Pascalsche Pyramide
# Pascalsche Pyramide

Die Pascalsche Pyramide ist die dreidimensionale Verallgemeinerung des Pascalschen Dreiecks. Sie enthält die Multinomialkoeffizienten dritter Ordnung (Trinomialkoeffizient), d. h. die Koeffizienten von $(a+b+c)^{n}$ stehen auf Ebene n+1. Wie im Pascalschen Dreieck beginnt die Pascalsche Pyramide mit einer einzelnen 1 auf der obersten Ebene (der „Spitze“ der Pyramide). Jede weitere Zahl ist die Summe der drei über ihr stehenden Zahlen. Alle besonderen Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks (siehe z. B. Sierpinski-Dreieck, Symmetrie) lassen sich sinngemäß auch auf die Pascalsche Pyramide anwenden.

## Alternative Konstruktion

Die Trinomialkoeffizienten sind gegeben durch

    ${\frac {(i+j+k)!}{i!\,j!\,k!\;}}$ mit $\;i+j+k=n\,.$

Die Identität

    ${\frac {(i+j+k)!}{i!\,j!\,k!}}={\frac {(i+j+k)!}{(i+j)!\,k!}}\cdot {\frac {(i+j)!}{i!\,j!}}$

legt folgende Konstruktionsvorschrift für die (n+1)-te Ebene nahe:

* Bilde zunächst die drei Seiten des Dreiecks. Diese entsprechen der (n+1)-ten Zeile im Pascalschen Dreieck.
* Fülle nun die m-te Zeile mit den Einträgen aus der m-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks, multipliziert mit dem an den Seiten bereits eingetragenen Faktor.

## Die ersten sieben Ebenen

1. Ebene

2. Ebene

3. Ebene

4. Ebene

5. Ebene

6. Ebene

7. Ebene

## Eigenschaften

* Die Summe aller Zahlen der Ebene n ist: $3^{n-1}$
* Die Summe aller Zahlen von der ersten bis zur n-ten Ebene ist: ${\frac {3^{n}-1}{2}}$

### Zusammenhang mit dem Sierpinski-Tetraeder

Werden im Pascalschen Tetraeder gerade und ungerade Zahlen unterschieden, ergibt sich ein Zusammenhang mit dem Sierpinski-Tetraeder. Die geraden Zahlen entsprechen dabei den Lücken im Sierpinski-Tetraeder. Dabei müssen $2^{a}$ Ebenen berücksichtigt werden, um den $a$-ten Iterationsschritt bei der Konstruktion des Sierpinski-Tetraeders zu erhalten.

## Verallgemeinerung

Analog lässt sich das $n$-dimensionale Pascalsche Simplex aus den weiteren Multinomialkoeffizienten definieren.

