FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 7. KİTAP VARYASYON HESABI J = 0 İÇİNDEKİLER I. OPTİMİZASYON A) Fonksiyon Optimizasyonu : Türev B) Kısıtlar ve Lagrange Çarpanları C) Fonksiyonel Optimizasyonu : Euler Denklemleri D) Hamilton Yaklaşımı II. UZAY – ZAMAN’DA EVRİM A) Lagrange Fonksiyonu B) Eylem Fonksiyoneli C) Euler – Lagrange Denklemleri D) Hamilton Denklemleri E) Hamilton – Jacobi Denklemleri EKLER VE NOTLAR I. OPTİMİZASYON A) Fonksiyon Optimizasyonu : Türev Verilen bir sayı için, belli bir kurala göre başka bir sayı üretmenin “Fonksiyon” olarak adlandırıldığı görülmüştü. Verilen bir fonksiyon için, gene belli bir kurala göre bir sayı üretmek ise “Fonksiyonel” olarak adlandırılacaktır. Çok değişkenli fonksiyonlar olduğu gibi çok fonksiyonlu fonksiyoneller de vardır. Özetle : Sayı(lar) Tek bir sayı Fonksiyon(lar) : Tek bir sayı : Fonksiyon xi ; Fonksiyonel ; F x j i F xi J Fj xi Bir fonksiyonu optimize etmek, yani minimum ve maksimum değerlerini bulmak için türevini sıfıra eşitlemek, üzerinde fazla düşünülmeden uygulanan bir işlemdir. Daha derin bir yaklaşım bizi optimizasyonun yerel bir simetri işlemi olduğu gerçeğine götürür. Simetri, genel anlamıyla, bazı şeyleri değiştirdiğimiz halde her şeyin aynı kalmasıdır. (1) Belli bir noktadan çok küçük bir miktarda uzaklaşınca fonksiyon değerinin değişmemesi ise ‘Yerel Simetri’ olarak yorumlanabilir. Yani F x dx F x F x F x dx F x dx 0 olma şartının altında işte bu simetri ilkesi yatmaktadır. Doğal olarak uç noktaları da kontrol etmek gerekir; mesela F x m x b gibi lineer bir fonksiyonun türevi sıfır olmaz ve optimum noktalar uçlarda yer alır. Bu olgunun çok daha genel hali “Lineer programlama” konusunu oluşturur. B) Kısıtlar ve Lagrange Çarpanları f xi fonksiyonunun n xi 0 kısıtları altında nasıl optimize edileceği de ilginç bir konudur. Bu durumda yeni, ancak sayısal olarak fonksiyon, Lagrange çarpanları olarak adlandırılan f xi ’den farklı olmayan bir n ’lar aracılığıyla F xi , n f xi n n olarak tanımlanır ve n F 0 xi & F 0 n olması istenir. Bir örnek olarak uzunluğunda bir çitle çevrilecek maximum dikdörtgen alan problemine standart yaklaşım : alanı a x 0 şartını kullanarak x a x, y x y Yeni yaklaşımda ise denklemlerinden gene & 4 amax fonksiyonunun olarak yazıp, 2 16 çözümünü elde etmektir. 2x 2 y A x, y x y 2 x 2 y maksimum değerini bulmak için A y 2 0 , x a x x x 2 0 A x 2 0 , A 2 x 2 y y x y & 4 amax kısıtı altında yazılır ve 0 2 16 bulunur. C) Fonksiyonel Optimizasyonu : Euler Denklemleri Fonksiyonellerin optimizasyonu ise fizik ve matematiğin belki de en temel konusudur; bu bazen “ J f x fonksiyonelinin optimizasyonu bize ne verir ? ” bazen de “ Doğa yasaları nasıl bir J f x fonksiyonelinin optimizasyonu sonucu ortaya çıkmış olabilir ? ” biçiminde incelenir. Önce Brachistochrone benzeri kinematik problemlerde, sonra klasik mekaniğin “Eylem” fonksiyoneli ile formüle edilmesinde kullanılan bu metot, geometrik optiğin Fermat ilkesinden, kuantum mekaniğinin yörünge integrali formalizmine kadar vazgeçilmez bir yaklaşım olarak değerini arttırmıştır. Fonksiyonel optimizasyonu için, aynen fonksiyonlarda kullanılan mantıkla J f x f x J f x f x biraz değiştirilerek olması istenir. Bazen de J J f x x J f x 0 x f x tanımıyla olarak ifade edilen bu teknik “Varyasyon hesabı” olarak adlandırılır. Çok genel bir konu olan varyasyon hesabının bu kitapta sadece J Uç noktalarda b a dx f y x , y x ; x a b 0 özel hali üzerinde durulacaktır.