Dirac-Matrizen
# Dirac-Matrizen

Die Dirac-Matrizen (nach dem britischen Physiker Paul Dirac), auch Gamma-Matrizen genannt, sind vier Matrizen, die der Dirac-Algebra genügen. Sie treten in der Dirac-Gleichung auf.

## Definition

Die Dirac-Matrizen $\gamma ^{0},\,\gamma ^{1}\,,\gamma ^{2}\,$ und $\,\gamma ^{3}\,$ erfüllen definitionsgemäß die Dirac-Algebra, das heißt, die algebraischen Bedingungen

    ${\begin{aligned}\gamma ^{0}\gamma ^{0}&=I\,,&\gamma ^{1}\gamma ^{1}&=-I\,,&\gamma ^{2}\gamma ^{2}&=-I\,,&\gamma ^{3}\gamma ^{3}&=-I\,,\\\gamma ^{0}\gamma ^{1}&=-\gamma ^{1}\gamma ^{0}\,,&\gamma ^{0}\gamma ^{2}&=-\gamma ^{2}\gamma ^{0}\,,&\gamma ^{0}\gamma ^{3}&=-\gamma ^{3}\gamma ^{0}\,,&&\\\gamma ^{1}\gamma ^{2}&=-\gamma ^{2}\gamma ^{1}\,,&\gamma ^{1}\gamma ^{3}&=-\gamma ^{3}\gamma ^{1}\,,&\gamma ^{2}\gamma ^{3}&=-\gamma ^{3}\gamma ^{2}\,.&&\end{aligned}}$

mit der Einheitsmatrix $I$. Diese Bedingungen betreffen Antikommutatoren, also die Summe der Produkte zweier Matrizen in beiden Reihenfolgen,

    $\{A,B\}=A\,B+B\,A\,.$

In Indexnotation, in der $\mu$ und $\nu$ für Zahlen aus $\{0,1,2,3\}$ stehen, schreiben sich die Bedingungen an die Dirac-Matrizen zusammenfassend als

    $\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\,\eta ^{\mu \nu }I\,.$

Dabei sind $\eta ^{\mu \nu }$ die Komponenten der Minkowski-Metrik mit Signatur (1,−1,−1,−1).

### Die $γ^5-Matrix$

Zusätzlich zu den vier Gamma-Matrizen definiert man noch die Matrix

    $\gamma ^{5}=\mathrm {i} \,\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\ .$

Sie ist ihr eigenes Inverses, $\gamma ^{5}\gamma ^{5}=I\,,$ ist hermitesch, antivertauscht mit den Gamma-Matrizen, $\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }=-\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\,,$ und demnach mit jedem Produkt von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren.

## Eigenschaften

Die Gamma-Matrizen erzeugen eine Clifford-Algebra. Jede irreduzible Darstellung dieser Algebra durch Matrizen besteht aus $4\times 4$-Matrizen. Die Elemente des Vektorraumes, auf den sie wirken, heißen Spinoren. Verschiedene Darstellungen der Dirac-Algebra sind einander äquivalent, das heißt, sie unterscheiden sich nur durch die gewählte Basis. Insbesondere sind die negativen transponierten Matrizen $-\gamma ^{\mu \,{\text{T}}}$ und die hermitesch adjungierten Matrizen $\gamma ^{\mu \,\dagger }$ den Matrizen $\,\gamma ^{\mu }\,$ äquivalent, denn sie erfüllen ebenfalls die Dirac-Algebra. Es gibt daher eine Matrix $A$ und eine Matrix $C$, so dass

    $C\gamma ^{\mu }C^{-1}=-\gamma ^{\mu \,{\text{T}}}\ ,\quad A\gamma ^{\mu }A^{-1}=\gamma ^{\mu \,\dagger }\,.$

Die Matrix $A$ ist zur Konstruktion von Skalaren, Vektoren und Tensoren aus Spinoren wichtig, die Matrix $C$ tritt bei der Ladungskonjugation auf.

