Quadratsummen-Funktion
# Quadratsummen-Funktion

Die Quadratsummen-Funktion (engl. sum of squares function) $r_{k}(n)$ ist eine zahlentheoretische Funktion, die angibt, auf wie viele Arten eine gegebene natürliche Zahl $n$ als Summe von $k$ Quadraten ganzer Zahlen dargestellt werden kann, wobei alle Vertauschungen und Vorzeichenkombinationen mitgezählt werden.

## Definition

Die ersten Werte von $r_k$ (Primzahlen mit hellblauen Hintergrund) :

| n | n | $r_1(n)$ | $r_2(n)$ | $r_3(n)$ | $r_4(n)$ | $r_5(n)$ | $r_6(n)$ | $r_7(n)$ | $r_8(n)$ |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
| 2 | 2 | 0 | 4 | 12 | 24 | 40 | 60 | 84 | 112 |
| 3 | 3 | 0 | 0 | 8 | 32 | 80 | 160 | 280 | 448 |
| 4 | $2^2$ | 2 | 4 | 6 | 24 | 90 | 252 | 574 | 1136 |
| 5 | 5 | 0 | 8 | 24 | 48 | 112 | 312 | 840 | 2016 |
| 6 | 2‧3 | 0 | 0 | 24 | 96 | 240 | 544 | 1288 | 3136 |
| 7 | 7 | 0 | 0 | 0 | 64 | 320 | 960 | 2368 | 5504 |
| 8 | $2^3$ | 0 | 4 | 12 | 24 | 200 | 1020 | 3444 | 9328 |
| 9 | $3^2$ | 2 | 4 | 30 | 104 | 250 | 876 | 3542 | 12112 |
| 10 | 2‧5 | 0 | 8 | 24 | 144 | 560 | 1560 | 4424 | 14112 |
| 11 | 11 | 0 | 0 | 24 | 96 | 560 | 2400 | 7560 | 21312 |
| 12 | $2^2‧3$ | 0 | 0 | 8 | 96 | 400 | 2080 | 9240 | 31808 |
| 13 | 13 | 0 | 8 | 24 | 112 | 560 | 2040 | 8456 | 35168 |
| 14 | 2‧7 | 0 | 0 | 48 | 192 | 800 | 3264 | 11088 | 38528 |
| 15 | 3‧5 | 0 | 0 | 0 | 192 | 960 | 4160 | 16576 | 56448 |
| 16 | $2^4$ | 2 | 4 | 6 | 24 | 730 | 4092 | 18494 | 74864 |
| 17 | 17 | 0 | 8 | 48 | 144 | 480 | 3480 | 17808 | 78624 |
| 18 | $2‧3^2$ | 0 | 4 | 36 | 312 | 1240 | 4380 | 19740 | 84784 |
| 19 | 19 | 0 | 0 | 24 | 160 | 1520 | 7200 | 27720 | 109760 |
| 20 | $2^2‧5$ | 0 | 8 | 24 | 144 | 752 | 6552 | 34440 | 143136 |

Die Funktion ist für alle $n\in \mathbb {N} _{\geq 0}$ und $k\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ definiert als

    $r_{k}(n):=\sum _{\begin{array}{c}a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}=n\\(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\end{array}}1={\big |}\left\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\mid a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}=n\right\}{\big |},$

d. h. als Anzahl der Darstellungsmöglichkeiten von $n$ als Summe von $k$ Quadraten ganzer Zahlen mit $k\geq 1$.

Beispielsweise gilt

    $r_{k}(0)=1$

für alle $k$. Es ist

    $r_{2}(1)=4$,

da $1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ mit jeweils 2 Vorzeichenkombinationen gilt, und auch

    $r_{2}(2)=4$

wegen $2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}$ mit 4 Vorzeichenkombinationen. Andererseits ist

    $r_{2}(3)=0$,

weil es keine Darstellung der Zahl 3 als Summe von 2 Quadraten gibt.

Aus der Definition folgt sofort die Beziehung

    $r_{k+m}(n)=\sum _{t=0}^{n}r_{k}(t)\ r_{m}(n-t),$

aus der sich eine Rekursionsformel zur effizienten Berechnung ableiten lässt:

    $r_{k+1}(n)=r_{k}(n)+2\sum _{t=1}^{\sqrt {n}}r_{k}(n-t^{2}).$

## Durchschnittliche Größenordnung

Es sei

    $R_{k}(x):=\sum _{n=0}^{x}r_{k}(n)=\sum _{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\dotsb +a_{k}^{2}\leq x}1$.

