Additives Funktional
# Additives Funktional

In der Stochastik ist ein additives Funktional (AF) ein stochastischer Prozess, der sich von einem anderen stochastischen Prozess (üblicherweise ein Markow-Prozess bzw. Feller-Prozess) ableitet und eine bestimmte additive Eigenschaft erfüllt. Wenn der Prozess stetig ist, dann wird das stetige additive Funktional oft mit CAF abgekürzt.

## Additives Funktional

Sei $X$ ein kanonischer Feller-Prozess mit Zustandsraum $S$ und assoziierter Endzeit $\zeta$. Weiter sei ${\mathcal {F}}$ eine Filtration und $\theta _{t}$ ein Shift-Operator, d. h. $\theta _{t}(Y_{s})=Y_{t+s}$ für einen beliebigen Prozess $Y=(Y_{t})_{t\geq 0}$.

Ein additives Funktional von $X$ ist ein nicht-absteigender und ${\mathcal {F}}$-adaptierter Prozess $F=(F_{t})_{t\geq 0}$, so dass $F_{0}=0$ und $F_{\zeta \vee t}:=F_{\zeta }$ sowie die additive Eigenschaft

    $F_{s+t}=F_{s}+F_{t}\circ \theta _{s},\quad {\text{f.s.}},\quad s,t\geq 0$

erfüllt ist.

### Erläuterungen

Die letzte Bedingung sollte man als

    $F_{s+t}(X_{u},u\geq 0)=F_{s}(X_{u},u\geq 0)+F_{t}(X_{s+u},u\geq 0),\quad {\text{f.s.}},\quad s,t\geq 0$

interpretieren.

Man kann $F$ und $X$ auch allgemeiner definieren, so dass nur die additive Eigenschaft erfüllt ist.

## Beispiele

* Sei $f$ eine einfache, messbare Funktion auf $S$, dann wird der Prozess

       $F_{t}:=\int _{0}^{t}f(X_{s})\mathrm {d} s,\quad t\geq 0,$
    elementares additives Funktional genannt.
* Sei $f$ wie oben und $F_{t}$ ein stetiges additives Funktional, dann ist das stochastische Integral

       $G_{t}:=(f\cdot F)_{t}=\int _{s\leq t}f(X_{s})\mathrm {d} F_{s},\quad t\geq 0,$
    ein weiteres additives Funktional
* Die Lokalzeit eines Prozesses ist ein weiteres Beispiel.

## Potential eines additiven Funktionals

Für ein stetiges additives Funktional $F$ und eine Konstante $\alpha$ definieren wir das $\alpha$-Potential als

    $U_{F}^{\alpha }(x)=E_{x}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha t}\mathrm {d} F_{t}\right],\quad x\in S$

sowie für eine Funktion $f$

    $U_{F}^{\alpha }f:=U_{f\cdot F}^{\alpha }.$