(2) sağlayan bir varyasyon kullanılarak gerçekleştirilen y x y x y x y x x J 0 dönüşümleri altında b a y x y x x ve dolayısıyla ifadesi dx f y x x , y x x ; x dx f y x , y x ; x 0 b a f y , y ; x f y , y ; x biçimini alır. olarak yazılarak b a f f dx 0 y y f f dy dy y y sonucuna ulaşılır. İkinci terimin kısmi integrali alınarak b a f d f dx y dx y sonucu elde edilen b a b b a a f d y b a dx d f dx y f d f dx 0 eşitliği tüm dx y y geçerli olduğundan Euler denklemi olarak adlandırılan biçiminde açılması fonksiyonları için d f f 0 dx y y eşitliğine ulaşılır. Bu denklem veya onun çok bağımsız fonksiyonlu biçimi olan d f f 0 dx y j y j varyasyon hesabının temelini oluşturur. D) Hamilton Yaklaşımı f y, y, x şartının fonksiyonunun d f f 0 dx y y J xo dx f y, y, x integralinin optimum olma Euler denklemi olduğu görülmüştü. x ’e doğrudan bağlı olmayıp, sadece metot olan Hamilton yaklaşımında türev sonucu x f y, y h fonksiyonunun olduğu özel durumlarda çok yararlı bir f y f y dh d f f df y y dx dx y y dx f tanımından yola çıkılır. veya x ’e göre dh f f dy dy df y y df f f dy dy y y f 0 x bulunur, ancak olduğuna göre dh 0 durumunda olmaktadır. f y f Sabit y olarak da ifade edilen bu denklem yararlı ve kullanışlı bir korunum yasasıdır. PROBLEMLER P.I.1 ) Deniz kenarındaki dikdörtgen bir alanın üç yanı uzunluğunda bir çitle çevrilmek isteniyor. Maksimum alanın boyutlarını Lagrange çarpanı kullanarak bulun. P.I.2 ) Bir düzlemde x, y : 0,0 B, H noktaları arasındaki en kısa yolu bulun. P.I.3 ) Silindirik bir yüzeyde , z : 0,0 , H noktaları arasındaki en kısa yolu bulun. P.I.4 ) Küresel bir yüzeyde , : 0,0 , noktaları arasındaki en kısa yolun söz konusu noktalar ile kürenin merkezinden geçen bir düzlemin küreyi kestiği ‘Büyük Daire’ olduğunu gösterin. P.I.5 ) Brachistochrone problemi : yerçekimli ortamda x, y : 0,0 B, H noktaları arasında en kısa zamanda yol almayı sağlayacak, sürtünmesiz yolu bulun. L 2 , 0 P.I.6 ) Yerçekimli ortamda, eşit yükseklikteki noktalar : L J L 2 , 0 ’dan uzunluğunda bir ip sarkıtılıyor. İpin potansiyel enerjiyi minimum yapacak şekilde sarkacağını varsayarak alacağı biçim : P.I.7 ) ve b a y y x ’i hesaplayın. dx f y x , y x , y x ; x fonksiyonelini optimize eden Euler denklemini oluşturun. P.I.8 ) J x xo dx y, y, x F2 y F2 y Fo y Q x fonksiyonelinin optimizasyonu y, y, x Hermitsel LDD ’ini oluşturacak bir oluşturun. P.I.9 ) Fermat ilkesi, ışığın ‘En kısa zaman yol’unu seçmesini öngörür. Işığın madde içindeki hızı, n : kırılma indisi olmak üzere c n ile verilir. Kırılma indisinin n n y , sürekli azalan bir fonksiyon olması durumunda, noktaları arasındaki yörüngenin, H bulunur, sonra da kullanılarak yörünge elde edilir. y H : en üst nokta