હવે કોઈ પણ સોલ્યુશન x હોવાથી A x = b ને સંતોષ આપે છે, હું આ A x ને b દ્વારા બદલી શકું છું અને મને આ સમીકરણ b = - A AT λ મળે છે અને આ સમીકરણથી આપણે λ - A AT ઇન્વર્સ b મેળવી શકીએ છીએ અને આ શક્ય છે અને આ ઇન્વર્સ ફક્ત ત્યારે જ અસ્તિત્વમાં છે જો બધી રો લિનયરલી ઇન્ડિપેન્ડન્ટ હોય.
तो हम दोनों तरफ से प्रीमाल्तिप्लाई करें इसलिए हमें इस समीकरण को एक A से प्रीमाल्तिप्लाई करने पर x = - A AT λ मिले| अब चूँकि कोई x समाधान Ax = b को संतुष्ट करता है, मैं इस A x को b से बदल सकता हूं और मुझे यह समीकरण b = - A AT λ प्राप्त होता है और इस समीकरण से हम λ को - A AT inverse b प्राप्त कर सकते हैं । और यह inverse तभी संभव है जब सभी पंक्तियाँ रैखिक रूप से स्वतंत्र हों ।