代数体
数学の体論・代数的整数論における代数体（だいすうたい、英: algebraic number field）とは、有理数体の有限次代数拡大体のことである。代数体 K の有理数体上の拡大次数  を、K の次数といい、次数が n である代数体を、n 次の代数体という。
特に、2次の代数体を二次体、1のベキ根を添加した体を円分体という。
K を n 次の代数体とすると、K は単拡大である。つまり、K の元 θ が存在して、K の任意の元 α は、以下の様に表される。
 。但し、 は有理数。
このとき θ は n 次の代数的数であるので、K を  上のベクトル空間とみたとき、 は基底となる。
基本的な概念
以下において、代数体 K の元 α に対して、 を、α の共役数とする。
共役体
K を n 次の代数体とし、 とする。θ の共役数  に対して、
 () を、K の共役体 (conjugate field)という。もし K の共役体が全て K と等しいとき、K はガロア体 (Galois field)または有理数体上のガロア拡大体という。
共役体  が実数の部分体すなわち  が実数であるとき、  を実共役体 (real conjugate field)という。そうでない場合、虚共役体 (imaginary conjugate field)という。
K の共役体のうち、実共役体の個数を 、虚共役体の個数を  とすると、 であり、 は偶数である。
K の全ての共役体が実共役体であるとき、K を総実体 (totally real field) または総実代数体という。また、全ての共役体が虚共役体であるとき、K を総虚体 (totally imaginary field) または総虚代数体という。
イデアル
ここでは、代数体上のイデアルに特化した内容を述べる。
単数
代数体 K に対し、K の元 ε で生成される単項イデアル (ε) が  と等しいとき、ε は、K の単数 (unit)であるという。同値な定義として、 ε および  が共に  の元であるとき、ε は単数である。
単数群
代数体 K に対し、K の単数からなる集合は、可換な乗法群である。これを K の単数群 (unit group) という。
単数基準
代数体 K の基本単数を   とし、
としたとき
とおくと、先に述べた基本単数系になる条件から、 は基本単数系によらず一定の値である。この値を K の単数基準 (regulator) またはレギュレータという。
類数
代数体 K のイデアル類群  は有限群であるが、イデアル類群の位数のことを類数 (class number) という。
無限素点
n次代数体  に対して、θ の共役数を以下の様に並べる：
 は実数で、 に対して、 は複素共役とする。但し、 とする。
 に対して、K 上のアルキメデス付値  を
とおく。但し、 は、実数または複素数の絶対値を K に制限したものである。
すると、これら  個の乗法付値は互いに同値ではない。これらを正規付値 (normal valuation)という。
 に対して、正規付値  に同値な K の乗法付値全体の集合を  とおいたとき、  を無限素点 (infinite prime/infinite place)または無限素因子という。特に、  を実素点 (real prime/real place)、実無限素点または実素因子といい、 を複素素点 (complex prime/complex place)、複素無限素点または虚素因子という。
有限素点
を代数体 K の素イデアルとする。K の 0 でない元 α に対して
但し、 を  と互いに素な分数イデアル、μ を有理整数と表したとき、
によって、K 上の非アルキメデス付値を定める。
すると、 と  が相異なる素イデアルとすれば、 と  は同値ではない。
この乗法付値を  に対する正規付値という。
 と同値な K の乗法付値全体の集合を  としたとき、これを有限素点 (finite prime/finite place)または有限素因子という。
素点
無限素点と有限素点を合わせて素点 (prime/place)または素因子という。 　
積公式
を素点の1つとし、 を  に含まれる正規付値とする。
このとき、K の 0 でない任意の元 α に対して 
が成立する。但し、積は K の素点全てを動くものとする。
つまり、任意の代数体に対して、付値の集合を正規付値全体の集合とすれば、積公式が成立する。