Satz von Cayley-Hamilton
# Satz von Cayley-Hamilton

Der Satz von Cayley-Hamilton (nach Arthur Cayley und William Rowan Hamilton) ist ein Satz aus der linearen Algebra. Er besagt, dass jede quadratische Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms ist.

## Hintergrund

Sei $K$ ein Körper, beispielsweise der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen. Für eine gegebene natürliche Zahl $n$ lassen sich die quadratischen $n\times n$-Matrizen mit Einträgen aus $K$ untereinander durch die Rechenoperationen Matrizenaddition, Matrizenmultiplikation und Skalarmultiplikation (elementweise Multiplikation mit Elementen des Körpers $K$) miteinander verknüpfen. Unter diesen Rechenoperationen bilden diese Matrizen eine assoziative und unitäre Algebra über $K$, mit der Einheitsmatrix als Einselement.

Sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ mit der Dimension $n$. Durch die Wahl einer Basis lassen sich die Endomorphismen von $V$ (die $K$-linearen Abbildungen von $V$ nach $V$) mit den quadratischen $n\times n$-Matrizen mit Einträgen aus $K$ identifizieren. Die Endomorphismen werden dabei auf die jeweiligen Abbildungsmatrizen abgebildet. Die Multiplikation zweier Matrizen entspricht dabei der Hintereinanderausführung der entsprechenden Endomorphismen, die Einheitsmatrix entspricht der identischen Abbildung, und die Endomorphismen von $V$ bilden somit wie die Abbildungsmatrizen ebenfalls eine assoziative und unitäre Algebra.

Für einen Körper $K$ bezeichnet $K[t]$ den Ring der Polynome mit Koeffizienten aus $K$ und der Variablen $t$. Jedes solche Polynom

    $p(t)=a_{0}\cdot t^{0}+a_{1}\cdot t^{1}+a_{2}\cdot t^{2}+\ldots +a_{m-1}\cdot t^{m-1}+a_{m}\cdot t^{m}$

mit

    $a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1},a_{m}\in K$

definiert zu einer gegebenen unitären assoziativen Algebra über $K$ eine Abbildung der Algebra in sich selbst, indem man jeweils ein gegebenes Algebraelement $A$ in das Polynom einsetzt und dann die im Polynom erscheinenden Operationen durch die entsprechenden Operationen der Algebra ersetzt,

    $p(A)=a_{0}\cdot A^{0}+a_{1}\cdot A^{1}+a_{2}\cdot A^{2}+\dots +a_{m-1}\cdot A^{m-1}+a_{m}\cdot A^{m}\,.$

Im Falle der Algebra der $n\times n$-Matrizen mit Einträgen aus $K$ werden dabei insbesondere die in $p(t)$ erscheinenden Potenzen von $t$ durch entsprechende Matrixpotenzen von $A$ ersetzt, mit $A^{0}$ gleich der $n\times n$-Einheitsmatrix.

## Satz von Cayley-Hamilton

Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$, sei $F$ ein Endomorphismus von $V$, und sei $P_{F}\in K[t]$ das charakteristische Polynom von $F$. Der Satz von Cayley-Hamilton besagt nun, dass $P_{F}\left(F\right)$ (also $P_{F}$ angewendet auf $F$ selbst) die Nullabbildung auf $V$ ist, d. h. diejenige lineare Abbildung auf $V$, die alle Elemente von $V$ auf den Nullvektor von $V$ abbildet.

Insbesondere gilt für jede Matrix $A\in K^{n\times n}$

    $P_{A}(A)=0$.

Hierbei ist $0$ die Nullmatrix in $K^{n\times n}$.

