Van-Cittert-Dekonvolution
# Van-Cittert-Dekonvolution

Die Van-Cittert-Dekonvolution (benannt nach Pieter Hendrik van Cittert) ist ein Verfahren, um die Faltung eines Bildes g mit einer Filtermaske (PSF) h rückgängig zu machen (Dekonvolution/inverse Filterung). Sie kann zur Verbesserung der Bildqualität benutzt werden, wenn das Bild zum Beispiel durch ein unscharfes Objektiv o. ä. „verwaschen“ wurde. Das Bild g stellt das ideale Bild dar, das man als Ergebnis des Verfahrens erhalten möchte. Das verwaschene Bild f, das den Ausgangspunkt des Verfahrens darstellt, wird beschrieben durch:

    $f={\mathcal {H}}\ g=g*h$

Hier entspricht ${\mathcal {H}}$ dem Filteroperator, der durch Faltung mit h dargestellt wird. Ziel ist es, folgenden Ausdruck zu berechnen:

    $g={\mathcal {H}}^{-1}\ f$

Die Van-Cittert-Dekonvolution approximiert diesen durch eine iterative Formel:

    $g_{0}=f\,$
    $g_{k+1}=f+({\mathcal {I}}-{\mathcal {H}})g_{k}=f+(I-h)*g_{k}$

Dabei ist ${\mathcal {I}}$ ein Operator, dessen Punktantwort I einem Delta-Puls entspricht (überall 0, nur in der Mitte 1). Die Operation ${\mathcal {I}}g_{k}$ ergibt also gerade $g_{k}$. Die Stärke der Rückfaltung hängt von der Anzahl der Iterationsschritte k ab. Je mehr Iterationsschritte durchgeführt werden, desto stärker ist die Rückfaltung (Schärfung). Dafür wird das Bildrauschen bei zu großer Anzahl an Iterationen verstärkt und somit das Bild wieder undeutlich.

## Beispiel

Die folgenden Bilder zeigen die Anwendung der Van-Cittert-Iteration auf ein weichgezeichnetes Bild (3×3-Gauß-Filter):

## Herleitung

Im Fourierraum wird die Faltung zu einer punktweisen Multiplikation, sodass gilt:

    ${\hat {g}}={\hat {f}}\cdot {\hat {h}}^{-1}={\frac {\hat {f}}{\hat {h}}}$

Dies lässt sich leicht berechnen, wenn die Übertragungsfunktion ${\hat {h}}$ keine Nullstellen enthält, da sonst eine Division durch 0 nötig wäre. Um dieses Problem zu umgehen führt man ${\hat {h}}'=1-{\hat {h}}$ ein. Damit gilt dann:

    ${\hat {g}}={\frac {\hat {f}}{\hat {h}}}={\frac {\hat {f}}{1-{\hat {h}}'}}\approx (1+{\hat {h}}'+{\hat {h}}'^{2}+{\hat {h}}'^{3}+\ldots )\cdot {\hat {f}}$

Im letzten Schritt wurde eine Taylor-Entwicklung durchgeführt. Dabei wird der Term $(1-{\hat {h}}')^{-1}$ um die invariante Abbildung ${\hat {h}}=1$, bzw. ${\hat {h}}'=0$ entwickelt. Im Ortsraum ergibt dieser Ausdruck:

    $g={\mathcal {H}}^{-1}f\approx ({\mathcal {I}}+{\mathcal {H}}'+{\mathcal {H}}'^{2}+{\mathcal {H}}'^{3}+\ldots )f$ mit ${\mathcal {H}}'={\mathcal {I}}-{\mathcal {H}}$.

Unter Ausnutzung des Horner-Schemas für dieses Polynom erhält man obige Iterationsvorschrift:

    $g_{0}=f$
    $g_{k+1}=f+({\mathcal {I}}-{\mathcal {H}})g_{k}=f+(I-h)*g_{k}$
