तो यहां यह जिक्र योग्य है कि मल्टीप्लिकेशन केसंदर्भ में सेट क्लोज्ड नहीं है| तो यह रिंग कि एक बहुत ही महत्वपूर्ण प्रॉपर्टी का उल्लंघन है| इस उदाहरण से यह पता चलता है की मल्टीप्लिकेशन केसंदर्भ में सेट का क्लोज्ड होना बहुत ही जरूरी है और इसे जांचना बहुत ही आवश्यक है क्योंकि यह आम तौर पर संतुष्ट नहीं होती है| तो अब हम रिंग को परिभाषित करते हैं| पाठ्यक्रम में आगे हम और भी बहुत से उदाहरण देखेंगे और इनकी प्रॉपर्टीज के बारे में पड़ेंगे| यह पाठ्यक्रम रिंग्स के बारे में है| रिंग को सिंबल R से निर्दिष्ट करेंगे| रिंग की परिभाषा में दो ऑपरेशनस होते हैं| अब हम इस पूरी परिभाषा को लिखेंगे| यह पहले ही बताया जा चुका है कि रिंग की कौन सी प्रॉपर्टीज होती है| उदाहरण से यह पहले ही बता दिया गया है कि रिंग की कौन कौन सी प्रॉपर्टीज होती है| यह सब अब हम इस परिभाषा में विस्तार से देखेंगें| रिंग एक सेट है जिसमें दो ऑपरेशन लिए जाते हैं यह बाइनरी ऑपरेशंस है इन्हे प्लस और टाइमस से निर्दिष्ट करते हैं| इन्हें एडिशन और मल्टीप्लिकेशन कहते हैं|
కాబట్టి, నేను ఇక్కడ హైలైట్ చేయాలనుకుంటున్నది ఏమిటంటే, ముల్టిప్లికేషన్ లో A క్లోజ్ చేయబడినది. కాబట్టి, ఇది రింగ్ కోసం ముఖ్యమైన లక్షణాలలో ఒకదానిని విఫలమవుతుంది, దానిని మనం ఇప్పుడు నిర్వచించాము , నేను ఇప్పుడే ప్రయత్నిస్తున్నాను, ఈ ఉదాహరణల ద్వారా ముల్టిప్లికేషన్ లో క్లోజ్ చేయబడటం అనేది సాధారణంగా తనిఖీ చేయవలసిన షరతు అది కలిగి ఉండదని మీకు సూచిస్తుంది. ఇప్పుడు, మనం ముందుకు వెళ్లి రింగ్ అంటే ఏమిటో నిర్వచిద్దాం. కాబట్టి, వాటి యొక్క మరిన్ని ఉదాహరణలు మరియు లక్షణాల గురించి మనం మరింత మాట్లాడవచ్చు.