पाइथागोरस प्रमेय (Pythagorean Theorem) का इस्तेमाल करना विशेष प्रकार के समकोंण त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) पता करना साइन नियम (Sine Law) का इस्तेमाल करके कर्ण की लंबाई निकालना
पाइथागोरस प्रमेय एक समकोण त्रिभुज के तीनों भुजाओं के बीच के संबंध का वर्णन करता है।  इस प्रमेय के अनुसार जब किसी भी समकोण त्रिभुज में समकोण बनाने वाली भुजाओं की लंबाई a तथा b हैं, और कर्ण की लंबाई c है, तो a2 + b2 = c2 है। यह करना इसलिए आवश्यक है क्योंकि पाइथागोरस प्रमेय (Pythagorean Theorem) केवल समकोण त्रिभुज पर ही लागू होता है, और परिभाषा के अनुसार केवल समकोण त्रिभुज में ही कर्ण हो सकता है। यदि आपके त्रिभुज में एक कोण 90° है, तो यह त्रिभुज समकोण त्रिभुज है और आप इस त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय लागू कर सकते हैं। अक्सर पाठ्य पुस्तक में दिए गए उदाहरण में तथा परीक्षा में पुछे गए सवालों में समकोण त्रिभुज को दर्शाने के लिए एक छोटा सा चिन्ह का इस्तेमाल किया जाता है। इस खास चिन्ह का अर्थ ही "90 डिग्री" है। त्रिभुज का कर्ण (hypotenuse), या सबसे लंबी भुजा को ही हमेशा वेरिएबल "c" मानें। अन्य भुजा में से एक को वेरिएबल a तथा दूसरी भुजा को b मान लें (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता है कि आपने किस भुजा को a तथा किस भुजा को b माना है; क्योंकि फार्मुला द्वारा कैलकुलेट करने पर उत्तर एक ही मिलेगा)। फिर a तथा b की लंबाई को फार्मुला में सबस्टिट्यूट करें, निम्नलिखित उदाहरण के अनुसार: यदि आपके त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई 3 और 4 है, और आपने a को 3 तथा b को 4 असाइन किया है, तो आपका समीकरण इस तरह से दिखाई देगा: 32 + 42 = c2 संख्या का वर्ग निकालने के लिए, आपको संख्या को उसी संख्या से गुणा करना होगा, अर्थात a2 = a x a। a और b दोनों का ही वर्ग (square) निकालें तथा दोनों ही वैल्यूज को फार्मुला में लिखें।  यदि a = 3 है,  तो a2 = 3 x 3, या 9 होगा। और यदि b = 4 है, तो b2 = 4 x 4, या 16 है। जब आप इन वैल्यूज को समीकरण में लिखेंगे, तो आपका समीकरण इस तरह से दिखाई देगा: 9 + 16 = c2। इस वैल्यू को समीकरण में लिखें, तथा c2 की वैल्यू निकालें। अब केवल आखिरी वेरिएबल बाकी है, तथा फिर आपको कर्ण या हाइपोटेन्यूज की वैल्यू मिल जाएगी! इस उदाहरण में, 9 + 16 = 25 है, इसलिए आपको इस समीकरण को 25 = c2 इस तरह से लिखना पड़ेगा। c2 का वर्गमूल निकालने के लिए कैलकुलेटर में मौजूद वर्गमूल फंक्शन का इस्तेमाल करें (या मल्टीप्लीकेशन टेबल को याद करें)। मिलने वाला जवाब ही आपके समकोण का कर्ण (hypotenuse) है! इस उदाहरण में,  c2 = 25 है। 