<SYSTEM_TASK:>
Given the following text description, write Python code to implement the functionality described below step by step
<END_TASK>
<USER_TASK:>
Description:
 Chapitres 1 à 4
Quelques ajouts dans les sections déjà vues...
3.1 Nombres rationels
Une autre façon de créer un nombre rationnel
Step1:  3.2 Nombres complexes
Step2:  4.2 Définir les variables symboliques x_1, x_2, ... x_n
Step3:  Initialisation
Importer toutes les fonctions de Sympy
Step4:  Importer quelques variables du module abc
Step5:  5 Résolution d'équations
5.1 Définir une équation
Définir l'équation $x=3$
Step6:  Définir l'équation $x^2+y^2=16$
Step7:  5.2 Résoudre une équation
Step8:  Résoudre l'équation $x^2+2x=4$
Step9:  5.3 Résoudre un système d'équations
Résoudre le système $x+y=34$, $xy=34$
Step10:  Résoudre le système $x+y=34$, $xy^2=34$
Step11:  5.4 Syntaxe abrégée
Résoudre les systèmes ci-haut avec la syntaxe abrégée
Step12:  5.5 Trouver les racines d'une fonction
$$3x^2  + 52x - 265$$
Step13:  $$3x^3  + 52x - 265$$
Step14:  6 Tracer une fonction
Step15:  6.1 Tracer une fonction R -> R
$$f(x) = x^2$$
Step16:  $$g(x) = {3x^2  + 52x - 265 \over (x - 7)(x - 1)(x + 34)}$$
Step17:  Approximer les racines de $$x^3 + 2x^2 - 1$$ avec un dessin
Step18:  6.2 Tracer plusieurs fonctions R -> R
Tracer $f(x)$ en vert et $g(x)$ en jaune dans le même dessin
Step19:  6.3 Tracer une fonction R^2 -> R
Step20:  $$x^2+y^2$$
Step21:  $$x^2-y^2$$
Step22:  $$(x^2-y^2)\sin(x)$$
Step23:  6.4 Dessiner une fonction R -> R^2
Step24:  $$x = \sin(t)$$
$$y = \cos(t)$$
Step25:  Butterfly curve (transcendental)
$$x = \sin(t) \left(e^{\cos(t)} - 2\cos(4t) - \sin^5\left({t \over 12}\right)\right)$$
$$y = \cos(t) \left(e^{\cos(t)} - 2\cos(4t) - \sin^5\left({t \over 12}\right)\right)$$
Voir
Step26:  6.5 Dessiner une fonction R -> R^3
Step27:  \begin{align} x(u)&= \cos(u)\ y(u)&=\sin(u)\ z(u)&=u\end{align}
Step28:  \begin{align} x(u)&= u \cos(u)\ y(u)&=\sin(u)\ z(u)&=u\end{align}
Step29:  6.6 Dessiner une fonction R^2 -> R^3
Step30:  \begin{align}
X &= \cos(u)(R+r\cos(v))\
Y &= \sin(u)(R+r\cos(v))\
Z &= r\sin(v)
\end{align}
Step31:  $$\vec r(\theta,\phi) = (\cos\theta \sin\phi, \sin\theta \sin \phi, \cos\phi), \quad 0 \leq \theta < 2\pi, 0 \leq \phi \leq \pi.$$
Step32:  6.7 Dessiner les solutions d'une équation implicite
Tracer les solutions de l'équation $$x^2+y^2+xy-2x =5$$
Step33:  6.8 Tracer une région de R^2
Tracer la région délimitée par $$y>2x+1, y<5x, x+y<5$$
6.9 Dessiner une fonction complexe avec mpmath
Step34:  Tracer la fonction complexe identité $$f(z)=z$$
Step35:  Tracer la fonction complexe $$f(z)=z^5-1$$
Step36:  7 Limites et séries
7.1 Limites
<ASSISTANT_TASK:>
Python Code:
5 / 2
from sympy import Rational
Rational(5,2)
from sympy import S
S?
type(S(5))
S(5)/2
S('13/2') + S(5)/7
Explanation: Chapitres 1 à 4
Quelques ajouts dans les sections déjà vues...
