Proendliche Vervollständigung
# Proendliche Vervollständigung

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie ist die proendliche Vervollständigung eine Konstruktion, mit der die Informationen über alle endlichen Faktorgruppen einer Gruppe zusammengefasst werden können.

## Definition

Für eine (diskrete) Gruppe $G$ betrachtet man das inverse System $\left\{G/\Gamma \right\}_{\Gamma }$, wobei $\Gamma$ über alle Normalteiler $\Gamma \subset G$ von endlichem Index läuft und definiert dann die proendliche Vervollständigung ${\widehat {G}}$ von $G$ als den inversen Limes dieses Systems

    ${\widehat {G}}=\varprojlim G/\Gamma$

in der Kategorie der topologischen Gruppen.

## Universelle Eigenschaft

Die proendliche Vervollständigung ${\widehat {G}}$ ist eine proendliche Gruppe. Der natürliche Homomorphismus $i\colon G\to {\widehat {G}}$ hat die folgende universelle Eigenschaft: für jeden Homomorphismus $f\colon G\to H$ in eine proendliche Gruppe $H$ gibt es einen stetigen Homomorphismus ${\hat {f}}\colon {\widehat {G}}\to H$ mit $f={\hat {f}}\circ i$.

## Weitere Eigenschaften

* Wenn $G$ endlich erzeugt ist, dann ist jede Untergruppe von endlichem Index $H\subset {\widehat {G}}$ offen und ${\widehat {\widehat {G}}}={\widehat {G}}$.
* Wenn $G$ endlich erzeugt ist, dann gilt für jede endliche Gruppe $H$

       $\mathrm {Hom} ({\widehat {G}},H)=\mathrm {Hom} (G,H)$.
* Für eine Gruppe $G$ bezeichne $Q(G)$ die Menge aller endlichen Faktorgruppen von $G$. Dann gilt für endlich erzeugte Gruppen $G$ und $H$:

       ${\widehat {G}}\simeq {\widehat {H}}\Longleftrightarrow Q(G)=Q(H)$.

## Beispiele

* → Hauptartikel: Proendliche Zahl

    Die proendliche Vervollständigung der Gruppe der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ ist
       ${\widehat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$.
    Sie ist isomorph zum Produkt der p-adischen Zahlen über alle Primzahlen $p$:
       ${\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \Pi _{p}\mathbb {Z} _{p}$.
* Sei $G=\pi _{1}X$ die Fundamentalgruppe einer komplexen projektiven Varietät. Dann ist ${\widehat {G}}$ isomorph zur algebraischen Fundamentalgruppe von $X$:

       ${\widehat {G}}\cong \pi _{1}^{alg}(X)$.
* Der natürliche Homomorphismus

       $G\to {\widehat {G}}$
    ist genau dann injektiv, wenn $G$ residuell endlich ist. Residuell endliche Gruppen sind in zahlreichen Teilen der Mathematik von Bedeutung.
