{"problem": "已知非负整数数列 $\\{a_n\\}$ 满足 $a_1 = 2016$, $a_{n+1} \\le \\sqrt{a_n}$, 且若项数不少于 2, 则其中任意两项均不相等. 求这样的数列 $\\{a_n\\}$ 的个数.", "answer": "948", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-0-ZH"}
{"problem": "已知 $AB$ 是半径为 $2$ 的 $\\odot C$ 的一条直径, $\\odot D$ 与 $\\odot C$ 内切于点 $A$, $\\odot E$ 与 $\\odot C$ 内切, 与 $\\odot D$ 外切, 且与 $AB$ 切于点 $F$. 若 $\\odot D$ 的半径是 $\\odot E$ 半径的 $3$ 倍, 求 $\\odot D$ 的半径.", "answer": "4\\sqrt{15}-14", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-1-ZH"}
{"problem": "计算 $\\sqrt{9+8\\cos 20^{\\circ }}-\\sec 20^{\\circ }$ 的值.", "answer": "3", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-2-ZH"}
{"problem": "一个球外接于四面体 $ABCD$, 另一个半径为 $1$ 的球与平面 $ABC$ 相切, 且两球内切于点 $D$. 若 $AD=3$, $\\cos \\angle BAC=\\frac{4}{5}$, $\\cos \\angle BAD=\\cos \\angle CAD=\\frac{1}{\\sqrt{2}}$, 求四面体 $ABCD$ 的体积.", "answer": "\\frac{18}{5}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-3-ZH"}
{"problem": "求当 $x \\in [1, 2017]$ 时, $f(x) = \\sum_{i=1}^{2017} i|x-i|$ 的最小值.", "answer": "801730806", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-4-ZH"}
{"problem": "已知三内角成等差数列的三角形的最长, 最短两边之差为第三边上的高的 4 倍, 求最大内角比最小内角大多少. (用反三角函数表示)", "answer": "\\pi -\\arccos \\frac{1}{8}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-5-ZH"}
{"problem": "二次曲线 $(3x+4y-13)(7x-24y+3)=200$ 的焦点之间的距离为多少?", "answer": "2\\sqrt{10}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-6-ZH"}
{"problem": "在正方体中, 任两个顶点确定一条直线, 求这些直线中垂直且异面的直线共有多少对.", "answer": "78", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-7-ZH"}
{"problem": "求函数 $f(x)=\\frac{(x-x^3)(1-6x^2+x^4)}{(1+x^2)^4}$ 的值域.", "answer": "\\left[ -\\frac{1}{8}, \\frac{1}{8} \\right]", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-8-ZH"}
{"problem": "设正整数集合 $A = \\{a_1, a_2, \\dots, a_{1000}\\}$, 其中 $a_1 < a_2 < \\dots < a_{1000} \\le 2017$. 若对于任意的 $1 \\le i, j \\le 1000$, $i+j \\in A$ 均有 $a_i + a_j \\in A$, 求满足条件的集合 $A$ 的个数.", "answer": "2^{17}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-9-ZH"}
{"problem": "已知 $x, y \\in \\mathbf{R}$, 对于任意的 $n \\in \\mathbf{Z}_{+}$, $nx+\\frac{1}{n}y\\geq 1$. 求 $41x+2y$ 的最小值.", "answer": "9", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-10-ZH"}
{"problem": "设 $T$ 是由 $2020^{100}$ 的所有正约数组成的集合, 集合 $S$ 满足：（1）$S$ 为 $T$ 的子集；（2）$S$ 中任何一个元素均不为 $S$ 中另一个元素的倍数. 求 $S$ 中元素个数的最大值.", "answer": "10201", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-EASY-11-ZH"}
{"problem": "求平面上的简单 300 边形（不自交）的所有内角中直角个数的最大值.", "answer": "201", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-12-ZH"}
{"problem": "设 $x$, $y$, $z$ 为复数, 且满足 $x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx$, $|x+y+z| = 21$, $|x-y| = 2\\sqrt{3}$, $|x| = 3\\sqrt{3}$. 求 $|y|^2 + |z|^2$ 的值.", "answer": "132", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-13-ZH"}
{"problem": "设一个“操作”为将已知的正整数 $n$ 随机换为一个比其小的非负整数（每个数概率相同）, 求将 $2019$ 进行若干次操作得到 $0$, 操作过程中 $10$,  $100$,  $1000$ 均出现的概率.", "answer": "\\frac{1}{1112111}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-14-ZH"}
