$ diese werden auf Länge eins normiert und bilden so eine Orthonormalbasis des $ℝ^n.$ Die Basisvektoren werden mit der Standardbasis $ê_{1,…,n}$ spaltenweise in eine Matrix Q einsortiert:

    Q = $Σ_i$ $û_i$ $ê_i^⊤$

Für Q gilt dann nach Konstruktion

* $Q^⊤$ Q = E, d. h. Q ist eine orthogonale Matrix und
* MQ = QΛ oder Λ = $Q^⊤$ MQ, wo Λ die diagonale #Spektralmatrix ist.

### Spektralzerlegung der Matrix

Bei einer reellen symmetrischen Matrix M gibt es eine orthogonale Matrix Q, sodass Λ = $Q^⊤MQ$ Diagonalgestalt $besitzt.^{:345}$ Die #Spektralmatrix lässt sich mit der Standardbasis $ê_{1,…,n}$ als Summe ausdrücken:

    Λ := $diag(λ_1,$ $λ_2,…,$ $λ_n)$ = $Σ_j$ $λ_j$ $ê_j$ $ê_j^⊤$

Die Rücktransformation M = $QΛQ^⊤$ schreibt sich mit den Spaltenvektoren $û_i$ der Matrix Q und den Eigendyaden

    $P_j$ = $û_j$ $û_j^⊤$

als Summe

    M = $QΛQ^⊤$ = $(Σ_i$ $û_i$ $ê_i^⊤)(Σ_j$ $λ_j$ $ê_j$ $ê_j^⊤)(Σ_k$ $ê_k$ $û_k^⊤)$ = $Σ_j$ $λ_j$ $û_j$ $û_j^⊤$ =: $Σ_j$ $λ_j$ $P_j.$

Das ist die spektrale Zerlegung der Matrix M.

Die Eigendyaden $P_j$ genügen den Bedingungen in der #Definition:

    $P_i$ $P_j$ = $û_i$ $û_i^⊤$ $û_j$ $û_j^⊤$ = $(û_i^⊤$ $û_j)û_i$ $û_j^⊤$ = O, wenn i ≠ j,
    $P_i$ $P_j$ = $(û_i^⊤$ $û_j)$ $û_i$ $û_j^⊤$ = $û_i$ $û_i^⊤$ = $P_i,$ wenn j = i.
    $Σ_i$ $P_i$ = $Σ_i$ $û_i$ $û_i^⊤$ = $Σ_{i,j}$ $û_i$ $(ê_i^⊤$ $ê_j)û_j^⊤$ = $Σ_{i,j}$ $û_i$ $ê_i^⊤$ $ê_j$ $û_j^⊤$ = $(Σ_i$ $û_i$ $ê_i^⊤)(Σ_j$ $ê_j$ $û_j^⊤)$ = $QQ^⊤$ = E

mit der Nullmatrix O und der Einheitsmatrix E.

## Anwendungen der Spektralzerlegung

### Inverse einer Matrix

Mit der spektralen Zerlegung einer reellen Matrix M kann die inverse Matrix $M^{−1}$ sofort angegeben werden, sofern sie existiert. Das ist genau dann der Fall, wenn die Determinante, die das Produkt der Eigenwerte $λ_i$ der Matrix ist, nicht null ist, also kein Eigenwert gleich null ist. Die Inverse hat die reziproken Eigenwerte $λ_i^{−1}$ und die gleichen Eigenvektoren wie die Matrix selbst. Mit der spektralen Zerlegung M = $Σ_j$ $λ_j$ $P_j$ schreibt sich die Inverse als

