section_heading: Dokaz Lagrangeovog teorema
paragraph_text: Dokaz se može provesti koristeći koncept lijevih H-grupa u G. Lijeve H-grupe su klase ekvivalencije relacije ekvivalencije na G pa stoga particioniraju G. Posebno, x i y iz G su u relaciji ako i samo ako postoji h iz H takav da je x = yh. Ako pokažemo da sve H-grupe imaju jednak broj elemenata onda svaka H-grupa ima točno |H| elemenata. Gotovi smo jer je red od H puta broj H-grupa jednak broju elemenata od G pa samim time i to da red od H dijeli red od G. Sada, ako su aH i bH dvije desne H-klase onda možemo definirati preslikavanje <math>f:aH\rightarrow{}bH</math> s <math>f(x) = ba^{-1}x</math>. Ovo preslikavanje je bijekcija jer je inverz dan s <math>f^{-1}(y)=ab^{-1}y</math>. Ovaj dokaz pokazuje da je kvocijent redova <math>\frac{|G|}{|H|}</math> jednak indeksu [G : H] (broj lijevih H-grupa u G).