セルバーグクラス
予想の結果
予想 1 と 2 は、F が s = 1 で位数 m の極を持つと、F(s)/ζ(s)ᵐ は整函数であることを示唆している。特にこの結果は、デデキント予想を含んでいる。
ラム・ムーティ(M. Ram Murty)は (Murty 1994) で、予想 1 と 2 はアルティン予想(Artin conjecture)を含むことを示した。実際、ムーティは、有理数の可解拡大(solvable extension)のガロア群に対応するアルティンのL-函数が、ラングランズ予想により予想されるように、保型表現であることを示した。
S の函数は、素数定理の類似をも満たす。F(s) は直線 Re(s) = 1 上のゼロ点を持たない。上記のように、予想 1 と 2 は S の中の函数の原始的な函数への一意的な分解を意味する。他の結果としては、F が原始的であれば、nF = 1 と同値である。