Geometrisches Programm
# Geometrisches Programm

Ein geometrisches Programm ist ein spezielles Problem der mathematischen Optimierung, bei dem als Ziel- und Restriktionsfunktionen eine Verallgemeinerung von Polynomen zum Einsatz kommt. Insbesondere haben Geometrische Programme zwei Formen, von denen aber nur eine zur konvexen Optimierung zählt.

## Definition

Ein Optimierungsproblem der Form

    ${\begin{aligned}{\text{Minimiere }}&f(x)&\\{\text{unter den Nebenbedingungen }}&g_{i}(x)\leq 1&i=1,\dots ,p\\&h_{j}(x)=1&j=1,\dots q\end{aligned}}$

heißt geometrisches Programm (in Posynomialform), wenn die $f,g_{i}$ Posynomialfunktionen sind und die $h_{j}$ Monomialfunktionen sind. Die Einschränkung $x\in \mathbb {R} _{++}^{n}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,x_{i}>0{\text{ für }}i=1,\dots ,n\}$ ist hierbei stets implizit vorausgesetzt.

## Beispiel

Das Optimierungsproblem

    ${\begin{aligned}{\text{Minimiere }}&x_{1}^{1/2}x_{2}^{2}+x_{2}^{-4/3}x_{3}^{8}&\\{\text{unter den Nebenbedingungen }}&x_{1}^{-1}x_{2}^{5}x_{3}^{5/7}+x_{3}\leq 1&\\&x_{1}x_{2}x_{3}=1&\end{aligned}}$

ist ein Geometrisches Programm.

## Konvexe Form

Ein Geometrisches Programm lässt sich durch elementare Substitutionen in ein konvexes Optimierungsproblem transformieren.

Dazu setzt man zuerst $x_{i}=e^{y_{i}}$ bzw. $y_{i}=\log x_{i}$. Damit wird jede Monomialfunktion

    $f(x_{1},\dots ,x_{n})=cx_{1}^{a_{1}}\cdot \dots \cdot x_{n}^{a_{n}}$

transformiert zu

    ${\tilde {f}}(x)=e^{a^{T}x+b}$,

wobei $b=\log c$ und $a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ ist. Posynomialfunktionen lassen sich analog als Summe von Exponentialfunktionen von affinen Funktionen ausdrücken. Durch Anwenden dieser Transformation und anschließendes Logarithmieren erhält man dann das Optimierungsproblem

    ${\begin{aligned}{\text{Minimiere }}&{\tilde {f}}(y)=\log \left(\sum _{k=1}^{N}e^{a_{k}^{T}y+b_{k}}\right)&\\{\text{unter den Nebenbedingungen }}&{\tilde {g}}_{i}(y)=\log \left(\sum _{k=1}^{N_{i}}e^{a_{i,k}^{T}y+b_{i,k}}\right)\leq 0&i=1,\dots ,p\\&{\tilde {h}}_{j}(y)=g_{j}^{T}y+b_{j}=0&j=1,\dots q{\text{,}}\end{aligned}}$

welches Geometrisches Programm in konvexer Form genannt wird. Es ist ein konvexes Optimierungsproblem. Wenn alle Funktionen Monomialfunktionen sind, vereinfacht sich dieses Problem zu einem linearen Optimierungsproblem.

## Beispiel für die konvexe Form

Transformiert man das oben angeführte Geometrische Programm in Posynomialform in die Geometrische Form, so lautet es

    ${\begin{aligned}{\text{Minimiere }}&\log \left(\exp {[(1/2,2,0)\cdot y]}+\exp {[(0,-4/3,8)\cdot y]}\right)&\\{\text{unter den Nebenbedingungen }}&\log \left(\exp {[(-1,5,5/7)\cdot y]}+\exp {[(0,0,1)\cdot y]}\right)\leq 0&\\&(1,1,1)\cdot y=0&\end{aligned}}$.
