代数方程式
代数的数
左辺の多項式の係数体を K とすると、その代数方程式は、一般には K の中で解けないが、代数方程式が 1 つ与えられたとき、その根を含むような K の拡大体 L の存在が示せる。さらに、K の代数閉包が同型の違いを除いて一意的に存在する。代数閉包 K∧ を一つ固定しておく。K∧ の元 x が、ある K 係数の代数方程式の根となるとき、x は K 上代数的であるという（詳しくは体論に譲る）。特に、複素数 z が有理数体 Q 上代数的ならば、z は代数的数であるという。
整方程式
環 R を係数の環とするモニック（最高次の係数が 1 ）な多項式の根は R 上で整であるという。R が体ならば整であることと代数的であることとは同値である。
概要
代数方程式の根を論理的に特定する方法としては、「数値的解法（近似アルゴリズム）」によるもの、「代数的解法（四則演算と冪根を付加する操作の有限回の組合せ）」によるもの、「超越的解法（楕円モジュラー関数、超幾何級数への代入、四則演算の有限回の組合せ）」によるものなどが挙げられる。後者 2 つは「解の公式」と呼ばれるものを提示する方法である。また、数値的解法は数値解析とも呼ばれ、代数方程式のみならず、たとえば指数関数や対数関数を含む方程式など、一般の方程式にも広く用いられるものである。
4 次以下の方程式には代数的解法による解の公式があることが知られている。5 次より高次の方程式にも超越的方法による解の公式が存在する。よく誤解されていることであるが、一般に言われる「五次方程式は一般には解けない」というのは、代数的解法による解の公式が存在しないことを指しており、全ての代数的数が、考えている代数方程式の係数から、四則演算と冪乗根を取る操作を有限回繰り返すだけで得られるわけではないということである。これはルフィニやアーベルにより示された事実である。その意味で代数的数全体の集合は広い。代数的数という名前に惑わされがちだが、代数的数は必ずしも代数的方法で得られるものばかりではない。
しかし、ガロアが楕円モジュラー関数を用いる超越的方法では一般的解法が存在することを予言し、その遺書に書き残している。ガロアの死後、エルミートは、楕円モジュラー関数による五次方程式の解の公式を導いた。
なお、アーベルもモジュラー方程式の研究を行っていたことから、彼にも解の公式のアイディアがあったであろうと考えられている。エルミートから現在まで、5 次より高次の方程式の解の公式は様々に提案されている。
工学的見地からは、これらの解の公式に拠る解法は計算量的な実用性があまりないため、3 次より高次の方程式は数値計算による解法が一般的である。中には、固有値問題へ帰着して行列の固有値計算のアルゴリズムが用いられることもある。
数値解法
ここでは、数値計算アルゴリズム（基本的には四則演算の無限回の組み合わせ）による解法について述べる。計算機による解法を想定しているが、現在の計算機が本来できる計算としては整数環での演算と論理演算の有限回操作であるため、厳密な意味で計算機では解く事はできない。しかし、浮動小数点数という擬似的な実数表現や複素数の実行列表現なども可能であることより、複素数体が扱えるものと見なす。また与えられた正の値の誤差範囲に収まるまでの反復回数が有限回という保証があるならば、実質無限回の操作も許されると見なす。そういう意味での、近似的な数値解法である。
数値計算アルゴリズムによる解法は、様々な手法が提案され、現在もその進化を続けている。ここでは、ベーシックな手法をいくつか記す。
ニュートン法による解法は、解の候補となる初期値を与え、その解の候補に接する直線を元の代数方程式の近似とみなし、その一次方程式を解くことにより次の解の候補を求める方法である。この操作を、解の候補が予め与えた誤差以内に収まると判定されたならば、解の候補を解の一つとみなし、減次（deflation）を行い次の方程式を求め、再びニュートン法を施す。（収束するならば）二次収束することが解っており、数値解法としては早い。但し、重根に対する収束性の悪さ、初期値によっては収束しない場合も有り得ること、複素数の場合の処理の煩わしさなどがあり、直接ニュートン法で解くという局面は少ない。
複素数の扱いということではベアストウ法という解法がある。これは、二次式の因数分解を行うという操作をコンセプトとする。