{"problem": "将平面直角坐标系中点集 $\\{(m, n) | m, n \\in \\mathbf{Z}_{+}, 1 \\leqslant m, n \\leqslant 6\\}$ 中的点染成红色或蓝色. 求每个单位正方形恰有两个红色顶点的不同染色方案数.", "answer": "126", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-15-ZH"}
{"problem": "已知 $\\odot O$ 的方程为 $x^2 + y^2 = 4$, $\\odot M$ 的方程为 $(x - 5\\cos\\theta)^2 + (y - 5\\sin\\theta)^2 = 1 (\\theta \\in \\mathbf{R})$. 过 $\\odot M$ 上任意一点 $P$ 作 $\\odot O$ 的两条切线 $PE$, $PF$, 切点分别为 $E$, $F$. 求 $\\overrightarrow{PE} \\cdot \\overrightarrow{PF}$ 的最小值.", "answer": "6", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-16-ZH"}
{"problem": "已知整数数列 $\\{a_{i,j}\\}$（$i, j \\in \\mathbf{N}$）, 其中, $a_{1,n} = n^n$（$n \\in \\mathbf{Z}_{+}$）, $a_{i,j} = a_{i-1,j} + a_{i-1,j+1}$（$i, j \\geqslant 1$）. 求 $a_{128,1}$ 所取值的个位数字.", "answer": "4", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-17-ZH"}
{"problem": "平面上有 $100$ 个不同的点和 $n$ 条不同的直线 $l_1, l_2, \\dots, l_n$, 记直线 $l_k$ 经过的点数为 $a_k$. 若 $a_1 + a_2 + \\dots + a_n = 250$, 求 $n$ 的最小可能值.", "answer": "21", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-18-ZH"}
{"problem": "设 $k = -\\frac{1}{2} + \\frac{\\sqrt{3}}{2}i$, 复平面上 $\\triangle ABC$ 的顶点对应的复数 $z_1$, $z_2$, $z_3$ 满足 $z_1 + kz_2 + k^2(2z_3 - z_1) = 0$. 求该三角形的最小内角的弧度数.", "answer": "\\frac{\\pi}{6}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-19-ZH"}
{"problem": "设 $40$ 人匿名投票, 每人一张选票, 可投选三位候选人中的一人或两人, 无废票, 求不同的开票结果数.", "answer": "45961", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-20-ZH"}
{"problem": "在 $n \\times n$ 的正方形网格中, 共有 $(n+1)^2$ 个交点, 以这些交点为顶点的正方形（可以倾斜）个数记为 $a_n$. 已知当 $n=2$ 时, $a_2 = 6$, 当 $n=3$ 时, $a_3 = 20$. 求 $a_26$ 的值.", "answer": "44226", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-21-ZH"}
{"problem": "椭圆 $\\frac{x^{2}}{8}+\\frac{y^{2}}{4}=1$, 过点 $F(2,0)$ 的直线与椭圆交于 $A$, $B$ 两点, 点 $C$ 在直线 $x=4$ 上. 若 $\\triangle ABC$ 为正三角形, 求 $\\triangle ABC$ 的面积.", "answer": "\\frac{72\\sqrt{3}}{25}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-22-ZH"}
{"problem": "有序正整数组 $(a_1, a_2, \\dots, a_{23})$ 满足: (1) $a_1 < a_2 < \\dots < a_{23} = 50$; (2) 数组中任意三个数可组成三角形的三边. 求满足条件的数组个数.", "answer": "2576", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-23-ZH"}
{"problem": "已知一元三次方程 $x^{3}-x^{2}-5x-1=0$ 的三个不同的根为 $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$. 求 $\\left({x}_{1}^{2}-4x_{1}x_{2}+{x}_{2}^{2}\\right)\\left({x}_{2}^{2}-4x_{2}x_{3}+{x}_{3}^{2}\\right)\\left({x}_{3}^{2}-4x_{3}x_{1}+{x}_{1}^{2}\\right)$ 的值.", "answer": "444", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-24-ZH"}
{"problem": "设锐角 $\\triangle ABC$ 内角对边长分别为 $a$, $b$, $c$. 若 $2a^{2}=2b^{2}+c^{2}$, 求 $\\tan A+\\tan B+\\tan C$ 的最小值.", "answer": "6", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-25-ZH"}
{"problem": "在四面体 $ABCD$ 中, $DA=DB=DC=1$, 且 $DA$, $DB$, $DC$ 两两垂直. 求在该四面体表面上与点 $A$ 距离为 $\\frac{2\\sqrt{3}}{3}$ 的点形成的曲线的长度.", "answer": "\\frac{\\sqrt{3}\\pi}{2}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-26-ZH"}
