Quasi-Diedergruppe
# Quasi-Diedergruppe

In der Mathematik sind Quasi-Diedergruppen gewisse endliche nicht-abelsche Gruppen der Ordnung $2^{n}$, wobei $n\geq 4$ ist.

## Definition

Eine Quasi-Diedergruppe ist eine Gruppe, die von zwei Elementen $a$ und $b$ der Form

    $\langle a,b\mid a^{2^{n-1}}=b^{2}=1,bab=a^{2^{n-2}-1}\rangle$

mit $n\geq 4$ erzeugt wird.

## Anzahl Elemente

Aus $bab=a^{2^{n-2}-1}$ folgt wegen $b^{2}=1$, dass $ba=a^{2^{n-2}-1}b$. Also kann jedes endliche Produkt der Erzeuger $a$ und $b$ der Quasi-Diedergruppe durch Anwendung dieser Regel auf die Form $a^{i}b^{j}$ gebracht werden. Wegen $a^{2^{n-1}}=b^{2}=1$ folgt:

    Die Quasi-Diedergruppe hat $2^n$ Elemente: $\{1,a,a^{2},\ldots ,a^{2^{n-1}},b,ba,ba^{2},\ldots ,ba^{2^{n-1}}\}$

## Beispiel

Die kleinste Quasi-Diedergruppe hat die Ordnung $16$ und wird von zwei Elementen $a$ und $b$ erzeugt, die die Gleichungen $a^{8}=b^{2}=1$ und $bab=a^{3}$ erfüllen. Da $b^{2}=1$, folgt aus der letzten Gleichung nach Rechtsmultiplikation mit $b$, dass $ba=a^{3}b$. Also kann man in einer beliebigen Folge von $a$'s und $b$'s jedes vor einem $a$ stehende $b$ hinter das $a$ bringen, wenn man dieses durch $a^{3}$ ersetzt. Daraus folgt dann, dass alle Elemente dieser Gruppe von der Form $1,a,a^{2},\ldots ,a^{7},b,ab,\ldots ,a^{7}b$ sind. Ferner lassen sich mit obigen Gleichungen sämtliche Multiplikationen in der Gruppe bestimmen. Als Beispiel betrachten wir die beiden Produkte aus $a^{2}$ und $a^{3}b$:

    $a^{2}\cdot a^{3}b=a^{5}b$  (denn $a^{2}a^{3}=a^{5}$)
    $a^{3}b\cdot a^{2}=a^{3}a^{3}ba=a^{3}a^{3}a^{3}b=a^{9}b=ab$  (zweimal $b$ nach rechts bringen und $a^{8}=1$ verwenden)

