Bugün sizlere hangi sayıların tam sayılar olduğunu göstermeye çalışarak bu sayıların özelliklerinden bahsedeceğiz. Bu konu cebirin ve matematiğin temeli olduğundan düzgün bir biçimde anlaşılması bütün bir eğitim hayatınızı olumlu yönde etkileyecektir ve işinizi kolaylaştıracaktır.
Tam sayı nedir sorusu 6. sınıf ve 7. sınıf müfredatından itibaren karşımıza çıkacaktır. Sorularda “a bir tam sayı olmak üzere” gibi ifadelerle karşılaştığımız zaman neyi kast ettiğini bilmemiz gerekir.
İlgili yazı: Doğal sayı nedir?
Tam Sayının Tanımı
Tam sayılar, yanlarında herhangi bir kesirli ifade olmadan ifade edilebilen sayılardır. Tam sayı pozitif ya da negatif olabildiği gibi sıfır da tam sayıdır. Örneğin; 9, 86, 5486, 0, -23 sayıları tam sayı örneği iken √5, 3 5/6, -2.3 tam sayı değillerdir. Burada dikkatimizi çekmesi gereken temel nokta negatif sayıların da tam sayı olabildikleridir.
Yine köklü ifadeler ancak kesirli olarak ifade edilebildiklerinden tam sayı değillerdir. Yalnız şuna da dikkat etmek gerekir ki eğer kökün içi bir doğal sayının karesi ise bu sayı da yine tam sayıdır. √16 ifadesi tam sayıdır. Çünkü 16 sayısı 4 doğal sayısının karesidir.
Tam sayılar Z harfi ile gösterilir. Yine aynı şekilde Z+ ifadesi pozitif tam sayıları, Z– ifadesi ise negatif tam sayıları ifade eder. Pozitif tam sayılar 1’den başlayıp sonsuza kadar giden(1, 2, 3, ….) sayılardır. Negatif tam sayılar ise -1’den başlayıp eksi sonsuza doğru giden tam sayıları(-1. -2, -3, …) ifade etmektedir. Sıfır (0) ise tam sayı olmasına rağmen ne negatif ne de pozitif olduğundan iki gruba da girmez ve nötr bir tam sayıdır.
Tam Sayıların Özellikleri
- İki tam sayının toplamı kesinlikle bir tam sayıdır. İki tam sayıyla yapılan çıkarma işleminin sonucu her zaman tam sayıdır.
- İki tam sayının çarpımı kesinlikle bir tam sayıdır. İki tam sayının birbirine bölünmesinin sonucu tam sayı olmayabilir. Örneğin 5 ve 7 tam sayıdır ama birbirine bölümleri olan 5/7 ve 7/5 sayıları tam sayı değildirler. Yine aynı şekilde paydası 0 olan sayılar tanımsız olduğundan bir doğal sayının 0 ile bölünmesinin sonucu da tam sayı değildir.
- Tam sayılarla yapılan toplama ve çarpma işlemlerinde sayıların birleşme özelliği vardır. Şöyle ki a ve b iki tam sayı olmak üzere a.b ifadesi b.a ifadesine eşittir. Yine aynı şekilde a+b ifadesinin sonucu da b+a ifadesinin sonucu ile aynıdır.
- Yine tam sayılarda birleşme özelliği üç tam sayının işleme girmesi halinde de geçerlidir. Yani; ax(bxc)=(axb)xc’dir(Burada parantezin yeri değişmesine rağmen sonuç değişmemiştir). Toplama işleminde ise yine (a+b)+c=a+(b+c)’dir.
- Tam sayıların bütün kuvvetleri(karesi, küpü, dördüncü kuvveti…) tam sayıdır.
- Bir tam sayının toplama işlemine göre tersi(yani kendisiyle toplandığında etkisiz eleman 0’ı veren sayı) yine bir tam sayıdır. Örnek vermek gerekirse 5 sayısı tam sayıdır. 5 sayısının toplama işlemine göre tersi -5’tir. İki sayının toplamı 0 eder ve iki sayı da tam sayıdır.
- Çarpma işleminde bir tam sayının tersi genellikle tam sayı değildir.
Tam Sayılarda İşlem Önceliği
Tam sayılarda işlem önceliği eğitimin her kademesindeki öğrenciler tarafından en çok karıştırılan ve hata yapmaya en müsait konudur. Bu basit hususu anlatırken önce temel kuralları verip bunun üzerinden örneklerle çözümleri pekiştireceğiz.
- Önce parantez içindeki işlem yapılır.
- Parantez içinde varsa önce çarpma/bölme yapılır. Sonra toplama/çıkarmaya geçilir.
- Parantez içi halledildiyse ya da parantez içi işlem yoksa önce çarpma ya da bölme işlemi yapılır.
- Çarpma/bölme işlemi yapıldıktan sonra toplama/çıkarma işlemi yapılır.
Şimdi bir örnekle ne demek istediğimizi daha iyi aktarmaya çalışalım.
9 x (12 + 5 x 2) − 5 işlemi sorulmuş olsun. İlk kuralımız gereği parantez içine bakıyoruz ve görüyoruz ki parantez içinde hem toplama hem çarpma işlemi var. Önce çarpma işlemini yapıyoruz. 5×2 ifadesi 10 eder. İşlemimiz 9 x (12 + 10) – 5 haline dönüştü. Parantez içinde kalan toplama işleminin sonucu 22(10+12)’dir.
Şimdi elimizde 9 x 22 – 5 bulunmaktadır. Üçüncü kural gereği önce çarpma işlemini hallediyoruz. Çarpma işleminin sonucu 198(9×22)‘dir. Bu karmaşık sorumuz en sonunda 198 – 5 halini aldı. Bu işlemin cevabı 193 eder.