कई रैन्डम ईवेंट्स की प्रॉबबिलिटि कैलकुलेट करना (Probability of Multiple Random Events) ओड्ड्स (Odds) को प्रॉबबिलिटीस में बदलना किसी एक रैन्डम इवैंट की प्रॉबबिलिटि पता करना (Probability of a Single Random Event)
जब आप यह पता कर लेंगे कि यह कौनसी प्रॉबबिलिटीस हैं, आप उन्हें अलग से कैलकुलेट करेंगे। मान लीजिये कि आप एक 6-तरफा डाइ में लगातार दो बार 5 आने की प्रॉबबिलिटि जानना चाहते हैं। आपको पता है कि एक बार पाँच रोल करने की प्रॉबबिलिटि 1/6 है, और उसी डाइ से एक बार फिर 5 रोल करने की  प्रॉबबिलिटि भी 1/6 है। पहला परिणाम दूसरे परिणाम पर दखल नहीं देता है। यदि एक इवैंट के घटने से दूसरे इवैंट के होने की प्रॉबबिलिटि में बदलाव आता है, तब आप डिपेंडेंट ईवेंट्स की प्रॉबबिलिटि माप रहें हैं। उदाहरण के लिए, अगर आप 52 ताश के पत्तों में से 2 पत्ते चुने, तो आप जब पहला पत्ता चुनते है, उसका प्रभाव इस पर पड़ता है कि दूसरे पत्ते को चुनने के लिए आपके पास कौन कौन से पत्ते उपलब्ध हैं। डिपेंडेंट ईवेंट्स में दूसरे इवैंट की प्रॉबबिलिटि कैलकुलेट करने के लिए, आपको संभावित परिणामों में से 1 घटाना पड़ेगा, दूसरे इवैंट की प्रॉबबिलिटि कैलकुलेट करने के लिए।   उदाहरण 1: घटना का ध्यान करें:  दो पत्तों को ताश कि गड्डी से रैन्डमली निकाले जाते हैं। इसकी क्या संभावना है कि दोनों पत्ते चिड़ी (क्लब्स) के होंगे? पहले पत्ते के चिड़ी का होने की संभावना 13/52, या 1/4 है। (हर ताश कि गड्डी में 13 चिड़ी के पत्ते होते हैं।) अब, दूसरे पत्ते के चिड़ी के होने कि संभावना 12/51 है, क्योंकि एक चिड़ी का पत्ता पहले ही हटाया जा चुका है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि जो आप पहली बार करते हैं उसका प्रभाव दूसरी बार पर पड़ता है। यदि आप चिड़ी कि तिक्की निकालते हैं और वापस नहीं रखते हैं, तो एक चिड़ी का पत्ता कम होगा और गड्डी में भी एक पत्ता कम होगा (52 के स्थान पर 51)।   उदाहरण 2: एक जार में 4 नीले मार्बल्स, 5 लाल मार्बल्स, और 11 सफ़ेद मार्बल्स हैं। यदि 3 मार्बल्स जार से रैन्डमली निकाल लिए जाते है, इसकी क्या प्रॉबबिलिटि है कि पहला मार्बल लाल होगा, दूसरा मार्बल नीला होगा। और तीसरा मार्बल सफ़ेद होगा? पहले मार्बल के लाल होने की प्रॉबबिलिटि 5/20, या 1/4  है।  दूसरे मार्बल की नीले होने की प्रॉबबिलिटि 4/19 है, क्योंकि हमारे पास एक मार्बल कम है, लेकिन नीला मार्बल 1 कम नहीं है। और तीसरे मार्बल की सफ़ेद होने की प्रॉबबिलिटि 11/18 है, क्योंकि हमने पहले से ही 2 मार्बल्स चुन लिए हैं। इसकी बिना परवाह किए कि जिन ईवेंट्स को आप डील कर रहें हैं वह स्वतंत्र या निर्भर ईवेंट्स हैं, और आप 2, 3, या फिर 10 कुल परिणामों के साथ काम कर रहे हैं, आप कुल