Рассматриваются пространства, всякие подпространства которых компактны. Будем называть такие пространства наследственно компактными. В работе рассматриваются вопросы о существовании и способах построения наследственно компактных <nobr>$T_1$</nobr>-топологий. Доказано существование <nobr>$2^\tau$</nobr> попарно несравнимых наследственно компактных <nobr>$T_1$</nobr>-топологий на бесконечном множестве <nobr>$X$</nobr> мощности <nobr>$\tau$</nobr>. Получены характеристики наследственно компактных пространств. Доказано, что тихоновское произведение конечного числа наследственно компактных <nobr>$T_1$</nobr>-пространств является наследственно компактным <nobr>$T_1$</nobr>-пространством. Доказано, что тихоновское произведение бесконечного числа неодноточечных наследственно компактных <nobr>$T_1$</nobr>-пространств не является наследственно компактным.
компактность, минимальная $t_1$-топология, тихоновское произведение