paragraph_text: U matematici, ako je <math>L</math> asocijativna algebra nad nekim polje k, tada je lijevi asocijativni <math>L</math>-bialgebroid druga asocijativna k-algebra <math>H</math> zajedno sa sljedećim preslikanjima:<ref> homomorfizam algebri <math>\alpha:L\to H</math> kojeg nazivamo preslikavanjem izvora, homomorfizam algebri <math>\beta:L^{\mathrm{op}}\to H</math> kojeg nazivamo preslikavenjem ponora, koji su takvi da slike od <math>\alpha</math> i <math>\beta</math> komutiraju u <math>H</math>, inducirajući dakle strukturu <math>L</math>-bimodula na <math>H</math> određenog pravilom <math>a.h.b = \alpha(a)\beta(b) h</math> za sve <math>a,b\in L, h\in H</math>; nadalje morfizam <math>L</math>-bimodula <math>\Delta:H\to H\otimes_L H</math>, za kojeg zahtijevamo da je kounitalno i koasocijativno komnoženje <math>H</math> na objektu <math>H</math> u monoidalnoj kategoriju <math>L</math>-bimodula s monoidalnim produktom <math>\otimes_L</math>. Nadalje, za pripadna kojedinicu <math>\epsilon:H\to L</math> tog komnoženja zahtijevamo da je lijevi kokarakter (u drugom jeziku, to znači da je preslikavanja <math>H\otimes L\ni h\otimes l\mapsto \epsilon(h\alpha(l))\in L</math> lijevo unitalno djelovanje koje proširuje množenje (gledano kao lijevo regularno djelovanje) <math>L\otimes L\to L</math> duž <math>\alpha\otimes\mathrm{id}_L</math>). Nadalje, tražimo usuglašenost među komnoženjem <math>\Delta</math> i množenjima algebre <math>H</math> i njenog tenzorskog kvadrata <math>H\otimes H</math>. Ako je algebra <math>L</math> nekomutativna, tenzorski produkt <math>H\otimes_L H</math> nad <math>L</math> nije algebra, dakle traženje uvjete tipa da je <math>\Delta:H\to H\otimes_L H</math> morfizam k-algebri, kako se to radi kod bialgebri, nema smisla. Umjesto toga, zahtijevamo da <math>H\otimes_L H</math> ima k-potprostor <math>T</math> koji sadržava sliku preslikavanja <math>\Delta</math> i ima dobro definirano množenje inducirano množenjem na <math>H\otimes H</math> uzduž projekcije na <math>H\otimes_L H</math>. Zahtijevamo, nadalje, da je kosuženje (korestrikcija) <math>\Delta|^T :H\to T</math> homomorfizam unitalnih algebri. Ako je homomorfizam za jedan takav potprostor <math>T</math>, tada je za svaki, i tada možemo napraviti kanonski izbor za <math>T</math>, naime Takeuchijev umnožak <math>H\times_L H\subset H\otimes_L H</math>,<ref> koji je u svakom slučaju algebra s množenjem induciranim uzduž projekcije s <math>H\otimes H</math>. Proizlazi da je dovoljno provjeriti da je slika od <math>\Delta</math> sadržana u Takeuchijevom umnošku i da je kosuženje komnoženja na njega homomorfizam algebri. Brzeziński i Militaru su pokazali da je pojam asocijativnog bialgebroida ekvivalentan pojmu <math>\times_L</math>-algebre kojeg je uveo Takeuchi još 1977.<ref>M. Takeuchi, Groups of algebras over <math>A \times \bar{A}</math>, J. Math. Soc. Japan 29, 459–492, 1977