前加法圏
数学、特に圏論において、前加法圏とは可換群のなすモノイド圏で豊穣化した圏のことである。言い換えると、圏Cが前加法的であるとは、Cの各hom集合 Hom(A,B) が可換群の構造を持ち、さらに射の合成について双線形であることをいう。
可換群の圏 を Ab と書く記法に由来して、前加法圏を「Ab-圏」と呼ぶこともある。著者によっては前加法圏を加法圏と呼ぶこともあるが、ある特別な前加法圏(以下の#特別な場合を参照)のことを加法圏と呼ぶのが最近の傾向である。
基本的な性質
各hom集合 Hom(A,B) は可換群であるので、ゼロ元 0 を持つ。これは、A から B へのゼロ射である。射の合成が双線形であることから、ゼロ射との合成(どちらの向きでも)はまたゼロ射になる。簡単な直観として、合成を乗法のようなものだと思えば、これはゼロとの積がいつでもゼロになることを言っている。この考えを進めると、合成の双線形性は加法に関する乗法の分配法則であることが分かる。
前加法圏のひとつの対象 A に注目すると、これらの事実から自己準同型のhom集合 Hom(A,A) は合成を乗法にとると環になることが分かる。この環はAの自己準同型環である。逆に、全ての(単位元を持つ)環はある前加法圏の自己準同型環である。実際、環 R について、前加法圏 R をただひとつの対象 A を持ち、Hom(A,A) を R とし、合成を環の積とすることで定義することができる。Rは可換群であり乗法は環の双線形(分配法則を満たすこと)であるので、R は前加法圏となる。圏論の研究者は環 R と 圏 R を同じものの異なる表現と考えることがよくある。さらに一部のひねくれた研究者は環をちょうどひとつの対象からなる前加法圏であると定義しようとする(モノイドをひとつの対象からなる圏とみなすことと同様である ― そして、環の加法的な構造を忘れるとモノイドになる)。
このように、前加法圏は環の一般化であるとみることができる。環論の多くの概念、例えばイデアル、ジャコブソン根基、剰余環はこの設定の下でそのまま一般化可能である。この一般化を行う場合は、前加法圏の射を「一般化された環」の「元」だと考えるとよい。この記事ではこれ以上は踏み込まないことにする。
加法的関手
CとDを前加法圏とする。このとき、関手 F: C → D が加法的であるとは、圏Abで豊穣化した関手であることをいう。すなわち、F が加法的であるとは C の各対象 A と B に対して、射関数 f: Hom(A,B) → Hom(F(A),F(B)) が群の準同型であることをいう。前加法圏の研究対象の関手はほとんどが加法的である。
簡単な例として、環 R と S をひとつの対象からなる前加法圏 R と S で表現している場合は、R から S への環の準同型は R から S への加法的関手で表現される。逆もまたいえる。
C が圏であり、 D は前加法圏であるとすると、関手圏 Fun(C,D) もまた前加法圏である。なぜなら、自然変換を自然なやり方で足すことができるからである。さらに C も前加法圏である場合、加法的関手と自然変換からなる圏 Add(C,D) も前加法圏である。
最後の例は環上の加群の一般化を導く。C を前加法圏としたとき、Mod(C) := Add(C,Ab) は C 上の 加群圏 と呼ばれる。C が環 R に対応した前加法的圏である場合は、これは通常の(左)R加群の圏になる。前と同様に、事実上全ての加群の概念は、この方法により一般化できる。
核と余核
前加法圏のhom集合はゼロ射を持っているので、核と余核の概念が意味を持つ。それは、f: A → B を前加法圏の射としたとき、f の核は f と A から B へのゼロ射とのイコライザーであり、fの余核は f とこのゼロ射の余イコライザーである。積と余積の場合と異なり、前加法圏では f の核と余核は一般には等しくない。
可換群や環上の加群に特化すると、核の概念は通常の準同型の核と一致する、ただし、f: A → B の通常の核 K とその埋め込み K → A を同一視する。しかし、一般の前加法圏では核や余核の存在しない射も存在する。
核と余核とhom集合の群構造には便利な関係がある。f と g を平行射とするとき、f と g のイコライザーと g − f の核は片方が存在すれば一致する。同様のことが余イコライザーに関しても成り立つ。この事実から二項イコライザーには「差核」という別の名前がある。
双積と核と余核が全て存在する前加法圏を前アーベル圏と呼ぶ。前加法圏の核と余核は前アーベル圏において主に有用であり、さらに多くの性質を見出すことができる。