Σ-Ring
# Σ-Ring

Ein σ-Ring oder auch σ-Mengenring ist ein spezielles Mengensystem, das eine wichtige Rolle in der Maßtheorie spielt. Ein σ-Ring ist ein σ-vereinigungsstabiles Mengensystem, das zusätzlich abgeschlossen bezüglich Differenzbildung ist.

## Definition

Sei $\Omega$ eine beliebige Menge. Ein Mengensystem ${\mathcal {R}}$ auf $\Omega$, also eine Menge von Teilmengen von $\Omega$, heißt σ-Ring (über $\Omega$), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

* $\emptyset \in {\mathcal {R}}$: Der σ-Ring enthält die leere Menge.
* $A_{1},A_{2},A_{3},...\in {\mathcal {R}}\Rightarrow \bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in {\mathcal {R}}$ (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich abzählbaren Vereinigungen).
* $A,B\in {\mathcal {R}}\Rightarrow A\setminus B\in {\mathcal {R}}$ (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Differenz).

## Beispiele

* Einfaches Beispiel für einen σ-Ring ist $\{\emptyset \}$, sie ist der kleinst mögliche σ-Ring.
* Ein weiteres Beispiel ist die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\Omega )$, sie ist der größt mögliche σ-Ring über einer gegebenen Menge $\Omega$.
* Ist nun ${\mathcal {S}}$ ein beliebiges Mengensystem über der Menge $\Omega$, so ist

       ${\mathcal {R}}_{\mathcal {S}}:=\bigcap _{\scriptstyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {R}}' \atop {\scriptstyle {\mathcal {R}}'{\text{ ist σ-Ring}} \atop \scriptstyle {\text{über }}\Omega }}{\mathcal {R}}'$
    der von ${\mathcal {S}}$ erzeugte σ-Ring. Er ist der kleinste σ-Ring über $\Omega$, der ${\mathcal {S}}$ enthält.
* Das System aller abzählbaren Teilmengen einer Grundmenge $\Omega$, also das Mengensystem

       $\{A\subseteq \Omega \mid A{\text{ ist endlich oder abzählbar unendlich }}\}$,
    ist ein σ-Ring über $\Omega$. Bei überabzählbarer Grundmenge ist dieses System keine σ-Algebra.

## Eigenschaften

In einem σ-Ring sind abzählbare Durchschnitte wieder im σ-Ring enthalten, denn es gilt

    $\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}=A_{1}\setminus \bigcup _{i=2}^{\infty }(A_{1}\setminus A_{i})$

für jede Folge $(A_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ im σ-Ring.

Damit sind auch endliche Schnitte und Vereinigungen im σ-Ring enthalten. Ebenso ist für jede Mengenfolge $(A_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ im σ-Ring ${\mathcal {R}}$ auch wieder Limes superior und Limes inferior der Mengenfolge wieder in ${\mathcal {R}}$:

    $\liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}\;$ und $\;\limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}$.

Des Weiteren lässt sich jede abzählbare Vereinigung von beliebigen Mengen aus ${\mathcal {R}}$ als abzählbare Vereinigung von disjunkten Mengen aus ${\mathcal {R}}$ schreiben. Dies ist insbesondere für die Untersuchung von Mengenfunktionen auf σ-Additivität wichtig.

## Operationen

### Durchschnitte von σ-Ringen

Der Durchschnitt ${\mathcal {R}}_{1}\cap {\mathcal {R}}_{2}$ zweier σ-Ringe ${\mathcal {R}}_{1}$ und ${\mathcal {R}}_{2}$ über $\Omega$ ist stets wieder ein σ-Ring. Denn sind $A,B\in {\mathcal {R}}_{1}\cap {\mathcal {R}}_{2}$, so ist

* $A\setminus B\in {\mathcal {R}}_{1}$, da $A,B\in {\mathcal {R}}_{1}$, sowie
* $A\setminus B\in {\mathcal {R}}_{2}$, da $A,B\in {\mathcal {R}}_{2}$.

Somit ist auch $A\setminus B\in {\mathcal {R}}_{1}\cap {\mathcal {R}}_{2}$, der Durchschnitt der σ-Ringe ist also differenzstabil. Die Stabilität bezüglich der abzählbaren Vereinigungen folgt analog.

Die Aussage gilt ebenso für den Schnitt einer beliebigen Anzahl von σ-Ringen über $\Omega$, da sich die obige Argumentation dann auf alle dieser σ-Ringe ausweiten lässt. Somit gilt: Ist $I$ eine beliebige Indexmenge und sind ${\mathcal {R}}_{i}$ für alle $i\in I$ σ-Ringe über derselben Grundmenge $\Omega$, so ist der Schnitt aller dieser σ-Ringe wieder ein σ-Ring ${\mathcal {R}}_{I}$ über $\Omega$:

    ${\mathcal {R}}_{I}:=\bigcap _{i\in I}{\mathcal {R}}_{i}$.

