代数的数
代数的数（だいすうてきすう、英: algebraic number）とは、
複素数であって、有理数係数（あるいは同じことだが、分母を払って、
整数係数）の 0 でない一変数多項式の根
（すなわち多項式の値が 0 になるような値）となるものをいう。
すべての整数や有理数は代数的数であり、またすべての整数の冪根も代数的数である。
実数や複素数には代数的数でないものも存在し、そのような数は超越数と呼ばれる。
例えば π や e は超越数である。
ほとんどすべての複素数は超越数である（#集合論的性質）。
代数的整数
代数的数 α を根とする 0 ではない整数係数多項式で、最高次の係数が 1 であるもの（モニック多項式と呼ぶ）が存在するとき、α は代数的整数 (algebraic integer) であるという。代数的数の中で整なものの意味である。特に、整数 や、√2, i は、代数的整数である。整数 0, ±1, ±2, ... ∈ Z を代数的整数のなかで特に区別する必要がある場合、Z の元のことを有理整数 (rational integer) と呼ぶ。
最小多項式
代数的数 α を根とする 0 でない有理数係数多項式のうち、次数が最小で、最高次の係数が 1 であるものを、α の最小多項式 (minimal polynomial) という。最小多項式は、有理係数多項式上既約多項式である。
代数的数 α の最小多項式の次数を、α の次数 (degree) といい、deg α で表す。次数が n であるとき、α は n 次の代数的数であるという。たとえば、有理数は 1 次の代数的数ということができる。また  は、2 次の代数的数である。
共役数
代数的数 α の最小多項式の根を、α の共役数 (conjugate) という。たとえば、 の共役数は、 である。
一般に、n 次の代数的数は、自分自身を含めてちょうど n 個の共役数を持つ。さらに、任意の代数的数 α の共役複素数  は、α の共役数の 1 つである。
ハウス
代数的数 α の全ての共役数の絶対値の最大値を、α のハウス (house) といい、 で表す。
集合論的性質
カントール (G. Cantor) は、1874 年に、 が可算集合であることを証明した。その後、彼は複素数全体の集合が非可算集合であることを証明し、ほとんど全ての複素数は、代数的数ではない、つまり超越数であることが判明した。
しかしながら、代数的でない式によって与えられた数が代数的数であるか否かを判定することは大変難しく、オイラーの定数のように古くから知られていながら、代数的数かどうかどころか、有理数かどうかすら分かっていない数もある。