{"problem": "考虑集合 $\\{1, 2, \\cdots, 81\\}$ 的所有三元子集 $\\{a, b, c\\}$, 其中 $a < b < c$, 称 $b$ 为中间元素. 求所有的中间元素之和 $S$.", "answer": "3498120", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-27-ZH"}
{"problem": "在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, $M$, $N$ 分别为棱 $C_{1}D_{1}$, $B_{1}C_{1}$ 的中点. 求平面 $AMN$ 截此正方体所得截面的面积.", "answer": "\\frac{7\\sqrt{17}}{24}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-28-ZH"}
{"problem": "在平面直角坐标系 $xOy$ 中, $F$ 为抛物线 $\\Gamma: y^2 = 2px(p>0)$ 的焦点. 点 $B$ 在 $x$ 轴上, 且在点 $F$ 的右侧. 点 $A$ 在 $\\Gamma$ 上, 且 $|AF|=|BF|$. 直线 $AF$, $AB$ 与 $\\Gamma$ 的第二个交点分别为 $M$, $N$. 若 $\\angle AMN=90^\\circ$, 求直线 $AF$ 的斜率.", "answer": "\\sqrt{3}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-29-ZH"}
{"problem": "已知函数 $f\\colon \\mathbf{R}\\rightarrow \\mathbf{R}$ 满足对于任意的 $x$, $y\\in \\mathbf{R}$, 均有 $f(x^2)+f(y^2)=f^2(x+y)-2xy$. 设 $S={\\sum}_{n=-2020}^{2020}f(n)$. 求 $S$ 共有多少种可能取值.", "answer": "2041211", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-30-ZH"}
{"problem": "已知正三棱锥的侧棱长为 1, 侧面与底面所成二面角的大小为 $45^{\\circ}$. 求该正三棱锥的外接球的体积.", "answer": "\\frac{5\\sqrt{5}\\pi}{6}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-31-ZH"}
{"problem": "已知 $x_i \\in \\mathbf{R} (1 \\leqslant i \\leqslant 2020)$, 且 $x_{1010} = 1$. 求 ${\\sum}_{i,j=1}^{2020} \\min\\{i,j\\}x_i x_j$ 的最小值.", "answer": "\\frac{1}{2}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-32-ZH"}
{"problem": "数字钟分别用两个数字显示小时, 分, 秒（如 10:09:18）, 在同一天的 05:00:00-22:59:59 之间, 求钟面上的六个数字全不相同的概率.", "answer": "\\frac{16}{135}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-33-ZH"}
{"problem": "已知集合 $M = \\{1, 2, \\dots, 2020\\}$. 现将 $M$ 中的每个数染为红, 黄, 蓝三色之一, 且每种颜色均存在. 设 $S_1 = \\{(x, y, z) \\in M^3 \\mid x, y, z \\text{ 同色}, 2020 \\mid (x+y+z)\\}$, $S_2 = \\{(x, y, z) \\in M^3 \\mid x, y, z \\text{ 两两异色}, 2020 \\mid (x+y+z)\\}$. 求 $2|S_1| - |S_2|$ 的最小值.", "answer": "2", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-34-ZH"}
{"problem": "设 $O$ 为 $\\triangle ABC$ 的内心, $AB=3$, $AC=4$, $BC=5$, $\\overrightarrow{OP}=x\\overrightarrow{OA}+y\\overrightarrow{OB}+z\\overrightarrow{OC}$, $0 \\leqslant x, y, z \\leqslant 1$. 求动点 $P$ 的轨迹所覆盖的平面区域的面积.", "answer": "12", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-35-ZH"}
{"problem": "设$\\{a, b, c, d\\}$ 是 $\\{1, 2, \\cdots, 17\\}$ 的子集. 若 $17|(a - b + c - d)$, 则称 $\\{a, b, c, d\\}$ 为 ``好子集''. 求好子集的个数.", "answer": "476", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-36-ZH"}
{"problem": "在四棱锥 $P-ABCD$ 中, $\\overrightarrow{DC}=3\\overrightarrow{AB}$, 过直线 $AB$ 的平面将四棱锥截成体积相等的两个部分, 设该平面与棱 $PC$ 交于点 $E$. 求 $\\frac{PE}{PC}$ 的值.", "answer": "\\frac{2}{3}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-37-ZH"}
{"problem": "在正方体 $ABCD-EFGH$ 中, $M$ 为棱 $GH$ 的中点, 平面 $AFM$ 将正方体分割成体积分别为 $V_1$, $V_2$ ($V_1 \\leqslant V_2$) 的两部分, 求 $\\frac{V_1}{V_2}$ 的值.", "answer": "\\frac{7}{17}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-38-ZH"}
{"problem": "已知集合 $S$ 包含所有介于 1 至 $2^{40}$ 的整数, 它们的二进制表示中恰有两个 1, 其余为 0. 求从 $S$ 中随机取出一个数, 其可被 9 整除的概率.", "answer": "\\frac{133}{780}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-39-ZH"}
