Kollektives Modell
# Kollektives Modell

Ein Kollektives Modell ist ein Paar zweier Zufallsvariablen mit großer Anwendung in der Versicherungsmathematik.

## Definition

Sei $N$ eine Zufallsvariable mit $P(N\in \mathbb {N} _{0})=1$ und $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellen Zufallsvariablen, dann heißt das Paar $\langle N,(X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\rangle$ Kollektives Modell.

## Interpretation

Eine mögliche Interpretation hat große Bedeutung in der Schadensversicherungsmathematik, wenn man einen homogenen Bestand an Risiken betrachtet. Hierbei interpretiert man $N$ als die Anzahl aller Schäden, die in einem Zeitabschnitt eingetreten sind und $X_{i}$ als die Schadenhöhe die der $i$-te Schaden verursacht hat.

Allerdings ist bei der Verwendung in der Praxis Vorsicht geboten, da alle Zufallsvariablen als unabhängig voneinander verteilt angenommen werden, was in der Praxis nicht immer der Fall sein muss.

Das kollektive Modell ist eine Verallgemeinerung des individuellen Modells.

Weiterhin ist es in der Versicherungsmathematik sinnvoll einen Gesamtschaden $S:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ zu definieren:

    $S:=\sum _{n=0}^{\infty }\chi _{\{\omega \in \Omega |N(\omega )=n\}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

$S$ selbst ist dann wieder eine Zufallsvariable, die durch das zu Grunde liegende Kollektive Modell beschrieben wird. Man Interessiert sich dann häufig für bestimmte Eigenschaften von $S$ wie beispielsweise den Erwartungswert oder die Varianz.

Der Gesamtschaden $S$ kann mit dem Panjer-Algorithmus rekursiv berechnet werden.

