ジャイロベクトル空間
ジャイロベクトル空間（ジャイロベクトルくうかん、英: gyrovector space）はAbraham A. Ungarによって提案された数学的構造である。ユークリッド幾何学の研究にベクトル空間が用いられるのと同様に、ジャイロベクトル空間は双曲幾何学の研究に用いられる。Ungarは、通常のベクトルが加算に関して群を成す代わりに、加算に関してジャイロ群を成すものとしてジャイロベクトルを定式化した。Ungarは、特殊相対性理論における速度の合成を表すためのローレンツブーストに代わる手法としてジャイロベクトル空間を開発した。これは「ジャイロオペレータ」を導入することで達成されている。ジャイロオペレータは2つの3次元ベクトルから作られ、3次元ベクトルに対する作用素となる。
名称
ジャイロ群（gyrogroup）は弱い結合性を持つ、群に似た構造である。Ungarはジャイロ可換性を持つジャイロ群をジャイロ可換ジャイロ群（gyrocommutative gyrogroup）と呼び、ジャイロ群という用語は必ずしもジャイロ可換ではないジャイロ群を指すように提案した。ジャイロ群はボルループの一種である。ジャイロ可換ジャイロ群はK-ループと一致する。Bruckループやdyadic symsetという用語も使用される。
ジャイロ可換性
ジャイロ群  がジャイロ可換（gyrocommutative）であるとは、二項演算  がジャイロ可換律  を満たすことを言う。特殊相対性理論における速度の加算の観点からは、この性質は1914年にLudwik Silbersteinにより示されたとを関係づける回転を表すものになっている。
Coaddition
ジャイロ群に対して、coadditionと呼ばれる別の演算を定義することができる。coadditionは  により定義される。ジャイロ可換ジャイロ群においてはcoadditionは可換性を持つ。
メビウスジャイロベクトル空間
sを正の定数とする。(V,+,.) を実内積空間とし、Vₛ={v  ∈  V :|v|<s}とする。メビウスジャイロベクトル空間(Vs,  , ) は、メビウスジャイロ群(Vₛ, )にスカラー倍 r v = s tanh(r tanh⁻¹(|v|/s))v/|v| （r は任意の実数、v  ∈ Vₛ, v ≠ 0、 r  0 = 0） を加えたものである。ここで、 v  r = r  vと表記する。
メビウススカラー倍は上述のアインシュタインスカラー倍と一致する。これは、メビウス加算とアインシュタイン加算が平行な2ベクトルに対しては一致することから得られる。
Gyrotrigonometry
Gyrotrigonometryはジャイロの概念を双曲三角法（hyperbolic trigonometry）の研究に用いるものである。
通常研究される双曲三角法はcosh, sinhのような双曲線関数を用いる。一方、球面三角法はcos, sinのようなユークリッド三角関数を用いるが通常の三角形の合同の代わりに球面上の三角形の合同を用いる。Gyrotrigonometryは、普通のユークリッド三角関数を用いつつ、ジャイロ三角形の合同を用いるアプローチである。
三角形の中心
三角形の中心は伝統的にはユークリッド幾何学において考慮される概念であるが、双曲幾何学においても研究の対象となりうる。 gyrotrigonometryを用いると、重心座標系をユークリッド幾何学と双曲幾何学に共通の表現で表すことができる。 表現が一致するためには、 三角形の角の和が180度になるという法則を表現が含まない必要がある。
ジャイロ平行四辺形の加算
gyrotrigonometryを用いると、ジャイロ平行四辺形 （gyroparallelogram）の法則に従うジャイロベクトルの加法が得られる。 実はこれはジャイロ群のcoadditionになっている。ジャイロ平行四辺形の加算は可換である。
ジャイロ中線定理（gyroparallelogram law）は中線定理と似た定理である。普通の平行四辺形の2つの対角線が互いの中点で交わる（中線定理）のと同様に、ジャイロ平行四辺形は2つのジャイロ対角線（gyrodiagonals）が互いのジャイロ中点（gyromidpoints）で交わるような双曲的四角形である。
ブロッホベクトル
ユークリッド3次元空間上の開単位球面に属するブロッホベクトルは、アインシュタイン加算 やメビウス加算を用いて調べられる。
書評
初期のジャイロベクトルに関するある本に対する書評は次のように述べている。
長年、非ユークリッド幾何学的な手法を相対論や電磁気学の問題解決に応用する試みはわずかしか無かった。肯定的な結果も無く後続の研究には魅力も無いという状況では、似たような研究をしようとする人が躊躇ってしまうのは必然である。最近まで、1912年に登場した手法を改良することが誰もできなかったのだ。Ungarの新しい本で、彼は非ユークリッド的手法からこれまで致命的に欠如していた要素を与える。それは、アインシュタインの速度合成の構造を完全に保つエレガントな非結合的代数構造である。