Jedes Produkt mehrerer Dirac-Matrizen lässt sich bis auf ein Vorzeichen als Produkt verschiedener Dirac-Matrizen in lexographischer Ordnung schreiben, denn das Produkt zweier verschiedener Gamma-Matrizen kann auf Kosten eines Vorzeichens umgeordnet werden. Zudem ist das Quadrat jeder Gamma-Matrix 1 oder −1. Die Produkte verschiedener Gamma-Matrizen bilden zusammen mit der Eins-Matrix und den negativen Matrizen eine Gruppe mit den 32 Elementen,

    $\pm 1\,,\,\pm \gamma ^{\mu }\,,\,\pm \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\,,\,\mu <\nu \,,\,\pm \gamma ^{\lambda }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\,,\,\lambda <\mu <\nu \,,\,\pm \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\,,\,{\text{wobei}}\,\lambda ,\mu ,\nu \in \{0,1,2,3\}\,.$

Da jede Darstellung einer endlichen Gruppe bei geeigneter Basiswahl unitär ist, ist auch jede Darstellung der Gamma-Matrizen bei geeigneter Wahl der Basis unitär. Zusammen mit der Dirac-Algebra heißt dies, dass $\gamma ^{0}$ hermitesch und die drei anderen $\gamma$-Matrizen antihermitesch sind,

    $\gamma ^{0\,\dagger }=\gamma ^{0}\,,\,\gamma ^{1\,\dagger }=-\gamma ^{1}\,,\,\gamma ^{2\,\dagger }=-\gamma ^{2}\,,\,\gamma ^{3\,\dagger }=-\gamma ^{3}\,.$

In unitären Darstellungen bewirkt $A=\gamma ^{0}$ die Äquivalenztransformation zu den adjungierten Matrizen

    $\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0}=\gamma ^{\mu \,\dagger }\,.$

Mithilfe der Eigenschaften von $\gamma ^{5}$ kann gezeigt werden, dass die Spur jedes Produktes von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren verschwindet.

    ${\begin{aligned}{\text{Spur}}\,{\bigl\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{2n+1}}{\bigr )}&={\text{Spur}}\,{\bigl\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{2n+1}}\gamma ^{5}\gamma ^{5}{\bigr )}=-{\text{Spur}}\,{\bigl\gamma ^{5}\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{2n+1}}\gamma ^{5}{\bigr )}\\&=-{\text{Spur}}\,{\bigl\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{2n+1}}\gamma ^{5}\gamma ^{5}{\bigr )}=-{\text{Spur}}\,{\bigl\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{2n+1}}{\bigr )}\,.\end{aligned}}$

Im vorletzten Schritt wurde dabei verwendet, dass die Spur eines Produktes sich bei zyklischer Vertauschung der Faktoren nicht ändert und demnach ${\text{Spur}}\,(\gamma ^{5}\,B)={\text{Spur}}\,(B\,\gamma ^{5})$ gilt.

Für die Spur eines Produktes von zwei Gamma-Matrizen gilt (weil die Spur zyklisch ist)

    ${\text{Spur}}\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }={\frac {1}{2}}{\text{Spur}}(\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\,\gamma ^{\mu })={\frac {2\,\eta ^{\mu \nu }}{2}}{\text{Spur 1}}=4\,\eta ^{\mu \nu }\,.$

Die Spur von vier Gamma-Matrizen reduziert man mit der Dirac-Algebra auf die Spur von zwei:

    ${\begin{array}{rcl}2\,{\text{Spur}}\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }&=&{\text{Spur}}(\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }\,\gamma ^{\kappa })\\&=&{\text{Spur}}(\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }\\&&\ \ \ \ -\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\nu }\\&&\ \ \ \ +\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }\,\gamma ^{\kappa })\\&=&2\,\eta ^{\kappa \lambda }{\text{Spur}}(\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu })-2\,\eta ^{\kappa \mu }{\text{Spur}}(\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\nu })+2\,\eta ^{\kappa \nu }{\text{Spur}}(\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu })\,.\end{array}}$

Daher gilt:

    ${\begin{array}{rcl}{\text{Spur}}\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }&=&4\,(\eta ^{\kappa \lambda }\,\eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\kappa \mu }\,\eta ^{\lambda \nu }+\eta ^{\kappa \nu }\,\eta ^{\lambda \mu })\,.\end{array}}$

Falls also verschiedene Dirac-Matrizen in einem Produkt nicht paarweise auftauchen, verschwindet die Spur des Produktes. Daraus folgt unter anderem, dass die sechzehn Matrizen, die man als Produkt von Null bis vier verschiedenen Gamma-Matrizen erhält, linear unabhängig sind.

## Dirac-Gleichung

Dirac führte die Gamma-Matrizen ein, um die Klein-Gordon-Gleichung, die eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, in eine Gleichung erster Ordnung umzuwandeln.

In natürlichen Einheiten kann die Dirac-Gleichung wie folgt geschrieben werden

    $(\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0$

wobei $\psi$ ein Dirac-Spinor ist.

