Düzlemde doğruları doğrulara götüren bir f fonksiyonu alalım. Eğer bu fonksiyon f(f(x))=x eşitliğini sağlıyorsa, orijinden geçen en az bir doğruyu küme olarak sabitlediğini kanıtlayın.
Cevap:
İlk seçenek görece basit.
Eğer orijin sabitlenmiyorsa fonksiyonun orijinde aldığı değere, yani f(O)’ya bakalım. Bu nokta da orijine gitmek zorunda çünkü f(f(O))=O.
Fonksiyon doğruları doğrulara götürdüğünden O ve f(O)’dan geçen doğruyu yine bu noktalardan geçen doğruya yani kendisine götürmek zorunda.
Bu doğru, küme olarak sabitlenir.
Eğer orijin sabitleniyor ve başka bir nokta daha sabitleniyorsa yine bu noktalardan geçen doğru sabitlenir.
En can alıcı seçenek ise sonuncusu. Orijin sabitleniyor ve sabitlenen başka nokta yoksa herhangi bir x noktası alıp x ve f(x)’den geçen doğruya bakalım. Bu doğru ve bu doğruya paralel doğrular sabitlenir: sabitlenen iki doğru kesişselerdi kesiştikleri nokta da sabitlenirdi ki bunu istemiyoruz. Bu paralel doğrulardan biri de orijinden geçeceği için aradığımız şart sağlanmış olur.