Geometrische Folge
# Geometrische Folge

Eine geometrische Folge ist in der Mathematik eine regelmäßige Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist.

## Namensherkunft

Die Bezeichnung „geometrische Folge“ leitet sich aus dem geometrischen Mittel ab. Jedes Glied einer geometrischen Folge ist nämlich das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder.

Die Summierung der Folgenglieder ergibt die geometrische Reihe.

## Mathematische Formulierung

Das $i$-te Glied $a_{i}$ einer geometrischen Folge mit dem Quotienten $q$ berechnet sich aus der Formel

    $a_{i}=a_{1}\cdot q^{i-1}$,

wenn das Anfangsglied mit $a_{1}$ bezeichnet wird, oder

    $a_{i}=a_{0}\cdot q^{i}$,

wenn das Anfangsglied mit $a_{0}$ bezeichnet wird.

Die Glieder einer geometrischen Folge lassen sich auch aus dem jeweils vorhergehenden Glied berechnen, dazu dient die folgende rekursive Formel:

    $a_{i+1}=a_{i}\cdot q$

Bemerkung: Jede geometrische Folge lässt sich mit einer solchen Funktionsvorschrift beschreiben, aber eine solche Funktionsvorschrift beschreibt nicht immer eine geometrische Folge. So kann das Anfangsglied $a_{0}$ einer geometrischen Folge nicht 0 sein, denn wegen des Verbots der Division durch 0 existiert der Quotient ${\tfrac {a_{1}}{a_{0}}}$ der ersten beiden Folgenglieder nicht für $a_{0}=0$. Somit sind die endlichen (aus zwei Gliedern bestehenden) Folgen $(a_{0},0)$ mit $a_{0}\neq 0$ die einzigen geometrischen Folgen, in denen die Zahl $0$ als Folgenglied auftritt oder für die die Zahl $q$ gleich $0$ ist. Insbesondere gibt es keine unendlichen geometrischen Folgen mit $a_{i}=0$ oder mit $q=0$.

## Zahlenbeispiele

### Beispiel 1

Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied $a_{0}=5$ und dem Quotienten $q=3$ sind:

    $a_{0}=5,\ a_{1}=15,\ a_{2}=45,\ a_{3}=135,\ \dotsc$

Wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt, ergibt sich:

    $5,\ 15,\ 45,\ 135,\ 405,\ 1215,\ 3645,\ 10935,\ 32805,\ \dotsc$

### Beispiel 2

Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied $a_{0}=1$ und dem Quotienten $q=-{\tfrac {1}{2}}$ sind:

    $a_{0}=1,\ a_{1}=-{\frac {1}{2}},\ a_{2}={\frac {1}{4}},\ a_{3}=-{\frac {1}{8}},\ \dotsc$

Wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt, ergibt sich:

    $+1,\ -{\frac {1}{2}},\ +{\frac {1}{4}},\ -{\frac {1}{8}},\ +{\frac {1}{16}},\ -{\frac {1}{32}},\ +{\frac {1}{64}},\ -{\frac {1}{128}},\ +{\frac {1}{256}},\ \dotsc$

## Anwendungsbeispiele

Die geometrische Folge beschreibt Wachstumsprozesse, bei denen sich die Messgröße zum Zeitpunkt $n+1$ aus der Messgröße zum Zeitpunkt $n$ durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor $q$ ergibt. Beispiele:

### Zinseszins

Bei einem Zinssatz von 5 Prozent vermehrt sich das Kapital jedes Jahr um den Faktor 1,05. Es handelt sich also um eine geometrische Folge mit dem Verhältnis $q=1{,}05$. Die Zahl $q$ heißt hier Zinsfaktor. Bei einem Startkapital von 1000 Euro ergibt sich

* nach einem Jahr ein Kapital von

    $1000\,{\text{Euro}}\cdot 1{,}05=1050\,{\text{Euro}},$
* nach zwei Jahren ein Kapital von

    $1000\,{\text{Euro}}\cdot 1{,}05^{2}=1102{,}50\,{\text{Euro}},$
* nach drei Jahren ein Kapital

    $1000\,{\text{Euro}}\cdot 1{,}05^{3}=1157{,}63\,{\text{Euro}}$

und so weiter.

