アーベルの連続性定理
アーベルの連続性定理とは、収束半径が1の冪級数が収束円周上の点において連続であるための十分条件を与える定理である。冪級数は収束円板の内部で広義一様に絶対収束するが、収束円上の一般の点での挙動はわからない。この定理はそこでの連続性を保証している。数学者ニールス・アーベルにちなんで名付けられた。
定理
係数, 変数が実数の時、この定理は次のようになる。
アーベルの連続性定理（実数版） ―  は収束するとし、中心  、収束半径が1の冪級数を  とおく。ここでは各 ,  は実数とする。このとき、 が  であるようにして1に近づくならば、  は  に近づく。
係数, 変数が複素数の時、この定理は次のように拡張される。
アーベルの連続性定理（複素数版） ―  は収束するとし、中心  、収束半径が1の冪級数を  とおく。ここでは各 ,  は複素数とする。このとき、 が で  が有界であるようにして1に近づくならば、  は  に近づく。
 が有界とは、適当な正の実数 M が存在して  が成立することである。この条件は、「ストルツの角（英: Stolz angle）の中から近づく」という言い方をすることがある。その幾何学的な意味は、実軸上の区間  に対称で1を頂点としてその角が180°より小さい角領域の中に  があるということである。
補足
以上の議論で「冪級数の中心は  」としたが、一般の点を中心としても定理が成り立つ。同じく、「収束半径が1」、「円周上の点  」という仮定も本質的でない。これらは正規化された結果と見るべきであろう。実際、平行移動、拡大縮小、回転を施せば上の議論は一般化できる。