25 का वर्गमूल 5 है (5 x 5 = 25, इसलिए Sqrt(25) = 5 है)। अर्थात  c = 5 है, जो आपके समकोण त्रिभुज के कर्ण या हाइपोटेन्यूज की लंबाई है! पाइथागॉरियन ट्रिपल की तीनों भुजाओं की लंबाई पाइथागोरस प्रमेय (Pythagorean Theorem) को सिद्ध करते हैं। यह विशेष त्रिभुज ज्यामिति (geometry) की पाठ्य पुस्तकों में दिखाई देते हैं तथा स्टैन्डर्डाइज्ड़ परीक्षाएं जैसे SAT और GRE में इस तरह के त्रिभुज पर सवाल पुछे जाते हैं। यदि आप विशेष रूप से पहले 2 पाइथागॉरियन ट्रिपल को याद करते हैं, तो इन परीक्षा में आपका काफ़ी समय बच जाएगा क्योंकि आप केवल इन विशेष त्रिभुजों को देखकर तुरंत इनके कर्ण (hypotenuse) का पता लगा सकेंगे!   पहला पाइथागॉरियन ट्रिपल  3-4-5 (32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25) है। जब आप एक समकोण देखते हैं, जिसका आधार तथा लंब 3 और 4 है, तो आप बिना कोई गणना किए त्वरित ही कर्ण या हाइपोटेन्यूज की लंबाई बराबर 5 मान सकते हैं। पाइथागॉरियन ट्रिपल का अनुपात तब भी सही होता है जब समकोण की भुजाओं को किसी अन्य संख्या से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक समकोण त्रिभुज जिसका आधार तथा लंब की लंबाई 6 और 8 है, तो आपको हाइपोटेन्यूज मिलेगा 10 (62 + 82 = 102, 36 + 64 = 100)। इसी प्रकार यह प्रमेय पाइथागॉरियन ट्रिपल 9-12-15 तथा 1.5-2-2.5 के लिए भी सही साबित होता है। आप कैलकूलेशन करके खुद इस वैल्यूज़ के लिए जाँच कर सकते हैं! दूसरा पाइथागॉरियन ट्रिपल जो आमतौर पर परीक्षा के सवालों में दिखाई देता है वह है 5-12-13 (52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169)। और इस ट्रिपल के अनुपात जैसे 10-24-26 और 2.5-6-6.5 के लिए आप प्रमेय की जाँच कर सकते हैं। 45-45-90 वाले समकोण त्रिभुज में दो कोण 45°, 45°, तथा एक कोण 90° होता है, और इसलिए इस तरह के त्रिभुज को समद्विबाहु समकोण त्रिभुज कहा जाता है। स्टैन्डर्डाइज्ड़ परीक्षाओं में इस त्रिभुज पर आधारित सवाल पुछे जाते हैं, तथा इस तरह के त्रिभुज से संबंधित सवाल को हल करना बड़ा ही आसान होता है। इस त्रिभुज के भुजाओं के बीच का अनुपात 1:1:Sqrt(2) है, अर्थात इन त्रिभुज के दो भुजाओं की लंबाई समान होती है, तथा कर्ण या हाइपोटेन्यूज की लंबाई केवल 2 के वर्गमूल (√2) से गुणा होता है।  एक भुजा की लंबाई के आधार पर इस त्रिभुज के कर्ण की गणना करने के लिए, केवल भुजा की लंबाई को 2 के वर्गमूल (√2) से गुणा करें। इस अनुपात को जानना विशेष रूप से तब काम आता है जब परीक्षा के या होमवर्क के सवालों में भुजा की लंबाई को पूर्णांक के बजाय वेरिएबल के रूप में दी होती है। इस त्रिभुज में कोणों के माप 30, 60, तथा 90 डिग्री होते हैं, और यह त्रिभुज तब प्राप्त होता है जब आप एक समबाहु त्रिभुज को दो समान त्रिभुज में काटते हैं। की भुजाओं को हमेशा 30, 60, तथा 90 डिग्री वाले समबाहु त्रिभुज को हमेशा 1:Sqrt(3):2, या x:Sqrt(3)x:2x अनुपात बनाएं रखना पड़ता है। यदि आपको 30-60-90 डिग्री वाले समकोण की एक भुजा दी गई है और आपको समकोण त्रिभुज का कर्ण निकालने के लिए कहा गया है, तो कर्ण को निकालना बड़ा ही आसान कार्य है:  यदि आपको समकोण त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा (जो 30° कोण के सम्मुख मौजूद है) की लंबाई दी गई है, तो कर्ण (hypotenuse) की लंबाई निकालने के लिए दी गई भुजा को 2 से गुणा करें। उदाहरण के लिए, यदि समकोण त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा की लंबाई 4 है, तो कर्ण (hypotenuse) की लंबाई 8 होगी। यदि आपको समकोण त्रिभुज की बड़ी भुजा (जो 60° कोण के सम्मुख मौजूद होती है) की लंबाई दी गई है, तो कर्ण (hypotenuse) की लंबाई निकालने के लिए दी गई भुजा को 2/Sqrt(3) से गुणा करें। उदाहरण के लिए, यदि समकोण त्रिभुज की बड़ी भुजा की लंबाई 4 है, तो कर्ण (hypotenuse) की लंबाई 4.62 होगी। शब्द "sine," "cosine," तथा "tangent" सभी एक समकोण त्रिभुज में कोण और/या भुजाओं के बीच के विभिन्न अनुपात को दर्शाते हैं। एक समकोण त्रिभुज में, कोण का "Sine" नियम लिखने के लिए समकोण त्रिभुज के कोण की सम्मुख भुजा को कर्ण से विभाजित करें। समीकरण तथा कैलकुलेटर में sine को संक्षिप्त रूप में sin करके लिखा होता है। यहां तक कि एक साधे से वैज्ञानिक कैलकुलेटर में भी एक साइन फंक्शन होता है। कैलकुलेटर में sin लिखें बटन को ढूंढे। कोण का "Sine" निकालने के लिए, आपको आमतौर पर sin लिखे बटन को दबाना पड़ेगा तथा फिर कोण के माप को डिग्री में एंटर करना होगा। हालांकि, कुछ कैलकुलेटर में, पहले कोण के माप को डिग्री में एंटर करना होता है और फिर sin बटन दबाना होगा। आपको अपने कैलकुलेटर के साथ एक्सपेरिमेंट करना या कैलकुलेटर का मैन्युअल पढ़कर साइन फंक्शन के बारे में समझना होगा।  80° कोण का sine निकालने के लिए, आपको कैलकुलेटर में या तो बटन sin फिर 80 दबाकर, उसके बाद '=' का बटन दबाना होगा या संख्या 80 फिर sin दबाने की आवश्यकता होगी। (जवाब मिलेगा 0.9848।) आप एक वेब सर्च बार में "sine calculator" भी टाइप कर सकते हैं, तथा कोण का साइन निकालने के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर प्राप्त करके सटीक उत्तर पा सकते हैं। एक त्रिभुज को हल करने के लिए साइन के नियम अत्यधिक उपयोगी है। विशेष रूप से, यदि आपको समकोण त्रिभुज के एक भुजा की लंबाई, तथा समकोण के अलावा अन्य कोण का माप पता है, तो इस नियम की मदद से आपको समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई निकालने में मदद मिल सकती है। किसी भी समकोण त्रिभुज के लिए जिसकी भुजाएं a, b, तथा c है, और कोण A, B, तथा C है, तो Sine के नियमानुसार a / sin A = b / sin B = c / sin C है। साइन के नियम का इस्तेमाल किसी भी त्रिभुज को हल करने के लिए किया जा सकता है, लेकिन केवल समकोण त्रिभुज में ही कर्ण (hypotenuse) होता है। कर्ण (त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा) को हमेशा "c" मानना है। सरलता के लिए, त्रिभुज के आधार को  "a" तथा लंब को "b" मान लें। फिर त्रिभुज के कोणों को A, B, तथा C मान लें। कर्ण के सम्मुख मौजूद समकोण को "C" मान लें। तथा भुजा "a" के सम्मुख कोण को "A" तथा भुजा "b" के सम्मुख कोण को "B" मान लें। क्योंकि यह एक समकोण है, आप पहले से ही जानते हैं कि  C = 90° है, और आप कोण A या B का माप भी