लॉन्ग डिवीजन (Long Division) डेसीमल्स को डिवाइड करना (Dividing Decimals) एक्स्पोनेंट्स को डिवाइड करना (Dividing Exponents) शॉर्ट डिवीजन (Short Division) फ्रेक्शन्स डिवाइड करना (Dividing Fractions)
डिवीजन बार ( 厂 ) ऐसा नजर आता है, जैसे एक एंडिंग ब्रैकेट एक हॉरिजॉन्टल लाइन से जुड़ा है, जो बार के नीचे की नंबर स्ट्रिंग के ऊपर जाता है। डिवाइजर (भाजक), वो नंबर जिससे आप डिवाइड करेंगे, को लॉन्ग डिवीजन बार के बाहर और डिवाइडेंड (भाज्य), जिस नंबर को आप डिवाइड कर रहे हैं, को डिवीजन बार के अंदर रखें।  सैंपल प्रॉब्लम #1 (बिगिनर): 65 ÷ 5, 5 को डिवीजन बार के बाहर लिखें और 65 को अंदर लिखें। इसे अब 5厂65 नजर आना चाहिए, लेकिन 65 को हॉरिजॉन्टल लाइन के नीचे रहना चाहिए। सैंपल प्रॉब्लम #2 (इंटरमिडिएट) 136 ÷ 3, 3 को डिवीजन बार के बाहर लिखें और 136 को अंदर। इसे अब 3厂136 दिखना चाहिए, लेकिन 136 को हॉरिजॉन्टल लाइन के नीचे लिखें। दूसरे शब्दों में कहें, तो पता करें कि डिवाइजर (डिवीजन बार के बाहर का नंबर) कितनी बार डिवाइडेंड की पहली डिजिट में जा रहा है। होल नंबर रिजल्ट को डिवीजन लाइन के ऊपर, डिवाइजर की पहली डिजिट के ठीक ऊपर रखें।  सैंपल प्रॉब्लम #1 (5厂65) में, 5 एक डिवाइजर है और 6 डिवाइडेंड (65) की पहली डिजिट है। 5 एक बार 6 में जाता है, इसलिए डिवाइजर बार के ऊपर, 6 के ठीक ऊपर 1 रख दें। सैंपल प्रॉब्लम #2 (3厂136) में, 3 (डिवाइजर) 1 में (डिवाइडेंड की पहली डिजिट में) नहीं जाता है और जिसके रिजल्ट में एक होल नंबर मिल जाता है। इस मामले में, डिवीजन बार के ठीक ऊपर, 1 के ऊपर एक 0 लिख लें। आपने जिस नंबर को अभी डिवीजन बार के ऊपर लिखा है, उसे लें और उसे डिवाइजर से (डिवीजन बार के बाएँ तरफ मौजूद नंबर) मल्टीप्लाय कर लें। आपको मिले रिजल्ट को डिवाइडेंड के नीचे एक नई लाइन में, डिवाइडेंड की पहली डिजिट के साथ अलाइन करके लिख लें।  सैंपल प्रॉब्लम #1 (5厂65) में, बार के ऊपर के नंबर (1) को डिवाइजर (5) से मल्टीप्लाय करें, जिससे आपको रिजल्ट में 1 x 5 = 5 मिलता है और आन्सर (5) को 65 में 6 के ठीक नीचे रख लें। सैंपल प्रॉब्लम #2 (3厂136) में, डिवीजन बार के ठीक ऊपर एक जीरो रख लें, ताकि जब आप इसे 3 (डिवाइजर) से मल्टीप्लाय करें, तब आपको रिजल्ट में जीरो मिले। 136 में 1 के ठीक नीचे एक नई लाइन में एक जीरो लिख लें। दूसरे शब्दों में, आपने अभी डिवाइडेंड के ठीक नीचे एक नई लाइन में जिस नंबर को लिखा है उसे, ऊपर मौजूद डिवाइडेंड की डिजिट से घटा लें। रिजल्ट में मिली डिजिट को एक नई लाइन में, सब्ट्रेक्शन प्रॉब्लम वाली डिजिट से ठीक नीचे लिख लें।  