Изучаются свойства дискретной вариационной задачи динамической аппроксимации в комплексном евклидовом <nobr>$(L+1)$</nobr>-мерном пространстве <nobr>$E$</nobr>. Она обобщает известные задачи среднеквадратической полиномиальной аппроксимации функций, заданных своими отсчетами в конечном интервале. В рассматриваемой задаче аппроксимация последовательности <nobr>$\mathbf y=\{y_i\}_0^L$</nobr> отсчетов функции <nobr>$y(t)\in L^2[0,T]$</nobr>, <nobr>$T=Lh$</nobr> на сетке <nobr>$I_h$</nobr> осуществляется решениями однородных линейных дифференциальных или разностных уравнений заданного порядка <nobr>$n$</nobr> с постоянными, но, возможно, неизвестными коэффициентами. Тем самым показано, что в последнем случае задача аппроксимации включает в себя и задачу идентификации. Анализ ее особенностей – основная тема статьи. Ставится задача нахождения вектора коэффициентов <nobr>$\alpha$</nobr> разностного уравнения <nobr>$\sum_0^n\widehat y_{i+k}\alpha_i=0$</nobr>, где <nobr>$k=\overline{0,L-n}$</nobr>. Оптимизируются коэффициенты <nobr>$\alpha$</nobr> и начальные условия переходного процесса <nobr>$\widehat{\mathbf y}$</nobr> этого уравнения. Цель оптимизации – наилучшая аппроксимация исследуемого динамического процесса <nobr>$\mathbf y\in E$</nobr>. Критерий аппроксимации – минимум величины <nobr>$\|\mathbf y-\widehat{\mathbf y}\|^2_E.$</nobr> Показано, что изучаемая вариационная задача сводится к задачам проектирования в <nobr>$E$</nobr> вектора <nobr>$\mathbf y$</nobr> на ядра разностных операторов с неизвестными коэффициентами <nobr>$\alpha\in\omega\subset\mathcal S\subset E^{n+1}$</nobr>. Здесь <nobr>$\alpha$</nobr> – направление, <nobr>$\mathcal S$</nobr> – сфера или гиперплоскость. Показана связь изучаемой задачи с задачами дискретизации и идентифицируемости. Тогда координаты вектора <nobr>$\mathbf y\in E$</nobr> есть точное решение дифференциального уравнения на сетке <nobr>$I_h$</nobr> и <nobr>$\mathbf y=\widehat{\mathbf y}$</nobr>. Дано сравнение изучаемой задачи вариационной идентификации с алгебраическими методами идентификации. Показано, что ортогональные дополнения к ядрам разностных операторов всегда имеют теплицев базис. Это приводит к быстрым проекционным алгоритмам вычислений. Показано, что задача нахождения оптимального вектора <nobr>$\widehat\alpha$</nobr> сводится к задаче безусловной минимизации функционала идентификации, зависящего от направления <nobr>$\alpha$</nobr> в <nobr>$E^{n+1}$</nobr>. Предложена итерационная процедура его минимизации на сфере с широкой областью и высокой скоростью сходимости. Изучаемую вариационную задачу можно применять при математическом моделировании в управлении и научных исследованиях. При этом на конечных интервалах может использоваться, в частности, возможность кусочно-линейной динамической аппроксимации сложных динамических процессов разностными и дифференциальными уравнениями указанного типа.
вариационная идентификация, алгебраическая идентификация, кусочно-линейная динамическая аппроксимация, ортогональная регрессия