計算の仕組みを理解します 推測を繰り返して立方根を見つけます 立方根の例題を解きます
なぜこの計算方法で立方根が見つけられるか理解するには、三乗した数が二項式でどのように表せるか思い出す必要があります。恐らく高校の数学で勉強したはずです（習ってすぐ忘れてしまった人が多いでしょう）。一桁の整数の変数A{\displaystyle A}、B{\displaystyle B}があるとします。そして、二桁の数を(10A+B){\displaystyle (10A+B)}と表します。  10A{\displaystyle 10A}は、二桁の数字を作ります。A{\displaystyle A}にどの数を選んでも、10A{\displaystyle 10A} は10の倍数になります。例えばA{\displaystyle A}が2でB{\displaystyle B}が6の場合、(10A+B){\displaystyle (10A+B)}は26になります。 三乗した数から、なぜ立方根の解答が得られるのかを考えるのがそもそもの目的です。(10A+B)3{\displaystyle (10A+B)^{3}}の値を求める必要があります。(10A+B)×(10A+B)×(10A+B)をすると求められます。この計算はここに書くには長すぎますが、結果は1000A3+300A2B+30AB2+B3{\displaystyle 1000A^{3}+300A^{2}B+30AB^{2}+B^{3}}となります。 立方根の計算方法は、割り算に似ていることに気づくでしょうか。割り算では、お互いに掛け合わせて元の数になる二つの数を見つけます。ここでの計算では、得られる解答（算出した根号の上の数字）は立方根です。つまり、その数は(10A+B)の項に当てはめられるということです。実際のAやBの値は、解答との関係さえ分かれば今はあまり重要ではありません。 多項式展開を見ると、なぜ立方根の算出法が正しいのか分かるはずです。各段階で求めた除数は、算出して合計すべき四つの項の和です。これらの項は以下のとおり求められます。  最初の項は1000の倍数です。三乗して筆算の中に記した最初の数字で、二項展開では1000A3{\displaystyle 1000A^{3}}という項になります。 二項展開の次の項には、300という係数があります（これは3×102{\displaystyle 10^{2}}に由来します）。立方根の計算で、全ての段階の最初の数字を300倍したことを思い出しましょう。 立方根の計算における、各段階の次の数字は二項展開の三つ目の項から来ます。二項展開に、30AB2{\displaystyle 30AB^{2}}という項があるのが確認できるはずです。 各段階の最後の数字は項B3{\displaystyle B^{3}}です。 筆算で計算していくと、各段階を経るごとに解答の正確性が上がります。例えば、この記事の例題では10の立方根を探しました。最初の段階で得られた解答は2でした。23{\displaystyle 2^{3}}は10に近く、10より小さいからです。実際、23=8{\displaystyle 2^{3}=8}です。次の段階では2.1という解答を得ました。この結果を使うと、2.13=9.261{\displaystyle 2.1^{3}=9.261}で目的の値である10により近づきます。三段階目では2.15を得られ、2.153=9.94{\displaystyle 2.15^{3}=9.94}です。三桁のグループずつ計算を続ければ、必要なだけ正確性を高めた解答を得られます。 ほぼどの数の立方根を見つける場合でも、まずはその数より小さく、なるべくそれに近い完全立方を選びます。  例えば、600の立方根を見つけたい場合、83=512{\displaystyle 8^{3}=512}と93=729{\displaystyle 9^{3}=729}を思い出します（または立方根表を使います）。このことから、600の立方根は8と9の間であることが分かります。512と729という数字を解答の上下限にします。 最初の数字は立方根に関する知識で見つけられました。次の数字は0～9の間のいずれかで、目的の数が二つの限界値の間のどこに位置するかで推測します。  例題の場合、目的の600は限界値である512と729の大体中間にあります。そのため、次の数として5を選びます。 推測した値を掛け算して、目的の値にどれだけ近くなるか確認します。  この例では、8.5×8.5×8.5=614.1となります。 推測値を三乗したら、その結果が目的の数とどのような関係になるか確認します。結果が目的の数を超えてしまった場合、推測した数を1以上小さくする必要があります。結果が目的の数を下回った場合、目的の数を上回るまで値を増やしていきます。  