सैंपल प्रॉब्लम #1 (5厂65) में, 5 (नई लाइन के मल्टिप्लिकेशन रिजल्ट) को 6 (डिवाइडेंड की पहली डिजिट) से ठीक ऊपर घटा दें: 6 - 5 = 1 हुआ। रिजल्ट (1) को 5 के ठीक नीचे एक और नई लाइन में लिख दें। सैंपल प्रॉब्लम #2 (3厂136) में, 0 (नई लाइन में मौजूद मल्टिप्लिकेशन रिजल्ट) को 1 (डिवाइडेंड में मौजूद पहली डिजिट) से ठीक उसके ऊपर घटा लें। रिजल्ट (1) को एक और नई लाइन में 0 के ठीक नीचे लिख लें। डिवाइडेंड की दूसरी डिजिट को एक नई निचली लाइन में, आपको मिले सब्ट्रेक्शन रिजल्ट के ठीक दाईं तरफ नीचे लिख लें।  सैंपल प्रॉब्लम #1 (5厂65) में, 65 से 5 को नीचे ले आएँ, ताकि ये 1 के साइड में आ जाए, जो आपको 6 को 5 से सब्ट्रेक्ट करने पर मिला था। इससे आपको एक लाइन में 15 मिल जाता है। सैंपल प्रॉब्लम #2 (3厂136) में, 136 से 3 को नीचे ले आएँ और उसे 1 के साइड में लिख लें, ताकि आपको 13 मिल जाए। इस बार, डिवाइडेंड (डिवीजन बार की बाईं तरफ मौजूद नंबर) का और नीचे की लाइन (आपको पहले राउंड के कैलकुलेशन में मिले रिजल्ट और आपने जिस डिजिट को नीचे लिखा है) का यूज करें। पहले की तरह, डिवाइड करें, फिर मल्टीप्लाय करें और अपना रिजल्ट पाने के लिए फाइनली सब्ट्रेक्ट कर लें।   5厂65 के साथ आगे बढ़ने के लिए, 5 (डिवाइडेंड को) नए नंबर (15) में डिवाइड कर लें और रिजल्ट (3, क्योंकि 15 ÷ 5 = 3) को डिवीजन बार के ऊपर ठीक 1 के ऊपर लिख लें। फिर, इस 3 को बार के ऊपर 5 (डिवाइडेंड) से डिवाइड करें और रिजल्ट (15, क्योंकि 3 x 5 = 15) 15 के नीचे, डिवीजन बार के नीचे लिख लें। फाइनली, 15 को 15 से घटा लें और नीचे की लाइन में 0 लिख लें। सैंपल प्रॉब्लम #1 अब पूरी हो चुकी है, क्योंकि डिवाइजर में अब ऐसी कोई डिजिट नहीं है, जिसे नीचे ले जाया जा सके। आपका आन्सर डिवीजन बार के ऊपर (13) होगा। पहले की तरह, आपने पहले डिवाइड करके, फिर मल्टीप्लाय करके और बाद में सब्ट्रेक्ट करके पूरा करेंगे।  3厂136 के लिए: पता करें, 13 में 3 कितनी बार जाता है और फिर आन्सर (4) को डिवीजन बार के ठीक ऊपर, 0 के दाईं तरफ लिखें। फिर, 4 को 3 से मल्टीप्लाय करें और आन्सर (12) को 13 के नीचे लिख लें। फाइनली, 12 को 13 से घटा लें और आन्सर (1) को 12 के नीचे लिख लें। जब आप इस प्रॉब्लम को पूरा कर लें, तब ध्यान दें की वहाँ पर एक रिमाइन्डर (जो कि, आपके कैलकुलेशन के बाद में सबसे आखिरी में बचा एक नंबर है) रह जाएगा। आप इस रिमाइन्डर को अपने होल नंबर के आन्सर के साइड में लिखेंगे।   3厂136 के लिए: प्रोसेस को एक और दूसरे राउंड के लिए जारी रखें। 136 से 6 को नीचे लिखें, जिससे नीचे की लाइन में 16 रह जाए। 16 को 3 से डिवाइड करें और रिजल्ट (5) को डिवीजन लाइन के ऊपर लिख लें। 5 को 3 से मल्टीप्लाय करें और रिजल्ट (15) को एक नई लाइन में लिख लें। 