ヤコビ行列
多様体論におけるヤコビ行列
ここでは、多様体間の写像のヤコビ行列について述べる。
M, N をそれぞれ m 次元、n 次元の Cᵏ (k ≥ 1) 多様体で、f をその間の Cᵏ 級写像だとする。
このとき、f の点 p ∈ M での微分 dfₚ は、点 p における M の接ベクトル空間 TₚM と、点 f(p) における N の接ベクトル空間 Tf₍ₚ₎N の間の線型写像となる。p のまわりの M の局所座標 {x₁, …, xₘ} および f (p) のまわりの N の局所座標 {y ₁, ..., yₙ} を定めると、それぞれの接ベクトル空間における基底が定まる。
この基底に関する dfₚ の表現行列を f の p におけるヤコビ行列と呼ぶ。
写像の微分は局所座標に依存しないが、ヤコビ行列は局所座標の選び方に依存する。
ただし、同じ写像の、局所座標の選び方を変えたヤコビ行列同士は互いに共役である。
この定義は、冒頭の定義の拡張となっている。
M = Rᵐ（の開集合）、N = Rⁿ とし、それぞれに自明な局所座標を選ぶことによって、冒頭の定義と一致する。
極座標系に関する具体例
ここでは、いくつかの極座標系から直交座標系への座標変換で、ヤコビアンがどのようになるか述べる。