Lévy-Verteilung
# Lévy-Verteilung

Lévy-Verteilungen (benannt nach dem französischen Mathematiker Paul Lévy) sind eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit der besonderen Eigenschaft eines jeweils unendlichen Erwartungswerts.

## Definition

Die Dichtefunktion der Lévy-Verteilungen lautet

    $f(x)={\sqrt {\frac {\gamma }{2\pi }}}\cdot {\frac {1}{(x-\mu )^{3/2}}}\cdot \exp \left(-{\frac {\gamma }{2(x-\mu )}}\right),\quad x>\mu$., mit den beiden Parametern $\gamma >0,\,\mu \in \mathbb {R}$.
* $\mu$ ist ein Lageparameter und definiert die Position auf der $x$-Achse;
* $\gamma$ ist ein Skalenparameter (Stauchung für $\gamma <1$; Streckung für $\gamma >1$).

## Standard-Lévy-Verteilung

Die Standard-Lévy-Verteilung ist die Lévy-Verteilung mit den Parameterwerten $\gamma =1,\mu =0$; ihre Dichtefunktion lautet damit:

    $f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \cdot x^{3}}}}\cdot e^{-{\frac {1}{2x}}},\quad x>0$.

## Eigenschaften

Die Standard-Lévy-Verteilung gehört (wie die Normalverteilung und die Cauchy-Verteilung) zur übergeordneten Familie der alpha-stabilen Verteilungen, d. h., sie erfüllt die Bedingung:

    $(X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n})\sim n^{1/\alpha }X$

(hier mit $\alpha =1/2$) für alle unabhängigen Standard-Lévy-verteilten Zufallsgrößen $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},X$. Da die Theorie der $\alpha$-stabilen Verteilungen maßgeblich von Lévy mitgestaltet wurde, spricht man, um Verwechslungen vorzubeugen, auch oft von der eigentlichen Lévy-Verteilung.

## Momente

Die Lévy-Verteilung besitzt keinen endlichen Erwartungswert, denn es gilt $\operatorname {E} (|X|)=\infty$. Die Lévy-Verteilung gehört somit zu den Verteilungen mit schweren Rändern, die vor allem dazu verwendet werden, extreme Ereignisse (z. B. einen Börsencrash in der Finanzmathematik) zu modellieren.

## Anwendung

Mit der Lévy-Verteilung lassen sich verschiedene Phänomene insbesondere in der Natur beschreiben:

* Verlauf von Börsenkursen
* Umpolung des Erdmagnetfeldes
* Intervalle zwischen aufeinander folgenden Tönen in Melodien
* Pfade von Wildtieren bei der Futtersuche
* Teilchenbewegungen in turbulenten Strömungen
