Sürtünme
Mühendislik Mekaniği
Statik
Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Bölüm 8
Sürtünme
Kaynak: ‘Mühendislik Mekaniği: Statik’, R. C. Hibbeler, S. C. Fan,
Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.
8. Sürtünme
Önceki bölümlerde iki cisim arasındaki değme yüzeyinin tamamen
pürüzsüz olduğu düşünüldü. Bundan dolayı cisimler arasındaki
etkileşme, değme noktalarında daima yüzeye dik olmaktadır.
Ancak, gerçekte, bütün yüzeyler pürüzlüdür ve cisim, değme
yüzeyinde normal kuvvetle birlikte teğet kuvveti de taşıma
yeteneğine sahip olmalıdır.
Teğet kuvvete sürtünme neden olur. Uygulamalar vida, yatak, disk ve
kayışları içermektedir.
8.1 Kuru Sürtünmenin Özellikleri
Sürtünme, bir cisim üzerine etkiyen ve cismin temasta olduğu ikinci
cisim veya yüzeye göre kaymasını engelleyen veya yavaşlatan direnç
kuvveti olarak tanımlanabilir.
Bu kuvvet, değme noktalarında daima yüzeye teğettir ve cismin bu
noktalara göre olası veya var olan hareketinin tersi yönde etkir.
Yüzeyler arasında genelde akışkan sürtünmesi ve kuru sürtünme
ortaya çıkar.
Bu derste yalnızca kuru sürtünme ele alınacaktır. Özellikleri 1781’de C.
A. Coulomb tarafından belirlendiğinden bu tip sürtünmeye Coulomb
Sürtünmesi denmektedir.
8.1 Kuru Sürtünmenin Özellikleri
Kuru Sürtünme Teorisi.
Normal kuvvet
Normal kuvvet
Sürtünme teorisinin açıklanabilmesi için değme yüzeyinin rijit olmadığı,
şekil değiştirebilir olduğu varsayılır. Zemin, değme yüzeyi boyunca ΔNn
normal kuvveti ve ΔFn sürtünme kuvveti dağılımı uygular. Denge
durumunda normal kuvvetler bloğun ağırlığını dengelemek için yukarı
doğru, sürtünme kuvvetleri ise hareketi önlemek için sola doğru etkir.
8.1 Kuru Sürtünmenin Özellikleri
Kuru Sürtünme Teorisi.
Normal kuvvet
Normal kuvvet
Cisim ile temas yüzeyi arasında çok sayıda mikroskobik düzensizlikler
olduğu görülür. Bundan dolayı, kabarıklıkların her birinde ΔRn tepki
kuvvetleri ortaya çıkar.
Her bir tepki kuvveti, ΔNn normal kuvvet bileşeni ve ΔFn sürtünme kuvveti
bileşenine katkı sağlar.
8.1 Kuru Sürtünmenin Özellikleri
Denge.
Basitlik amacıyla, yayılı normal ve sürtünme
yükleri N ve F bileşkeleri ile gösterilir.
Bileşke Normal ve Sürtünme
Kuvvetleri
F daima değme yüzeyine teğet doğrultuda ve P’ninkine zıt yönde etki
eder. N’nin x kadar sağdaki konumu, P’nin devirme etkisini
dengelemek içindir (Wx=Ph) ve normal yük dağılımının ağırlık
merkezi ile çakışır. Özel olarak, N bloğun sağ köşesinde (x=a/2) etki
ederse, blok devrilme sınırında olacaktır.
8.1 Kuru Sürtünmenin Özellikleri
Hareket Başlangıcı.
h’nin küçük veya değme yüzeylerinin oldukça
kaygan olduğu durumlarda, blok devrilmeden
önce kaymaya meyillidir.
Diğer bir ifadeyle, P’nin büyüklüğü arttırılırken,
F’nin büyüklüğü de, limit statik sürtünme
kuvveti denilen belirli bir maksimum Fs
değerine ulaşıncaya kadar artar.
Hareket
Başlangıcı
Denge
Deneysel olarak, Fs’nin büyüklüğünün N bileşke normal kuvvetinin
büyüklüğü ile doğru orantılı olduğu belirlenmiştir.
μs : statik sürtünme katsayısı
8.1 Kuru Sürtünmenin Özellikleri
Hareket Başlangıcı.
