Holomorphiegebiet
# Holomorphiegebiet

Das Holomorphiegebiet wird in der mehrdimensionalen Funktionentheorie betrachtet. Auf jedem Holomorphiegebiet gibt es eine holomorphe Funktion, welche nicht über das Gebiet fortgesetzt werden kann.

## Definition

Eine offene Menge $\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$ heißt Holomorphiegebiet, falls es keine offenen Teilmengen $\Omega _{1}$ und $\Omega _{2}$ in $\mathbb {C} ^{n}$ gibt mit den folgenden Eigenschaften:

* $\emptyset \neq \Omega _{1}\subset \Omega _{2}\cap \Omega$.
* $\Omega _{2}$ ist zusammenhängend und nicht in $\Omega$ enthalten.
* Für jede holomorphe Funktion $u\colon \Omega \to \mathbb {C}$ existiert eine (notwendigerweise eindeutige) holomorphe Funktion $u_{2}\colon \Omega _{2}\to \mathbb {C}$, so dass $u=u_{2}$ in $\Omega _{1}$ gilt.

## Beispiele

* Einfache Beispiele sind der $\mathbb {C} ^{n}$, die offene Kugel oder der Polyzylinder.
* Jede konvexe Menge ist ein Holomorphiegebiet.
* Ein Gebiet ist genau dann ein Holomorphiegebiet, wenn es pseudokonvex ist.
* Im Fall $n=1$ ist jede offene Teilmenge $\Omega \subset \mathbb {C}$ ein Holomorphiegebiet. Wähle eine holomorphe Funktion $f\in {\mathcal {O}}(\mathbb {C} )$ nur mit Nullstellen auf allen Randpunkten von $\Omega$, so kann man ${\tfrac {1}{f}}$ nicht über $\Omega$ hinaus fortsetzen. Das Lemma von Hartogs zeigt, dass eine analoge Aussage für $n>1$ falsch ist. Insbesondere ist $\Delta (0,0;2,2)-{\overline {\Delta (0,0;1,1)}}\subset \mathbb {C} ^{2}$ kein Holomorphiegebiet, wobei $\Delta (\ldots ;\ldots )$ Polyzylinder bezeichne.
