Рассматривается движение математического маятника, установленного на подвижной платформе. Платформа вращается вокруг заданной вертикали с постоянной угловой скоростью <nobr>$\omega$</nobr> и одновременно совершает гармонические колебания с амплитудой <nobr>$A$</nobr> и частотой <nobr>$\Omega$</nobr> вдоль вертикали. Амплитуда колебаний предполагается малой по сравнению с длиной маятника <nobr>$\ell$</nobr> <nobr>$(A=\varepsilon \ell,\ 0&lt;\varepsilon \ll 1) $</nobr>. Рассмотрено три типа движений. Для первых двух типов маятник неподвижен относительно платформы и располагается вдоль ее оси вращения (висящий и перевернутый маятники). Для третьего типа движений маятник совершает периодические колебания с периодом, равным периоду вертикальных колебаний платформы. Эти колебания имеют амплитуду порядка <nobr>$\varepsilon$</nobr> и при <nobr>$\varepsilon = 0$</nobr> переходят в положение относительного равновесия, в котором маятник составляет постоянный угол с вертикалью. Третий тип движения существует, если угловая скорость вращения платформы достаточно большая (<nobr>$\omega^2 \ell&gt;g$</nobr>, где <nobr>$g$</nobr> - ускорение свободного падения). В статье решается задача об устойчивости этих трех типов движения маятника для малых значений <nobr>$\varepsilon$</nobr>. Рассмотрены как нерезонансные случаи, так и случаи, когда в системе реализуются резонансы второго, третьего и четвертого порядка. В пространстве трех безразмерных параметров задачи <nobr>$g/(\omega^2 \ell)$</nobr>, <nobr>$\Omega / \omega$</nobr> и <nobr>$\varepsilon$</nobr> выделены области устойчивости по Ляпунову и области неустойчивости. Исследование опирается на классические методы и алгоритмы Ляпунова, Пуанкаре и Биркгофа, а также на современные методы анализа динамических систем при помощи КАМ-теории.
маятник, система гамильтона, устойчивость