例えばこの例題の場合、8.53{\displaystyle 8.5^{3}}は目的の600を上回ります。そのため、推測した値を8.4に下げる必要があります。これを三乗し、目的の数と比べます。8.4×8.4×8.4=592.7が算出されます。これは目的の数を下回ります。そのため、600の立方根は8.4より大きく、8.5より小さいことが分かります。 0～9までの数から推測する過程を繰り返し、答えの正確性を必要なだけ高めます。推測する際は、毎回まず前回の計算結果が限界値に対してどこに位置するかを考えましょう。  この例題の場合、前回の計算結果は8.43=592.7{\displaystyle 8.4^{3}=592.7}と8.53=614.1{\displaystyle 8.5^{3}=614.1}でした。目的の600は614より若干592に近いことが分かります。そのため、次の推測では0～9のうち、真ん中より少し小さい数を選びましょう。良い推測は4で、推測の立方根は8.44となります。 必要なだけ、推測した値を三乗して目的の数と比べるのを繰り返します。目的の数より少し下になる値と少し上になる値を見つける必要があります。  この例題では、まず8.44×8.44×8.44=601.2を計算します。これは目的の数を少し上回ります。そこで、値を下げて8.43を試します。8.43×8.43×8.43=599.07です。よって、600の立方根は8.43より大きく8.44より小さいことが分かります。 推測し、比較し、必要に応じて再度推測する手順を、解答の正確性が自分が求める域に至るまで繰り返します。小数位の桁数が増えるほど、実際の数字に近づいていることを意味します。  600の立方根の場合、小数点第二位までの8.43を用いると目的の数との差は1より小さくなりました。小数点第三位まで続けると、8.4343=599.93{\displaystyle 8.434^{3}=599.93}となり、本来の答えとの差は0.1より小さくなります。 平方根を見つけるのは、割り算の筆算の問題を解くのに似ていますが、少しだけ違いがあります。まず最初にやることは、問題を適切な形で書き出すことです。  立方根を見つけたい目的の数を書き出します。数字を三桁のグループに分けて書き、小数点を打ちます。ここでは例として10の立方根を見つけます。10. 000 000と書き出しましょう。追加の0は、解答の正確性を上げるためのものです。 数字の上に、立方根の根号を書きます。これは割り算の筆算の横棒と同じような役割を果たします。違いは記号の形のみです。 横線の上に小数点を打ちます。元の数の小数点の真上に打ちましょう。 これらを計算で使います。三乗の値は以下の通りです。    13{\displaystyle 1^{3}}=1×1×1=1  23{\displaystyle 2^{3}}=2×2×2=8  33{\displaystyle 3^{3}}=3×3×3=27  43{\displaystyle 4^{3}}=4×4×4=64  53{\displaystyle 5^{3}}=5×5×5=125  63{\displaystyle 6^{3}}=6×6×6=216  73{\displaystyle 7^{3}}=7×7×7=343  83{\displaystyle 8^{3}}=8×8×8=512  93{\displaystyle 9^{3}}=9×9×9=729  103{\displaystyle 10^{3}}=10×10×10=1000 三乗した際に、最初の三桁の数字のグループを超えない範囲で最大となる数を選びます。  この例では、最初の三桁は10です。10以下で最大の完全立方を見つけます。それは8で、その立方根は2です。 横棒の上の、10の真上の位置に2と書きます。23{\displaystyle 2^{3}}の値、8を10の下に書き、線を引いて引き算をします。割り算の筆算と同様です。引き算の結果は2です。 引き算をしたら、解答の最初の数字が分かります。この数が正確な解答かどうか考える必要があります。多くの場合、まだ正確な解答ではありません。一桁の数を三乗して、目的の数に近いかどうか確認しましょう。この場合、23{\displaystyle 2^{3}}は8であり、10に十分近いとは言えないので、続ける必要があります。 次の三桁のグループを下の余りの数に書き足し、できた数の左に短い縦線を引きます。これが立方根の次の桁を調べるための基の数になります。例題では、一歩前の引き算の余りである2に、三つの0のグループを上から下ろしてきて、2000という数になります。 縦線の左で、次の除数を解きます。これは三つの異なる数字の合計になります。これらの三つの数字のために下線を三本引いて空白を作り、その間にプラスの記号を書きましょう。 除数の最初の数を見つけるため、根号の上に書いた数字の二乗に300を掛けます。