15 को 16 में से घटा लें और रिजल्ट (1) को एक नई नीचे की लाइन में लिख लें। क्योंकि डिवाइडेंड में नीचे लेकर जाने के लिए और भी डिजिट्स नहीं बची हैं, आपकी प्रॉब्लम अब सॉल्व हो चुकी है और नीचे की लाइन में मौजूद 1 आपका रिमाइन्डर (आखिरी में बची हुई संख्या) है। इसे एक “r.” के सामने डिवीजन बार के ऊपर लिख लें, ताकि आपका फ़ाइनल आन्सर अब “45 r.1” की तरह पढ़ा जाए। डिवाइजर, जिस नंबर से आप डिवाइड कर रहे हैं, को लॉन्ग डिवीजन बार के बाहर (और उसके बाएँ तरफ) लिख लें और डिवाइडेंड, जिस नंबर को आप डिवाइड कर रहे हैं, लॉन्ग डिवीजन बार के अंदर लिख लें। डेसिमल को डिवाइड करने के लिए, आपको सबसे पहले डेसिमल को होल नंबर में कन्वर्ट कर लें। उदाहरण 65.5 ÷ 0.5 के लिए, 0.5 डिवीजन बार के बाहर जाएगा और 65.5 अंदर जाएगा। जब तक कि आपको हर नंबर का आखिरी नंबर न मिल जाए, तब तक बस डेसिमल पॉइंट को दाईं तरफ मूव करते जाएँ। हर एक नंबर को एक-बराबर नंबर के साथ मूव करने की पुष्टि कर लें—अगर आप डिवाइजर में डेसिमल पॉइंट को 2 स्पॉट्स मूव कर रहे हैं, ऐसा ही डिवाइडेंड के लिए भी करें।  सैंपल प्रॉब्लम में, आपको केवल डेसिमल पॉइंट को डिवाइजर और डिवाइडेंड दोनों ही के लिए एक स्पॉट मूव करना होगा। इसलिए 0.5 अब 5 बन जाएगा और 65.5 अब 655 बन जाएगा। अगर, हालांकि सैंपल प्रॉब्लम 0.5 और 65.55 इस्तेमाल करते हैं, तो आपको 65.55 में डेसिमल प्लेस को 2 प्लेस मूव करना होगा, जिसके बाद आपको ये 6555 मिल जाएगा। जिसके रिजल्ट में आपको 0.5 को भी 2 प्लेस मूव करना होगा। ऐसा करने के लिए, आप आखिर में एक जीरो एड करना होगा और वो 50 बन जाएगा। डेसिमल पॉइंट को लॉन्ग डिवीजन बार के ऊपर सीधे डिवाइडेंड में ऊपर लिख लें। सैंपल प्रॉब्लम में, 655 में मौजूद डेसिमल आखिरी 5 (जैसे 655.0) के बाद नजर आएगा। इसलिए, डेसिमल पॉइंट को डिवीजन लाइन के सीधे ऊपर लिख लें, जहां पर डेसिमल पॉइंट 655 नजर आएगा। 5 को 655 में डिवाइड करने के लिए, ऐसा करें:  5 को हंड्रेड्थ (सैंकड़ा) डिजिट 6 में डिवाइड करें। आपको 1 के साथ में 1 रिमाइन्डर भी मिलेगा। 1 को लॉन्ग डिवीजन बार के ऊपर हंड्रेड्थ प्लेस में रख दें और 5 को नीचे 6 से छह नंबर के नीचे घटा लें। आपका रिमाइन्डर 1, अब बच जाएगा। नंबर 15 तैयार करने के लिए, 655 में पहले पाँच को नीचे ले आएँ। 3 पाने के लिए 5 को 15 में डिवाइड करें। 3 को लॉन्ग डिवीजन बार के ऊपर, 1 के सामने लिख लें। आखिरी 5 को नीचे ले आएँ। 