多様体
直感的な説明
多様体に座標を描くという作業は地球上の地図を作る作業に似ている。地図の上の点は地球上の点に対応し、さらに地面には描かれていない緯線や経線を地図に描き込むことによって、地図に描いてある地域の様子が分かりやすくなる。座標の無い地球上の様子は、人間が作った座標のある地図と対応させることによって非常に把握しやすくなる。
地球は球であり、世界地図を一枚の平面的な地図におさめようとすれば、南極大陸が肥大化したり、地図の端の方では一枚の地図の中に（連続性を表現するために）同じ地点が複数描き込まれたりする。世界地図をいくつかの小さな地図に分割すると、こういった奇妙なことはある程度回避できる。例えば、北極を中心とした地図、南極を中心とした地図、ハワイを中心とした地図、ガーナを中心とした地図…… などのように分割できる。そして隣り合った地図の繋がりをそれぞれの地図に同じ地域を含めることで表現すればよい。こうすることによって異なる地図同士では重複する部分が出てきてしまうものの、一枚の地図の中に同じ地域が 2 箇所以上描かれることをなくすことはできる。
地球と同じように多様体は好きなところに小さな地図（局所座標系）が描ける図形である。逆に、このような小さな地図を繋げていったら全体としてどのような図形ができあがるのか？という問題は位相幾何学の重要な問題の一つでもある。地図だけみれば地球をまねて作っているようなゲーム(例えば、ファミコン版のドラゴンクエストシリーズ)の世界が、実は球面ではなく平坦トーラスだったということもある。
多様体は性質のよい図形であり、多様体でない図形も多く存在する。円や球や多角形、多面体などは全て多様体として扱えるが、ペアノ曲線やフラクタルなどは適当な地図を描くことはできず、多様体にはならない。
定義
多様体の定義で重要な点は、多様体の上にいかにして座標系を貼り付けるか？ということと、どのような座標系を用いたとしても計算に違いが現れないようにすることである。多様体は計算したいときに座標を導入でき、しかもどのような座標系で計算したとしても違いがない、すなわち座標系に依存しないという非常に扱いやすい性質が追求された図形である。
ここでいう計算とは関数やベクトル、それらの微分、積分などのユークリッド空間の上で普通に行われているような座標を用いた計算のことである。
極大座標近傍系
m 次元位相多様体 M に対し Cⁿ 級座標近傍系として S と T の 2つを取るとする。和集合 S ∪ T が再び M のCⁿ 級座標近傍系になるとき、 S と T は同値であるという。これは同値関係を定める。これは S に属する座標近傍と T に属する座標近傍の間にも座標変換が存在し S での計算と T での計算に違いが無いという性質を保証するための同値関係である。
さらに、 M 上の S と同値な Cⁿ 級座標近傍系全ての和集合を取ることによって得られる F = F(S) を S によって生成された M の Cⁿ 級極大座標近傍系あるいは M の Cⁿ 級微分構造という。定義により、同じ微分構造を定める座標近傍系同士は同値である。
こうして座標近傍系の取り方に依存しない Cⁿ 級多様体が定義される。m 次元位相多様体 M 上に互いに微分同相でない複数の微分構造が存在することもある。
開部分多様体
S₁ = {(Uλ, φλ) | λ ∈ Λ} を座標近傍系にもつ m 次元 Cⁿ 級多様体 (M₁,S₁)と、 M の（空でない）開集合Vに対して S₂ = {(Uλ ∩ V, φᵛλ) | λ ∈ Λ} を考える。ただし、 φᵛλ は、 φ の定義域を Uλ から Uλ ∩ V に制限しただけの写像で、本質的には φ となんら変わりのない写像である。
このとき (V, S₂) も m 次元 Cⁿ 級多様体となる。この多様体を (M₁,S₁) の開部分多様体 (open submanifold) という。
R¹ の開集合である 開区間 (a,b) は R¹ の開部分多様体である。
R² の開集合である 開円板 {(x₁,x₂)|x²₁+x²₂ < 1} は R² の開部分多様体である。
というように、多様体に含まれる開集合に多様体を制限したものが開部分多様体である。
歴史
多様体の歴史はゲッティンゲンで行われたリーマンの講演に始まる。
多様体論は、ロバチェフスキーの双曲幾何学によって始まった非ユークリッド幾何学やガウスの曲面論を背景として様々な幾何学を統一し、 n 次元の幾何学へと飛躍させた。発見当初はカント哲学に打撃を与えた非ユークリッド幾何学も多様体論の一例でしかなくなってしまった。
リーマンがゲッティンゲン大学の私講師に就任するために行った講演『幾何学の基礎に関する仮説について』の中で「何重にも拡がったもの」と表現した概念が n 次元多様体のもとになり n 次元の幾何学に関する研究が始まった。この講演を聴いていたガウスがその着想に夢中になり、（ガウスは普段はあまり表立って他人を褒めることはなかったが、）リーマンの着想がいかに素晴らしいかを同僚に語り続けたり、帰り道にうわの空で道端の溝に落ちたりしたと言われている。