Menghitung Varians Sampel Menghitung Varians Populasi
Dalam banyak kasus, ahli statistik hanya mendapatkan data sampel, atau sebagian dari populasi yang sedang mereka teliti. Misalnya, alih-alih menganalisis populasi "harga setiap mobil di Jerman", seorang ahli statistik dapat mencari harga dari sampel acak beberapa ribu mobil. Ia dapat menggunakan sampel ini untuk mendapatkan estimasi harga mobil di Jerman, namun hasilnya mungkin tidak sama dengan hasil sebenarnya.   Contoh: Untuk menganalisis jumlah kue muffin yang terjual setiap hari di sebuah kafetaria, Anda mengumpulkan data dari enam hari acak dan memperoleh hasil sebagai berikut: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Data ini adalah sebuah sampel, bukan data populasi, karena Anda tidak mempunyai data penjualan setiap hari sejak kafetaria itu dibuka. Jika Anda memiliki "semua" data dari sebuah populasi, langsung lompat ke metode berikutnya. Varians dari sejumlah data menunjukkan seberapa tersebarnya data. Semakin varians mendekati nol, semakin data berkelompok. Ketika menggunakan data sampel, gunakan rumus berikut untuk menghitung varians:   s2{\displaystyle s^{2}} = ∑[(xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}}]/(n - 1)   s2{\displaystyle s^{2}} adalah varians. Varians selalu diukur dalam unit kuadrat.  xi{\displaystyle x_{i}} merepresentasikan sebuah entri dalam data Anda. ∑, berarti "jumlah," artinya Anda memasukkan nilai dari setiap xi{\displaystyle x_{i}}, lalu menjumlahkannya. x̅ adalah mean dari sampel. n adalah jumlah data. . Simbol x̅ menandakan mean dari sebuah sampel. Hitung sebagaimana Anda menghitung mean: jumlahkan semua data, lalu membaginya dengan jumlah data.   Contoh: Mula-mula, jumlahkan semua data: 17 + 15 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84Lalu, bagi jawabannya dengan jumlah data, dalam contoh ini dengan enam: 84 ÷ 6 = 14.Mean sampel = x̅ = 14. Anda dapat menganggap mean sebagai "titik tengah" dari data. Jika data berkumpul di sekitar mean, variansnya rendah. Jika data tersebar jauh dari mean, variansnya tinggi. Sekarang kita menghitung xi{\displaystyle x_{i}} - x̅, di mana xi{\displaystyle x_{i}} adalah nilai dari tiap data. Setiap hasil menggambarkan deviasi data dari mean, atau dalam bahasa sederhana, seberapa jauh data dari mean..   Contoh:x1{\displaystyle x_{1}} - x̅ = 17 - 14 = 3x2{\displaystyle x_{2}} - x̅ = 15 - 14 = 1x3{\displaystyle x_{3}} - x̅ = 23 - 14 = 9x4{\displaystyle x_{4}} - x̅ = 7 - 14 = -7x5{\displaystyle x_{5}} - x̅ = 9 - 14 = -5x6{\displaystyle x_{6}} - x̅ = 13 - 14 = -1 Mudah sekali cara mengecek pekerjaan Anda, karena jumlahnya harus sama dengan nol. Ini terjadi karena definisi dari mean, jawaban negatif (nilai data lebih kecil dari mean) akan menghilangkan jawaban positif (nilai data lebih besar dari mean). Seperti  yang telah dijelaskan sebelumnya, jumlah dari seluruh nilai deviasi (xi{\displaystyle x_{i}} - x̅) akan sama dengan nol. Ini artinya "rata-rata deviasi" akan selalu sama dengan nol, dan hal ini tidak memberikan informasi apa-apa tentang sebaran data. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita mengkuadratkan nilai setiap deviasi. Ini akan membuat angkanya menjadi positif semua, sehingga nilai negatif dan positif tidak saling menghilangkan.   