Prof. Dr Baki KARLIĞA
2006
DÜZLÜK NEDİR?
TARİHÇE: BİR DÜZ DOĞRUYU NASIL ÇİZEBİLİRİZ?
Pergelle bir çember çizerken, bir çember modeli ile başlamayız; bunun
yerine
çemberin
üzerindeki noktalar çemberin merkezine sabit uzaklıktadır prensibini kullanırız. Veya Öklit’in çember
tanımını kullanıyoruz diyebiliriz(Bakınız Ek A, Tanım 15). Peki ya,düz doğru çizimi;düz doğruyu
çizecek bir alet ( pergel görevi görecek) var mıdır? Birisi düz doğru çizmek için cetvel
kullanabileceğimizi söyleyebilir. Peki, cetvelin bir düz doğru olduğunu nasıl biliyoruz? Bir şeyin
düzlüğünü nasıl kontrol edebiliriz? Düzlük ne demektir? Bunun hakkında biraz düşününüz.─Bu
Problem 1.1’in bir kısmını oluşturuyor.
Öklit’in üsteki tanımını kullanmayı deneyebilirsiniz. Bir kâğıt parçasını katladığımız takdirde,
kat çizgisi düz doğru olacaktır ─bu esnada kenarların düz doğru olması gerekmemektedir. Burada düz
doğru oluşturmak için ayna simetrisinden yararlanılır. Marangozlar da düzlüğe karar verirken
simetriden yararlanırlar.─İki tahtayı yüz yüze gelecek şekilde yerleştirirler, kenarları düzgün olarak
görünene kadar rendelerler ve sonra tahtalardan birini rendelenmiş kenarlar birbiri üstüne gelecek
şekilde diğerinin üstüne yerleştirirler. Bakınız Şekil 1.1. Daha sonra tahtaları ışığa doğru tutarlar. Eğer
kenarlar düzgün değilse, tahtalar arasında bulunan boşluklar ışık sayesinde fark edilecektir. Düz
doğrunun simetrilerini Problem 1.1’de detaylı olarak inceleyeceğiz.
Şekil 1.1. Düzlüğü kontrol etmek için marangozların kullandığı yöntem
Bazen, aşırı pürüzsüz düz aynaları bilerken, aşağıdaki teknik kullanılır: neredeyse düz olan üç
cam parçasını alın ve 1. ile 2. parçaları arasına süngertaşı(ponza) koyun sonra birlikte bileyin. Daha
sonra aynı hareketi 2. ile 3, 3. ile1. parçalar için tekrarlayın. Bu hareketi üç parçada tam düz oluncaya
kadar tekrar edin.Bakınız Şekil 1.2. bunun neden işe yaradığını anlıyor musunuz?
Ayrıca, genel lise tanımını kullanabiliriz, “ iki nokta arasındaki en kısa mesafe bir düz
doğrudur.”. bu tanım bizi bir ipi gererek düz doğru oluşturmaya götürür.
Simetri kullanımı, germe ve katlama diğer yüzeylere de uygulanabilirler, bu uygulamaları Bölüm
2,4 ve 5’te göstereceğiz. Literatürde bulunan “düz doğru tanımsız bir terimdir” ya da “ bir kürenin
üzerinde bulunan düz doğrular muazzam çemberlerin yaylarıdır” tanımlamaları kafamızı
karıştırabilir.”simetri” Art/Pattern Strand’dan gelir,”tanımsız terim” Building/Structures Strand’dan
gelir,”en kısa mesafe” tanımı Navigation/Stargazing Strand’dan gelir.
Ama hala tam anlamıyla düz doğru çizecek pergele benzer bir mekanizma var mıdır sorusu
cevapsız kalmıştır. Bu sorunun cevabını mekanik tarihinin içinde bulacağız. Bu bizi Motion/Machines
Strand’a ve düzlüğün diğer bir anlamına götürecek.
