Faserbündel
# Faserbündel

In der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist ein Faserbündel ein topologischer Raum, der lokal als kartesisches Produkt zweier topologischer Räume dargestellt werden kann, zusammen mit einer Abbildung, die diese Ähnlichkeit wiedergibt.

Faserbündel spielen eine wichtige Rolle in der Homotopietheorie, Differentialgeometrie und Differentialtopologie.

## Geschichte

Das Konzept eines Faserbündels kam erstmals im Zusammenhang mit der Topologie und Geometrie von Mannigfaltigkeiten auf. Herbert Seifert führte im Jahr 1933 die Begriffe Faser und gefaserter Raum ein.

Die erste Definition eines Faserbündels gab Hassler Whitney im Jahr 1935 unter dem Namen Sphären-Raum (engl. sphere space). In den Jahren von 1935 bis 1940 wurden Faserbündel in der Mathematik ein eigenes Forschungsgebiet. Die Arbeiten von Whitney, Heinz Hopf und Eduard Stiefel gaben Ausblicke auf die Bedeutung von Faserbündeln in Topologie und Differentialgeometrie.

Bis zum Jahr 1950 wurde die Definition eines Faserbündels klar notiert und die Theorie über Homotopieklassifikation und Charakteristikklassen von Faserbündeln von mehreren Mathematikern, darunter Shiing-Shen Chern, Lew Pontrjagin, Stiefel und Whitney, vorangetrieben. In den Jahren von 1950 bis 1955 konnte Friedrich Hirzebruch unter Verwendung der Charakteristikklassen von Faserbündeln den Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch beweisen. John Milnor gab eine Konstruktion eines universellen Faserbündels für beliebige topologische Gruppen im Jahr 1955 an. In den frühen 1960ern entwickelten Alexander Grothendieck, Michael Atiyah und Hirzebruch eine verallgemeinerte Kohomologietheorie, die K-Theorie, mit Hilfe von Stabilitätsklassen von Vektorbündeln.

## Definition

Ein Faserbündel ist ein Quadrupel $(E,B,\pi ,F)$ bestehend aus topologischen Räumen $E$, $B$ und $F$ und einer stetigen surjektiven Abbildung $\pi \colon E\to B$, wobei für jedes $x\in B$ eine offene Umgebung $U\subseteq B$ von $x$ und ein Homöomorphismus $\varphi \colon \pi ^{-1}(U)\to U\times F$ existieren, sodass das folgende Diagramm kommutiert:

Hierbei ist $\operatorname {proj} _{1}\colon U\times F\to U$ die natürliche Projektion. Ein solcher Homöomorphismus $\varphi$ wird lokale Trivialisierung des Bündels und die Abbildung $\pi$ Projektion genannt. Der Raum $B$ heißt der Basisraum des Bündels, $E$ der Totalraum und $F$ die Faser.

Der Raum $U\times F$ ist mit der Produkttopologie versehen und $\pi ^{-1}(U)$ mit der Teilraumtopologie.

Um zusätzlich die Faser des Bündels zu nennen, wird auch die Notation $F\hookrightarrow E\to B$ für ein Faserbündel verwendet. Hierbei ist die Abbildung $F\hookrightarrow E$ die Inklusion und $F$ wird mit $F_{b}=\pi ^{-1}(\{b\})$, der Faser über einem Punkt $b\in B$, identifiziert.

Jedes Faserbündel ist eine Serre-Faserung.

## Beispiele

### Triviales Bündel

Sei $E=B\times F$ und $\pi \colon E\to B$ die Projektion auf den ersten Faktor, dann ist $E$ nicht nur lokal ein Produkt, sondern auch global. Ein solches Faserbündel heißt triviales Bündel oder Produktbündel.

### Überlagerung

Ein Faserbündel mit diskreter Faser ist eine Überlagerung. Ebenso ist jede Überlagerung, deren Fasern alle die gleiche Kardinalität haben, ein Faserbündel mit diskreter Faser. Insbesondere ist eine Überlagerung über einem zusammenhängenden Basisraum ein Faserbündel.

