Stiefel-Whitney-Klassen
# Stiefel-Whitney-Klassen

In der Mathematik, genauer in der algebraischen Topologie und in der Differentialgeometrie und -topologie, sind Stiefel-Whitney-Klassen ein spezieller Typ charakteristischer Klassen, die reellen Vektorbündeln zugeordnet werden. Sie sind nach Eduard Stiefel und Hassler Whitney benannt.

## Grundidee und Motivation

Stiefel-Whitney-Klassen sind charakteristische Klassen. Sie sind topologische Invarianten von Vektorbündeln über glatten Mannigfaltigkeiten. Zwei isomorphe Vektorbündel haben dieselben Stiefel-Whitney-Klassen. Die Stiefel-Whitney-Klassen liefern also eine Möglichkeit zu verifizieren, dass zwei Vektorbündel über einer glatten Mannigfaltigkeiten verschieden sind. Jedoch kann mit ihrer Hilfe nicht entschieden werden, ob zwei Vektorbündel isomorph sind, da nicht-isomorphe Vektorbündel dieselben Stiefel-Whitney-Klassen haben können.

In der Topologie, der Differentialgeometrie und der algebraischen Geometrie ist es oft wichtig, die maximale Anzahl linear unabhängiger Schnitte eines Vektorbündels zu bestimmen. Die Stiefel-Whitney-Klassen liefern Hindernisse für die Existenz solcher Schnitte.

Im Falle des Tangentialbündels einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit sind die erste und zweite Stiefel-Whitney-Klasse die (einzigen) Obstruktionen gegen Orientierbarkeit und die Existenz einer Spinstruktur.

## Axiomatischer Zugang

Die Stiefel-Whitney-Klassen sind Invarianten von reellen Vektorbündeln über einem topologischen Raum $X$. Jedem Vektorbündel $V$ über $X$ werden Kohomologieklassen

    $w_{i}(V)\in H^{i}(X,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$

für $i=0,1,2,\ldots$ zugeordnet, $w_{i}(V)$ heißt die i-te Stiefel-Whitney-Klasse des Vektorbündels $V$.

Man kann die Stiefel-Whitney-Klassen durch die folgenden Axiome beschreiben, welche sie eindeutig festlegen.

Axiom 1: Wenn $f:Y\rightarrow X$ eine stetige Abbildung und $V$ ein Vektorbündel über $X$ ist, dann ist $w_{i}(f^{*}V)=f^{*}w_{i}(V)$ für $i=0,1,2,\ldots$. Dabei steht * für den Rücktransport.

Axiom 2: Wenn $V$ und $W$ Vektorbündel über demselben topologischen Raum $X$ sind, dann ist $w_{k}(V\oplus W)=\sum _{i=0}^{k}w_{i}(V)\cup w_{k-i}(W)$. Dabei bedeutet $\cup$ das Cup-Produkt.

Axiom 3: Für jedes Vektorbündel $V$ über einem wegzusammenhängenden Raum $X$ ist $w_{0}(V)$ der Erzeuger von $H^{0}(X,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$. Für jedes n-dimensionale Vektorbündel $V$ ist $w_{i}(V)=0$ für alle $i>n$. Für das „Möbiusband“, d. h. das nichttriviale 1-dimensionale Vektorbündel $V$ über dem Kreis $S^{1}$ ist $w_{1}(V)$ der Erzeuger von $H^{1}(S^{1},\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.

## Stiefel-Whitney-Klassen als Charakteristische Klassen

Sei $BG$ die Graßmann-Mannigfaltigkeit $G_{n}(\mathbb {R} ^{\infty })$ und $\gamma ^{n}\rightarrow BG$ das tautologische Bündel. Der Kohomologiering der Graßmann-Mannigfaltigkeit mit $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$-Koeffizienten lässt sich als Polynomring

    $H(BG;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \left[w_{1},w_{2},w_{3},\ldots ,w_{n}\right]$

über $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ mit Erzeugern $w_{i}\in H^{i}(BG;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ darstellen.

Zu einem Vektorbündel $\pi \colon E\to X$ mit Faser $V\simeq \mathbb {R} ^{n}$ lässt sich eine bis auf Homotopie eindeutige Abbildung $f\colon X\to BG$ definieren, die durch eine Bündelabbildung $F\colon E\to \gamma ^{n}$ in das tautologische Bündel über $BG$ überlagert wird.

Die i-te Stiefel-Whitney-Klasse ergibt sich dann als

    $w_{i}(E):=f^{*}(w_{i})\in H^{*}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\,.$

## Schnitte

Wenn ein n-dimensionales Vektorbündel k linear unabhängige Schnitte besitzt, dann ist:

    $w_{n-k+1}(V)=w_{n-k+2}(V)=\ldots =w_{n}(V)=0$.

Die Umkehrung gilt nicht. Sei zum Beispiel $S_{g}$ die geschlossene, orientierbare Fläche vom Geschlecht g und $TS_{g}$ ihr Tangentialbündel. Dann verschwinden die Stiefel-Whitney-Klassen $w_{1}(TS_{g})=w_{2}(TS_{g})=0$, aber nur der Torus ist parallelisierbar, für $g\not =1$ hat jedes Vektorfeld auf $S_{g}$ eine Nullstelle. (Der Fall $g=0$ ist der Satz vom Igel, der allgemeine Fall folgt aus dem Satz von Poincaré-Hopf.)

## w₁ und Orientierbarkeit

Sei $X$ ein CW-Komplex. Man hat einen kanonischen Isomorphismus $H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=Hom(\pi _{1}X,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$. Unter diesem Isomorphismus entspricht die 1-te Stiefel-Whitney-Klasse $w_{1}(E)\in H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ eines Vektorbündels $\pi :E\rightarrow X$ dem Homomorphismus $\pi _{1}X\rightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, der die Homotopieklasse eines geschlossenen Weges genau dann auf $0$ abbildet, wenn das Vektorbündel entlang dieses geschlossenen Weges orientierbar ist. (Andernfalls wird die Homotopieklasse des geschlossenen Weges auf $1$ abgebildet. Man beachte, dass es über dem Kreis $S^{1}$ nur zwei nicht-äquivalente $n$-dimensionale Vektorbündel gibt. Die Homotopieklasse des geschlossenen Weges wird also genau dann auf $1$ abgebildet, wenn das zurückgezogene Vektorbündel über $S^{1}$ nichttrivial ist.)

Insbesondere ist ein Vektorbündel $\pi :E\rightarrow X$ orientierbar genau dann, wenn $w_{1}(E)=0\in H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$.

## Eindimensionale Vektorbündel

Sei $X$ ein CW-Komplex. Die $1$-dimensionalen Vektorbündel über $X$ bilden eine Gruppe $Vect^{1}(X)$ mit dem Tensorprodukt als Verknüpfung. Die 1-te Stiefel-Whitney-Klasse gibt einen Gruppen-Isomorphismus

    $w_{1}\colon Vect^{1}(X)\rightarrow H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$.

## Kobordismustheorie

Satz (Pontrjagin): Wenn eine kompakte differenzierbare n-Mannigfaltigkeit $M$ der Rand einer kompakten differenzierbaren n+1-Mannigfaltigkeit ist, dann ist $w_{i}(TM)=0$ für alle $i\geq 1$.

Satz (Thom): Wenn für eine kompakte differenzierbare n-Mannigfaltigkeit $M$ die Stiefel-Whitney-Klassen trivial sind, d. h. $w_{i}(TM)=0$ für alle $i\geq 1$, dann ist $M$ der Rand einer kompakten differenzierbaren n+1-Mannigfaltigkeit.