Multipliziert man beide Seiten mit $-(\mathrm {i} \gamma ^{\nu }\partial _{\nu }+m)$ erhält man

    $(\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }+m^{2})\psi =(\partial ^{2}+m^{2})\psi =0,$

also gerade die Klein-Gordon-Gleichung für ein Teilchen der Masse $m$.

## Zusammenhang zu Lorentz-Transformationen

Die sechs Matrizen

    $\Sigma ^{\mu \nu }={\frac {1}{4}}{\bigl\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }{\bigr )}$

bilden die Basis einer Lie-Algebra, die der Lie-Algebra der Lorentztransformationen isomorph ist. Sie erzeugen die zu Lorentztransformationen (die stetig mit der 1 zusammenhängen) gehörigen Transformationen der Spinoren $\psi$.

### Chiralität

Aus $(\gamma ^{5})^{2}=1$ und ${\text{Spur}}\,\gamma ^{5}=0$ folgt, dass die Matrizen

    $P_{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\,,\quad P_{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}$

Projektoren sind,

    $(P_{L})^{2}=P_{L}\,,\,(P_{R})^{2}=P_{R}\,,$

die auf zueinander komplementäre, zweidimensionale Unterräume projizieren,

    $P_{L}\,P_{R}=0\,,\ {\text{Spur}}\,P_{L}={\text{Spur}}\,P_{R}=2\,,\quad P_{L}+P_{R}=1\,.$

Diese Unterräume unterscheiden Teilchen verschiedener Chiralität.

Weil $\gamma ^{5}$ mit den Erzeugenden von Spinortransformationen vertauscht,

    $\gamma ^{5}\Sigma ^{\mu \nu }=\Sigma ^{\mu \nu }\gamma ^{5}\,,$

sind die Unterräume, auf die $P_{L}$ und $P_{R}$ projizieren, invariant unter den von $\Sigma ^{\mu \nu }$ erzeugten Lorentztransformationen, mit anderen Worten: Die links- und rechtshändigen Anteile, $\psi _{L}=P_{L}\psi$ und $\psi _{R}=P_{R}\psi$, eines Spinors $\psi$ transformieren getrennt voneinander.

Da $P_{L}$ und $P_{R}$ hermitesch sind, weil $\gamma ^{5}$ hermitesch ist, gilt für

    ${\bar {\psi }}_{L}=(P_{L}\,\psi )^{\dagger }\gamma ^{0}=\psi ^{\dagger }P_{L}^{\dagger }\gamma ^{0}=\psi ^{\dagger }P_{L}\gamma ^{0}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}P_{R}={\bar {\psi }}\,P_{R}$,

wobei ${\bar {\psi }}$ allgemein definiert wird als ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$. Die Änderung $P_{L}\rightarrow P_{R}$ ergibt sich aus der Vertauschung von $\gamma ^{5}$ mit $\gamma ^{0}$. Da $\gamma ^{5}$ mit $\gamma ^{0}$ antikommutiert, ändert sich das Vorzeichen vor $\gamma ^{5}$ im Projektionsoperator $P_{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\rightarrow P_{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}$. Ganz analog erhält man für ${\bar {\psi }}_{R}={\bar {\psi }}\,P_{L}$.

### Parität

Wegen $\gamma ^{0}\gamma ^{5}\gamma ^{0}=-\gamma ^{5}$ ändert ein Term, der $\gamma ^{5}$ enthält, unter der Paritätstransformation sein Vorzeichen, es macht also aus Skalaren Pseudoskalare und aus Vektoren Pseudovektoren.

Allgemein folgen Größen, die man aus ${\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }A=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$, Gamma-Matrizen und einem eventuell von $\psi$ verschiedenen Spinor $\chi$ zusammensetzt, einem Transformationsgesetz, das am Indexbild ablesbar ist. Es transformieren

* ${\overline {\psi }}\chi$ wie ein Skalar,
* ${\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\chi$ wie die Komponenten eines Vierervektors,
* ${\overline {\psi }}\Sigma ^{\mu \nu }\chi$ wie die Komponenten eines Bivektors bzw. antisymmetrischen Tensors,
* ${\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\chi$ wie die Komponenten eines Vierer-Pseudovektors,
* ${\overline {\psi }}\gamma ^{5}\chi$ wie ein Pseudoskalar.

