有界変動函数
歴史
Boris Golubov によれば、一変数の有界変動函数を初めて導入したのはカミーユ・ジョルダンで、フーリエ級数の収束を扱った論文 (Jordan 1881) においてである。多変数函数に対する有界変動の概念の一般化に成功した最初の段階はレオニダ・トネリによるもので、トネリは1926年に、変分法における問題の解を求めるための、自身の直接法を多変数に拡張するために、連続有界変動函数のクラスを導入した(Cesari 1986, pp. 47–48)。Cesari (1936) はトネリの定義における連続性の仮定をより制限の緩い「可積分性」の要求に置き換えて、全く一般の多変数有界変動函数のクラスを初めて得ている。ジョルダンがかつてしたように、チェザリはこれをフーリエ級数の収束問題の解法に用いたが、それは「二変数」の函数に対するものであった。チェザリ以降、さまざまな数学者たちが、有界変動函数を多変数のフーリエ級数、幾何学的測度論、変分法および数理物理学に応用した。レナート・カッチョポリとエンニオ・デ・ジョルジは、集合の滑らかでない境界の測度を定義するために有界変動函数を用いた（詳細は カチョッポリ集合の項を参照）。Oleinik (1957) は非線型偏微分方程式に対する弱解として有界変動函数の空間 BV から取った函数を見る観点を導入し、論文 (Oleinik 1959) で一階偏微分方程式の有界変動な弱解の構成に成功した。Conway & Smoller (1966) は一変数の一階非線型双曲型偏微分方程式の研究に有界変動函数を応用し、そのような方程式の（初期値が有界変動のクラスに属するという仮定のもとでの）コーシー問題の解が有界変動函数であることを示した。アイザック・イサコヴィッチ・フォルペルトは有界変動函数に対するより広汎な解析学を展開した。論文 (Vol'pert 1967) において有界変動函数に対する連鎖律が証明され、弟子との共著 (Hudjaev & Vol'pert 1985) において有界変動函数の性質とその応用について広く調べられている。この連鎖律の公式は後に Ambrosio & Dal Maso (1990) によって拡張されている。
局所有界変動
先の定義 1.2, 2.1, 2.2 において、大域可積分函数を考える代わりに局所可積分函数の空間 L 1
loc (Ω) を考えれば局所有界変動函数の空間が定まる。具体的に、定義 2.2 に対してこのような考えを適用するとき、Ω の（有限次元線型空間の標準位相に関する）前コンパクト開部分集合 U ∈ 𝒪c(Ω) における局所変動 (local variation) は 
 として定義され、対応する局所有界変動函数のクラスが 
 として定まる。
有界変動数列
バナハ空間の例として Dunford & Schwartz (1958, Chapter IV) は有界変動函数の空間に加えて有界変動数列の空間を考える。実または複素数列 x = (xᵢ) の全変動は 
 で定義される。全変動が有限であるような数列全体の成す空間 bv は 
 で定められるノルムに関してバナッハ空間を成す。
全変動それ自体も bv の適当な部分空間上のノルムを定める。すなわち、 xₙ = 0 なる数列 x = (xₙ) 全体の成す空間 bv₀ 上のノルムが 
 で与えられる。このノルムに関して bv₀ もバナッハ空間となる。
有界変動測度
可測空間 (X, Σ) 上の符号付き測度（あるいは複素測度）μ が有界変動であるとは、その全変動 || μ || = |μ|(X) が有限となるときに言う（詳細は Halmos (1950, p. 123), Kolmogorov & Fomin (1969, p. 346) を参照）。