Polyzyklische Gruppe
# Polyzyklische Gruppe

Polyzyklische Gruppen sind spezielle im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete Gruppen. Sie setzen sich aus zyklischen Gruppen zusammen.

## Definition

Eine Gruppe $G$ heißt polyzyklisch, falls es eine endliche Kette

    $\{1\}=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \ldots \vartriangleleft G_{n}=G$

gibt, so dass jede Faktorgruppe $G_{i+1}/G_{i}$ zyklisch ist. Das Symbol $\vartriangleleft$ steht dabei, wie üblich, für "ist Normalteiler in".

## Beispiele

* Jede zyklische Gruppe ist polyzyklisch.
* Jede endliche, auflösbare Gruppe ist polyzyklisch, denn eine Auflösung kann zu einer solchen mit einfachen Faktoren verfeinert werden, und einfache abelsche Gruppen sind zyklisch.
* Jede überauflösbare Gruppe ist polyzyklisch, insbesondere sind endlich erzeugte nilpotente Gruppen polyzyklisch.
* Die unendliche Diedergruppe ist polyzyklisch, aber nicht nilpotent.

## Eigenschaften

* Untergruppen, homomorphe Bilder und Erweiterungen polyzyklischer Gruppen sind wieder polyzyklisch.
* Polyzyklische Gruppen erfüllen die Maximalbedingung für Untergruppen, das heißt jede nicht-leere Menge von Untergruppen besitzt ein maximales Element.

    Beweis: Für zyklische Gruppen ist das klar und die Maximalbedingung setzt sich auf Erweiterungen fort.
* Jede Untergruppe einer polyzyklischen Gruppe ist endlich erzeugt, denn das ist äquivalent zur Maximalbedingung.
* Jede polyzyklische Gruppe ist residuell endlich, das heißt zu jedem von 1 verschiedenen Element gibt es einen Normalteiler mit endlichem Index, der das Element nicht enthält.
* Die Frattinigruppe einer polyzyklischen Gruppe ist nilpotent.
* Ist G eine Gruppe, die eine polyzyklische Untergruppe mit endlichem Index enthält, so ist der Gruppenring $K[G]$ bzgl. eines Körpers K noethersch.

## Äquivalente Charakterisierungen

* Eine Gruppe ist genau dann polyzyklisch, wenn sie auflösbar ist und der Maximalbedingung genügt.
* Eine Gruppe G ist genau dann polyzyklisch, wenn es eine Reihe $\{1\}=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \ldots \vartriangleleft G_{n}=G$ aus Normalteilern $G_{i}\vartriangleleft G$ gibt, so dass alle Faktoren $G_{i+1}/G_{i}$ entweder eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe oder eine endliche elementar abelsche Gruppe ist.
* Die polyzyklischen Gruppen sind bis auf Isomorphie genau die auflösbaren Untergruppen der $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$, der ganzzahligen allgemeinen linearen Gruppe.

    Dass auflösbare Untergruppen der $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$ polyzyklisch sind, wurde bereits 1951 von Anatoli Malzew bewiesen. Der Beweis der von Philip Hall vermuteten Umkehrung gelang 1967 Louis Auslander, der Beweis konnte von Richard Swan erheblich vereinfacht werden.

## Hirsch-Länge

Die zyklische Reihe $\{1\}=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \ldots \vartriangleleft G_{n}=G$ in der Definition der polyzyklischen Gruppe ist nicht eindeutig festgelegt, wie schon das einfache Beispiel $\mathbb {Z} _{6}\cong \mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ zeigt. Aber die Anzahl der zu $\mathbb {Z}$ isomorphen Faktoren hängt nicht von der zyklischen Reihe ab. Diese Anzahl heißt die Hirsch-Länge der polyzyklischen Gruppe, benannt nach K. A. Hirsch.

