Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel
# Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel

Die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel (nach Willy Thomas, Fritz Reiche und Werner Kuhn) ist ein mathematisches Hilfsmittel in der Quantenmechanik.

Sie besagt, dass für die Strahlungsübergänge eines Teilchens der Masse $m_{0}$ zwischen einem bestimmten Zustand $|m\rangle$ und allen anderen Zuständen $|n\rangle$ gilt:

   $\sum _{n}(E_{n}-E_{m})\left|\left\langle n|{\hat {x}}|m\right\rangle \right|^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}$
   $\hbar$ … das reduzierte plancksche Wirkungsquantum $E_{n}$ … die Energie des Zustands $|n\rangle$
   $\left\langle n|{\hat {x}}|m\right\rangle =x_{nm}$ … das Matrixelement des Ortsoperators, das direkt mit dem elektrischen Dipolmoment des Überganges verknüpft ist

Die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel gilt nur für ausschließlich ortsabhängige Potentiale und kann somit in den meisten Fällen angewandt werden.

## Beweis

    ${\begin{aligned}\sum _{n}(E_{n}-E_{m})\left|\left\langle n|{\hat {x}}|m\right\rangle \right|^{2}&=\sum _{n}(E_{n}-E_{m})\left\langle m\right|{\hat {x}}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|{\hat {x}}\left|m\right\rangle \\&={\frac {1}{2}}\sum _{n}\left(\left\langle m\right|{\hat {x}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {x}}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|{\hat {x}}\left|m\right\rangle +\left\langle m\right|{\hat {x}}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|{\hat {H}}{\hat {x}}-{\hat {x}}{\hat {H}}\left|m\right\rangle \right)\\&={\frac {1}{2}}\sum _{n}\left(\left\langle m\right|{\hat {x}}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|[{\hat {H}},{\hat {x}}]\left|m\right\rangle -\left\langle m\right|[{\hat {H}},{\hat {x}}]\left|n\right\rangle \left\langle n\right|{\hat {x}}\left|m\right\rangle \right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\left\langle m\right|{\hat {x}}[{\hat {H}},{\hat {x}}]\left|m\right\rangle -\left\langle m\right|[{\hat {H}},{\hat {x}}]{\hat {x}}\left|m\right\rangle \right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\left\langle m\right|[{\hat {x}},[{\hat {H}},{\hat {x}}]]\left|m\right\rangle \right)\\&=-{\frac {i\hbar }{2m_{0}}}\left\langle m\right|[{\hat {x}},{\hat {p}}]\left|m\right\rangle \\&={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\end{aligned}}$

Dabei wurden folgende Beziehungen verwendet:

    $[{\hat {H}},{\hat {x}}]=-{\frac {i\hbar }{m_{0}}}{\hat {p}}$
    $[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar$
