Memahami Bagaimana Perhitungan Ini Bekerja Mencari Akar Pangkat Tiga dengan Tebakan Berulang Menyelesaikan Sebuah Contoh Soal Akar Pangkat Tiga
Untuk memahami bagaimana proses ini bekerja dalam mencari akar pangkat tiga, Anda harus mengingat kembali bagaimana melakukan ekspansi pangkat tiga dalam pangkat binomial. Anda mungkin sudah mempelajari ini di SMA (atau mungkin langsung melupakannya seperti halnya pada sebagian besar orang). Ambil dua variabel A{\displaystyle A} dan B{\displaystyle B} untuk melambangkan dua digit angka. Lalu buat binomial (10A+B){\displaystyle (10A+B)} untuk melambangkan angka dua digit. Penggunaan suku 10A{\displaystyle 10A} menciptakan angka dua digit. Apa pun angka yang anda pilih untuk A{\displaystyle A}, 10A{\displaystyle 10A} akan menjadi angka puluhan. Misalnya, jika A{\displaystyle A} adalah 2 dan B{\displaystyle B} adalah 6, maka (10A+B){\displaystyle (10A+B)} adalah 26. Di sini kita bekerja secara terbalik, dengan membuat pangkat tiga terlebih dahulu, lalu melihat bagaimana cara akar pangkat tiga bekerja. Kita perlu mencari hasil dari (10A+B)3{\displaystyle (10A+B)^{3}}. Lakukan ini dengan mengalikan (10A+B)∗(10A+B)∗(10A+B){\displaystyle (10A+B)*(10A+B)*(10A+B)}. Langkahnya terlalu panjang untuk dituliskan di sini, tetapi hasil akhirnya adalah 1000A3+300A2B+30AB2+B3.{\displaystyle 1000A^{3}+300A^{2}B+30AB^{2}+B^{3}.} Perhatikan bahwa metode yang digunakan untuk menghitung akar pangkat tiga mirip dengan pembagian. Di dalam pembagian ke bawah, kita mencari dua faktor yang bila dikalikan menghasilkan angka yang kita inginkan. Di dalam perhitungan di sini, angka yang ingin kita cari (angka di atas tanda akar) adalah akar pangkat tiga. Artinya angka tersebut dilambangkan dengan suku (10A+B). Berapa angka A dan B tidak perlu kita perhatikan sekarang, selama kita memahami hubungannya dengan jawaban yang dicari. Ketika kita melihat polinomial pangkat tiga hasil ekspansi, kita bisa menilai bagaimana proses akar pangkat tiga bekerja. Perhatikan bahwa angka pembagi dari setiap langkah adalah penjumlahan dari empat suku. Suku-suku ini berasal dari:  Suku pertama mengandung perkalian dengan 1000. Pertama-tama kita mencari sebuah angka yang bila dipangkatkan tiga tetap berada dalam jangkauan pembagian panjang untuk digit pertama. Ini menghasilkan suku 1000A^3 dalam ekspansi binomial. Suku kedua dari ekspansi binomial memiliki koefisien 300. (Hasil ini diperoleh dari 3∗102{\displaystyle 3*10^{2}}.) Ingat bahwa dalam perhitungan akar pangkat tiga, digit pertama dari setiap langkah dikalikan dengan 300. Digit kedua dari setiap langkah perhitungan akar pangkat tiga datang dari suku ketiga ekspansi binomial. Pada ekspansi binomial, sukunya adalah 30AB^2. Digit terakhir pada setiap langkah adalah suku B^3. Seperti halnya pada proses pembagian, akurasi akan meningkat pada setiap langkah berikutnya. Misalnya, pada contoh di atas kita mencari akar pangkat tiga dari 10. Pada langkah pertama, hasilnya adalah 2, karena 23{\displaystyle 2^{3}} mendekati, tetapi masih kurang dari 10. Hitungannya, 23=8{\displaystyle 2^{3}=8}. Setelah langkah kedua, kita mendapatkan jawaban 2,1. Setelah kita cari, 2,13=9,261{\displaystyle 2,1^{3}=9,261}, yang lebih mendekati angka 10. Setelah langkah ketiga, kita mendapatkan 2,15, yang memberikan hasil 2,153=9,94{\displaystyle 2,15^{3}=9,94}. Anda bisa melakukan perhitungan dengan mengelompokkan tiga digit sampai mencapai akurasi yang diinginkan. Jika Anda diminta mencari akar pangkat tiga suatu angka, mulailah dengan memilih