ഓരോ ഘടകത്തിനും ഇൻവെർസ് ഉണ്ട്; a+ibക്ക് ഇൻവെർസ് a - ib ഉണ്ട്, അത് Z-ലും ഉണ്ട്, തീർച്ചയായും ഇത് അസോസിയേറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ, ഇത് ഒരു അബിലിയൻ ഗ്രൂപ്പാണ്.
0 ఎలిమెంట్ a +b i రూపంలో ఉంటుంది , ఇక్కడ a మరియు b పూర్ణాంకాలు అయితే అది 0 +i* 0. ప్రతి ఎలిమెంట్ విలోమం కలిగి ఉంటుంది; a +i b యొక్క విలోమం మైనస్ a మైనస్ i b, అది Z లో కూడా ఉంటుంది మరియు ఖచ్చితంగా ఇది అస్సోసియేటివ్ ఎందుకంటే కాంప్లెక్స్ నంబర్స్ అడిషన్ అసోసియేటివ్ అవుతుంది మరియు అది క్లోస్డ్, అని మనము తనిఖీ చేసాము. కాబట్టి, ఇది అబెలియన్ సమూహం.