Spektrum eines Ringes
# Spektrum eines Ringes

Das Spektrum eines Ringes ist ein Konstrukt aus der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Das Spektrum eines Ringes $R$ ist die Menge aller Primideale in $R$, in Zeichen

    $\operatorname {Spec} (R)=\{P\mid P\subseteq R{\text{ mit }}P{\text{ Primideal}}\}.$

Es bezeichnet das dem Ring entsprechende geometrische Objekt.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

## Definition

Für einen Ring $R$ ist das Spektrum $\operatorname {Spec} R$ ein topologischer Raum mit einer Garbe von Ringen:

* Die dem Raum zugrundeliegende Menge ist die Menge der Primideale von $R$.
* Die Topologie ist die Zariski-Topologie, bei der eine Basis der offenen Mengen durch die Mengen

       $D(f)=\{P\in \operatorname {Spec} R\mid f\notin P\}$
    für Elemente $f$ von $R$ gegeben ist.
* Die Schnitte der Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R}$ über $D(f)$ sind gleich der Lokalisierung $R_{f}$. Insbesondere ist

       $\Gamma (\operatorname {Spec} R,{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R})=R$.

Lokal geringte Räume, die isomorph zum Spektrum eines Ringes sind, werden affine Schemata genannt.

## Beispiele

* Das Spektrum eines Körpers besteht aus einem einzelnen Punkt; die Schnitte der Strukturgarbe über diesem Punkt sind gleich dem Körper selbst.
* $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$ besteht aus der 0 und den (positiven) Primzahlen; offene Mengen sind Komplemente einer endlichen Menge von Primzahlen $S$; die Schnitte der Strukturgarbe über einer solchen offenen Menge sind die rationalen Zahlen, deren Nenner nur Primfaktoren aus $S$ enthalten.
* Der $n$-dimensionale affine Raum über einem Ring $R$ ist das affine Schema $\operatorname {Spec} R[x_{1},\dotsc ,x_{n}]$. Ist $R=k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, dann entsprechen die abgeschlossenen Punkte (äquivalent: die maximalen Ideale) bijektiv den Punkten im Raum $k^{n}$ (Siehe: Hilbertscher Nullstellensatz).
* Sei $X$ ein kompakter Hausdorff-Raum und sei $R$ der Ring der komplexwertigen stetigen Funktionen auf $X$, dann entsprechen die abgeschlossenen Punkte im Spektrum bijektiv den Punkten in $X$. Man kann auf diese Weise den Hausdorff-Raum $X$ topologisch in den (im Allgemeinen nichthausdorffschen) Raum $\operatorname {Spec} R$ einbetten. Dieses Beispiel verbindet das hier behandelte Spektrum der Ringtheorie mit dem Gelfand-Spektrum einer Banachalgebra, wie es in der Funktionalanalysis und der Operatorentheorie untersucht und verwendet wird.

## Eigenschaften

* Das Spektrum eines Ringes ist ein lokal geringter Raum: der Halm der Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R}$ in einem Punkt $P$ ist der lokale Ring $R_{P}$.
* Das Spektrum eines Ringes ist stets quasi-kompakt.
* Die Bildung des Spektrums ist ein kontravarianter Funktor: Für einen Ringhomomorphismus $\varphi \colon A\to B$ ist $\operatorname {Spec} (\varphi )\colon \operatorname {Spec} (B)\to \operatorname {Spec} (A)$ stetig, genauer: ein Homomorphismus lokal geringter Räume.
* Der Funktor Spec ist eine Kategorienäquivalenz zwischen der Kategorie der Ringe (kommutativ mit Eins) und der Kategorie der affinen Schemata, insbesondere ist jeder Morphismus von affinen Schemata von der Form $\operatorname {Spec} (\varphi )$ für einen Ringhomomorphismus $\varphi$.
