Expanding and rearranging the terms (and noting that the dipole M is constant) we have ∇ ∇ 2 U = − − M x ( ∂ ∂ 2 B x ∂ ∂ x 2 + ∂ ∂ 2 B x ∂ ∂ y 2 + ∂ ∂ 2 B x ∂ ∂ z 2 ) − − M y ( ∂ ∂ 2 B y ∂ ∂ x 2 + ∂ ∂ 2 B y ∂ ∂ y 2 + ∂ ∂ 2 B y ∂ ∂ z 2 ) − − M z ( ∂ ∂ 2 B z ∂ ∂ x 2 + ∂ ∂ 2 B z ∂ ∂ y 2 + ∂ ∂ 2 B z ∂ ∂ z 2 ) = − − M x ∇ ∇ 2 B x − − M y ∇ ∇ 2 B y − − M z ∇ ∇ 2 B z