Satz von Cantor
# Satz von Cantor

Der Satz von Cantor besagt, dass eine Menge $\,A$ weniger mächtig als ihre Potenzmenge ${\mathcal {P}}(A)$ (der Menge aller Teilmengen) ist, dass also $|A|<|{\mathcal {P}}(A)|$ gilt. Er stammt vom Mathematiker Georg Cantor und ist eine Verallgemeinerung von Cantors zweitem Diagonalargument. Der Satz ist in allen Modellen gültig, die das Aussonderungsaxiom erfüllen.

Bemerkung: Der Satz gilt für alle Mengen, insbesondere auch für die leere Menge, denn ${\mathcal {P}}(\emptyset )=\{\emptyset \}$ ist einelementig. Allgemein gilt für endliche Mengen, dass die Potenzmenge einer $n$-elementigen Menge $2^{n}$ Elemente hat. Da stets $n<2^{n}$, ist der Satz von Cantor für endliche Mengen klar, er gilt aber eben auch für unendliche Mengen.

## Beweis

Offensichtlich gilt $|A|\leq |{\mathcal {P}}(A)|$, da $x\mapsto \{x\}$ eine injektive Abbildung $A\to {\mathcal {P}}(A)$ ist.

Wir wollen nun zeigen, dass es keine surjektive Abbildung $A\to {\mathcal {P}}(A)$ geben kann.

Um einen Widerspruch zu erhalten, nehmen wir an, dass es doch eine surjektive Abbildung $f\colon A\to {\mathcal {P}}(A)$ gibt.

Wir definieren nun $M:=\{x\in A\mid x\not \in f(x)\}$. Aufgrund des Aussonderungsaxioms ist $M$ eine Menge und somit $M\in {\mathcal {P}}(A)$. Wegen der Annahme, dass $f$ surjektiv ist, gibt es ein $a\in A$ mit $f(a)=M$. Dann gilt aber nach Definition von $M$:

    $a\in f(a)=M\,\iff a\notin f(a)$

Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme falsch ist und es keine surjektive Abbildung $A\to {\mathcal {P}}(A)$ geben kann – dann kann es aber erst recht keine bijektive Abbildung geben, was den Fall $|A|=|{\mathcal {P}}(A)|$ ausschließt, und wir wissen $|A|<|{\mathcal {P}}(A)|$.

## Historisches

Cantor lieferte einen ersten Beweis in seiner Abhandlung Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre von 1890. Hierfür zeigte er, dass die Menge aller Funktionen $g\colon A\to {\mathcal {\}0,1\}$ mächtiger ist als $A$ selbst, wobei die Menge der Funktionen $g$ die gleiche Mächtigkeit wie die Potenzmenge von $A$ besitzt (siehe Potenzmenge#Charakteristische Funktionen). Weitere Beweise stammen von Felix Hausdorff in Grundzüge der Mengenlehre (1914) und von Ernst Zermelo in Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre (1908).

## Zusammenhang mit Cantors weiteren Arbeiten

Man kann die Überabzählbarkeit der Menge der reellen Zahlen auch über den Satz von Cantor beweisen, wenn wir wissen, dass $|\mathbb {R} |=|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|$. Denn dann ist $|\mathbb {N} |<|\mathbb {R} |=|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|$.

Des Weiteren lässt sich mit dem Satz von Cantor die zweite Cantorsche Antinomie zeigen. Diese besagt, dass die Allklasse $\{x\mid x=x\}$ keine Menge ist, sondern eine echte Klasse. Denn nach Definition wäre die Potenzmenge der Allklasse eine Teilmenge derselben, was dem Satz von Cantor widerspricht.

## Quellen

* Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, Berlin Heidelberg 2004, 2. Auflage. ISBN 978-3-540-20401-5.
