Thus, we have ⟨ ⟨ f ∣ ∣ g ⟩ ⟩ − − ⟨ ⟨ g ∣ ∣ f ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ A ^ ^ B ^ ^ ⟩ ⟩ − − ⟨ ⟨ A ^ ^ ⟩ ⟩ ⟨ ⟨ B ^ ^ ⟩ ⟩ − − ⟨ ⟨ B ^ ^ A ^ ^ ⟩ ⟩ + ⟨ ⟨ A ^ ^ ⟩ ⟩ ⟨ ⟨ B ^ ^ ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ [ A ^ ^ , B ^ ^ ] ⟩ ⟩ and ⟨ ⟨ f ∣ ∣ g ⟩ ⟩ + ⟨ ⟨ g ∣ ∣ f ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ A ^ ^ B ^ ^ ⟩ ⟩ − − ⟨ ⟨ A ^ ^ ⟩ ⟩ ⟨ ⟨ B ^ ^ ⟩ ⟩ + ⟨ ⟨ B ^ ^ A ^ ^ ⟩ ⟩ − − ⟨ ⟨ A ^ ^ ⟩ ⟩ ⟨ ⟨ B ^ ^ ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ { A ^ ^ , B ^ ^ } ⟩ ⟩ − − 2 ⟨ ⟨ A ^ ^ ⟩ ⟩ ⟨ ⟨ B ^ ^ ⟩ ⟩ .