ホモロジー (数学)
数学、とくに代数的位相幾何学や抽象代数学において、ホモロジー (homology) （「同一である」ことを意味するギリシャ語のホモス (ὁμός) に由来）は与えられた数学的対象、例えば位相空間や群に、アーベル群や加群の列を対応させる一つの一般的な手続きをいう。より詳しい背景については ホモロジー論 を見られたい。また、ホモロジーの手法の位相空間に対する具体的な適用については特異ホモロジーを、群についてのそれは群コホモロジーを、それぞれ参照されたい。
位相空間に対しては、ホモロジー群は一般にホモトピー群よりもずっと計算しやすく、したがって、空間を分類する道具としてはより手軽に扱えるものといえるだろう。
ホモロジー関手
チェイン複体  からチェイン複体  への射を、準同型の列  であって任意の n に対して  が成立するようなものとして定義する。このようにしてチェイン複体は圏をなす。n 次元ホモロジー群 Hₙ はチェイン複体の圏からアーベル群（あるいは加群）の圏への共変関手であるとみなせる。
チェイン複体が対象 X に共変的に依存するものとする（つまり、任意の射 X → Y は X のチェイン複体から Y のチェイン複体への射を誘導するものとする）。このとき、Hₙ は X が属している圏からアーベル群（あるいは加群）の圏への共変関手である。
ホモロジーとコホモロジーとのただひとつの違いは、コホモロジーにおいてはチェイン複体が X に反変的に依存するという点で、したがってホモロジー群（この文脈ではこれをコホモロジー群と呼んで Hⁿ と表す）は X の属する圏からアーベル群あるいは加群の圏への反変関手となる。
歴史
ホモロジー群の概念は エミー・ネーターにより見出された。また、これと独立に、レオポルト・ヴィートリスとヴァルター・マイヤーも1925年から28年にかけてホモロジー理論を発展させている。これより前の時代には、組合せ位相幾何学においてホモロジー類にあたるものはアーベル群をなすとは考えられていなかった。ホモロジー群の急速な普及により、用語が変更され、「組合せ位相幾何学」の立場から「代数的位相幾何学」への移行が起こった。