### Möbiusband

Das Möbiusband ist ein anschauliches Beispiel für ein nichttriviales Faserbündel. Der Basisraum ist die Kreislinie $S^{1}$, die mittig des Bandes verläuft. Die Faser ist durch ein abgeschlossenes Intervall gegeben, z. B. $[-1,1].$

Der Totalraum ist gegeben durch den Quotientenraum $E=([0,1]\times [-1,1])/\sim$ mit der Äquivalenzrelation $\sim$ gegeben durch $(0,a)\sim (1,-a).$ Die Bündelprojektion $\pi \colon E\to S^{1}$ ist die von der Projektion $\operatorname {proj} \colon [0,1]\times [-1,1]\to [0,1]$ induzierten Abbildung, d. h., eine Äquivalenzklasse $[(x,y)]\in E$ wird unter der Bündelprojektion auf die Äquivalenzklasse $[x]$ abgebildet, wobei die Äquivalenzrelation auf $S^{1}$ durch $(0\sim 1)$ gegeben ist.

Das entsprechende triviale Bündel $S^{1}\times [-1,1]$ ist ein Zylinder. Möbiusband und Zylinder unterscheiden sich durch eine Verdrehung der Faser. Diese Verdrehung ist nur global sichtbar, lokal sind Möbiusband und Zylinder identisch.

### Kleinsche Flasche

Ein weiteres nichttriviales Faserbündel ist die Kleinsche Flasche. Der Basisraum und die Faser sind durch $S^{1}$ und der Totalraum durch den Quotientenraum $E=([0,1]\times [0,1])/\sim$ gegeben, wobei die Äquivalenzrelation $\sim$ durch $(0,y)\sim (1,y)$ und $(x,0)\sim (1-x,1)$ gegeben ist. Die Bündel-Projektion $\pi \colon E\to S^{1}$ bildet ein Element $[(a,b)]\in E$ auf $\pi ([(a,b)])=[b]$ mit der Äquivalenzrelation $(0\sim 1)$ auf $S^{1}$ ab.

Das entsprechende triviale Bündel $S^{1}\times S^{1}$ ist ein Torus, der lokal von der Kleinschen Flasche nicht unterscheidbar ist.

### Hopf-Bündel

Das Hopf-Bündel $S^{1}\hookrightarrow S^{3}\to S^{2}$ hat als Faser, Totalraum und Basisraum Sphären und ist eines der ersten entdeckten nicht trivialen Faserbündel. Es ist ein Spezialfall für $n=1$ des Faserbündels $S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\to \mathbb {C} P^{n}$ über dem $n$-dimensionalen komplexen projektiven Raum. Weitere Hopf-Bündel, auch verallgemeinerte Hopf-Bündel genannt, lassen sich durch Ersetzen der komplexen Zahlen durch die reellen Zahlen, die Quaternionen und die Oktonionen herleiten:

* Die Überlagerung $S^{0}\hookrightarrow S^{n}\to \mathbb {R} P^{n}$ über dem $n$-dimensionalen projektiven Raum ergibt für $n=1$ das reelle Hopf-Bündel $S^{0}\hookrightarrow S^{1}\to S^{1}$.
* Für die Quaternionen ergibt sich das Hopf-Bündel $S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4}\cong \mathbb {H} P^{1}$.
* Für die Oktionen ergibt sich das Hopf-Bündel $S^{7}\hookrightarrow S^{15}\to S^{8}$.

Weitere Faserbündel, deren Faser, Totalraum und Basisraum Sphären sind, existieren nicht. Dies ist eine Folgerung aus dem Satz von Adam, welcher das Problem von Hopf über die Anzahl der Abbildungen zwischen Sphären mit Hopf-Invariante 1 löst.

