Inhomogene lineare Differentialgleichung
# Inhomogene lineare Differentialgleichung

Eine inhomogene lineare Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung der Form

    $y^{\prime }(x)=a(x)y(x)+b(x)$

mit stetigen Funktionen $a(x),b(x)$, oder allgemeiner eine Differentialgleichung n. Ordnung der Form

    $\textstyle y^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(x)y^{(k)}(x)+b(x)$

mit stetigen Funktionen $a_{0}(x),\ldots ,a_{n-1}(x),b(x)$. Die Funktion $b(x)$ wird als Inhomogenität der Differentialgleichung bezeichnet.

## Lösung

Inhomogene lineare Differentialgleichungen können mit der Methode der Variation der Konstanten gelöst werden:

Man bestimmt zunächst ein Fundamentalsystem $y_{1}(x),\ldots ,y_{n}(x)$ von $n$ Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung $\textstyle y^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(x)y^{(k)}(x)$. (Im Fall 1.Ordnung $y^{\prime }(x)=a(x)y(x)+b(x)$ verwendet man nur eine Lösung der Gleichung $y^{\prime }(x)=a(x)y(x)$.)

Dann wählt man den Ansatz $y(x)=\sum _{k=1}^{n}c_{k}(x)y_{k}(x)$ und löst die sich ergebenden Differentialgleichungen für die Konstanten $c_{1}(x),\ldots ,c_{n}(x)$.

## Beispiel 1

Wir betrachten die Differentialgleichung

    $y^{\prime }(x)=xy(x)+xe^{\frac {x^{2}}{2}}$.

Die zugehörige homogene Gleichung $y^{\prime }(x)=xy(x)$ hat die Lösungen $y(x)=Ce^{\frac {x^{2}}{2}}$.

Wir wählen deshalb den Ansatz

    $y(x)=C(x)e^{\frac {x^{2}}{2}}$,

woraus sich für $C(x)$ die Differentialgleichung

    $C^{\prime }(x)=x$

mit Lösung $C(x)={\frac {1}{2}}x^{2}+D$ ergibt. Die Lösungen der inhomogenen Gleichung sind also von der Form

    $y(x)={\frac {1}{2}}x^{2}e^{\frac {x^{2}}{2}}+De^{\frac {x^{2}}{2}}$.

## Beispiel 2

Gegeben sei eine Differentialgleichung (DGL), wie sie z.B. für lineare zeitinvariante Systeme oder in der Zustandsraumdarstellung für dynamische Systeme Verwendung findet:

    $x^{\prime }(t)=ax(t)+bu(t)$

Die zugehörige homogene Differentialgleichung $x^{\prime }(t)=ax(t)$ hat folgende Lösung:

    $x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}$

Die Lösung der inhomogenen DGL erfolgt mit der Methode Variation der Konstanten. Dazu wird auf die Lösung der homogenen DGL aufgebaut. Die Lösungs-Konstante $x_{0}$ wird "variiert" und im folgenden C(t) genannt:

Lösungs Ansatz:

    $x(t)=C(t)e^{a(t-t_{0})}$

Ableitung mit Kettenregel:

    $x^{\prime }(t)=C^{\prime }(t)e^{a(t-t_{0})}+C(t)ae^{a(t-t_{0})}$

Beides eingesetzt in die ursprüngliche inhomogene DGL und durch Multiplikation mit $e^{-a(t-t_{0})}$nach $C^{\prime }(t)$ aufgelöst:

    $C^{\prime }(t)e^{a(t-t_{0})}+C(t)ae^{a(t-t_{0})}=aC(t)e^{a(t-t_{0})}+bu(t)$
    $C^{\prime }(t)e^{a(t-t_{0})}=bu(t)$
    $C^{\prime }(t)=bu(t)e^{-a(t-t_{0})}$

Beide Seiten dieser Gleichung werden integriert. Der linke Term ergibt sich aus der Überlegung, dass die Ableitung von $C(t)-C(t_{0})$ ja $C^{\prime }(t)$ ergibt:

    $C(t)-C(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau$.

Auflösung nach $C(t)$ und Verwendung von $C(t_{0})=x_{0}$:

    $C(t)=\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau +C(t_{0})$
    $C(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau$

Eingesetzt in obigen Lösungs-Ansatz $x(t)=C(t)e^{a(t-t_{0})}$ergibt sich das Ergebnis nach einigen Umformungen:

    $x(t)=(x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau )\cdot e^{a(t-t_{0})}$
    $x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}+e^{a(t-t_{0})}\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau$
    $x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{a(t-t_{0})}e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau$
    $x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{at-at_{0}}e^{-a\tau +at_{0})}d\tau$

Die Lösung für die inhomogene DGL der Zustandsraumdarstellung ergibt sich schließlich zu:

    $x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{a(t-\tau )}d\tau$