प्रॉबबिलिटि  को, ईवेंट्स कि अलग अलग प्रॉबबिलिटीस को एक दूसरे से गुणा करके कैलकुलेट कर सकते हैं। इससे आपको पता चलेगा कि विभिन्न ईवेंट्स की एक के बाद एक होने की प्रॉबबिलिटि क्या है। तो, इस परिपेक्ष्य के लिए; एक छह-तरफा डाइ में रोल करने पर लगातार 2 बार 5 आने की प्रॉबबिलिटि क्या है? दोनों स्वतंत्र ईवेंट्स के लिए प्रॉबबिलिटि 1/6 है। यह हमें 1/6 x 1/6 = 1/36 देता है। इसे आप 0.027 या 2.7% के रूप में भी दर्शा सकते हैं।   उदाहरण 1: एक ताश की गड्डी से 2 पत्ते रैन्डमली निकाले जाते हैं। इसकी क्या संभावना है कि दोनों पत्ते चिड़ी के होंगे? पहले इवैंट होने की प्रॉबबिलिटि 13/52 है। दूसरे इवैंट की प्रॉबबिलिटि 12/51 है। इसलिए कुल प्रॉबबिलिटि 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17 है। इसे आप 0.058 या 5.8% के रूप में भी दर्शा सकते हैं।  उदाहरण 2:  एक जार में 4 नीले मार्बल्स, 5 लाल मार्बल्स, और 11 सफ़ेद मार्बल्स हैं। यदि 3 मार्बल्स जार से रैन्डमली निकाल लिए जाते है, इसकी क्या प्रॉबबिलिटि है कि पहला मार्बल लाल होगा, दूसरा मार्बल नीला होगा। और तीसरा मार्बल सफ़ेद होगा? पहले इवैंट होने की प्रॉबबिलिटि 5/20 है। दूसरे इवैंट की प्रॉबबिलिटि 4/19 है। और तीसरे इवैंट की प्रॉबबिलिटि 11/18 है. इस प्रकार प्रॉबबिलिटि 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0.032 है। इसे आप 3.2% के रूप में भी प्रदर्शित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आइए रंगीन मार्बल्स वाले अपने उदाहरण पर हम वापस लौटें। मान लीजिये कि आप सफ़ेद मार्बल्स के (जो की कुल 11 हैं) कुल मार्बल्स के पॉट से निकालने की (जिसमे 20 मार्बल्स हैं) प्रॉबबिलिटि जानना चाहते हैं। इस इवैंट के अवश्य होने की प्रॉबबिलिटि के न होने की प्रॉबबिलिटि के रेशियो को इस इवैंट के होने के ओड्ड्स कहा जाता है। चूंकि यहाँ 11 सफ़ेद और 9 गैर-सफ़ेद मार्बल्स हैं, आप ओड्ड्स को 11:9 रेशियो के रूप में लिखेंगे।  11 नंबर इस संभावना को दर्शाता है कि आप सफ़ेद मार्बल चुनेंगे और 9 नंबर यह दर्शाता है कि अन्य रंग कि मार्बल चुनने की क्या संभावना है। इसलिए, ओड्ड्स यह हैं कि आप सफ़ेद मार्बल निकालेंगे। ओड्ड्स को बदलना बेहद आसान है। पहले, ओड्ड्स को दो अलग अलग घटनाओं में तोड़ें: सफ़ेद मार्बल निकालने के ओड्ड्स (11) और अन्य रंग के मार्बल निकालने के ओड्ड्स (9)। कुल परिणामों कि संख्या जानने के लिए इन दोनों संख्याओं को जोड़ें। इसे प्रॉबबिलिट के रूप में लिखें, जहां नयी कैलकुलेट की गयी कुल परिणामों कि संख्या डिनोमिनेटर (denominator) के रूप में लिखी जाएगी। आप सफ़ेद मार्बल निकालेंगे, इस इवैंट का नंबर 11 है; और उस  इवैंट, कि आप दूसरे रंग के मार्बल को निकालेंगे, कि संख्या 9 है। कुल परिणामों कि संख्या 11 + 9, या 20 है। आपने यह कैलकुलेट किया है इसमे कुल 20 संभावनाएं हैं और, मूलत:, इसमे से 11 परिणाम यह हैं कि आप सफ़ेद मार्बल निकालेंगे। इसलिए, सफ़ेद मार्बल निकालने कि प्रॉबबिलिटि को अन्य अकेले-इवैंट के रूप में देखा जा सकता है। 