Dualer Kegel
# Dualer Kegel

Der duale Kegel ist ein spezieller Kegel, der jedem Kegel zugeordnet werden kann. Er spielt beispielsweise bei den Dualitätsaussagen der Lagrange-Dualität in der mathematischen Optimierung eine Rolle. Er ist eng mit dem polaren Kegel verwandt.

## Definition

### In Hilberträumen

Gegeben sei ein Hilbertraum $V$ (also ein vollständiger Vektorraum mit Skalarprodukt $\langle .;.\rangle$ ) und ein Kegel ${\mathcal {K}}$ in diesem Vektorraum. Dann heißt die dem Kegel zugeordnete Menge

    $\operatorname {dual} ({\mathcal {K}})=\{y\in V|\forall x\in {\mathcal {K}}\colon \langle y;x\rangle \geq 0\}$

der duale Kegel von ${\mathcal {K}}$. Anschaulich sind dies dann alle Vektoren, die mit allen Elementen des Kegels einen Winkel von höchstens 90° einschließen. Gelegentlich wird der duale Kegel auch mit ${\mathcal {K}}^{*}$ oder ${\mathcal {K}}^{D}$ bezeichnet.

### Allgemeiner Fall

Ist $V^{*}$ der Dualraum von $V$ und ist ${\mathcal {K}}$ ein Kegel in $V$, dann ist der duale Kegel definiert durch

    $\operatorname {dual} ({\mathcal {K}}):=\{y^{*}\in V^{*}|\forall x\in {\mathcal {K}}\colon \langle y^{*};x\rangle \geq 0\}$

Dabei bezeichnet $\langle .;.\rangle$ die duale Paarung, das heißt, es gilt $\langle y^{*};x\rangle :=y^{*}(x)$.

### Bemerkung

Teilweise wird schon in unvollständigen Prähilberträumen die erste Form der Definition verwendet, um die entstehenden Mengen als Kegel im Ursprungsraum $V$ auffassen zu können.

## Verwandte Begriffsbildungen

### Polarer Kegel

Analog lässt sich der Begriff des polaren Kegels formulieren:

    $\operatorname {pol} ({\mathcal {K}}):=\{y^{*}\in V^{*}|\forall x\in {\mathcal {K}}\colon \langle y^{*};x\rangle \leq 0\}$

In einem Hilbertraum gilt dann:

    $\operatorname {pol} ({\mathcal {K}})=\{y\in V|\forall x\in {\mathcal {K}}\colon \langle y;x\rangle \leq 0\}$

Das ist die Menge aller Vektoren, die mit allen Kegelelementen einen Winkel von mindestens 90° haben und deshalb gilt ${\mathcal {K}}\cap \operatorname {pol} ({\mathcal {K}})=\{0_{V}\}$

Für beide Versionen der Definition ergibt sich die Beziehung $\operatorname {pol} ({\mathcal {K}})=-\operatorname {dual} ({\mathcal {K}})$ im jeweiligen Vektorraum. Dies lässt sich auch als Definition nutzen.

### Selbstdualer Kegel

Ein Kegel heißt selbstdual, wenn $\operatorname {dual} ({\mathcal {K}})={\mathcal {K}}$ gilt.

### Bemerkung

Gelegentlich wird der duale Kegel wie der polare Kegel definiert und umgekehrt, hier ist die Literatur nicht eindeutig. Es gilt also die Richtung der Ungleichung zu beachten.

## Beispiele

Betrachtet man in $\mathbb {R} ^{2}$ versehen mit dem Standardskalarprodukt den Kegel ${\mathcal {K}}:=\{x\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,x_{1}\geq 0\,,x_{2}=0\}=\lambda (1,0)^{T}$ mit $\lambda \geq 0$, so ist der duale Kegel die rechte Halbebene $\operatorname {dual} ({\mathcal {K}})=\mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R}$. Ist nämlich $x\in {\mathcal {K}}$, so ist $x^{T}y=\lambda y_{1}$ und dies soll $\geq 0$ sein für alle $\lambda \geq 0$, daher muss $y_{1}\geq 0$ sein.

Entsprechend der obigen Identität ist dann der polare Kegel die linke Halbebene.

Versieht man den $\mathbb {R} ^{2}$ mit dem Skalarprodukt $\langle x;y\rangle _{A}:=x^{T}Ay$, wobei $A$ die symmetrische positiv definite Matrix

    $A={\begin{pmatrix}4&1\\1&2\end{pmatrix}}$

ist, so ist der duale Kegel

    $\operatorname {dual} ({\mathcal {K}})=\{y\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,4y_{1}+y_{2}\geq 0\}$.

Dies ist die Halbebene, die von der Geraden $y_{2}=-4y_{1}$ begrenzt wird und den ersten Quadranten enthält. Das verwendete Skalarprodukt ist also ausschlaggebend für die Erzeugung des dualen (und polaren) Kegels.

Ein Beispiel für einen selbstdualen Kegel ist ${\mathcal {K}}:=\{x\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,x_{1}\geq 0\,,x_{2}\geq 0\}$.

## Eigenschaften

* Der duale und der polare Kegel sind konvex, unabhängig davon, ob diese Eigenschaft bereits dem ursprünglichen Kegel zukam oder nicht.
* Ist $V$ ein topologischer Vektorraum – mit dem topologischen Dualraum $V^{*}$ – so sind der polare und duale Kegel stets abgeschlossen.