{"problem": "已知椭圆 $\\frac{x^2}{4} + \\frac{y^2}{3} = 1$, $F_1$, $F_2$ 为其左, 右焦点, 动直线 $l$ 为此椭圆的切线, 右焦点 $F_2$ 关于直线 $l$ 的对称点为 $P(m, n)$, $S = |3m + 4n - 24|$. 求 $S$ 的取值范围.", "answer": "[7, 47]", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-40-ZH"}
{"problem": "在正三棱锥 $P-ABC$ 中, $AP = 3$, $AB = 4$, $D$ 是直线 $BC$ 上一点, 且面 $APD$ 与直线 $BC$ 的夹角大小为 $45^\\circ$. 求线段 $PD$ 的长度.", "answer": "\\frac{\\sqrt{89}}{3}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-41-ZH"}
{"problem": "在平面直角坐标系内取定四个点, $A(0,0)$, $B(2,0)$, $C(4,2)$, $D(4,4)$. 有两只蚂蚁分别从点 $A$ 爬到点 $D$ 和从点 $B$ 爬到点 $C$, 爬行方向为坐标轴正方向, 且只能在整点处改变方向. 求满足两只蚂蚁不相遇的路径数.", "answer": "195", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-42-ZH"}
{"problem": "令 $h_n$ 表示具有 $n+2$ 条边的凸边形区域被其对角线所分成的区域数. 假设没有三条对角线共点, 定义 $h_0 = 0$. 求 $h_{26}$ 的值.", "answer": "20826", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-43-ZH"}
{"problem": "过点 $P(2,1)$ 的直线 $l$ 分别与 $x$ 轴正半轴,  $y$ 轴正半轴交于 $A$,  $B$ 两点, $O$ 为坐标原点. 求当 $\\triangle AOB$ 的周长最小时直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距.", "answer": "\\frac{5}{2}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-44-ZH"}
{"problem": "定义在集合 $\\{x\\in \\mathbb{Z}_{+} | 1\\leqslant x\\leqslant 12\\}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $|f(x+1)-f(x)|=1$（$x=1, 2, \\dots, 11$）, 且 $f(1)$, $f(6)$, $f(12)$ 成等比数列. 若 $f(1)=1$, 求满足条件的不同函数 $f(x)$ 的个数.", "answer": "355", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-45-ZH"}
{"problem": "盒子里有红, 黄, 蓝三种颜色的小球, 其中红球有 $12$ 个, 黄球有 $18$ 个, 蓝球有 $30$ 个. 每次从盒子中取出一个球, 直至取完. 求红球最先被取完的概率.", "answer": "\\frac{18}{35}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-46-ZH"}
{"problem": "求关于 $x$ 的方程 $x^8 - 14x^4 - 8x^3 - x^2 + 1 = 0$ 的所有两两不同的实数根的平方和.", "answer": "8", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-47-ZH"}
{"problem": "设 $z^7 = -1$ 的七个两两不同的复数根为 $z_1, z_2, \\dots, z_7$, 求 $\\sum_{j=1}^7 \\frac{1}{|1 - z_j|^2}$ 的值.", "answer": "\\frac{49}{4}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-48-ZH"}
{"problem": "已知双曲线 $\\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a> 0$, $b> 0$）的左, 右焦点分别为 $F_{1}$, $F_{2}$, 过 $F_{2}$ 的直线交右支于 $A$, $B$ 两点. 若 $\\left| AF_{2}\\right| =3\\left| F_{2}B\\right| $, $\\left| AF_{1}\\right| =\\left| AB\\right| $, 求该双曲线的离心率.", "answer": "2", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-49-ZH"}
{"problem": "设 $a$, $b$, $c$ 是正实数, 求 $\\frac{(a+b+c)(a^2+3b^2+15c^2)}{abc}$ 的最小值.", "answer": "36", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-50-ZH"}
{"problem": "一个飞盘玩具是指一个圆盘被 $20$ 条从圆心出发的射线等分为 $20$ 个扇形, 每个扇形被染为红色或蓝色（只有正面染色）, 且相对的两个扇形都不同色. 若旋转后相同的飞盘玩具视为同一种, 求不同的飞盘玩具共有多少种.（用具体数字作答）", "answer": "52", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-51-ZH"}
{"problem": "平面上给出十个点, 任何三点都不共线, 作四条线段, 每条线段联结平面上的两个点. 这些线段是任选的, 且这些线段都有相同的被选的可能性. 求这些线段中的某三条线段构成以给定十个点中三点为顶点的三角形的概率.", "answer": "\\frac{16}{473}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-52-ZH"}
