Satz von Mordell-Weil
# Satz von Mordell-Weil

Der Satz von Mordell-Weil ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der algebraischen Geometrie. Er besagt, dass für eine abelsche Varietät $A$ über einem Zahlkörper $K$ die abelsche Gruppe $A(K)$ der $K$-rationalen Punkte endlich erzeugt ist.

Den Spezialfall, dass $A$ eine elliptische Kurve $E(K)$ und $K=\mathbb {Q}$ der Körper der rationalen Zahlen ist, nennt man Satz von Mordell nach Louis Mordell, der ihn 1922 bewies. Henri Poincaré hatte 1901 die Frage gestellt, welche Werte der Rang von $E(\mathbb {Q} )$ annehmen kann.

Die Verallgemeinerung wurde von André Weil in seiner 1928 veröffentlichten Doktorarbeit bewiesen.

## Aussage

Sei $K$ ein Zahlkörper, also eine endliche Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$ und $A$ eine abelsche Varietät, also eine algebraische Varietät, die zugleich die Struktur einer abelschen Gruppe trägt und einigen weiteren Zusatzeigenschaften. Ein Beispiel hierfür sind elliptische Kurven. Dann ist die Gruppe $A(K)$ der Punkte von $A$, die über $K$ definiert sind, endlich erzeugt.

Aus dem Satz folgt, dass die Mordell-Weil-Gruppe $A(K)=A_{tors}\oplus P_{1}\mathbb {Z} \oplus \cdot \cdot \cdot \oplus P_{r}\mathbb {Z}$ ist, wobei die Torsionsgruppe $A_{tors}$ eine endliche abelsche Gruppe (die Gruppe der Torsionspunkte) und r der Rang der Mordell-Weil-Gruppe (mit Erzeugenden $P_{1},\cdot \cdot \cdot ,P_{r}\in A(K)$) ist. Diese Struktur ergibt sich allgemein nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen.

## Beweisidee für elliptische Kurven

Um den Satz für elliptische Kurven zu zeigen, beweist man zunächst den sogenannten schwachen Satz von Mordell-Weil. Dieser besagt, dass für jede ganze Zahl $m\geq 2$ die Gruppe $E(K)/mE(K)$ endlich ist. Den Satz von Mordell-Weil erhält man hieraus mit Hilfe von Höhenfunktionen und einem Abstiegsargument.

## Weitergehende Fragen

* Nach dem Satz von Mordell-Weil hat die Gruppe der rationalen Punkte einer elliptischen Kurve endlichen Rang, die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer gibt ein Verfahren an, wie man diesen bestimmen kann.
* Allgemeiner kann man auch nach der Anzahl der rationalen Punkte einer algebraischen Kurve fragen. Nach einer inzwischen bewiesenen Vermutung von Mordell ist diese endlich für Kurven mit Geschlecht 2 oder höher (das heißt für ihren Rang gilt $r=0$).