13. yy’ dan bu yana dairesel hareketi düzgün doğrusal harekete dönüştürmek uygulamalı
mühendislik problemi olmuştur. 13. yy daki bıçkıhane eskizlerinde gördüğümüz gibi linkler(link
çubukları yüzeye bağlanmış ve son kısımları perçinlenmiş) (bakınız şekil 1.3) 13. yy da kullanıldılar
ve muhtemelen daha önceleri icat edildiler. Georgius Agricola(1494–1555) ‘nın jeolojik yazıları [ME:
Agricola] sadece ilk elden kaya ve mineral gözlemlerini yansıtmıyor, bunun yanında maden
mühendisliğinin her açıdan gözlemlerini ve zaman içindeki pratiklerini(uygulamalarını) de yansıtıyor.
gelen ileri geri harekete dönüşmesi için kullanılan linkler rahatlıkla görülebilir.1588’de, Agostino
Ramelli [ME: Ramelli] linkleri yaygın olarak kullanılmış olan, makineler hakkında bir kitap
yayınlamıştır. Bu kitapların ikisi de okunabilir durumda; kaynakçaya bakınız.
18. yy sonlarında insanlar güç için buhar motorlarını kullanmaya başladılar. Oldukça yetenekli
bir makine tasarımcısı olan JamesWatt (1736–1819), buhar motorlarının verimliliklerini ve güçlerini
geliştirmek için çalıştı. Buhar motorlarında, buhar basıncı pistonu düz silindir içinde aşağı iter. Watt’ın
problemi bu doğrusal hareketin nasıl tekerleğin dairesel hareketine dönüştürülebilineceği idi( buhar
lokomotifinde olduğu gibi). Doğrusal hareketi dairesel harekete dönüştürecek bir düzgün doğru linkini
tasarlamak Watt’ın yıllarını aldı. Daha sonra oğluna şunları söylemiştir.
“Paralel Hareket” Watt’ın kendi linki için kullandığı isimdir. Bu isim 1784’teki patente dâhildir.
Watt’ın bu linki uygulamalı mühendislik problemine iyi bir çözümdü. Bakınız Şekil 1.4’ de Watt’ın
linki sol üst köşede bir paralelkenar ve birleşmiş linklerdir.
Şekil 1.4. Watt’ın paralel hareket linkini içeren buhar motoru
Lakin Watt’ın linkinin sadece yaklaşık bir düz doğru oluşturacağını bilen matematikçiler
Fransız subay Charles Nikolas Peaucellier (1832–1913), ve Rus üniversite öğrencisi Lipmann I.
Lipkin(1851–1875) birbirlerinden bağımsız olarak kesin düz doğru çizen link (makine bağlantısı)
bulana kadar yani 1864–1871 yıllarına kadar kesin düz doğru çizen bir link bulunamadı. Bakınız Şekil
1.5( Lipkin hakkında fazla bilgi yok. Bazı kaynaklara göre Litvanya’da doğdu ve St. Petersburg ‘taki
Chebyshev’de lisans üstü öğrencisiydi. Ama doktora tezini tamamlayamadan öldü. )( Bu keşif
4).
Şekil 1.5 deki link çalıştı çünkü ilerde Problem 16.3’te göstereceğimiz gibi, Q noktası sadece
yarıçapı (s
2
−d
2
)f /(g
2
−f
2
)olan çemberin yayı boyunca hareket edecektir. Bu sayede geniş bir
çemberin yayını, çemberin merkezini kullanmaksızın çizebiliriz. Eğer g ve f uzunlukları eşitse, P
sonsuz yarıçapı olan bir çemberin yayını çizecektir. (Bu link hakkındaki diğer bir görüş için bakınız
[EG: Hilbert], sayfa 272-273). Böylece Motion/Machines Starnd’dan bakınca düz doğrunun diğer bir
tanımını bulduk.”Düz doğru yarıçapı sonsuz olan bir çemberdir.”(Yarıçapı sonsuz olan çember
hakkında bilgi edinmek için Şekil 11.4’ün yanındaki metne bakınız.)
PROBLEM 1.1 NEZAMAN BİR DOĞRUYU DÜZ OLARAK TANIMLARIZ?