8.1 Kuru Sürtünmenin Özellikleri
Hareket.
Hareket
Blok üzerine etkiyen P’nin büyüklüğü Fs’den daha büyük olacak şekilde
arttırılırsa, sürtünme kuvveti daha küçük bir Fk değerine düşer. Buna
kinetik sürtünme kuvveti adı verilir. Bu durumda, blok dengede
kalamaz (P>Fk). Hareket başladığında blok çıkıntıların tepeleri
üzerinde sürüklenme başlar, ΔRn bileşke değme kuvvetleri öncekine
göre düşeyde biraz daha düzene girer ve sürtünme katsayısı düşer.
8.1 Kuru Sürtünmenin Özellikleri
Hareket.
Kayan bloklarla yapılan deneyler, Fk
bileşke sürtünme kuvvetinin N bileşke
normal kuvveti ile doğru orantılı
olduğunu gösterir.
μk: kinetik sürtünme katsayısı
Hareket yok
Hareket
μk’nın tipik değerleri μs için verilen değerlerden yaklaşık %25 daha
küçüktür.
P’nin çok büyük değerleri ya da yüksek hızlar için, aerodinamik
etkilerden dolayı, Fk ve μk azalmaya başlar.
8.2 Kuru Sürtünme İçeren Problemler
Bir rijit cisim sürtünme etkisini içeren kuvvetler sistemine maruz
kaldığında dengede kalıyorsa, kuvvet sistemi sadece denge
denklemlerini değil, aynı zamanda ilgili sürtünme kanunlarını da
sağlamalıdır.
Genel olarak, kuru sürtünme içeren üç tip mekanik problemi vardır.
• Denge,
• Bütün Noktalarda Hareket Başlangıcı,
• Devrilme veya Bazı Noktalarda Hareket Başlangıcı.
Bunlar, serbest cisim diyagramları çizildikten ve toplam bilinmeyen
sayısı belirlenip kullanılabilen denge denklemi sayısı ile
karşılaştırıldıktan sonra, kolayca sınıflandırılabilirler.
8.2 Kuru Sürtünme İçeren Problemler
Denge.
Bu tip problemler, toplam bilinmeyen sayısının toplam kullanılabilir
denge denklemi sayısına eşit olmasını gerektiren, tam denge
problemleridir. Örnekte denge konumunu incelemek için A ve C’deki
sürtünme kuvvetleri belirlenmelidir. Altı bilinmeyen, altı denge
denkleminden belirlenebilir ve eşitlikler kontrol edilir.
8.2 Kuru Sürtünme İçeren Problemler
Bütün Noktalarda Hareket Başlangıcı.
Bu durumda, toplam bilinmeyen sayısı, denge denklemleri ile F = μN
sürtünme denklemlerinin toplamına eşit olur. Değme noktalarında
hareket başlangıcı söz konusu ise, Fs = μsN’dir, cisim kayıyor ise, Fk =
μkN olur. Örnekte beş bilinmeyen vardır. Üç denge denklemi ve
değme noktalarındaki statik sürtünme denklemleri uygulanır.
8.2 Kuru Sürtünme İçeren Problemler
Devrilme veya Bazı Noktalarda Hareket Başlangıcı.
Burada, toplam bilinmeyen sayısı denge denklemleri ile sürtünme
denklemleri veya devrilme koşulu denklemlerinin toplamından daha azdır.
Örnekte çerçevenin hareketi için gerekli P’yi bulmak istiyoruz.
Burada yedi bilinmeyen vardır. Tek
çözüm için, 6 denge denkleminin
ve mümkün 2 statik denkleminden
sadece birinin sağlanması gerekir.
P kuvveti artarken, yandaki eşitliklerde ifade edildiği
gibi A’da veya C’de kaymaya sebep olabilir.
8.2 Kuru Sürtünme İçeren Problemler
Devrilme veya Bazı Noktalarda Hareket Başlangıcı.
Örnekte dört bilinmeyen vardır: P, F, N ve x. Tek çözüm için üç denge
denklemi ve bir statik sürtünme denklemini veya bloğun
devrilmemesi için gerekli olan bir denge koşulunu sağlatmalıyız.
Buna göre, iki hareket
olasılığı vardır. Blok
kayar veya devrilir.
P’nin
en
küçük
değerini veren çözüm
bloğun
hareketini
tanımlar.
