モチーフ (数学)
ピュアモチーフの定義
ピュアモチーフの圏は、多くの場合 3段階で進行する。以下に、k を任意の体として、周モチーフ(Chow motives) Chow(k) の例を挙げる。
非専門家向けの説明
数学で共通にテクニックを適用することは、この構造を保持する射を持っている圏を導入することで対象を研究することである。従って、どのようなときに与えられた 2つの対象が同型であるかと問うたり、あるいは、「特別に良い」表現がそれぞれのクラスに存在するだろうかと問うことができる。代数多様体の分類、つまり、代数多様体の場合へのこの考え方の適用は、対象が非常に高い非線型構造を持っているため、非常に困難である。双有理同値の下に多様体を研究するというように条件を緩めることは、双有理幾何学の分野へ導かれる。問題を扱うもうひとつの方法として、与えられた多様体 X をより線型な性質の問題へ帰着させる方法がある。すなわち、例えば、ベクトル空間のような線型代数のテクニックを使う扱いやすい対象とすることである。この「線型化」がコホモロジーの名前の下で通常使われている。
いくつかの重要なコホモロジーの理論が存在していて、異なる多様体の構造的側面を反映している。（一部は予想ではあるが、）モチーフ理論(theory of motives)は、代数多様体を線型化する普遍的な方法を見つける試みで、モチーフはこれらの特殊なコホモロジーをすべて埋め込むことのできるコホモロジーを提供しようとしている。例えば、興味深い曲線の不変量である滑らかな射影曲線 C の種数は、整数であり、C の第一ベッチ数の次元として表すことができる。従って、曲線のモチーフは種数の情報を持っているはずである。もちろん、種数はむしろ荒い不変量であり、従って、C のモチーフはこの整数よりも多くの情報を持っている。
モチーフに関連する予想
標準予想は、最初、代数的サイクルとヴェイユコホモロジー論の相互関係の言葉で定式化された。ピュアモチーフの圏はこれらの予想の圏論的なフレームワークを提供する。
標準予想は、非常に難しいと通常考えられていて、一般の場合については未解決である。グロタンディエクはボンビエリ(Bombieri)とともに、標準予想が成り立つことを前提とした条件付きだが、非常に短くエレガントなヴェイユ予想（ドリーニュにより別の方法で証明された）の証明を与え、モチーヴィックなアプローチの深いことを示した。
例えば、キネット標準予想(Künneth standard conjecture)は、代数的サイクル πⁱ ⊂ X × X の存在が（任意のヴェイユコホモロジーに対し）標準射影 H*(X) → Hⁱ(X) ↣ H*(X) を誘導することが、全てのピュアコホモロジーが M がウェイト n の次き分解 n: M = ⊕ GrₙM へ分解することを意味すると言っている。このウェイト（weights)という用語は、同じ分解、いわば滑らかな射影多様体のド・ラームコホモロジーの分解から来る。ホッジ理論を参照。
予想 Dは、数値的な一致とホモロジカル同値(homological equivalence)から始め、ホモロジカルと数値同値の観点からピュアモチーフの同値を意味する。（特に、モチーフの圏の数値的同値はヴェイユコホモロジー論の選択とは独立であるはずである。）ジャンセン(Jannsen)は、1992年、条件付きないでない次の結果を証明した。体の上の（ピュア）モチーフの圏は、アーベル的で半単純な圏であることと、選択された同値関係が数値的であることとは同値である。
ホッジ予想はモチーフを使うとうまく再定式化される。ホッジ予想が成り立つことと、ホッジ実現(Hodge realization)とは同値である。ホッジ実現とは、C の部分体 k 上の）有理係数の任意のピュアモチーフからホッジ構造への関手は、忠実充満関手 H : M(k)Q → HSQ （有理ホッジ構造）である。ここのピュアモチーフはホモロジカル同値の観点からのピュアモチーフを意味する。
同様に、テイト予想(Tate conjecture)はいわゆるテイト実現と同値である。テイト実現とは、モチーフに対してℓ-進コホモロジーを与える関手は忠実充満函手H: M(k)Qℓ → Repℓ(Gal(k)) であるということとなる。（ピュアモチーフはホモロジカル同値の下のピュアモチーフ、基礎体 k の絶対ガロア群の連続表現である。）この函手は、半単純な表現に値を持つ。（このことはホッジ類似(Hodge analogue)の場合には自動的である。）