    $M^{−1}$ = $λ_1^{−1}$ $P_1$ + … + $λ_n^{−1}$ $P_n.$

### Funktionswert einer Matrix

Für eine skalarwertige Funktion f(x) ∈ ℝ eines skalaren Arguments x ∈ ℝ kann der Funktionswert f(M) einer diagonalisierbaren Matrix M mit Hilfe ihrer Spektralzerlegung M = $Σ_j$ $λ_j$ $P_j$ definiert werden:

    f(M) := $Σ_j$ $f(λ_j)$ $P_j$

Ist f eine mehrdeutige Funktion, wie die Wurzel, mit k alternativen Werten, dann steht f(M) mehrdeutig für $k^n$ alternative Matrizen. Die nullte Potenz der Matrix ergibt sich beispielsweise aus f(x) = $x^0$ zur Einheitsmatrix E:

    f(M) = $Σ_j$ $λ_j^0$ $P_j$ = $Σ_j$ $P_j$ = $M^0$ = E

Bei einer Potenzreihe einer Matrix ist die spektrale Zerlegung nützlich. Soll

    p(M) := $a_0$ E + $a_1$ $M^1$ +…+ $a_N$ $M^N$

mit konstanten Koeffizienten $a_0,…,$ $a_N$ ∈ ℝ berechnet werden, kann das mit dem Polynom

    f(x) := $a_0$ $x^0$ + $a_1$ $x^1$ +…+ $a_N$ $x^N$

und obiger Definition des Funktionswerts einer diagonalisierbaren Matrix vermöge

    p(M) = f(M) = $Σ_j$ $f(λ_j)$ $P_j$

abgekürzt werden. Die Berechnung von N k-ten Potenzen der n×n-Matrix M ist somit zurückgeführt auf eine Spektralzerlegung und die Berechnung von N k-ten Potenzen von n Skalaren.

### Modalanalyse

Die mechanische Beschreibung eines ungedämpften schwingfähigen Systems, z. B. eines Masse-Feder-Systems, führt auf eine Schwingungsgleichung der Form

    Mẍ + Kx = F

Darin ist M die positiv definite Massenmatrix, K die Steifigkeitsmatrix, beide symmetrisch und reell, x der Verschiebungsvektor und ẍ der Beschleunigungsvektor, der die zweite Zeitableitung von x ist, angezeigt durch die Überpunkte. Die rechte Seite repräsentiert die Anregung des Systems, auf die es mitunter katastrophal reagiert, wenn bei einer bestimmten Frequenz, der Resonanzfrequenz, dauerhaft

    Mẍ + Kx = ô

der Nullvektor ô ist. In der Nähe der Resonanzfrequenzen, die entsprechend von großem Interesse sind, wird die Schwingung von einer Eigenschwingungsform dominiert, wo in guter Näherung x = sin(ωt)û mit konstantem û, der Eigenfrequenz ω und der Zeit t ist. Mit dem Eigenwert λ = $ω^2$ entsteht das verallgemeinerte Eigenwertproblem

    ( K - λM )û = ô, û ≠ ô

des Matrizenpaares $K;M.^{:246ff}$

## Diagonalähnliches Matrizenpaar

Wegen ihrer Bedeutung in der $Praxis^{:285},$ beschränkt sich die Darstellung auf reelle Matrizen. Des Weiteren wird der n-dimensionale Raum $ℝ^n$ benutzt, weswegen sich Summen, angezeigt durch $Σ_j,$ immer über j = 1,…,n erstrecken.

### Verallgemeinertes Eigenwertproblem

Ausgangspunkt des verallgemeinerten Eigenwertproblems des Matrizenpaares $K;M^{:246ff}$ ist

    ( K - λM )û = ô, û ≠ ô

mit nicht-trivialen, vom Nullvektor ô verschiedenen Lösungen û. Der Skalar λ ist Eigenwert des Matrizenpaares K;M, wenn es wenigstens einen solchen Vektor û gibt. Die Vektoren û, die die Bedingung erfüllen, sind die zu λ gehörenden Rechtseigenvektoren. Die Linkseigenvektoren ŷ genügen

    $ŷ^⊤$ ( K - λ M ) = $ô^⊤,$ ŷ ≠ ô

Damit nicht-triviale Lösungen des Eigenwertproblems existieren, muss die Matrix in den Klammern singulär sein:

    p(λ) := det( K - λM ) = 0

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms p(λ) sind die Eigenwerte des Matrizenpaares K;M.

