proposition: Theorem eqTerm_spolyf_red2 : forall (a b c : Term A n) (nZa : ~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) a) (nZb : ~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) b) (nZppab : ~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b)), divP A A0 eqA multA divA n c a -> divP A A0 eqA multA divA n c b -> forall (p q r : list (Term A n)) (Cpxa : canonical A0 eqA ltM (pX a p)) (Cpxb : canonical A0 eqA ltM (pX b q)), canonical A0 eqA ltM r -> eqP A eqA n (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab) (spolyf (pX a p) (pX b q) Cpxa Cpxb)) (minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec (spminusf A A0 A1 eqA invA minusA multA divA eqA_dec n ltM ltM_dec c b nZb r q) (spminusf A A0 A1 eqA invA minusA multA divA eqA_dec n ltM ltM_dec c a nZa r p)).
proof: Proof. Proof using plusA os cs. intros a b c nZa nZb nZppab H' H'0 p q r Cpxa Cpxb H'4. cut (canonical A0 eqA ltM p); [ intros Op | apply canonical_imp_canonical with (a := a); auto ]. cut (canonical A0 eqA ltM q); [ intros Oq | apply canonical_imp_canonical with (a := b); auto ]. cut (divP A A0 eqA multA divA n (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) a); [ intros div1 | apply divP_ppcl with (1 := cs); auto ]. cut (divP A A0 eqA multA divA n (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) b); [ intros div2 | apply divP_ppcr with (1 := cs); auto ]. cut (divP A A0 eqA multA divA n c (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b)); [ intros div3 | elim ppc_is_ppcm with (1 := cs); auto ]. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab) (pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=a) nZa) p) (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=b) nZb) q)))). apply mults_comp with (1 := cs); auto. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=a) nZa) p) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=b) nZb) q)); auto. cut (~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) c); [ intros Z2 | inversion_clear H'0; auto ]. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=a) nZa) p)) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab) (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=b) nZb) q)))); [ auto | idtac ]. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (multTerm (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=a) nZa)) p) (mults (A:=A) multA (n:=n) (multTerm (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=b) nZb) q))). apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto. apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa) p) (mults (A:=A) multA (n:=n) (multTerm (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab)) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=b) nZb) q))); [ auto | idtac ]. apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto. apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto. apply mults_comp with (1 := cs); auto. apply divTerm_compo with (1 := cs); auto. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa) p) (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=b) nZb) q)))). apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa) p) (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) (mults (A:=A) multA (n:=n) (multTerm (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=b) nZb)) q))). apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa) p) (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b) nZb) q))). apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto. apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto. apply mults_comp with (1 := cs); auto. apply mults_comp with (1 := cs); auto. apply divTerm_compo with (1 := cs); auto. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b) nZb) q)) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa) p)); [ auto | idtac ]. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b) nZb) q)) (pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (pO A n) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa) p))). apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b) nZb) q)) (pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r r) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa) p))). apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto. apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto. apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); apply minuspf_refl with (1 := cs); auto. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b) nZb) q)) (pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec r (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) r)) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa) p))). apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto. apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto. apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b) nZb) q)) (pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec r (pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) r) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa) p)))). apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b) nZb) q)) r) (pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) r) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa) p))). apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec r (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b) nZb) q))) (pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) r) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa) p))). apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b) nZb) q)) (pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) r) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa) p))). apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto. apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b) nZb) q)) (pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) r) (mults (A:=A) multA (n:=n) (T1 A1 n) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa) p)))). apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto. apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b) nZb) q)) (pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) r) (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa) p)))). apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b) nZb) q)) (pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) r) (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (multTerm (A:=A) multA (n:=n) (T1 A1 n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)))) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa) p)))); auto. apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto. apply canonical_pluspf; auto. apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b) nZb) q)) (pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) r) (mults (A:=A) multA (n:=n) (multTerm (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa) p)))). apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto. apply canonical_pluspf; auto. apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto. apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b) nZb) q)) (pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) r) (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa) p))))). apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto. apply canonical_pluspf; auto. apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b) nZb) q)) (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) (pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec r (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa) p))))). apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto. apply canonical_pluspf; auto. apply canonical_mults with (1 := cs); auto. apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec (minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b) nZb) q)) (mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) (minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa) p)))). apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto. apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto. apply canonical_mults with (1 := cs); auto. apply (eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n) with (y := minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec (minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b) nZb) q)) (minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r (mults (A:=A) multA (n:=n) (divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa) p))); auto; apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto. Qed.