非有界作用素
小史
非有界作用素の理論は、1920年代後半、量子力学に対する厳密な数学的基盤を構築するという試みから生じた。理論の系統的な発展はジョン・フォン・ノイマン と マーシャル・ストーンによるものであった。非有界作用素を解析するためにグラフを用いる手法は、フォン・ノイマンにより  において導入された(Reed & Simon 1980, Notes to Chapter VIII, page 305)。
対称作用素と自己共役作用素
稠密に定義された作用素 T が、 その定義域のすべての元 x と y に対して を満たすとき、T は対称であるという。つまり、稠密に定義された作用素で T∗ が T の拡張（次節を参照）になっているようなものが対称作用素である。ある作用素 T が対称であるための必要十分条件は、付随する二次形式が実であること、すなわち、数  が、T の定義域内のすべての x に対して実となることである。
さらに
T∗ = T が成り立つとき、作用素 T は自己共役であると言われる。共役作用素は必ず閉なので、自己共役な作用素は特に閉となる。稠密に定義された閉の対称作用素 T が自己共役であるための必要十分条件は、T∗ が対称になることである。対称作用素の中には自己共役でないものもある。
Jを上で用いた写像  とする。稠密に定義された作用素 T に対して、そのグラフΓ(T) が 
J(Γ(T)) と直交するなら、T は対称作用素になる。さらに、  が 
Γ(T) と 
J(Γ(T)) の内部直和になっているなら、T は自己共役である。
作用素 T が稠密に定義された閉対称作用素で、さらに T の定義域上で定義された作用素 
T – i, および 
T + i が両方とも全空間 H への全射であれば、T は自己共役になる 。つまり、H 内のすべての x に対して、T の定義域に含まれるような y と z で 
T y – iy = x および 
Tz + iz = x. を満たすようなものが存在する、ということを意味する。
上記の方法は稠密に定義されていない閉作用素には適用できない。稠密に定義されていない作用素の対称性は、、共役作用素ではなく直接あるいはグラフを通じて定義される。
対称作用素の研究はしばしばその有界変換であるケイリー変換を通じて行われる。
稠密に定義された作用素 T は、もしその二次形式が非負であるなら、すなわち  が T の定義域内のすべての x に対して成立するなら、正あるいは非負と呼ばれる。そのような作用素は、必ず対称である。
稠密に定義されたすべての閉作用素 T に対して、作用素 T∗T は、自己共役かつ正である。
スペクトル定理は、自己共役作用素や正規作用素へと適用されるが、一般的に、稠密に定義された作用素や閉作用素へは適用されない。なぜならば、それらはスペクトルが空となる場合があるからである。
至る所で定義された対称作用素は閉で、したがって有界である。これはヘリンジャー-テープリッツの定理として知られる。
自己共役作用素の重要性
自己共役作用素の類は、数理物理学の分野において本質的に重要となる。すべての自己共役作用素は稠密に定義され、閉かつ対称である。その逆は、有界作用素に対しては成立するが、一般には成立しない。自己共役性は実質、それら三つの性質よりも制限の強いものなのである。自己共役作用素に対しては、有名なスペクトル定理が成り立つ。この定理と一径数ユニタリ群に関するストーンの定理を組み合わせることにより、自己共役作用素は、強連続1パラメータユニタリ群の無限小生成素であるということが示される（自己共役作用素を参照されたい）。そのようなユニタリ群は、古典力学や量子力学の分野における時間発展を表現する上で、特に重要となる。