Gumbel-Verteilung
# Gumbel-Verteilung

Die Gumbel-Verteilung (nach Emil Julius Gumbel), die Fisher-Tippett-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) oder Extremal–I–Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die wie die Fréchet-Verteilung zu den Extremwertverteilungen gehört. Die Verteilung heißt auch doppelte Exponentialverteilung.

## Definition

Eine stetige Zufallsgröße $X$ genügt einer Gumbel-Verteilung mit Skalenparameter $\beta >0$ und Lageparameter $\mu \in \mathbb {R}$, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

    $f(x)={\frac {1}{\beta }}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{\beta }}(x-\mu )}\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{\beta }}(x-\mu )}},~x\in \mathbb {R}$

und damit die Verteilungsfunktion

    $F(x)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{\beta }}(x-\mu )}},~x\in \mathbb {R}$

besitzt.

### Standard-Fall

Werden keine Parameter angegeben, so sind die Standard-Parameter $\mu =0$ und $\beta =1$ gemeint. Dieser Spezialfall wird manchmal auch als Doppelexponentialverteilung bezeichnet. Damit ergibt sich die Dichte

    $f(x)=\mathrm {e} ^{-x}\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-x}},~x\in \mathbb {R}$

und die Verteilungsfunktion

    $F(x)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-x}},~x\in \mathbb {R}$

Durch die affin-linearen Transformationen $X\mapsto Y:=\mu +\beta X$ mit $\beta >0$ erhält man die oben angegebene Lage-Skalen-Familie von Verteilungen mit den Eigenschaften

* $F_{Y}(x)=F\left({\frac {x-\mu }{\beta }}\right)$,
* $f_{Y}(x)={\frac {1}{\beta }}f\left({\frac {x-\mu }{\beta }}\right)$,
* $\operatorname {E} (Y)=\mu +\beta \operatorname {E} (X)$ und
* $\operatorname {Var} (Y)=\beta ^{2}\operatorname {Var} (X).$

## Eigenschaften

### Erwartungswert

Die Gumbelverteilung besitzt den Erwartungswert

    $\operatorname {E} (X)=\mu +\beta \gamma$.

Dabei ist $\gamma \approx 0{,}5772$ die Euler-Mascheroni-Konstante.

### Varianz

Die Varianz einer Gumbelverteilung ist

    $\operatorname {Var} (X)={\frac {(\pi \beta )^{2}}{6}}$.

### Standardabweichung

Die Standardabweichung einer Gumbelverteilung ist

    $\sigma ={\frac {\pi \beta }{\sqrt {6}}}$.

## Anwendung

Sie wird u. a. in folgenden Bereichen benutzt:

* Hydrologie, insbesondere Wasserwirtschaft für extreme Ereignisse wie Hochwasser und Trockenzeiten
* Verkehrsplanung
* Meteorologie (Wettervorhersage)

## Beziehung zu anderen Verteilungen

### Beziehung zur Extremwertverteilung

Die Gumbel-Verteilung mit den Parametern $\mu =0$ und $\beta =1$ ist eine Extremwertverteilung vom Typ I und ergibt sich als Spezialfall für $\xi =0,\mu =0,\sigma =0$ aus der verallgemeinerten Extremwertverteilung, die die Extremwertverteilungen der Typen I, II und III und die zugehörigen Verteilungstypen in einer Verteilungsfamilie zusammenfasst.

