佐藤・テイト予想
佐藤・テイト予想(Sato–Tate conjecture)とは、楕円曲線 E と素数 p にたいして定まるある実数 θₚ の分布に関する予想である。もう少し正確には、有理数体上定義された楕円曲線 E を一つ固定したとき、各素数 p での還元 Eₚ は有限体 Fₚ 上の楕円曲線となるが、その楕円曲線 Eₚ の点の数が p を動かしたときある決まった分布になるというものである。
証明と主張の進展
2006年3月18日、ハーバード大学のリチャード・テイラー(Richard Taylor)は、ローラン・クローゼル(Laurent Clozel)やミカエル・ハリス(Michael Harris)やニコラス・シェパード-バロン(Nicholas Shepherd-Barron)との共同研究の結果として、ある条件を満たす総実体上の楕円曲線の佐藤・テイト予想の証明の最終段階を、彼のウェブページに掲載した。 それ以来、3つの論文のうち 2つが出版されている。 さらに、結果はアーサー・セルバーグの跡公式(Arthur–Selberg trace formula)の形を改善する条件となっている。ハリスは、そのような予想されている跡公式から従う 2つの楕円曲線（同種ではない）の積から得られる結果の条件付き証明(conditional proof)を得ている。 2008年7月8日現在、リチャード・テイラーは、彼のウェブサイトへ論文（トーマス・バーネット-ラム(Thomas Barnet-Lamb)、ダヴィッド・ゲラティ(David Geraghty)とミカエル・ハリスの共著）を掲載していて、そこではウェイトが 2 に等しいかまたは大きな任意の非CM正則モジュライ形式についての佐藤・テイト予想へ一般化されたヴァージョンを、直前の論文の本質的にはモジュラ性の結果を改善することで証明したと主張している。 彼らはまた、跡公式に関係するいくつかの問題がミカエル・ハリスの「ブックプロジェクト」 と、Sug Woo Shin との共同研究により解決したと主張している。
一般化
エタール・コホモロジー上のガロア表現に含まれるガロア群のフロベニウス元の分布が、一般化と考えられる。特に、種数が n > 1 の曲線についての予想がある。
ニック・カッツ(Nick Katz)とピーター・サルナック(Peter Sarnak)により開発されたランダム行列モデル では、フロベニウス元の（ユニタリ化された）特性方程式と、コンパクトリー群 USp(2n) = Sp(n) 上のリー群の共役類との間に対応関係を示した。従って、USp(2n) 上のハール測度は分布を与えると予想され、古典的な場合は USp(2) = SU(2) である。