無限論理
概要
いくつかの無限論理は標準的な一階述語論理とは異なる性質を持つ。特に、無限論理はコンパクト性や完全性を満たさないことが多い。コンパクト性や完全性の概念は、有限論理においては等価であることもあるが、無限論理においてはそうではない。無限論理においては強いコンパクト性や強い完全性の概念が定義される。この記事では、ヒルベルト型無限論理について主に述べる。この型はかなり研究されてきており、有限論理の最も直接的な拡張を構成している。しかしながら、これらは形式化されているまたは研究対象となっている唯一の無限論理ではない。
Ω論理という無限論理が完全かどうかを考察することは連続体仮説の解明につながる。
表記法に関する語および選択公理
無限に長い式・句を伴う言語が存在すると、全ての式を書き下すことは不可能である。この問題を避けるには、多くの都合の良い表記法が使われる。これらの表記法自体は厳密に言うと形式言語の一部ではない。は無限に長い式を表すために用いられる。それが明確ではないところでは、式の列の長さが後で記される。この表記法は曖昧で紛らわしいので、濃度の式の集合の無限の論理和を示すために、のような添字が用いられる。同じ表記法が、例えばのような量化子に応用されることもある。これは各に対する量化子の無限列を表すことを意味する。ここでである。
添字およびの使用法は全て形式無限言語の一部ではない。選択公理は（無限論理が議論されたときによくなされるのだが）実用的な分配性法則を持つために必須であるとして仮定される。
完全性、コンパクト性、そして強い完全性
ある理論は言明のあらゆる集合である。モデルにおける言明の真理は再帰によって定義され、両方が定義されるところの有限論理に対する定義と一致する。理論Tが仮定されると、ある言明はTの全てのモデルにおいて真ならば理論Tに対して妥当（恒真）であると言われる。
論理は、全てのモデルにおいて妥当な全ての文SについてSの証明が存在するならば完全である。Tにおいて妥当な全ての文Sに関するどんな理論Tについても、TからのSの証明が存在するならば、それは強く完全である。無限論理は強く完全でなくても完全であり得る。
濃度の全ての理論Tについて、Tの全ての部分集合Sがモデルを持つならばTはモデルを持つとき、論理はコンパクトである。全ての理論Tについて、Tの全ての部分集合Sがモデルを持つならばTはモデルを持つとき、論理は強くコンパクトである。 ここで、Sは濃度を持つ。もし論理が強くコンパクトかつ完全であるなら、強く完全である。
がコンパクトであるなら、濃度  は弱くコンパクトである。また、が強くコンパクトなら、は強くコンパクトである。
完全無限論理
二つの無限論理は特に完全性が際立っている。それらは、とである。前者は標準的な有限一階論理で、後者は可算サイズの言明だけを許す無限論理である。
もまた強く完全、コンパクト、そして強くコンパクトである。