溧阳市人民检察院指控，2015年9月14日凌晨1时许，被告人刘某酒后驾驶苏D×××××小型轿车行驶至溧阳市燕山南苑东门时，撞到路中栏杆，发生单方事故，公安民警在处警过程中发现其有酒后反应，遂对其进行血样检测，经鉴定，被告人血液酒精含量337.7毫克/100毫升。被告人刘某归案后如实供述了犯罪事实。溧阳市人民检察院为指证上述事实，提供了相关的证据。并据此认为，被告人刘某酒后驾驶机动车上道路行驶，其行为触犯了《中华人民共和国刑法》××××××第（二）项，应当以××罪追究其刑事责任。同时认为，被告人刘某归案后如实供述自己的罪行，可以从轻处罚。并书面建议判处被告人刘某××至六个月，并处罚金。