The expectation value, or mean value of measurements, of Q performed on a very large number of identical independent systems will be given by ⟨ ⟨ Q ⟩ ⟩ ψ ψ = ⟨ ⟨ ψ ψ | Q | ψ ψ ⟩ ⟩ = ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ ψ ψ ∗ ∗ ( x ) x ψ ψ ( x ) d x = ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ x ρ ρ ( x ) d x .