Assoziiertes Primideal
# Assoziiertes Primideal

In der kommutativen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist ein Primideal eines Ringes $R$ assoziiert zu einem Modul $M$ über $R$, wenn es der Annihilator eines Elementes aus $M$ ist.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

## Definition

Sei $R$ ein Ring, sei ${\mathfrak {p}}\subseteq R$ ein Primideal und sei $M$ ein $R$-Modul. Dann heißt ${\mathfrak {p}}$ assoziiert zu $M$, wenn ein $m\in M$ existiert, sodass gilt:

    ${\mathfrak {p}}=\mathrm {Ann} (m)$.

Es gibt also ein $m$ in $M$, sodass für alle $r$ in $R$ gilt:

    $r*m=0\Leftrightarrow r\in {\mathfrak {p}}$

Die Menge der assoziierten Primideale wird mit $\mathrm {Ass} (M)$ bezeichnet.

## Sätze

Es gelten folgende Sätze für einen Modul $M$ über einem Ring $R$:

* Ist $U$ ein Untermodul von $M$, so ist

       $\mathrm {Ass} (U)\subset \mathrm {Ass} (M)\subset \mathrm {Ass} (U)\cup \mathrm {Ass} (M/U)$
* Ist $M$ nicht der Nullmodul und $R$ noethersch, so ist $\mathrm {Ass} (M)$ nicht leer.
* Ist $R$ noethersch, so ist

       $\bigcup _{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Ass} (M)}{\mathfrak {p}}$
    die Menge aller Nullteiler von $M$.
* Ist $M$ endlich erzeugt und $R$ noethersch, so gibt es eine Kette von Untermoduln (eine Kompositionsreihe)

       $M=M_{0}\subset M_{1}\subset \dotsc \subset M_{n}=0$
    und eine Menge von Primidealen
       $\{{\mathfrak {p}}_{i}|0\leq i<n,{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R)\}\supset \mathrm {Ass} (M)$
    sodass $M_{i}/M_{i+1}$ isomorph zu $R/p_{i}$ ist. Insbesondere ist in diesem Fall $\mathrm {Ass} (M)$ eine endliche Menge.
* Allgemein: Ist $R$ noethersch und gibt es eine Kompositionsreihe

       $M=M_{0}\subset M_{1}\subset \dotsc \subset M_{n}=0$
    sodass $M_{i}/M_{i+1}$ isomorph zu $R/{\mathfrak {p}}_{i}$ ist (mit Primidealen ${\mathfrak {p}}_{i}$), so gilt:
       $\mathrm {Ass} (M)\subset \{{\mathfrak {p}}_{0},\dotsc ,{\mathfrak {p}}_{n-1}\}\subset \mathrm {Supp} (M)$
    Diese drei Mengen besitzen dieselbe minimalen Elemente.
* Daraus folgt insbesondere, dass ein noetherscher Ring nur endlich viele minimale Primideale enthält.

## Zusammenhang mit dem Träger

Wenn $R$ ein noetherscher Ring und $M$ ein Modul ungleich dem Nullmodul ist, dann ist der Träger von $M$ die Menge aller Primideale, die Obermenge eines zu $M$ assoziierten Primideals sind.