F=μN
F≤μN
s
s
8.2 Kuru Sürtünme İçeren Problemler
Analizde İzlenecek Yol.
Serbest Cisim Diyagramı. Gerekli SCD çizilir ve tam çözüm için gerekli
bilinmeyen veya denklem sayısı belirlenir. Aksi belirtilmedikçe,
sürtünme kuvvetleri daima bilinmeyen olarak gösterilir, yani F = μN
olduğu varsayılmaz.
Her bir cisim için sadece üç düzlemsel denge denklemi yazılabildiği
hatırlanmalıdır. Bu yüzden, denge denklemlerinden daha fazla
bilinmeyen varsa, tam çözüm için gerekli ek denklemleri elde etmek
için, hepsinde değilse bile bazı değme noktalarında sürtünme
denklemlerini uygulamak gerekir.
8.2 Kuru Sürtünme İçeren Problemler
Analizde İzlenecek Yol.
Sürtünme ve Denge Denklemleri. Denge denklemleri ve gerekli
sürtünme denklemleri (devrilme söz konusu ise koşul denklemleri)
uygulanır ve bilinmeyenler elde edilir.
Kuvvet bileşenlerinin veya gerekli moment kollarının bulunmasında
güçlük ortaya çıkan üç boyutlu problemlerde, denge denklemleri
kartezyen vektörler kullanılarak uygulanır.
Örnek 8-1
Şekilde gösterilen düzgün sandığın kütlesi 20 kg’dır. Sandığa P = 80 N
kuvveti uygulandığına göre, sandığın dengede kalıp kalamayacağını
belirleyiniz. Statik sürtünme katsayısı μs = 0.3’tür.
Örnek 8-1
x’in negatif olması, bileşke normal kuvvetin sandık merkezinin solunda
olduğunu gösterir. Devrilme gerçekleşmez.
Maksimum sürtünme kuvveti Fmax, F kuvvetinden büyük olduğundan,
sandık kaymaz.
Örnek
Damper kasa tabanının yatayla yaptığı açı θ=25° olduğunda
üzerindeki otomatik satış makineleri kaymaya başlamıştır. Makine ile
kasa tabanı arasındaki statik sürtünme katsayısını belirleyiniz.
Örnek
Örnek
10 kg’lık üniform merdiven şekilde görüldüğü gibi B’de pürüzsüz
duvara, A’da sürtünme katsayısı μs = 0.3 olan pürüzlü yatay düzleme
yaslanmıştır. Merdiven kayma sınırında ise, θ açısını ve B’deki normal
tepkiyi hesaplayınız.
Örnek
Örnek
AB kirişi, 200 N/m’lik bir düzgün yüke maruzdur ve BC kazığı ile B’de
tutulmaktadır. B ve C’deki statik sürtünme katsayıları μB = 0.2 ve μC =
0.5 olduğuna göre, kazığı çubuğun altından çekmek için gerekli P
kuvvetini belirleyiniz. Elemanların ve kazığın ağırlığını ihmal ediniz.
Örnek
Denge Denklemleri.
Kazığın B’de kayıp C etrafında dönmesi.
Bu durumda, C’de kayma meydana gelir. Diğer hareket durumu
incelenmelidir.
Örnek
Denge Denklemleri.
Kazığın C’de kayıp B etrafında dönmesi.
Daha az P kuvveti gerektirdiğinden, önce bu durum meydana gelir.
8.3 Kamalar
Hareket
başlangıcı
Kama, uygulanan bir kuvveti, bu kuvvetle yaklaşık olarak dik açı yapan
doğrultuda, çok daha büyük kuvvetlere dönüştürmek için kullanılan basit
bir makinedir.
Kamalar ağır yüklere küçük yer değiştirmeler veya düzeltmeler vermek için
de kullanılabilir.
P kaldırılırsa veya P = 0 ise ve sürtünme kuvvetleri bloğu yerinde
tutuyorsa, kamaya kendini kilitleyen kama denir.
8.3 Kamalar
Hareket
başlangıcı
Kamanın ağırlığı, bloğun ağırlığına göre küçük olduğundan hesaba
katılmaz. F1, F2 ve F3 sürtünme kuvvetleri hareket yönüne zıttır.
