Alpha-Beta-Filter
# Alpha-Beta-Filter

Ein Alpha-Beta-Filter (auch f-g-Filter oder g-h-Filter) ist ein Beobachter zur Schätzung und Glättung von Größen, welcher mit dem Kalman-Filter verwandt ist. Anwendung findet der Alpha-Beta-Filter zum Beispiel in Radartrackern.

## Formeln

Der Alpha-Beta-Filter kann auf Systeme angewandt werden, bei denen eine Größe ${\textbf {x}}$ (zum Beispiel eine Position) aus einer anderen Größe ${\textbf {v}}$ (zum Beispiel die Geschwindigkeit) durch Integration hervorgeht.

Ausgehend von der vorherigen (eventuell initialen) Schätzung der Größen ${\hat {\textbf {x}}}_{k-1},{\hat {\textbf {v}}}_{k-1}$ zum Zeitpunkt $k-1$, erhält man den prädizierten Wert für die Größe durch die Formel

    ${\text{(1)}}\quad {\hat {\textbf {x}}}_{k}\leftarrow {\hat {\textbf {x}}}_{k-1}+\Delta {\textrm {T}}\ {\textbf}{\hat {\textbf {v}}}_{k-1}$,

wobei $\Delta T$ die Zeitdifferenz zwischen den beiden Zeitpunkten ist.

Falls das System nicht getrieben ist, bleibt die Schätzung der Größe ${\textbf {v}}$ erhalten:${\text{(2)}}\quad {\hat {\textbf {v}}}_{k}\leftarrow {\hat {\textbf {v}}}_{k-1}$. Ansonsten sind in dieser Formel Anpassungen möglich.

Das Residuum zwischen dem neuen Messwert und dem vorhergesagten Wert zur Zeit $k$ ist

    ${\text{(3)}}\quad {\hat {\textbf {r}}}_{k}\leftarrow {\textbf {x}}_{k}-{\hat {\textbf {x}}}_{k}$

Mithilfe der Alpha- und Beta-Werte wird die Schätzung der beiden Größen aktualisiert.

    ${\text{(4)}}\quad {\hat {\textbf {x}}}_{k}\leftarrow {\hat {\textbf {x}}}_{k}+(\alpha )\ {\hat {\textbf {r}}}_{k}$
    ${\text{(5)}}\quad {\hat {\textbf {v}}}_{k}\leftarrow {\hat {\textbf {v}}}_{k}+(\beta /[\Delta {\textrm {T}}])\ {\hat {\textbf {r}}}_{k}$,

hierbei sind $\alpha$ und $\beta$ zu wählen.

Für die Konvergenz und Stabilität sollten alpha und beta kleine positive Zahlen sein:

    $\quad 0<\alpha <1$
    $\quad 0<\beta \leq 2$
    $\quad 0<4-2\alpha -\beta$
