필즈상 허준이 교수 선 넘는 연구로 수학 새 지평
조합론 대수기하학 접목...리드 추측 로타 추측 등 수학계 난제 잇달아 해결 허준이 교수 자료 IBS 허준이 교수는 서울대에서 석사를 마친 후 해외 대학 12곳의 박사 과정에 지원했으나 한곳만 빼고 모두 탈락했다. 그렇게 진학한 미국 일리노이주립대학 어바나샴페인 캠퍼스 박사 과정에 재학하며 허 교수는 수학계 난제 중 하나인 리드 추측 Read s conjecture 을 해결했다. 리드 추측은 영국의 수학자 로날드 리드가 1968년 제시한 문제다. 채색 다항식의 계수의 절대값이 갖는 성질에 대한 추측이다. 채색 다항식 chromatic polynomial 은 그래프에서 인접하는 꼭지점에 서로 다른 색을 색칠하는 경우의 수 를 말한다. 미국 과학매체 퀀타는 허준이 교수와의 인터뷰 기사에서 이 문제를 이같이 설명했다. 간단한 그래프인 삼각형이 있다 하자. 이 꼭지점들에 색을 칠하는데 같은 변에 맞닿은 꼭지점에는 같은 색을 칠할 수 없다. 꼭지점들에 색을 칠할 수 있는 방법은 몇 가지나 될까 q개의 색깔이 있다면 처음에 칠할 수 있는 색은 q가지이고 다음에 칠할 수 있는 색은 q 1 개 그 다음에 칠할 수 있는 것은 q 2 가지이다. 색을 칠할 수 있는 가지 수는 모두 합쳐 q x q – 1 x q – 2 q3 – 3q2 2q 이다. 자료 퀀타매거진 이 식에서 계수의 절대값은 순서대로 1 3 2 이다. 이 숫자들은 늘어나다 가장 큰 수에 도달하고 이어 작아진다. 이처럼 채색다항식은 계수의 절대값이 정점에 이르기까지는 계속 늘어나기만 하고 정점을 지나면 줄어들기만 하는 성질을 가진다고 리드는 추측했다. 또 그는 채색다항식에는 식을 이루는 양끝 계수의 곱이 가운데 있는 계수의 제곱보다 항상 작은 로그 오목함 log concave 성질이 있다고 생각했다. 다각형에서 한 변을 없애면 칠할 수 있는 선택지가 커진다. 사각형에서 한 변을 없앨 경우 선택지는 삼각형의 꼭지점을 칠할 수 있는 가지 수만큼 늘어난다. 이때 로그 오목함의 성질은 복잡한 모습을 보인다. 자료 퀀터매거진 허 교수는 이 조합론 문제를 대수기하학을 적용해 풀었다. 그는 박사 과정에 진학하기 전 스승인 히로나카 헤이스케 서울대 석좌교수의 특이점 이론을 그래프에 적용하는 방법을 발견했다. 이 방법을 그래프에 적용하다 그래프가 로그 오목함을 보이는 이유를 설명할 수 있다는 것을 발견했다. 허 교수는 이에 흥미를 느껴 조사하다가 이 것이 리드 추측 이라는 미해결 문제임을 알았다. 그는 문제를 알기도 전에 답을 갖고 있었던 것이다. 이 증명으로 학계의 주목을 받은 허 교수는 2011년 미시간대학 박사 과정으로 옮긴다. 여기서 그는 다시 리드 추측이 속한 더 큰 문제인 로타 추측 Rota conjecture 에 도전한다. 로타 추측은 리드 추측과 비슷하지만 그래프 대신 매트로이드 matroids 라는 보다 추상적인 조합론의 연구 대상을 다룬다. 이탈리아의 수학자 로타는 1960년대 매트로이드에서 유추되는 다항식이 역시 로그 오목함 성질을 가진다고 예상했다. 허 교수는 에릭 카츠 오하이오주립대 교수와 카림 아디프라시토 에브류대학 교수와 함께 이 문제를 해결했다. 역시 조합론과는 무관해 보이는 호지 이론 을 끌어와 적용했다. 호지 이론은 영국의 수학자 윌리엄 호지가 개척한 대수기하학 관련 연구다. 이후에도 그는 다변수 다항식의 한 종류인 로렌츠 다항식 의 성질을 연구하는 등 지속적으로 주목할만한 결과를 내고 있다. 특히 조합론과 대수기하학 등 전혀 다른 분야의 직관을 접목하는 문제 접근 방식이 주목받는다.
서울 일리노이주립대학 어바나샴페인 캠퍼스 박사 과정에 재학하며 허준이 교수는 로날드 리드가 1968년 제시한 채색 다항식의 계수의 절대값이 갖는 성질 리드 추측 Read s conjecture 문제를 대수기하학을 적용해 풀었다.