Petzval-Summe
# Petzval-Summe

Die Petzval-Summe bzw. der daraus resultierende Radius der Petzval-Fläche beschreibt die Bildfeldwölbung eines optischen Systems. Sie wurde von Josef Maximilian Petzval entwickelt und 1843 publiziert. Für eine Anzahl dünner Linsen mit der jeweiligen Brennweite $f_{i}$ und dem Brechungsindex $n_{i}$ gilt:

    ${\frac {1}{r_{p}}}=\sum _{i}{\frac {1}{n_{i}f_{i}}}$

Der reziproke Radius $r_{p}$ der Petzval-Fläche ist gleich der Petzval-Summe.

Allgemeiner gilt:

    ${\frac {1}{r_{p}}}=n_{k+1}\sum _{i}^{k}{\begin{cases}\rho _{i}\left({\frac {1}{n_{i}}}-{\frac {1}{n_{i+1}}}\right),&{\text{refraktive Fl}}{\mathrm {\ddot {a}} }{\text{che}}\\2\rho _{i},&{\text{reflexive Fl}}{\mathrm {\ddot {a}} }{\text{che}}\end{cases}},$

wobei $\rho _{i}$ die Krümmung der i-ten Fläche ist (Kehrwert des Radius; 0 für ebene Fläche). $\rho _{i}$ ist positiv für eine in Lichtausbreitungsrichtung konvexe Fläche, negativ für eine konkave. $n_{i}$ ist der Brechungsindex vor der i-ten Fläche und $n_{i+1}$ der Brechungsindex danach. $n_{k+1}$ ist der Brechungsindex nach der letzten Fläche.

## Petzval-Bedingung

Die Petzval-Bedingung besagt, dass die Krümmung der Petzvalfläche dann verschwindet, wenn die Petzval-Summe null ist. Tritt zudem kein Astigmatismus auf, ist das Bildfeld eben.

Ist Astigmatismus vorhanden, gibt es zwischen der Krümmung der Petzval-Fläche und der Krümmung von tangentialer $r_{t}$ und sagittaler $r_{s}$ Bildebene folgende Beziehung:

    ${\frac {2}{r_{p}}}={\frac {3}{r_{s}}}-{\frac {1}{r_{t}}}$

Die mittlere Bildfeldwölbung ist hierbei das reziproke Mittel von tangentialer und sagittaler Krümmung.