Contoh:(x1{\displaystyle x_{1}} - x̅)2=32=9{\displaystyle ^{2}=3^{2}=9}(x2{\displaystyle (x_{2}} - x̅)2=12=1{\displaystyle ^{2}=1^{2}=1}92 = 81(-7)2 = 49(-5)2 = 25(-1)2 = 1 Sekarang Anda mendapatkan nilai (xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}} untuk setiap data dari sampel. Sekarang kita akan menghitung nilai seluruh pembilang di dalam rumus: ∑[(xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}}]. Huruf besar sigma, ∑, berarti jumlah dari semua nilai secara berurutan xi{\displaystyle x_{i}}. Anda telah menghitung (xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}} untuk setiap nilai xi{\displaystyle x_{i}} pada sampel, jadi sekarang Anda tinggal menjumlahkannya.  Contoh: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166. Dulu, para ahli statistik hanya membagi dengan n ketika menghitung varians sampel. Dengan demikian kita mendapat nilai rata-rata dari deviasi kuadrat, yang cocok untuk menghitung varians sampel tersebut. Tetapi ingatlah, sebuah sampel hanyalah estimasi dari populasi yang lebih besar. Jika kita mengambil sampel lain secara acak dan melakukan perhitungan, hasilnya akan berbeda. Tampaknya, membagi dengan n - 1 ketimbang n memberi perkiraan nilai varians yang lebih baik untuk populasi, yang sebetulnya ingin kita ketahui. Koreksi ini sudah menjadi begitu umum sehingga sekarang diterima sebagai definisi dari varians.  Contoh: Ada enam data di dalam contoh ini, jadi n = 6.Varians sampel adalah = s2=1666−1={\displaystyle s^{2}={\frac {166}{6-1}}=} 33.2 Ingatlah bahwa di dalam rumus ini ada pengkuadratan, varians diukur dalam unit kuadrat dari data asli. Hal ini membuat kita sulit untuk memahami data secara intuitif. Oleh karena itu ada baiknya kita menggunakan standar deviasi. Anda tidak perlu repot-repot, karena standar deviasi didefinisikan sebagai akar kuadrat dari varians. Oleh karena itu varians sampel dituliskan dengan s2{\displaystyle s^{2}}, dan standar deviasi sampel dengan s{\displaystyle s}. Misalnya, standar deviasi sampel dari contoh di atas adalah = s = √33.2 = 5.76. Istilah "populasi" mengacu pada semua pengamatan yang relevan. Misalnya, jika kita ingin meneliti tentang usia penduduk Texas, populasi yang kita gunakan adalah usia setiap orang yang tinggal di Texas. Kita mungkin butuh membuat lembar kerja (spreadsheet) untuk data sebesar itu, tetapi mari kita gunakan data yang lebih kecil sebagai contoh:  Contoh: Ada enam buah akuarium di dalam sebuah ruangan. Keenam akuarium tersebut terisi sejumlah ikan:x1=5{\displaystyle x_{1}=5}x2=5{\displaystyle x_{2}=5}x3=8{\displaystyle x_{3}=8}x4=12{\displaystyle x_{4}=12}x5=15{\displaystyle x_{5}=15}x6=18{\displaystyle x_{6}=18} Karena populasi memiliki semua data yang kita perlukan, rumus ini bisa kita gunakan untuk menghitung secara tepat varians populasi. Untuk membedakannya dengan varians sampel (yang hanya estimasi), ahli statistik menggunakan variabel yang berbeda:  σ2{\displaystyle ^{2}} = (∑(xi{\displaystyle x_{i}} - μ)2{\displaystyle ^{2}})/n  σ2{\displaystyle ^{2}} = varians populasi. Simbolnya adalah sigma dalam huruf kecil, dikuadratkan. Varians diukur dalam unit kuadrat.  xi{\displaystyle x_{i}} melambangkan entri dari setiap data. Entri di dalam ∑ dimasukkan untuk  setiap nilai xi{\displaystyle x_{i}}, lalu dijumlahkan. μ adalah mean dari populasi. n adalah jumlah data dari populasi. Ketika menganalisis sebuah populasi, simbol μ ("mu") melambangkan rata-rata aritmetik. Untuk  mencari mean, jumlahkan semua data, lalu bagi dengan jumlah data.  