proposition: Lemma is_isofibration_iff_is_op_isofibration {C : category} (D : disp_cat C) : iso_cleaving D <-> is_op_isofibration D.
proof: Proof. Abort. End Isofibrations. Section Fibrations. Definition is_cartesian {C : category} {D : disp_cat C} {c c' : C} {f : c' --> c} {d : D c} {d' : D c'} (ff : d' -->[f] d) : UU := forall c'' (g : c'' --> c') (d'' : D c'') (hh : d'' -->[g·f] d), ∃! (gg : d'' -->[g] d'), gg ;; ff = hh. Definition cartesian_factorisation {C : category} {D : disp_cat C} {c c' : C} {f : c' --> c} {d : D c} {d' : D c'} {ff : d' -->[f] d} (H : is_cartesian ff) {c''} (g : c'' --> c') {d'' : D c''} (hh : d'' -->[g·f] d) : d'' -->[g] d' := pr1 (pr1 (H _ g _ hh)). Definition cartesian_factorisation_commutes {C : category} {D : disp_cat C} {c c' : C} {f : c' --> c} {d : D c} {d' : D c'} {ff : d' -->[f] d} (H : is_cartesian ff) {c''} (g : c'' --> c') {d'' : D c''} (hh : d'' -->[g·f] d) : cartesian_factorisation H g hh ;; ff = hh := pr2 (pr1 (H _ g _ hh)). Definition cartesian_factorisation_of_composite {C : category} {D : disp_cat C} {c c' : C} {f : c' --> c} {d : D c} {d' : D c'} {ff : d' -->[f] d} (H : is_cartesian ff) {c'' : C} {g : c'' --> c'} {d'' : D c''} (gg : d'' -->[g] d') : gg = cartesian_factorisation H g (gg ;; ff). Proof. exact (maponpaths pr1 (pr2 (H _ _ _ _) (_,, idpath _))). Defined.
imports: UniMath.Foundations.Sets UniMath.MoreFoundations.All UniMath.CategoryTheory.Core.Categories UniMath.CategoryTheory.Core.Isos UniMath.CategoryTheory.Core.NaturalTransformations UniMath.CategoryTheory.Core.Univalence UniMath.CategoryTheory.Core.Functors UniMath.CategoryTheory.Categories.HSET.Core UniMath.CategoryTheory.Categories.HSET.MonoEpiIso UniMath.CategoryTheory.Categories.HSET.Univalence UniMath.CategoryTheory.Limits.Pullbacks UniMath.CategoryTheory.Adjunctions.Core UniMath.CategoryTheory.Equivalences.Core UniMath.CategoryTheory.FunctorCategory UniMath.CategoryTheory.opp_precat UniMath.CategoryTheory.Presheaf UniMath.CategoryTheory.DisplayedCats.Core UniMath.CategoryTheory.DisplayedCats.Functors UniMath.CategoryTheory.DisplayedCats.NaturalTransformations UniMath.CategoryTheory.DisplayedCats.Fiber UniMath.CategoryTheory.DisplayedCats.Isos UniMath.CategoryTheory.DisplayedCats.Univalence UniMath.CategoryTheory.DisplayedCats.Examples.Opposite