    Hintergrund: Die Aussage des Satzes von Cayley-Hamilton ist also keineswegs trivial, wie es folgende fehlerhafte Gleichung suggerieren möchte (hier nur für Darstellungsmatrix $A\in \mathop {\mathrm {Mat} } (n\times n,K)$ formuliert, aber genau so fehlerhaft auch für Abbildung $F\in \mathop {\mathrm {End} } (V)$ notierbar):
       $P_{A}(A)=P_{A}(t)\vline _{t=A}=\det \left(A-t\cdot E_{n}\right)\vline _{t=A}{\stackrel {!}{=}}\det \left(A-A\cdot E_{n}\right){\stackrel {!!}{=}}\det(A-A)=\det 0=0$.
    Beim Gleichheitszeichen ${\stackrel {!}{=}}$ wird die Falle aufgestellt: An die Stelle der Unbekannten $t$ tritt die Matrix (oder die lineare Abbildung selbst). Wie ist aber die unmittelbar folgende Multiplikation (mit der Einsmatrix bzw. der identischen Abbildung) zu verstehen? Beim Gleichheitszeichen ${\stackrel {!!}{=}}$ schnappt die Falle zu: Die Multiplikation wird als Matrizenmultiplikation (bzw. Komposition von Abbildungen) verstanden, so dass sich infolgedessen als Argument für die Determinante insgesamt die Nullmatrix einstellt, deren Determinante die Zahl $0\in K$ liefert. In der Aussage des Satzes hingegen ist das Argument der Determinante ein Polynom in der Unbekannten $t$ vom Grade $n=\dim V$, ein nicht verschwindendes Polynom also. Die Aussage ist: Wenn in dieses Polynom die Matrix (bzw. die Abbildung) an die Stelle der Unbekannten tritt, so ergibt sich die Nullmatrix (bzw. Nullabbildung). Gerechnet wird dabei im nicht kommutativen Ring der Matrizen bzw. der Endomorphismen, wie es der obige Hinweis andeutet. Das charakteristische Polynom ist ein Polynom aus $K[t]$ und zwar die Determinante der charakteristischen Abbildung $\mathrm {X} _{F}(t):=F-t\cdot \mathrm {id} _{V}\in \mathop {\mathrm {End} } (V)[t]$ (lies $\mathrm {X}$ als großen griechischen Buchstaben „Chi“) von $F\in \mathrm {End} (V)$. Für eine Darstellungsmatrix $A$ setzt man $\mathrm {X} _{A}(t):=A-t\cdot E_{n}\in \mathop {\mathrm {Mat} } (n\times n,K)[t]$. Dieses Polynom (über dem nicht kommutativen Ring der quadratischen Matrizen mit Einselement) hängt nicht von der Darstellungsmatrix $A$ ab.

Zusammengefasst kann also gesagt werden: Jede quadratische Matrix genügt ihrer charakteristischen Gleichung.

## Folgerungen

Einfache Folgerungen aus diesem Satz sind:

* Die Potenzen einer quadratischen Matrix spannen einen Untervektorraum des Vektorraums aller quadratischen Matrizen auf, der höchstens die Dimension der Zeilenzahl $n$ hat.
* Die Inverse einer invertierbaren Matrix ist als Linearkombination der Potenzen der Matrix mit Exponenten kleiner als die Zeilenzahl darstellbar.
* Das Minimalpolynom einer Matrix teilt ihr charakteristisches Polynom.
* Eine quadratische Matrix mit n-fachem Eigenwert Null ist nilpotent, da ihr charakteristisches Polynom von der Form $\lambda ^{n}$ ist.

Zudem lassen sich mit dieser Formel besonders einfache Formeln für höhere Potenzen von Matrizen finden. Dazu ist das resultierende Polynom mit den Matrizen einfach nach der gesuchten Matrix freizustellen.

## Verallgemeinerung

Im Bereich der kommutativen Algebra gibt es unterschiedliche miteinander verwandte Verallgemeinerungen des Satzes von Cayley-Hamilton für Moduln über kommutativen Ringen. Im Folgenden wird eine solche Verallgemeinerung mit Beispiel angegeben.

### Aussage

Es seien $R$ ein kommutativer Ring mit Einselement und $M$ ein $R$-Modul, der von $n$ Elementen erzeugt werden kann. Weiter sei $f$ ein Endomorphismus von $M$, für den

    $f(M)\subseteq IM$

für ein Ideal $I\subseteq R$ gilt. Dann gibt es ein normiertes Polynom $p(X)=X^{n}+a_{1}X^{n-1}+\cdots +a_{n}$ mit $a_{i}\in I^{i}$, so dass $p\left(f\right)=0$ gilt.

### Beispiel

Es seien $R=\mathbb {Z}$ und $M=\mathbb {Z} ^{3}$ sowie $I=2\mathbb {Z}$ das Ideal bestehend aus allen geraden Zahlen. Der Endomorphismus $f$ sei definiert durch die Matrix

    $A={\begin{pmatrix}2&-2&6\\-2&-6&2\\4&-2&2\end{pmatrix}}$.

Da alle Koeffizienten dieser Matrix gerade sind, gilt $f(M)\subseteq 2\mathbb {Z} \cdot M$. Das charakteristische Polynom von $f$ lautet

    $P_{f}(t)=t^{3}+2t^{2}-44t-128$.

Dessen Koeffizienten 2, –44 und –128 sind, wie behauptet, Vielfache von 2, 4 bzw. 8.

