Satz von Cauchy (Geometrie)
# Satz von Cauchy (Geometrie)

Der Satz von Cauchy (auch Cauchy-Theorem, Cauchy`s Oberflächenformel) ist ein Resultat der Integralgeometrie, das auf den französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy zurückgeht und besagt, dass für jeden konvexen Körper der gemittelte Flächeninhalt seiner Parallelprojektionen in die Ebene stets ein Viertel seiner Oberfläche beträgt.

Anders formuliert: der Erwartungswert bei zufällig gewählter Projektionsrichtung für das Verhältnis zwischen dem Flächeninhalt der Projektion und dem Inhalt der Oberfläche des Ursprungskörpers beträgt $1/4$.

Der Satz wurde von Cauchy 1841 und 1850 für $n=2,3$ bewiesen und im allgemeinen Fall von T. Kubota, Hermann Minkowski und Tommy Bonnesen.

## Beispiele

Für eine Kugel ist die Gültigkeit trivial zu zeigen: das Abbild einer Kugel vom Radius $r\,$ bei paralleler Projektion in die Ebene ist stets ein Kreis vom gleichen Radius. Damit ist der Flächeninhalt jedes Bildes $\pi r^{2}\,$ und damit genau ein Viertel der Kugeloberfläche $4\pi r^{2}\,$.

Die folgenden beiden Beispiele sollen lediglich den Sachverhalt verdeutlichen (die Werte in der rechten Spalte schwanken jeweils um den Wert $1/4$):

* Das Bild eines Würfels mit Kantenlänge $a$ ist je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:

| Projektionsrichtung | Bild | Flächeninhalt des Bildes | Verhältnis zur Würfeloberfläche $6a^{2}\,$ |
| - | - | - | - |
| parallel zu einer Kante | ein Quadrat mit Seitenlänge $a\,$ | $a^{2}\,$ | $1:6\,$ |
| parallel zu einer Flächendiagonale | ein Rechteck mit Seitenlängen $a\,$ und $a{\sqrt {2}}$ | $a^{2}{\sqrt {2}}$ | $1:3{\sqrt {2}}\approx 1:4{,}2$ |
| parallel zu einer Raumdiagonale | ein regelmäßiges Sechseck mit Seitenlänge ${\frac {a}{3}}{\sqrt {6}}$ | $a^{2}{\sqrt {3}}$ | $1:2{\sqrt {3}}\approx 1:3{,}5$ |
| andere Richtungen | unregelmäßige (aber punktsymmetrische) Sechsecke | unterschiedlich | unterschiedlich |

* Ebenso ist das Bild eines regelmäßigen Tetraeders mit Kantenlänge $a$ je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:

| Projektionsrichtung | Bild | Flächeninhalt des Bildes | Verhältnis zur Tetraederoberfläche ${a^{2}}{\sqrt {3}}$ |
| - | - | - | - |
| entlang einer Kante | ein gleichschenkeliges Dreieck mit Basis $a\,$ und Höhe ${\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}$ | ${\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {2}}$ | $1:2{\sqrt {6}}\approx 1:4{,}90$ |
| parallel zu einer Höhe | ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge $a\,$ | ${\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {3}}$ | $1:4\,$ |
| normal zu zwei windschiefen Kanten | ein Quadrat mit Seitenlänge ${\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}$ | ${\frac {a^{2}}{2}}$ | $1:2{\sqrt {3}}\approx 1:3{,}46$ |
| andere Richtungen | unregelmäßige Dreiecke oder Vierecke | unterschiedlich | unterschiedlich |

## Verallgemeinerung

Im Fall eines konvexen Körpers im $n$-dimensionalen euklidischen Raum ist der Faktor 4 durch ${\frac {nv_{n}}{v_{n-1}}}$ zu ersetzen, wenn $v_{n}$ das Volumen der $n$-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.

