Rotationshyperboloid
# Rotationshyperboloid

Das einschalige Rotationshyperboloid ist eine Fläche zweiter Ordnung, die man sich durch Rotation einer Geraden um eine zu ihr windschiefe Gerade (Achse) entstanden vorstellen kann. Es ist ein Spezialfall des einschaligen Hyperboloids. Seine gaußsche Krümmung ist in jedem Punkt negativ; es handelt sich also um eine antiklastisch gekrümmte Fläche.

Man beachte: Es gibt auch ein zweischaliges Rotationshyperboloid (siehe Hyperboloid).

## Anwendung

Die Form des Rotationshyperboloids wird unter anderem im Bauwesen bei Hyperboloidkonstruktionen angewendet. Den ersten Turm der Welt in dieser Form baute Wladimir Schuchow für die Allrussische Industrie- und Handwerksausstellung 1896.

Der Architekt Antoni Gaudí verwendete die Form als gestalterisches Konstruktionsprinzip. Auch das Kunstwerk Mae West in München ist ein 52 Meter hoher Rotationshyperboloid aus CFK.

## Gleichung

Die Gleichung für das einschalige Rotationshyperboloid mit kreisförmigem Querschnitt ergibt sich aus der Gleichung

    ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

eines einschaligen Hyperboloids mit allgemein elliptischem Querschnitt durch Setzen von $\ a=b=r\$:

    ${\frac {x^{2}+y^{2}}{r^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ .$

Ein Schnitt mit einer horizontalen Ebene $z=z_{0}$ ist immer ein Kreis. Der kleinste Kreis ergibt sich für $z=0$. Er hat den Radius $r$. Dieses Hyperboloid lässt sich durch Rotation der Hyperbel in der x-z-Ebene mit der Gleichung ${\tfrac {x^{2}}{r^{2}}}-{\tfrac {z^{2}}{c^{2}}}=1\$ um die z-Achse erzeugen.

Nachfolgend ist diese Parametrisierung angegeben, wobei der Parameter $\varphi$ dem Azimut-Winkel entspricht, welcher z. B. auch bei Kugel- oder Zylinderkoordinaten Verwendung findet.

    ${\vec {x}}(\varphi ,\beta )={\begin{pmatrix}r\cos \varphi \cosh \beta \\r\sin \varphi \cosh \beta \\c\sinh \beta \end{pmatrix}}\;,\quad 0\leq \varphi \leq 2\pi \;,\;-\infty <\beta <\infty$

Eine für die Anwendung geeignetere Erzeugung lässt eine zur z-Achse windschiefe Gerade (Stange) um die z-Achse rotieren:

Die Gerade mit der Parametergleichung

    ${\vec {x}}(u)={\begin{pmatrix}r\\0\\0\end{pmatrix}}+u{\begin{pmatrix}0\\\cos(\gamma )\\\sin(\gamma )\end{pmatrix}}$

ist parallel zur y-z-Ebene, hat den Abstand $r$ zur z-Achse und den Steigungswinkel $\gamma$ gegenüber der x-y-Ebene (siehe Bild).

Lässt man diese Gerade um die z-Achse rotieren, erhält man eine Fläche mit der Parametergleichung

${\vec {x}}(u,v)={\begin{pmatrix}r\cos(v)\\r\sin(v)\\0\end{pmatrix}}+u{\begin{pmatrix}-\cos(\gamma )\sin(v)\\\cos(\gamma )\cos(v)\\\sin(\gamma )\end{pmatrix}}$.

Man rechnet nach, dass im Fall $\;0<\gamma <\pi /2\;$ die Koordinaten der Flächenpunkte die obige Gleichung eines Rotationshyperboloids mit $\;c=r\tan \gamma \;$ erfüllt. Außerdem erkennt man: die Gerade mit dem Steigungswinkel $-\gamma$ erzeugt dasselbe Hyperboloid (s. Bild). Durch jeden Punkt des Hyperboloids gehen also zwei Geraden (Stangen), was die Stabilität eines Modells erheblich steigert. (Im Fall $\gamma =0$ liegt die Gerade in der x-y-Ebene und überstreicht das Äußere des Kreises mit der Gleichung $x^{2}+y^{2}=r^{2}$. Falls $\gamma =\pi /2$ ist, entsteht ein Zylinder mit Radius $r$.)

