Satz von Bruck-Ryser-Chowla
# Satz von Bruck-Ryser-Chowla

Der Satz von Bruck–Ryser–Chowla ist eine kombinatorische Aussage über mögliche Blockpläne, die notwendige Bedingungen für deren Existenz angibt.

Der Satz besagt: Wenn ein symmetrischer $t-(v,k,\lambda )$-Blockplan existiert, dann gilt

* falls v gerade ist, dann ist $k-\lambda$ eine Quadratzahl;
* falls v ungerade ist, dann hat die diophantische Gleichung $x^{2}=(k-\lambda )\cdot y^{2}+(-1)^{\frac {v-1}{2}}\cdot \lambda \cdot z^{2}$ eine nichtverschwindende Lösung $(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}.$

Der Satz wurde 1949 für den Spezialfall der projektiven Ebenen von Richard Bruck und Herbert John Ryser bewiesen und 1950 mit Sarvadaman Chowla auf allgemeinere symmetrische Blockpläne verallgemeinert.

## Endliche projektive Ebenen

Im Spezialfall eines minimalen symmetrischen 2-Blockplans mit $\lambda =1$ – also für endliche projektive Ebenen – lässt sich der Satz so formulieren:

    Wenn eine projektive Ebene der Ordnung $q$ existiert und $q\equiv 1{\pmod {4}}$ oder $q\equiv 2{\pmod {4}}$ gilt, dann ist $q$ die Summe von zwei Quadratzahlen (von denen auch eine verschwinden kann).

Fasst man eine endliche projektive Ebene der Ordnung $q$ als speziellen symmetrischen Blockplan auf, dann lauten die Parameter, die den Blockplan beschreiben

    $v=q^{2}+q+1;\quad k=q+1;\lambda =1$.

In dieser spezielleren Formulierung für projektive Ebenen wird der Satz auch als Satz von Bruck und Ryser zitiert.

### Folgerungen und Beispiele

Aus dem Satz folgt dann zum Beispiel, dass es zu den Ordnungen 6 und 14 keine Ebene gibt, er schließt aber nicht die Existenz von Ebenen der Ordnungen $10=2\cdot 4+2=3^{2}+1^{2}$ und $12\equiv 0{\pmod {4}}$ aus. Es konnte gezeigt werden, dass keine projektive Ebene der Ordnung 10 existiert. Daraus folgt, dass die Bedingungen im Satz von Bruck-Ryser-Chowla keine hinreichenden Bedingung für die Existenz von Blockplänen sind.

* Die Ordnungen $q=5=4+1;9=9+0;13=9+4$ erfüllen die notwendige Bedingung des Satzes für projektive Ebenen. Tatsächlich existieren Ebenen mit diesen Ordnungen, da sie zugleich Primzahlpotenzen sind.
* Über Ebenen der Ordnung $q=27=3^{3}$ macht der Satz keine Aussage, da $27\equiv 3{\pmod {4}}$ ist. Da 27 eine Primzahlpotenz ist, existiert eine Ebene mit dieser Ordnung.

### Ausgeschlossene Ordnungen

Die Folge der Zahlen, die aufgrund des Satzes von Bruck und Ryser nicht Ordnungen einer projektiven Ebene sein können, also die Zahlen $n\in \mathbb {N}$ mit $n\equiv 1,2{\pmod {4}}$, die nicht Summe von zwei Quadratzahlen sind, bilden die Folge A046712 in OEIS.

Die kleinsten damit ausgeschlossenen Ordnungen sind: 6, 14, 21, 22, 30, 33, 38, 42, 46, 54, 57, 62, 66, 69, 70, 77, 78, 86, 93, 94, 102, 105, 110, 114, 118, 126, 129, 133, 134, 138, 141, 142, 150, 154, 158, 161, 165, 166, 174, 177, 182, 186, 189, 190, 198, 201, 206, 209, 210, 213, 214, 217, 222, 230, 237, 238, …

