Asal sayılar, geçmişten günümüze dek pek çok insanın ilgisini çekmeyi başarmıştır. Bu yazımızda da yine ilginç bir asal sayı problemini ve çok uzun yıllar sonra gelen tek cümlelik bir kanıtı ele alalım. Sorumuz şudur: Asal sayılar iki doğal sayının kareleri toplamı olarak yazılabilir mi? 13 için bu mümkündür (2² + 3²), ancak örneğin 3 bu şekilde yazılamaz. Pierre de Fermat, bu konuda bir teorem geliştirmiş ve Amerikalı matematikçi Don Zagier 350 yıl sonra, şaşırtıcı bir şekilde sadece bir cümle uzunluğunda bir kanıt vermiştir. Anlatmaya çalışalım.
Fermat’ın İki Kare Toplamı
On yedinci yüzyılın Fransız matematikçisi Pierre de Fermat, hangi koşullar altında asalların iki kare toplamı olarak yazılabileceğini düşündü. Örneğin, daha önce de belirtildiği gibi 13 bir asaldır ve iki karenin toplamı, yani 2² ve 3² olarak yazılabilir. Ayrıca, 17 = 1² + 4² olduğu için bu kuralı karşılayan bir asaldır. Fermat, yüzlerce asal sayıyı eliyle yaptığı işlemler ile denedi ve sonuçta iki doğal sayının toplamı biçiminde yazılabilen 100 kadar sayı buldu. Sonra bir anda bu bulduğu sayıların belirli bir model oluşturduğunu fark etti. Görünüşe göre bu asal sayılardan 1 çıkarttığımız zaman sonuç 4 ile bölünebiliyordu. Bu varsayımı önceki örneklerimiz 13 ve 17 ile kontrol edersek, hipotez geçerli görünüyor. Sonrada bunu bir teorem olarak duyurdu:
Bir p asal sayısı ancak p-1, 4 ile bölünebiliyorsa, iki doğal sayının kareleri toplamı olarak yazılabilir.
Ne yazık ki, Fermat bunu kanıtlamadı – her nasılsa kanıtlanmadan bırakma konusunda bir üne sahip – ve diğer matematikçiler de bir kanıt bulmakta uzun süre zorlandı. Daha sonraki ilk olarak 1750’de Euler oldukça karmaşık bir kanıt verdi. Devamında da Gauss, Lagrange ve Dedekind gibi önemli matematikçiler tarafından farklı kanıtlar sunuldu. 1990 yılında ise Don Zagier tarafından bu teorem “tek cümle” ile kanıtlandı.
Don Zagier Tarafından Yapılan İspat
Sonraki birkaç paragrafta p, teoremin ön koşullarını sağlayan bir asal sayı olarak kabul edilecektir. Bu durumda p-1, 4 ile bölünebilir, bu da bazı doğal sayı k için p-1 = 4k veya eşdeğer p = 4k+1 anlamına gelir. Görevimiz, p = a² + b² olacak şekilde gerçekten de a ve b sayılarının olduğunu göstermektir.
Zagier ispatına denklemi değiştirip bunu p = x² + 4yz biçiminde yazarak başladı. Bu denklemin çözüm kümesine de S dedi. Sonrasında y’nin z’ye eşit olduğu bir çözüm olduğunu varsaydı. Buradan da, p = x² + 4yy veya eşdeğer olarak p = x² + (2y)² elde edildi. Bu durumda çözüm kümemiz S tek sayıda çözüm içermeliydi. Çünkü tüm y ve z çözümleri farklı olsaydı, çözümlerin sayısı çift sayıda olurdu. ( Şöyle düşünün: x=1 y=2 z=3 olsa p sayımız 25 çıkar, aynı şekilde x=1 y=3 z=2 olsa yine 25 çıkar. Bu durumda çözüm kümemiz s çift sayıda çözüme sahip olur. Ancak y=z kabul edilirse sadece bir çözüme sahip olacaktır.).
Daha genel konuşmak gerekirse, P = x² + 4yz denkleminin (x, y, z) biçimindeki çözümünde, sadece y ve z’nin yerlerini değiştirerek yeni bir çözüm elde edebiliriz. Bu işlemin tekrar uygulanması da bizi başa geri götürür. Yani bir fonksiyon olarak bakarsak bu fonksiyonun tersi kendine eşittir ve elimizde çift sayıda çözüm vardır. Ancak eğer S tek sayıda çözüm içeriyorsa, o zaman elimizde (x, y, y) çözümü var demektir.
Şimdi yapılması gereken S’deki çözümlerin sayısının gerçekten tek sayıda olduğunun gösterilmesidir. Bunun için de Zagier’in farklı bir fikri vardı. İşlemi parçalı bir fonksiyon olarak yazarak ve bunun üzerinde çalışarak varsayımlarının doğru olduğunu kanıtlayabildi.
İlgilenenler için ispatın bundan sonrasını kaynaklardan ya da videodan inceleyebilirler. Evet ispat bir cümleden oluşuyordu ama bu bir cümlenin ne anlama geldiğini ancak profesyonel matematikçiler anlayabilirdi. Bizim gibiler için bu iş çok da kolay değil. Matematik de kestirme yol diye bir şey yoktur, aldanmayalım…
Videoyu da incelemek isteyebilirsiniz.
GÖZ ATMAK İSTERSENİZ
Kaynaklar:
- A One-Sentence Proof That Every Prime p 1 (mod 4) Is a Sum of Two Squares; https://fermatslibrary.com/
- The One-Sentence Proof in Multiple Sentences; https://medium.com/
Matematiksel