ローレンツ変換
概要
ローレンツ変換は、マイケルソン・モーリーの実験結果を矛盾なく説明する手段として提案された。ローレンツは、時間の流れや光速度はすべての基準座標系において同一と考えたため、「大きな速度で動く座標系では、2点間の距離（物体の長さ）は縮む」というローレンツ収縮を示した。しかし、ローレンツ収縮は実験結果と矛盾した。後に、アインシュタインは、光速度の不変性と物理法則の相対性（「物理法則はあらゆる慣性系間で同一である」）の 2 つを原理として、特殊相対性理論を築いた。そこでは、ローレンツ変換からの帰結として、時間の進み方が観測者によって異なることが示された。
ガリレイ変換は、等速運動をする慣性系間の座標変換であり、ニュートンの運動方程式は不変な形で変化するが、マクスウェルの方程式では満足されない古典的な座標変換である。ローレンツ変換は、マクスウェル方程式を不変な形で変換する。また慣性系の動く速度 v が、光速度 c に比べて十分小さい場合（v/c → 0 と見なせる場合）を考えると、ローレンツ変換はガリレイ変換を再現する。したがって、非相対論的な極限でガリレイ不変性が成立しているという事実もローレンツ変換で説明できる。
ローレンツ変換のうち、空間と時間が関与する方向への変換をローレンツブースト (英: Lorentz boost) と呼ぶ。特殊相対論が導く、我々の直感に反する事柄のほとんどは、このローレンツブーストからの帰結である。一方で、空間同士が関与する変換はただの空間回転である。
物理的導入
ローレンツ変換は、ある慣性系 S における空間および時間座標（あるいは任意の 4元ベクトル）を、x-軸に沿った S に対する相対速度 v で移動する別の慣性系 S′ へ変換する際に使用される群作用である。原点 (0, 0, 0, 0) を共有する、S における時空座標 (t, x, y, z) と S′ における時空座標 (t′, x′, y′, z′) で記述される事象の座標系は、以下のローレンツ変換によって関連づけられる。
上式で
はローレンツ因子と呼ばれ、c は真空中の光速度を表す。
行列での表現
上の 4 つの方程式は、行列を用いて表現できる。
あるいは、以下のようにも記述できる。
最初の式は、v/c → 0 となる極限において、ガリレイ変換に帰着することを容易に理解できる点で、第 2 の式は、相対論における基本的な不変量である時空間隔 ds² = (cdt)² − dx² − dy² − dz² が保存されることを容易に理解できる点で、それぞれ優れている。
空間ベクトルの分解
任意の方向へのローレンツブーストに際しては、空間ベクトル x を速度 v と平行な垂直成分に  と分解すると都合が良い。v 方向の成分  のみが、ローレンツ因子 γ による変形を受ける。
上の方程式は、行列を用いて以下のように表現できる。
ここで、vᵀ は v の転置行列、I は 3 次単位行列である。
上で注記したように、この変換は 2 つの系で原点が共有されることを要求する。この制約を緩和する形で、ローレンツ変換に時空の平行移動を加えた変換はポアンカレ変換と呼ばれる。
図
慣性系 S と慣性系 S′ の座標格子を重ねて図示すると、ローレンツ変換とガリレイ変換の違いがイメージできる。ガリレイ変換では時刻が等しい点からなる直線（同時刻線）は両慣性系で一致するが、ローレンツ変換では異なる慣性系の同時刻線は互いに傾いている。これはローレンツ変換では、慣性系 S では同時に起きた事象が慣性系 S′ では異なる時刻に起きていることを意味する。これを同時性の崩れという。
歴史
ローレンツはこの変換がマクスウェル方程式を不変な形で変換することを、1900年に発見した。ローレンツは導光性エーテル仮説を信じており、この変換に適切な基礎を提供する相対性理論を発見したのは、アルベルト・アインシュタインであった。
ローレンツ変換は1904年に初めて発表されたが、当時これらの方程式は不完全であった。フランスの数学者アンリ・ポアンカレが、ローレンツの方程式を、今日知られている整合性の取れた 4 つの方程式に修正した。
相対論的解釈
アインシュタインの解釈によれば、観測者に対して運動する物体は縮んで観測される。
例として、x-軸方向に長さを持つ物体が、観測者 A （xyzw-座標系）に対して x-軸正方向に速度 v で等速直線運動する場合を考える (w = ct)。この物体と共に運動する観測者 B （x′y′z′w′-座標系）にはこの物体の長さが l で観測されるとする(w′ = ct′)。これはすなわち、観測者 B にとって同時刻に観測したときに、物体の端と端の x′-座標の値の差が l であることを示す。
t′ = 0 のとき、物体の片端が x′ = 0、もう一方の端が x′ = l にあるとする。このとき、物体の軌跡は {(x′, w′) | 0 ≤ x′ ≤ l} となり、右図薄青部である。ここで、とおくと、x′ = γ(x − βw) であるため、 となる。すなわち、t = 0 のとき、片端は x = 0 に、もう片端は  にあるので、観測者 A にとってこの物体の長さは  となることが分かる（なお、観測者 A にとって (x, w) = (0, l) となる点は、右図点線である双曲線 x² − w² = l と x-軸の交点であることからもローレンツ収縮の影響がわかる）。