{"problem": "求最小的正实数 $c$, 使得对任意正整数 $n(n \\geqslant 2)$ 及正实数 $a_1 \\leqslant a_2 \\leqslant \\cdots \\leqslant a_n$, 都有 $\\sum_{k=2}^{n}\\frac{a_{k}-2\\sqrt{a_{k-1}(a_{k}-a_{k-1})}}{c^{k}}\\geqslant \\frac{a_{n}}{nc^{n}}-\\frac{a_{1}}{c}$.", "answer": "2", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-53-ZH"}
{"problem": "从 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ 中选出 $7$ 个不同的数排成一个数列 $a_1, a_2, \\cdots, a_7$, 使得其任意相邻 $4$ 项之和是 $3$ 的倍数, 求这样的数列的个数.", "answer": "3024", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-EASY-54-ZH"}
{"problem": "对于正整数 $n$, 将其各位数字之和记为 $s(n)$, 各位数字之积记为 $p(n)$, 若成立 $s(n)+p(n)=n$, 就称 $n$ 为巧合数. 求所有巧合数的和.", "answer": "531", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-EASY-55-ZH"}
{"problem": "九个连续正整数从小到大排成一个数列 $a_1<\\cdots<a_9$. 若 $a_1+a_3+a_5+a_7+a_9$ 为一个平方数, $a_2+a_4+a_6+a_8$ 为一个立方数, 求这九个正整数之和的最小值.", "answer": "18000", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-EASY-56-ZH"}
{"problem": "如果 $n$ 的二进制表示中 $1$ 的个数多于 $0$ 的个数, 则称正整数 $n$ 为好数. 求不超过 $2017$ 的好数的个数.", "answer": "1169", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-EASY-57-ZH"}
{"problem": "将 $1, 2, \\cdots, 8$ 的每一个全排列看做一个八位数, 求其中是 $11$ 的倍数的八位数的个数.", "answer": "4608", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-EASY-58-ZH"}
{"problem": "求满足 $133^5 + 110^5 + 84^5 + 27^5 = n^5$ 的整数 $n$ 的值.", "answer": "144", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-EASY-59-ZH"}
{"problem": "在 $1, 2, \\cdots, 2018$ 中任取一组数, 使得其中任意两数之和不能被其差整除. 求最多能取的数的个数.", "answer": "673", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-EASY-60-ZH"}
{"problem": "求正整数中, 由 $0, 1, 2$ 组成, 每个数字至少出现 $1$ 次的 $2012$ 位偶数的个数.", "answer": "4\\times 3^{2010}-5\\times 2^{2010}+1", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-EASY-61-ZH"}
{"problem": "对正整数 $n$, 用 $\\varphi(n)$ 表示不超过 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数的个数. $f(n)$ 表示大于 $n$ 且与 $n$ 不互质的最小正整数. 若 $f(n) = m$ 且 $\\varphi(m) = n$, 则称 $(m, n)$ 为幸运数对. 考虑所有的幸运数对组成的集合 $S$, 求 $\\sum_{(m, n)\\in S} (m + n)$ 的值.", "answer": "6", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-EASY-62-ZH"}
{"problem": "若正整数 $a$ 满足: 存在素数 $p$, 使得 $a^2+p$ 也为平方数, 则称 $a$ 为好数. 求在集合 $M=\\{1, 2, \\cdots, 100\\}$ 中好数的个数.", "answer": "45", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-EASY-63-ZH"}
{"problem": "已知集合 $A = \\{1, 2, \\cdots, 2019\\}$, 映射 $f: A \\rightarrow A$ 满足对于任意的 $k \\in A$, 均有 $f(k) \\leqslant k$, 且像恰有 $2018$ 个不同的值. 求满足条件的映射 $f$ 共有多少个.", "answer": "2^{2019} - 2020", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-64-ZH"}
{"problem": "已知数列 $\\{a_n\\}$ 满足 $a_{n+1} + (-1)^n a_n = 2n - 1$, 且数列 $\\{a_n - n\\}$ 的前 $2019$ 项之和为 $2019$, 求 $a_{2020}$ 的值.", "answer": "1", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-65-ZH"}
{"problem": "已知集合为 $\\{1, 2, \\cdots, 30\\}$ 的三元子集, 若其三个元素的乘积为 $8$ 的倍数, 则称其为``有趣的''. 求 $\\{1, 2, \\cdots, 30\\}$ 有多少个有趣的集合.", "answer": "1925", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-66-ZH"}
