To make the solutions more explicit, we can derive the full relationships from the first Friedmann equation: H 2 H 0 2 = Ω Ω 0 , R a − − 4 + Ω Ω 0 , M a − − 3 + Ω Ω 0 , k a − − 2 + Ω Ω 0 , Λ Λ with H = a ˙ ˙ a H 2 = H 0 2 ( Ω Ω 0 , R a − − 4 + Ω Ω 0 , M a − − 3 + Ω Ω 0 , k a − − 2 + Ω Ω 0 , Λ Λ ) H = H 0 Ω Ω 0 , R a − − 4 + Ω Ω 0 , M a − − 3 + Ω Ω 0 , k a − − 2 + Ω Ω 0 , Λ Λ a ˙ ˙ a = H 0 Ω Ω 0 , R a − − 4 + Ω Ω 0 , M a − − 3 + Ω Ω 0 , k a − − 2 + Ω Ω 0 , Λ Λ d a d t = H 0 Ω Ω 0 , R a − − 2 + Ω Ω 0 , M a − − 1 + Ω Ω 0 , k + Ω Ω 0 , Λ Λ a 2 d a = d t H 0 Ω Ω 0 , R a − − 2 + Ω Ω 0 , M a − − 1 + Ω Ω 0 , k + Ω Ω 0 , Λ Λ a 2