Insgesamt erhalten wir die folgende Verknüpfungstafel

| $\,\cdot$ | $\,1$ | $\,a$ | $\,a^{2}$ | $\,a^{3}$ | $\,a^{4}$ | $\,a^{5}$ | $\,a^{6}$ | $\,a^{7}$ | $\,b$ | $\,ab$ | $\,a^{2}b$ | $\,a^{3}b$ | $\,a^{4}b$ | $\,a^{5}b$ | $\,a^{6}b$ | $\,a^{7}b$ |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| $\,1$ | $\,1$ | $\,a$ | $\,a^{2}$ | $\,a^{3}$ | $\,a^{4}$ | $\,a^{5}$ | $\,a^{6}$ | $\,a^{7}$ | $\,b$ | $\,ab$ | $\,a^{2}b$ | $\,a^{3}b$ | $\,a^{4}b$ | $\,a^{5}b$ | $\,a^{6}b$ | $\,a^{7}b$ |
| $\,a$ | $\,a$ | $\,a^{2}$ | $\,a^{3}$ | $\,a^{4}$ | $\,a^{5}$ | $\,a^{6}$ | $\,a^{7}$ | $\,1$ | $\,ab$ | $\,a^{2}b$ | $\,a^{3}b$ | $\,a^{4}b$ | $\,a^{5}b$ | $\,a^{6}b$ | $\,a^{7}b$ | $\,b$ |
| $\,a^{2}$ | $\,a^{2}$ | $\,a^{3}$ | $\,a^{4}$ | $\,a^{5}$ | $\,a^{6}$ | $\,a^{7}$ | $\,1$ | $\,a$ | $\,a^{2}b$ | $\,a^{3}b$ | $\,a^{4}b$ | $\,a^{5}b$ | $\,a^{6}b$ | $\,a^{7}b$ | $\,b$ | $\,ab$ |
| $\,a^{3}$ | $\,a^{3}$ | $\,a^{4}$ | $\,a^{5}$ | $\,a^{6}$ | $\,a^{7}$ | $\,1$ | $\,a$ | $\,a^{2}$ | $\,a^{3}b$ | $\,a^{4}b$ | $\,a^{5}b$ | $\,a^{6}b$ | $\,a^{7}b$ | $\,b$ | $\,ab$ | $\,a^{2}b$ |
| $\,a^{4}$ | $\,a^{4}$ | $\,a^{5}$ | $\,a^{6}$ | $\,a^{7}$ | $\,1$ | $\,a$ | $\,a^{2}$ | $\,a^{3}$ | $\,a^{4}b$ | $\,a^{5}b$ | $\,a^{6}b$ | $\,a^{7}b$ | $\,b$ | $\,ab$ | $\,a^{2}b$ | $\,a^{3}b$ |
| $\,a^{5}$ | $\,a^{5}$ | $\,a^{6}$ | $\,a^{7}$ | $\,1$ | $\,a$ | $\,a^{2}$ | $\,a^{3}$ | $\,a^{4}$ | $\,a^{5}b$ | $\,a^{6}b$ | $\,a^{7}b$ | $\,b$ | $\,ab$ | $\,a^{2}b$ | $\,a^{3}b$ | $\,a^{4}b$ |
| $\,a^{6}$ | $\,a^{6}$ | $\,a^{7}$ | $\,1$ | $\,a$ | $\,a^{2}$ | $\,a^{3}$ | $\,a^{4}$ | $\,a^{5}$ | $\,a^{6}b$ | $\,a^{7}b$ | $\,b$ | $\,ab$ | $\,a^{2}b$ | $\,a^{3}b$ | $\,a^{4}b$ | $\,a^{5}b$ |
| $\,a^{7}$ | $\,a^{7}$ | $\,1$ | $\,a$ | $\,a^{2}$ | $\,a^{3}$ | $\,a^{4}$ | $\,a^{5}$ | $\,a^{6}$ | $\,a^{7}b$ | $\,b$ | $\,ab$ | $\,a^{2}b$ | $\,a^{3}b$ | $\,a^{4}b$ | $\,a^{5}b$ | $\,a^{6}b$ |
| $\,b$ | $\,b$ | $\,a^{3}b$ | $\,a^{6}b$ | $\,ab$ | $\,a^{4}b$ | $\,a^{7}b$ | $\,a^{2}b$ | $\,a^{5}b$ | $\,1$ | $\,a^{3}$ | $\,a^{6}$ | $\,a$ | $\,a^{4}$ | $\,a^{7}$ | $\,a^{2}$ | $\,a^{5}$ |
| $\,ab$ | $\,ab$ | $\,a^{4}b$ | $\,a^{7}b$ | $\,a^{2}b$ | $\,a^{5}b$ | $\,b$ | $\,a^{3}b$ | $\,a^{6}b$ | $\,a$ | $\,a^{4}$ | $\,a^{7}$ | $\,a^{2}$ | $\,a^{5}$ | $\,1$ | $\,a^{3}$ | $\,a^{6}$ |
| $\,a^{2}b$ | $\,a^{2}b$ | $\,a^{5}b$ | $\,b$ | $\,a^{3}b$ | $\,a^{6}b$ | $\,ab$ | $\,a^{4}b$ | $\,a^{7}b$ | $\,a^{2}$ | $\,a^{5}$ | $\,1$ | $\,a^{3}$ | $\,a^{6}$ | $\,a$ | $\,a^{4}$ | $\,a^{7}$ |
| $\,a^{3}b$ | $\,a^{3}b$ | $\,a^{6}b$ | $\,ab$ | $\,a^{4}b$ | $\,a^{7}b$ | $\,a^{2}b$ | $\,a^{5}b$ | $\,b$ | $\,a^{3}$ | $\,a^{6}$ | $\,a$ | $\,a^{4}$ | $\,a^{7}$ | $\,a^{2}$ | $\,a^{5}$ | $\,1$ |
| $\,a^{4}b$ | $\,a^{4}b$ | $\,a^{7}b$ | $\,a^{2}b$ | $\,a^{5}b$ | $\,b$ | $\,a^{3}b$ | $\,a^{6}b$ | $\,ab$ | $\,a^{4}$ | $\,a^{7}$ | $\,a^{2}$ | $\,a^{5}$ | $\,1$ | $\,a^{3}$ | $\,a^{6}$ | $\,a$ |
| $\,a^{5}b$ | $\,a^{5}b$ | $\,b$ | $\,a^{3}b$ | $\,a^{6}b$ | $\,ab$ | $\,a^{4}b$ | $\,a^{7}b$ | $\,a^{2}b$ | $\,a^{5}$ | $\,1$ | $\,a^{3}$ | $\,a^{6}$ | $\,a$ | $\,a^{4}$ | $\,a^{7}$ | $\,a^{2}$ |
| $\,a^{6}b$ | $\,a^{6}b$ | $\,ab$ | $\,a^{4}b$ | $\,a^{7}b$ | $\,a^{2}b$ | $\,a^{5}b$ | $\,b$ | $\,a^{3}b$ | $\,a^{6}$ | $\,a$ | $\,a^{4}$ | $\,a^{7}$ | $\,a^{2}$ | $\,a^{5}$ | $\,1$ | $\,a^{3}$ |
| $\,a^{7}b$ | $\,a^{7}b$ | $\,a^{2}b$ | $\,a^{5}b$ | $\,b$ | $\,a^{3}b$ | $\,a^{6}b$ | $\,ab$ | $\,a^{4}b$ | $\,a^{7}$ | $\,a^{2}$ | $\,a^{5}$ | $\,1$ | $\,a^{3}$ | $\,a^{6}$ | $\,a$ | $\,a^{4}$ |
