Các bài toán có phương trình bậc hai Tìm giao điểm của hai đường thẳng
Trong phương trình bậc hai, một hay nhiều biến số sẽ có lũy thừa (x2{\displaystyle x^{2}} hoặc y2{\displaystyle y^{2}}), và không có biến số nào có lũy thừa cao hơn. Đồ thị của các phương trình này có dạng đường cong, do đó chúng có thể cắt đường thẳng tại 0, 1, hoặc 2 điểm. Phần này hướng dẫn bạn cách tìm các giao điểm đó của bài toán.  Khai triển phương trình từ ngoặc đơn để kiểm tra xem chúng có dạng bậc hai hay không. Ví dụ, y=(x+3)(x){\displaystyle y=(x+3)(x)} có dạng bậc hai vì nó được khai triển thành y=x2+3x.{\displaystyle y=x^{2}+3x.}  Các phương trình của đường tròn và ellip có cả số hạng x2{\displaystyle x^{2}} và y2{\displaystyle y^{2}}. Nếu bạn gặp khó khăn với các trường hợp đặc biệt này thì xem Lời khuyên dưới đây. Nếu cần, chuyển vế từng phương trình sao cho chỉ có y ở một bên dấu bằng.   Ví dụ: Tìm giao điểm của x2+2x−y=−1{\displaystyle x^{2}+2x-y=-1} và y=x+7{\displaystyle y=x+7}. Viết lại phương trình bậc hai theo y:  y=x2+2x+1{\displaystyle y=x^{2}+2x+1} và y=x+7{\displaystyle y=x+7}. Ví dụ này có một phương trình bậc hai và một phương trình tuyến tính. Các bài toán với hai phương trình bậc hai cũng được giải tương tự. Sau khi bạn chuyển vế hai phương trình theo y, hai vế không có y sẽ bằng nhau.   Ví dụ: y=x2+2x+1{\displaystyle y=x^{2}+2x+1} và y=x+7{\displaystyle y=x+7}  x2+2x+1=x+7{\displaystyle x^{2}+2x+1=x+7} Sử dụng phương pháp đại số để chuyển tất cả số hạng về một vế. Như vậy bài toán đã sẵn sàng để giải trong bước kế tiếp.   Ví dụ: x2+2x+1=x+7{\displaystyle x^{2}+2x+1=x+7}  Trừ x vào hai vế: x2+x+1=7{\displaystyle x^{2}+x+1=7} Trừ 7 vào hai vế: x2+x−6=0{\displaystyle x^{2}+x-6=0} . Sau khi chuyển vế phương trình bằng không thì bạn có ba cách giải, việc chọn cách giải nào sẽ tùy thuộc vào mỗi người. Bạn có thể học cách dùng công thức nghiệm bậc hai hoặc phương pháp "phần bù bình phương", hoặc xem ví dụ dưới đây về phương pháp phân tích thành thừa số:   Ví dụ: x2+x−6=0{\displaystyle x^{2}+x-6=0}  Mục đích của phương pháp phân tích thành thừa số là tìm hai thừa số để khi nhân với nhau sẽ tạo thành phương trình. Bắt đầu với số hạng đầu tiên, chúng ta biết x2{\displaystyle x^{2}} có thể phân tích thành x và x. Viết thành dạng (x    )(x    ) = 0. Số hạng cuối cùng là -6. Liệt kê từng cặp thừa số mà khi nhân cho nhau sẽ bằng -6: −6∗1{\displaystyle -6*1}, −3∗2{\displaystyle -3*2}, −2∗3{\displaystyle -2*3}, và −1∗6{\displaystyle -1*6}. Số hạng ở giữa là x (có thể viết là 1x). Cộng từng cặp thừa số với nhau đến khi bạn có kết quả là 1. Cặp thừa số đúng là −2∗3{\displaystyle -2*3}, vì −2+3=1{\displaystyle -2+3=1}. Điền cặp thừa số này vào chỗ chừa trống trong đáp án: (x−2)(x+3)=0{\displaystyle (x-2)(x+3)=0}. Nếu bạn giải quá nhanh thì có thể chỉ tìm được một nghiệm mà không nhận ra còn có nghiệm thứ hai. Đây là cách tìm hai nghiệm x đối với các đường giao nhau tại hai điểm:   Ví dụ (phân tích thành thừa số): Cuối cùng chúng ta có phương trình (x−2)(x+3)=0{\displaystyle (x-2)(x+3)=0}. Nếu một trong hai thừa số bằng 0 thì phương trình thỏa mãn. Một nghiệm là x−2=0{\displaystyle x-2=0} → x=2{\displaystyle x=2}. Nghiệm còn lại là x+3=0{\displaystyle x+3=0} → x=−3{\displaystyle x=-3}.  