フィルター (数学)
フィルター (filter) とは半順序集合の特別な部分集合のことである。実際には半順序集合として、特定の集合の冪集合に包含関係で順序を入れた物が考察されることが多い。フィルターが初めて用いられたのは一般位相幾何学 (general topology) の研究であったが、現在では順序理論や束の理論でも用いられている。順序理論的な意味でのフィルターの双対概念はイデアルである。
類似の概念として1922年にエリアキム・H・ムーアと H. L. スミスによって導入されたネットの概念がある。
歴史
1936年9月のブルバキ会合ではアンドレ・ヴェイユによる数学原論の「位相」の草稿に関して議論がなされた。その草稿でヴェイユは点列の収束を議論する上で空間に第二可算公理の成立を要求していたが（下の#位相幾何学におけるフィルターも参照）、この制限を除くためにアンリ・カルタンが会合中に見つけた解決の糸口がフィルターである。
フィルターの概念の初出として一般に言及されるのは、ブルバキの他メンバーの勧めを基にカルタンが翌年に提出した2つの論文である。
写像とフィルター
Φ: K → L を束 K, L の間の束準同型、F を L 上のフィルターとし、F の Φ による逆像 Φ⁻¹(F) = {x ∈ K : Φ(x) ∈ F} は空集合でないとする。このとき Φ⁻¹(F) は K 上のフィルターとなる。更に K, L が最小元を持つ束で Φ が最小限を保つ束準同型のとき、F が真のフィルターなら Φ⁻¹(F) も真のフィルターとなる。
社会選択理論 (経済学) におけるフィルター
社会選択理論において、単項フィルターでない超フィルターは、無限人の選好を集計するための (社会厚生関数とよばれる) 集計ルールを構築するために用いられる。有限人ケースに対する有名なアローの不可能性定理の述べるところと異なり、そのような集計ルールは、アローが提示した条件 (公理) をすべて満たすことが知られている (e.g., Kirman and Sondermann, 1972)。
しかしながら、そのような集計ルールを計算するようなアルゴリズムは存在しないため、それらの集計ルールの実用的な意味合いは乏しいことが指摘されており、アローの不可能性定理をかえって強化する結果となっている (Mihara, 1997, 1999)。