Hull-White-Modell
# Hull-White-Modell

In der Finanzmathematik wird unter dem Hull-White-Modell ein spezielles Momentanzinsmodell zur Beschreibung von Zinsstrukturen verstanden. Es handelt sich um eine Erweiterung des Vasicek-Modell.

Das Modell wurde erstmals 1990 von den beiden Mathematikern John C. Hull und Alan White beschrieben.

## Definition

Das Hull-White-Modell ist ein Momentanzinsmodell, welches den Momentanzins (engl. short rate) $r(t)$ modelliert. Es erfüllt in seiner allgemeinsten Fassung unter dem risikoneutralen Maß folgende stochastische Differentialgleichung:

    $dr(t)=\left(\theta (t)-a(t)r(t)\right)dt+\sigma (t)\,dW(t),\quad r(0)=r_{0}\in \mathbb {R}$

Dabei handelt es sich bei $W(t)$ um einen Wiener-Prozess und bei $\theta (t),a(t)$ und $\sigma (t)$ um zeitabhängige Konstanten.

Aufgrund von Schwierigkeiten bei der Kalibrierung der Parameter, hat sich in der Praxis die Fassung des Modells durchgesetzt, bei der $a(t)=a$ und $\sigma (t)=\sigma$ als zeitunabhängig vorausgesetzt werden, sprich es gilt:

    $dr(t)=\left(\theta (t)-ar(t)\right)dt+\sigma \,dW(t),\quad r(0)=r_{0}\in \mathbb {R}$.

Die Parameter $a$ und $\sigma$ lassen sich hierbei als Rückstellkraft bzw. als Volatilität des Prozesses interpretieren. $\theta (t)$ kann mit diesem Ansatz so gewählt werden, dass die durch das Modell induzierte Zinsstrukturkurve zum Zeitpunkt $t=0$ mit der am Markt beobachteten Zinsstrukturkurve übereinstimmt. Genauer gilt in diesem Fall

    $\theta (t)={\frac {\partial f^{M}(0,t)}{\partial t}}+af^{M}(0,t)+{\frac {\sigma ^{2}}{2a}}(1-e^{-2at})$,

wobei $f^{M}(0,t):=-{\frac {\partial \ln \left(P^{M}(0,t)\right)}{\partial t}}$ die aktuell am Markt beobachtete instantaneous forward rate ist.

## Eigenschaften

### Lösung

Die oben angegebene stochastische Differentialgleichung kann mittels der Itō-Formel gelöst werden. Die Lösung mit Anpassung an den aktuellen Marktdaten lautet

    $r(t)=\alpha (t)+\sigma \int _{0}^{t}e^{-a(t-u)}\,dW(u)$,

wobei $\alpha (t)=f^{M}(0,t)+{\frac {\sigma ^{2}}{2a^{2}}}(1-e^{-at})^{2}$.

### Verteilung

$r(t)$ ist normalverteilt mit Erwartungswert

    $E\left[r(t)\right]=\alpha (t)=f^{M}(0,t)+{\frac {\sigma ^{2}}{2a^{2}}}(1-e^{-at})^{2}$

und Varianz

    $\operatorname {Var} \left[r(t)\right]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}\left[1-e^{-2at}\right]$.
