Additiver Funktor
# Additiver Funktor

Additiver Funktor ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Es handelt sich dabei um Funktoren zwischen präadditiven Kategorien, die Gruppenhomomorphismen zwischen den Morphismengruppen definieren.

## Definition

Es seien ${\mathfrak {C}}$ und ${\mathfrak {D}}$ präadditive Kategorien. Ein Funktor $F:{\mathfrak {C}}\rightarrow {\mathfrak {D}}$ heißt additiv, falls die Abbildungen $\mathrm {Mor} _{\mathfrak {C}}(X,Y)\rightarrow \mathrm {Mor} _{\mathfrak {D}}(FX,FY);\,f\mapsto Ff$ für je zwei Objekte $X$ und $Y$ aus ${\mathfrak {C}}$ Gruppenhomomorphismen sind.

Häufig betrachtet man additive Funktoren auf additiven oder abelschen Kategorien, da diese auf solchen Kategorien weitere Eigenschaften haben. Die meisten natürlich auftretenden Funktoren zwischen präadditiven Kategorien sind additiv.

## Charakterisierung

Für Funktoren zwischen abelschen Kategorien hat man folgende Charakterisierung: Ein Funktor $F:{\mathfrak {A}}\rightarrow {\mathfrak {B}}$ ist genau dann additiv, wenn $F(A_{1}\oplus A_{2})=F(A_{1})\oplus F(A_{2})$ für alle Objekte $A_{1},A_{2}$ aus ${\mathfrak {A}}$, wobei die Gleichheit folgendes bedeuten soll: Ist $(\iota _{j}:A_{j}\rightarrow A_{1}\oplus A_{2})_{j=1,2}$ eine direkte Summe, so auch $(F\iota _{j}:FA_{j}\rightarrow F(A_{1}\oplus A_{2}))_{j=1,2}$.

## Beispiele

* Die Hom-Funktoren $\mathrm {Hom} _{R}(A,-)$ von der Kategorie ${\mathfrak {M}}_{R}$ der $R$-Moduln über einem Ring $R$ in die Kategorie ${\mathfrak {Ab}}$ der abelschen Gruppen, $A$ ein fester $R$-Modul, ist additiv. Das Gleiche gilt für die Funktoren $\mathrm {Hom} _{R}(-,A):{\mathfrak {M}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {Ab}}$
* Die Tensorfunktoren $(A\otimes _{R}-):{\mathfrak {M}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {Ab}}$ sind additiv, ebenso $(-\otimes _{R}A):{\mathfrak {M}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {Ab}}$
* Halbexakte Funktoren sind additiv.
* Der Funktor $F:{\mathfrak {M}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {M}}_{R}$ mit $FA=A\oplus R$ für jeden Modul $A$ und $Ff=f\oplus \mathrm {id} _{R}$ für jeden Morphismus $f$ ist nicht additiv.

## Eigenschaften

Additive Funktoren zwischen abelschen Kategorien haben folgende Eigenschaften:

* Additive Funktoren überführen Nullobjekte in Nullobjekte.
* Additive Funktoren überführen endliche direkte Summen in direkte Summen.
* Ist $0\rightarrow A\rightarrow A^{'}\rightarrow A^{''}\rightarrow 0$ eine kurze exakte Sequenz und $F$ ein additiver Funktor, so hat man eine lange exakte Sequenz

    $\ldots \rightarrow L_{n}FA\rightarrow L_{n}FA^{'}\rightarrow L_{n}FA^{''}\rightarrow \ldots \rightarrow L_{0}FA\rightarrow L_{0}FA^{'}\rightarrow L_{0}FA^{''}\rightarrow 0$,
    wobei $L_{n}$ für die $n$-te Linksableitung stehe. Insbesondere ist die 0-te Linksableitung eines additiven Funktors rechtsexakt.
* Ist $F{\xrightarrow {\rho }}F^{'}{\xrightarrow {\sigma }}F^{''}$ eine Folge additiver Funktoren und natürlicher Transformationen $\rho$ und $\sigma$ und ist für jeden projektiven Modul $P$ die Sequenz

    $0\rightarrow FP{\xrightarrow {\rho ^{P}}}F^{'}P{\xrightarrow {\sigma ^{P}}}F^{''}P\rightarrow 0$
    exakt, so hat man für beliebige Moduln $A$ eine lange exakte Sequenz
    $\ldots \rightarrow L_{n}FA\rightarrow L_{n}F^{'}A\rightarrow L_{n}F^{''}A\rightarrow \ldots \rightarrow L_{0}FA\rightarrow L_{0}F^{'}A\rightarrow L_{0}F^{''}A\rightarrow 0$.