3.1 Nombres rationels
Une autre façon de créer un nombre rationnel
End of explanation
from sympy import arg,re,im,I
a = 3 + 5*I
re(a)
im(a)
arg(a).n()
abs(a)
Explanation: 3.2 Nombres complexes
End of explanation
from sympy import symbols
x3,x4,x5,x6,x7 = symbols('x3:8')
x3 + x4+ 6 *x7
Explanation: 4.2 Définir les variables symboliques x_1, x_2, ... x_n
End of explanation
from sympy import *
init_printing(pretty_print=True, use_latex='mathjax')
Explanation: Initialisation
Importer toutes les fonctions de Sympy:
End of explanation
#from sympy.abc import *   # à éviter
from sympy.abc import a,b,c,n,t,u,v,w,x,y,z
Explanation: Importer quelques variables du module abc:
End of explanation
eq1 = Eq(x, 3)
Explanation: 5 Résolution d'équations
5.1 Définir une équation
Définir l'équation $x=3$
End of explanation
eq2 = Eq(x**2+y**2, 16)
Explanation: Définir l'équation $x^2+y^2=16$
End of explanation
solve(eq1, x)
solve(eq2, y)
Explanation: 5.2 Résoudre une équation
End of explanation
solve(Eq(x**2+2*x, 4))
Explanation: Résoudre l'équation $x^2+2x=4$
End of explanation
eq1 = Eq(x+y, 34)
eq2 = Eq(x*y, 34)
systeme = [eq1, eq2]
solve(systeme)
Explanation: 5.3 Résoudre un système d'équations
Résoudre le système $x+y=34$, $xy=34$
End of explanation
eq1 = Eq(x+y, 34)
eq2 = Eq(x*y**2, 34)
systeme = [eq1, eq2]
solve(systeme)
Explanation: Résoudre le système $x+y=34$, $xy^2=34$
End of explanation
solve([x+y-34, x*y-34])
Explanation: 5.4 Syntaxe abrégée
Résoudre les systèmes ci-haut avec la syntaxe abrégée
End of explanation
roots(3*x**2+52*x-265)
Explanation: 5.5 Trouver les racines d'une fonction
$$3x^2  + 52x - 265$$
End of explanation
r1,r2,r3 = roots(3*x**3+52*x-265)
r1.n(), r2.n(), r3.n()
Explanation: $$3x^3  + 52x - 265$$
End of explanation
%matplotlib inline
Explanation: 6 Tracer une fonction
End of explanation
f = x**2
plot(x**2, (x,-20,20))
Explanation: 6.1 Tracer une fonction R -> R
$$f(x) = x^2$$
End of explanation
g = (3*x**2+52*x-265) / ((x-7)*(x-1)*(x+34))
plot(g, (x,-40,10), xlim=(-40, 10), ylim=(-2,2))
Explanation: $$g(x) = {3x^2  + 52x - 265 \over (x - 7)(x - 1)(x + 34)}$$
End of explanation
plot(x**3+2*x**2-1, (x,-2,1), ylim=(-1,1))
roots(x**3+2*x**2-1)
Explanation: Approximer les racines de $$x^3 + 2x^2 - 1$$ avec un dessin
End of explanation
plot(f, g)
Explanation: 6.2 Tracer plusieurs fonctions R -> R
Tracer $f(x)$ en vert et $g(x)$ en jaune dans le même dessin
End of explanation
from sympy.plotting import plot3d
Explanation: 6.3 Tracer une fonction R^2 -> R
End of explanation
j
Explanation: $$x^2+y^2$$
End of explanation
plot3d(x**2-y**2)
Explanation: $$x^2-y^2$$
End of explanation
plot3d((x**2-y**2)*sin(x))
Explanation: $$(x^2-y^2)\sin(x)$$
End of explanation
from sympy.plotting import plot_parametric
