写像
写像（しゃぞう、英: mapping, map、 仏: application）とは、二つの集合が与えられたときに、一方の集合の各元に対し、他方の集合のただひとつの元を指定して結びつける対応のことである。函数（関数）、変換、作用素、射などが写像の同義語として用いられることもある。
ブルバキに見られるように、写像は集合とともに現代数学の基礎となる道具の一つである。現代的な立場では、「写像」と（一価の）「函数」は論理的におなじ概念を表すものと理解されているが、歴史的には「函数」の語は解析学に出自を持つものであり、一部には必ずしも写像でないものも函数の名の下におなじ範疇に扱われる（多価函数参照）。文献によっては「数の集合（大抵の場合実数体 R または複素数体 C の部分集合）を終域に持つ写像」をして特に「函数」と呼び、「写像」はより一般の場合に用いる。函数、二項関係、対応の各項も参照のこと。
相等関係
2つの写像 f : A→B、 g : A→B の相等関係について、次が成り立つ：
f = g ⇔ ∀a∈A ( f(a) = g(a) )。
定値写像
X, Y を集合とする。写像 f: X → Y が X の任意の元 x, y に対して f(x) = f(y) をみたすとき、f は定値写像といわれる。X が空でないとき、定値写像とはその像が一元集合となるものである。X が空であるときは、文献によって扱いが異なる。
全射・単射・全単射
右全域性「f: A → B について ran(f) = B」が成り立つとき（つまり値域と終域が一致するとき）、f を A から B への全射という。
左一意性「A の任意の元 a₁, a₂ に対して、a₁ ≠ a₂ ならば f(a₁) ≠ f(a₂)」が成り立つとき、 f を単射という。包含写像は単射である。単射の制限写像も単射である。
A から B への全射 f がさらに単射でもあるとき、f は A から B への全単射であると言われる。定義域を A とする任意の単射 f はあきらかにその値域 f(A) への全単射である。
写像の構成法
既知の写像から別の新たな写像を構成する方法をいくつか示す。
制限と延長
写像の定義域をより小さな部分集合に取り換えることで写像の制限 (restriction) または縮小が定義される。すなわち、写像 f: X → Y と部分集合 S ⊆ X が任意に与えられたとき、任意の s ∈ S に対して f|S(s) := f(s) と置くことにより定義される写像 f|S: S → Y を写像 f の S への（定義域の）制限と呼ぶ。写像 h の適当な制限が f に一致するとき、h は f の延長 (continuation) または拡大もしくは拡張 (extension) であるという。終域の制限や延長を考えることもある。また写像の制限の記号は誤解のおそれが無い限り省略されることも多い。
多変数・多価の写像
写像の多変数化による一般化を考えると、それは始域を何らかの直積集合に取り換えた通常の意味の写像として扱える。とくに一つの集合 M に対して M × M ×…× M → M なる形の多変数写像は M の複数の元から別の新しい元を作り出す操作と見做して算法と呼ばれる。
多値の函数の場合も終域を直積集合に取り換えた写像として定式化することができる場合もあり、例えばベクトル値函数 はスカラー値函数の直積として理解できる。しかし単純にそのように捉えることができない場合、あるいは捉えないほうがよい場合もある。例えば多価の複素解析函数は、分岐切断を超えてそれぞれの分枝の間に素性の良い関係性を記述することができ、適当なリーマン面上で定義された通常の函数と考えることが有効である。
射・函手
写像は集合と写像の圏における射であり、一般に具体圏における射はある種の写像として与えられるが、一般の圏における射は必ずしも写像でない。
圏の間の函手は、集合の間の写像と似た概念だが、対象同士の対応関係とともに対象間の射についても同時に対応関係を記述する。さらに、函手間の射として自然変換の概念が定式化される。