11 (कुल सकारात्मक परिणामों कि संख्या) को 20 (कुल इवैंट्स की संख्या) से भाग दें जिससे प्रॉबबिलिटि निकल आए। इसलिए, हमारे उदाहरण में, सफ़ेद मार्बल निकालने की प्रॉबबिलिटि 11/20 है। इसको भाग दें: 11 ÷ 20 = 0.55 या 55%। प्रॉबबिलिटि तब ही कैलकुलेट की जा सकती है जब वह इवैंट, जिसकी प्रॉबबिलिटि आप कैलकुलेट कर रहे हैं, या तो होता है या नहीं होता है। इवैंट होना या इसके विपरीत होना, दोनों एक साथ नहीं हो सकते हैं। किस डाइ (die) पर 5 लाना, एक निश्चित घोड़े का रेस जीतना, ऐसे एवेंट्स के उदाहरण है जो एक दूसरे पर निर्भर नहीं हैं (mutually exclusive)। या तो रोल करने पर डाइ पर 5 आता है या नहीं आता है, या तो घोडा जीतता है या नहीं जीतता है। मान लीजिये कि आप यह जानने कि कोशिश कर रहे हैं कि एक 6-तरफा (6-sided) डाइ को रोल करने पर 3 आने कि क्या संभावना है। “3 को रोल करना” इवैंट है, और चूंकि हमें मालूम है कि एक 6-तरफा डाइ, 6 में से किसी भी नम्बर पर ठहर सकता है, परिणामों की संख्या 6 है। इसलिए, हमें पता है कि, इस मामले में, 6 संभावित ईवेंट्स हैं और 1 परिणाम है जिसकी प्रॉबबिलिटि कैलकुलेट करने में हम रुचि रखते हैं। यहाँ 2 और उदाहरण दिये हैं जो आपको समझने में मदद करेंगे:   उदाहरण 1: रैन्डमली सप्ताह के किसी दिन को चुनने पर इसकी क्या संभावना है कि वह दिन सप्ताहांत पर पड़ेगा? "सप्ताहांत पर पड़ने वाले दिन को चुनना" हमारा इवैंट है, और परिणामों कि कुल संख्या सप्ताह में पड़ने वाले दिन हैं: 7।  उदाहरण 2: एक जार में 4 नीले मार्बल्स, 5 लाल मार्बल्स और 11 सफ़ेद मार्बल्स हैं। अगर जार से एक मार्बल रैन्डमली निकाला जाता है, तो इसकी क्या प्रॉबबिलिटि है कि वह मार्बल लाल रंग का होगा? "लाल रंग का मार्बल चुनना" हमारा इवैंट है, और जार में मार्बल्स की कुल संख्या परिणामों का योग है, 20। इससे हमें एक अकेले इवैंट के होने की प्रॉबबिलिटि पता चलेगी। डाइ पर 3 रोल करने वाले मामले में, ईवेंट्स की संख्या 1 है (डाइ पर केवल एक 3 होता है), और परिणामों की संख्या 6 है। इस संबंध को आप 1 ÷ 6, 1/6, 0.166, or 16.6% के रूप में भी देख सकते हैं। बाकी के उदाहरणो की प्रॉबबिलिटि पता करने के लिए आप ऐसा कर सकते हैं:   उदाहरण 1:  रैन्डमली सप्ताह के किसी दिन को चुनने पर इसकी क्या संभावना है कि वह दिन सप्ताहांत पर पड़ेगा? इसमे ईवेंट्स की संख्या 2 है (क्योंकि सप्ताह के केवल 2 दिन ही सप्ताहांत होते हैं), और परिणामों की संख्या 7 है। इसकी प्रॉबबिलिटि 2 ÷ 7 = 2/7 है. इसे आप 0.285 या 28.5% के रूप में भी व्यक्त कर सकते हैं।  