作用 (数学)
定義
台集合が A である代数系の上の作用素（さようそ、operator）とは、集合 A 上の変換 θ: A → A のことである。文字の集合 Ω を与え、Ω の異なる文字が同じ作用素を与えることも許して、Ω から代数系 A 上の作用素族（これをここでは仮に Trans(A) と記す）への写像

  \sigma\colon \Omega \to \mathrm{Trans}(A);\ \omega \mapsto \sigma(\omega)
を与えたとき、集合 Ω は代数系 A に作用 (act, operate) する、代数系 A に集合 Ω の作用が定められるという。またこのとき、A を Ω-代数系、Ω の表現空間などと呼び、Ω を A の作用域（さよういき、operation domain）あるいは作用団と呼ぶ。
作用域 Ω, 写像 σ, 表現空間 A の組 (σ, Ω, A) を Ω の A への作用 (action) あるいは A における Ω の表現（ひょうげん、representation）と呼び、誤解のおそれの無い場合は単に写像 σ で表す。また文字 ω が作用 σ によって A に定める作用素 σ(ω) は、しばしば（作用 σ を省略して）もとの文字と同じく ω で表される。
集合 A には、その各元 x に対して x 自身を返す「なにもしない」変換（恒等変換）が自然に備わっているので、作用域として別の集合 Ω が任意に与えられたとき、Ω の各作用素 ω を恒等変換（恒等作用素）として Ω の A への「なにもしない」作用を定めることができる。これを Ω の A への自明な作用という。
作用 (σ, Ω, A) に対して、A の部分集合 B が作用 σ について閉じているとき、つまり A 上の作用素 σ(ω): A → A の定義域の制限 σ(ω)|B: B → B によって写像
\sigma|_B\colon \Omega\times B \to B;\ (\omega,x) \mapsto \sigma(\omega)|_B(x)
を考えると組 (σ|B, Ω, B) が再び作用になるとき、B は作用 σ に関して Ω-安定（あんてい、stable）であるとか Ω-不変（ふへん、invariant）もしくは固有（こゆう、proper）であるなどといい、また B は A の部分 Ω-代数系あるいは部分表現であるという。
左右の区別
A の元 a の作用素 θ による像は左記法に従って θ(a), θa, θa あるいは右記法に従って (a)θ, aθ, aθ などで表される。
\theta\colon A \to A;\ a \mapsto \theta(a).
\theta\colon A \to A;\ a \mapsto a^\theta.
作用素の像の記法の左右の区別に倣って、作用域 Ω の代数系 A へ左作用・右作用が定められる。Ω の A への左からの作用 σ が与えられることと、たとえば写像
\Omega \times A \to A;\ (\omega,a) \mapsto \sigma(\omega)a
を与えることとは等価である。σ が右作用の場合は
A \times \Omega \to A;\ (a, \omega) \mapsto a^{\sigma(\omega)}
などに等価である。作用域が非可換な積をもつ代数系をなすとき、その構造と表現に関して作用の左右が特に意識的に区別を受けるが、一方で（積の順序をひっくりかえすことによって定まる）逆代数系の概念により左右が包摂され、一般論を論じる際には片方（多くの場合に左作用）のみを扱っていることも少なくない。
構造と作用
代数系は構造としての算法の族をもち、その上の写像としては構造との親和性の良い準同型と呼ばれるものが特に重要であるから、作用素としてもそのようなものを扱うのが通例である。例えばとくに何の演算をも持たない代数系 E を考えればそれはただの集合（もちろんその集合が代数的構造以外の数学的構造を持っていてもよい）であり、その上の準同型は単なる写像である。写像として特に E 上の置換すなわち E から E 全単射を考え、その全体を Aut(E) と記せば、Aut(E) は写像の合成を唯一の演算として群となる。このとき、別の群 G を与え、写像
\rho\colon G \to \mathrm{Aut}(E)
