ルベーグの被覆補題
証明
を  の開被覆とする。 はコンパクトだから有限部分被覆  を抜き取ることができる。
各  に対して、 とおいて、関数  を  で定める。
 はコンパクト集合上で連続だから、最小値  を取る。鍵となる観察は  である。もし  が  未満の直径を持つ  の部分集合なら、ある  に対して  となる。ここで  は半径  中心  の球を表す（よって  は  の任意の点としてよい）。 であるから、少なくともひとつ  が存在して  が成り立つ。ところがこのことは  を意味し、したがってとくに  である。
別証明
を  の開被覆とする。どんな  に対しても  は開集合である。なぜなら、各  に対して、 と  の周りのコンパクト -球の間には正の距離  があるから、開 -球もまた  に含まれる。
族  もまた  の開被覆である。 はコンパクトだから、 は有限個の  の和に既に含まれている。また  に対して  となるから、それら有限個は全て、その中のひとつに含まれている。よってある  に対して  が成り立つ。この  はルベーグ数である。