Das ist anschaulich die Anzahl der (ganzzahligen) Gitterpunkte in einer $k$-dimensionalen Kugel mit dem Radius ${\sqrt {x}}$ und darum näherungsweise gleich dem Kugelvolumen. Genauer lässt sich rekursiv ableiten

    $R_{k}(x)=V_{k}x^{\frac {k}{2}}+O(x^{\frac {k-1}{2}})$,

wobei $O(.)$ das Landau-Symbol ist und die Konstanten $V_{k}$ die Volumina der $k$-dimensionalen Einheitskugeln sind:

    $V_{2}=\pi ,\;V_{3}={\frac {4}{3}}\pi ,\;V_{4}={\frac {1}{2}}\pi ^{2},\;\dots$

Die durchschnittliche Größenordnung von $r_{k}(n)$ ist damit ${\tfrac {k}{2}}V_{k}x^{{\tfrac {k}{2}}-1}$, also z. B. $\pi$ die von $r_{2}(x)$.

## Erzeugende Funktion

Die erzeugende Funktion erhält man als Potenz der Jacobischen Thetafunktion $\vartheta (z,q)$ für den Spezialfall $z=0$. Dafür gilt

    $\vartheta _{3}(q):=\vartheta (0,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\dotsb$

Man erhält daraus

    $(\vartheta _{3}(q))^{k}=\sum _{n_{1},n_{2},\dotsc ,n_{k}}q^{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+\dotsb +n_{k}^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}\sum _{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+\dotsb +n_{k}^{2}=n}1=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}\ r_{k}(n)$.

## Spezielle Fälle

Einige spezielle Formeln sind z. B. (für $n>0$):

Für $k=2$ gilt:

    $r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\equiv 1{\pmod {2}}}(-1)^{(d-1)/2}$

Mit Hilfe der Primfaktorzerlegung $n=2^{g}p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots$, wobei $p_{i}$ die Primfaktoren der Form $p_{i}\equiv 1{\pmod {4}}$ und $q_{i}$ die Primfaktoren der Form $q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}$ sind, ergibt sich als weitere Formel

    $r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots$,

wenn alle Exponenten $h_{1},h_{2},\dotsc$ gerade sind. Ist mindestens ein $h_{i}$ ungerade, dann ist $r_{2}(n)=0$. Nach Definition ist $r_{2}(n)$ auch die Anzahl der Gaußschen Zahlen mit der Norm $n$.

Für $k=3$ bewies Gauß eine Formel für quadratfreie Zahlen $n>4$

    $r_{3}(n)={\begin{cases}24h(-n),&{\text{wenn }}n\equiv 3{\pmod {8}},\\0&{\text{wenn }}n\equiv 7{\pmod {8}},\\12h(-4n)&{\text{sonst}},\end{cases}}$

wobei $h(m)$ die Klassenzahl einer ganzen Zahl $m$ bezeichnet.

Für beliebige $n>0$ gilt nach dem Drei-Quadrate-Satz $r_{3}(n)=0$ genau dann, wenn $n$ sich in der Form $n=4^{a}(8b+7),a\geq 0,b\geq 0$ darstellen lässt.

Die Formel für $k=4$ stammt von Carl Gustav Jacob Jacobi und liefert $r_{4}(n)$ als achtfache Summe aller Teiler von $n,$ die nicht durch 4 teilbar sind (Satz von Jacobi):

    $r_{4}(n)=8\sum _{d\mid n;4\nmid d}d$

$r_{4}(n)$ ist auch die Anzahl aller Lipschitz-Quaternionen mit der Norm $n$.

Jacobi fand auch eine explizite Formel für $k=8$:

    $r_{8}(n)=16\sum _{d\mid n}(-1)^{n+d}d^{3}$

## Beziehung zur Sierpiński-Konstanten

Der Limes

    $K:=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {r_{2}(k)}{k}}-\pi \log n\right)$

existiert und wird (nach Wacław Sierpiński) als Sierpiński-Konstante bezeichnet. Diese lässt sich durch die Kreiszahl, die Euler-Mascheroni-Konstante und die Gammafunktion ausdrücken:

    $K=\pi (2\gamma +4\log \Gamma ({\tfrac {3}{4}})-\log \pi )$
