We can repeat this for momentum by interpreting the function g ~ ~ ( p ) = p ⋅ ⋅ φ φ ( p ) as a vector, but we can also take advantage of the fact that ψ ψ ( x ) and φ φ ( p ) are Fourier transforms of each other. We evaluate the inverse Fourier transform through integration by parts : g ( x ) = 1 2 π π ℏ ℏ ⋅ ⋅ ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ g ~ ~ ( p ) ⋅ ⋅ e i p x / ℏ ℏ d p = 1 2 π π ℏ ℏ ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ p ⋅ ⋅ φ φ ( p ) ⋅ ⋅ e i p x / ℏ ℏ d p = 1 2 π π ℏ ℏ ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ [ p ⋅ ⋅ ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ ψ ψ ( χ χ ) e − − i p χ χ / ℏ ℏ d χ χ ] ⋅ ⋅ e i p x / ℏ ℏ d p = i 2 π π ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ [ ψ ψ ( χ χ ) e − − i p χ χ / ℏ ℏ | − − ∞ ∞ ∞ ∞ − − ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ d ψ ψ ( χ χ ) d χ χ e − − i p χ χ / ℏ ℏ d χ χ ] ⋅ ⋅ e i p x / ℏ ℏ d p = − − i 2 π π ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ d ψ ψ ( χ χ ) d χ χ e − − i p χ χ / ℏ ℏ d χ χ e i p x / ℏ ℏ d p = − − i ℏ ℏ 2 π π ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ d ψ ψ ( χ χ ) d χ χ e − − i p χ χ / ℏ ℏ d χ χ = ( − − i ℏ ℏ d d x ) ⋅ ⋅ ψ ψ ( x ) , where v = ℏ ℏ − − i p e − − i p χ χ / ℏ ℏ in the integration by parts, the cancelled term vanishes because the wave function vanishes at infinity, and the final two integrations re-assert the Fourier transforms. Often the term − − i ℏ ℏ d d x is called the momentum operator in position space. Applying Parseval's theorem, we see that the variance for momentum can be written as σ σ p 2 = ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ | g ~ ~ ( p ) | 2 d p = ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ | g ( x ) | 2 d x = ⟨ ⟨ g ∣ ∣ g ⟩ ⟩ .