Ví dụ (công thức nghiệm bậc hai hoặc phần bù bình phương): Nếu bạn sử dụng một trong hai cách này giải phương trình thì sẽ xuất hiện dấu căn bậc hai. Ví dụ, phương trình trở thành x=(−1+25)/2{\displaystyle x=(-1+{\sqrt {25}})/2}. Nhớ rằng số căn bậc hai có thể đơn giản thành hai nghiệm khác nhau: 25=5∗5{\displaystyle {\sqrt {25}}=5*5}, và 25=(−5)∗(−5){\displaystyle {\sqrt {25}}=(-5)*(-5)}. Viết hai phương trình cho mỗi trường hợp và giải tìm x tương ứng. Hai đường chạm nhau một lần chỉ có một giao điểm, và hai đường không bao giờ chạm nhau sẽ không có giao điểm. Đây là cách nhận biết:  Một nghiệm: Bài toán có thể phân tích thành hai thừa số giống hệt nhau ((x-1)(x-1) = 0). Khi thay vào công thức nghiệm bậc hai thì số hạng có căn là 0{\displaystyle {\sqrt {0}}}. Bạn chỉ cần giải một phương trình. Không có nghiệm thực: Không có thừa số nào có thể thỏa mãn yêu cầu (tổng bằng số hạng ở giữa). Khi thay vào công thức nghiệm bậc hai thì bạn có một số âm bên dưới dấu căn bậc hai (chẳng hạn −2{\displaystyle {\sqrt {-2}}}). Viết đáp án là "không có nghiệm". Sau khi có giá trị x của giao điểm, bạn thay nó vào một trong các phương trình ban đầu. Giải tìm giá trị của y. Nếu bạn có hai giá trị x thì giải tìm hai giá trị y.  Ví dụ: Chúng ta tìm được hai nghiệm là x=2{\displaystyle x=2} và x=−3{\displaystyle x=-3}. Một trong hai đường có phương trình y=x+7{\displaystyle y=x+7}. Thay vào y=2+7{\displaystyle y=2+7} và y=−3+7{\displaystyle y=-3+7}, sau đó giải từng phương trình để tìm được y=9{\displaystyle y=9} và y=4{\displaystyle y=4}. Bây giờ bạn viết đáp án dưới dạng tọa độ theo giá trị x và y của giao điểm. Nếu bạn có hai đáp án, nhớ viết các giá trị x và y theo đúng từng cặp.  Ví dụ: Khi thay x=2{\displaystyle x=2} vào, chúng ta có y=9{\displaystyle y=9}, do đó giao điểm có tọa độ (2, 9). Thực hiện tương tự cho nghiệm thứ hai sẽ cho tọa độ của giao điểm còn lại là (-3, 4). Nếu cần, chuyển vế phương trình sao cho chỉ có y ở một bên dấu bằng. Nếu phương trình sử dụng f(x) hoặc g(x) thay cho y thì hãy tách số hạng này. Nhớ rằng bạn có thể triệt tiêu các số hạng bằng cách thực hiện phép toán giống nhau cho cả hai vế.  Nếu đề bài không cho biết phương trình thì bạn tìm chúng từ các thông tin đã có.  Ví dụ: Hai đường thẳng có phương trình là y=x+3{\displaystyle y=x+3} và y−12=−2x{\displaystyle y-12=-2x}. Trong phương trình thứ hai, để vế bên trái chỉ có y thì bạn cộng 12 cho cả hai vế: y=12−2x{\displaystyle y=12-2x} Chúng ta đang tìm điểm mà hai đường thẳng có cùng tọa độ x, y; đây là vị trí hai đường giao nhau. Cả hai phương trình đều chỉ có y ở vế bên trái, nên vế phải của chúng sẽ bằng nhau. Viết phương trình mới để thể hiện điều này.  