Kato-Ungleichung
# Kato-Ungleichung

Die Kato-Ungleichung ist in der Funktionalanalysis eine Distributions-Ungleichung für den Laplace-Operator respektive gewisse elliptische Operatoren. Sie wurde 1972 von dem japanischen Mathematiker Tosio Kato bewiesen.

Wir behandeln hier den Fall für den Laplace-Operator, wie sie bei Haïm Brezis und Wolfgang Arendt zu finden ist. Die ursprüngliche Ungleichung gilt allgemeiner für gewisse degenerierte elliptische Operatoren.

## Aussage

Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}$ eine beschränkte, offene Menge und $f\in L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )$, so dass $\Delta f\in L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )$. Dann gilt

    $\Delta |f|\geq \operatorname {Re} \left((\operatorname {sgn} {\overline {f}})\Delta f\right)\quad$ in $\;{\mathcal {D}}'(\Omega )$,

wobei

    $\operatorname {sgn} {\overline {f}}={\begin{cases}{\frac {\overline {f(x)}}{|f(x)|}}&{\text{falls }}f\neq 0\\0&{\text{falls }}f=0.\end{cases}}$

$L_{\operatorname {loc} }^{1}$ ist der Raum der lokal integrierbaren Funktionen.

### Erläuterungen

* Die Ungleichung wird manchmal auch in folgender Form

       $\Delta f^{+}\geq \operatorname {Re} \left(1_{[f\geq 0]}\Delta f\right)\quad$ in $\;{\mathcal {D}}'(\Omega )$
    dargestellt, wobei $f^{+}=\operatorname {max} (f,0)$ und $1_{[f\geq 0]}$ die Indikatorfunktion ist.
* Falls $f$ stetig in $\Omega$ ist, dann folgt

       $\Delta |f|\geq \operatorname {Re} \left((\operatorname {sgn} {\overline {f}})\Delta f\right)\quad$ in $\;{\mathcal {D}}'(\{f\neq 0\})$.