Anda mungkin mengira bahwa mean sama dengan "rata-rata". Berhati-hatilah sebab kata itu memiliki banyak definisi dalam matematika.  Contoh: mean = μ = 5+5+8+12+15+186{\displaystyle {\frac {5+5+8+12+15+18}{6}}} = 10.5 Data yang lebih dekat dengan mean akan menghasilkan selisih yang lebih dekat dengan nol. Ulangi pengurangan untuk setiap data, dan Anda dapat mulai mengamati seberapa tersebarnya data.  Contoh:x1{\displaystyle x_{1}} - μ = 5 - 10.5 = -5.5x2{\displaystyle x_{2}} - μ = 5 - 10.5 = -5.5x3{\displaystyle x_{3}} - μ = 8 - 10.5 = -2.5x4{\displaystyle x_{4}} - μ = 12 - 10.5 = 1.5x5{\displaystyle x_{5}} - μ = 15 - 10.5 = 4.5x6{\displaystyle x_{6}} - μ = 18 - 10.5 = 7.5 Sekarang kita bisa melihat bahwa beberapa angka negatif  dihasilkan dari proses sebelumnya, dan beberapa yang lain positif. Jika Anda membayangkan data-data tersebut pada sebuah garis bilangan, kedua kategori ini mewakili data yang berada di sebelah kiri dan sebelah kanan mean. Hal ini tidak berguna dalam menghitung varians, karena kedua kelompok ini akan saling menghilangkan. Kuadratkanlah setiap angka supaya mereka menjadi positif.  Contoh:(xi{\displaystyle x_{i}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} untuk setiap nilai i dari 1 sampai 6:(-5.5)2{\displaystyle ^{2}} = 30.25(-5.5)2{\displaystyle ^{2}} = 30.25(-2.5)2{\displaystyle ^{2}} = 6.25(1.5)2{\displaystyle ^{2}} = 2.25(4.5)2{\displaystyle ^{2}} = 20.25(7.5)2{\displaystyle ^{2}} = 56.25 Sekarang Anda telah memperoleh sebuah nilai untuk setiap data, yang berhubungan (secara tidak langsung) dengan jarak data tersebut dari mean. Cari mean dari hasil ini dengan menjumlahkan mereka semuanya, lalu dibagi dengan jumlah angka.  Contoh:Varians dari populasi = 30.25+30.25+6.25+2.25+20.25+56.256=145.56={\displaystyle {\frac {30.25+30.25+6.25+2.25+20.25+56.25}{6}}={\frac {145.5}{6}}=} 24.25 Jika Anda ragu apakah perhitungan ini sama dengan rumus yang diberikan di awal, coba tuliskan seluruh perhitungan secara panjang:  Setelah menemukan selisih dengan mean dan mengkuadratkannya, Anda mendapatkan hasil (x1{\displaystyle x_{1}} - μ)2{\displaystyle ^{2}}, (x2{\displaystyle x_{2}} - μ)2{\displaystyle ^{2}}, dan seterusnya (xn{\displaystyle x_{n}} - μ)2{\displaystyle ^{2}}, di mana xn{\displaystyle x_{n}} adalah data terakhir. Carilah mean dari nilai-nilai ini, jumlahkan dan bagi dengan n: ( (x1{\displaystyle x_{1}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} + (x2{\displaystyle x_{2}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} + ... + (xn{\displaystyle x_{n}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} ) / n Setelah menuliskan kembali pembilang dalam notasi sigma, Anda mendapatkan (∑(xi{\displaystyle x_{i}} - μ)2{\displaystyle ^{2}})/n, yaitu rumus dari varians
Dapatkan data sampel. Tuliskan rumus varians sampel. Hitung mean dari sampel Kurangkan nilai setiap data dengan mean. Kuadratkan hasilnya. Cari jumlah dari kuadrat nilai. Bagi dengan n - 1, di mana n adalah jumlah data. Pahami varians dan standar deviasi. Mulailah dengan sejumlah data populasi. Tuliskan rumus varians populasi. Cari mean populasi. Kurangkan setiap data dengan mean. Kuadratkan setiap hasil. Cari mean dari hasil. Hubungan dengan rumus semula.
https://www.wikihow.com/Calculate-Variance https://www.wikihow.com/Calculate-Variance
Calculating Variance of a Sample Calculating Variance of a Population