In usual probability, where the probability density does not change, the moments of a probability density function determines the probability density itself by a Fourier transform (details may be found at the characteristic function page): p ( x ) = 1 2 π π ∫ ∫ e − − i k x p ~ ~ ( k ) d k = ∑ ∑ n = 0 ∞ ∞ ( − − 1 ) n n ! δ δ ( n ) ( x ) μ μ n p ~ ~ ( k ) = ∫ ∫ e i k x p ( x ) d x = ∑ ∑ n = 0 ∞ ∞ ( i k ) n n ! μ μ n Similarly, p ( x , t | x 0 , t 0 ) = ∑ ∑ n = 0 ∞ ∞ ( − − 1 ) n n ! δ δ ( n ) ( x − − x 0 ) μ μ n ( t | x 0 , t 0 ) Now we need to integrate away the Dirac delta function. Fixing a small τ τ > 0 , we have by the Chapman-Kolmogorov equation, p ( x , t ) = ∫ ∫ p ( x , t | x ′ , t − − τ τ ) p ( x ′ , t − − τ τ ) d x ′ = ∑ ∑ n = 0 ∞ ∞ ( − − 1 ) n n ! ∫ ∫ p ( x ′ , t − − τ τ ) δ δ ( n ) ( x − − x ′ ) μ μ n ( t | x ′ , t − − τ τ ) d x ′ = ∑ ∑ n = 0 ∞ ∞ ( − − 1 ) n n ! ∂ ∂ x n ( p ( x , t − − τ τ ) μ μ n ( t | x , t − − τ τ ) ) The n = 0 term is just p ( x , t − − τ τ ) , so taking derivative with respect to time, ∂ ∂ t p ( x , t ) = lim τ τ → → 0 + 1 τ τ ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ ( − − 1 ) n n ! ∂ ∂ x n ( p ( x , t − − τ τ ) μ μ n ( t | x , t − − τ τ ) ) = ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ ( − − ∂ ∂ x ) n ( p ( x , t ) D n ( x , t ) )