Рассматривается гамильтониан Боголюбова – де Жена, возмущенный малым потенциалом, описывающий квазичастицы вида «электрон плюс дырка», в частности андреевские локализованные состояния (АЛС) в одномерной сверхпроводящей структуре при наличии  примеси. 
Интерес к упомянутым квазичастицам резко возрос в последние 15–20 лет благодаря открытию в топологических сверхпроводниках майорановских локализованных состояний (МЛС). 
МЛС представляют собой  устойчивые к внешним воздействиям нейтральные квазичастицы с нулевой энергией, весьма перспективные для будущего использования в квантовых вычислениях. Исследование возникновения и поведения, в зависимости от параметров системы и топологической фазы, АЛС, описываемых собственными функциями  гамильтониана Боголюбова – де Жена, интересно как с математической точки зрения,  в сравнении с обычным оператором Шрёдингера, так и с физической, поскольку может прояснить предпосылки  возникновения МЛС в топологически нетривиальной фазе и майораноподобных состояний (часто играющих роль МЛС) в  топологически тривиальной фазе. 
Изучение рассеяния интересно тем, что вероятность прохождения квазичастицы через потенциальный барьер пропорциональна кондактансу, который можно измерить в эксперименте, что в принципе дает возможность связать  величину кондактанса с наличием АЛС.
В статье найдены условия возникновения  собственных значений (энергий квазичастиц) в сверхпроводящей щели, имеющейся в непрерывном спектре гамильтониана, а также их зависимость от параметров   как в топологически нетривиальной, так и в топологически тривиальной фазах. Кроме того, исследована задача рассеяния для энергий вблизи границы щели; в частности, найдена вероятность прохождения квазичастицы через потенциальный барьер как функция от параметров системы.
гамильтониан боголюбова - де жена, спектр, собственное значение, андреевские локализованные состояния, задача рассеяния, вероятность прохождения