Let A and T be two second order tensors, then ∂ ∂ ∂ ∂ A ( A − − 1 ) : T = − − A − − 1 ⋅ ⋅ T ⋅ ⋅ A − − 1 In index notation with respect to an orthonormal basis ∂ ∂ A i j − − 1 ∂ ∂ A k l T k l = − − A i k − − 1 T k l A l j − − 1 ⟹ ⟹ ∂ ∂ A i j − − 1 ∂ ∂ A k l = − − A i k − − 1 A l j − − 1 We also have ∂ ∂ ∂ ∂ A ( A − − T ) : T = − − A − − T ⋅ ⋅ T T ⋅ ⋅ A − − T In index notation ∂ ∂ A j i − − 1 ∂ ∂ A k l T k l = − − A j k − − 1 T l k A l i − − 1 ⟹ ⟹ ∂ ∂ A j i − − 1 ∂ ∂ A k l = − − A l i − − 1 A j k − − 1 If the tensor A is symmetric then ∂ ∂ A i j − − 1 ∂ ∂ A k l = − − 1 2 ( A i k − − 1 A j l − − 1 + A i l − − 1 A j k − − 1 )