paragraph_text: Teorija koju Galois zasniva proučavajući svojstva konačnih polja bavi se rješavanjem algebarskih jednadžbi, tj. faktorizacijom polinoma. Osnovni problem algebre tog vremena bilo je rješenje radikalnih algebarskih jednadžbi proizvoljnog stupnja putem radikala, kao što je već bilo poznato po algebarskim jednadžbama stupnja manjeg od pet. Niels Henrik Abel (također mladi matematički genij) u jednom od svojih djela dokazuje, da algebarska jednadžba stupnja većeg od četiri općenito nije rješiva uz pomoć radikala. Galois koristi ovaj zaključak kako bi identificirao elemente teorije grupa koji stoje iza ovog problema. Proučava grupe permutacija korijena jednadžbi, grupe koje će kasnije dobiti ime po Galoisu. Njegova je definicija ove grupe prilično složena i do danas je pretrpjela brojne promjene. Danas je Galoisova grupa definirana kao grupa relativnih automorfizama konačnog proširenja L u odnosu na polje K, koje nastaje adjunkcijom skupa svih nula polinoma polju K. U izjavi pod naslovom "Osnovni teorem Galoisove teorije", Galois prepoznaje da postoji bijektivna korespondencija između skupa H svih podgrupa grupe Galoa G i skupa svih međupolja M (<math>K \subseteq M \subseteq L</math>).