準素分解
数学において，ラスカー・ネーターの定理は，任意のネーター環はラスカー環 (Lasker ring) であること, すなわち，任意のイデアルが有限個の準素イデアル (primary ideal) の共通部分として分解できる（準素分解，じゅんそぶんかい,　primary decomposition）ことを述べている．（準素イデアルは，素イデアルの冪と関連するが，全く同じというわけではない．定理は最初に多項式環と収束冪級数環という特別な場合に対して Emanuel Lasker (1905) によって証明され，Emmy Noether (1921) によって完全に一般的に証明された．
ラスカー・ネーターの定理は算術の基本定理の，あるいはより一般の有限生成アーベル群の基本定理の，すべてのネーター環への拡張である．ラスカー・ネーターの定理は，すべての代数的集合は既約成分の有限個の和集合に一意的に分解できると述べることによって，代数幾何学において重要な役割を果たす．
加群への直截な拡張がある：ネーター環上の有限生成加群のすべての部分加群は準素部分加群の有限交叉である．これは環を自身の上の加群したがってイデアルを部分加群と考えて環に対する場合を特別な場合として含んでいる．これはまた主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理の準素分解形を一般化し，体上の多項式環と言う特別な場合に対して，それは代数的集合の（既約）多様体の有限和への分解を一般化する．
標数 0 の体上の多項式環に対する準素分解を計算する最初のアルゴリズムはネーターの学生 Grete Hermann (1926) によって出版された．分解は非可換ネーター環に対しては一般には成り立たない．ネーターは準素イデアルの交叉ではない右イデアルを持つ非可換ネーターの例を与えた．
最短分解と一意性
この節では，すべての加群はネーター環 R 上有限生成であるとする．
加群 N の部分加群 M の準素分解が最短であるとは，準素加群の個数が最小であることをいう．最短準素分解に対して，準素加群の素因子は一意的に決定される：それらは N/M の素因子である．さらに，極小あるいは孤立素因子（他の素因子を含まない素因子）に伴う準素部分加群も一意である．しかしながら非孤立素因子（幾何学的な理由から埋め込まれた素因子とも呼ばれる）に伴う準素部分加群は一意とは限らない．
例：ある体 k に対して N = R = k[x, y] とし，M をイデアル (xy, y²) とする．このとき M は2つの異なる最短準素分解 M = (y) ∩ (x, y²) = (y) ∩ (x + y, y²) をもつ．極小素因子は (y) であり，埋め込まれた素因子は (x, y) である．
イデアルの加法的理論
この結果は今ではイデアルの加法的理論と呼ばれる分野の初めであり，これはイデアルを特別なクラスのイデアルの共通部分として表す方法を研究する分野である．「特別なクラス」，例えば準素イデアル，の決定は，それ自身問題である．非可換環の場合には，tertiary ideal のクラスが準素イデアルのクラスの代替として有用である．