Bloğun ve kamanın devrilmesi söz konusu olmadığından, kuvvet analizinde
bileşke normal kuvvetlerin konumları önemli değildir. P yükü ile birlikte
toplam yedi bilinmeyen vardır. Çözüm için kamaya ve bloğa uygulanan iki
kuvvet denge denklemi (toplam dört denklem) ile her değme yüzeyinde
uygulanan F = μN sürtünme denklemleri (üç adet) kullanılabilir.
Örnek 8-7
Düzgün taş 500 kg’lık kütleye sahiptir ve şekilde gösterildiği gibi, B’de
bir kama kullanılarak yatay konumda tutulmaktadır. Kama ile temas
yüzeyindeki statik sürtünme katsayısı μs = 0.3 olduğuna göre, kamayı
çıkarmak için gerekli P kuvvetini belirleyiniz. Kama, kendini kilitleyen
kama mıdır? Taşın A’da kaymadığını varsayınız.
Örnek 8-7
Hareket
başlangıcı
Kama kaldırılacağından, değme yüzeylerinde kayma oluşmak
üzeredir. Dolayısıyla, kama üzerinde F = μsN’dir. A’da kayma
oluşmadığından, FA ≤ μNA olur. FA, NA, NB, NC ve P olmak üzere beş
bilinmeyen vardır.
Taşın SCD’si
Örnek 8-7
Hareket
başlangıcı
Kamanın SCD’si
P pozitif olduğundan, kamanın çekilmesi gerektiği anlaşılır.
*8.4 Vidalardaki Sürtünme Kuvvetleri
Vidalar çoğunlukla bağlayıcı olarak kullanılır. Bununla beraber, birçok
makine tipinde gücün veya hareketin iletilmesinde de kullanılırlar.
Kare dişli vida, özellikle ekseni boyunca büyük kuvvetler uygulandığında,
bu amaçla kullanılır.
Bu kesimde kare dişli vidalar üzerine etkiyen kuvvetleri analiz edeceğiz. V
dişli gibi diğer vida tiplerinin analizi de aynı ilkelere dayanır.
*8.4 Vidalardaki Sürtünme Kuvvetleri
Vida, bir silindir etrafına sarılı eğik düzlem ya da kama olarak
düşünülebilir. Başlangıçta A konumunda bulunan bir somun, vida
etrafında 360° döndüğü zaman B’ye çıkar.
Bu dönme, somunun l yüksekliğinde ve 2πr uzunluğundaki eğik düzlemde
yukarıya doğru ötelenmesine eşdeğerdir.
Burada r dişin ortalama yarıçapıdır. l: vida adımı. Adım açısı:
*8.4 Vidalardaki Sürtünme Kuvvetleri
Sürtünme Analizi.
Vida büyük eksenel yükler taşıdığında, vidayı
döndürmek için gerekli M momentinin
belirlenmesinde, diş üzerinde ortaya çıkan
sürtünme kuvvetleri önem kazanır.
Kare dişli kriko vidasında W yüküne karşı krikonun
tepki kuvvetleri, h bölgesinde vida boşluğu ile
temas eden vida dişi çevresi üzerinde yayılıdır.
Basitlik için, dişin bu kısmı vidadan açılıyormuş gibi
düşünülebilir ve θ adım açılı eğik düzlem üzerinde
durmakta olan basit bir blok olarak gösterilebilir.
*8.4 Vidalardaki Sürtünme Kuvvetleri
Sürtünme Analizi.
Basitlik için, dişin bu kısmı vidadan açılıyormuş
gibi düşünülebilir ve θ adım açılı eğik düzlem
üzerinde durmakta olan basit bir blok olarak
gösterilebilir.
Buradaki eğik düzlem, kriko tabanının iç taşıyıcı
dişini gösterir.
=S
W vidaya uygulanan toplam eksenel yüktür. S yatay kuvvetine M
momenti sebep olur. r ortalama vida yarıçapı olmak üzere, M = Sr
olması gerekir. W ve S’nin sonucu olarak, eğik düzlem blok üzerine N
ve F bileşkelerine sahip R bileşke kuvvetini uygular.
*8.4 Vidalardaki Sürtünme Kuvvetleri
Yukarıya Vida Hareketi.
M yeterince büyük olmak üzere, vida yukarı doğru hareket sınırına
getirilebilir veya hareket oluşabilir. Bu koşullar altında R, düşeyle (θ+φs)
açısı yapacak şekilde etkir.
