Satz von Borel und Harish-Chandra
# Satz von Borel und Harish-Chandra

In der Mathematik ist der Satz von Borel und Harish-Chandra ein Lehrsatz aus der Theorie der arithmetischen Gruppen.

Er besagt, dass für eine halbeinfache algebraische Gruppe $G(\mathbb {Z} )$ ein Gitter in $G(\mathbb {R} )$ ist, es also einen Fundamentalbereich endlichen Volumens für die Wirkung von $G(\mathbb {Z} )$ auf $G(\mathbb {R} )$ gibt. Der Fundamentalbereich ist kompakt, wenn jedes unipotente Element in $G(\mathbb {Z} )$ zum Radikal von $G(\mathbb {Q} )$ gehört.

Aus dem Satz folgt, dass jede arithmetische Gruppe ein Gitter in der Zusammenhangskomponente der Eins der umgebenden Lie-Gruppe ist. Insbesondere sind arithmetische Gruppen endlich erzeugt.

Ein klassisches, seit dem 19. Jahrhundert bekanntes Beispiel ist $SL(2,\mathbb {Z} )\subset SL(2,\mathbb {R} )$ mit einem Fundamentalbereich endlichen Volumens.

