Unterraum
# Unterraum

Manche mathematische Strukturen, das heißt Mengen $X$ mit gewissen Zusatzstrukturen, werden als Räume bezeichnet, zum Beispiel Vektorräume oder topologische Räume. Eine Unterstruktur, das heißt eine Teilmenge $U\subseteq X$, die bezüglich der Struktur im weitesten Sinne abgeschlossen ist, bezeichnet man daher als Unterraum oder Teilraum. Die genaue Definition hängt von der Struktur ab.

## Beispiele

### Untervektorraum

Sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$. Eine Teilmenge $U$ von $V$ heißt Untervektorraum von $V$, wenn sie mit den von $V$ induzierten Verknüpfungen selbst ein Vektorraum ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn

* $U\neq \emptyset$
* für alle $u,v\in U$ auch $u+v\in U$ (Abgeschlossenheit bezüglich der Addition) und
* für alle $\alpha \in K$ und alle $u\in U$ auch $\alpha \cdot u\in U$ (Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation)

gilt.

### Topologischer Raum

$(X,{\mathcal {O}})$ sei ein topologischer Raum auf der Menge $X$ mit der Familie der offenen Mengen ${\mathcal {O}}$. Jede Teilmenge $U\subseteq X$ wird zu einem Unterraum, wenn darauf die Durchschnitte von $U$ mit den in $X$ offenen Mengen als offene Mengen des Unterraums definiert werden. $\left(U,\left\{O\cap U\,|\,O\in {\mathcal {O}}\right\}\right)$ wird damit zu einem topologischen Raum, der die Unterraumtopologie trägt.

Dieser Unterraum erbt im Allgemeinen nicht alle Eigenschaften des größeren Raumes $(X,{\mathcal {O}})$, zum Beispiel kann die Trennungseigenschaft $T_4$ verloren gehen.

### Metrischer Raum

$\left(X,d\right)$ sei ein metrischer Raum. Jede Teilmenge $U\subseteq X$ wird zu einem Unterraum $(U,d|_{U\times U})$ durch Einschränken der Metrik von $X\times X$ auf $U\times U$.

Falls $\left(X,d\right)$ ein vollständiger metrischer Raum ist, so ist $(U,d|_{U\times U})$ genau dann ein vollständiger metrischer Raum, wenn $U\subseteq X$ abgeschlossen ist.

## Kategorielle Definition

Im Kontext einer Kategorie von Räumen definiert man einen Unterraum eines Raumes dadurch, dass ein bestimmter Monomorphismus in den Raum, in dem er enthalten sein soll, existiert. Je nach Situation fordert man etwa, dass der Monomorphismus extrem sein muss. Dies macht in nicht-ausgeglichenen Kategorien einen Unterschied, etwa in der Kategorie der topologischen Räume: Jede stetige Injektion ist dort ein Monomorphismus, dieser ist jedoch nicht unbedingt eine Einbettung im Sinne der Topologie, da das Bild eines Monomorphismus auch gröber sein kann als der potentielle Unterraum. Ein extremer Monomorphismus ist dagegen gerade eine topologische Einbettung.

