В работе рассматриваются вопросы, связанные со сходящимися последовательностями в <nobr>$T_1$</nobr>-пространствах. Свойства <nobr>$T_1$</nobr>-пространств, в том числе и сходимость последовательностей в них, отличаются от аналогичных свойств хаусдорфовых пространств, в частности, предел сходящейся последовательности может быть не единствен. Наиболее ярко эти особенности демонстрирует минимальное <nobr>$T_1$</nobr>-пространство. В работе рассматриваются вопросы, порожденные свойствами минимального <nobr>$T_1$</nobr>-пространства. Рассматриваются свойства пространств, в которых всякая последовательность является сходящейся (теоремы 1 и 2 и пример 1). Одной из основных является проблема связи между сходимостью последовательностей и свойствами подпространств. Хорошо известно, что компактность, счетная компактность и секвенциальная компактность не эквивалентны в общем случае. Однако, доказано (теорема 7), что наследственные секвенциальная компактность, счетная компактность и компактность эквивалентны.
сходящаяся последовательность, $t_1$-пространство, компактность