title: http://1001daneshjo.ir/%D8%B3%DB%8C%D9%86%DA%A9-%DA%A9%D8%A7%D9%84%D9%88%DA%A9%DB%8C%D8%B4%D9%86-%D8%A8%D8%B1%D8%A7%DB%8C-%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D8%A7%D8%AA-%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84/
article: چکیده
  دراین پایان نامه روش های عددی جدیدبرای حل معادلات انتگرالی فردهلم خطی نوع دومباهسته منفرد ضعیف پیشنهادشده است،که آن رابررسی می کنیم.(معادلاتی ازاین نوع اغلب درکاربردهای عملی مانندفیزیکی(طبیعی)ومهندسی،مسائل الکترواستاتیک،مسائل دیریکله،مسائل پتانسیل،مسائل ریاضی از تعادل تابشی ،مسائل انتقال حرارت تابشی،مسائل انتقال ذرات ازاخترفیزیک،مسائل راکتورو تعریفی ازهیدرودینامیکبرهم کنش بین عناصرازیک پلیمر(جسمی که ازترکیب ذرات متشابه الترکیب وازتکرارواحدهایساختمانی یکنواخت ایجادشده باشد.)زنجیری در محلول،بوجودمی آیند.)این روش هابوسیله تواناییهایی ازتقریب سینک باتبدیل هموارسازی،توسعه یافته اند،که این روش برای معادلاتی که بشکلمنفردند،قابل اجراست.این روش رابه معادلات انتگرالی ولتراخطی نوع دوم باهسته منفرد ضعیفبکاربرده ایم،که به عنوان یک مقاله ارائه کرده ایم.مثال های عددی نشان می دهد،که این روشهادارای همگرایی نمایی می باشند،وازاین لحاظ این روش هانتایج معمول ومرسوم راوقتی که فقطچند جمله ای های همگرا بکاربرده شده اند،بهبود بخشیده اند.
  واژه های کلیدی:
  معادله انتگرالی فردهلم،هسته ی منفردضعیف،تقریب سینک،تبدیل هموارسازی.
  فهرست مطالب
  فهرست مطالب
  1.1 تاریخچه معادلات انتگرالی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
  2.1 تعریف معادله انتگرالی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
  3.1 دسته بندی معادلات انتگرالی خطی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
  1.3.1 معادلات انتگرالی خطی فردهلم . . . . . . . . . . . . . . . . 5
  2.3.1 معادلات انتگرالی خطی ولترا . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
  3.3.1 معادلات انتگرال خطی منفرد . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
  4.1 دسته بندی هسته هادر معادلات انتگرالی خطی . . . . . . . . . . . . . . 7
  1.4.1 هسته ی جدایی پذیر . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
  2.4.1 هسته ی پیچشی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
  3.4.1 هسته ی متقارن . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
  4.4.1 هسته ی هرمیتی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
  5.4.1 هسته ی نرمال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
  6.4.1 هسته ی منفردضعیف . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
  5.1 جبرخطی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
  1.5.1 تعریف فضای خطی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
  2.5.1 تعریف ترکیب خطی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
  3.5.1 تعریف مستقل خطی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
  4.5.1 تعریف نگاشت وعملگر . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
  5.5.1 تعریف عملگر خطی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
  6.5.1 تعریف عملگر یک به یک . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
  7.5.1 تعریف عملگر پوشا . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
  8.5.1 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
  9.5.1 تعریف نرم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
  10.5.1 تعریف عملگرکراندار . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
  11.5.1 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
  12.5.1 تعریف دنباله همگرادرفضای خطیX . . . . . . . . . . . . . ا . 11
  13.5.1 تعریف عملگر پیوسته . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
  14.5.1 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
  15.5.1 تعریف نرم برداری . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
  16.5.1 تعریف نرم ماتریسی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
  17.5.1 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
  6.1 معادلات انتگرالی فردهلم منفردباهسته ضعیف ازنوع دوم . . . . . . . . . 13
  1.6.1 تعریف معادلات انتگرالی فردهلم منفردباهسته ضعیف ازنوع دوم . . 13
  7.1 توابع تحلیلی وخواص آنها . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
  1.7.1 تعریف دیسک باز . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
  2.7.1 تعریف نقطه درونی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
  3.7.1 تعریف نقطه مرزی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
  4.7.1 تعریف∂S . . . . . . . . . . . . ا. . . . . . . . . . . . . 14