M, vidanın yukarı doğru hareketinin başlaması için gereken momenttir. φs
yerine φk konulursa, yukarıya doğru düzgün hareketin korunması için daha
küçük bir M değeri verecektir.
*8.4 Vidalardaki Sürtünme Kuvvetleri
Aşağıya Vida Hareketi (θ > φ).
Vidanın yüzeyi çok kayıcı ise ve momentin
büyüklüğü azalırsa (doğrultusu değil) (örneğin
M'<M), vidanın aşağıya doğru dönmesi mümkün
olabilir.
Sürtünme kuvveti harekete ters yönde
olacağından, R bileşkesinin doğrultusu değişir.
Bu durumda, uygulanan momenti veren ifade
aşağıdaki gibidir.
*8.4 Vidalardaki Sürtünme Kuvvetleri
Kendini Kilitleyen Vida.
φ ≥ θ koşulu ile, M momenti kaldırılırsa, vida kendini
kilitlemiş olacak; yani, W yükü sadece sürtünme
kuvvetleri tarafından taşınacaktır.
Burada R düşey olup W kuvvetini dengelemektedir.
Aşağıya Vida Hareketi (θ < φ).
Vidanın yüzeyi çok pürüzlü olduğu zaman, vida
aşağıya doğru dönmeyecektir.
Burada, harekete neden olması için uygulanan
momentin yönü ters çevrilmiş olmalıdır.
Örnek 8-8
Şekilde gösterilen germe donanımı ortalama 5 mm yarıçaplı bir kare
diş ve 2 mm’lik bir adıma sahiptir. Vida ve donanım arasındaki statik
sürtünme katsayısı μs = 0.25 olduğuna göre, uç vidaları daha yakına
çekmek için uygulanması gereken M momentini belirleyiniz.
Donanım kendini kilitleyen midir?
Örnek 8-8
Moment kaldırıldığı zaman, donanım
kendini kilitleyen olur. Çünkü φs > θ’dır.
*8.5 Düz Kayışlarda Sürtünme Kuvvetleri
Kayışla hareket ve bant frenleri tasarımında, kayış ve temas yüzeyi
arasında oluşan sürtünme kuvvetlerini belirlemek gerekir. Bu bölümde,
düz kayışlar üzerine etki eden sürtünme kuvvetlerini analiz edeceğiz.
Kayış, temas yüzeyindeki toplam açısı radyan
cinsinden ϐ olmak üzere sabit yüzey üzerinden
geçmektedir ve sürtünme katsayısı μ’dür. Kayışı
saatin tersi yönünde çekmek ve böylece temas
yüzeyindeki sürtünme kuvvetlerini ve bilinen T1
çekme kuvvetini yenmek için gerekli T2 çekme
kuvvetini belirleyeceğiz. T2 >T1 olduğu açıktır.
Kayışın yüzeye göre hareketi
veya hareket başlangıcı
*8.5 Düz Kayışlarda Sürtünme Kuvvetleri
Sürtünme Analizi.
Kayışın yüzeye göre hareketi
veya hareket başlangıcı
N normal ve F sürtünme kuvvetlerinin hem büyüklüğü hem de yönü kayış
boyunca farklı noktalarda değişecektir. Bu bilinmeyen kuvvet dağılımından
dolayı, kayışın analizi, kayışın diferansiyel elemanı üzerine etkiyen
kuvvetlerin incelenmesiyle başlar.
*8.5 Düz Kayışlarda Sürtünme Kuvvetleri
Sürtünme Analizi.
dθ sonsuz küçük olduğundan, sin(dθ/2) ve cos(dθ/2) yerine sırasıyla dθ/2
ve 1 yazılabilir. Ayrıca, dT ve dθ/2 sonsuz küçüklerinin çarpımı, birinci
mertebeden sonsuz küçüklere oranla ihmal edilebilir. Buna göre
yukarıdaki iki denklem aşağıdaki gibi yazılabilir.
*8.5 Düz Kayışlarda Sürtünme Kuvvetleri
Sürtünme Analizi.
dN yok edilerek:
Bu denklem, θ=0’da T=T1 ve θ=ϐ’da T=T2 olacak
şekilde kayışın tambura temas ettiği bütün noktalar
arasında integre edilir.
