Halbeinfache Lie-Gruppe
# Halbeinfache Lie-Gruppe

In der Mathematik ist eine halbeinfache Lie-Gruppe eine zusammenhängende Lie-Gruppe, deren Lie-Algebra halbeinfach ist.

## Äquivalente Charakterisierungen

Eine zusammenhängende Lie-Gruppe ist genau dann halbeinfach, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

* die Killing-Form ist nicht-ausgeartet,
* es gibt keine normalen nicht-trivialen auflösbaren Untergruppen,
* es gibt keine normalen nicht-trivialen abelschen Untergruppen.

## Beispiele

* Spezielle lineare Gruppen: $SL(n,\mathbb {R} )$, $SL(n,\mathbb {C} )$
* Spezielle orthogonale Gruppe $SO(p,q)$
* Symplektische Gruppe $Sp(n)$
* Die obigen Beispiele sind einfache Lie-Gruppen. Die direkten Produkte endlich vieler einfacher Lie-Gruppen sind ebenfalls halbeinfache Lie-Gruppen.
* Halbeinfache algebraische Gruppen über $\mathbb {C}$ sind halbeinfache Lie-Gruppen.

## Maximal kompakte Untergruppe

Zu einer halbeinfachen Lie-Gruppe $G$ gibt es eine bis auf Konjugation eindeutige maximale kompakte Untergruppe $K$. Beispielsweise ist SO(n) eine maximal kompakte Untergruppe von $SL(n,\mathbb {R} )$ und SU(n) eine maximal kompakte Untergruppe von $SL(n,\mathbb {C} )$.

## Symmetrischer Raum

Sei $K$ eine maximal kompakte Untergruppe der (nicht-kompakten) halbeinfachen Lie-Gruppe $G$. Der Quotient $G/K$ ist ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ.

Der duale symmetrische Raum wird mit $G^{u}/K$ bezeichnet. Seine Isometriegruppe $G^{u}$ ist eine kompakte Lie-Gruppe.