  5.7.1 تعریف مجموعه باز . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
  6.7.1 تعریف بستارS . . . . . . . . . . . ا. . . . . . . . . . . . 14
  7.7.1 تعریف مجموعه بسته . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
  8.7.1 تعریف مجموعه کراندار . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
  9.7.1 تعریف دنباله همگرادرC . . . . . . . . . . ا. . . . . . . . . 14
  13.7.1 نتیجه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
  14.7.1 تعریف قوسΓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
  15.7.1 تعریف مسیرساده بسته . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
  16.7.1 تعریف دامنه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
  17.7.1 تعریف دامنه جهتدار باجهت مثبت . . . . . . . . . . . . . . . 15
  18.7.1 تعریف دامنهk -همبند . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
  19.7.1 تعریف نگاشت همدیس . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
  20.7.1 تعریف تابع تحلیلی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
  21.7.1 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
  22.7.1 نتیجه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
  23.7.1 تعریف دامنهH. P. (. .). Dd . . . . . . . . .ا . . . . . . . . 18
  24.7.1 تعریف فضای تابعی (Lp(a,bD . . . . . .ا . . . . . . . . . . 20
  25.7.1 تعریف فضای تابعی . . . . . . .ا . . . . . . . . . 20
  26.7.1 تعریف فضای تابعی (HP(Dπd . . . . . . . . ا. . . . . . . . 20
  27.7.1 تعریف فضای تابعی (W(h . . . . . . .ا . . . . . . . . . . 21
  28.7.1 تعریف فضای تابعی (Lβ,γ(D . . . . . . . . . ا . . . . . . . 21
  29.7.1 تعریف فضای تابعی (HC(D . . . . . ا . . . . . . . . . . . 21
  30.7.1 تعریف فضای تابعی (Mα(D . . . . . .ا . . . . . . . . . . 22
  31.7.1 تعریفα -هولدرپیوستگی . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
  2 روش کالوکیشن وتقریب سینک 23
  1.2 روش کالوکیشن وتقریب سینک . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
  1.1.2 روش کالوکیشن . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
  2.1.2 تابع سینک . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
  2.2 تقریب سینک درDd (نوار) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
  1.2.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
  2.2.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
  3.2 تقریب سینک رویΓ برایSE -سینک . . . . . . . . . . . . . . . . 31
  1.3.2 نتیجه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
  2.3.2 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
  3.3.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
  4.2 تقریب سینک رویΓ برایDE -سینک . . . . . . . . . . . . . . . . 35
  1.4.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
  2.4.2 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
  3.4.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
  4.4.2 تبصره . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
  5.2 مربع سازی سینک . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
  1.5.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
  2.5.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
  3.5.2 نتیجه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
  4.5.2 نتیجه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
  3 روش های سینک-کالوکیشن(هم محلی) 44
  1.3 روش های سینک-کالوکیشن(هم محلی) . . . . . . . . . . . . . . . . 45
  1.1.3 برنامهSE – سینک . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
  2.1.3 برنامهDE – سینک . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
  2.3 چگونه مقادیرd وα راتعیین می کنیم . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
  1.2.3 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
  2.2.3 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
  3.2.3 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
  4.2.3 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
  4 تجزیه وتحلیل خطاومثال های عددی
  1.4 تجزیه وتحلیل خطا
  2.1.4 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
  3.1.4 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
  5.1.4 قضیه
  7.1.4 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
  8.1.4 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
  9.1.4 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
  10.1.4 تبصره . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
  2.4 مثال های عددی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
