Teilerfunktion
# Teilerfunktion

Die ersten Werte von $σ_0$ ... $σ_4$ :

| n | = | $σ_0(n)$ | $σ_1(n)$ | $σ_2(n)$ | $σ_3(n)$ | $σ_4(n)$ |
| - | - | - | - | - | - | - |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 | 3 | 5 | 9 | 17 |
| 3 | 3 | 2 | 4 | 10 | 28 | 82 |
| 4 | $2^2$ | 3 | 7 | 21 | 73 | 273 |
| 5 | 5 | 2 | 6 | 26 | 126 | 626 |
| 6 | 2‧3 | 4 | 12 | 50 | 252 | 1394 |
| 7 | 7 | 2 | 8 | 50 | 344 | 2402 |
| 8 | $2^3$ | 4 | 15 | 85 | 585 | 4369 |
| 9 | $3^2$ | 3 | 13 | 91 | 757 | 6643 |
| 10 | 2‧5 | 4 | 18 | 130 | 1134 | 10642 |
| 11 | 11 | 2 | 12 | 122 | 1332 | 14642 |
| 12 | $2^2‧3$ | 6 | 28 | 210 | 2044 | 22386 |
| 13 | 13 | 2 | 14 | 170 | 2198 | 28562 |
| 14 | 2‧7 | 4 | 24 | 250 | 3096 | 40834 |
| 15 | 3‧5 | 4 | 24 | 260 | 3528 | 51332 |
| 16 | $2^4$ | 5 | 31 | 341 | 4681 | 69905 |
| 17 | 17 | 2 | 18 | 290 | 4914 | 83522 |
| 18 | $2‧3^2$ | 6 | 39 | 455 | 6813 | 112931 |
| 19 | 19 | 2 | 20 | 362 | 6860 | 130322 |
| 20 | $2^2‧5$ | 6 | 42 | 546 | 9198 | 170898 |
| 21 | 3‧7 | 4 | 32 | 500 | 9632 | 196964 |
| 22 | 2‧11 | 4 | 36 | 610 | 11988 | 248914 |
| 23 | 23 | 2 | 24 | 530 | 12168 | 279842 |
| 24 | $2^3‧3$ | 8 | 60 | 850 | 16380 | 358258 |
| 25 | $5^2$ | 3 | 31 | 651 | 15751 | 391251 |
| 26 | 2‧13 | 4 | 42 | 850 | 19782 | 485554 |
| 27 | $3^3$ | 4 | 40 | 820 | 20440 | 538084 |
| 28 | $2^2‧7$ | 6 | 56 | 1050 | 25112 | 655746 |
| 29 | 29 | 2 | 30 | 842 | 24390 | 707282 |
| 30 | 2‧3‧5 | 8 | 72 | 1300 | 31752 | 872644 |

In der Zahlentheorie ist die Teilerfunktion die Funktion, die einer natürlichen Zahl die Summe ihrer Teiler, erhoben zu einer gewissen Potenz, zuordnet. Sie wird üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben $\sigma$ bezeichnet.

## Definition

Für eine natürliche Zahl $n$ ist definiert:

    $\!\ \sigma _{k}(n):=\sum _{d|n}d^{k}$.

Hierbei erstreckt sich die Summe über alle positiven Teiler von $n$, einschließlich $1$ und $n$. Beispielsweise ist demnach $\sigma _{2}(6)=1^{2}+2^{2}+3^{2}+6^{2}=50.$

## Spezialisierungen

* $d:=\sigma _{0}$ ist die Teileranzahlfunktion,
* $\sigma :=\sigma _{1}$ ist die Teilersumme.

## Eigenschaften

* $\sigma _{k}$ ist multiplikativ, das heißt, für teilerfremde $n,m$ gilt: $\sigma _{k}(n\cdot m)=\sigma _{k}(n)\cdot \sigma _{k}(m)$.
* Hat $n$ die Primfaktorzerlegung $n=\prod _{i=1}^{r}{p_{i}^{e_{i}}}$, so ist
   * $\sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{e_{i}}{p_{i}^{jk}}$,
   * $\sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{k(e_{i}+1)}-1}{p_{i}^{k}-1}}$ für $k>0$, und für $k=0$ gilt: $\sigma _{0}(n)=\prod _{i=1}^{r}(e_{i}+1)$.
* Die durchschnittliche Größenordnung von $\sigma _{k}$ für $k>0$ ist $\sigma _{k}(n)\sim \zeta (k+1)n^{k}$, mit der Riemannschen Zetafunktion $\zeta (s)$.
* Die durchschnittliche Größenordnung der Teileranzahlfunktion $d(n):=\sigma _{0}(n)$ ist $\ln n$. Genauer gilt mit der Eulerschen Konstanten $C$

    $\sum _{x\leq n}d(x)=n\ln n+(2C-1)n+O({\sqrt {n}})$.

## Reihenformeln

Speziell für $\sigma _{0}$ gilt:

    $\sum _{i=1}^{n}\sigma _{0}(i)=\sum _{i=1}^{n}\left\lfloor {\frac {n}{i}}\right\rfloor$

Dies kann man sich klarmachen, in dem man die rechte Summe als $\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{i}}\right\rfloor$ schreibt: Wenn man nun $n$ durch $n+1$ substituiert, werden genau die Summanden der Summe um 1 größer, die $n+1$ teilen.

Zwei Dirichletreihen mit der Teilerfunktion sind: (S. 285, Satz 291)

    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)$ für $s>1,\;s>a+1,$

was speziell für d(n) = $σ_0(n)$ ergibt:

    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s)$ für $s>1$

und (S. 292, Satz 305)

    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}.$

Eine Lambert-Reihe mit der Teilerfunktion ist:

    $\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{a}(n)q^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }n^{a}q^{kn}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{a}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}$

für beliebiges komplexes |q| ≤ 1 und a.

Die Teilerfunktion lässt sich für $k>0$ mittels Ramanujansummen auch explizit als Reihe darstellen:

    $\sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {c_{m}(n)}{m^{k+1}}}.$

Die Berechnung der ersten Werte von $c_{m}(n)$ zeigt das Schwanken um den "Mittelwert" $\zeta (k+1)n^{k}$:

    $\sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\left[1+{\frac {(-1)^{n}}{2^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {2\pi n}{3}}}{3^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {\pi n}{2}}}{4^{k+1}}}+\cdots \right]$

## Identitäten aus der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen

Ein wesentlicher Bestandteil der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen von Gewicht $k\geq 4$, gerade, sind die Teilerfunktionen $\sigma _{k-1}$. Aus Relationen zwischen den Eisensteinreihen können die Werte einiger Faltungen von Teilerfunktionen hergeleitet werden, so ist zum Beispiel für alle $n\in \mathbb {N}$:

    $120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m)=\sigma _{7}(n)-\sigma _{3}(n),$
    $5040\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{5}(n-m)=11\sigma _{9}(n)-21\sigma _{5}(n)+10\sigma _{3}(n).$

## Quellen

* ↑ Eric W. Weisstein: Divisor Function. In: MathWorld (englisch).
* ↑ E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 134.
* ↑ Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: Einführung in die Zahlentheorie. R. Oldenbourg, München 1958, S. 285, 292.
* ↑ E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 130.
* ↑ Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1990, S. 140.