Denklem, tamburun yarıçapından bağımsız olup kayışın ϐ temas yüzey
açısına bağlıdır ve sadece hareket başlangıcı için geçerlidir.
Örnek 8-9
Şekilde gösterilen kayışta oluşabilen maksimum çekme kuvveti 500
N’dur. A’daki makara serbestçe dönebildiğine ve sabit B ve C
tamburlarındaki sürtünme katsayısı μs = 0.25 olduğuna göre, kayışla
kaldırılabilen silindirin en büyük kütlesi ne olur? Kayış ucunda
uygulanan T kuvvetinin, gösterildiği gibi, düşey olarak aşağıya doğru
yönlendiğini varsayınız.
Örnek 8-9
*8.6 Bilezikli Yataklar, Mil Yatakları ve Diskler Üzerindeki
Sürtünme Kuvvetleri
Mil yatakları ve bilezikli yataklar, genellikle, makinelerde dönen bir şaft
üzerindeki bir eksenel yükü taşımak için kullanılırlar.
Yataklar yağlı değilse veya kısmen yağlı
ise, şaft P eksenel yüküne maruz
kaldığında, şaftı döndürmek için gerekli
M momentini belirlemede kuru
sürtünme kanunları uygulanabilir.
Mil yatağı
Bilezikli yatak
*8.6 Bilezikli Yataklar, Mil Yatakları ve Diskler Üzerindeki
Sürtünme Kuvvetleri Sürtünme Analizi.
Şekildeki şaft üzerindeki bilezikli yatak, P eksenel yüküne
maruzdur ve
lik toplam yatağa veya temas alanına
sahiptir. Analizde, p normal basıncının bu alan üzerinde
düzgün olarak yayılı olduğu düşünülecektir.
Toplam Fz sıfır olduğundan,
olur.
Şaftın dönme başlangıcı için gerekli moment, yatak
yüzeyinde oluşan dF sürtünme kuvvetlerinin moment
dengesinden belirlenebilir.
dN=pdA normal kuvveti şaftın z eksenine göre moment üretmez fakat
sürtünme kuvveti dM=rdF momenti üretir.
*8.6 Bilezikli Yataklar, Mil Yatakları ve Diskler Üzerindeki
Sürtünme Kuvvetleri Sürtünme Analizi.
Sürtünme başlangıcı için,
olur.
dF ve dA’yı yerine yazar ve tüm yatak alanı üzerinden
integral alırsak,
veya
elde edilir.
Mil yataklı durumda, R2 = R ve R1 = 0 olduğundan,
ifadesi elde edilir.
Örnek 8-10
Şekildeki düzgün çubuğun ağırlığı 4 lb.’dur.
Temas yüzeyinde etkiyen normal basıncın
çubuğun uzunluğu boyunca lineer olarak
değiştiği
varsayıldığına
göre,
çubuğu
döndürmek için gerekli M momentini
belirleyiniz. a genişliğinin l uzunluğuna göre
ihmal edilebileceğini varsayınız. Statik
sürtünme katsayısı μs=0.3’tür.
Örnek 8-10
Yayılı yükün merkezindeki (x=0) w0 şiddeti düşey
kuvvet dengesinden belirlenebilir.
x=2’de w=0 olduğundan, yayılı yük x’in fonksiyonu
olarak ifade edilebilir.
Buradan,
Örnek 8-10
Çubuğun z eksenine göre momentler toplamı
integrasyonla belirlenir.
*8.7 Kayma Yataklarda Sürtünme Kuvvetleri
Şaftlar ve miller yanal yüklere maruz kaldığında,
mesnet olarak genellikle bir kayma yatak kullanılır.
Yatak yağlanmamış veya kısmen yağlanmış ise,
sürtünme direnci analizi kuru sürtünme kanunları
üzerine kurulabilir.
Sürtünme Analizi.
Dönme
Şaft şekilde gösterilen yönde dönerken, yatak duvarı üzerindeki
bir A noktasında kayma meydana gelir. Şaftın ucunda etkiyen
yanal yük P ise, A’da etkiyen R yatak tepki kuvvetinin P’ye eşit
ve ona ters olması gerekir.
*8.7 Kayma Yataklarda Sürtünme Kuvvetleri
Sürtünme Analizi.
Şaftın sabit dönmesinin sürmesi için gerekli moment, şaftın z
eksenine göre momentler toplanarak bulunabilir.
