For brevity we define λ λ 2 = ω ω 2 v 2 − − ω ω 2 c 2 ε ε ( ω ω ) = ω ω 2 v 2 ( 1 − − β β 2 ε ε ( ω ω ) ) . Breaking the integral apart into k 1 , k 2 , k 3 , the k 1 integral can immediately be integrated by the definition of the Dirac Delta: E 1 ( ω ω ) = − − 2 i q ω ω v 2 ( 2 π π ) 3 / 2 ( 1 ε ε ( ω ω ) − − β β 2 ) ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ d k 2 e i b k 2 ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ d k 3 k 2 2 + k 3 2 + λ λ 2