Önsözde yer alan geometri yaklaşımına uygun olarak, sizi düzlük kavramını derinlemesine
inceleme konusunda teşvik edecek bir soru ile başlayalım. Sizden düzlük hakkında sayısız
varsayımları kabullenmenizdense deneyimlerinize dayalı bir düzlük fikri oluşturmanızı istiyoruz. Bunu
formülize etmek zor olsa da düzlük doğal bir kavramdır.
a.
Uygulamalı olarak bir şeyin düz olduğunu nasıl kontrol edersiniz? Düz bir şeyi nasıl
oluşturursunuz?─Çit kazıklarını bir düz doğru oluşturacak şekilde nasıl yerleştirirsiniz,
ya da nasıl düz doğru çizersiniz? Farz edelim bunu cetvelle çizerek yaptınız, o zaman
biz şunu soracağız” Cetvelin düz olduğunu nasıl kontrol edebilirsiniz?”
İlk olarak, deneyimlerinizdeki düzlük örneklerine bir bakınız. Dışarı çıkın ve düz bir doğru
boyunca yürümeyi deneyin ve sonra da eğimli bir yol boyunca; düz çizgi doğru çizmeyi deneyin ve
sonra bu doğrunun düz olduğunu kontrol edin.Düz doğruyu,düz olmayan doğrulardan ayıran özelliğe
baktığınız için, muhtemelen şu durumu hatırlayacaksınız( çoğunlukla lise geometrisinde tanım olarak
yolların uzunluklarını ölçebilir misiniz? En kısa yolu nasıl bulursunuz? İki nokta arasındaki en kısa
mesafe gerçekten bir düz doğru ise, bunun tersi de doğru mudur? İki nokta arasına çizilen bir düz
doğru her zaman en kısa mesafe midir? Daha sonraki bölümlerde bu sorulara döneceğiz.
Bu probleme güçlü bir yaklaşım doğruları simetri açısından düşünmek olur. Diğer
yüzeyleri(küreler, koniler, silindirler ve diğerleri) ele aldıkça bu yaklaşım daha da önem
kazanacaktır.Doğruların simetrilerinden iki tanesi aşağıdaki gibidir:
•
nesneyi yansıtmaktır.
Şekil 1.6 Düz Doğrunun Yansıma Simetrisi
Bu örneklerin her birinde doğrunun simetrisi üzerinde durmamıza rağmen, farkında olmalısınız
etrafındaki uzayı içerir. Simetriler mahalli çevreyi muhafaza eder. Fark ederseniz, doğruda yansıma
simetrisi, yarı dönüş simetrisi ve doğrunun etrafı simetri hareketinin birer parçasıdırlar ve aralarındaki
ilişkinin tamamı harekete uygundur. Gerçekten,doğrudaki yansıma kesinlikle doğruyu hareket
ettirmez, ama bulunduğu uzaylarda doğrunun her iki tarafının da aynı olduğu bir yol sergiler.
Tanımlar
İzometri: Açı ölçülerini ve mesafeleri muhafaza ederek yer değiştirmedir.
Bir Şeklin Simetrisi: Uzaydaki bir bölgenin öyle bir izometrisidir ki şekli(veya şeklin bulunduğu
bölgenin bir parçasını) kendi üzerine götürür.
Bir uzayın bütün izometrilerinin öteleme, dönüşüm, yansıma ya da bunların birleşimi olduğu Problem
11.3’te gösterilecektir.
Doğrunun diğer simetrileri hakkında da düşünmeye çalışınız( birkaç tane var) Bazı simetriler düz
doğrular için uygun olsa da bazıları diğer eğriler için de uygun olabilirler. Hangi simetrilerin sadece
ya da doğrunun düzlüğüne karar vermek için bu simetrilerin uygulamalarını da düşününüz.
“Düz” diye adlandırdığımız şeyleri araştırınız. Düz doğruları nerelerde görürüsünüz? Neden
bunlara düz dersiniz? Düz dediğimiz hem fiziksel hem de fiziksel olmayan doğruları araştırınız. Düz
doğrunun simetrileri nelerdir? Bulduğunuz örneklerle ya da yukarıdaki örneklerle uyuşuyorlar mı?
