Systole (Mathematik)
# Systole (Mathematik)

In der Mathematik ist die Systole eine Invariante metrischer Räume.

## Definition

Sei $X$ ein kompakter metrischer Raum. Dann ist die Systole $\operatorname {sys} (X)$ von $X$ definiert als die Länge einer kürzesten nicht-zusammenziehbaren geschlossenen Kurve in $X$.

Hierbei ist eine geschlossene Kurve eine stetige Abbildung $\gamma \colon \left[0,1\right]\rightarrow X$ mit $\gamma (0)=\gamma (1)$. Sie heißt zusammenziehbar, wenn es einen Punkt $x\in X$ und eine Homotopie $H\colon \left[0,1\right]\times \left[0,1\right]\rightarrow X$ gibt mit $H(t,0)=\gamma (t)$ und $H(t,1)=x$ für alle $t\in \left[0,1\right]$. Sonst heißt sie nicht-zusammenziehbar. In einem kompakten metrischen Raum ist eine kürzeste nicht-zusammenziehbare Kurve immer eine geschlossene Geodäte. Ist $X$ einfach zusammenhängend, so ist jede geschlossene Kurve zusammenziehbar. In diesem Fall ist für jede Metrik $\operatorname {sys} (X)=\infty$.

## Pu's Ungleichung

Für jede Riemannsche Metrik $g$ auf der projektiven Ebene $\mathbb {R} P^{2}$ gilt

    $sys(\mathbb {R} P^{2},g)\leq {\frac {\pi }{2}}\operatorname {area} (g)$,

wobei $\operatorname {area} (\mathbb {R} P^{2},g)$ den Flächeninhalt und $\operatorname {sys} (\mathbb {R} P^{2},g)$ die Systole der Metrik bezeichnet.

## Loewners Ungleichung

Für jede Riemannsche Metrik $g$ auf dem 2-dimensionalen Torus $T^{2}$ gilt die Ungleichung

    $\operatorname {sys} (T^{2},g)\leq {\sqrt {{\frac {2}{\sqrt {3}}}\operatorname {area} (T^{2},g)}}$,

wobei $\operatorname {area} (T^{2},g)$ den Flächeninhalt und $\operatorname {sys} (T^{2},g)$ die Systole der Metrik bezeichnet.

## Gromows Ungleichung

Es gibt eine nur von $n$ abhängende universelle Konstante $C_{n}$, so dass für jede asphärische $n$-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$ die Ungleichung

    $\operatorname {sys} (M,g)\leq (C_{n}\operatorname {Vol} (M,g))^{\frac {1}{n}}$

gilt.

Insbesondere hat man für Flächen die Ungleichung

    $\operatorname {sys} (S,g)\leq {\frac {\pi }{2}}\operatorname {area} (S,g)$

mit Gleichheit nur für Flächen konstanter Krümmung. Für den Torus verbessert dieses Resultat Löwners Ungleichung.

Gromows Ungleichung gilt allgemeiner für wesentliche Mannigfaltigkeiten, d. h. falls die klassifizierende Abbildung $M\rightarrow B\pi _{1}M$ einen nichttrivialen Homomorphismus $H_{n}(M,\mathbb {Z} /2Z)\rightarrow H_{n}(B\pi _{1}M,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ induziert.

