云南省文山壮族苗族自治州人民检察院指控：被告人雷某怀疑其前妻赵某与李某乙有不正当男女关系，2013年7月4日凌晨1时许，雷某携带购买的折叠跳刀在李某乙家路口处等候，10分钟后见李某乙手上拿着一块砖头从外边回来，就上前踢李某乙一脚，后李某乙拿砖头砸到雷某的左肩膀一下，并用脚将雷某踢开，雷某就从右裤包拿出折叠跳刀朝李某乙连刺四刀，后李某乙往新寨方向逃跑，雷某追出去大约10米远的距离后返回家，之后到派出所投案。后民警在当地名叫淌水沟的田里找到李某乙的尸体。经鉴定，李某乙因他人暴力致失血性休克死亡。为证明上述事实，公诉机关当庭列举了受案登记表、到案经过、现场勘验笔录及照片、辨认笔录及照片、鉴定文书、证人证言、被告人供述和辩解等证据。公诉机关认为，被告人雷某未能处理好感情问题，用跳刀将李某乙刺死，其行为已触犯了《中华人民共和国刑法》××之规定，犯罪事实清楚，证据确实、充分，应以××罪追究其刑事责任。被告人雷某主动投案，如实供述犯罪事实，是自首；其家属进行了赔偿。请依法判处。被告人雷某提出其行为构成故意伤害罪，不是××罪；其没有去路口等候李某乙，路口是两家人的；其没有先动手打李某乙，是两人共同动手。