## Schnitt

Ein globaler Schnitt eines Faserbündels $(E,B,\pi ,F)$ ist eine stetige Abbildung $s\colon B\to E$, die zur Projektion $\pi$ rechtsinvers ist. Für alle $b\in B$ gilt also, dass die Verknüpfung von Projektion und Schnitt gleich der Identität ist: $(\pi \circ s)(b)=b$. Anders ausgedrückt liegt für alle $b\in B$ das Bild des Schnitts in der Faser über $b$: $s(b)\in \pi ^{-1}(\{b\})$.

Ein lokaler Schnitt eines Faserbündels ist eine stetige Abbildung $s\colon V\to E$, wobei $V\subseteq B$ eine offene Teilmenge ist und $(\pi \circ s)(b)=b$ für alle $b\in V$ gilt.

## Bündelmorphismus

Ein Bündelmorphismus (auch Bündelabbildung genannt) zwischen zwei Faserbündeln $(E_{1},B_{1},\pi _{1},F_{1})$ und $(E_{2},B_{2},\pi _{2},F_{2})$ ist eine Abbildung, die die Bündelstruktur erhält; in gewissem Sinne ist er eine Faser-erhaltende Abbildung. Genauer ist ein Bündelmorphismus durch ein Tupel $(u,f)$ von zwei Abbildungen $u\colon E_{1}\to E_{2}$ und $f\colon B_{1}\to B_{2}$ gegeben, sodass $\pi _{2}\circ u=f\circ \pi _{1}$ gilt. Die Situation wird durch das folgende kommutative Diagramm verdeutlicht:

Eine Faser über $b\in B_{1}$ wird unter $u$ auf eine Faser über $f(b)$ abgebildet; dies wird durch die Beziehung $u(\pi _{1}^{-1}(b))\subseteq \pi _{2}^{-1}(f(b))$ dargestellt.

Sind die Basisräume identisch, so ist der Bündelmorphismus durch $(u,\operatorname {id} _{B})$ gegeben und man spricht von einem $B$-Morphismus oder einem Bündelmorphismus über $B$, wobei $B=B_{1}=B_{2}$ gilt. Die Beziehung $\pi _{1}=\pi _{2}\circ u$ ist durch das folgende Diagramm gegeben:

Für alle $b\in B$ gilt die Bedingung $u(\pi _{1}^{-1}(\{b\}))\subseteq \pi _{2}^{-1}(\{b\})$, weshalb $u$ auch Faser-erhaltend genannt wird.

## Koordinatenbündel

Für jeden Basisraum eines Faserbündels existiert ein Atlas $\{(U_{i},h_{U_{i}}^{-1})|i\in I\}$ von Karten, wobei $U_{i}\subseteq B$ offene Teilmengen und $h_{U_{i}}$ lokale Trivialisierungen des Faserbündels sind. Zwei Karten $(U_{i},h_{U_{i}}^{-1})$ und $(U_{j},h_{U_{j}}^{-1})$ können mittels stetiger Kartenwechsel $\Phi _{i,j}\colon (U_{i}\cap U_{j})\to Aut(F)$ gewechselt werden. Die Kartenwechsel geben Auskunft darüber, welche Symmetrien der Fasern beim Übergang benutzt werden, weshalb sie auch Übergangsfunktionen genannt werden. Für ein Punkt $b\in U_{i}\cap U_{j}$ ist die Übergangsfunktion durch den Ausdruck $\Phi _{i,j}(b)=(pr_{F}\circ h_{U_{i}}\circ h_{U_{j}}^{-1})(b,\cdot )\colon F\to F$ gegeben. Das folgende Diagramm verdeutlicht die Situation:

In der ersten Zeile ist die erste Komponente durch die Identität und die zweite Komponente durch die Übergangsfunktion gegeben.