sebuah angka pangkat tiga sempurna yang paling mendekati, tanpa melebihi angka yang dicari. Misalnya, Anda ingin mencari akar pangkat tiga dari 600, ingat (atau gunakan tabel pangkat tiga) bahwa 83=512{\displaystyle 8^{3}=512} dan 93=729{\displaystyle 9^{3}=729}. Jadi, jawaban dari akar pangkat tiga 600 akan berada di antara 8 dan 9. Gunakan angka 512 dan 729 sebagai batas atas dan bawah untuk mencari jawaban. Digit pertama diambil dari angka pangkat tiga sempurna. Untuk digit berikutnya, tebak angka dari 0 sampai 9 berdasarkan letak angka yang dicari di antara batas atas dan bawah. Dalam contoh ini, angka 600 kira-kira berada di tengah-tengah angka batas 512 dan 729. Jadi, kita mulai dengan angka 5 sebagai digit berikutnya. Cobalah memangkatkan untuk melihat seberapa dekat hasilnya dengan angka yang dicari. Dalam contoh ini, kalikan 8,5∗8,5∗8,5=614,1.{\displaystyle 8,5*8,5*8,5=614,1.} Setelah memangkatkan tebakan terakhir, lihatlah apakah jawabannya jatuh cukup dekat dengan angka yang dituju. Jika jawabannya melebihi angka yang dituju, kurangi angka tebakan dengan satu atau dua angka. Jika jawabannya kurang dari angka yang dituju, tambahkan sampai melebihinya. Misalnya dalam contoh ini, 8,53{\displaystyle 8,5^{3}} lebih dari 600. Jadi, kita harus mengurangi tebakan menjadi 8,4. Pangkatkan tiga angka ini dan bandingkan jawabannya. Hasilnya adalah 8,4∗8,4∗8,4=592,7{\displaystyle 8,4*8,4*8,4=592,7}. Sekarang angkanya berada di bawah angka yang dicari. Oleh karena itu, jawaban dari akar pangkat tiga 600 pastilah berada di antara 8,4 dan 8,5. Anda bisa meneruskan proses menebak dari angka 0 sampai 9 hingga jawabannya seakurat yang Anda inginkan. Untuk setiap tebakan, lihatlah posisi angka yang Anda cari di antara angka batas. Dalam contoh ini, perhitungan dari langkah sebelumnya menunjukkan bahwa 8,43=592,7{\displaystyle 8,4^{3}=592,7}, sementara 8,53=614,1{\displaystyle 8,5^{3}=614,1}. Angka yang dicari, 600, sedikit lebih dekat ke 592 ketimbang 614. Jadi, untuk tebakan berikutnya, mulailah dengan memilih angka kurang dari 5. Misalnya kita mulai dengan 4, dengan tebakan 8,44. Pangkatkan tiga tebakan Anda, dan lihat seberapa dekat dengan jawaban yang Anda cari. Yang Anda cari adalah angka yang berada sedikit di bawah atau sedikit di atas jawaban. Dalam contoh ini, perhitungannya adalah 8,44∗8,44∗8,44=601,2{\displaystyle 8,44*8,44*8,44=601,2}. Hasilnya sedikit di atas angka yang dicari. Jadi, kita coba turunkan menjadi 8,43. Jawabannya adalah 8,43∗8,43∗8,43=599,07{\displaystyle 8,43*8,43*8,43=599,07}. Oleh karena itu, jawaban dari akar pangkat tiga 600 pastilah berada di antara 8,43 dan 8,44. Lanjutkan langkah menebak, membandingkan dan menebak ulang seperlunya, sampai jawaban Anda mencapai keakuratan yang diinginkan. Perhatikan bahwa untuk setiap tambahan desimal, jawaban Anda akan semakin dekat dengan jawaban sebenarnya. Misalnya untuk akar pangkat tiga 600, jika Anda mencari sampai dua desimal, selisih jawaban Anda hanya kurang dari 1 dengan angka yang dicari. Jika Anda meneruskan sampai tiga desimal, jawabannya adalah 8,4343=599,93{\displaystyle 8,434^{3}=599,93}, kurang dari 0,1 dengan angka yang dicari. Mengerjakan akar pangkat tiga terlihat mirip dengan mengerjakan pembagian, dengan beberapa perbedaan kecil. Langkah pertama adalah menuliskan soal dalam bentuk yang tepat.  