Düzlüğü tanımlarken doğrunun simetrilerinden herhangi birini kullanabilir miyiz? İki düzlemin
kesişimi bir düz doğru mudur? Öyleyse bu neden düz doğrudur? Bize düzlük kavramını anlama da
yardımcı olur mu?
Elinizde ucuna taş bağlı uzun bir iple yürüdüğünüzü düşününüz. Bu taş ne zaman sizin yolunuzu
takip edecektir? Neden? Bu özellik düşen bir su kayakçısını kaldırmak için kullanılır. Bot düz doğru
boyunca kayakçının yanında gider ve böylece halat botun yolunu takip eder. Sonra bot belli bir açı ile
kayakçının önünden döner. Çünkü bot artık düz bir yol izlemiyordur, halat düşen kayakçıya doğru
hareket eder. Burada neler olur?
Akılda tutulması gereken diğer bir düşünce ise düzlük lokal bir özellik olarak düşünülmelidir. Bir
doğrunun tamamı düz olmadığı halde bir kısmı düz olabilir. Örneğin, bu doğru düz ise
Ve sonra bu doğrunun sonuna eğri eklersek, burada olduğu gibi
şimdi bu doğrunun orijinali değişmediği halde, sadece bir kısım eklendiği için bu doğrunun orijinal
kısmı düz değil midir diyeceğiz? Ayrıca burada dikkat ederseniz doğru ve doğru parçası arasında bir
ayrım yapmıyoruz. Genellikle diğerlerine göre daha genel bir terim olan doğru;her doğru parçası, düz
ve düz olmayan doğrulara gönderme yapmaktadır.
Muhtemelen düzlük hakkında birçok fikir oluşturdunuz. Şimdi yapmanız gereken, tüm bu düz
olgular için ortak noktanın ne olduğunu düşünmektir.
Daha fazla okumadan bu konu hakkında düşününüz, bu soruya verdiğiniz cevapların bazılarını
açık olarak belirtiniz. Neden düz olduğunu anlayana kadar hiçbir cevabı kabullenmeyiniz. Hiçbir
cevap önceden tayin edilemez. Bizim asla hayal edemeyeceğimiz bir şeyler bulabilirsiniz. Sonuç
olarak önemli olan kendi düşüncelerinizde ısrar etmenizdir. Sayfa 25 ten başlayan bu kitap nasıl
kullanılır kısmını tekrar okuyunuz.
Bu konu hakkındaki düşüncelerinizi yazarak ya da konuşarak anlatana kadar bundan sonraki
bölümleri okumamalısınız.
DOĞRUNUN SİMETRİLERİ
Doğrusal Simetride Yansıma: Yansımayı 3 boyutlu uzayda olan “tersine çevirme” olarak
düşünmektense, ekseni doğru olan bir ayna olarak düşünmek bizim için daha kullanışlı olacaktır.
Böylelikle yansıma simetrisi fikrini kürelere kadar sürdürebiliriz. (tersine çevirme olayı kürelerde
mümkün değildir.) . Simetri düzlük tanımı olarak kullanılamaz çünkü yansıma simetrisini tanımlamak
için düzlüğü kullanıyoruz. Aynı yaklaşım diğer simetri çeşitlerinin birçoğuna da uygulanır.
Şekil 1.8-1.14 açık gri üçgen, koyu gri üçgenin simetri eylemi altında oluşan görüntüsüdür.
Pratik uygulama: Bir parça kâğıdı katlayarak düz doğru elde edebiliriz.
yine doğruyu kendi üstüne taşıyacaktır. Dikkat ederseniz, daireler de çap etrafında bu simetriye
sahiptirler.
ile birlikte doğru olarak görebiliriz.Ayrıca, bir düz doğruyu kendi üstüne katlayabiliriz.
rotasyon, doğrunun P noktasından önceki parçasını P noktasından sonraki parçasının üzerine taşır,
fakat bu simetri her noktada değildir.
Şekil 1. 10: Yarı Dönüş Simetrisi
vidanın ve tornavidanın Philips- başlı olmaması gerekir, çünkü bu çeşit vida ayrıca çeyrek
dönüş simetrisine sahiptir.) ve böylece torna vidanın ucunu yive daha kolay yerleştirebiliriz.