  1.2.4 مثال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
  2.2.4 مثال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
  3.2.4 مثال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
  4.2.4 مثال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
  5.2.4 مثال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
  5 نتیجه گیری 82
  6.0.5 مثال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
  6 پیوست ها
  1.6 خلاصه ای ازالگوریتم روش
  DE
  2.6 اثباتی ازپیوستگی هولدر
  5.2.6 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
  6.2.6 تمرین . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
  7.2.6 تبصره . . . . . . 96
  واژه نامه . . . . . . . . . 97
  کتابنامه 113
  ح
  لیست تصاویر
  16 . . . . . . . . . . . ا . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B١,B٢ 1.1
  2.1 ناحیهDd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ا . . . 18
  3.1 تبدیل ناحیه ها به همΓ ←→ Dd . ا. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
  1.4 همگرایی ازخطاها . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
  63 . . . . . . . . . . . . . ا. . . . . . . . . uSE(t),u(t),Error 2.4
  65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uDE۶۴(t),u(t),Error 7.4
  8.4 همگرایی ازخطاها . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
  67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uSE(t),u(t),Error 9.4
  69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uDE۶۴(t),u(t),Error 14.4
  15.4 همگرایی ازخطاها . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
  71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uSE(t),u(t),Error 16.4
  خ
  22.4 همگرایی ازخطاها
  77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uDE۶۴(t),u(t),Error 28.4
  29.4 همگرایی ازخطاها . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
  79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uSE(t),u(t),Error 30.4
  فصل 1
  معادلات انتگرالی
  مقدمه
  ازآنجاییکه برای بسیاری ازمعادلات انتگرالی نمی توان به روش تحلیلی جواب واقعی پیداکرد،بنابراین مجبورمی شویم ازروش های عددی برای حل اینگونه معادلات انتگرالی استفاده کنیم.درسالهای اخیرمقالات وپایان نامه های زیادی درموردحل اینگونه معادلات انتگرالی به روش های عددیبیان شده اند،که بعضی ازاین روش هاازدقت وسرعت همگرایی بالایی بر خوردارند،دراین پایان نامهیکی ازروش ها،که روش سینک کالوکیشن[1] نامیده می شود را ارائه می دهیم.که می توان این روشرابرای حل اینگونه معادلات انتگرالی خطی با هسته ی منفردضعیف بکاربرد.این پایان نامه شاملفصل های زیرمی باشد .
  درفصل اول به تاریخچه معادلات انتگرالی وانواع آنها می پردازیم.وتعاریف اصلی مطرح میشودکه درفصل های بعدی مورداستفاده قرارمی گیرد.
  درفصل دوم روش کالوکیشن وتقریب سینک و قضایای مربوط به همگرایی روش هاآورده شدهاست.
  درفصل سوم روش های سینک کالوکیشن با برنامه هایSE – سینک وDE – سینک رابرایحل معادلات انتگرالی فردهلم باهسته منفردضعیف ازنوع دوم معرفی شده است.وقضایایی که چگونهمی توان مقادیرd وα راتعیین کرد،آورده شده است.
  درفصل چهارم تجزیه وتحلیل خطاوقضایای مربوط به همگرایی روش هاآورده شده است.ومثالهای عددی بانمودارهای جواب واقعی وجواب بدست آمده ازاین روش هادریک دستگاه مختصاتباهم برای مقادیرمختلفN مقایسه وهمچنین نمودارخطاهم به صورت معمولی وهم به صورتنزولی مرتب شده وماکزیمم خطاEmax مشخص شده است.
  ودرپیوست خلاصه ای ازالگوریتم روشهاواثباتی ازشرط هولدرو واژه نامه آورده شده است.
  1.1 تاریخچه معادلات انتگرالی
  دربسیاری ازرشته های علوم مهندسی مسائلی مطرح ووقتی مدلسازی ریاضی می شوند ، بهمعادلات انتگرالی تبدیل می شوند .نظریه کلی معادلات انتگرالی درقرن اخیربوجودآمده ومطرح شدهاست ، هرچندبعضی ازریاضیدان های قرن نوزدهم بامعادلات خاصی ازاین نوع مواجه شدند.درحلدسته ای ازمعادلات دیفرانسیل معمولی ومعادلات بامشتقات جزئی به معادلاتی برخوردمی کنیم،کهدرآنهاتابع مجهول هم زیرانتگرال وهم بیرون انتگرال ظاهرمی شود.که می توان به مسائلی مانندمسائلبرق ، مخابرات ، نفت ، الکترومغناطیس ، الکترواستاتیک و…اشاره نمود.به طورکلی درمعادلاتی که تابعمجهول زیرعلامت انتگرال قرارمی گیردمعادلات انتگرالی می گویند.ازبعضی مراجع مانند [1، 2] بویسریموند[2] اولین کسی بودکه درسال 1888 اینگونه معادلات رامعادلات انتگرالی نامید.اماظاهراًًتاریخاولیه معادلات انتگرالی به زمان لاپلاس2 برمی گرددکه درسال 1782 برای حل معادلات دیفرانسیلمعمولی ومعادلات تفاضلی خطی تبدیل انتگرالی زیر را
  رابه کاربردونظریه معادلات انتگرال راپایه گذاری کرد.این معادله هم اکنون به عنوان تبدیل لاپلاسمعروف است.شایداولین مثال معکوس یابی انتگرال زیر
  بودکه درسال 1811 توسط فوریه3،طبق فرمول زیرحل شده است.
