Menggunakan Faktorisasi Prima
Cara ini menggunakan faktor-faktor dari suatu angka untuk mencari akar kuadrat dari angka tersebut (bergantung pada angkanya, jawaban dapat berupa angka yang tepat atau perkiraan yang mendekati). Faktor-faktor dari suatu angka adalah sekumpulan angka-angka lain yang jika dikalikan akan menghasilkan angka tersebut. Misalnya, Anda bisa mengatakan bahwa faktor-faktor dari 8 adalah 2 dan 4 karena 2 × 4 = 8. Sedangkan, kuadrat sempurna adalah angka-angka bulat yang merupakan hasil perkalian dari angka bulat lainnya. Misalnya, 25, 36, dan 49 adalah kuadrat sempurna karena masing-masing merupakan 52, 62, dan 72. Seperti yang sudah dapat Anda perkirakan, faktor-faktor kuadrat sempurna adalah faktor-faktor yang juga merupakan kuadrat sempurna. Untuk mulai mencari akar kuadrat melalui faktorisasi prima, cobalah terlebih dahulu menyederhanakan angka Anda menjadi faktor-faktor kuadrat sempurnanya.  Mari kita gunakan contoh. Kita ingin mencari akar kuadrat dari 400 secara manual. Untuk memulai, kita akan membagi angka tersebut menjadi faktor-faktor kuadrat sempurnanya. Karena 400 adalah kelipatan 100, kita tahu bahwa 400 dapat dibagi habis dengan 25 – kuadrat sempurna. Dengan pembagian bayangan yang cepat, kita mengetahui bahwa 400 dibagi 25 sama dengan 16. Secara kebetulan, 16 juga merupakan kuadrat sempurna. Dengan demikian, faktor-faktor kuadrat sempurna dari 400 adalah 25 dan 16 karena 25 × 16 = 400. Kita dapat menulisnya sebagai: Akar(400) = Akar(25 × 16) Sifat perkalian dari akar kuadrat menyatakan bahwa untuk angka a dan b berapapun, Akar(a × b) = Akar(a) × Akar(b). Karena sifat ini, sekarang, kita sekarang dapat mencari akar kuadrat dari faktor-faktor kuadrat sempurna kita dan mengalikannya untuk mendapatkan jawaban kita. Dalam contoh kita, kita akan mencari akar kuadrat dari 25 dan 16. Lihat di bawah ini:  Akar(25 × 16) Akar(25) × Akar(16) 5 × 4 = 20 Dalam kehidupan nyata, sering kali angka-angka yang perlu Anda cari akar kuadratnya bukanlah merupakan angka-angka bulat yang menyenangkan dengan faktor-faktor kuadrat sempurna yang terlihat jelas seperti 400. Dalam kasus-kasus ini, mungkin saja kita tidak dapat mencari jawaban yang tepat berupa angka bulat. Tetapi, dengan mencari faktor-faktor kuadrat sempurna berapa pun yang bisa Anda dapatkan, Anda dapat mencari jawabannya dalam bentuk akar kuadrat yang lebih kecil, sederhana, dan lebih mudah dihitung. Untuk melakukannya, sederhanakan angka Anda menjadi gabungan faktor-faktor kuadrat sempurna dan faktor-faktor kuadrat tidak sempurna, kemudian sederhanakan. Mari kita gunakan akar kuadrat 147 sebagai contoh. 147 bukanlah hasil perkalian dua kuadrat sempurna, sehingga kita tidak bisa mendapatkan nilai angka bulat yang tepat seperti di atas. Akan tetapi, 147 adalah hasil perkalian satu kuadrat sempurna dan angka lain – 49 dan 3. Kita dapat menggunakan informasi ini untuk menuliskan jawaban kita dalam bentuk yang paling sederhana seperti berikut:  Akar(147) = Akar(49 × 3) = Akar(49) × Akar(3) = 7 × Akar(3) Dengan akar kuadrat Anda yang berada dalam bentuk paling sederhana, biasanya cukup mudah untuk mendapatkan perkiraan kasar