Eine topologische Transformationsgruppe $G$ eines topologischen Raumes $F$ relativ zu einer Abbildung $\eta \colon G\times F\to F$ ist eine topologische Gruppe $G,$ sodass:

* $\eta$ stetig ist
* $\eta (e,f)=f$ wobei $e$ die Identität von $G$ ist und
* $\eta (g_{1},g_{2},f)=\eta (g_{1},\eta (g_{2},f))$ für alle $g_{1},g_{2}\in G$ und $f\in F.$

Oft betrachtet man mehr als nur eine solche Abbildung $\eta$ und ersetzt deshalb $\eta (g,f)$ durch $g\cdot f.$

Ein Koordinatenbündel ist ein Faserbündel zusammen mit einer effektiven topologischen Transformationsgruppe $G,$ sodass die folgenden zwei Bedingungen gelten:

* Für jedes $b\in U_{i}\cap U_{j}$ und $i,j\in I$ entspricht der Homöomorphismus $(h_{U_{j}}\circ h_{U_{i}}^{-1})(b,\cdot )\colon F\to F$ der Operation eines Gruppenelements in $G$
* für jedes $i,j\in I$ ist die Abbildung $\tau _{j,i}\colon U_{i}\cap U_{j}\to G$ mit $\tau _{j,i}(b)=(h_{U_{j}}\circ h_{U_{i}}^{-1})(b,\cdot )$ stetig.

Die Abbildungen $\tau _{j,i}$ heißen Koordinaten-Übergangsfunktionen (teilweise auch nur Übergangsfunktionen genannt) und $G$ heißt die Strukturgruppe des Bündels. Die Koordinaten-Überangsfunktionen haben die folgenden drei Eigenschaften:

* $\tau _{k,j}(b)\tau _{j,i}(b)=\tau _{k,i}(b)$ für jedes $i,j,k\in I$ und jedes $b\in U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}.$
* $\tau _{i,i}(b)=id_{G}$ für jedes $b\in U_{i}.$
* $\tau _{j,k}(b)=(\tau _{k,j}(b))^{-1}$ für jedes $b\in U_{j}\cap U_{k}.$

Zwei Koordinatenbündel mit selbem Basisraum und Totalraum, gleicher Faser, Projektion und Strukturgruppe heißen äquivalent, wenn die Atlanten$\{(U_{i},h_{U_{i}})|i\in I\}$ und $\{(U_{j}^{\prime },h_{U_{j}^{\prime }}^{\prime })|j\in J\}$ für zwei Indexmengen $I$ und $J$ die folgenden zwei Bedingungen erfüllen:

* Für jedes $b\in U_{i}\cap U_{k}^{\prime }$ stimmt ${\tilde {\tau }}_{k,i}(b)=(h_{U_{k}^{\prime }}^{\prime }\circ h_{U_{i}}^{-1})(b,\cdot )$ mit der Operation eines Gruppenelements überein und
* die so definierten Koordinaten-Übergangsfunktionen ${\tilde {\tau }}_{k,i}\colon U_{i}\cap U_{k}^{\prime }\to G$ sind stetig.

Ein $G$-Faserbündel ist eine Äquivalenzklasse von Koordinatenbündeln. Häufig wird ein $G$-Faserbündel auch als maximales Koordinatenbündel definiert.

Der Bündelkonstruktionssatz liefert Bedingungen, unter welchen die Existenz eines Koordinatenbündels garantiert ist:

Für jede topologische Transformationsgruppe $G$ von einem Raum $F$ und System von Übergangsfunktionen in einem Raum $B$, das heißt eine Überdeckung $\{U_{i}|i\in I\}$ und eine Menge $\{\tau _{j,i}|i,j\in I\}$ von stetigen Abbildungen mit den drei oben genannten Eigenschaften für Koordinaten-Übergangsfunktionen, existiert ein Koordinatenbündel mit Basisraum $B,$ Faser $F,$ Strukturgruppe $G$ und Übergangsfunktionen $\tau _{j,i}.$