5 को 5 में डिवाइड करें और 1 को लॉन्ग डिवीजन बार के ऊपर लिख लें। क्योंकि 5, 5 में पूरा फिट हो जाता है, इसलिए यहाँ कोई रिमाइन्डर नहीं बचा है। लॉन्ग डिवीजन बार के ऊपर आन्सर (131) है, इसलिए 655 ÷ 5 = 131 होगा। अगर आप कैलकुलेटर इस्तेमाल करेंगे, तो आप देखेंगे कि ये आन्सर ओरिजिनल डिवीजन प्रॉब्लम 65.5 ÷ 0.5 का भी जवाब है। आप एक्स्पोनेंट्स के नंबर्स को केवल तभी डिवाइड कर सकते हैं, जब उनके बेस एक-जैसे हों। अगर उनके बेस एक जैसे नहीं हैं, तो अगर मुमकिन हो, तो आपको उनके साथ तब तक कैलकुलेशन करना होगा, जब तक कि वो बराबर नहीं बन जाते। बिगिनर के लिए, पहले एक सैंपल प्रॉब्लम के साथ शुरू करें, जिसमें एक्स्पोनेंट्स के दोनों नंबर्स के बेस पहले से ही बराबर हैं, जैसे उदाहरण के लिए, 38 ÷ 35 को सॉल्व करें। बस दूसरे एक्स्पोनेंट को, पहले एक्स्पोनेंट से घटा लें। अभी के लिए बेस के बारे में चिंता मत करें। सैंपल प्रॉब्लम: 8 - 5 = 3 होगा। बस नए एक्स्पोनेंट को ओरिजिनल बेस के ऊपर रख दें। बस इतना ही करना है! इसीलिए: 38 ÷ 35 = 33 होगा। डिवाइजर, जिस नंबर से आप डिवाइड कर रहे हैं, को डिवीजन बार के बाहर (और बाईं तरफ) लिख लें। डिवाइडेंड, जिस नंबर को आप डिवाइड कर रहे हैं, को डिवीजन बार के अंदर (दाईं तरफ और नीचे) लिख लें।  शॉर्ट डिवीजन करने के लिए, आपके डिवाइजर में एक डिजिट से ज्यादा नहीं हो सकती है। सैंपल प्रॉब्लम:518 ÷ 4, इस मामले में, 4 डिवीजन बार के बाहर होगा और 518 उसके अंदर होगा। दूसरे शब्दों में कहें, तो पता लगाएँ कि डिवीजन बार के बाहर का नंबर, डिवीजन बार के अंदर के नंबर में कितनी बार फिट होता है। होल नंबर (whole numbers) रिजल्ट को डिवीजन बार के ऊपर लिखें और किसी भी रिमाइन्डर (बची हुई किसी भी संख्या) को एक सुपरस्क्रिप्ट में डिवाइडेंड की पहली डिजिट के साइड में लिख लें।  सैंपल प्रॉब्लम में, 4 (डिवाइजर) 5 (डिवाइडेंड की पहली डिजिट) में 1 बार फिट आता है, साथ में एक रिमाइन्डर 1 (5 ÷ 4 = 1 r.1) भी रह जाता है। क्वोशन्ट (भागफल) 1 को लॉन्ग डिवीजन बार के ऊपर लिख लें। 5 के साइड में एक छोटी, सुपरस्क्रिप्ट 1 को लिख लें, ताकि आपको याद रह सके कि आपके पास में एक रिमाइन्डर 1 रह गया है। बार के अंदर 518 को अब ऐसा: 5118 नजर आना चाहिए। सुपरस्क्रिप्ट नंबर, जो आपके रिमाइन्डर को एक फुल-साइज डिजिट की तरह दर्शाता है, को ट्रीट करें और उसे डिवाइडेंड डिजिट के साथ कम्बाइन कर लें। पता करें कि डिवाइजर कितनी बार इस नए 2-डिजिट के नंबर में जाता है और होल नंबर अमाउंट को और आपको रिमाइन्डर की तरह मिले किसी भी नंबर को नीचे लिख लें।  सैंपल प्रॉब्लम में, रिमाइन्डर के द्वारा फॉर्म किया गया नंबर और डिवाइडेंड का दूसरा नंबर 11 है। डिवाइजर, 4, दो बार 11 में जाता है, जिससे एक रिमाइन्डर 3 (11 ÷ 4 = 2 r.3) मिल जाता है। 