क्षेत्रफल और परिमाप का इस्तेमाल करना लंबाई और चौड़ाई का इस्तेमाल करना क्षेत्रफल और भुजाओं के बीच के संबंध का इस्तेमाल करना
क्षेत्रफल का फार्मुला A=lw{\displaystyle A=lw} है, जहाँ A{\displaystyle A} आयत का क्षेत्रफल है, l{\displaystyle l} आयत की लंबाई, और  w{\displaystyle w} आयत की चौड़ाई है। ध्यान रहें आप चर (Variable) A{\displaystyle A} के स्थान पर वैल्यू लिख रहे हैं। उदाहरण के लिए, अगर आयत का क्षेत्रफल 35 वर्ग सेंटीमीटर है, तो आपका सूत्र इस तरह से होगा: 35=lw{\displaystyle 35=lw} ऐसा करने के लिए, समीकरण के दोनों तरफ l{\displaystyle l} से भाग दें। इसे ऐसे ही रहने दें। बाद में इस वैल्यू का इस्तेमाल आपको परिमाप निकालते समय करना पड़ेगा। उदाहरण के लिए, 35=lw{\displaystyle 35=lw}35l=w{\displaystyle {\frac {35}{l}}=w} आयत का परिमाप निकालने का फार्मुला P=2(w+l){\displaystyle P=2(w+l)} है, जहाँ  w{\displaystyle w} आयत की चौड़ाई, और l{\displaystyle l} आयत की लंबाई है। ध्यान रहें आप चर (variable) P{\displaystyle P} के लिए वैल्यू सबस्टिट्यूट कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, अगर आयत का परिमाप 24 सेंटीमीटर है, तो आपका फार्मुला ऐसा होगा: 24=2(w+l){\displaystyle 24=2(w+l)} ऐसा करने से w+l{\displaystyle w+l} की वैल्यू मिलेगी। उदाहरण के लिए: 24=2(w+l){\displaystyle 24=2(w+l)}242=2(w+l)2{\displaystyle {\frac {24}{2}}={\frac {2(w+l)}{2}}}12=w+l{\displaystyle 12=w+l} नए सिरे से लिखें क्षेत्रफल के फार्मुला को परिमाप के समीकरण में सबस्टिट्यूट करें। उदाहरण के लिए, क्षेत्रफल के फार्मुला में आपने देखा होगा कि 35l=w{\displaystyle {\frac {35}{l}}=w} है, तो परिमाप वाले फार्मुला में w{\displaystyle w} की जगह पर इस वैल्यू को लिखें: 12=w+l{\displaystyle 12=w+l}12=35l+l{\displaystyle 12={\frac {35}{l}}+l} ऐसा करने के लिए, समीकरण के दोनों तरफ l{\displaystyle l} से गुणा कर लें। उदाहरण के लिए: 12=35l+l{\displaystyle 12={\frac {35}{l}}+l}12×l=(35l×l)+(l×l){\displaystyle 12\times l=({\frac {35}{l}}\times l)+(l\times l)}12l=35+l2{\displaystyle 12l=35+l^{2}} ऐसा करने के लिए, जिसकी डिग्री 1 है, उस संख्या को समीकरण के दोनों तरफ से घटा दें। उदाहरण के लिए: 12l=35+l2{\displaystyle 12l=35+l^{2}}12l−12l=35+l2−12l{\displaystyle 12l-12l=35+l^{2}-12l}0=35+l2−12l{\displaystyle 0=35+l^{2}-12l} इसका अर्थ यह है कि, जिस पद में घातांक है, उसे सबसे पहले लिखें, फिर चर वाला पद (Variable) और आखिर में अचर वाले पद (Constant) को लिखें। समीकरण को क्रमानुसार लिखते समय, ध्यान रहें कि आप उचित धनात्मक (Positive Sign) और ऋणात्मक चिन्ह (Negative Sign) का उपयोग कर रहे हैं। अब आपका समीकरण एक द्विघाती समीकरण (Quadratic Equation) के रूप में होना चाहिए। उदाहरण के लिए, समीकरण 0=35+l2−12l{\displaystyle 0=35+l^{2}-12l} इस तरह बन जाएगा 0=l2−12l+35{\displaystyle 0=l^{2}-12l+35} इसे पूरी तरह से समझने के लिए एक-गणितीय-फंक्शन-के-शून्य-पता-करें लेख को पढ़िए। उदाहरण के लिए, समीकरण 0=l2−12l+35{\displaystyle 0=l^{2}-12l+35} के गुणनखंड है 0=(l−7)(l−5){\displaystyle 0=(l-7)(l-5)} की वैल्यू निकालें: ऐसा करने के लिए, हर एक पद को 0 के साथ इक्वेट करें और चर (Variable) की वैल्यू निकालने के लिए हल करें। आप देखेंगे कि इस समीकरण के  दो उत्तर, या दो मूल (Roots) मिलेंगे। चूंकि आप आयत का विकर्ण निकाल रहे हैं, तो दो मूल आयत की चौड़ाई तथा लंबाई है। उदाहरण के लिए: 0=(l−7){\displaystyle 0=(l-7)}7=l{\displaystyle 