Menurunkan Persamaan-Persamaan Sederhana dengan Cepat Menggunakan Teknik-Teknik Lanjut
Saat mencoba menurunkan persamaan multi variabel seperti x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19, mungkin sulit untuk mengetahui dari mana harus memulai. Untungnya, langkah pertama dari turunan fungsi implisit adalah langkah termudahnya. Turunkan saja suku-suku x dan konstanta pada kedua sisi persamaan sesuai aturan turunan biasa (eksplisit) untuk memulainya. Abaikan suku-suku y untuk sementara.  Ayo coba kita turunkan contoh persamaan sederhana di atas. x2 + y2 - 5x  + 8y + 2xy2 = 19 memiliki dua suku x: x2 dan -5x. Jika kita ingin menurunkan persamaan, kita harus mengerjakan ini terlebih dahulu, seperti ini:  x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19 (Bawalah turun pangkat 2 dalam x2 sebagai koefisien, hapus x dalam -5x, dan ubah 19 menjadi 0) 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0 Untuk langkah Anda selanjutnya, turunkan saja suku-suku y dengan cara yang sama seperti Anda menurunkan suku-suku x. Akan tetapi, kali ini, tambahkan (dy/dx) di sebelah masing-masing suku seperti Anda menambahkan koefisien. Misalnya, jika Anda menurunkan y2, maka turunannya menjadi 2y(dy/dx). Abaikan suku-suku yang memiliki x dan y untuk sementara. Dalam contoh kita, persamaan kita sekarang menjadi seperti ini: 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0. Kita akan melakukan langkah penurunan y selanjutnya seperti berikut:  2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0 (Bawalah turun pangkat 2 dalam y2 sebagai koefisien, hapus y dalam 8y, dan letakkan dy/dx di sebelah masing-masing suku). 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy2= 0 Mengerjakan suku-suku yang memiliki x dan y agak sedikit rumit, tetapi jika Anda mengetahui aturan hasil kali dan hasil bagi untuk turunan, Anda akan mudah mengerjakannya. Jika suku-suku x dan y dikalikan, gunakan aturan hasil kali ((f × g)' = f' × g + g × f'), mensubtitusikan suku x untuk f dan suku y untuk g. Sebaliknya, jika suku-suku x dan y saling membagi satu sama lain, gunakan aturan hasil bagi ((f/g)' = (g × f' - g' × f)/g2), mensubstitusikan suku pembilang untuk f dan suku penyebut untuk g.  Dalam contoh kita, 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy2 = 0, kita hanya memiliki satu suku yang memiliki x dan y — 2xy2. Karena x dan y dikalikan satu sama lain, kita akan menggunakan aturan hasil kali untuk menurunkan seperti berikut:  2xy2 = (2x)(y2)— set 2x = f and y2 = g in (f × g)' = f' × g + g × f' (f × g)' = (2x)' × (y2) + (2x) × (y2)' (f × g)' = (2) × (y2) + (2x) × (2y(dy/dx)) (f × g)' = 2y2 + 4xy(dy/dx)    Menambahkan ini ke persamaan utama kita, kita mendapatkan 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y2 + 4xy(dy/dx) = 0 Anda hampir selesai! Sekarang, yang harus Anda lakukan adalah menyelesaikan persamaan (dy/dx). Hal ini tampaknya sulit, tetapi biasanya tidak — ingatlah bahwa dua suku a dan b apa pun yang dikalikan oleh (dy/dx) dapat ditulis sebagai (a + b)(dy/dx) karena sifat distributif perkalian. Taktik ini dapat memudahkan proses menyendirikan (dy/dx) — pindahkan saja semua suku lainnya di sisi lain dari tanda kurung, kemudian bagilah dengan suku-suku dalam tanda kurung di sebelah (dy/dx). Dalam contoh kita, kita menyederhanakan 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y2 + 4xy(dy/dx) = 0 seperti berikut:  2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y2 + 4xy(dy/dx) = 0 (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) + 2x - 5 + 2y2 = 0 (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) =  -2y2 - 2x + 5 (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4) Selamat! Anda sudah menurunkan persamaan Anda secara implisit — bukanlah pekerjaan yang mudah untuk percobaan pertama! Menggunakan persamaan ini untuk mencari gradien (dy/dx) untuk titik (x, y) apa pun semudah memasukkan nilai-nilai x dan y untuk titik Anda ke sisi kanan persamaan, kemudian mencari (dy/dx).  