Zusammenziehbarer Raum
# Zusammenziehbarer Raum

Zusammenziehbare Räume – auch als kontrahierbare bzw. kontraktible Räume bezeichnet – werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet. Aus Sicht der Homotopietheorie gelten zusammenziehbare Räume als trivial. Viele in der Algebraischen Topologie definierte Invarianten verschwinden für zusammenziehbare Räume.

## Definition

Ein topologischer Raum $X\neq \emptyset$ heißt zusammenziehbar oder kontrahierbar oder kontraktibel, wenn er homotopieäquivalent zu einem einpunktigen Unterraum ist, das heißt, wenn es eine stetige Abbildung

    $H\colon X\times [0,1]\to X$

und einen festen Punkt $p\in X$ gibt, sodass

* $H(x,0)=x$ für alle $x\in X$ und
* $H(x,1)=p$ für alle $x\in X$

gilt.

## Beispiel

* Der euklidische Raum $\mathbb {R} ^{n}$ ist zusammenziehbar: Setze

       $H(x,t)=(1-t)x$ für $x\in \mathbb {R} ^{n}$ und $0\leq t\leq 1$.
    Man beachte, dass der Raum nicht im anschaulichen Sinne „stetig zu einem Punkt deformiert wird“: Das Bild der Abbildung
       $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\quad x\mapsto H(x,t)$
    ist für $t<1$ stets der gesamte Raum, erst für $t=1$ ist das Bild nur noch der Ursprung.
* Allgemeiner sind sternförmige Mengen zusammenziehbar.

## Schwach zusammenziehbare Räume

Ein topologischer Raum $X$ heißt schwach kontrahierbar oder schwach zusammenziehbar, wenn für alle $x\in X$ die Homotopiegruppen $\pi _{n}(X,x)$ trivial sind, d. h.

    $\pi _{0}(X,x)=\mathbb {Z}$ und $\pi _{n}(X,x)=0$ für alle $n\geq 1$.

Wenn ein Raum $X$ zusammenziehbar ist, dann ist er auch schwach zusammenziehbar.

Für CW-Komplexe gilt auch die Umkehrung: Aus $\pi _{0}(X,x)=\mathbb {Z}$ und $\pi _{n}(X,x)=0$ für alle $n\geq 0$ folgt, dass der CW-Komplex $X$ zusammenziehbar ist. Für beliebige topologische Räume gilt die Umkehrung i. A. nicht.

## Weitere Resultate

Es liegen die folgenden Resultate vor:

* Eine nichtleere konvexe Teilmenge des euklidischen Raums ist stets zusammenziehbar.
* Jeder zusammenziehbare Raum ist wegzusammenhängend.
* Jeder Retrakt eines zusammenziehbaren Raums ist zusammenziehbar.
* Ein nichtleeres topologisches Produkt von nichtleeren zusammenziehbaren Räumen ist stets zusammenziehbar. (Vererbungssatz)

## Gegenbeispiele

* Die Einheitssphäre $\mathbb {S} ^{n}$ (oder allgemeiner: eine entsprechende Sphäre mit festem Radius) ist nicht zusammenziehbar, obwohl sie für $n\geqslant 2$ einfach zusammenhängend ist.
* Der Raum, den man als Vereinigung von

       $\left\{\left(x,\sin {\frac {1}{x}}\right):x\in (0,1]\right\}\cup \{(0,0)\}$
    mit einem (0,-1) und (1,sin(1)) verbindenden Kreisbogen erhält, ist nicht zusammenziehbar, obwohl alle seine Homotopiegruppen trivial sind.
    Dies zeigt, dass der Satz von Whitehead für topologische Räume, die kein CW-Komplex sind, im Allgemeinen nicht gelten muss.
