Lévy-Abstand
# Lévy-Abstand

Der Lévy-Abstand, auch Lévy-Metrik genannt, ist in der Stochastik ein Maß für die Übereinstimmung zweier Verteilungsfunktionen. Er ist nach Paul Lévy benannt und ein Sonderfall der Prochorow-Metrik.

## Definition

Bezeichne ${\mathcal {V}}_{1}$ die Menge aller Verteilungsfunktionen (im Sinne der Stochastik). Für zwei $F,G\in {\mathcal {V}}_{1}$ definiert man

    $d_{L}(F,G)=\inf\{\epsilon >0:F(x-\epsilon )-\epsilon \leq G(x)\leq F(x+\epsilon )+\epsilon {\text{ für alle }}x\in \mathbb {R} \}$.

## Eigenschaften

* $({\mathcal {V}}_{1},d_{L})$ ist ein separabler, vollständiger metrischer Raum.
* Die Folge von Verteilungsfunktionen $(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert genau dann schwach gegen eine Verteilungsfunktion $F$, wenn $\lim _{n\to \infty }d_{L}(F_{n},F)=0$ ist. Somit metrisiert die Lévy-Metrik die schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen.