जानते हैं। चूंकि त्रिभुज के अंतः कोणों का योग 180° होता है, यदि समकोण के साथ कोण A का माप जानते हैं तो आप आसानी से निम्नलिखित फार्मुला का इस्तेमाल करके तीसरे कोण का माप निकाल सकते हैं: 180 – (90 + A) = B। यदि आप समकोण के साथ कोण B का माप जानते हैं आप समीकरण को 180 – (90 + B) = A इस तरह से लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपको A = 40° दिया गया है, फिर B = 180 – (90 + 40)। इसे सरल करें B = 180 – 130, तथा आप जल्दी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि B = 50° है। इस समय, आपको सभी तीन कोणों के डिग्री माप, तथा भुजा a की लंबाई पता होनी चाहिए। अन्य दो भुजाओं की लंबाई निकालने के लिए, अब इन सारी जानकारी को साइन नियम के फार्मुला में सबस्टिट्यूट करें। यहाँ लिए गए उदाहरण में, मान लें भुजा की लंबाई a = 10 है। कोण C = 90° है, तथा कोण A = 40° है, तथा कोण B = 50° है। आपको केवल सारी वैल्यूज साइन नियम के फार्मुला में सबस्टिट्यूट करनी पड़ेगी तथा कर्ण c की लंबाई निकालने के लिए समीकरण को हल करें: भुजा a की लंबाई / sin A = भुजा c की लंबाई / sin C। यह समीकरण अभी भी थोड़ा पेचीदा लग सकता है, लेकिन sine 90° की वैल्यू कॉन्स्टनट, तथा हमेशा 1 होती है! अब यह समीकरण इस तरह से हल हो जाएगा: a / sin A = c / 1, या केवल a / sin A = c। आप इसे दो अलग-अलग चरणों में कर सकते हैं, पहले sin A  की वैल्यू निकालें तथा इसे लिखें, फिर इसे a से विभाजित करें। या आप सारी वैल्यूज को कैलकुलेटर की मदद से कैलकुलेट कर सकते हैं। यदि आप कैलकुलेटर का इस्तेमाल कर रहे हैं, तो कैलकुलेटर में वैल्यूज एंटर करते समय याद से विभाजन के चिन्ह के बाद ब्रैकेट लगाएं। उदाहरण के लिए, आपके कैलकुलेटर में मौजूद फंक्शन के अनुसार इसे इस तरह से लिखें 10 / (sin 40) या 10 / (40 sin)। यहाँ लिए गए उदाहरण में, sin 40 = 0.64278761 है। कर्ण c की वैल्यू निकालने के लिए, आपको केवल भुजा की लंबाई को इस वैल्यू से विभाजित करना होगा, आप देखेंगे 10 / 0.64278761 = 15.6, जो कर्ण या हाइपोटेन्यूज की लंबाई है!
पाइथागोरस प्रमेय सीखें: सुनिश्चित कर ले कि आपका त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है: वेरिएबल a, b, तथा c को अपने त्रिभुज की भुजा मान लें: a तथा b का वर्ग निकालें: a2 तथा b2 का योग निकालें: c2 का वर्गमूल निकालें: पाइथागॉरियन ट्रिपल वाले त्रिकोण को पहचानना सीखें: 45-45-90 वाले समकोण त्रिभुज के भुजाओं का अनुपात याद करें: 30-60-90 वाले समकोण के भुजाओं का अनुपात निकालना सीखें: "Sine" का अर्थ समझें: कोण का "Sine" निकालना सीखें: साइन के नियम सीखें: अपने त्रिभुज की भुजाओं को वेरिएबल a, b, तथा c मान लें: तीसरे कोण का माप निकालें: अपने त्रिभुज का परीक्षण करें: अपने त्रिभुज पर साइन नियम (sine law) को लागू करें: कर्ण (hypotenuse) की लंबाई निकालने के लिए भुजा a की लंबाई को sine ∠A से विभाजित करें!
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