section_heading: Dokaz
paragraph_text: Pretpostavimo, bez smanjenja općenitosti, da je niz <math>(a_n)</math> rastući. Kako je on po pretpostavci i ograničen, skup <math> A = \{a_n : n \in \mathbb{N}\}</math> je odozgo ograničen pa po aksiomu potpunosti ima supremum u skupu <math>\mathbb{R}</math>, odnosno postoji <math>a = \sup A \in \mathbb{R}</math>. Po definiciji supremuma vrijedi <math> a_n \leq a </math> za svaki <math> n \in \mathbb{N}</math> te za svaki <math>\epsilon > 0 </math> postoji <math> a_{n_0} \in A </math> (za neki <math>n_0 \in \mathbb{N}</math>) takav da je <math> a - \epsilon < a_{n_0}</math>. Kako niz <math> (a_n) </math> raste, za <math> n \geq n_0</math> dobivamo <math>a - \epsilon < a_{n_0} \leq a_n \leq a < a + \epsilon </math>, odnosno <math> |a_n - a| < \epsilon </math>. Odavde zaključujemo da je niz <math>(a_n)</math> konvergentan i <math> \lim_na_n = a</math>. Dokaz se, dakle, provodi analogno za padajući niz.<ref>Matematička analiza 1, Danijel Krizmanić, 2019.