が特に群準同型であるものを考えることにより、群 G の集合 E への群作用（ぐんさよう、group action）が定義される。これは作用素の合成が群の積へ移って
\rho(g)\rho(h) = \rho(gh)
のようにまた作用素となるという意味で、単に集合 E に集合 G の作用が定まるということよりも強い制限である。同様にして、代数系 A 上の変換族 Trans(A) がまた新たな代数系をなしているとき、Trans(A) と準同型なる代数系 U に対してのみ U の A への作用というもの考えることもしばしばである。とくに、加群 M の自己準同型の全体 End(M) は環の構造を持つから、勝手な環 R から環準同型 π: R → End(M) によって環 R から加群 M への環作用（かんさよう、ring action）が定義される。このとき、作用域である環 R を特に M の係数環（けいすうかん）と呼び、係数環 R の元を係数と呼ぶ。
作用を持つ空間 X の上に別の構造が載っているとき、台である X への作用が X 上の構造への作用を引き起こすことがある。たとえば群作用 G × X → X; (g, x) → gx は
f \mapsto \sigma f;\quad \sigma f(x):= f(\sigma^{-1}x)
によって X 上の関数環へ作用を移行することができる。このようなとき、作用と構造とが両立するという。
作用準同型
同種の算法族 R が構造を定める代数系 A, B とその間の準同型 f: A → B を考える。また、A, B が同じ作用域 Λ を持ち、Λ の作用が (πA, Λ, A), (πB, Λ, B) であたえられているとする。準同型 f が写像として
f \circ \pi_A(\lambda) = \pi_B(\lambda) \circ f
を任意の λ に対して満たすならば、準同型 f: A → B は Λ の作用込みの準同型であるという。簡単に作用準同型とか Λ-準同型などとも呼ぶ。
Λ の作用が A, B ともに右から与えられているとき、A → B が Λ-準同型である条件は
f(x^{\pi_A(\lambda)}) = f(x)^{\pi_B(\lambda)}
を Λ の任意の元 λ と A の任意の元 x に対して満たすことであり、ともに左作用ならば
f(\pi_A(\lambda)x) = \pi_B(\lambda)f(x)
を Λ の任意の元 λ と A の任意の元 x に対して満たすことと述べられる。一方が左からで他方が右からの場合でも同様に書ける。また、作用を省略して書けば
f \circ \lambda = \lambda \circ f
が成り立つこととなり、写像の合成を二項演算とみなす立場から、この条件は「f が Λ の作用と可換であること」と述べられる。
また、Λ-準同型 f: A → B に対して、像
\mathrm{Im}(f) := \{ f(a) \in B \mid a \in A\}
は B の部分代数系であるばかりでなく、Λ-代数系としての部分系である。このことを指して、Λ-準同型は Λ-代数系の構造を保つという。またこのことは、代数系 (A, R) から、その上の作用を単項演算族とみなして S = R ∪ {πA(λ) | λ ∈ Λ} とおくことにより、新たな代数系として (A, S) = (A, R, (πA, Λ)) を考えるならば、通常の意味で代数系の構造を保つということおよび準同型を考えるということに同じである。
作用の構成と分解
二つの作用 (π, Ω, A), (τ, Λ, B) は成分ごとの作用により直積作用 (π × τ, Ω × Λ, A × B) を定める。またこれらが線型表現であるとき、A と B にテンソル積が定義されるならば、（外部）テンソル積表現
(\pi\boxtimes\tau,\Omega\times\Lambda,A\otimes B)
へ延長できて、再び線型表現を与える。 作用 (π, Ω, A) に対して、写像 φ: Λ → Ω や ψ₁: A → B, ψ₂: B → A は合成により作用域や表現空間を取り替えた新しい作用
(\pi\circ\varphi,\Lambda,A),
(\psi_1\circ\pi\circ\psi_2,\Omega,B)
を導く。特に φ が包含写像ならば表現の制限が、ψ₂ が包含写像かつψ₂ と ψ₁ との合成 B → A → B が分裂するならば部分表現がそれぞれ定義される。