Triviale Gruppe
# Triviale Gruppe

Die triviale Gruppe ist in der Gruppentheorie eine Gruppe, deren Trägermenge genau ein Element enthält. Die triviale Gruppe ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Jede Gruppe enthält die triviale Gruppe als Untergruppe.

## Definition

Die triviale Gruppe $(\{e\},*)$ ist eine Gruppe, die aus der einelementigen Menge $\{e\}$ besteht und versehen ist mit der einzig möglichen Gruppenoperation

    $e*e=e$.

Das Element $e$ ist damit das neutrale Element der Gruppe.

## Beispiele

Beispiele für triviale Gruppen sind:

* die triviale Gruppe der Addition $(\{0\},+)$,
* die triviale Gruppe der Multiplikation $(\{1\},\cdot )$,
* die triviale Gruppe der Komposition von Abbildungen $(\{id\},\circ )$,
* die zyklische Gruppe $C_{1}$ vom Grad $1$,
* die alternierende Gruppe $A_{2}$ vom Grad $2$,
* die symmetrische Gruppe $S_{1}$ einer einelementigen Menge,
* alle idempotenten Gruppen.

## Eigenschaften

* Alle trivialen Gruppen sind zueinander isomorph.
* Die triviale Gruppe ist idempotent.
* Da die Gruppenoperation $\ast$ kommutativ ist, ist die triviale Gruppe eine abelsche Gruppe.
* Die einzige Untergruppe der trivialen Gruppe ist die triviale Gruppe selbst.
* Die triviale Gruppe wird von der leeren Menge erzeugt: $\{e\}=\langle \emptyset \rangle$. Hierbei ergibt das leere Produkt nach üblicher Konvention das neutrale Element.
* Jede Gruppe enthält die triviale Gruppe und sich selbst als (triviale) Normalteiler. Die triviale Gruppe wird daher meistens nicht als einfache Gruppe angesehen.
* In der Kategorie der Gruppen Grp fungiert die triviale Gruppe als Nullobjekt.