## Feynman-Slash-Notation

Richard Feynman erfand die nach ihm benannte Slash-Notation (auch Feynman-Dolch oder Feynman-Dagger). In dieser Notation wird das Skalarprodukt eines Lorentzvektors mit dem Vektor der Gamma-Matrizen $\textstyle \sum _{\mu =0}^{3}\,\gamma ^{\mu }A_{\mu }$ abgekürzt geschrieben als

    $A\!\!\!/\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{\mu =0}^{3}\gamma ^{\mu }A_{\mu }$.

Dadurch kann z. B. die Dirac-Gleichung sehr übersichtlich geschrieben werden als

    ${\Bigl\mathrm {i} \partial \!\!\!/\ -{\frac {mc}{\hbar }}{\Bigr )}\,\psi (x)=0\ ,$

oder in natürlichen Einheiten

    ${\Bigl\mathrm {i} \partial \!\!\!/\ -m{\Bigr )}\,\psi (x)=0\ .$

## Dirac-Darstellung

In einer geeigneten Basis haben die Gamma-Matrizen die auf Dirac zurückgehende Form (verschwindende Matrixelemente nicht ausgeschrieben)

    ${\begin{array}{c c}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}1&&&\\&1&&\\&&-1&\\&&&-1\end{pmatrix}}\,,&\gamma ^{1}={\begin{pmatrix}&&&1\\&&1&\\&-1&&\\-1&&&\end{pmatrix}}\,,\\\,&\,\\\gamma ^{2}={\begin{pmatrix}&&&-\mathrm {i} \\&&\mathrm {i} &\\&\mathrm {i} &&\\-\mathrm {i} &&&\end{pmatrix}}\,,&\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}&&1&\\&&&-1\\-1&&&\\&1&&\end{pmatrix}}\,.\end{array}}$

Diese Matrizen lassen sich kompakter mit Hilfe der Pauli-Matrizen schreiben (jeder Eintrag steht hier für eine $2\times 2$-Matrix):

    $\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}1&\\&-1\end{pmatrix}}\,,\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&\end{pmatrix}}\,,\;i\in \{1,2,3\}\,,\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}&1\\1&\end{pmatrix}}\,.$

Die Diracmatrizen lassen sich mit Hilfe des Kronecker-Produktes auch folgendermaßen generieren:

    $\gamma ^{0}=\sigma ^{3}\otimes 1,\quad \gamma ^{i}=\mathrm {i} \sigma ^{2}\otimes \sigma ^{i},\;i\in \{1,2,3\},\quad \gamma ^{5}=\sigma ^{1}\otimes 1\,.$

## Weyl-Darstellung

Die nach Hermann Weyl benannte Weyl-Darstellung heißt auch chirale Darstellung. In ihr ist $\gamma ^{5}$ diagonal,

    $\gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-1&\\&1\end{pmatrix}}\,,\quad P_{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}={\begin{pmatrix}1&\\&0\end{pmatrix}}\,,\quad P_{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}={\begin{pmatrix}0&\\&1\end{pmatrix}}\,.$

Im Vergleich zur Dirac-Darstellung werden $\gamma ^{0}$ und $\gamma ^{5}$ verändert, die räumlichen $\gamma$-Matrizen bleiben unverändert:

    $\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}&1\\1&\end{pmatrix}}\,,\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&\end{pmatrix}}\,,\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-1&\\&1\end{pmatrix}}.$

Die Weyldarstellung ergibt sich durch einen unitären Basiswechsel aus der Dirac-Darstellung,

    $\gamma _{\text{Weyl}}^{\mu }=U\,\gamma _{\text{Dirac}}^{\mu }U^{-1}{\text{ mit }}U={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}},\ U^{-1}=U^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}\,.$

Spinortransformationen transformieren in der Weyl-Basis die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten des Dirac-Spinors getrennt.

Die chirale Darstellung ist von besonderer Bedeutung in der Weyl-Gleichung, der masselosen Dirac-Gleichung.

## Majorana-Darstellung

In der Majorana-Darstellung sind alle Gamma-Matrizen imaginär. Dann ist die Dirac-Gleichung ein reelles Differentialgleichungssystem,

    ${\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}&-\sigma ^{2}\\-\sigma ^{2}&\end{pmatrix}}\,,&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}&\mathrm {i} \sigma ^{3}\\\mathrm {i} \sigma ^{3}&\end{pmatrix}}\,,&\\&\,&&\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &\\&-\mathrm {i} \end{pmatrix}}\,,&\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}&-\mathrm {i} \sigma ^{1}\\-\mathrm {i} \sigma ^{1}&\end{pmatrix}}\,,&\gamma ^{5}&={\begin{pmatrix}&\mathrm {i} \\-\mathrm {i} &\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}$
