Biegewelle
# Biegewelle

Biegewellen sind transversale Wellen, die sich in begrenzten Medien mit nichtverschwindender Schubspannung ausbreiten können, beispielsweise in Balken (Anwendungsfall: u. a. Triangel) und in Platten (Anwendungsfall: u. a. Glocken). Im Gegensatz zu Dehnwellen findet die periodische Auslenkung des Mediums senkrecht ("transversal") zur Ausbreitungsrichtung statt, so dass die Welle auch als periodische Änderung des Krümmungsradius beschrieben wird.

## Wellengleichung

### Balken

Die Wellengleichung einer Biegewelle auf einem Balken lautet in erster Ordnung nach der Euler-Bernoulli-Theorie:

    ${\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}+{\frac {E\cdot I}{\rho \cdot A}}\cdot {\frac {\partial ^{4}z}{\partial x^{4}}}=0$

mit

* $z({\vec {x}},t)$ die transversale Auslenkung (in der Abb.: z senkrecht, x waagerecht)
* $t$ die Zeit
* $E$ der Elastizitätsmodul
* $I$ das Flächenträgheitsmoment
   * $E\cdot I$ die Biegesteifigkeit
* $\rho$ die Dichte des Balkens
* $A$ die Balkenquerschnittsfläche.

Für eine Dimension (Ortsvariable $x$) ergibt sich aus dem harmonischen Lösungsansatz

    $z=z_{0}\cdot e^{i(\omega t+kx)}$

mit

* der Amplitude $z_{0}$
* der Eulerschen Zahl $e$
* der imaginären Einheit $i$
* der Kreisfrequenz $\omega =2\pi \cdot f$
* der Kreiswellenzahl $k$

die Dispersionsrelation:

    $k^{2}={\sqrt {\frac {\rho \cdot A}{E\cdot I}}}\cdot \omega .$

Die Phasengeschwindigkeit $c={\frac {\omega }{k}}$ ist damit stark von der Frequenz $f$ (und damit auch von $\omega$) abhängig:

    $c={\sqrt {\omega }}\cdot {\sqrt[{4\,}]{\frac {E\cdot I}{\rho \cdot A}}}$.

### Platte

Die entsprechende Gleichung für eine Biegewelle auf einer Platte lautet:

    ${\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}+{\frac {E\,h^{2}}{12\rho (1-\mu ^{2})}}\,\nabla ^{4}z=0$

mit den zusätzlichen Bezeichnungen

* $h$ die Höhe der Platte
* $\mu$ die Querkontraktionszahl
* $\nabla$ der Nabla-Operator.

Diese Gleichung führt auf die Dispersionsrelation

    $k^{2}={\frac {\sqrt {12}}{h}}\cdot {\sqrt {\frac {\rho \cdot (1-\mu ^{2})}{E}}}\cdot \omega$

und die Phasengeschwindigkeit:

    $c={\sqrt {\omega }}\cdot {\sqrt[{4\,}]{\frac {h^{2}\cdot E}{12\cdot \rho \cdot (1-\mu ^{2})}}}.$

### Gruppengeschwindigkeit

In beiden Fällen ist die Gruppengeschwindigkeit $c_{g}={\frac {d\omega }{dk}}$ gerade doppelt so groß wie die Phasengeschwindigkeit:

    $c_{g}=2\cdot c$.
