So, the statement about subfields does not apply here, but if you take the statements about irreducible factors we can say something interesting. This remember these are over F 2, these of course, are not over F 2, because alpha is not in F 2. So, the irreducible factors of X power 4 minus X over F 2 are the irreducible polynomials in F 2 who's degree divides r. So, in this case r is 2 right, so because 4 is 2 squared remember p is 2 here r is the exponent which is also 2. So, we are looking for irreducible factors whose degree divides 2, there are two possible degrees right, so what are the numbers that divided to 1 and 2. So, X power 4 minus X can be written as X which is the degree one term another degree one term X minus 1 and actually you have to multiply these X squared plus X plus 1 which we know is irreducible.
सब फील्डस के कथन यहां लागू नहीं होते , लेकिन यदि आप इररेडूसिबल पॉलीनोमिअल के कथन लेते हैं तो हम यहां कुछ रोचक कह सकते हैं | याद करिए यह F2 पर है , यह वास्तव में , F2 पर नहीं है क्योंकि α F2 पर नहीं है | अतः यह X4 - X ,F2 पर इररेडूसिबल पॉलीनोमिअल है जिनकी डिग्री r का डिवाइड करती है | इस स्थिति में r , 2 है क्योंकि 4, 2 का वर्ग है याद करिए यहां p, 2 है , r एक्सपोनेन्ट है जो कि 2 है | तो वो कौन सी संख्या है जिनका 1 तथा 2 से डिवाइड होता है | अतः यह X4 - X को हम इस तरह भी लिख सकते हैं X जो कि एक पद की डिग्री है दूसरी डिग्री का एक पद X - 1 और वास्तव में आपको इसका गुणन X2 + X +1 से करना है जो कि इररेडूसिबल है |