一般化された複素構造
一般化された複素構造の定義
一般化された複素構造は、滑らかな L の切断の空間が、クーランブラケットの下に閉じているような 一般化された概複素構造のことを言う。
実インデックス
最大イソトロピック部分空間 L の実インデックス r は、 L と L の複素共役との交叉の複素次元である。(T T*)  C の最大イソトロピック部分空間が一般化された概複素構造であることと、r = 0 とは同値である。
標準バンドル
通常の複素幾何学では、一般化された概複素構造と複素ラインバンドルの間に対応関係がある。特別な一般化された概複素構造に対応する複素ラインバンドルは、しばしば 標準バンドル と言われる。通常の場合の標準バンドルを一般化したからである。その切断がピュアスピノルであることから、ピュアスピノルバンドルと呼ばれることもある。
一般化された概複素構造
標準バンドルは M 上の複素微分形式のバンドル Λ*TC の複素次元1の部分バンドルである。ガンマ行列が微分形式とスピノルの間の同型を定義することを思い起こすと、特に偶数と奇数の微分形式は、ワイルスピノルの2つのカイラリティの間の写像である。ベクトルは内積により与えられる微分形式の上へ作用する。1-形式はウェッジ積により微分形式に作用する。このように、バンドル (T  T*)  C の切断は、微分形式の上へ作用する。この作用は、スピノルのクリフォード代数の表現である。
スピノルがクリフォード代数の生成の半分によりゼロとなるときに、ピュアスピノルと言う。スピノルはバンドル Λ*T の切断で、クリフォード代数の生成子はバンドル (T  T*)  C のファイバーである。従って、ピュアスピノルが与えられると、半分の次元の部分バンドル E of (T  T*)  C をゼロにする。そのような部分バンドルは、いつでもイソトロピックであるので、概複素構造を定義するためには、E と E の複素共役の和が (T  T*)  C のすべてとなるようにすればよいだけである。これはピュアスピノルのウェッジ積についてはいつでも正しく、ピュアスピノルの複素共役は最上位の次元の成分をもっている。従って、そのようなピュアスピノルは、一般化された概複素構造を決定する。
一般化された概複素構造が与えられると、ピュアスピノルを任意の複素函数による掛け算による差異を無視すると一意に決定することができる。これらのピュアスピノルの選択は標準バンドルの切断で定義される。
可積分性、その他の構造
特別な複素構造を決定するピュアスピノルが完全形式で閉じている、もしくはより一般的に、ピュアスピノルの外微分がガンマ行列の作用に等価であるとすると、概複素構造は可積分になり、そのようなピュアスピノルは一般化された複素構造に対応する。
さらに、標準バンドルが正則で自明であれば（閉形式である大域的な切断であることを意味する）、一般化されたカラビ-ヤウ構造を決定し、M を一般化されたカラビ-ヤウ多様体と言う。
ダルブーの定理
一般化された複素多様体のすべての正則な点は、微分同相や B-場でのシフトの後でも、開近傍が複素ベクトル空間のデカルト積として Cᵏ および、標準のシンプレクティック形式を持つシンプレクティック空間 R²ⁿ⁻²ᵏ と同じ一般化された複素構造を持つ。この空間は、対角要素が 1 と -1 のみの2つの値からなる2行2列の行列の直和である。
局所正則性
非正則点の近くでは、上の分類定理は適用できない。しかし、任意の点で、一般化された複素多様体は、微分同相と B-場の差異を無視すると、シンプレクティック多様体とその点では複素タイプである一般化された複素多様体の積となる。ポアソン多様体の局所構造のワインシュタインの予想に非常によく似ている。局所構造の残っている問題は複素タイプの点の近くでは一般化された複素構造はどのように見えるのかである。実際、正則ポアソン構造によって、引き起こされると考えられる。
複素多様体
複素微分形式 Λ*TC の空間は、C の中の複素共役によって複素共役作用素を持つ。このことにより、正則と反正則である 1-形式と (m, n)-形式を定義する。これらの微分形式は、m 個の正則成分と n 個の反正則成分をもっている、同次多項式である。特に、すべての (n,0)-形式は、複素函数との積に局所的に関連しており、従ってそれらは複素直線バンドルを形成する。
(n,0)-形式は反正則接ベクトルや正則1-形式でゼロとなるので、ピュアスピノルである。このようにこのラインバンドルは、一般複素構造を定義する標準バンドルとして使うことができる。消滅因子(annihilator)を (TT*)C から複素化された接バンドルへ限定すると、反正則ベクトルバンドルの部分空間を得る。従って、(TT*)C の上の一般化された複素構造は、通常の接バンドル上の複素構造を定義する。
ベクトル場の基底のちょうど半分は正則なので、これらの複素構造はタイプ N である。実際、複素多様体と、複素数と -閉 (2,0)-形式により定義される複素多様体のピュアスピノルをかけて得られる複素多様体は、タイプ N の一般化された複素多様体となる。
カラビ-ヤウ計量 対 カラビ計量
グァルティエリが導入した一般化されたカラビ計量は、ヒッチンにより導入された一般化されたカラビ-ヤウ計量構造よりも強い条件になっている。特に、一般化されたカラビ-ヤウ計量構造は、2つの可換な一般化された概複素構造の存在を意味する。