It is a subgroup of the complex numbers under addition see this is easy to check that it is an abelian group because there is the 0 element; 0 element is of the form a plus b i right, where a and b are integers it is 0 plus i times 0. Every element has an inverse; a plus i b has inverse minus a minus i b that is also in Z and certainly it is associative beuse addition of complex numbers is associative and it is closed we checked.
ఇక్కడ 0 ఎలిమెంట్ ఉన్నందున ఇది అబెలియన్ సమూహం అని నిరూపించడం సులభం. 0 ఎలిమెంట్ a +b i రూపంలో ఉంటుంది , ఇక్కడ a మరియు b పూర్ణాంకాలు అయితే అది 0 +i* 0. ప్రతి ఎలిమెంట్ విలోమం కలిగి ఉంటుంది; a +i b యొక్క విలోమం మైనస్ a మైనస్ i b, అది Z లో కూడా ఉంటుంది మరియు ఖచ్చితంగా ఇది అస్సోసియేటివ్ ఎందుకంటే కాంప్లెక్స్ నంబర్స్ అడిషన్ అసోసియేటివ్ అవుతుంది మరియు అది క్లోస్డ్, అని మనము తనిఖీ చేసాము.