Jordan-Chevalley-Zerlegung
# Jordan-Chevalley-Zerlegung

Die Jordan-Chevalley-Zerlegung (gelegentlich auch Dunford-Zerlegung) ist wichtig für das Studium von Lie-Algebren und algebraischen Gruppen. Benannt ist sie nach Marie Ennemond Camille Jordan und Claude Chevalley.

Unter der (additiven) Jordan-Chevalley-Zerlegung eines Endomorphismus $x\colon V\rightarrow V$ eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper versteht man die Summe $x=x_{s}+x_{n}$, worin $x_{s}$ ein halbeinfacher (also diagonalisierbarer) und $x_{n}$ ein nilpotenter Endomorphismus sind, die miteinander kommutieren, das heißt $x_{s}x_{n}=x_{n}x_{s}$.

Ist allgemeiner $L$ eine halbeinfache Lie-Algebra (mit Lie-Klammer $[\cdot ,\cdot ]$) über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0 und $x\in L$, so bezeichnet man $x=x_{s}+x_{n}$ als (additive abstrakte) Jordan-Chevalley-Zerlegung, falls gilt: Der Endomorphismus ${\rm {ad}}(x_{s})$ ist halbeinfach, der Endomorphismus ${\rm {ad}}(x_{n})$ ist nilpotent, und es gilt $[x_{s},x_{n}]=0$. Darin wird für jedes $y\in L$ die Abbildung ${\rm {ad}}(y)$ folgendermaßen definiert:

    ${\rm {ad}}(y):L\rightarrow L\ ,\ z\mapsto [y,z]$,

welches ein Endomorphismus von $L$ ist.

Die Jordan-Chevalley-Zerlegung existiert in den oben angegebenen Fällen und ist eindeutig. Zudem stimmen beide Definitionen im Fall $L={\rm {End}}(V)$, versehen mit der Lie-Klammer $[f,g]:=fg-gf$, überein.

Die multiplikative Zerlegung stellt einen invertierbaren Operator als Produkt seiner kommutierenden halbeinfachen und unipotenten Anteile dar. Diese erhält man leicht aus der oben angegebenen additiven Zerlegung:

    $x=x_{s}+x_{n}=x_{s}\cdot (1+x_{s}^{-1}x_{n})$.

Man beachte, dass $x_{s}$ invertierbar ist, denn $x$ kann als invertierbarer Endomorphismus nicht den Eigenwert 0 haben, und dass $x_{s}^{-1}x_{n}$ wegen der Vertauschbarkeit der Faktoren ebenfalls nilpotent und $1+x_{s}^{-1}x_{n}$ damit unipotent ist.

