Symmetrische monoidale Kategorie
# Symmetrische monoidale Kategorie

In der Mathematik ist eine symmetrische monoidale Kategorie eine monoidale Kategorie (d. h. eine Kategorie, in der ein "Tensorprodukt" $\otimes$ definiert ist), deren Tensorprodukt symmetrisch ist (d. h. man hat einen natürlichen Isomorphismus zwischen $A\otimes B$ und $B\otimes A$ für alle Objekte $A$ und $B$).

Ein typisches Beispiele ist die Kategorie der Vektorräume über einem gegebenen Körper.

## Definition

Es sei $({\mathcal {C}},\otimes ,I)$ eine monoidale Kategorie mit Assoziativitätsisomorphismus $a$ sowie linken und rechten Einheitsisomorphismen $l$ bzw. $r$. Die monoidale Kategorie heißt symmetrisch, wenn es zu je zwei Objekten $A,B$ aus ${\mathcal {C}}$ einen Isomorphismus

    $s_{AB}:A\otimes B\to B\otimes A$

gibt, der natürlich in $A$ und $B$ ist, so dass die folgenden Diagramme kommutieren:

    Kompatibilität mit dem Einheitsobjekt:
    Kompatibilität mit dem Assoziativgesetz:
    Umkehrregel:

## Beispiele symmetrischer monoidaler Kategorien

* Die Kategorie der Mengen mit dem Mengenprodukt als Tensorprodukt und einer einelementigen Menge als Einheitsobjekt.
* Die Kategorie der topologischen Räume mit dem direkten Produkt als Tensorprodukt und einem einelementigen Raum als Einheitsobjekt.
* Die Kategorie der Gruppen mit dem direkten Produkt als Tensorprodukt und der trivialen Gruppe als Einheitsobjekt.
* Die Kategorie der Ringe mit dem direkten Produkt als Tensorprodukt und dem Nullring als Einheitsobjekt.
* Die Kategorie der Vektorräume über einem gegebenen Körper mit der direkten Summe als Tensorprodukt und dem Nullvektorraum als Einheitsobjekt.
* Die Kategorie der Vektorräume über einem gegebenen Körper $K$ mit dem Tensorprodukt von Vektorräumen als Tensorprodukt und dem eindimensionalen Raum $K^{1}$ als Einheitsobjekt.
* Für eine gegebene Gruppe $G$ die Kategorie der Darstellungen von $G$ über einem gegebenen Körper mit dem Tensorprodukt von Darstellungen als Tensorprodukt und der trivialen Darstellung als Einheitsobjekt.
