title: http://1001daneshjo.ir/%D8%AD%D9%84-%D8%B9%D8%AF%D8%AF%DB%8C-%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D8%A7%D8%AA-%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84-%D9%86%D9%88%D8%B9-%D8%A7%D9%88%D9%84/
article: چکیده
  در این پایان نامه حل عددی معادله انتگرال ولترا نوع اول به صورت با استفاده از چندجمله ایهای تیلور پیشنهاد شده است.که آن را مورد بررسی قرار می دهیم و در ادامهآن به بررسی خطای روش مذکور و همچنین بررسی همگرایی آن می پردازیم.معادلات انتگرال ولترانوع اول در زمینه های مختلف علم،از قبیل فیزیک،زیست شناسی،و مهندسی رخ می دهد . در اینروش فاصلهI را به فاصله های فرعی تقسیم کرده سپس حل تقریبی معادله ی انتگرال ولترای نوعاول در هر فاصله با استفاده از چند جمله ایهای تیلور و در مرحله ی بعد همگرایی این روس موردبررسی قرار می گیرد و در پایان چند مثال عددی ارائه خواهیم داد[ .25]
  واژه های کلیدی: معادلات انتگرال نوع اول،چندجمله ای تیلور
  فهرست مطالب
  فهرست مطالب
  لیست جداول
  لیست تصاویر
  تاریخچه 1
  - نمایه
  1.1 مقدمه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
  2.1 مروری بر پیشینه تحقیق . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
  2 مفاهیم مقدماتی 5
  1.2 مقدمه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
  2.2 انواع معادلات انتگرال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
  1.2.2 معادلات انتگرال خطی فردهلم . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
  2.2.2 معادلات انتگرال خطی ولترا . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
  3.2.2 معادلات انتگرال خطی منفرد . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
  3.2 دسته بندی هسته ها در معادلات انتگرال . . . . . . . . . . . . . . . . 9
  1.3.2 هسته جدایی پذیر . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
  2.3.2 هسته پیچشی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
  3.3.2 هسته متقارن . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
  4.3.2 هسته هرمیتی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
  5.3.2 هسته نرمال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
  6.3.2 هسته منفرد ضعیف . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
  7.3.2 هسته2L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
  4.2 جبرخطی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
  1.4.2 تعریف فضای خطی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
  2.4.2 تعریف ترکیب خطی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
  3.4.2 تعریف مستقل خطی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
  4.4.2 تعریف نگاشت وعملگر . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
  5.4.2 تعریف عملگر خطی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
  6.4.2 تعریف عملگر یک به یک . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
  7.4.2 تعریف عملگر پوشا . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
  8.4.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
  9.4.2 تعریف نرم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
  10.4.2 تعریف عملگرکراندار .
  1512.4.2 تعریف دنباله همگرادرفضای خطیX . ا . . . . . . 15
  11.4.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
  13.4.2 تعریف عملگر پیوسته . . . . 16
  15.4.2 فضای هیلبرت مختلط . . . . . . . . . . . 16
  14.4.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
  16.4.2 روش گرام- اشمیت . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
  5.2 تعاریف و قضایای مربوط به معادلات انتگرال . . . . . . . . . . . . . . 18
  1.5.2 فرمول ضرب انتگرال دیریکله . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
  2.5.2 تعریف سری نیومن . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
  3.5.2 تعریف هسته حلال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
  4.5.2 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
  5.5.2 نتیجه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
  6.5.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
  7.5.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
  8.5.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
  6.2 روشهای عددی برای حل معادلات انتگرال . . . . . . . . . . . . . . . 24
  1.6.2 روش تکراری پیکارد . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
  2.6.2 مثال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
  3.6.2 روش تقریب متوالی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
  4.6.2 مثال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
  5.6.2 روش مستقیم یا روش هسته های جدایی پذیر . . . . . . . . . . 29
  6.6.2 مثال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
  7.2 روش های مبتنی بر بسط یا تصویر . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
  1.7.2 روش هم محلی (کالوکیشن) . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
  2.7.2 مثال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
  3.7.2 روش گالرکین . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
  4.7.2 مثال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
  8.2 سری تیلور . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
  1.8.2 تقریب توابع . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
  2.8.2 سری تیلور . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
  3.8.2 قضیه ی نقطه ی میانی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
  4.8.2 همگرایی سری تیلور . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
  5.8.2 شعاع همگرایی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
  6.8.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
  |444444
  |
  45
  46
  | 7.8.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.8.2 قضیه ی تیلور . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.8.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  |
  9.2 شبکه ها . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  1.9.2 تعریف فضای چندجمله ایهای تکه ای . . . . . . . . . . . . .