olmak üzere, olduğunu gösterin. Bu ara sonuçtan hareketle önce denkleminden L 2 , 0 y 0 dy H 0 n y n H 2 dy n2 y n2 H 2 x L 2 nH ve L 2 , 0 n2 y n2 H nH L 2 n H denklemi n y no exp y P.I.10 ) y x arasındaki ışık yörüngesinin noktasının H L no L sin 2 L c 2 n sec L 2 1 L 2 , 0 cos x 2 n cos L 2 durumunda 1 , L 2 , 0 ve noktaları , yörüngenin en üst ışığın kaynaktan gözlemciye ulaşma süresinin olduğunu gösterin. Işığın düz bir çizgide yol aldığı önyargısı, gözlenen nesnenin, ışığın gözlendiği noktadaki yörüngesinin eğimi doğrultusunda olduğunu sandırır. Buna göre görülen serap ufuktan açı olarak ne kadar yüksekte gözlenecektir? n y no 1 y P.I.11 ) arasındaki ışık yörüngesinin, 2L 8 , L2 2 x 2 4 y x ve serap görüntüsü açısı: II. L 2 , 0 ve L 2 , 0 noktaları H : en üst nokta olmak üzere, 1 x 1 1 H cosh 1 H y x H durumunda L 2 ile verildiğini ve , L 1 için no L 1 H c olduğunu gösterin. UZAY – ZAMAN’DA EVRİM A) Lagrange Fonksiyonu x exp (i k a) t exp (i w ) xa t biçiminde ifade edilen uzay ötelemeleri ile biçiminde ifade edilecek zaman ötelemeleri birleştirilerek x,t 0 w ) exp (i k a ) exp ( i x a , t [k,w]= olarak yazılır. Genelde olmadığı için iki işlemin tek bir üstel fonksiyon olarak birleştirilmesi ancak sonsuz küçük yerel ötelemeler için geçerlidir. dx dt x,t exp [ i ( k dx w dt ) ] x dx , t dt veya x,t exp [ i ( k v w ) dt ] x dx , t dt denklemi sağdan x, t çarpılınca to , t xo , to tanımıyla ket’i ile fonksiyonunun uzay-zaman’da yerel evrimi elde edilir. x, t başlangıç noktasından, herhangi bir ve v aralıkları N xo , to noktasına global bir evrim için xo , x parçaya bölünür ve x1, t1 x2 , t2 . . . xN , t N gelişimi incelenir. Bu işlem dizisine geçmeden önce kuantum aksiyomları p k ( DeBroglie) ve H w ( Planck-Einstein) k v w fiziksel bir içerik kazandırmak yerinde olacaktır. olarak adlandırılan yeterince küçük xo , to exp[ i L p v H 1 cinsinden kullanılarak formalizme ifadesi, Lagrange fonksiyonu ( p v H ) = 1 L olarak yazılırsa, t ’ler için i L 1 t 1 ] exp [ elde edilir. Bu noktada L 2 t 2 ] . . . exp [ N ve t n 0 i L N t N ] xN , tN limitleri alınarak, global evrim operatörü için N exp [ n 1 i L n t n ] exp [ i N n 1 L n t n ] exp [ i t to L dt ] Riemann integraline erişilir.(3) B) Eylem Fonksiyoneli t to L x, v, t dt integrali “Eylem” fonksiyoneli olarak adlandırılır ve S Böylece S , Lagrange fonksiyonunun fonksiyoneli, ama to ve ile gösterilir. t değerlerinin fonksiyonu olmaktadır. i exp S ifadesinde yer alan insan ölçeğinden alan MKS sisteminde önemlidir. S fonksiyonelinde i exp S xo , to = x, t 10 34 S Planck sabitinin, kaynağını gibi çok, çok küçük bir sayı oluşu kadar çok küçük bir oynamanın denkleminde sonucun işaretini değiştireceği ve x-t düzleminde çok yakın yolların katkılarının sıfıra toplanacağı sezilmektedir. Sadece S ’nin maksimum veya minimum olduğu yörüngelerde bu durum oluşmaz ve komşu yörüngelerden gelen katkılar birbirini destekler. t to L x, v, t dt 0 kuralı, kuantum teorisinden çok önce anlaşılmış ve “Hamilton prensibi” olarak adlandırılmıştır. C) Euler – Lagrange Denklemleri Klasik mekaniğin