北京市海淀区人民检察院指控，2013年7月至2014年8月，被告人刘×1在与被害人郑×（女，24岁）夫妻关系存续期间，隐瞒已婚事实，与万×以夫妻名义在本市海淀区什坊院出租房同居生活。2014年8月7日，被告人刘×1被公安机关抓获，到案后如实供述了犯罪事实。针对上述指控，公诉机关向本院提供了相应的证据材料，认为被告人刘×1的行为已构成××罪，提请本院依照《中华人民共和国刑法》××之规定，对其定罪处罚。