因数分解
整数の因数分解
算術の基本定理により、任意の正の整数は一意的な素因数分解を持つ。整数の因数分解アルゴリズムが与えられたとき、そのアルゴリズムを繰り返し適用して、任意の整数をその構成要素である素数にまで分解しきることができる。しかし、非常に巨大な整数に対して効率のよいアルゴリズムは知られていない。
共通因数でくくる
全ての項に共通している因数でくくり出す。たとえば 2x⁵ − 5x⁴ = x⁴(2x − 5) など。
2数の和と積
(x − α)(x − β) = x² − (α + β)x + αβ という展開を逆向きに使う。x の項の係数と定数項から2数を見つける方法である。根と係数の関係を参照。
例として x² − 5x + 6 を因数分解することを考える。x の項の係数が −5 で定数項が 6 なので、和が 5 で積が 6 となる2数を探す。2 と 3 であることが分かるので、x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) という因数分解の結果を得る。
たすきがけ
2次式を因数分解するときに用いられる、たすきがけとよばれる方法がある。途中計算に引くバツ印の線をたすきの背中側から見た姿になぞらえた名前である。x² の項の係数の正の約数と定数項の約数を組み合わせて x の項の係数を作る。
たとえば 6x² + x − 2 を因数分解することを考える。x² の項の係数 6 の正の約数と定数項 −2 の約数の組み合わせのうち、次のような組み合わせを選ぶ。
この計算で得られた 4 と −3 の和が x の項の係数1と等しいので、× の上の行の数 3 と 2 を使って 3x + 2 という式と作り、同様に下の行の数 2 と −1 を使って 2x − 1 という式を作る。このとき、元の式 6x² + x − 2 はこの2つの式をかけ合わせることで求められるので、6x² + x − 2 = (3x + 2)(2x − 1) という因数分解の結果を得る。
因数定理の利用
因数定理を利用する。すなわち f(x) の値を 0 にする x の値（根）を見つける。f(α) = 0 となったとすれば、x − α が f(x) の因数の1つである。
たとえば 2x⁴ − 5x³ − 8x² + 17x − 6 を因数分解することを考える。この式に x = 1 を代入すると 0 となるので、x − 1 が因数の1つであることが分かる。元の式を x − 1 で除算して、2x⁴ − 5x³ − 8x² + 17x − 6 = (x − 1)(2x³ − 3x² − 11x + 6) となる。
この方法で求めた1次の因数以外の因数（この例では 2x³ − 3x² − 11x + 6）は、何らかの方法で更に因数分解できるかもしれない。この例では x = −2 を代入すると 0 になるので x + 2 も因数だと分かる。
イデアルの準素分解
代数的整数論において、ディオファントス方程式の研究の過程で19世紀の数学者は整数を一般化するものとしての代数的整数を導入した。初期に知られた代数的整数環はガウス整数環やアイゼンシュタイン整数環で、これらは通常の整数の場合と同じくPID（したがってUFD）であった。しかし事はそう都合よくはいかず、すぐにほとんどの代数的整数環がPIDでもUFDでもないことが判明する。もっとも簡単な例として、ℤ[√−5] において 
 は二通りの既約元分解である。
このように分解の一意性が成り立たないことはディオファントス方程式の解法にとって大きな困難をもたらすものであった。例えば、フェルマーの最終定理に対するかなり多く誤った証明が分解の一意性を暗に仮定したことによる誤りを犯していたのである（「真に驚くべき証明を発見したが、この余白はそれを記すには狭すぎる」と書き残したことで知られるピエール・ド・フェルマーもおそらく例外ではあるまい）。この困難を解決したのはリヒャルト・デーデキントで、それは任意の代数的整数環がイデアルの一意な準素分解を持つという形に述べられる。すなわち、これらの環において、任意のイデアルは準素イデアルの積として表され、その分解は因子の順番を除いて一意である。イデアルに関するこの一意分解性質を持つ整域は、こんにちデデキント整域と呼ばれている。デデキント整域は、それを代数的整数論の基礎たらしめる良い性質を多く持つものである。
行列の因子分解
行列環は非可換であり、行列の積は一意分解を与えない（すなわち、ひとつの行列をほかの行列の積として書く方法が一般に複数存在する）から、行列の分解は特定の種類の因子からなるものを考えなければ意味を為さない。例えば、LU分解では下三角行列 L と上三角行列 U の積 LU としての分解を考えるものである。LU分解は常に可能であるわけでなく、一般には第三の因子として置換行列 P を含めたLUP分解を考える。
論理行列は二項関係を表現するもので、行列の積が関係の合成に対応する。論理行列の分解を通して関係を分解することは、difunctional関係のような関係の特質 (nature) の輪郭 (profile) を供与するものである。