Wenn die Leitmatrix M singulär ist, dann gibt es weniger als n Eigenwerte, unter Umständen auch gar keinen. Beim Skalarpaar ist K = aM und λ = a n-facher $Eigenwert.^{:251}$ Hier wird von regulärer Leitmatrix M ausgegangen.

### Orthogonalität der Links- und Rechtseigenvektoren

Mit den Links- und Rechtseigenvektoren ŷ bzw. û lässt sich das Eigenwertproblem auch so $schreiben:^{:251}$

    $ŷ^⊤$ K = λ $ŷ^⊤$ M, Kû = λ Mû

Zu verschiedenen Eigenwerten gehörende Links- und Rechtseigenvektoren sind bezüglich K und M orthogonal $zueinander^{:253}.$ Denn wird das Eigenwertproblem zu zwei Eigenwert-Eigenvektor-Paaren

    $ŷ^⊤$ K = λ $ŷ^⊤$ M, Kû = λ Mû und $ẑ^⊤$ K = η $ẑ^⊤$ M, Kŵ = η Mŵ

von links und rechts mit den gegnerischen Links- bzw. Rechtseigenvektoren multipliziert, entsteht

    $ŷ^⊤$ Kŵ = λ $ŷ^⊤$ Mŵ = η $ŷ^⊤$ Mŵ und $ẑ^⊤$ Kû = λ $ẑ^⊤$ Mû = η $ẑ^⊤$ Mû

Bei λ ≠ η sind alle Terme notwendig null, mit der Konsequenz

    $ŷ^⊤$ Kŵ = $ŷ^⊤$ Mŵ = $ẑ^⊤$ Kû = $ẑ^⊤$ Mû = 0

und damit auch

    $ẑ^⊤$ ( K - λ M )û = $ŷ^⊤$ ( K - η M )ŵ = 0, wenn λ ≠ η

Zudem $gilt:^{:265}$

* Ist ein Eigenwert λ komplex, dann ist auch sein konjugiert komplexer Wert λ Eigenwert, und dieser hat die zu den Eigenvektoren von λ konjugiert komplexen Eigenvektoren.
* Der reale und der imaginäre Anteil eines Eigenvektors sind voneinander linear unabhängig (nicht parallel).

### Diagonalisierung des Matrizenpaares

Wenn M eine reguläre Matrix ist, werden die Eigenwerte mit der Standardbasis $ê_{1,…,n}$ zur #Spektralmatrix

    Λ = $Σ_j$ $λ_j$ $ê_j$ $ê_j^⊤$ = $diag(λ_1,$ $λ_2,…,λ_n)$

zusammengefasst. Sind zudem alle n Eigenwerte verschieden, dann gibt es zu jedem von ihnen einen Links- und einen Rechtseigenvektor. Die Linkseigenvektoren werden zeilenweise und die Rechtseigenvektoren spaltenweise in $reguläre^{:269}$ Modalmatrizen

    Y = $Σ_j$ $ê_j$ $ŷ_j^⊤$ bzw. U = $Σ_j$ $û_j$ $ê_j^⊤$

eingelagert. Wegen der paarweisen Orthogonalität der Links- und Rechtseigenvektoren bezüglich K und M liefern die Produkte

    L = YKU = diag( $ŷ_j^⊤$ $Kû_j$ )
    N = YMU = diag( $ŷ_j^⊤$ $Mû_j$ )

Diagonalmatrizen. Weil Y, M und U regulär sind, ist es auch N, und dann können die Linkseigenvektoren so skaliert werden, dass N zu einer Einheitsmatrix wird. Das leistet z. B. N $selbst:^{:269}$

    WKU = Λ, WMU = E mit W = $N^{−1}$ Y

Das Matrizenpaar K;M ist somit diagonalähnlich.

