コンツェビッチ不変量
数学の結び目理論においてコンツェビッチ不変量(Kontsevich invariant)又はコンツェビッチ積分（Kontsevich integral）とは、反復積分によって定義される結び目または絡み目の不変量である。全ての有限型不変量、特に量子不変量はコンツェビッチ不変量から復元されるため、普遍量子不変量と呼ばれることもある。
1990年代初頭にマキシム・コンツェビッチが定義した。
この項では関連する概念としてヤコビ図についても述べる。
歴史
ヤコビ図は 1990年代前半にコンツェビッチが反復積分による結び目の不変量を定義したときにファインマン図の類似として導入された。その際、特異結び目の特異点の引き戻しを弦(chord)で表し、即ちコード図のみを扱っていた。その後バル-ナタンが 1-3-価グラフとして定式化し、代数的な性質を調べた。彼の論文では「漢字図」(chinese character diagram)と呼ばれている箇所がある。その後コード図、ウェブ図、ファインマン図などと複数の呼称が用いられたが 2000年頃からヤコビ図(Jacobi diagram)という呼称が一般的になっている。これは、IHX 関係式がリー代数のヤコビ恒等式に相当することに由来する。
1990年代後半にグサロフと葉廣和夫が独立に定義したクラスパーによって更に一般的な見地から解釈されている。
定義
K を三次元空間 C× R に埋め込まれたモース結び目とする。つまり、K を S¹ から C× R への写像 s → (z (s), h (s)) と書いたとき、h の臨界点は全て孤立しているとする。更に、h の一つの臨界値に対して、その逆像は一点から成るとする。
歴史
コンツェビッチ不変量はまずコンツェビッチによって反復積分の形で定義された。しかしその定義から、結び目を水平線で幾つかの部分に分割し、部分ごとに不変量の値を求めてもよいことが容易にわかる。実際、レ(Le) と村上順は、結び目の生成系であるタングルを準タングルに拡張し、生成元ごとにコンツェビッチ不変量の値を計算することで組み合わせ的な定義を得た。同時に彼らは紐のねじれ(framing)に対応するコンツェビッチ不変量の値も定式化し、三次元多様体に対する普遍量子不変量への道を開いた(技術的な要請から、反復積分による定義ではヤコビ図(正確にはコード図)に FI 関係式が必要で、紐のねじれの情報は値に反映されなかった)。
コンツェビッチ不変量は本質的に無限級数であるため、その値を決定することは非常に難しい。実際自明な結び目に対する値が決定されたのはにおいてである。