### Vereinigungen von σ-Ringen

Die Vereinigung ${\mathcal {R}}_{1}\cup {\mathcal {R}}_{2}$ zweier σ-Ringe ${\mathcal {R}}_{1}$ und ${\mathcal {R}}_{2}$ über $\Omega$ ist im Allgemeinen kein σ-Ring mehr. Betrachtet man beispielsweise die beiden σ-Ringe

    ${\mathcal {R}}_{1}=\{\emptyset ,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$

sowie

    ${\mathcal {R}}_{2}=\{\emptyset ,\{2\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}$

über $\Omega =\{1,2,3\}$, so ist

    ${\mathcal {R}}_{1}\cup {\mathcal {R}}_{2}=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$.

Dieses Mengensystem ist aber nicht vereinigungsstabil, da es $\{1\}\cup \{2\}=\{1,2\}$ nicht enthält, und somit auch kein σ-Ring.

### Produkte von σ-Ringen

Sind ${\mathcal {R}}_{1}$ und ${\mathcal {R}}_{2}$ σ-Ringe über $\Omega _{1}$ bzw. $\Omega _{2}$, so ist das Produkt ${\mathcal {R}}_{1}\times {\mathcal {R}}_{2}$ von ${\mathcal {R}}_{1}$ und ${\mathcal {R}}_{2}$ im Allgemeinen kein σ-Ring (über $\Omega _{1}\times \Omega _{2}$) mehr. Denn betrachtet man den σ-Ring

    ${\mathcal {R}}=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$,

über $\Omega =\{1,2\}$, so enthält das Mengensystem ${\mathcal {R}}\times {\mathcal {R}}$ sowohl die Mengen

    $A=\{1,2\}\times \{1,2\}=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}$ als auch $B=\{2\}\times \{2\}=\{(2,2)\}$.

Die Menge

    $A\setminus B=\{(1,1),(1,2),(2,1)\}$

ist jedoch nicht in ${\mathcal {R}}\times {\mathcal {R}}$ enthalten, da sie sich nicht als kartesisches Produkt zweier Mengen aus ${\mathcal {R}}$ darstellen lässt. Das Produkt ist somit nicht differenzstabil und damit auch kein σ-Ring.

### Spur eines σ-Ringes

Die Spur eines σ-Ringes ${\mathcal {R}}$ bezüglich einer Menge $U$, also das Mengensystem

    ${\mathcal {R}}|_{U}:=\{A\cap U\mid A\in {\mathcal {R}}\}$

ist immer ein σ-Ring, unabhängig von der Wahl von $U$.

## Beziehung zu verwandten Strukturen

### σ-Algebren

Ein σ-Ring, der die Grundmenge $\Omega$ enthält, ist eine σ-Algebra (und damit auch eine Algebra). Somit ist jede σ-Algebra ein σ-Ring, die Umkehrung ist aber im Allgemeinen falsch. Beispiel für einen σ-Ring, der keine σ-Algebra ist, ist der im obigen Abschnitt Beispiele zuletzt genannte σ-Ring.

### Ringe

Jeder σ-Ring ist ein Ring und damit auch ein Halbring und ein Mengenverband. Die Umkehrungen gelten im Allgemeinen nicht. Beispiel eines Ringes, der kein σ-Ring ist, wäre das Mengensystem aller endlichen Teilmengen bei einer abzählbar unendlichen Grundmenge.

### δ-Ringe

Jeder σ-Ring ist auch immer ein δ-Ring, denn wie im Abschnitt Eigenschaften gezeigt wurde, sind σ-Ringe immer auch stabil bezüglich abzählbaren Schnitten. Umgekehrt sind δ-Ringe jedoch im Allgemeinen keine σ-Ringe. Betrachtet man zum Beispiel eine beliebige abzählbare Menge $\Omega$ und definiert darauf das Mengensystem aller endlichen Mengen

    ${\mathcal {E}}:=\{E\subseteq \Omega \mid |E|<\infty \}$,

so handelt es sich um einen δ-Ring, da abzählbare Schnitte endlicher Mengen wieder endlich sind. Es ist aber kein σ-Ring, denn abzählbare Vereinigungen von endlichen Mengen sind im Allgemeinen nicht endlich.

### Monotone Klassen

Jeder Ring, der eine monotone Klasse ist, ist ein σ-Ring. Denn sind die Mengen $A_{1},A_{2},A_{3},...$ im Ring enthalten, so ist auch

    $B_{n}:=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$

aufgrund der Eigenschaften des Ringes wieder im Mengensystem enthalten. Die Mengen $B_{n}$ bilden aber eine monoton wachsende Mengenfolge, daher ist ihr Grenzwert

    $\lim _{n\to \infty }B_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$

aufgrund der Eigenschaften der monotonen Klasse auch im Mengensystem enthalten. Das Mengensystem ist also abgeschlossen bezüglich abzählbaren Vereinigungen. Somit ist die von einem Ring erzeugte monotone Klasse immer ein σ-Ring.

Umgekehrt ist jeder σ-Ring aufgrund seiner Stabilität bezüglich abzählbaren Vereinigungen und Schnitten immer auch eine monotone Klasse.