## Hauptfaserbündel

Ein $G$-Hauptfaserbündel ist ein Faserbündel $\pi \colon E\to B$ mit Faser $F$ und einer Strukturgruppe $G,$ die auf der Faser durch Linksmultiplikation operiert. Die Strukturgruppe operiert frei auf dem Totalraum durch Rechtsmultiplikation mit Bahnenraum $B.$

Eine offene Überdeckung $(U_{i})_{i\in I}$ von $B$ wird abzählbar genannt, falls eine lokal endliche Zerlegung der Eins existiert:

   $1=\sum _{i\in I}u_{i}$ mit $\operatorname {supp} (u_{i})\subseteq U_{i}$ für jedes $i\in I.$

Ein $G$-Hauptfaserbündel $\pi \colon E\to B$ heißt abzählbar, falls eine abzählbare Überdeckung $(U_{i})_{i\in I}$ von $B$ existiert, sodass die eingeschränkten Bündel $p_{i}=p|_{p^{-1}(U_{i})}\colon p^{-1}(U_{i})\to U_{i}$ für jedes $i\in I$ triviale Bündel sind. Ein abzählbares $G$-Hauptfaserbündel heißt universelles Bündel, falls für jeden Raum $X$ die Abbildung $\rho \colon [X,B]\to Prin_{G}(X)$ von der Menge der Homotopieklassen von Abbildungen von $X$ nach $B$ in die Menge der Isomorphieklassen von $G$-Hauptfaserbündeln eine Bijektion ist. Bei einem universellen Bündel $\pi \colon E\to B$ wird der Basisraum klassifizierender Raum von $G$ genannt.

Hauptfaserbündel spielen eine wichtige Rolle bei der Klassifikation von Bündeln. Zudem kann jedes $G$-Faserbündel mit einem Hauptfaserbündel assoziiert werden und umgekehrt jedes Hauptfaserbündel mit einem $G$-Faserbündel.

### Assoziierte Hauptfaserbündel

Für ein gegebenes $G$-Faserbündel lässt sich ein $G$-Hauptfaserbündel konstruieren. Die Existenz ist durch den Bündelkonstruktionssatz gegeben, wobei die Faser als $G$ gewählt wird und $G$ zusätzlich auf sich selbst durch Linksmultiplikation operiert. Der Basisraum und das System von Übergangsfunktionen werden identisch mit denen des $G$-Faserbündels gewählt.

### Assoziierte G-Faserbündel

Für ein gegebenes $G$-Hauptfaserbündel $\pi \colon E\to B$ und einen links $G$-Raum $F$ lässt sich ein $G$-Faserbündel konstruieren:

Auf dem Produktraum $E\times F$ ist eine rechts $G$-Raum Struktur durch $((x,b),g)=(gx,g^{-1}b)$ definiert. Das $G$-Faserbündel ist durch die Abbildung $\pi _{F}\colon (E\times F)/G\to B$ mit $\pi _{F}((x,b)G)=\pi (x)$ und der Faser $F$ gegeben.

## Vektorbündel

Ein Vektorbündel vom Rang $n$ über einem Körper $\mathbb {K}$ ist ein Faserbündel $V\to E\xrightarrow {\pi } B,$ dessen Fasern die Struktur eines $n$-dimensionalen $\mathbb {K}$-Vektorraumes haben und zusätzlich jede lokale Trivialisierung $\varphi \colon \pi ^{-1}(U)\to U\times V,$ für ein $U\subseteq B,$ einen $\mathbb {K}$-linearen Isomorphismus auf den einzelnen Fasern induziert. Das bedeutet, dass die Abbildung $\varphi$ eingeschränkt auf ein $x\in U$ ein Isomorphismus ist und somit $\pi ^{-1}(x)\cong \{x\}\times V$ gilt. Häufig betrachtet man reelle oder komplexe Vektorbündel, bei denen der Körper $\mathbb {K}$ durch die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ bzw. durch die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ gegeben sind.

