分離多項式
数学において、与えられた体 K 上の多項式 P(X) が分離的 (separable) であるとは、K の代数的閉包においてその根が相異なる、つまり、重複を考えない根の個数が多項式の次数に等しいことをいう。
この概念は平方因子をもたない多項式と密接に関係している。K が完全体であれば2つの概念は一致する。一般に、P(X) が分離的であることと、K を含む任意の体上で平方因子をもたないことは同値であり、これは P(X) がその形式微分 P '(X) と互いに素なとき、かつそのときに限り成り立つ。
以前の定義
昔の定義では、P(X) は K[X] におけるその既約因子の各々が現代の定義で分離的であるときに、分離的と考えられていた。例えば、有理数係数の多項式 (X − 1)² はこの意味で分離的である。この定義では、分離性は体 K に依存した。例えば、完全体上の任意の多項式は分離的と考えられていた。例えば、有限体上の一変数有理関数体 Fₚ(t) 上の多項式 Xᵖ − t は、Fₚ(t) の代数的閉包上 (X − t1/ᵖ)ᵖ と分解するので、Fₚ(t) 上では分離的でないが、代数閉包上では分離的であるということになってしまう。（任意の代数閉体は定義によって完全体である。）
この定義は、ガロワ理論には便利かもしれないが、もはや使われていない。
ガロワ理論における応用
分離多項式はガロワ理論において頻繁に現れる。
例えば、P を整数係数の既約多項式として p を P の leading 係数を割らない素数とする。Q を、P の係数を法 p で還元して得られる、p 個の元をもつ有限体上の多項式とする。このとき、Q が分離的であれば（これは有限個を除くすべての p でそうだが）、Q の既約因子の次数は P のガロワ群のある置換のサイクルの長さである。. 
他の例。P を上記のとおりとして、群 G の レゾルベント (resolvent) R は係数が P の係数における多項式であるような多項式であり、P のガロワ群についての情報をいくつか提供してくれる。具体的には、R が分離的で有理根をもてば、P のガロワ群は G に含まれる。例えば、D が P の判別式であれば、X² − D が交代群のレゾルベントである。このレゾルベントは P が既約であればつねに分離的（標数は2でないと仮定する）であるが、たいていのレゾルベントはつねに分離的というわけではない。