The product of the ladder operators can be expressed in terms of the commuting pair J and J z : J − − J + = ( J x − − i J y ) ( J x + i J y ) = J x 2 + J y 2 + i [ J x , J y ] = J 2 − − J z 2 − − ℏ ℏ J z , J + J − − = ( J x + i J y ) ( J x − − i J y ) = J x 2 + J y 2 − − i [ J x , J y ] = J 2 − − J z 2 + ℏ ℏ J z .