where d s 2 ( flat ) represents the metric of flat spacetime : d s 2 ( flat ) = − − d u 2 − − 2 d u d r + r 2 ( d θ θ 2 + sin 2 ⁡ ⁡ θ θ d ϕ ϕ 2 ) = − − d v 2 + 2 d v d r + r 2 ( d θ θ 2 + sin 2 ⁡ ⁡ θ θ d ϕ ϕ 2 ) = − − d T 2 + d r 2 + r 2 ( d θ θ 2 + sin 2 ⁡ ⁡ θ θ d ϕ ϕ 2 ) using T = t − − 2 M ln ⁡ ⁡ ( r / 2 M − − 1 ) .