デカルトの符号法則
デカルトの符号法則とは、実数係数の一変数多項式の根の数の上限を定める法則である。ルネ・デカルトの方法序説の付録 w:La Géométrie において最初に用いられ、後にカール・フリードリヒ・ガウスにより精密化された。あくまで上限であり、正確な根の数を与えるものではないことに注意。
なお、デカルトの符号法則は Budan–Fourier theorem の特別な場合と見ることができる。
デカルトの符号法則
以下、実数係数の一変数多項式  の実数根のうち  であるものを「正の根」、 であるものを「負の根」と呼ぶ。 また、 の係数の符号が変化する回数を  とする。
複素根
代数学の基本定理より、実数係数の n 次一変数多項式  は重複度を含めてちょうど n 個の複素根を有する。一方で0でない実数根の個数は最大で  個である。したがって、 が 0 を実数根としてもたなければ、非実数根の個数の最小値は  で与えられる。
特別な場合
根の数の可能性が 2 ずつ増減するのは、実数係数の多項式において複素根が存在したとき、その複素根が常にペアとして現れるためである。したがって多項式が複素根を有さないことが分かっていれば、根の数を厳密に決めることができる。
発展
無限級数や多変数多項式への応用が存在する。