### Gleichstufige Stimmung

Es gibt mehrere Arten, wie ein Musikinstrument gestimmt werden kann. Eine davon ist die gleichstufige Stimmung. Bei ihr ist das Frequenzverhältnis zwischen zwei benachbarten Tönen immer konstant. Bei zwölf Tönen in der Oktave lautet die Folge hier:

    $f(i)=a_{0}\cdot \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{i}$,

wobei $a_{0}$ beispielsweise die Frequenz des Kammertons und $i$ die Halbtonschrittentfernung zum Kammerton ist. $f(i)$ ist dann die Frequenz des gesuchten Tones mit Halbtonabstand $i$ zum „Ursprungston“ $a_{0}$.

Der Wachstumsfaktor ist also $q={\sqrt[{12}]{2}}$.

## Konvergenz geometrischer Folgen

Eine unendliche geometrische Folge $(a_{i})$ ist genau dann eine Nullfolge, wenn der Betrag $|q|$ des reellen (oder komplexen) Quotienten $q={\tfrac {a_{i+1}}{a_{i}}}$ benachbarter Folgegelieder kleiner als 1 ist.

A. Behauptung: $(a_{i})$ ist mindestens dann eine Nullfolge, wenn $|q|<1$ ist.

Beweis: Sei $\varepsilon >0$ vorgegeben. Behauptet ist die Existenz eines $i_{0}$ mit der Eigenschaft, dass für alle $i>i_{0}$ gilt: $|a_{i}|<\varepsilon$. $\mathbf {(1)}$

Wegen $0<|q|<1$ und ${\tfrac {\varepsilon }{|a_{0}|}}>0$ existiert

    $i_{0}=:{\frac {\ln \left({\frac {\varepsilon }{|a_{0}|}}\right)}{\ln(|q|)}}$.

Hierbei ist $\ln$ der natürliche Logarithmus.

Wegen $|q|<1\Rightarrow \ln(|q|)<0$ kehrt sich für alle $i>i_{0}$ nach Multiplikation mit $\ln(|q|)$ das Ungleichheitszeichen um:

    $i\cdot \ln |q|<i_{0}\cdot \ln |q|=\ln \left({\frac {\varepsilon }{|a_{0}|}}\right)$;

für $i\in \mathbb {N}$ ist $i\cdot \ln |q|=\ln \left(|q|^{i}\right)=\ln \left(\left|q^{i}\right|\right)$; Exponenzieren (zur Basis $e$) verändert das Ungleichheitszeichen nicht:

    $\left|q^{i}\right|<{\frac {\varepsilon }{|a_{0}|}}$;

wegen $|a_{0}|>0$ bleibt das Ungleichheitszeichen nach Multiplikation mit dem Nenner unverändert; mit $|a_{0}|\cdot \left|q^{i}\right|=\left|a_{0}\cdot q^{i}\right|$:

    $\left|a_{0}\cdot q^{i}\right|<\varepsilon$; damit (1), q. e. d.

B. Behauptung: $(a_{i})$ ist höchstens dann eine Nullfolge, wenn $|q|<1$ ist. $\Leftrightarrow$ $(a_{i})$ ist keine Nullfolge, wenn $|q|\geq 1$ ist.

Beweis: $(a_{i})$ ist (bereits) dann keine Nullfolge, wenn ein $\varepsilon >0$ so wählbar ist, dass für alle $a_{i}$ gilt: $|a_{i}|\geq \varepsilon$.

Multiplikation der Bedingung $|q|\geq 1$ mit $\left|a_{0}\cdot q^{i}\right|$ ergibt (wegen $\left|a_{0}\cdot q^{i}\right|>0$ ohne Umkehrung des Ungleichheitszeichens):

    $\left|a_{0}\cdot q^{i+1}\right|\geq \left|a_{0}\cdot q^{i}\right|$, damit:
    $|a_{i+1}|\geq |a_{i}|$. $\mathbf {(2)}$.

Ein $\varepsilon$ mit $|a_{0}|\geq \varepsilon >0$ sei gewählt. Mit (2) gilt dann auch für alle $i>0$: $|a_{i}|\geq \varepsilon$, q. e. d.