  ٢که این معادلات برای حل مسائل حرارت،تبدیلات سینوسی وکسینوسی فوریه مطرح شدواساستبدیلات فوریه بنیان نهاده شد.و آبل [3] درسال 1823 درحل مسائل مکانیکی معادله انتگرالی زیر
  مطرح کرد،وجواب آن رادر [22] به صورت زیر
  dt,٠ < α < ١
  تعیین کرد.پواسون 1 درسال 1826 درنظریه مغناطیس معادله زیر
  f(x) = g(x) + λ∫ Γ(xs)f(s)ds
  رامطرح کرد.لیوویل 2 درسال 1832 برای حل برخی ازمعادلات دیفرانسیل ازمعادلات انتگرالی استفادهکرد.ونیومن 3 درسال 1870 برای حل مسأله دیریکله آن رابه معادله انتگرالی تبدیل کرد.وپوانکاره 4درسال 1896 برای حل یک معادله یفرانسیل جزئی،معادلات انتگرال رامطرح کرد.وسرانجام ولترا 5درسال 1896 نظریه معادلات انتگرال راارائه نمود، ودرحدودسال های 1900 فردهلم 6 برای بدستآرودن جواب معادله حرکت موج مجبور به ارائه قضایای فردهلم شد.ویک دسته بندی کلی ازمعادلاتانتگرال خطی راانجام داد،که به آنهاخواهیم پرداخت.دراوایل قرن بیستم دانشمندآلمانی به نام هیلبرتبه تحقیق درمورد معادلات انتگرالی پرداخت که مسائلODE,PDE باشرایط مرزی واولیهرابه صورت یک معادله انتگرالی فرموله کردوتئوری معادلات انتگرال راابداع کرد.هادامارد 7 درسال1902 دومفهوم بدخیمی 8 وخوش خیمی 9 رامطرح کردکه حل دقیق بسیاری ازمعادلات انتگرالیامکان پذیرنبودبعضی ازمعادلات انتگرال بدخیم رامی توان در مسائل ارتباطات،اشعه لیزر،انگشتنگاری،ارتعاشات زلزله،مهندسی پتروشیمی،سازه آبی وخاکی ومخازن نفتی ملاحظه کرد.
  2.1 تعریف معادله انتگرالی
  درهرمعادله ای که تابع مجهول زیرعلامت انتگرال قراربگیردیک معادله انتگرالی نامیده می شود.کهبایدتابع مجهول رابدست آوریم.یک معادله انتگرالی درحالت کلی به صورت زیرمی باشد.
  (k(x,t هسته معادله انتگرالی و (u(x تابع مجهول می باشند. (α(x و (β(x حدودانتگرالگیریوتوابع (k(x,t و (f(x و (g(x ،توابعی معلوم می باشند[ .22]
  3.1 دسته بندی معادلات انتگرالی خطی
  1.3.1 معادلات انتگرالی خطی فردهلم
  درمعادله (1.1) اگرα(x) = a وβ(x) = b توابعی ثابت باشند،معادله رامعادله انتگرالیفردهلم می نامند.که به صورت زیردسته بندی می شوند[ :22]الف- اگر ٠ =(g(x آن رامعادله انتگرالی فردهلم نوع اول می نامند.
  ٠ (2.1)
  - اگر ١ =(g(x آن رامعادله انتگرالی فردهلم نوع دوم می نامند.
  (3.1)
  - اگر ١ =(g(x و ٠ =(f(x آن رامعادله انتگرالی فردهلم همگن می نامند.
  مقطع : کارشناسی ارشد