Исследуются свойства правильных функций, а также ограниченных функций, имеющих не более чем счетное множество точек разрыва (названных <nobr>$\sigma$</nobr>-<i>непрерывными</i>). Доказана теорема об интегрируемости по Риману–Стилтьесу <nobr>$\sigma$</nobr>-непрерывных функций по непрерывным функциям ограниченной вариации, а также предельная теорема Хелли для таких интегрируемых и интегрирующих функций. Процесс интегрирования по Риману–Стилтьесу расширяется на случай интегрирования <nobr>$\sigma$</nobr>-непрерывных функций по произвольным функциям ограниченной вариации: вводится <nobr>$(*)$</nobr>-интеграл как сумма классического интеграла Римана–Стилтьеса по непрерывной части функции ограниченной вариации и суммы произведений значений интегрируемой функции на скачки интегрирующей.Таким образом, <nobr>$(*)$</nobr>-интеграл позволяет интегрировать разрывные функции по разрывным. Все свойства <nobr>$(*)$</nobr>-интеграла выводятся непосредственно из этого определения. Так, для <nobr>$(*)$</nobr>-интеграла доказывается формула интегрирования по частям, теорема о перемене порядка интегрирования, а также все необходимые для дальнейшего применения предельные теоремы, в том числе предельная теорема типа теоремы Хелли.
функции ограниченной вариации, правильные функции, $\\sigma$-непрерывные функции