Sebagai contoh, misalkan kita ingin mencari gradien pada titik (3, -4) untuk contoh persamaan kita di atas. Untuk melakukannya, kita akan mensubstitusikan 3 untuk x dan -4 untuk y, diselesaikan seperti berikut:  (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4) (dy/dx) = (-2(-4)2 - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4) (dy/dx) = (-2(16) - 6 + 5)/(2(2(3)(-4)) (dy/dx) = (-32) - 6 + 5)/(2(2(-12)) (dy/dx) = (-33)/(2(2(-12)) (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, atau 0,6875. Aturan rantai adalah bagian pengetahuan yang penting untuk dimiliki saat mengerjakan soal-soal kalkulus (termasuk soal-soal turunan fungsi implisit). Aturan rantai menyatakan bahwa untuk fungsi F(x) yang dapat ditulis sebagai (f o g)(x), turunan F(x) sama dengan f'(g(x))g'(x). Untuk soal-soal turunan fungsi implisit yang sulit, hal ini berarti bahwa mungkin untuk menurunkan bagian persamaan individu yang berbeda, kemudian menggabungkan hasilnya. Sebagai contoh sederhana, misalkan kita harus mencari turunan sin(3x2 + x) sebagai bagian dari soal turunan fungsi implisit yang lebih besar untuk persamaan sin(3x2 + x) + y3 = 0. Jika kita membayangkan sin(3x2 + x) sebagai f(x)  dan 3x2 + x sebagai g(x) , kita dapat mencari turunannya seperti berikut:  f'(g(x))g'(x) (sin(3x2 + x))' × (3x2 + x)' cos(3x2 + x) × (6x + 1) (6x + 1)cos(3x2 + x) Meskipun tidak biasa dalam kalkulus dasar, beberapa penerapan lanjut mungkin membutuhkan turunan fungsi implisit dari lebih dari dua variabel. Untuk masing-masing variabel tambahan, Anda harus mencari turunan tambahannya terhadap x. Misalnya, jika Anda memiliki x, y, dan z, Anda harus mencari baik (dz/dy) dan (dz/dx). Kita bisa melakukan hal ini dengan menurunkan persamaan terhadap x sebanyak dua kali — pertama, kita akan memasukkan (dz/dx) setiap kali kita menurunkan suku yang mengandung z, dan kedua, kita akan memasukkan (dz/dy) setiap kali kita menurunkan z. Setelah ini, hanya masalah menyelesaikan (dz/dx) dan (dz/dy).  Misalnya, katakan kita mencoba menurunkan x3z2 - 5xy5z = x2 + y3. Pertama, ayo turunkan terhadap x dan masukkan (dz/dx). Jangan lupa untuk menerapkan aturan hasil kali jika diperlukan!  x3z2 - 5xy5z = x2 + y3  3x2z2 + 2x3z(dz/dx) - 5y5z - 5xy5(dz/dx) = 2x 3x2z2 + (2x3z - 5xy5)(dz/dx) - 5y5z  = 2x (2x3z - 5xy5)(dz/dx) = 2x - 3x2z2 + 5y5z (dz/dx) = (2x - 3x2z2 + 5y5z)/(2x3z - 5xy5)   Sekarang, lakukan hal yang sama untuk (dz/dy)  x3z2 - 5xy5z = x2 + y3  2x3z(dz/dy) - 25xy4z - 5xy5(dz/dy) = 3y2  (2x3z - 5xy5)(dz/dy) = 3y2 + 25xy4z (dz/dy) = (3y2 + 25xy4z)/(2x3z - 5xy5)
Turunkan suku-suku x seperti biasa. Turunkan suku-suku y dan tambahkan (dy/dx) di sebelah masing-masing sukunya. Gunakan aturan hasil kali atau aturan hasil bagi untuk suku-suku yang memiliki x dan y. Sendirikan (dy/dx). Masukkan nilai (x, y) untuk mencari (dy/dx) untuk titik apa pun. Gunakan aturan rantai untuk fungsi-dalam-fungsi. Untuk persamaan dengan variabel-variabel x, y, dan z, carilah (dz/dx) dan (dz/dy).
https://www.wikihow.com/Do-Implicit-Differentiation https://www.wikihow.com/Do-Implicit-Differentiation
Differentiating Simple Equations Quickly Using Advanced Techniques