temelini oluşturan bu ilke tek boyutta L d L 0 , veya çok x dt v parçacıklı ve 3-Boyutlu sistemlerde, genelleştirilmiş koordinatlar ve hızlar cinsinden d L L 0 dt q j q j S S Euler-Lagrange denklemlerine yol açar. Bu denklemlerin temelinde oluşu yattığına göre, zaten S olan atomik sistemlerde Hamilton ilkesi ve dolayısıyla klasik mekanik geçerli olamaz. D) Hamilton Denklemleri Aynı yaklaşımı 1-Boyutta klasik mekaniğe uygulamak için pv L olarak yazılan Hamilton fonksiyonunun, yok edilmesi sonucu konusunda p L v v değişkeninin tanımıyla p H kullanılarak H x, p olması istenir. Hamilton fonksiyonunun zamana bağlılığı dH d L L dv dL L dx L dv dL v dt dt v v dt dt x dt v dt dt L dx L dv L dx L dv L L x dt v dt x dt v dt t t olur ve Lagrange fonksiyonunun zamana doğrudan bağlı olmadığı durumlarda H Sabit H p v L korunum yasasına erişilir. Gene tanımından yola çıkarak H L d L H v x ve p , Lagrange denklemlerine eşdeğer x x dt v p olan Hamilton denklemleri elde edilir. 1-Boyutta ve tek parçacık için oluşturulan bu çok basit sonuçlar, gerçek hayatta 3-Boyutta j 1 , 2 , ... , 3 N K olan sistemler için parçacıktan oluşan ve N olmak üzere qj K kısıtlaması genelleştirilmiş ve bağımsız koordinatlar, hızlar ve momentumlar cinsinden d L L 0 dt q j q j L q j pj ; , H qj p j , H pj q j denklemlerine genelleşir. E) Hamilton – Jacobi Denklemleri S t to dt L x, v, t S S x, t tanımından dS L dt p dx H dt bulunur. Öte yandan için tamamen matematiksel bir yaklaşım ise vermektedir. Bu iki denklemin karşılaştırılmasından p dS S x S S dx dt x t , H S t elde edilir. 1-Boyutta harmonik osilatör problemi bu yaklaşımla S 1 S m 2 x2 t 2m x 2 2 S x, t olur. Üstel bir ifadede yer alacak fonksiyonu içeren bir Kısmi DD ’in çözümünde değişkenlerin ayrıştırılması metodu kullanırken çözümü bir çarpım olarak varsaymak doğru olmaz; S x, t X x T t daha doğru bir yaklaşımdır ve sol yanı sadece zamana, sağ yanı ise sadece uzaya bağlı dT 1 dX m 2 x2 dt 2m dx 2 2 eşit olması ile mümkündür. E denkleminin sağlanması ancak iki tarafın da aynı sabite olarak seçilen ve Enerji olarak adlandırılan bu sabit ile 1 dX m 2 x2 E 2m dx 2 2 dT E dt , olmak üzere S x, t m x 2 E U x denklemlerine ve U x U x Et sin 1 E E m 2 x2 2 çözümüne ulaşılır. PROBLEMLER P.II.1 ) 10 m uzunluğundaki bir odayı 10 sn içinde geçen 1 mg kütleli bir sivrisinek için S fonksiyonelinin değerini hesaplayın ve bu değeri 1034 kg m 2 sn değerine oranlayın. P.II.2 ) Hidrojen atomunun Bohr modeli taban seviyesinde tam bir tur atan bir elektron için S fonksiyonelinin değerinin İpucu : Virial Teoremi : 3 U olduğunu gösteriniz. 2 K L 3K EKLER VE NOTLAR (1) Nobel ödüllü fizikçi Wilczek’in hukuk terimleri arasından seçtiği deyimle “Distinction without difference”. (2) Ters bir örnek olarak : Bir kuantum sisteminin taban enerji seviyesi, potansiyel fonksiyonunun fonksiyonelidir ancak bu Euler denklemi benzeri bir denkleme yol açmaz. (3) Sayılamayacak kadar sonsuz 1 sayıda noktayı, sayılabilir sonsuz o sayıda ama sonsuz küçük aralıklarla temsil eden Riemann integrali, matematiğin çok yararlı bir kandırmacasıdır.