Muirhead-Ungleichung
# Muirhead-Ungleichung

Die Muirhead-Ungleichung ist eine Verallgemeinerung der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.

## Zwei Definitionen

### Das „a-Mittel“

Für einen gegebenen reellen Vektor

    $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$

wird der Ausdruck

    $[a]={1 \over n!}\sum _{\sigma }x_{\sigma _{1}}^{a_{1}}\cdots x_{\sigma _{n}}^{a_{n}},$

wobei über alle Permutationen σ von { 1, …, n } summiert wird, als „a-Mittel“ [a] der nichtnegativen reellen Zahlen $x_1,$ …, $x_n$ bezeichnet.

Für den Fall a = (1, 0, …, 0), ergibt das genau das arithmetische Mittel der Zahlen $x_1,$ …, $x_n;$ für den Fall a = (1/n, …, 1/n) ergibt sich genau das geometrische Mittel.

### Doppelt stochastische Matrizen

Eine n × n Matrix P wird doppelt stochastisch genannt, wenn sie aus nichtnegativen Zahlen besteht und sowohl die Summe jeder Zeile als auch die Summe jeder Spalte gleich eins sind.

## Die Muirhead-Ungleichung

Die Muirhead-Ungleichung besagt nun, dass [a] ≤ [b] für alle $x_i$ ≥ 0 genau dann, wenn eine doppelt stochastische Matrix P existiert, für die a = Pb gilt.

Ein Beweis der Muirhead-Ungleichung findet sich beispielsweise in