{"problem": "已知棱长为 $1$ 的正四面体 $ABCD$, $M$ 为 $AC$ 的中点, $P$ 在线段 $DM$ 上. 求 $AP+BP$ 的最小值.", "answer": "\\sqrt{1+\\frac{\\sqrt{6}}{3}}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-67-ZH"}
{"problem": "记 $(a_1, a_2, \\cdots, a_{2022})$ 为整数 $1, 2, \\ldots, 2022$ 的一个顺时针方向的圆排列. 若 $\\sum_{i=1}^{2022} |a_i - a_{i+1}| = 4042$ ($a_{2023} = a_1$), 求满足条件的圆排列有多少个.", "answer": "2^{2020}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-68-ZH"}
{"problem": "已知双曲线 $\\Gamma: \\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} = 1$, $F$ 为其左焦点. 直线 $y = kx$ 分别与 $\\Gamma$ 的左、右两支的交点为 $A$、$B$, 且满足 $FA \\perp AB$, $\\angle ABF = \\angle AFO$ ($O$ 为原点). 求 $\\Gamma$ 的离心率.", "answer": "\\frac{3\\sqrt{2}+\\sqrt{6}}{2}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-69-ZH"}
{"problem": "已知空间一点 $P$ 到正四面体 $ABCD$ 的顶点 $A$, $B$ 的距离分别为 $2$, $3$. 求当正四面体的棱长位置变化时, 点 $P$ 到 $CD$ 所在直线的最大距离.", "answer": "\\frac{5\\sqrt{3}}{2}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-70-ZH"}
{"problem": "已知等边三角形的两个顶点在抛物线 $y^2 = 4x$ 上, 第三个顶点在抛物线的准线上, 且三角形的中心到该准线的距离等于周长的 $\\frac{1}{9}$. 求三角形的面积.", "answer": "36\\sqrt{3}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-71-ZH"}
{"problem": "已知椭圆 $\\frac{x^{2}}{9}+\\frac{y^{2}}{5}=1$ 的右焦点为 $F$, $P$ 为椭圆上一点, 点 $A\\left(0,2\\sqrt{3}\\right)$. 求 $\\triangle APF$ 的周长最大时, $\\triangle APF$ 的面积.", "answer": "\\frac{21\\sqrt{3}}{4}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-72-ZH"}
{"problem": "设复数 $z_{1}=-\\sqrt{3}-\\mathrm{i}$, $z_{2}=3+\\sqrt{3}\\mathrm{i}$, $z=\\left(2+\\cos \\theta \\right)+\\mathrm{i}\\sin \\theta$. 求 $\\left| z-z_{1}\\right| +\\left| z-z_{2}\\right| $ 的最小值.", "answer": "2+2\\sqrt{3}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-73-ZH"}
{"problem": "设 $A = \\{1, 2, \\cdots, 6\\}$, 函数 $f: A \\rightarrow A$. 记 $p(f) = f(1) \\cdots f(6)$. 求使得 $p(f) | 36$ 的函数共有多少个.", "answer": "580", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-74-ZH"}
{"problem": "已知抛物线 $C: y^2 = 4x$ 的焦点 $F$, $F$ 关于原点的对称点是 $M$, $\\odot M$ 是半径为 $1$ 的圆. 直线 $l$ 经过 $\\odot M$ 上一点 $A$ (异于原点), 且与抛物线 $C$ 切于点 $T$. 求 $\\frac{|FA|}{|FT|}$ 的最大值.", "answer": "\\frac{1 + \\sqrt{5}}{2}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-75-ZH"}
{"problem": "设 $x_{i} \\geq 0 (i = 1, 2, \\cdots, 6)$, 且满足 $\\begin{cases} x_{1} + x_{2} + \\cdots + x_{6} = 1, \\\\ x_{1} x_{3} x_{5} + x_{2} x_{4} x_{6} \\geq \\frac{1}{540} \\end{cases}$. 求 $x_{1} x_{2} x_{3} + x_{2} x_{3} x_{4} + x_{3} x_{4} x_{5} + x_{4} x_{5} x_{6} + x_{5} x_{6} x_{1} + x_{6} x_{1} x_{2}$ 的最大值.", "answer": "\\frac{19}{540}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-76-ZH"}
{"problem": "已知实数 $a_1, a_2, \\cdots, a_{224}$ 满足对任意 $i = 1, 2, \\cdots, 224$, 均有 $i \\leqslant a_i \\leqslant 2i$. 求 $\\frac{(\\sum_{i=1}^{224} i a_i)^2}{\\sum_{i=1}^{224} a_i^2}$ 的最小值.", "answer": "\\frac{10057600}{3}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-77-ZH"}
{"problem": "将一个 $5 \\times 5$ 方格表中每个格染五种颜色之一, 使得每种颜色的格的个数相同. 若相邻两格的颜色不同, 则称它们的公共边为``分割边''. 求分割边条数的最小值.", "answer": "16", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-78-ZH"}