2 को डिवीजन लाइन के ऊपर लिख लें (जिससे आपको 12 मिलेगा) और 3 को 518 में 1 के साइड में सुपरस्क्रिप्ट नंबर की तरह लिख लें। ओरिजिनल डिवाइडेंड, 518, अब ऐसा: 51138 दिखना चाहिए। डिवाइजर कितनी बार, डिवाइडेंड की अगली डिजिट और सुपरस्क्रिप्ट रिमाइन्डर के साथ बने नंबर में फिट आता है, इसका पता लगाते रहें। एक बार जैसे ही आप डिवाइडेंड में मौजूद सारी डिजिट्स के ऊपर काम कर लेते हैं, फिर आपके पास में आपका आन्सर आ जाएगा।  सैंपल प्रॉब्लम में, अगला डिवाइडेंड नंबर है 38—पहले स्टेप से मिला रिमाइन्डर 3 और डिवाइडेंड की लास्ट टर्म की तरह 8 है। डिवाइजर, 4, 38 में 9 बार जाता है, साथ में एक रिमाइन्डर 2 (38 ÷ 4 = 9 r.2) रह जाता है, क्योंकि 4 x 9 = 36 होता है, जो कि 38 से 2 कम है। अपना आन्सर पूरा करने के लिए फ़ाइनल रिमाइन्डर (2) को डिवीजन बार के ऊपर लिख लें। इसलिए, डिवीजन बार के ऊपर आपका फ़ाइनल आन्सर, 129 r.2 है। फ्रेक्शन डिवाइड करने के लिए, पहले फ्रेक्शन के बाद में डिवीजन सिंबल (÷) और फिर दूसरा फ्रेक्शन लिख लें। आपकी प्रॉब्लम शायद, उदाहरण के लिए, 3/4 ÷ 5/8 हो सकती है। अपनी सहूलियत के लिए, हर एक फ्रेक्शन के न्यूमरेटर (ऊपर का नंबर) और डिनोमिनेटर (नीचे के नंबर) को अलग करने के लिए डाइगोनल लाइंस की बजाय, हॉरिजॉन्टल लाइन का इस्तेमाल करें। दूसरा फ्रेक्शन अपना खुद का रेसिप्रोकल (reciprocal) बन जाएगा। सैंपल प्रॉब्लम में, 5/8 को रिवर्स कर दें, ताकि 8 ऊपर चला जाए और 5 नीचे पहुँच जाए। फ्रेक्शन को डिवाइड करने के लिए, आप पहले फ्रेक्शन को दूसरे के रेसिप्रोकल से मल्टीप्लाय करेंगे। उदाहरण के लिए: 3/4 x 8/5 हुआ। किसी भी 2 फ्रेक्शन को मल्टीप्लाय करते समय, एक ही जैसी प्रोसिज़र को फॉल करें। इस मामले में, न्यूमरेटर 3 और 8 होंगे और 3 x 8 = 24 होगा। एक बार फिर से, आप ऐसा ही फिर से 2 फ्रेक्शन को मल्टीप्लाय करने के लिए करेंगे। सैंपल प्रॉब्लम में 4 और 5 डिनोमिनेटर्स होंगे और 4 x 5 = 20 होगा। अब, जैसे कि आपने दोनों ही फ्रेक्शन के न्यूमरेटर्स और डिनोमिनेटर्स को मल्टीप्लाय कर लिया है, आप दोनों फ्रेक्शन के प्रॉडक्ट को निकाल सकते हैं। सैंपल प्रॉब्लम में, फिर, 3/4 x 8/5 = 24/20 होगा। फ्रेक्शन को छोटा करने के लिए, ग्रेटेस्ट कॉमन फेक्टर (greatest common factor) या सबसे बड़े नंबर को निकालें, जो दोनों ही नंबर्स को एक-समान रूप से डिवाइड करता है और फिर दोनों न्यूमरेटर और डिनोमिनेटर को डिवाइड कर लें।  24/20 के मामले में, 4 वो सबसे बड़ा नंबर है, जो 24 और 20 दोनों में एक-बराबर रूप से जाता है। आप दोनों ही नंबर्स के फेक्टर्स को लिखकर और उस सबसे बड़े नंबर को निकालकर, जो दोनों का ही फेक्टर है, इसे कंफर्म कर सकते हैं:  24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20   क्योंकि 24 और 20 का सबसे बड़ा कॉमन फेक्टर 4 है, इसलिए फ्रेक्शन को छोटा करने के लिए दोनों ही नंबर्स को 4 से डिवाइड कर दें।  