Jordan-Kurve
# Jordan-Kurve

Jordan-Kurven (bzw. einfache Kurven) sind nach Camille Jordan benannte mathematische Kurven, die als eine homöomorphe Einbettung des Kreises $S_{1}$ oder des Intervalls $I_{1}=[0;1]$ in einen topologischen Raum definiert sind. (Die homöomorphe Einbettung von $I_{1}$ nennt man offene Jordan-Kurve. Die Einbettung von $S_{1}$ wird geschlossene Jordan-Kurve genannt.)

Anschaulich heißt das, dass es sich um Kurven handelt, die stetig und schnittpunktfrei sind und einen Anfangs- und einen Endpunkt besitzen. Der Begriff der Jordan-Kurve wird auch zur Definition planarer Graphen verwendet.

## Beispiele

Der Einheitskreis mit der Parametrisierung

    $\varphi (t)=(\cos(t),\sin(t))$, $t\in [0,2\pi ]$

ist eine geschlossene Jordankurve.

Der Weg

    $\varphi (t)=(\cos(t),\sin(t))$ mit $t\in [0,3\pi ]$

liefert auch den Einheitskreis, ist aber in dieser Parametrisierung keine Jordankurve, da z. B.

    $\varphi (1)=\varphi (2\pi +1)$.

Das Einheitsquadrat ist eine Jordankurve, die aber mit keiner Parametrisierung glatt ist.

Die Strecke

    $\varphi (t)=(t,0)$ mit $t\in [0,1]$

ist eine (offene) Jordankurve.