Explanation: 6.4 Dessiner une fonction R -> R^2
End of explanation
plot_parametric(sin(t), cos(t))
Explanation: $$x = \sin(t)$$
$$y = \cos(t)$$
End of explanation
x = sin(t)*(E**cos(t)-2*cos(4*t)-sin(t/12)**5)
y = cos(t)*(E**cos(t)-2*cos(4*t)-sin(t/12)**5)
plot_parametric(x, y)
from IPython.display import Image
url = 'https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Param_02.jpg/800px-Param_02.jpg'
Image(url=url, width=500)
Explanation: Butterfly curve (transcendental)
$$x = \sin(t) \left(e^{\cos(t)} - 2\cos(4t) - \sin^5\left({t \over 12}\right)\right)$$
$$y = \cos(t) \left(e^{\cos(t)} - 2\cos(4t) - \sin^5\left({t \over 12}\right)\right)$$
Voir: https://en.wikipedia.org/wiki/Butterfly_curve_%28transcendental%29
End of explanation
from sympy.plotting import plot3d_parametric_line
Explanation: 6.5 Dessiner une fonction R -> R^3
End of explanation
x = cos(u)
y = sin(u)
z = u
plot3d_parametric_line(x,y,z)
Explanation: \begin{align} x(u)&= \cos(u)\ y(u)&=\sin(u)\ z(u)&=u\end{align}
End of explanation
x = u*cos(u)
y = u*sin(u)
z = u
plot3d_parametric_line(x,y,z)
Explanation: \begin{align} x(u)&= u \cos(u)\ y(u)&=\sin(u)\ z(u)&=u\end{align}
End of explanation
from sympy.plotting import plot3d_parametric_surface
Explanation: 6.6 Dessiner une fonction R^2 -> R^3
End of explanation
from sympy.abc import u,v
R = 5
r = 2
X = cos(u)*(R+r*cos(v))
Y = sin(u)*(R+r*cos(v))
Z = r*sin(v)
plot3d_parametric_surface(X, Y, Z, (u, -.5, 4), (v, -5, 5))
Explanation: \begin{align}
X &= \cos(u)(R+r\cos(v))\
Y &= \sin(u)(R+r\cos(v))\
Z &= r\sin(v)
\end{align}
End of explanation
from sympy.abc import theta,phi
from sympy import pi,cos,sin
x = cos(theta)*sin(phi)
y = sin(theta)*sin(phi)
z = cos(theta)
plot3d_parametric_surface(x,y,z,(theta,0,pi), (phi,0,pi))
Explanation: $$\vec r(\theta,\phi) = (\cos\theta \sin\phi, \sin\theta \sin \phi, \cos\phi), \quad 0 \leq \theta < 2\pi, 0 \leq \phi \leq \pi.$$
End of explanation
from sympy import plot_implicit
eq = Eq(x**2+y**2+x*y-2*x, 5)
plot_implicit(eq)
Explanation: 6.7 Dessiner les solutions d'une équation implicite
Tracer les solutions de l'équation $$x^2+y^2+xy-2x =5$$
End of explanation
#from sympy import mpmath    # Sympy (installation normale)
import mpmath               # SageMath
Explanation: 6.8 Tracer une région de R^2
Tracer la région délimitée par $$y>2x+1, y<5x, x+y<5$$
6.9 Dessiner une fonction complexe avec mpmath
End of explanation
from mpmath import cplot
cplot(lambda z:z)
Explanation: Tracer la fonction complexe identité $$f(z)=z$$
End of explanation
cplot(lambda z:z**5-1)
Explanation: Tracer la fonction complexe $$f(z)=z^5-1$$
End of explanation
from sympy.abc import x
limit(1/x, x, 0, dir='+')
oo
limit(1/x, x, oo)
Explanation: 7 Limites et séries
7.1 Limites
End of explanation
<END_TASK>