તેથી, ફરીથી જો ƒ આના પર સતત અને નિરપેક્ષ સંકલ્યવાન હોય અને આપણે ધારીએ કે ƒ' આ 0 થી ∞ પર દરેક મર્યાદિત ઇન્ટરવલ પર સતત રહે છે અને આપણે ƒ ∞ સુધી વધારતા તે 0 તરફ જાય છે, તેથી આપણી પાસે આ છે ƒ નો અતિરિક્ત ગુણધર્મ છે જેના પ્રમાણે, જેમ x ∞ તરફ જાય તેમ તે 0 તરફ જવું જોઈએ, તો પછી આપણું આ સરસ પરિણામ છે કે ƒ' ના ડેરિવેટિવ નું ફુરીયર કોસાઇન ટ્રાન્સફોર્મ ƒ ના α ફુરીયર સાઇન ટ્રાન્સફોર્મ બરાબર હશે.
അതിനാൽ, f കണ്ടിന്യൂവസ് ആയതും ഇത് പൂർണമായും ഇന്റെ ഗ്രാമ്പിളാണെങ്കിൽ, ഈ 0 മുതൽ ∞ വരെയുള്ള ഓരോ നിശ്ചിത ഇടവേളയിലും f കണ്ടിന്യൂവസ് ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു, കൂടാതെ x ∞ ലേക്ക് പോകുമ്പോൾ f 0 ലേക്ക് പോകുന്നു. അതിനാൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് ഉണ്ട് . അപ്പോൾ f എന്ന ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഫൊറിയർ കോസൈൻ ട്രാൻസ്ഫോം f f ന്റെ ഫൊറിയർ സൈൻ ട്രാൻസ്ഫോമിലേക്ക് തുല്യമാകുന്ന ഒരു നല്ല ഫലം ഞങ്ങൾക്കുണ്ട്.