この場合、根号の上の数字は2で、22{\displaystyle 2^{2}}は4、そして4×300=1200です。そのため、最初の空白に1200と書きましょう。この段階の除数は、1200に次に見つける値を加えたものだということが判明しました。 解答の次の数は、除数、つまり1200+αに掛けて2000より小さくなる数です。2に1200を掛けると2400になって2000を超えるため、該当する数は1しかありません。横棒の上に1を書き加えます。 この段階の除数は三つの数からなります。最初の数は1200だということが既に判明しています。完全な除数を求めるためには、残り二つの数字を足す必要があります。  3×10×根号の上のそれぞれの数を計算します。この例題の場合は3×10×2×1で、解は60です。これを既に得ている1200に足して、1260にします。 次に、解答の最後の桁の数の二乗を加えます。この例題の場合はその数は1で、12{\displaystyle 1^{2}}も1です。よって、除数の合計は1200+60+1、つまり1261になります。これを縦の線の左に書きます。 一連の計算の締めくくりとして、解答の最後の桁の数、この場合は1に、計算して割り出した除数、1261を掛けます。1×1261 =1261です。これを2000の下に書き、引き算をして739を得ます。 各段階の引き算を追える度に、得られた解答の正確性が十分かどうか考える必要があります。10の立方根の場合、最初の引き算後に得られた解答は2で、あまり正確性が高くありませんでした。二段階目を経て、解答は2.1になりました。  この解答の正確性は、三乗して確認できます。2.1×2.1×2.1の解は9.261です。 この解答が十分正確だと思えば、ここで終えます。より正確な解答を得たい場合は、もう一段階行う必要があります。 ここでは、練習を重ねてより正確な答えを得るため、以下の通り、もう一段階計算を繰り返します。  次の三桁のグループを下ろします。この場合、これは三つの0なので、739に続けて739,000とします。 まずは現在根号の上にある数字の二乗に300を掛けます。つまり、300×212{\displaystyle 21^{2}}で、解は132,300です。 解答の次の数字は、132,300に掛けて739,000より小さくなる数です。5×132,300=661,500なので、5がその数です。根号の上に5と書きましょう。 3×根号の上にあったもとの数×新たに加えた数×10を計算します。これは、3×21×5×10=3,150となります。 最後に、お尻の数字を二乗します。これは、52=25{\displaystyle 5^{2}=25}です。 除数の各値を足し合わせます。132,300+3,150+25=135,475。 新たな除数を算出し、解答を一桁増やせたら、次の手順に進みましょう。   除数に解答の最後の数字を掛けます。135475×5=677,375。 引き算します。739,000-677,375=61,625。 2.15という解答の正確性が十分かどうか検討するため、三乗します。2.15×2.15×2.15=9.94。 根号の上の数字が立方根で、この段階で三桁まで正確な数字が得られました。この例では、10の立方根は2.15です。2.153=9.94{\displaystyle 2.15^{3}=9.94}を計算すると、ほぼ10に近いことが確認できます。さらに正確性を高める必要がある場合は、好きなだけ同じ手順を繰り替えしましょう。
二項展開を見直します。 二項式を三乗に展開させます。 割り算の算出法の意味を考えます。 二項展開させた数式を見直します。 正確性が高まるのを確かめます。 三乗の数を使って上限値と下限値を定めます。 次の数字を推測します。 推測した値を三乗して調べます。 必要に応じて推測値を調整します。 より正確性を高めるため、次の数を推測します。 推測した値を調べ、調整します。 必要な正確性に至るまで繰り返します。 問題を書き出します。 一桁の数の三乗を確認します。 解答の最初の一桁を見つけます。 次の数を見つける準備をします。 次の除数の最初の数を見つけます。 立方根の次の数を見つけます。 除数の残りを求めます。 掛け算と引き算をします。 さらに正確性を高めるかどうか考えます。 次の段階の除数を見つけます。 除数に解答の数を掛けます。 最終的な解答を書きます。
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Understanding How this Calculation Works Finding Cube Roots by Repeated Estimation Working Through a Sample Cube Root Problem