Verilen tanımları uygulayarak, olasılıklar hesaplayabileceksiniz.
Olasılık (probability) bir olayın meydana gelme, ortaya çıkma şansını ifade eder ve P ile gösterilir. E i ile gösterilen bir basit olayın olasılığı P (E i ), A bileşik olayının olasılığıysa P (A) biçiminde gösterilmektedir.
Olasılığın İki Özelliği
Olasılığın iki önemli özelliği şunlardır:
1. Bir olayın olasılığı her zaman sıfır ve bir aralığında yer alır.
Olay ister basit, isterse bileşik olsun meydana gelme olasılığı hiçbir zaman sıfırdan az, birden çok olamaz. Matematiksel notasyonlarla bu özellik şöyle ifade edilir:
0 ≤ P (E i) ≤ 1
0 ≤ P (A) ≤ 1
Meydana gelmeyen bir olayın olasılığı sıfır olup, bu tür olaya olanaksız adı verilir. Ortaya çıkma, meydana gelme olasılığı bir olan bir olaya kesin olay adı verilir ve aşağıdaki biçimde gösterilir.
P (M) = 0 ; M olanaksız olay için
P (C) = 1 ; C kesin olay için
2. Bir deneydeki tüm basit olayların olasılıkları toplamı ∑ P (Ei) biçiminde gösterilir ve her zaman birdir.
Bu özellik nedeniyle,
∑ P (E i ) = P (E i) + P (E 2) + P (E 3) +…………… = 1
eşitliği yazılabilmektedir. Bu özellikten yararlanarak paranın bir kez atılması deneyi için
P (Y) + P (T) = 1
Paranın iki kez atılması deneyi için
P (Y Y) + P (Y T) + P (T Y) + P (T T) = 1
Süper Ligde oynayan bir futbol takımının maç sonucu içinse
P (Galibiyet) + P (Mağlubiyet) + P (Beraberlik) = 1 eşitlikleri yazılabilir.
Olasılığa Üç Kavramsal Yaklaşım
Olasılığa üç kavramsal yaklaşım: 1) klasik olasılık, 2) olasılığın göreli sıklık kavramı ve 3) öznel olasılık kavramıdır. Olasılığın bu üç kavramının açıklamaları aşağıdadır.
Klasik Olasılık
Sonuçların ortaya çıkma olasılıkları aynı ise buna eşit olasılıklı (benzer) sonuçlar denir. Klasik olasılık kuralı, tüm sonuçları eşit olasılıklı olan deneylerin sonuçlarına ilişkin olasılıkları hesaplamada kullanılmaktadır. Klasik olasılık kuralına göre bir deneydeki basit bir olayın olasılığı 1’in tüm sonuç sayısına bölünmesine eşittir. Bu ifadeden de anlaşılmaktadır ki, bir deneyin tüm nihai sonuçlarının olasılıklar toplamı 1’dir ve tüm nihai sonuçlar eşit olasılıklıdır.
Öte yandan, A bileşik olayının olasılığıysa, A olayında içerilen sonuç sayısının toplam sonuç sayısına bölünmesiyle elde edilmektedir.
Klasik Olasılık Kuralı
Paranın bir kez atılması deneyinde bir yazı ve bir tura elde edilmesi olasılığını bulunuz.
Çözüm
Bu deneyde yazı ve tura olmak üzere iki sonuç bulunmaktadır ve bu sonuçlar eşit olasılıklıdır. Bu nedenle,
sonuçları elde edilir.
Zarın bir kez atılması deneyinde çift sayı elde edilmesi olasılığını bulunuz.
Çözüm
Bu deneyde 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 olmak üzere altı sonuç bulunmaktadır ve tüm sonuçlar eşit olasılıklı sonuçlardır. A bileşik olayı 2, 4 ve 6 gelmesi biçiminde tanımlanırsa,
A = {2, 4, 6}
örneklem uzayındaki toplam altı sonucun üç tanesi A olayınca içerilmiş olur ve A olayının olma olasılığı,
olarak bulunur.
