The inner product ⟨ ⟨ f ∣ ∣ g ⟩ ⟩ is written out explicitly as ⟨ ⟨ f ∣ ∣ g ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ ( A ^ ^ − − ⟨ ⟨ A ^ ^ ⟩ ⟩ ) Ψ Ψ | ( B ^ ^ − − ⟨ ⟨ B ^ ^ ⟩ ⟩ ) Ψ Ψ ⟩ ⟩ , and using the fact that A ^ ^ and B ^ ^ are Hermitian operators, we find ⟨ ⟨ f ∣ ∣ g ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ Ψ Ψ | ( A ^ ^ − − ⟨ ⟨ A ^ ^ ⟩ ⟩ ) ( B ^ ^ − − ⟨ ⟨ B ^ ^ ⟩ ⟩ ) Ψ Ψ ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ Ψ Ψ ∣ ∣ ( A ^ ^ B ^ ^ − − A ^ ^ ⟨ ⟨ B ^ ^ ⟩ ⟩ − − B ^ ^ ⟨ ⟨ A ^ ^ ⟩ ⟩ + ⟨ ⟨ A ^ ^ ⟩ ⟩ ⟨ ⟨ B ^ ^ ⟩ ⟩ ) Ψ Ψ ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ Ψ Ψ ∣ ∣ A ^ ^ B ^ ^ Ψ Ψ ⟩ ⟩ − − ⟨ ⟨ Ψ Ψ ∣ ∣ A ^ ^ ⟨ ⟨ B ^ ^ ⟩ ⟩ Ψ Ψ ⟩ ⟩ − − ⟨ ⟨ Ψ Ψ ∣ ∣ B ^ ^ ⟨ ⟨ A ^ ^ ⟩ ⟩ Ψ Ψ ⟩ ⟩ + ⟨ ⟨ Ψ Ψ ∣ ∣ ⟨ ⟨ A ^ ^ ⟩ ⟩ ⟨ ⟨ B ^ ^ ⟩ ⟩ Ψ Ψ ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ A ^ ^ B ^ ^ ⟩ ⟩ − − ⟨ ⟨ A ^ ^ ⟩ ⟩ ⟨ ⟨ B ^ ^ ⟩ ⟩ − − ⟨ ⟨ A ^ ^ ⟩ ⟩ ⟨ ⟨ B ^ ^ ⟩ ⟩ + ⟨ ⟨ A ^ ^ ⟩ ⟩ ⟨ ⟨ B ^ ^ ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ A ^ ^ B ^ ^ ⟩ ⟩ − − ⟨ ⟨ A ^ ^ ⟩ ⟩ ⟨ ⟨ B ^ ^ ⟩ ⟩ .