Ví dụ: Chúng ta biết y=x+3{\displaystyle y=x+3} và y=12−2x{\displaystyle y=12-2x}, do đó x+3=12−2x{\displaystyle x+3=12-2x}. Phương trình mới chỉ có một biến số x. Giải phương trình bằng phương pháp đại số, nghĩa là thực hiện cùng phép toán cho cả hai vế. Chuyển hết các số hạng có x sang một vế phương trình, sau đó đưa về dạng x = __. (Nếu bạn không làm được thì lướt xuống cuối phần này).   Ví dụ: x+3=12−2x{\displaystyle x+3=12-2x}  Cộng 2x{\displaystyle 2x} vào hai vế: 3x+3=12{\displaystyle 3x+3=12} Trừ 3 vào hai vế: 3x=9{\displaystyle 3x=9} Chia hai vế cho 3:  x=3{\displaystyle x=3}. Chọn phương trình của một trong hai đường thẳng. Thay giá trị x vừa tìm được vào phương trình này. Giải tìm y bằng phương pháp số học.   Ví dụ: x=3{\displaystyle x=3} và y=x+3{\displaystyle y=x+3}  y=3+3{\displaystyle y=3+3} y=6{\displaystyle y=6} Bạn nên thay giá trị x vào phương trình còn lại để xem có nhận được kết quả giống nhau hay không. Nếu nhận được giá trị y khác thì bạn phải kiểm tra lại bài làm của mình.   Ví dụ: x=3{\displaystyle x=3} và y=12−2x{\displaystyle y=12-2x}  y=12−2(3){\displaystyle y=12-2(3)} y=12−6{\displaystyle y=12-6} y=6{\displaystyle y=6} Như vậy chúng ta nhận được cùng một giá trị y. Bài giải không có sai sót nào. Bây giờ bạn đã tìm được cặp tọa độ x, y nơi hai đường thẳng giao nhau. Viết ra điểm này theo cặp tọa độ, với giá trị x nằm trước.   Ví dụ: x=3{\displaystyle x=3} và y=6{\displaystyle y=6}  Hai đường giao nhau tại (3,6). Một số phương trình không thể giải để tìm x. Điều này không hẳn là do bạn mắc sai sót. Phương trình của cặp đường thẳng có thể có nghiệm bất thường trong hai trường hợp sau:  Nếu hai đường đó song song thì chúng không giao nhau. Các số hạng x sẽ bị triệt tiêu và phương trình được đơn giản thành một mệnh đề sai (chẳng hạn 0=1{\displaystyle 0=1}). Viết đáp án là "hai đường thẳng không giao nhau" hoặc "không có nghiệm thực". Nếu hai phương trình biểu diễn cùng một đường thì chúng "giao nhau" ở mọi điểm. Các số hạng x sẽ bị triệt tiêu và phương trình được đơn giản thành một mệnh đề đúng (chẳng hạn 3=3{\displaystyle 3=3}). Viết đáp án là "hai đường thẳng trùng nhau".
Nhận biết phương trình bậc hai. Viết các phương trình theo y. Kết hợp hai phương trình để triệt tiêu y. Biến đổi phương trình mới sao cho một vế bằng không. Giải phương trình bậc hai Lưu ý là chúng ta có hai nghiệm x. Giải các bài toán có một nghiệm hoặc không có nghiệm. Thay các giá trị x vào phương trình ban đầu. Viết tọa độ điểm. Viết phương trình của mỗi đường thẳng với y nằm ở vế bên trái. Đặt vế phải của hai phương trình bằng nhau. Giải tìm x. Sử dụng giá trị x để tìm y. Kiểm tra kết quả. Viết cặp tọa độ x, y của giao điểm. Xử lý các trường hợp bất thường.
https://www.wikihow.com/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines https://www.wikihow.com/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines
Problems with Quadratic Equations Finding the Intersection of Two Straight Lines