小平次元
応用
小平次元は、全ての代数多様体のいくつかのクラスへの大まかな分類に有効である。
小平次元が低い多様体は、特別であると考えられることに対し、最大な小平次元を持つ多様体は、一般型であると言われている。
幾何学的には、小平次元と曲率の間に非常に大まかな対応関係があり、小平次元が負である場合は正の曲率が対応し、小平次元がゼロの場合は平坦であることが対応し、最大の小平次元（一般型）の場合は負の曲率が対応する。
低い小平次元の多様体の特別な性質は、正の曲率を持つリーマン多様体の特別な性質に類似している（一般型は非正な曲率の全体に対応している）。局所と大域をつなぐ古典的な定理、特に、挟まれた断面曲率と正曲率(Positive curvature)を参照のこと。
これらの結果をさらに以下に詳しく述べる。
分類への応用
X を標数 0 の体の上の小平次元が非負の多様体とし、B を X の標準モデル B = Proj R(X, KX) とすると、B の次元は X の小平次元に等しい。自然な写像 X → B が存在して、ブローアップ(blowing up)した X と B から得られる任意の射は、飯高ファイバー構造と呼ばれる。極小モデルとアバンダンス予想は、飯高ファイバー構造の一般のファイバーは、カラビ・ヤウ多様体であるように整形でき、特に小平次元 0 となるであろうことを意味している。さらに、有効な B 上の（一意ではないが） Q-因子 Δ が存在し、ペア (B, Δ) が川又対数端末(klt)、つまり、KB + Δ が豊富であり、X の標準環が (B, Δ) の標準環のある d > 0 倍の次数と同じである。 この意味で、X は一般型の (B, Δ) を底空間と小平次元 0 の多様体の族へ分解する。（注意することは、多様体 B 自身は一般型である必要はない。たとえば、飯高ファイバーが P¹ 上の楕円ファイバーである子だら次元 1 の曲面が存在する。）
上記の予想が正しいとすると、代数多様体の分類は、小平次元−∞, 0 と一般型の場合へとほとんど帰結することができる。小平次元 −∞ と 0 に対しては、分類のアプローチが存在する。極小モデルやアバンダンス予想は、すべての小平次元 −∞ の多様体は、単線織多様体であり、標数 0 上のすべての単線織多様体はファノファイバー空間と双有理同値であることが知られている。極小モデルとアバンダンス予想は、すべての小平次元 0 の多様体は端末特異点を持つカラビ・ヤウ多様体と双有理同値であることを意味する。
飯高予想は、ファイバーを持つ小平次元が、少なくとも基底空間の小平次元と一般のファイバーの小平次元の和となることを言っている。サーベイは Mori (1987) を参照。飯高予想は、1970年代、1980年代の極小モデル理論の発展を強く促した。多くの場合が、現在でも知られていなく、有名なアバンダンス予想は、極小モデルの理論の主予想に従うという予想である。