मान लीजिए f =X n + an - 1 Xn-1 + a1 X + a0 है और याद करिए a i's , L में है | क्योंकि ai's , L मैं है इसीलिए प्रत्येक ai , F पर अलजेब्रिक है क्योंकि L ओवर F अलजेब्रिक है यानी कि L का प्रत्येक एलिमेंट F पर अलजेब्रिक है | एक नया फील्ड L प्राइम मान लीजिए जोकि F; मैं दावा करता हूं कि यह ओवर F अलजेब्रिक है |
మనకు fని X పవర్ n, a n -1 X పవర్ n-1, +. . . . . + a 1 X + a 0 అని అనుకుందాం మరియు aiలు Lలో ఉన్నాయని గుర్తుంచుకోండి. aiలు L లో ఉన్నందున, ప్రతి a i క్యాపిటల్ F పైన బీజగణితం, ఎందుకంటే L క్యాపిటల్ F పైన బీజగణితం; అంటే, L యొక్క ప్రతి మూలకం క్యాపిటల్ F పైన బీజగణితం. ఇప్పుడు, మనం కొత్త ఫీల్డ్ ని పరిశీలిద్దాం, దానిని L ప్రైమ్ అని పిలుద్దాం ఇందులో F తో పాటు a 1 లేదా a 0, a 1, a2 నుండి a n - 1. ఇది F పైన బీజగణితమని నేను వాదిస్తున్నాను.