Bei mehrfachen Eigenwerten sind L und N keine strikten Diagonalmatrizen mehr, sondern Blockdiagonalmatrizen, wo sich jeder Block auf einen Eigenwert bezieht und die Dimension seines Eigenraumes die Blockgröße bestimmt. Die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Außenblöcke in L und N sind wegen der Orthogonalität der Links- und Rechtseigenvektoren bezüglich K und M Nullmatrizen.

In der Praxis interessieren zumeist allein die $Rechtseigenvektoren^{:271}$ und dann kann, wenn die algebraische und geometrische Vielfachheit bei jedem Eigenwert übereinstimmen, wie folgt fortgefahren werden. Die zu einem Eigenwert λ gehörenden σ Linkseigenvektoren werden zu einem σ×n-Eigenstreifen $Y_λ$ zusammengefasst und mit dem zugehörigen σ×σ-Block $N_λ$ der Matrix N normiert: $W_λ$ := $N_λ^{−1}$ $Y_λ.$ Diese Eigenstreifen werden zur Linksmodalmatrix

    W = $Σ_j$ $ê_j$ $ŵ_j^⊤$

zusammengestellt, mit der die Transformation auf das strikte Diagonalpaar

    WKU = Λ und WMU = E

$gelingt,^{:272}$ siehe auch das #Beispiel. Für die normierten Linkseigenvektoren $ŵ_i^⊤$ in den Zeilen der Linksmodalmatrix W bedeutet das:

    $ŵ_i^⊤$ $Kû_i$ = $λ_i$ und $ŵ_i^⊤$ $Mû_i$ = 1, i = 1,…,n

und die #Orthogonalität der Links- und Rechtseigenvektoren bezüglich K und M besteht auch hier:

    $ŵ_i^⊤$ $Kû_j$ = $ŵ_i^⊤$ $Mû_j$ = 0 falls i ≠ j.

### Spektralzerlegung des Matrizenpaars

Die Identität WMU = E besagt auch, dass MU die inverse Matrix von W und WM die Inverse von U ist, und, weil eine Matrix und ihre Inverse kommutieren, ist auch MUW = UWM = E, mit der $Konsequenz:^{:273ff}$

    MUW = $M(Σ_j$ $û_j$ $ê_j^⊤)$ $(Σ_i$ $ê_i$ $ŵ_i^⊤)$ = $Σ_j$ $Mû_j$ $ŵ_j^⊤$ = E

Mit den Eigendyaden

    $D_j$ := $Mû_j$ $ŵ_j^⊤$ M

entsteht die Spektralzerlegung der Leitmatrix

    M = $Σ_j$ $D_j$

Multiplikation der Gleichung WKU = Λ von links mit MU und von rechts mit WM liefert die Spektralzerlegung von K:

    K = MUΛWM = $M(Σ_i$ $û_i$ $ê_i^⊤)$ $(Σ_j$ $λ_j$ $ê_j$ $ê_j^⊤)$ $(Σ_k$ $ê_k$ $ŵ_k^⊤)$ M = $Σ_j$ $λ_j$ $Mû_j$ $ŵ_j^⊤$ M = $Σ_j$ $λ_j$ $D_j$

Die Eigendyaden erfüllen die $Orthogonalitätsbedingungen^{:274}$

    $ŵ_j^⊤$ $D_k$ = $ô^⊤,$ $D_k$ $û_j$ = ô und $D_j$ $M^{−1}$ $D_k$ = O  für k ≠ j

sowie die Gegenstücke

    $ŵ_k^⊤$ $D_k$ = $ŵ_k^⊤$ M, $D_k$ $û_k$ = M $û_k,$ $D_k$ $M^{−1}$ $D_k$ = $D_k$ für k = 1,…,n.