Ayrıca, bu simetriyi kapı (düz duvara bağlı) açmada da görebiliriz.
simetri derz. Düz doğrunun herhangi bir parçası, doğrudan ayrılmayacak şekilde doğru boyunca
hareket edebilir.Bu katı hareket özelliği sadece düz doğrulara özgü değildir; daireler (dönme simetrisi)
ve dairesel helisler ( vida simetrisi) de bu özelliğe sahiptirler.( bakınız şekil 1.1)
Pratik uygulama: trombonların, çekmecelerin, somunların ve sürgülerin içindeki eklemleri
Şekil 1.11 Kendi Simetrisi Boyunca Katı Hareket
kendi etrafında herhangi bir açı ile döndürülmesidir.
kullanılabilir. Mesela, kendi ekseni etrafında hızla dönen bir çöp. Bu simetri ıstakalar, miller,
toplu iğneler ve bunun gibi cisimler için kullanılır.
Merkezi simetri veya nokta simetrisi: P noktasında merkezi simetri herhangi bir A noktasını,
doğru üzerinde A ve P noktaları tarafından belirlenen bir noktaya gönderir. Bu noktanın P noktasına
uzaklığı, A noktasının P noktasına uzaklığına eşittir. Ama bu nokta P noktasının diğer tarafında yer
almaktadır. Bakınız Şekil 1.13 te 2 boyutlu ortamda merkezi simetri sonuç itibari ile yarı-dönüş
simetrisinden farklı değildir, ama görüntüleri ve oluşturulmaları farklıdır.
oluşturur.(merkezi simetri birbirine dik düzlemlerde bulunan 3 yansımanın bileşkesi ile aynı
sonucu verdiğini kontrol edebiliriz). 3-boyutlu uzayda merkezi simetriyi denemek için, avuç
içleri birbirine dönük olacak bir şekilde ellerinizi önünüzde birleştiriniz ve sol başparmağınız
sağ başparmağınızın üstünde olsun. Elleriniz şuan da avuç içleri arasında oluşmuş orta yoldaki
bir noktanın civarında yaklaşık olarak merkezi bir simetri oluşturdu; bu simetri herhangi bir
yansıma ya da rotasyon tarafından oluşturulamaz.
onun civarları) diğer bir parçasına benzemektedir.(yani aynı olabilmeleri için büyütülüp
yarı simetri olabilir çünkü açıların ölçüsü korunmaktadır.
Şekil 1.14 Benzerlik “Yarı Simetri”
Birçok fraktalın yaptığı gibi deniz helikonlarının kabukları gibi logaritmik sarmallar yarı
benzerliğe sahiptirler.(Şekil 1.15 teki örneğe bakınız)
Açıkçası, doğruların yanı sıra diğer nesnelerde burada söz ettiğimiz simetrilerden bazılarına
sahiptirler. Sizin için önemli olan kendinize böyle örnekler oluşturmanız ve bütün simetrilere sahip
olan ama doğru olamayan bir nesne bulamayı denemenizdir. Bu size düzlük ve bahsedilen 7 simetri
arasındaki ilişkiyi anlama konusunda yardımcı olacaktır. Şu sonuca varmalısınız; diğer eğriler ve
şekiller bu simetrilerin bazılarına sahip iken sadece düz doğrular bu simetrilerin tümüne sahiptir.
Öncelikle, bir düz doğrunun nasıl yansıma ve yarı-dönüş simetrisine sahip olduğunu gördünüz:
Doğrunun bir yanı diğeri ile aynıdır. Ama üstte de belirtildiği gibi, düzlük, bir doğru parçasının düz
olup olmadığına dair yerel bir özelliktir. Bu özellik doğru parçasının yakınında ne olduğuna bağlıdır,
doğrunun uzak kısımlarının ne olduğuna bağlı değildir. Böylece, simetrilerin her birinin yerel olarak
uygulandığı düşünülmelidir. Bu daha sonra koni ve silindir de düzlüğü anlatırken önemli
olacaktır.(Bölüm 4 teki açıklamaya bakınız).şimdilik aşağıdaki gibi denenebilir.