The matrix expression of the creation and annihilation operators of the quantum harmonic oscillator with respect to the above orthonormal basis is a † † = ( 0 0 0 0 … … 0 … … 1 0 0 0 … … 0 … … 0 2 0 0 … … 0 … … 0 0 3 0 … … 0 … … ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ … … … … 0 0 0 … … n 0 … … ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ) a = ( 0 1 0 0 … … 0 … … 0 0 2 0 … … 0 … … 0 0 0 3 … … 0 … … 0 0 0 0 ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ … … ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ n … … 0 0 0 0 … … 0 ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ )