Levi-Form
# Levi-Form

In der Mathematik ist die Levi-Form ein Begriff aus der Theorie der CR-Mannigfaltigkeiten. Die Levi-Form ist nach Eugenio Elia Levi benannt.

Sei $(M,H)$ eine CR-Mannigfaltigkeit und $\pi \colon \mathbb {C} \otimes TM\to (\mathbb {C} \otimes TM)/(H\oplus {\overline {H}})$ die natürliche Projektion. Dann ist die Levi-Form

    $h\colon H\to (\mathbb {C} \otimes TM)/(H\oplus {\overline {H}})$

definiert durch

    $h(U):={\frac {1}{2i}}\pi (\left[U,{\overline {U}}\right])$

für alle komplexen Vektorfelder $U$ in $H$.

Wenn $M$ eine durch eine Gleichung $g\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R}$ definierte Hyperfläche $M\subset \mathbb {C} ^{n}$ (mit einer glatten Funktion $g\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R}$) ist, dann stimmt die Levi-Form mit der komplexen Hesse-Matrix von $g$ überein.

Eine CR-Mannigfaltigkeit heißt streng pseudokonvex, wenn ihre Levi-Form (positiv oder negativ) definit ist.