Tuliskan angka yang ingin Anda cari akar pangkat tiganya. Kelompokkan angka dalam tiga digit, mulai dari tanda desimal. Misalnya, Anda ingin mencari akar pangkat tiga dari 10. Tulis dalam bentuk 10, 000 000. Angka nol tambahan dipergunakan untuk keakuratan perhitungan. Tuliskan tanda akar di atas angka tersebut. Tanda ini akan berguna sebagai garis pembatas sama seperti pada pembagian. Satu-satunya perbedaan adalah bentuk lambangnya. Letakkan tanda desimal di atas garis, tepat di atas tanda desimal pada angka semula. Anda akan memerlukannya dalam perhitungan. Nilai pangkat tiga dari angka-angka tersebut adalah:  13=1∗1∗1=1{\displaystyle 1^{3}=1*1*1=1} 23=2∗2∗2=8{\displaystyle 2^{3}=2*2*2=8} 33=3∗3∗3=27{\displaystyle 3^{3}=3*3*3=27} 43=4∗4∗4=64{\displaystyle 4^{3}=4*4*4=64} 53=5∗5∗5=125{\displaystyle 5^{3}=5*5*5=125} 63=6∗6∗6=216{\displaystyle 6^{3}=6*6*6=216} 73=7∗7∗7=343{\displaystyle 7^{3}=7*7*7=343} 83=8∗8∗8=512{\displaystyle 8^{3}=8*8*8=512} 93=9∗9∗9=729{\displaystyle 9^{3}=9*9*9=729} 103=10∗10∗10=1000{\displaystyle 10^{3}=10*10*10=1000} Pilih sebuah angka, yang jika dipangkatkan tiga, menghasilkan angka paling besar yang masih kurang dari tiga angka pertama.  Dalam contoh ini, tiga angka pertama adalah 10. Cari angka pangkat tiga sempurna yang kurang dari 10. Angkanya adalah 8, dan akar pangkat tiganya adalah 2. Tuliskan angka 2 di atas tanda akar, di atas angka 10. Tuliskan nilai 23{\displaystyle 2^{3}}, yaitu 8, di bawah angka 10, buat garis dan kurangkan, seperti halnya pada pembagian. Hasilnya adalah 2. Setelah pengurangan, digit pertama jawaban diperoleh. Anda perlu memutuskan apakah jawaban satu digit ini sudah cukup akurat atau belum. Umumnya hasil ini belum cukup akurat. Anda bisa mengujinya dengan mencari pangkat tiga dari angka ini dan lihat apakah hasilnya sudah cukup dekat dengan angka yang Anda cari. Dalam contoh ini, karena 23{\displaystyle 2^{3}} adalah 8, belum cukup dekat dengan 10, kita akan melanjutkan perhitungan. Turunkan tiga angka berikutnya pada hasil pengurangan, dan beri garis vertikal di sebelah kiri jawaban. Angka ini akan menjadi basis untuk mencari digit berikutnya. Dalam contoh ini, angkanya adalah 2000, yang didapatkan dari 2 sebagai hasil pengurangan, dan penambahan tiga angka nol yang diturunkan. Di sebelah kiri garis vertikal, kita akan mencari pembagi berikutnya, yang merupakan penjumlahan dari tiga angka terpisah. Siapkan tiga tempat dengan membuat garis bawah, dengan tanda tambah di antaranya. Untuk bagian pertama pembagi, kalikan tiga ratus dengan kuadrat angka di atas tanda akar. Dalam contoh ini, angka di atas tanda akar adalah 2. 2^2 adalah 4, dan 4*300=1200. Jadi, tulis 1200 pada tempat pertama. Pembagi pada langkah ini adalah 1200, ditambah dengan angka yang akan kita cari berikutnya. Cari digit berikutnya dengan mencari angka yang bisa dikalikan dengan pembagi, 1200-an, lalu kurangkan dari 2000. Jawaban satu-satunya adalah 1, karena 2 kali 1200 adalah 2400, lebih dari 2000. Tulis angka 1 pada digit berikut di atas tanda akar. Pembagi dalam langkah ini terdiri dari tiga bagian. Bagian pertama adalah 1200, yang telah kita hitung. Anda perlu menambahkan dua komponen lagi untuk melengkapinya.  Sekarang hitung 3 kali 10 kemudian dikalikan dengan masing-masing digit jawaban yang ada di atas tanda akar. Untuk contoh ini, artinya 3*10*2*1, yang hasilnya adalah 60. Tambahkan hasil ini pada 1200 sehingga menjadi 1260. Terakhir, tambahkan kuadrat dari digit terakhir. Dalam contoh ini, angkanya adalah 1, dan 1^2 adalah 1. Total angka pembagi, dengan demikian adalah 1200+60+1, atau 1261. Tuliskan angka ini di sebelah kiri garis vertikal. Selesaikan langkah ini dengan mengalikan digit terakhir jawaban - dalam contoh ini adalah 1 - dengan pembagi yang baru Anda hitung, yaitu 1261. 