Substituting into our equation, we find: Ψ Ψ = a C sin ⁡ ⁡ k a sin ⁡ ⁡ θ θ 2 k a sin ⁡ ⁡ θ θ 2 ( 1 − − e i N k d sin ⁡ ⁡ θ θ 1 − − e i k d sin ⁡ ⁡ θ θ ) = a C sin ⁡ ⁡ k a sin ⁡ ⁡ θ θ 2 k a sin ⁡ ⁡ θ θ 2 ( e − − i N k d sin ⁡ ⁡ θ θ 2 − − e i N k d sin ⁡ ⁡ θ θ 2 e − − i k d sin ⁡ ⁡ θ θ 2 − − e i k d sin ⁡ ⁡ θ θ 2 ) ( e i N k d sin ⁡ ⁡ θ θ 2 e i k d sin ⁡ ⁡ θ θ 2 ) = a C sin ⁡ ⁡ k a sin ⁡ ⁡ θ θ 2 k a sin ⁡ ⁡ θ θ 2 e − − i N k d sin ⁡ ⁡ θ θ 2 − − e i N k d sin ⁡ ⁡ θ θ 2 2 i e − − i k d sin ⁡ ⁡ θ θ 2 − − e i k d sin ⁡ ⁡ θ θ 2 2 i ( e i ( N − − 1 ) k d sin ⁡ ⁡ θ θ 2 ) = a C sin ⁡ ⁡ ( k a sin ⁡ ⁡ θ θ 2 ) k a sin ⁡ ⁡ θ θ 2 sin ⁡ ⁡ ( N k d sin ⁡ ⁡ θ θ 2 ) sin ⁡ ⁡ ( k d sin ⁡ ⁡ θ θ 2 ) e i ( N − − 1 ) k d sin ⁡ ⁡ θ θ 2