उदाहरण 2:  एक जार में 4 नीले मार्बल्स, 5 लाल मार्बल्स और 11 सफ़ेद मार्बल्स हैं। अगर जार से एक मार्बल रैन्डमली निकाला जाता है, तो इसकी क्या प्रॉबबिलिटि है कि वह मार्बल लाल रंग का होगा? ईवेंट्स की संख्या 5 है (क्योंकि लाल रंग के 5 मार्बल्स हैं), और परिणामों की संख्या 20 है. इसकी प्रॉबबिलिटि 5 ÷ 20 = 1/4 है। इसे आप 0.25 or 25% के रूप में भी व्यक्त कर सकते हैं। सभी हो सकने वाले ईवेंट्स के संभावनाओं का योग 1 या 100% होना चाहिए। यदि सभी संभावित ईवेंट्स की संभावनाओं का जोड़ 100% नहीं होता है, तो इसकी ज्यादा संभावना है कि आपने गलती की है और आपने एक संभावित इवैंट को छोड़ दिया है। अपनी गणना को दुबारा चेक कर के यह सुनिश्चित करें कि आपने कोई संभावित परिणाम को छोड़ तो नहीं दिया है। उदाहरण के लिए, एक 6-तरफा डाइ को रोल करने पर 3 आने कि संभावना 1/6 है। लेकिन डाइ पर बाकी सब 5 नंबरों को रोल करने की प्रॉबबिलिटि भी 1/6 है। 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, जो कि = 100%। इसका केवल यह मतलब है की इस इवैंट के होने की कोई संभावना नहीं है, और ऐसा हरबार होगा जबतक आप एक असंभव इवैंट के बारे में डील करेंगे। कैलकुलेट करते समय एक 0 प्रॉबबिलिटि की संभावना बहुत कम है, लेकिन यह असंभव भी नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि आप वर्ष 2020 में ईस्टर छुट्टी सोमवार को पड़ने की प्रॉबबिलिटि कैलकुलेट कर रहें हैं, तो इसकी प्रॉबबिलिटि 0 होगी क्योंकि ईस्टर हमेशा रविवार को होता है।
इंडिपेंडेंट ईवेंट्स (independent events) की प्रॉबबिलिटि कैलकुलेट करने के लिए प्रत्येक प्रॉबबिलिटि को अलग से डील करें: डिपेंडेंट (dependent) ईवेंट्स की प्रॉबबिलिटि कैलकुलेट करते समय पहले के ईवेंट्स का असर ध्यान में रखें: हर अलग अलग ईवेंट्स की प्रॉबबिलिटीस को एक दूसरे से गुणा करें: ओड्ड्स को एक रैशियो के रूप में, सकारात्मक परिणाम को न्यूमरेटर मानते हुए सेट करें: ओड्ड्स को प्रॉबबिलिटि में बदलने के लिए इन नंबरों को एक साथ जोड़ें: ऐसा मानते हुए कि आप एक अकेले इवैंट की प्रॉबबिलिटि कैलकुलेट कर रहे हैं, ओड्ड्स को निकालें: एक दूसरे से अलग परिणाम वाले किसी इवैंट को चुने: सभी संभावित ईवेंट्स और उनके परिणाम, जो हो सकते हैं, को परिभाषित (define) करें: ईवेंट्स कि संख्या को संभावित परिणामों कि सख्या से भाग दीजिये: ईवेंट्स की सभी संभव संभावनाओं को जोड़ लें और यह सुनिश्चित करें कि उनका योग 1 के बराबर हो: एक असंभव परिणाम की प्रॉबबिलिटि को 0 से दर्शाएँ:
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