ファクトリオン
数学において、ファクトリオン(英: factorion)とは、 各桁の数字の階乗の和がその数自身となる自然数である。例えば、145は、1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145であるためファクトリオンである。
十進法では、ファクトリオンは、1、2、145、40585(オンライン整数列大辞典の数列 A014080)の4つのみである。
ファクトリオン、という名称は、Clifford A. Pickoverが彼の著書、Keys to Infinity の22章、"The Loneliness of the Factorions"で用いた。
上限
nをd桁の自然数であるファクトリオンとすると、10ᵈ ⁻ ¹ ≤ n ≤ 9!d(ただし9!dは9!とdの積の意である)が成り立たなければならない。しかしこれは、d ≥ 8に対し成り立たず、nは最大で7桁であることが分かるため、最初の上限として、9999999が分かる。しかし、7桁の数の各桁の階乗の和は、9!*7 = 2540160なので、2番目の上限は2540160となる。さらに、9!6 = 2177280であり、6つの9があり、2540160より大きくない7桁の自然数は、1999999である。これは、調べれば分かる通りファクトリオンではない。次の最大の和は、1999998である。同様の手順で、次の上限は1854721と分かる。