7=l}और0=(l−5){\displaystyle 0=(l-5)}5=l{\displaystyle 5=l} इसलिए, आयत की लंबाई तथा चौड़ाई है 7 सेंटामीटर और 5 सेंटीमीटर। यह फार्मूला a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} इस तरह से है, जहाँ  a{\displaystyle a} और b{\displaystyle b}  दोनों आयत की भुजाएं है, और c{\displaystyle c} समकोण त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) है। आप पाइथागोरस प्रमेय का इस्तेमाल करते हैं क्योंकि आयत का विकर्ण (Diagonal) आयत को दो संगत समकोण त्रिभुज (congruent right triangles) में काटता है। आयत की लंबाई तथा चौड़ाई त्रिभुज की भुजाएं बन जाते हैं; और आयत का विकर्ण (Diagonal) त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) बन जाता है। यह महत्वपूर्ण नहीं है कि आप किस चर (Variable) के लिए किस मूल्य का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, अगर आपने आयत की लंबाई और चौड़ाई निकाल ली है, जो 5 सेंटीमीटर तथा 7 सेंटीमीटर है, तो आपका फार्मुला इस तरह से होगा: 52+72=c2{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}} याद रखें, संख्या का वर्ग लेने का मतलब संख्या को उसी से गुणा करना है। For example:52+72=c2{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}25+49=c2{\displaystyle 25+49=c^{2}}74=c2{\displaystyle 74=c^{2}} कैल्क्यूलेटर का इस्तेमाल करके आसानी से वर्गमूल निकाला जा सकता है। अगर आपके पास साइन्टिफिक कैल्क्यूलेटर नहीं है, तो आप ऑनलाइन कैल्क्यूलेटर का इस्तेमाल कर सकते हैं। यह आपको c{\displaystyle c} की वैल्यू देगा, जो त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) है, और आयत का विकर्ण (Diagonal) है। उदाहरण के लिए: 74=c2{\displaystyle 74=c^{2}}74=c2{\displaystyle {\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}}8.6024=c{\displaystyle 8.6024=c} इसलिए, एक आयत जिसका क्षेत्रफल 35 वर्ग सेंटीमीटर और परिमाप 24 सेंटीमीटर है उसका विकर्ण लगभग 8.6 सेंटीमीटर होगा। पाइथागोरियन फार्मूला a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} है, जहाँ  a{\displaystyle a} और b{\displaystyle b} आयत की भुजाएं है, और c{\displaystyle c} समकोण त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) है। आप पाइथागोरस प्रमेय का इस्तेमाल करते हैं क्योंकि आयत का विकर्ण उसे दो संगत समकोण त्रिभुज (congruent right triangles) में काटता है। आयत की लंबाई तथा चौड़ाई त्रिभुज की भुजाएं बन जाते हैं, और आयत का विकर्ण (Diagonal) त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) बन जाता है। यह दोनों माप प्रश्न में दिए जाने चाहिए, या आपको इनका नाप लेना पड़ेगा। ध्यान रहें, आप लंबाई और चौड़ाई की वैल्यूज़ a{\displaystyle a} और b{\displaystyle b} में सबस्टिट्यूट कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, अगर आयत की चौड़ाई 3 सेंटीमीटर है, और लंबाई 4 सेंटीमीटर है, तो आपका सूत्र (Formula) इस तरह से होगा: 32+42=c2{\displaystyle 3^{2}+4^{2}=c^{2}} याद रखें, संख्या का वर्ग लेने का मतलब है संख्या को उसी से गुणा करना। उदाहरण के लिए: 32+42=c2{\displaystyle 3^{2}+4^{2}=c^{2}}9+16=c2{\displaystyle 9+16=c^{2}}25=c2{\displaystyle 25=c^{2}} कैल्क्यूलेटर का इस्तेमाल करके आसानी से वर्गमूल निकाला जा सकता है। अगर आपके पास साइन्टिफिक कैल्क्यूलेटर नहीं है, तो आप ऑनलाइन कैल्क्यूलेटर का इस्तेमाल कर सकते हैं। यह आपको c{\displaystyle c} की वैल्यू देगा, जो त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) है, और आयत का विकर्ण (Diagonal) है। उदाहरण के