Moufang-Identitäten
# Moufang-Identitäten

Eine zweistellige Verknüpfung $\cdot$ auf einer Menge $X$ erfüllt die Moufang-Identitäten (benannt nach der deutschen Mathematikerin Ruth Moufang), wenn für alle $a,b,c\in X$ die Gleichungen

    (M1) ${\Biga\cdot (b\cdot a){\Big )}\cdot c=a\cdot {\Bigb\cdot (a\cdot c){\Big )}$

und

    (M2) $(a\cdot b)\cdot (c\cdot a)=a\cdot {\Big(b\cdot c)\cdot a{\Big )}$

gelten.

Dual dazu werden auch folgende Gleichungen als Moufang-Identitäten bezeichnet:

    (M1') ${\Big(a\cdot b)\cdot c{\Big )}\cdot b=a\cdot {\Bigb\cdot (c\cdot b){\Big )}$

und

    (M2') $(a\cdot b)\cdot (c\cdot a)={\Biga\cdot (b\cdot c){\Big )}\cdot a$

In einer Quasigruppe $(M,\cdot )$ impliziert eine dieser vier Gleichungen jeweils die drei anderen. Außerdem sichert jede dieser Gleichung die Existenz eines neutralen Elements zu. Eine Quasigruppe, in der also (mindestens) eine der Moufang-Identitäten erfüllt ist, ist demnach eine Loop, die dann auch Moufang-Loop genannt wird.

## Bezug zu anderen Formen der Assoziativität

Bei den Moufang-Identitäten handelt es sich um eine abgeschwächte Form des Assoziativgesetzes. Außer für assoziative Verknüpfungen gelten die Moufang-Identitäten auch für Alternativkörper wie zum Beispiel die Oktonionen.

Gelten in einem Magma $(M,\cdot )$ mit einem neutralen Element $1$ die Moufang-Identitäten (M1) und (M2), dann gilt für die Verknüpfung $\cdot$

* die Linksalternativität (wegen (M1) mit $b=1$):

    $(a\cdot a)\cdot c={\Biga\cdot (1\cdot a){\Big )}\cdot c=a\cdot {\Big1\cdot (a\cdot c){\Big )}=a\cdot (a\cdot c)$
* das Flexibilitätsgesetz (wegen (M2) mit $c=1$):

    $(a\cdot b)\cdot a=(a\cdot b)\cdot (1\cdot a)=a\cdot {\Big(b\cdot 1)\cdot a{\Big )}=a\cdot (b\cdot a)$

Gelten in $(M,\cdot )$ mit einem neutralen Element $1$ jedoch die Moufang-Identitäten (M1') und (M2'), dann gilt für die Verknüpfung $\cdot$

* die Rechtsalternativität (wegen (M1') mit $c=1$):

    $(a\cdot b)\cdot b={\Big(a\cdot b)\cdot 1{\Big )}\cdot b=a\cdot {\Bigb\cdot (1\cdot b){\Big )}=a\cdot (b\cdot b)$
* das Flexibilitätsgesetz (wegen (M2') mit $b=1$):

    $a\cdot (a\cdot b)=(a\cdot 1)\cdot (c\cdot a)={\Biga\cdot (1\cdot c){\Big )}\cdot a=(a\cdot b)\cdot a$

In einem flexiblen Magma $(M,\cdot )$, in dem für die Verknüpfung $\cdot$ also das Flexibilitätsgesetz gilt, folgt M2' direkt aus M2 (und umgekehrt), und es gelten folgende zusätzliche Identitäten

    (M3, folgt aus M1) ${\Big(a\cdot b)\cdot a{\Big )}\cdot c={\Biga\cdot (b\cdot a){\Big )}\cdot c=a\cdot {\Bigb\cdot (a\cdot c){\Big )}$
    (M3', folgt aus M1') ${\Big(a\cdot b)\cdot c{\Big )}\cdot b=a\cdot {\Bigb\cdot (c\cdot b){\Big )}=a\cdot {\Big(b\cdot c)\cdot b{\Big )}$