## Beispiel

Vorgelegt sind die $Matrizen^{:253}$

    ${\mathsf {K}}={\begin{pmatrix}-2&2&-3\\3&3&-6\\2&4&-15\end{pmatrix}}$ und ${\mathsf {M}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\1&2&0\end{pmatrix}},\;\mathrm {det} ({\mathsf {M}})=2$

Die charakteristische Gleichung

    p(λ) := det( K - λM ) = 90 + 42λ - $2λ^2$ - $2λ^3$ = (3 + $λ)^2(5$ - λ)

hat die doppelte Nullstelle $λ_1$ = -3 und die einfache $λ_2$ = 5. Die Eigenvektoren zum ersten Eigenwert sind nicht-triviale Lösungen von $ŷ^⊤$ Aû = 0 mit

    ${\mathsf {A}}={\mathsf {K}}+3{\mathsf {M}}={\begin{pmatrix}1&2&-3\\3&6&-9\\5&10&-15\\\end{pmatrix}}$

Ihre Bestimmung erfolgt mit dem Generalschema einer Äquivalenztransformation. Dazu werden Einheitsmatrizen $E_L,$ $E_R$ und die Matrix A in einer Hypermatrix angeordnet

| $E_L$ | A |
| - | - |
| O | $E_R$ |

wo O die Nullmatrix ist und im Folgenden nicht mehr aufgeführt wird. Nacheinander werden in den Matrizen $E_L$ und A simultan Zeilen

* mit einer Zahl multipliziert,
* mit einer anderen Zeile vertauscht oder
* mit einer Zahl multipliziert zu einer anderen Zeile addiert.

Entsprechend darf mit den Spalten der Matrizen A und $E_R$ verfahren werden. Daraus wird

| L | D |
| - | - |
| | R |

mit der Eigenschaft LAR = D. Die Linkseigenvektoren von A zum Eigenwert null gehören zu Nullzeilen von D und stehen links daneben zeilenweise in L und R enthält die Rechtseigenvektoren spaltenweise, und die gehören zu aus Nullen bestehende Spalten von D, siehe Äquivalenztransformation#Eigenspalten und Eigenzeilen einer singulären Matrix.

| Hier entsteht aus | 1  1 2  -3   1  3 6 -9  1   5   10   -15  1 1 1 | , dem Zwi­schen­schritt | 1  0   0   1   2   -3   -3  1 0 0 0 0 -5 0 1 0 0 0 1 1 1 |
| - | - | - | - |

das Endergebnis

| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | D |
| - | - | - | - | - | - | - |
| -3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | D |
| -5 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | D |
| L | L | L | 1 | -2 | 3 |
| R | R | R | 0 | 1 | 0 |
| | | | 0 | 0 | 1 |

Die gelb unterlegten Nullzeilen in D weisen auf die Linkseigenvektoren

    $ŷ_1$ = (-3 1 0 $)^⊤,$ $ŷ_2$ = (-5 0 $1)^⊤$

in den Zeilen von L und die zugehörigen ebenfalls gelb unterlegten Rechtseigenvektoren finden sich unter den Nullspalten von D spaltenweise in R:

    $û_1$ = (-2 1 0 $)^⊤,$ $û_2$ = (3 0 $1)^⊤$

Den Links- und Rechtseigenvektor zum Eigenwert 5 bekommt man aus

    ${\mathsf {A}}={\mathsf {K}}-5{\mathsf {M}}={\begin{pmatrix}-7&2&-3\\3&-2&-1\\-3&-6&-15\end{pmatrix}}$

| dem Start­punkt | 1  -7  2 -3  1  3  -2  -1 1  -3 -6  -15  1 1 1 | und dem End­er­geb­nis | 1 0 0  -7  2 0  D 0 1 0 3  -2  0  -3   -6   1  0 0 0 L 1 0  -1  R  0 1 -2 0 0 1 |
| - | - | - | - |