लिए: 25=c2{\displaystyle 25=c^{2}}25=c2{\displaystyle {\sqrt {25}}={\sqrt {c^{2}}}}5=c{\displaystyle 5=c} तभी, एक आयत जिसकी चौड़ाई 3 सेंटीमीटर और लंबाई 4 सेंटीमीटर है, तो उसका विकर्ण 5 सेंटीमीटर होगा। आप लंबाई (l{\displaystyle l}) या चौड़ाई (w{\displaystyle w}) को अलग करके लिख सकते हैं। इस फार्मुला को लिख लें। आपको इसे बाद में क्षेत्रफल के फार्मुला में सबस्टिट्यूट करना पड़ेगा। उदाहरण के लिए, अगर आपके आयत की चौड़ाई लंबाई से 2 सेंटीमीटर अधिक है, तो आपका फार्मुला w{\displaystyle w}: w=l+2{\displaystyle w=l+2} होगा। यह आयत के क्षेत्रफल का फार्मुला A=lw{\displaystyle A=lw} है, जहाँ A{\displaystyle A} आयत का क्षेत्रफल है, l{\displaystyle l} आयत की लंबाई है, तथा w{\displaystyle w} आयत की चौड़ाई है। अगर आपको आयत का परिमाप ज्ञात है, तो भी आप इस प्रणाली का इस्तेमाल कर सकते हैं, सिर्फ आपको क्षेत्रफल की जगह पर परिमाप का फार्मुला लेना होगा। आयत का परिमाप निकालने का फार्मुला है P=2(w+l){\displaystyle P=2(w+l)}, जहाँ  w{\displaystyle w} आयत की चौड़ाई है, तथा  l{\displaystyle l} आयत की लंबाई है। सुनिश्चित कर लें कि आप चर A{\displaystyle A} के स्थान पर वैल्यू सबस्टिट्यूट कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, अगर आयत का क्षेत्रफल 35 वर्ग सेंटीमीटर है, तो आपका फार्मुला ऐसा होगा: 35=lw{\displaystyle 35=lw} चूंकि आप आयत का विकर्ण निकाल रहे हैं, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता की आपके सूत्र में चर (Variable) l{\displaystyle l} है या w{\displaystyle w} है। उदाहरण के लिए, अगर आप w=l+2{\displaystyle w=l+2} लेते हैं, तो आप w{\displaystyle w} की वैल्यू को आयत के क्षेत्रफल वाले फार्मुला में लिखेंगे: 35=lw{\displaystyle 35=lw}35=l(l+2){\displaystyle 35=l(l+2)} ऐसा करने के लिए, साहचर्य गुण (distributive property) का इस्तेमाल करके ब्रैकेट में मौजूद पदों का गुणन करें, फिर समीकरण को 0 से इक्वेट करें। उदाहरण के लिए: 35=l(l+2){\displaystyle 35=l(l+2)}35=l2+2l{\displaystyle 35=l^{2}+2l}0=l2+2l−35{\displaystyle 0=l^{2}+2l-35} इसे पूरी तरह से समझने के लिए एक-गणितीय-फंक्शन-के-शून्य-पता-करें लेख को पढ़िए। उदाहरण के लिए, समीकरण 0=l2+2l−35{\displaystyle 0=l^{2}+2l-35} के गुणनखंड 0=(l+7)(l−5){\displaystyle 0=(l+7)(l-5)} यह है। की वैल्यू निकालें: ऐसा करने के लिए, हर एक पद को 0 के साथ इक्वेट करें और चर (Variable) की वैल्यू निकालने के लिए हल करें। आप देखेंगे कि इस समीकरण के  दो उत्तर, या दो मूल (Roots) मिलेंगे। उदाहरण के लिए: 0=(l+7){\displaystyle 0=(l+7)}−7=l{\displaystyle -7=l}और0=(l−5){\displaystyle 0=(l-5)}5=l{\displaystyle 5=l}  इस उदाहरण में, आपको एक ऋणात्मक मूल (Negative root) मिलेगा। चूंकि आयत की लंबाई कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकती, लंबाई को 5 सेंटीमीटर ही लेना होगा। इसे हल करने पर आपको आयत की दूसरी तरफ की लंबाई मिलेगी। उदाहरण के लिए, अगर आपको पता है कि आयत की लंबाई 5 सेंटीमीटर है, और चौड़ाई के साथ लंबाई का संबंध w=l+2{\displaystyle w=l+2} है, तो फार्मुला में लंबाई की जगह 5 सेंटीमीटर सबस्टिट्यूट करें: w=l+2{\displaystyle w=l+2}w=5+2{\displaystyle w=5+2}w=7{\displaystyle w=7} यह फार्मूला a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} इस तरह से है, जहाँ  a{\displaystyle a} और b{\displaystyle b}  दोनों आयत की भुजाएं है, और c{\displaystyle c} समकोण त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) है। आप