The imaginary-time propagator is then given by G ( k , ω ω n ) = ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ d ω ω ′ 2 π π ρ ρ ( k , ω ω ′ ) − − i ω ω n + ω ω ′ , and the retarded propagator by G R ( k , ω ω ) = ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ d ω ω ′ 2 π π ρ ρ ( k , ω ω ′ ) − − ( ω ω + i η η ) + ω ω ′ , where the limit as η η → → 0 + is implied.