The time-evolution operator is then U ( t ) = exp ⁡ ⁡ ( − − i t H ^ ^ / ℏ ℏ ) = exp ⁡ ⁡ ( − − i t ω ω ( a † † a + 1 / 2 ) ) , = e − − i t ω ω / 2 ∑ ∑ k = 0 ∞ ∞ ( e − − i ω ω t − − 1 ) k k ! a † † k a k .