Δ-Lemma
# Δ-Lemma

Das $\Delta$-Lemma ist ein mathematischer Satz aus der kombinatorischen Mengenlehre. Es findet Anwendung bei der Entwicklung der Forcing-Methode.

## Aussage

Sei $D$ eine Familie von Mengen, und $d$ eine weitere Menge. $D$ heißt ein $\Delta$-System mit Wurzel $d$, falls gilt:

* $\forall x\neq y\in D:x\cap y=d$, der Schnitt zweier Mengen aus $D$ ist also konstant.

Das $\Delta$-Lemma besagt nun: Jede überabzählbare Familie endlicher Mengen enthält ein überabzählbares $\Delta$-System.

## Verallgemeinerung

Das Lemma lässt sich wie folgt verallgemeinern: Seien $\lambda <\mu$ Kardinalzahlen mit

* $\mu$ ist regulär: $\mu =cf(\mu )$
* Für alle $\alpha <\mu$ gilt: $\alpha ^{<\lambda }:=\sup _{\gamma <\lambda }\alpha ^{\gamma }<\mu$ (siehe Kardinalzahlarithmetik),

dann gibt es für jede Familie $I$ mit $\left|I\right|=\mu$ und $\left|a\right|<\lambda$ für $a\in I$ ein $\Delta$-System der Mächtigkeit $\mu$. Setzt man $\lambda =\aleph _{0}$ und $\mu =\aleph _{1}$, so erhält man obigen Spezialfall.