Bir derneğin 60’ı erkek ve 40’ı kadın olmak üzere toplam 100 üyesi bulunmaktadır. Bu üyeler arasında bir tanesi dernek başkanı olmak için rasgele seçilecektir. Bir kadın üyenin dernek başkanı seçilme olasılığı nedir?
Çözüm
Seçim rasgele olacağı için derneğin 100 üyesinin de seçilme olasılığı aynıdır. Yani bu deneyde toplam olarak 100 tane eşit olasılıklı sonuç vardır. Burada istenense 40 kadın üyeden bir tanesinin seçilmesidir. Bu da,
P (Bir kadının dernek başkanı seçilmesi) = 40/100 = 0,4 biçiminde bulunur.
Olasılığın Göreli Sıklık Kavramı
İlk olarak aşağıdaki olasılıkların hesaplanmak istendiğini düşünülsün.
1. Bir otomobil fabrikasınca bundan sonra üretilecek otomobilin kusurlu olma olasılığı,
2. Rasgele seçilmiş bir ailenin yıllık gelirinin 5.000.000.000 TL’den fazla olması olasılığı,
3. Bir hastanede bundan sonra doğacak çocuğun cinsiyetinin kız olması olasılığı,
4. 80 yaşındaki birinin en az bir yıl daha yaşaması olasılığı,
5. Hileli bir paranın atılması sonucunda yazı gelmesi olasılığı,
6. Civalı bir zarın atılması sonucunda 1 gelmesi olasılığı.
Bu deneylerdeki sonuçlar eşit olasılıklı olmadığı için, yukarıda sıralanan olaylara ilişkin olasılıklar klasik olasılık hesaplama kuralıyla hesaplanamaz. Örneğin fabrikada bundan sonra üretilecek ilk araba kusurlu ya da kusursuz olabilir. Ancak burada kusurlu ya da kusursuz sonuçlarının elde edilmesi olasılıkları eşit değildir.
Yukarıda olduğu gibi, sonuçları eşit olasılıklı olmayan deneylerde, deney defalarca tekrar edilerek veri üretilmektedir. Böylesi durumlarda olasılıkları hesaplamak için ya eski verilerden yararlanılmakta ya da deney çok kez tekrarlanmak suretiyle yeni veri üretilmektedir. Bu verilerden yararlanarak bir olaya ilişkin (yaklaşık) olasılık değeri için göreli sıklıklardan yararlanılmaktadır. Bu yönteme “olasılığın göreli sıklık kavramı” adı verilmektedir. Çünkü deneyin tekrarlanması sonucunda göreli sıklıklar elde edilmekte ve bunlardan yararlanılarak da olasılıklar hesaplanmaktadır. Deneyin her tekrarından sonra göreli sıklıklar değişeceğinden, olasılıklar da değişecektir. Ancak bu olasılıkların değişiminin azaltılması, örneklem hacminin artırılması yoluyla sağlanabilmektedir.
Yaklaşık Olasılık İçin Göreli Sıklık
Eğer bir deney n kez tekrarlanmış ve f kez bir A olayı gözlenmiş ise olasılığın göreli sıklık kavramına göre olasılık,
biçiminde bulunur.
Bir otomobil fabrikasında üretilen otomobillerden rasgele 500 tanesi seçilmiş ve 10 tanesinin kusurlu olduğu görülmüştür. Kusurlu üretim yapmanın da rasgele olduğunu düşünerek, ilk üretilecek otomobilin kusurlu olması olasılığı nedir?
Çözüm
Örneklemdeki (seçilen) otomobil sayısına n = 500, kusurlu otomobil sayısına f = 10 denecek olursa, göreli sıklık kuralı gereğince olasılık,
elde edilir. Bu olasılık 500 otomobilden elde edilen göreli sıklıktan hesaplanmış özel bir değerdir. Aşağıdaki Tablo 4.2’de bu örnek için sıklık ve göreli sıklık dağılımları verilmiştir.