Alttaki şekilde
olduğu görülmektedir. rf yarıçaplı
çembere sürtünme çemberi denir. Şaft dönerken, R tepkisi
daima bu çembere teğet kalır.
Yatak kısmen yağlı ise, μk küçüktür ve
olur.
Bu koşullar altında, sürtünme direncini yenmek için gerekli
moment için uygun bir yaklaşım aşağıda verilmektedir.
Örnek 8-11
Şekildeki 100 mm çaplı kasnak, statik sürtünme
katsayısı μs=0.4 olan 10 mm çaplı şaft üzerine
gevşek olarak yerleştirilmiştir. 100 kg’lık bloğu:
(a) yükseltmek, (b) alçaltmak için kayıştaki
minimum T çekme kuvveti ne olmalıdır? Kayış ve
kasnak arasında bir kayma olmadığını varsayınız ve
kasnağın ağırlığını ihmal ediniz.
Örnek 8-11
(a) Kasnak, her biri 981 N olan çekme kuvvetlerine
maruz kaldığında, şafta P1 noktasında değer. T çekme
kuvveti arttırılırken, kasnak hareket başlangıcından önce
şaft etrafında P2 noktasına kadar döner. Sürtünme
çemberinin yarıçapı rf = rsinφ olduğu görülür.
P2 noktasına göre momentler toplamından,
Daha kesin bir analiz,
Örnek 8-11
(b) Blok alçalırken, şaft üzerine etkiyen R bileşke kuvveti
şekilde gösterildiği gibi, P3 noktasından geçer. Bu
noktaya göre momentler toplamı aşağıdaki sonucu verir.
*8.8 Yuvarlanma Direnci
W ağırlığındaki rijit bir silindir, sabit bir hızla bir rijit yüzey
üzerinde yuvarlanırken, yüzeyin silindire uyguladığı normal
kuvvet değme noktasında etkir.
Ancak hiçbir malzeme tam rijit değildir ve bu
yüzden yüzeyin silindir üzerindeki tepkisi bir
normal basınç dağılımı şeklinde oluşur.
Çok sert malzemeden yapılmış bir silindir yumuşak bir
yüzeyde yuvarlanırken, ön taraftaki yüzey malzemesi şekil
değiştirmekte olduğundan hareketi yavaşlatır; buna karşın,
arkadaki malzeme eski haline dönmektedir ve silindiri öne
itmeye çalışır.
*8.8 Yuvarlanma Direnci
Bu şekilde ortaya çıkan, silindir üzerine etkiyen normal
basınçlar, Nd ve Nr bileşke kuvvetleri ile gösterilir. Şekil
değiştirme kuvvetinin büyüklüğü ve yatay bileşeni geri
dönme kuvvetinden daima daha büyüktür. Bu nedenle,
hareketini sürdürmesi için silindire bir P yatay kuvveti
uygulanmalıdır.
Yüzey adezyonu ve temas yüzeyleri arasındaki bağıl mikro kayma da
yuvarlanma direncinde etkili olsa da birincil etki yukarıda açıklandığı gibi
meydana gelir. Bu etkileri yenmek için gerekli gerçek P kuvvetini
belirlemek güç olduğundan, burada basitleştirilmiş bir yöntem
geliştirilecektir.
*8.8 Yuvarlanma Direnci
Silindir üzerine etkiyen tüm normal
basıncın N = Nd + Nf bileşkesini ele
alalım. Bu kuvvet düşeyle θ açısı
yapar. Silindirin dengede kalması yani
sabit hızla yuvarlanması için N’nin, P
ve W’nin ortak noktasından geçmesi
gerekir.
A’ya göre momentler toplamı
olur. Deformasyonlar genellikle
küçük olduğundan,
alınabilir. Dolayısıyla,
veya
a: yuvarlanma direnci katsayısı
Örnek 8-12
Şekildeki 10 kg’lık çelik tekerlek, 100 mm
yarıçaplıdır ve ağaçtan yapılmış bir eğik düzlemde
durmaktadır. θ arttırılırken, tekerlek θ=1.2˚
olduğunda aşağıya doğru yuvarlanmaya başladığına
göre, yuvarlanma direnci katsayısını belirleyiniz.
Örnek 8-12
Tekerleğin hareket başlangıcında, N normal tepkisi a
mesafesi ile tanımlı A noktasında etkir.