Giảm hàng tuyến tính để tìm ma trận nghịch đảo Tạo ma trận bổ sung để tìm ma trận nghịch đảo
Viết ma trận gốc M, vẽ một đường dọc vào bên phải của ma trận đó rồi viết ma trận đơn vị ở bên phải đường này. Lúc này, ta có một ma trận với ba hàng và sáu cột. Nhớ là ma trận đơn vị là ma trận đặc biệt với mọi phần tử thuộc đường chéo chính, chạy từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải, đều bằng 1 và mọi phần tử ở các vị trí còn lại đều bằng 0. Mục tiêu ở đây là tạo ma trận đơn vị ở phần bên trái của ma trận mới được mở rộng. Khi thực hiện các bước giảm hàng ở bên trái, bạn phải thực hiện tương ứng với phần bên phải – phần vốn là ma trận đơn vị của bạn. Nhớ rằng giảm hàng được thực hiện như là một phép kết hợp của nhân vô hướng và cộng hoặc trừ hàng, nhằm cô lập các phần tử riêng lẻ của ma trận. Tiếp tục phép giảm hàng tuyến tính cho đến khi xuất hiện ma trận đơn vị (phần tử nằm trên đường chéo bằng 1, các phần tử khác đều bằng 0) ở phần bên trái của ma trận được mở rộng. Khi đã đến được bước này, phần bên phải của đường chia thẳng đứng chính là ma trận nghịch đảo của ma trận gốc. Sao chép lại các phần tử hiện đang nằm ở phần bên phải của đường chia thẳng đứng và đó chính là ma trận nghịch đảo của bạn. Bước đầu tiên: tìm định thức của ma trận. Nếu định thức bằng 0, việc đã xong: ma trận này không khả nghịch. Định thức của ma trận M có thể được ký hiệu là det(M).  Để tìm nghịch đảo của ma trận 3x3, đầu tiên bạn phải tính định thức của nó. Để xem lại cách tìm định thức của ma trận, hãy tham khảo bài viết Tìm định thức ma trận 3x3. Chuyển vị nghĩa là phản chiếu ma trận qua đường chéo chính, hay nói cách khác, đổi chỗ phần tử thứ (i,j) và phần tử (j,i). Khi chuyển vị các phần tử của một ma trận, đường chéo chính (chạy từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải) không đổi. Một cách hiểu khác về chuyển vị chính là bạn sẽ viết lại ma trận sao cho hàng đầu tiên trở thành cột đầu tiên, hàng giữa trở thành cột giữa và hàng thứ ba trở thành cột thứ ba. Hãy lưu ý yếu tố màu sắc trong hình minh họa ở trên và để ý vị trí mới của các số. Mọi phần tử của ma trận chuyển vị 3x3 mới đều được liên kết với một ma trận “con” 2x2 tương ứng. Để tìm ma trận con của từng phần tử, trước hết, hãy đánh dấu hàng và cột của phần tử đầu tiên. Sẽ có tất cả 5 phần tử được đánh dấu. Bốn phần tử còn lại tạo thành ma trận con.  Trong ví dụ trên, nếu muốn tìm ma trận con của phần tử nằm ở hàng hai, cột một, bạn đánh dấu năm phần từ nằm ở hàng thứ hai và cột thứ nhất. Bốn phần tử còn lại chính ma trận con tương ứng. Tìm định thức từng ma trận con bằng cách nhân theo các đường chéo và trừ hai tích cho nhau, như được thể hiện ở hình trên. Hãy đọc thêm để có nắm rõ hơn về ma trận con và công dụng của chúng. Đặt kết quả thu được từ bước trước vào một ma trận mới được cấu thành từ các phần phụ đại số bằng cách xếp từng định thức ma trận con vào vị trí tương ứng trong ma trận gốc. Như vậy, định thức tính được từ phần tử (1,1) của ma trận gốc sẽ được đặt ở vị trí (1,1). Tiếp đó, bạn sẽ phải đổi dấu phần tử thay thế của ma trận mới này theo bảng tham chiếu được trình bày trong hình minh họa ở trên.  Khi xác định dấu, dấu của phân tử đầu tiên của hàng đầu sẽ được giữ nguyên. Dấu của phần tử thứ hai bị đảo. Dấu của phần tử thứ ba được giữ nguyên. Tiếp tục như vậy cho phần còn lại của ma trận. Lưu ý rằng dấu (+) hay (-) trong biểu đồ tham chiếu không cho thấy đến cuối cùng, phần tử sẽ mang dấu dương hay dấu âm. Chúng chỉ thể hiện rằng các phần tử ấy sẽ được giữ nguyên (+) hay đổi dấu (-). Hãy tham khảo kiến thức căn bản về ma trận để biết thêm về phần phụ đại số. Kết quả cuối cùng mà ta thu được ở bước này chính là ma trận bổ sung của ma trận gốc. Đôi khi, nó còn được gọi là ma trận liên hợp và được ký hiệu là Adj(M). Dùng định thức của ma trận M mà bạn đã tính được ở bước đầu tiên (để kiểm tra xem liệu ma trận có khả nghịch hay không). Giờ, hãy chia mọi phần tử của ma trận cho giá trị này. Đặt thương của từng phép chia vào vị trí của phần tử gốc, ta được ma trận nghịch đảo của ma trận ban đầu.  Ma trận mẫu được trình bày trong minh họa có định thức bằng 1. Do đó, khi chia mọi phần tử của ma trận bổ sung cho định thức, ta thu được chính nó (không phải lúc nào bạn cũng sẽ may mắn như vậy). Thay vì chia, một số tài liệu trình bày bước này như là nhân mọi phần tử của M với 1/det(M). Về mặt toán học, chúng là tương đương.
Thêm ma trận đơn vị vào ma trận gốc. Thực hiện phép giảm hàng tuyến tính. Tiếp tục cho đến khi hình thành được ma trận đơn vị. Viết lại ma trận nghịch đảo. Kiểm tra định thức của ma trận. Chuyển vị ma trận gốc. Tìm định thức của từng ma trận con 2x2. Tạo ma trận các phần phụ đại số. Chia mọi phần tử của ma trận bổ sung cho định thức.
https://www.wikihow.com/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix https://www.wikihow.com/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix
Using Linear Row Reduction to Find the Inverse Matrix Creating the Adjugate Matrix to Find the Inverse Matrix