⟨ ⟨ f ∣ ∣ g ⟩ ⟩ − − ⟨ ⟨ g ∣ ∣ f ⟩ ⟩ = ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ ψ ψ ∗ ∗ ( x ) x ⋅ ⋅ ( − − i ℏ ℏ d d x ) ψ ψ ( x ) d x − − ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ ψ ψ ∗ ∗ ( x ) ( − − i ℏ ℏ d d x ) ⋅ ⋅ x ψ ψ ( x ) d x = i ℏ ℏ ⋅ ⋅ ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ ψ ψ ∗ ∗ ( x ) [ ( − − x ⋅ ⋅ d ψ ψ ( x ) d x ) + d ( x ψ ψ ( x ) ) d x ] d x = i ℏ ℏ ⋅ ⋅ ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ ψ ψ ∗ ∗ ( x ) [ ( − − x ⋅ ⋅ d ψ ψ ( x ) d x ) + ψ ψ ( x ) + ( x ⋅ ⋅ d ψ ψ ( x ) d x ) ] d x = i ℏ ℏ ⋅ ⋅ ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ ψ ψ ∗ ∗ ( x ) ψ ψ ( x ) d x = i ℏ ℏ ⋅ ⋅ ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ | ψ ψ ( x ) | 2 d x = i ℏ ℏ