Satz von Landau (Funktionentheorie)
# Satz von Landau (Funktionentheorie)

In der Funktionentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, behandelt der Satz von Landau, benannt nach Edmund Landau, eine obere Abschätzung für gewisse im offenen Einheitskreis $\mathbb {E}$ gegebene holomorphe Funktionen.

Der Satz gab Anlass zu einer Anzahl von weitergehenden Untersuchungen, mit denen nicht zuletzt die von Landau gelieferte Abschätzung präzisiert wurde.

## Formulierung des Satzes

Er lässt sich angeben wie folgt:

    Gegeben seien der offene Einheitskreis $\mathbb {E} =\{x\in X:|x|<1\}\subset \mathbb {C}$ und darauf eine holomorphe Funktion $f\colon \mathbb {E} \rightarrow \mathbb {C}$ und zudem zwei komplexe Zahlen $a_{0}$ und $a_{1}$ .
    Dabei soll $f(0)=a_{0}$ und $f'(0)=a_{1}$ sein und weiter für $z\in \mathbb {E}$ stets $f(z)\neq 0$ und $f(z)\neq 1$ gelten.
    Dann gilt:
    Es gibt eine allein von $a_{0}$ abhängige obere Schranke $M(a_{0})>0$ , welche die Ungleichung
    $|a_{1}|\leq M(a_{0})$
    erfüllt.

### Präzisierung der Schranke

Es lässt sich eine bestmögliche obere Schranke explizit angeben. Hier konnte gezeigt werden, dass stets die Ungleichung

    $|a_{1}|\leq 2\cdot |a_{0}|\cdot {\bigl|\ln(|a_{0}|)|+A{\bigr )}\,,\,A={\frac {\left(\Gamma ({\tfrac {1}{4}})\right)^{4}}{4\cdot \pi ^{2}}}\approx 4{,}377$

erfüllt ist.

