トーリック多様体
トーリック多様体（とーりっくたようたい、英toric variety）とは、文字本来の定義では「トーラスという代数多様体がぎっしりと詰まった特殊な代数多様体」のこと。そのため、トーラス埋め込み（torus embedding）とも呼ばれた。代数幾何学で論じられるトーリック多様体は、強凸有理多面錐（cone）の集まりである扇（fan）によって記述ができる。
概要
代数幾何学では、トーリック多様体もしくはトーラス埋め込みは、代数的トーラスを稠密な開部分集合として含み、トーラス自身への作用は多様体全体に拡張が多様体全体に拡張するような代数多様体である。一部の著者は、それが正規(normal)であることも必要としている。トーリック多様体は、代数幾何学の重要で豊富な例証のクラスを形成していて、しばしば定理にとっての検査場所を提供している。トーリック多様体の幾何は、対応する扇の組み合わせ論により完全に決定され、（おかげで）しばしば計算もはるかに扱いやすくなっている。ある特殊な場合、とはいえトーリック多様体のごく一般的なクラスで、この情報は超多面体（polytope）においてもコード化（変換可能な形式に）されており、凸幾何学の問題と強いつながりを持っている。よく知られているトーリック多様体の例としてはアフィン空間や射影空間、射影空間の積および射影空間上方の束がある。
トーラスからのトーリック多様体
トーリック多様体を研究する元々の動機は、トーラスの埋め込みを研究することにあった。代数多様体 T が与えられると、指標の群 Hom(T,Cˣ) は格子を形成する。この格子の部分集合である点Aの集まり
が与えられると、各点はCへの写像を決定し、従ってその集まりは C|A| への写像を決定する。そのような写像の像のザリスキー閉包をとることにより、 アフィン多様体 が得られる。仮に格子点の集まり A が指標格子を生成する場合、この多様体はトーラス埋め込みである。同様のやり方で、上方の写像の射影閉包を取りこむことにより、それを射影空間のアフィンパッチ
の中への写像だと見なすことで、媒介変数表示（以後、パラメータ化）された射影トーリック多様体が生成するのである。
射影トーリック多様体が与えられると、1-パラメータの部分群によりその幾何を精査できるだろうことに気づく。格子内の点によって決定され、指標格子と双対をなす、各々の1-パラメータ部分群は射影トーリック多様体内部の穴あき曲線である。その多様体はコンパクトであるので、この穴あき曲線は一意的な極限点を持つ。したがって、穴あき曲線の極限点で1パラメータの部分群格子を分割することにより、多面体有理錐の集まりである格子扇が得られる。最高次元の錐は、これら穴あき曲線の極限、トーラス不動点に正確に対応している。
扇（fan）のトーリック多様体
N を有限階数の自由アーベル群とする。N内の強凸有理多面錐は原点に頂点を持った凸錐（Nの実ベクトル空間での）であり、原点を通る直線を含まない有限個のNのベクトルにより生成される。これらを以後、簡潔に「錐（cone）」と呼ぶこととする。
各々の錐 σ について、アフィントーリック多様体 Uσ はその双対錐の半群代数のスペクトルである。
扇（fan）とは、交差や面を取りこんでいる閉じた錐の集まりである。
扇のトーリック多様体は、その錐のアフィントーリック多様体を取りこむことによって与えられ、σ が τ の面であるときはいつも Uτの開いた多様体部分集合（subvariety）でUσ を識別することにより、それらを共にくっつけている。逆に、強凸有理錐の全ての扇は対応するトーリック多様体を有する。
トーリック多様体に関連する扇には、多様体に関する重要なデータが凝縮している。例えば、扇にある全ての錐が自由アーベル群 N に対して基底の部分集合によって生成される場合、多様体は滑らかである。
トーリック多様体の射
Δ₁ と Δ₂ が格子 N₁ と N₂ の扇だとする。仮に、f が N₁ から N₂ への線型写像で、Δ₁ のすべての錐の像がΔ₂ の錐の中に含まれる場合、f は対応するトーリック多様体の間に射  f*を引き起こす。写像f： 写像 |Δ₁| → |Δ₂|が全射的（onto）である時に限り、写像 f*が固有であることが成り立つ、ここでの|Δ| はその錐の合併により与えられる扇Δの台（underlying）
となる空間である。
特異点の解消
トーリック多様体は、仮に最大次元の錐が格子の基底から生成されるならば、非特異である。
これは全てのトーリック多様体が、その最大錐を非特異トーリック多様体の錐に細分化することで構築されうる、別のトーリック多様体によって与えられた特異点解消を有することを意味する。
ミラー対称性との関連
トーリック多様体の考え方はミラー対称性にとって有用である、というのも超多面体情報としての特定の扇情報の解釈が、ミラー多様体の幾何学的構成を導くからである。