Die Eigenvektoren finden sich in der gelb unterlegten dritten Zeile und sechsten Spalte der Hypermatrix:

    $ŷ_3$ = (-3 -6 $1)^⊤$ und $û_3$ = (-1 -2 $1)^⊤.$

Damit hat man die Modalmatrizen

    ${\mathsf {Y}}={\begin{pmatrix}{\hat {\mathsf {y}}}_{1}^{\top }\\{\hat {\mathsf {y}}}_{2}^{\top }\\{\hat {\mathsf {y}}}_{3}^{\top }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&1&0\\-5&0&1\\-3&-6&1\end{pmatrix}},\;{\mathsf {U}}={\begin{pmatrix}{\hat {\mathsf {u}}}_{1}&{\hat {\mathsf {u}}}_{2}&{\hat {\mathsf {u}}}_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&3&-1\\1&0&-2\\0&1&1\end{pmatrix}}$

Das Produkt

    ${\mathsf {N}}={\mathsf {YMU}}={\begin{pmatrix}7&-10&0\\10&-12&0\\0&0&16\end{pmatrix}}$

ist eine Blockdiagonalmatrix. Hier bedeutet die Invertierung von N keinen wesentlichen Mehraufwand gegenüber der getrennten Invertierung jedes ihrer Diagonalblöcke und die Normierung der Linkseigenvektoren kann in einem Schritt erfolgen:

    ${\mathsf {W}}={\begin{pmatrix}{\hat {\mathsf {w}}}_{1}^{\top }\\{\hat {\mathsf {w}}}_{2}^{\top }\\{\hat {\mathsf {w}}}_{3}^{\top }\end{pmatrix}}={\mathsf {N^{-1}Y}}={\frac {1}{16}}{\begin{pmatrix}-14&-12&10\\-5&-10&7\\-3&-6&1\end{pmatrix}}$

Mit dieser Linksmodalmatrix werden M und K diagonalisiert:

    WKU = Λ = $diag(λ_1,λ_1,λ_2)$ und WMU = E

Die Eigendyaden sind ausgeschrieben

    ${\begin{aligned}{\mathsf {D}}_{1}=&{\mathsf {M}}{\hat {\mathsf {u}}}_{1}{\hat {\mathsf {w}}}_{1}^{\top }{\mathsf {M}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}2&-4&-6\\-1&2&3\\0&0&0\end{pmatrix}}\\{\mathsf {D}}_{2}=&{\mathsf {M}}{\hat {\mathsf {u}}}_{2}{\hat {\mathsf {w}}}_{2}^{\top }{\mathsf {M}}={\frac {1}{8}}{\begin{pmatrix}3&6&15\\-1&-2&-5\\3&6&15\end{pmatrix}}\\{\mathsf {D}}_{3}=&{\mathsf {M}}{\hat {\mathsf {u}}}_{3}{\hat {\mathsf {w}}}_{3}^{\top }{\mathsf {M}}={\frac {1}{8}}{\begin{pmatrix}1&2&-3\\3&6&-9\\5&10&-15\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

und geben die spektralen Zerlegungen

    ${\begin{aligned}{\mathsf {M}}=&\quad \,{\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}2&-4&-6\\-1&2&3\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{8}}{\begin{pmatrix}3&6&15\\-1&-2&-5\\3&6&15\end{pmatrix}}+{\frac {1}{8}}{\begin{pmatrix}1&2&-3\\3&6&-9\\5&10&-15\end{pmatrix}}\\{\mathsf {K}}=&-{\frac {3}{4}}{\begin{pmatrix}2&-4&-6\\-1&2&3\\0&0&0\end{pmatrix}}-{\frac {3}{8}}{\begin{pmatrix}3&6&15\\-1&-2&-5\\3&6&15\end{pmatrix}}+{\frac {5}{8}}{\begin{pmatrix}1&2&-3\\3&6&-9\\5&10&-15\end{pmatrix}}\end{aligned}}$