{"problem": "从正 $17$ 边形的顶点中随机取出 $3$ 点, 求所取点形成锐角三角形的概率.", "answer": "\\frac{3}{10}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-79-ZH"}
{"problem": "已知函数 $f(x) = 10x^2 + mx + n$ ($m, n \\in \\mathbf{Z}$) 在区间 $(1, 3)$ 上有两个不同的实数根. 求 $f(1)f(3)$ 的最大可能值.", "answer": "99", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-80-ZH"}
{"problem": "在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 圆心在坐标原点 $C$、半径为 $1$ 的圆的切线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $N$、与 $y$ 轴交于点 $M$, 点 $A(3,4)$, 且 $\\overrightarrow{AC}=x\\overrightarrow{AM}+y\\overrightarrow{AN}$. 设点 $P(x,y)$.\n\n求 $9x^{2}+16y^{2}$ 的最小值.", "answer": "4", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-81-ZH"}
{"problem": "已知 $x, y, z \\in \\mathbf{R}_{+}$ 且 $x+y+z=1$, 求 $x+\\sqrt{2xy}+3\\sqrt[3]{xyz}$ 的最大值.", "answer": "2", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-82-ZH"}
{"problem": "已知椭圆 $\\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 上的三点 $A$, $B$, $C$, 斜率为负数的直线 $BC$ 与 $y$ 轴交于点 $M$. 若原点 $O$ 为 $\\triangle ABC$ 的重心, 且 $\\triangle BMA$ 与 $\\triangle CMO$ 的面积之比为 $3:2$. 直线 $BC$ 可能的斜率组成了集合 $S$, 求 $S$ 中所有元素的平方和.", "answer": "\\frac{41}{6}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-83-ZH"}
{"problem": "在 $\\triangle ABC$ 中, $z = \\frac{\\sqrt{65}}{5} \\sin \\frac{A+B}{2} + i \\cos \\frac{A-B}{2}$, $|z| = \\frac{3\\sqrt{5}}{5}$. 求 $\\angle C$ 的最大值.", "answer": "\\pi - \\arctan \\frac{12}{5}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-84-ZH"}
{"problem": "在 $\\triangle ABC$ 中, $\\angle A$, $\\angle B$, $\\angle C$ 所对的边分别为 $a$, $b$, $c$. 若 $\\angle A = 39^{\\circ}$, $(a^2 - b^2)(a^2 + ac - b^2) = b^2c^2$, 求 $\\angle C$ 的值.", "answer": "115^{\\circ}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-85-ZH"}
{"problem": "过椭圆 $\\frac{x^{2}}{6}+\\frac{y^{2}}{3}=1$ 内的点 $P(1,\\frac{1}{2})$ 作一条不过原点的直线, 与椭圆交于 $A$, $B$ 两点. 求 $\\triangle OAB$ 的面积的最大值.", "answer": "\\frac{3\\sqrt{6}}{4}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-86-ZH"}
{"problem": "将写有 $1, 2, \\dots, 9$ 的九张卡片随机地排成一行, 若第一张卡片（左起）上的标数为 $k$, 则将前 $k$ 张卡片逆序排过来称为一次操作, 无法操作时（即第一张卡片上的标数为 1）游戏停止. 若一个排列无法操作, 且恰由唯一的另一个排列经过一次操作得到, 则此排列称为``二次终止排列''. 在所有可能的排列中, 求二次终止排列出现的概率.", "answer": "\\frac{103}{2520}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-87-ZH"}
{"problem": "设 $a_{i}(i\\in \\mathbb{Z}_{+},i\\leqslant 2020)$ 为非负实数, 且 $\\sum_{i=1}^{2020}a_{i}=1$. 求 $\\sum_{\\substack{i\\neq j\\\\i|j}}a_{i}a_{j}$ 的最大值.", "answer": "\\frac{5}{11}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-88-ZH"}
{"problem": "已知椭圆 $C: \\frac{x^{2}}{25}+\\frac{y^{2}}{9}=1$, 动圆 $\\Gamma: x^{2}+y^{2}=r^{2}(3< r< 5)$. 若 $M$ 为椭圆 $C$ 上的点, $N$ 为动圆 $\\Gamma$ 上的点, 且直线 $MN$ 与椭圆 $C$, 动圆 $\\Gamma$ 均相切, 求 $M, N$ 两点的距离 $|MN|$ 的最大值.", "answer": "2", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-89-ZH"}
{"problem": "设 $a$, $b$, $c$ 为互不相同的非零实数, 满足：方程 $ax^3+bx+c=0$, $bx^3+cx+a=0$, $cx^3+ax+b=0$ 有公共根, 且这三个方程中存在两个方程无虚根. 求 $\\frac{a}{b}+\\frac{b}{c}+\\frac{c}{a}$ 的最小值.", "answer": "\\frac{17}{12}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-90-ZH"}