Es gibt eine natürliche Bijektion zwischen den Isomorphieklassen von Vektorbündeln mit Rang $k$ von parakompakten Räumen $B$ und der Menge der Homotopieklassen von Abbildungen von $B$ in die Graßmann-Mannigfaltigkeit von $k$-dimensionalen Unterräumen in $\mathbb {R} ^{\infty }:$ $[B,G_{n}(\mathbb {R} ^{\infty })]\cong Vect^{n}(B).$

### Beispiele

* Das Tangentialbündel der $S^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n+1}$ mit Totalraum $E=\{(x,v)\in S^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}|x\perp v=0\}$ und Projektion $p\colon E\to S^{n}$ ist ein Vektorbündel mit Fasern $p^{-1}(b)\cong \mathbb {R} ^{n}$ für jedes $b\in S^{n}.$
* Das kanonische Vektorbündel $\gamma _{k}^{n}$ mit Rang $k$ der Graßmann-Mannigfaltigkeit $G_{k}(\mathbb {R} ^{n})$ ist durch den Totalraum $E=\{(V,x)\in G_{k}(\mathbb {R} ^{n})\times \mathbb {R} ^{n}|x\in V\}$ und die Projektion $\gamma _{k}^{n}\colon E\to G_{k}(\mathbb {R} ^{n})$ gegeben.

## Sphärenbündel

Ein $n$-Sphärenbündel ist ein Faserbündel $\pi \colon E\to B$ mit der $n$-Sphäre $S^{n}$ als Faser. Oft ist ein Sphärenbündel zusammen mit der orthogonalen Gruppe $O(n+1)$ als Strukturgruppe gegeben.

Ein Sphärenbündel wird orientierbar genannt, falls die Strukturgruppe durch die Drehgruppe gegeben ist.

Die Kohomologie von Sphärenbündeln kann mittels der Gysin-Sequenz berechnet werden.

## Kohomologie von Faserbündeln

Die Bestimmung der Kohomologiegruppen von Faserbündeln ist deutlich schwieriger, als die Bestimmung der Homotopiegruppen. Die Homotopiegruppen sind durch eine lange exakte Sequenz gegeben, die Kohomologiegruppen haben dagegen nur unter bestimmten Voraussetzungen eine lange exakte Sequenz.

Für ein triviales Bündel ist die Beziehung der Kohomologiegruppen durch die Künneth-Formel gegeben. Für beliebige Faserbündel werden Hilfsmittel, wie Spektralsequenzen benötigt.

Der Satz von Leray-Hirsch liefert ausreichende Bedingungen an ein Faserbündel, sodass die Struktur der Kohomologiegruppen der eines trivialen Bündels sehr ähnlich ist.

Für $(n-1)$-Sphärenbündel $p\colon E\to B,$ die zusätzlich eine Orientierbarkeitsbedingung erfüllen, existiert eine lange exakte Sequenz von Kohomologiegruppen. Die Sequenz ist unter dem Namen Gysin-Sequenz bekannt:

   $\cdots \to H^{i-n}(B;R){\xrightarrow[]{\smile e}}H^{i}(B;R){\xrightarrow[]{p^{*}}}H^{i}(E;R)\to H^{i-n+1}(B;R)\to \cdots .$

Hierbei ist $e$ eine bestimmte Eulerklasse in $H^{n}(B;R).$

### Beispiele

* Das Hopf-Bündel $S^{1}\to S^{3}\to S^{2}$ hat nicht die Kohomologiestruktur eines trivialen Bündels, da $H^{*}(S^{3})\not \approx H^{*}(S^{2})\otimes H^{*}(S^{1})$ gilt.
* Für das Faserbündel $U(n-1)\hookrightarrow U(n)\to S^{2n-1}$ gilt: $H^{*}(U(n);\mathbb {Z} )\approx \Lambda _{\mathbb {Z} }[x_{1},x_{3},\cdots ,x_{2n-1}].$