mengenai jawaban angkanya dengan menebak nilai akar kuadrat yang tersisa dan mengalikannya. Salah satu cara untuk memandu perkiraan Anda adalah dengan mencari kuadrat-kuadrat sempurna yang lebih besar dan kecil dari angka di dalam akar kuadrat Anda. Anda akan mengetahui bahwa nilai desimal dari angka di dalam akar kuadrat Anda berada di antara kedua angka itu, sehingga Anda dapat menebak nilainya di antara kedua angka tersebut. Mari kembali ke contoh kita. Karena 22 = 4 dan 12 = 1, kita tahu bahwa Akar(3) berada di antara 1 dan 2 – mungkin lebih dekat ke 2 dibandingkan 1. Kita memperkirakan 1,7. 7 × 1,7 = 11,9. Jika kita memeriksa jawaban kita di kalkulator, kita dapat melihat bahwa jawaban kita cukup dekat dengan jawaban sebenarnya yaitu 12,13. Hal ini juga berlaku untuk angka-angka yang lebih besar. Misalnya, Akar(35) dapat diperkirakan di antara 5 dan 6 (mungkin lebih dekat ke 6). 52 = 25 dan 62 = 36. 35 berada di antara 25 dan 36, sehingga akar kuadratnya pasti berada di antara 5 dan 6. Karena 35 hanya kurang satu dari 36, bisa kita katakan dengan yakin bahwa akar kuadratnya sedikit lebih kecil dari 6. Memeriksa dengan kalkulator akan memberikan kita jawaban sekitar 5,92 – kita benar. Mencari faktor-faktor kuadrat sempurna tidaklah perlu dilakukan jika Anda dapat dengan mudah menentukan faktor-faktor prima dari suatu angka (faktor-faktor yang juga merupakan angka prima). Tulislah angka Anda dalam bentuk faktor-faktor persekutuan terkecilnya. Kemudian, carilah pasangan angka prima yang sesuai dari faktor-faktor Anda. Saat Anda menemukan dua faktor prima yang sama, hilangkan kedua angka ini dari akar kuadrat dan letakkan salah satu angka ini di luar akar kuadrat.  Sebagai contoh, carilah akar kuadrat dari 45 menggunakan cara ini. Kita tahu bahwa 45 × 5 dan kita tahu bawah 9 = 3 × 3. Dengan demikian, kita dapat menulis akar kuadrat kita dalam bentuk faktor-faktornya seperti ini: Akar(3 × 3 × 5). Hilangkan saja kedua angka 3 dan letakkan satu angka 3 di luar akar kuadrat untuk menyederhanakan akar kuadrat Anda menjadi bentuk paling sederhana: (3)Akar(5). Dari sini, kita akan mudah untuk memperkirakan. Sebagai contoh soal terakhir, marilah kita mencoba mencari akar kuadrat dari 88:  Akar(88) = Akar(2 × 44) = Akar(2 × 4 × 11) = Akar(2 × 2 × 2 × 11). Kita memiliki beberapa angka 2 di dalam akar kuadrat kita. Karena 2 adalah angka prima, kita dapat menghilangkan sepasang angka 2 dan meletakkan salah satunya di luar akar kuadrat. = Akar kuadrat kita dalam bentuk paling sederhananya adalah (2) Akar(2 × 11) atau (2) Akar(2) Akar(11). Dari sini, kita dapat memperkirakan Akar(2) dan Akar(11) dan mencari perkiraan jawabannya sesuai yang kita inginkan.
Bagilah angka Anda menjadi faktor-faktor kuadrat sempurna. Carilah akar kuadrat dari faktor-faktor kuadrat sempurna Anda. Jika angka Anda tidak dapat difaktorkan dengan sempurna, sederhanakan jawaban Anda ke dalam bentuk yang paling sederhana. Jika dibutuhkan, perkirakan. Cara lainnya, sederhanakan angka Anda menjadi faktor-faktor persekutuan terkecilnya sebagai langkah pertama Anda.
https://www.wikihow.com/Calculate-a-Square-Root-by-Hand
Using Prime Factorization