Saturiertheit (Modelltheorie)
# Saturiertheit (Modelltheorie)

In der Modelltheorie ist eine Struktur saturiert, wenn in ihr sehr viele Typen realisiert sind.

## Notationen

Für eine Menge $X$ bezeichne $|X|$ wie üblich ihre Mächtigkeit, für eine Sprache $L$ sei $|L|$ die Mächtigkeit der Vereinigung der Symbole der Sprache. Für eine Struktur ${\mathfrak {M}}$ bezeichne $M$ ihre Trägermenge.

## Definition

Sei $\kappa$ eine beliebige (möglicherweise auch endliche) Kardinalzahl und ${\mathfrak {M}}$ eine Struktur.

${\mathfrak {M}}$ heißt $\kappa$-saturiert, wenn für jede Menge $A\subseteq M$ mit $|A|<\kappa$ jeder vollständige (und somit jeder) 1-Typ über $A$ in ${\mathfrak {M}}$ realisiert wird.

${\mathfrak {M}}$ heißt saturiert, wenn ${\mathfrak {M}}\ |M|$-saturiert ist.

## Sätze

### Existenz kappa-saturierter Erweiterungen

Dass saturierte Erweiterungen existieren, zeigt folgender Satz:

* Zu jeder Kardinalzahl $\kappa \geqslant |L|$ und jeder unendlichen L-Struktur ${\mathfrak {M}}$ mit $|M|<2^{\kappa }$ gibt es eine $\kappa ^{+}$-saturierte elementare Erweiterung ${\mathfrak {M}}^{*}$ mit $|M^{*}|\leqslant 2^{\kappa }$$.^{:125}$

### Universalität und Homogenität

Nach einem Satz von Michael D. Morley und Robert Vaught ist eine Struktur genau dann saturiert, wenn sie universell und homogen ist.

### Ultraprodukte

Abzählbare Ultraprodukte sind $\aleph _{1}$-saturiert. Es gilt:

* Sei $L$ eine abzählbare Sprache und für $i\in \mathbb {N}$ sei ${\mathfrak {M}}^{i}$ eine $L$-Struktur. Dann ist das Ultraprodukt nach einem freien Ultrafilter $\aleph _{1}$$-saturiert.^{:148}$

Insbesondere folgt daher aus der Kontinuumshypothese (und dem nächsten Satz, s. u.), dass abzählbare Ultraprodukte von Strukturen der Mächtigkeit von höchstens $2^{\aleph _{0}}$ über abzählbaren Sprachen isomorph sind. Dazu zählen z. B. die hyperreellen Zahlen.

### Eindeutigkeit von saturierten Strukturen

Es gilt folgender Isomorphiesatz:

* Seien ${\mathfrak {M}}$ und ${\mathfrak {M}}'$ zwei elementar äquivalente L-Strukturen gleicher Mächtigkeit. Sind beide Strukturen saturiert, dann sind sie $isomorph.^{:132}$

### Abzählbare saturierte Modelle

Eine vollständige Theorie ohne endliche Modelle hat genau dann ein abzählbares saturiertes Modell, wenn die Theorie klein ist.

## Beispiele

* Eine unendliche Struktur ${\mathfrak {M}}$ ist offenbar nie $\kappa$-saturiert, falls $\kappa >|M|$
* $(\mathbb {Q} ,<)$ ist saturiert. Ein vollständiger 1-Typ über einer endlichen Menge besagt gerade, wo die Position von x in Bezug auf die endliche Menge ist. (Es gibt also über einer n-elementigen Menge genau 2n+1 vollständige 1-Typen.) Siehe auch: Dichte Ordnung
* $(\mathbb {R} ,<)$ ist $\aleph _{0}$-saturiert, aber nicht saturiert. Der Typ $\{x>1,x>2,x>3,\ldots \}$ wird nicht realisiert.