पाइथागोरस प्रमेय का इस्तेमाल करते हैं क्योंकि आयत का विकर्ण (Diagonal) आयत को दो संगत समकोण त्रिभुज (congruent right triangles) में काटता है। आयत की लंबाई तथा चौड़ाई त्रिभुज की भुजाएं बन जाते हैं; और आयत का विकर्ण (Diagonal) त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) बन जाता है। यह महत्वपूर्ण नहीं है कि आप किस चर (Variable) के लिए किस मूल्य का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, अगर आपने आयत की लंबाई और चौड़ाई निकाल ली है, जो 5 सेंटीमीटर तथा 7 सेंटीमीटर है, तो आपका फार्मुला इस तरह से होगा: 52+72=c2{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}} याद रखें, संख्या का वर्ग लेने का मतलब है संख्या को उसी से गुणा करना। For example:52+72=c2{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}25+49=c2{\displaystyle 25+49=c^{2}}74=c2{\displaystyle 74=c^{2}} कैल्क्यूलेटर का इस्तेमाल करके आसानी से वर्गमूल निकाला जा सकता है। अगर आपके पास साइन्टिफिक कैल्क्यूलेटर नहीं है, तो आप ऑनलाइन कैल्क्यूलेटर का इस्तेमाल कर सकते हैं। यह आपको c{\displaystyle c} की वैल्यू देगा, जो त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) है, और आयत का विकर्ण (Diagonal) है। उदाहरण के लिए: 74=c2{\displaystyle 74=c^{2}}74=c2{\displaystyle {\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}}8.6024=c{\displaystyle 8.6024=c} इसलिए, आयत जिसका क्षेत्रफल 35 वर्ग सेंटीमीटर है और परिमाप 24 सेंटीमीटर है उसका विकर्ण लगभग 8.6 सेंटीमीटर होगा।
आयत के क्षेत्रफल निकालने का फार्मुला लिखें: फार्मुला में आयत के क्षेत्रफल की वैल्यू सबस्टिट्यूट करें: फार्मुला को नए क्रम में लिखें, ताकि w{\displaystyle w} की वैल्यू निकाल सकें: आयत का परिमाप निकालने का फार्मुला लिखें: फार्मुला में सारी वैल्युज़ सबस्टिट्यूट करें: समीकरण के दोनों तरफ 2 से भाग दें: समीकरण में w{\displaystyle w} की वैल्यू सबस्टिट्यूट करें: समीकरण में भिन्न को काट दें: समीकरण को 0 से इक्वेट करें: समीकरण को उसके घटते घातांक के अनुसार लिखें: द्विघाती समीकरण (Quadratic Equation) के गुणनखंड निकालें: l{\displaystyle l} पाइथागोरस प्रमेय का फार्मूला लिखें: फार्मूला में लंबाई और चौड़ाई की वैल्यूज़ सबस्टिट्यूट करें: लंबाई और चौड़ाई का वर्ग (Square) लें, फिर इन दोनों को जोड़ दें: समीकरण के दोनों तरफ का वर्गमूल (Square Root) निकालें: पाइथागोरस प्रमेय का फार्मूला लिखें: फार्मूला में लंबाई और चौड़ाई के वैल्यूज़ सबस्टिट्यूट करें: लंबाई और चौड़ाई का वर्ग (Square) लें, फिर इन दोनों को जोड़ दें: समीकरण के दोनों तरफ का वर्गमूल (Square Root) निकालें: भुजाओं के बीच का संबंध दर्शाते हुए फार्मुला लिखें: आयत के क्षेत्रफल का फार्मुला लिखें: आयत के क्षेत्रफल का फार्मुला लिखें: क्षेत्रफल के फार्मुला में लंबाई (या चौड़ाई) के संबंध वाले सूत्र को सबस्टिट्यूट करें: द्विघाती समीकरण (Quadratic Equation) लिखें: द्विघाती समीकरण (Quadratic Equation) के गुणनखंड निकालें: l{\displaystyle l} लंबाई (या चौड़ाई) की वैल्यू को संबंध दिखाने वाले फार्मुला में सबस्टिट्यूट करें: पाइथागोरस प्रमेय का फार्मूला लिखें: फार्मूला में लंबाई और चौड़ाई की वैल्यूज़ सबस्टिट्यूट करें: लंबाई और चौड़ाई का वर्ग (Square) लें, फिर इन दोनों को जोड़ दें: समीकरण के दोनों तरफ का वर्गमूल (Square Root) निकालें:
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Using the Area and Perimeter Using the Length and the Width Using the Area and Relational Side Lengths