{"problem": "在数列 $\\{u_n\\} (n \\in \\mathbb{Z}_{+})$ 中, $u_1 = 2$, $u_2 = 8$, $u_{n+1} = 4u_n - u_{n-1} (n \\geqslant 2)$. 求 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\operatorname{arccot} u_n^2$.", "answer": "\\frac{\\pi}{12}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-91-ZH"}
{"problem": "设 $f(x): [0, 1] \\rightarrow \\mathbb{R}$, 满足：(1) $f(\\frac{x}{3}) = \\frac{1}{2}f(x)$；(2) $f(1-x) = 1 - f(x)$；(3) $f(x) = \\frac{1}{2} (x \\in [\\frac{1}{3}, \\frac{2}{3}])$. 若 $n=2023$, 求 $S_n = \\sum_{\\substack{1 \\leqslant k \\leqslant 3^n \\\\ k \\text{是奇数}}} f(\\frac{k}{3^n})$ 的值.", "answer": "\\frac{3^{2023} + 3}{4}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-EASY-92-ZH"}
{"problem": "抛物线 $\\Gamma: x^2 = 4y$, 斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与抛物线 $\\Gamma$ 交于 $A$, $B$ 两点, 过点 $A$, $B$ 分别作抛物线 $\\Gamma$ 的切线, 交于点 $M$, $F$ 为抛物线 $\\Gamma$ 的焦点. 记 $\\triangle AFM$, $\\triangle BFM$, $\\triangle ABM$ 的面积分别为 $S_1$, $S_2$, $S_3$. 求 $\\frac{S_1 S_2}{S_3}$ 的最小值.", "answer": "\\sqrt[4]{\\frac{64}{27}}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-93-ZH"}
{"problem": "设椭圆 $C: \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{20}=1\\left(a> 2\\sqrt{5}\\right)$ 的左焦点为 $F$. 已知存在过点 $P\\left(1,1\\right)$ 的直线 $l$ 与椭圆交于点 $A$, $B$, $M$ 是 $AB$ 的中点, 使得 $\\left| FM\\right|$ 是 $\\left| FA\\right|$ 与 $\\left| FB\\right|$ 的等比中项. 求 $a$ 的最小正整数值.", "answer": "7", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-94-ZH"}
{"problem": "已知 $A$, $B$, $C$ 是 $\\triangle ABC$ 的三个内角, 向量 $\\boldsymbol{\\alpha} = \\left( \\cos \\frac{A-B}{2}, \\sqrt{3} \\sin \\frac{A+B}{2} \\right)$, 且 $|\\boldsymbol{\\alpha}| = \\sqrt{2}$. 若当角 $C$ 最大时, 存在动点 $M$ 使得 $|MA|$, $|AB|$, $|MB|$ 成等差数列, 求 $\\frac{|MC|}{|AB|}$ 的最大值.", "answer": "\\frac{2\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}{4}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-95-ZH"}
{"problem": "设 $p=2017$ 为素数, 集合 $\\{1,3,5,\\cdots,p-2\\}$ 中是模 $p$ 的二次剩余的数组成集合 $A$, 不是模 $p$ 的二次剩余的数组成集合 $B$. 求 $(\\sum_{a\\in A}\\cos \\frac{a\\pi}{p})^{2}+(\\sum_{b\\in B}\\cos \\frac{b\\pi}{p})^{2}$ 的值.", "answer": "\\frac{1009}{4}", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-EASY-96-ZH"}
{"problem": "过椭圆 $\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F_{2}(c,0)$ 作直线 $l$, 交椭圆于点 $P$, $Q$. 在圆 $x^{2}+y^{2}=b^{2}$ 上找一点 $M$, 联结 $MP$, $MQ$. 我们将 $\\triangle MPQ$ 面积的最大值记作 $F(a, b)$. 求 $F(3, 2\\sqrt{2}) + F(2, 1)$.", "answer": "\\frac{19\\sqrt{2}+11}{3}", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-EASY-97-ZH"}
{"problem": "设方程 $2^x + 3^y = z^2$ 的全体整数解构成集合 $S$, 求 $\\sum_{(x, y, z)\\in S}(x + y + z^2)$.", "answer": "96", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-EASY-98-ZH"}
{"problem": "一次数学竞赛共 $6$ 道题, 每题答对得 $7$ 分, 答错或不答得 $0$ 分. 赛后某参赛代表队获团体总分 $161$ 分, 且统计分数时发现, 该队任两名选手至多答对两道相同的题目, 没有三名选手都答对两道相同的题目. 求该队选手至少有多少人.", "answer": "7", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-EASY-99-ZH"}