24/4 = 6 20/4 = 5  24/20 = 6/5 हुआ। इसलिए, 3/4 ÷ 5/8 = 6/5 ऐसा करने के लिए, डिनोमिनेटर को न्यूमरेटर में डिवाइड कर लें और आन्सर को एक होल नंबर (whole number) की तरह लिख लें। रिमाइन्डर या, वो नंबर जो आखिरी में बच गया है, वो अब नए फ्रेक्शन का न्यूमरेटर होगा। फ्रेक्शन का डिनोमिनेटर वैसा का वैसा ही रहेगा।  सैंपल प्रॉब्लम में, 5 एक बार 6 में जाता है, जिसके बाद 1 रिमाइन्डर बचता है। इसलिए, नया होल नंबर 1 है, नया न्यूमरेटर 1 है और डिनोमिनेटर अभी भी 5 ही होगा। इसके रिजल्ट में 6/5 = 1 1/5 मिलेगा।
एक लॉन्ग डिवीजन बार (bar) यूज करके अपनी प्रॉब्लम को लिख लें: डिवाइडेंड की पहली डिजिट को डिवाइजर से डिवाइड करें: डिवीजन बार के ऊपर मौजूद डिजिट को डिवाइजर से मल्टीप्लाय करें: मल्टीप्लाय करने पर मिले रिजल्ट को डिवाइडेंड की पहली डिजिट से घटा (Subtract) लें: डिवाइडेंड की दूसरी डिजिट को नीचे ले जाएँ: लॉन्ग डिवीजन प्रोसेस (सैंपल प्रॉब्लम #1) रिपीट करें: लॉन्ग डिवीजन प्रोसेस (सैंपल प्रॉब्लम #2) दोहराएँ: लॉन्ग डिवीजन का एक और राउंड करें और रिमाइन्डर (सैंपल प्रॉब्लम #2) को पाएँ: प्रॉब्लम को एक डिवीजन बार के साथ लिख लें: 2 होल नंबर बनाने के लिए, डेसिमल पॉइंट को भी इसी अमाउंट में मूव करें: डेसिमल पॉइंट को डिवीजन बार के ऊपर सही तरह से अलाइन कर लें: प्रॉब्लम को लॉन्ग डिवीजन करके सॉल्व करें: एक्स्पोनेंट्स के बेस (आधार) के एक समान होने की पुष्टि कर लें: एक्स्पोनेंट्स को घटा लें: नए एक्स्पोनेंट को ओरिजिनल बेस के ऊपर रखें: प्रॉब्लम लिखने के लिए एक डिवीजन बार (bar) का यूज करें: अपने डिवाइजर को डिवाइडेंड की पहली डिजिट में डिवाइड करें: डिवाइजर को रिमाइन्डर में और दूसरी डिवाइडेंड डिजिट में डिवाइड करें: अब जब तक कि आप पूरे डिवाइडेंड के साथ कैलकुलेशन नहीं कर लेते, तब तक इस प्रोसेस को रिपीट करें: इक़्वेशन लिख लें, ताकि 2 फ्रेक्शन साइड बाई साइड रहें: दूसरे फ्रेक्शन के न्यूमरेटर और डिनोमिनेटर को रिवर्स कर लें: डिवीजन साइन (भाग के निशान) को मल्टिप्लिकेशन साइन से बदल दें: फ्रेक्शन के न्यूमरेटर को मल्टीप्लाय करें: फ्रेक्शन के डिनोमिनेटर को इसी तरह से मल्टीप्लाय करें: न्यूमरेटर्स के प्रॉडक्ट को डिनोमिनेटर्स के प्रॉडक्ट के ऊपर रख लें: अगर जरूरत हो, तो फ्रेक्शन को छोटा कर लें: अगर जरूरत हो, तो फ्रेक्शन को एक बार से फिर से एक मिक्स्ड नंबर की तरह लिख लें:
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