L-函数
構成
最初に、L-級数(L-series)、無限級数での表現を考える。リーマンゼータ函数のディリクレ級数のような L-函数は、解析接続により複素平面の函数である。一般の構成は L-級数から始め、最初にディリクレ級数を定義し、続いて素数をインデックスとするオイラー積として表現する。オイラー積の収束はある複素上半平面での収束を証明することが見積もりに要求される。従って、定義すべき函数が解析的に複素平面の残りの部分へ解析的に接続できるか否かということが問題となる（おそらく極を持つであろう）。
この問題は、L-函数と呼ばれる複素平面上の有理型函数での解析接続を持つとの予想である。古典的な場合は、級数の表現が収束しないような点でのL-函数の値や振る舞いを含む有益な情報が、既に知られている。一般的には L-函数は、ゼータ函数の多くの知られているタイプを含んでいる。セルバーグクラスは、一連の公理系で L-函数の核となる性質を捉える一つの試みであり、個別の函数というよりも函数のクラスの性質の研究を行おうとしている。
バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想
さらに一般的な L-函数の歴史や未解決の問題への影響の大きな例は、ブライアン・バーチ(Bryan Birch)とピーター・スィナートン＝ダイヤー(Peter Swinnerton-Dyer)により1960年代の前半に発見された予想である。この予想を楕円曲線 E へ適用すると、解決しようとする問題は有理数（もしくは他の大域体）上の楕円曲線のランクについての予想を解こうとする試みである。すなわち、有理点のなす群の生成子のランクを求める問題である。この分野の今までに多くの仕事が L-函数のより良い知見を統一することから始められた。このことは、L-函数の初期の理論のパラダイム的な例を求めることに、いくらか似ている。
一般論の起こり
ラングランズ・プログラムに数年先立つこの発見は、ラングランズプログラムを補うものと見なすことができる。ラングランズの仕事はアルティンのL-函数と大きく関連していて、一般的保型表現についてのヘッケのL-函数同様、数十年も前の発見されている。
ハッセ・ヴェイユのL-函数が有効なL-函数をもたらす役目を果たしたという意味で、このことが緩やかに明らかになってきている。解析的な意味で、解析からの入力であるべきで、このことは保型的な解析を意味する。現在は、一般的な場合は、概念的なレベルで、多くの異なる研究プログラムが統一されている。