1*1261 =1261. Tuliskan ini di bawah angka 2000, dan kurangkan, hasilnya adalah 739. Setelah menyelesaikan pengurangan pada setiap langkah, putuskan apakah jawaban Anda sudah cukup akurat. Untuk akar pangkat tiga 10, setelah pengurangan pertama, akarnya adalah 2, yang tentu saja belum cukup akurat. Setelah langkah kedua, jawabannya adalah 2,1.  Hitung apakah sudah cukup akurat dengan memangkatkan 3, 2,1*2,1*2,1. Hasilnya adalah 9,261. Jika Anda menganggap hasil ini sudah cukup akurat, silakan berhenti. Jika Anda menginginkan jawaban yang lebih akurat lagi, jalani langkah sekali lagi. Dalam contoh ini, untuk latihan dan mendapatkan jawaban yang lebih akurat, ulangi langkah sekali lagi seperti di bawah ini:  Turunkan 3 digit berikutnya dari atas. Dalam contoh ini, turunkan tiga nol, mengikuti sisa 739 sehingga menjadi 739.000. Mulai dengan mengalikan 300 dengan kuadrat angka di atas tanda akar. Hitungannya adalah 300∗212{\displaystyle 300*21^{2}}, yaitu 132.300. Pilih angka supaya jika kita mengalikan 132.300 dengan angka tersebut tidak melebihi 739.000. Jawabannya adalah 5, karena 5*132.300=661.500. Tuliskan 5 pada digit berikutnya di atas tanda akar. Kalikan 3 dengan angka di atas akar, yaitu 21, lalu kalikan dengan digit terakhir yang baru kita dapatkan, yaitu 5, dan kalikan 10. Hasilnya adalah 3∗21∗5∗10=3.150{\displaystyle 3*21*5*10=3.150}. Terakhir, kuadratkan digit terakhir. Hasilnya adalah 52=25.{\displaystyle 5^{2}=25.}  Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan angka pembagi 132.300+3.150+25=135.475. Setelah menghitung pembagi untuk langkah berikutnya dan menambah satu digit pada jawaban, lanjutkan seperti berikut:  Kalikan pembagi dengan digit terakhir. 135.475*5=677.375. Kurangkan. 739.000-677.375=61.625. Putuskan apakah jawaban 2,15 sudah cukup akurat atau belum. Pangkatkan 3 untuk mendapatkan hasil 2,15∗2,15∗2,15=9,94{\displaystyle 2,15*2,15*2,15=9,94}. Hasil jawaban di atas adalah akar pangkat tiga, akurat pada langkah ini sampai tiga angka penting. Dalam contoh ini, akar pangkat 3 dari 10 adalah 2,15. Verifikasi jawaban dengan menghitung 2,15^3=9,94, yang mendekati 10. Jika Anda membutuhkan jawaban yang lebih akurat lagi, teruskan langkah di atas seperlunya.
Ulangi ekspansi pangkat binomial. Buat ekspansi binomial untuk pangkat tiga. Ingat kembali makna dari proses pembagian ke bawah. Lihat kembali ekspansi pangkat tiga. Lihat bagaimana akurasi dicapai. Gunakan angka pangkat tiga sempurna untuk menentukan batas atas dan bawah. Tebak digit berikutnya. Uji tebakan Anda dengan memangkatkan tiga. Sesuaikan tebakan jika diperlukan. Tebak digit berikutnya untuk jawaban lebih akurat. Lanjutkan dengan menguji tebakan dan sesuaikan. Lanjutkan sampai akurasi yang diinginkan. Tulis soal. Hafalkan nilai pangkat tiga semua angka satu digit. Cari digit pertama dari jawaban. Siapkan pencarian digit berikutnya. Mulai dengan mencari pembagi berikutnya. Cari digit berikut dari jawaban akar pangkat tiga. Tentukan komponen berikutnya dari pembagi. Kali dan kurangkan. Putuskan apakah Anda akan meneruskan perhitungan supaya lebih akurat. Cari pembagi untuk langkah berikutnya. Kalikan pembagi dengan digit terakhir. Tuliskan jawaban akhir.
https://www.wikihow.com/Calculate-Cube-Root-by-Hand https://www.wikihow.com/Calculate-Cube-Root-by-Hand https://www.wikihow.com/Calculate-Cube-Root-by-Hand
Understanding How this Calculation Works Finding Cube Roots by Repeated Estimation Working Through a Sample Cube Root Problem