Bu tablodaki göreli sıklık sütunu yaklaşık olasılıklar sütunu olarak kullanılmaktadır. Bu sütundan,
P (İlk üretilecek otomobil kusurlu) = 0.02
P (İlk üretilecek otomobil kusursuz) = 0.98
değerleri bulunur. Burada unutulmaması gereken, göreli sıklıkların gerçek olasılıklar değil sadece yaklaşık olasılıklar olduğudur. Göreli sıklıklardan elde edilen olasılıkların gerçek olasılıklar olabilmesi için deneyin çok (sonsuz) kez tekrarlanması gerekir ki buna “Büyük Sayılar Yasası” adı verilir.
Büyük Sayılar Yasası
Bir deney çok (sonsuz) kez tekrarlanırsa, bir olayın göreli sıklıkları kuramsal olasılığa yaklaşır.
Ayşe, Ankara’da rasgele seçilen bir ailenin ev sahibi olma olasılığını belirlemek istemektedir. Bu olasılığı acaba nasıl belirleyecektir?
Çözüm
Ankara’dan rasgele seçilmiş bir aile için ev sahibi olma ya da olmama gibi iki sonuç bulunmaktadır. Bu iki olay eşit olasılıklı değildir. Çünkü; Ankara’da ikamet edenlerin ne kadarının ev sahibi olduğu bilinmemektedir. Bu nedenle klasik olasılık kuralı uygulanamamaktadır. Böylesi durumlarda aynı deney çok kez tekrarlanarak olasılık değeri (yaklaşık olarak) göreli sıklıklardan hesaplanmaktadır. Ayşe’de bu durumu bildiği için Ankara’dan rasgele 1.000 aileyi seçerek bunlardan 670 tanesinin ev sahibi, 330 tanesinin ise ev sahibi olmadığını belirledi.
Bu sonuçlar ışığındaki gibi,
n = örneklem hacmi = 1.000
f = ev sahibi olanların sayısı = 670
olmak üzere olasılık değerleri,
olarak buldu.
Öznel Olasılık Kavramı
Çoğu kez, ne sonuçları eşit olasılıklı, ne de veri üretmek için tekrarlanabilen deneylerle karşılaşabiliriz. Böylesi durumlarda olayların olma olasılıkları, klasik olasılık kuralı ya da göreli sıklık kavramı kullanılarak hesaplanamamaktadır. Örneğin, İstatistiğe Giriş dersini alan Ahmet’in dönem sonunda o dersten A alarak geçme (başarılı olma) olasılığı nedir? Sorusuna cevap vermek gerçekten güçtür. Çünkü Ahmet bu dersten geçebilmek için test sınavına (sınavlarına) bir kez girecek ve sınavdaki başarı durumuna göre A notu alacak ya da alamayacaktır. Bu olay için söz konusu olan A notu alma ya da almama gibi iki sonuç bulunmakla birlikte, bu sonuçların ortaya çıkması eşit olasılıklı değildir. Bu gibi durumlarda düşünülen (öngörülen) olasılığa öznel olasılık denmektedir. Bu olasılık bireyin değer yargısına, deneyimine, düşüncesine göre değişmektedir. Gerçekten de Ahmet bu dersten A notu alma olasılığını yüksek görürken, dersin hocası daha düşük görebilir.
Öznel olasılık keyfi bir değer olup, öngörüde bulunan kişinin deneyiminden, yanlılığından ve beğenisinden etkilenir.
1. Üç olasılık yaklaşımını kısaca açıklayınız ve bu üç yaklaşım için birer örnek veriniz.
2. Aşağıdakilerden hangilerinin olaylara ilişkin olasılıklar olamayacağını nedenleri ile birlikte söyleyiniz.
3. Çoktan seçmeli bir test sınavında sorular için beş seçenek bulunmaktadır. Herhangi bir sorunun cevabı rasgele işaretlenecek olursa; cevabın a) Doğru olma olasılığını, b) Yanlış olma olasılığını bulunuz.