  |474849||حل عددی معادلات انتگرال نوع اول با استفاده از چند جمله ایهای تیلور1.3 مقدمه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 روش حل تقریبی با استفاده ازچندجمله ای تیلور . . . . . . . . . . . . .||3|
  |525353
  |
  53
  54
  55
  56
  |تجزیه و تحلیل خطا و مثال های عددی1.4 مقدمه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4 مثال های عددی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  |
  1.2.4 مثال)1( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  2.2.4 مثال)2( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  3.2.4 مثال)3( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  4.2.4 مثال)4( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  |4|
  |575858
  |
  59
  60
  61
  61
  61
  66
  |آنالیز همگرایی1.5 مقدمه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.5 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  |
  2.1.5 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  3.1.5 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  4.1.5 تعریف . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  2.5 تجزیه و تحلیل همگرایی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  1.2.5 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  3.5 نتیجه گیری . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  |5|
  |676869||پیوست ها1.6 برنامه عددی محاسبه خطای مطلق بوسیلهMathematica . . . . . .واژه نامه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .||6|
  |79||کتابنامه|
  لیست جداول
  1.2 مقایسه مقدار دقیق و مقدار تقریبی به روش هم محلی (کالوکیشن) . . . . . 35
  1.4 خطای مطلق مثال)1( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
  2.4 خطای مطلق مثال)2( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
  3.4 خطای مطلق مثال)3( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
  4.4 خطای مطلق مثال)4( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
  لیست تصاویر
  1.2 شکل پیکارد . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
  فصل 1
  تاریخچه
  1.1 مقدمه
  نظریه معادلات انتگرال از مهمترین شاخه های آنالیز عددی است و بواسطه تبدیل مسائل مقدار مرزیدر تئوری معادلات با مشتقات جزئی بیشتر است و معادلات انتگرال به طور کلی در علومی مانندفیزیک ،میکانیک،پتروشیمی،ساختمان و پل سازی،اشعه ی لیزر،نیروگاههای هسته ای و راکتورها وغیر کاربردهای فراوان دارد.
  2.1 مروری بر پیشینه تحقیق
  در ابتدا حل معادله انتگرال تحت عنوان معکوس گیری از انتگرال تلقی می شد ولیکن برای اولین باراصطلاح معادلات انتگرال توسط ریموند، [1][2] پیشنهاد شد.
  از سال 1782 لاپلاس،2 یک تبدیل انتگرال را بصورت زیر بیان کرد.
  در جریان تکامل و پیشرفت ریاضیات، فوریه، 3 در سال1181، روی نظریه حرارت کار کرد و تئوریانتگرال فوریه در این سالها شکل گرفت، لذا معمولا گفته میشود که مبدا معادلات انتگرال به تئوریانتگرال فوریه بر می گردد . در سال 1823 آبل در مسائل خود که به مسائل مکانیکی آبل، [3] معروفاست، کاربرد معادلات انتگرال را در چنین مسائلی مطرح نمود. در سال 1826 پواسون، [4] به معادلهانتگرال زیر دست یافت که این معادله قبلا توسط فوریه نیز بدست آمده بود.(1.2)f(x) = g(x) + λ∫ Γ(x,s)f(s)ds
  لیوویل[5]، در سال 1823 بطور مستقل دسته خاصی از معادلات انتگرال را حل کرد و یک قدممهم در راه توسعه معادلات انتگرال توسط وی برداشته شد و آن چگونگی حل بعضی از معادلاتدیفرانسیل به کمک معادلات انتگرال بود.
  اصطلاح نوع اول ودوم که امروزه در مورد معادلات انتگرال بکار برده می شود، اولین بار توسطهیلبرت، [6] پیشنهاد شد، البته قبل از کار هیلبرت، معادله آبل به فرم زیر مطرح بود.
  پوانکاره [7]، در سال 1896 معادله انتگرال زیر را که متناظر با معادلات دیفرانسیل جزئی می باشد،بدست آورد.
  حرکت موج:
  بعد از گذشت چند سال یعنی در حدود سالهای 1900-1903 یک ریاضیدان سوئدی بنام فردهلم3، جهت بدست آوردن جواب مسئله فوق تحقیقاتی را انجام داد و این تحقیقات منجر به ارائه قضایایفردهلم که از قضایای بنیادی معادلات انتگرال هستند، گردید. و در اواخر قرن نوزدهم ولترا4، نظریهعمومی معادلات انتگرال را ارائه نمود.
  ارائه یک سخنرانی توسط اریک هولمگر5، در سال1907 روی کارهای فردهلم علاقه هیلبرت رابه تحقیق در مورد معادلات انتگرال بر انگیخت و او در بسیاری از مسائل ریاضی فیزیک از معادلاتانتگرال بهره گرفت. یکی از کارهای مهم او فرموله کردن مسائل مقدار مرزی به صورت یک معادلهانتگرال است.
  ارتباط معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال و یا مثالهای دیگری در ریاضی فیزیک، یک تکنیکمهم را جهت حل مسائل مقدار اولیه و مقدار مرزی در تئوری معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات بامشتقات جزئی بوجود آورد که یکی از دستاوردهای مهم مطالعه معادلات انتگرال است. ابتدا قضایایفردهلم برای هسته های پیوسته ارائه شد، لیکن بعدها توسط افراد دیگری نظیرکارلمان1، و ریس2،برای هسته های کلی تر تعمیم یافت.
  در اوایل نیمه دوم قرن اخیر، تحقیقات زیادی روی جواب معادله انتگرال بوسیله هرمن ویل، 3در ارتباط با معادله انتگرال صورت گرفت. لیکن از آنجا که در حالت کلی قادر به حل بسیاری ازمعادلات انتگرال که در عمل با آنها مواجه می شویم نیستیم، لذا از آن سالها ، نیاز به روشهای تقریبیو عددی جهت حل معادلات انتگرال آشکار شد.
  فصل 2
  مفاهیم مقدماتی
  1.2 مقدمه
  در این فصل ما ابتدا تعاریف معادلات انتگرال و متداولترین معادلات انتگرال را بیان می کنیم، و سپسپیش نیاز هایی از معادلات انتگرال را عنوان می کنیم.
  تعاریف این بخش بیشتر از مرجع [1، 3، 26، 27] آورده شده است.
  تعریف 2.1.1. ([1]). یک معادله انتگرال معادله ای است که در آن تابع مجهول در زیر یک یا چندعلامت انتگرال قرار دارد.
  نمونه هایی از معادلات انتگرال عبارتند از:
  که در آنها تابع (g(x نامعلوم و توابع دیگر معلوم هستند .
  معادلات انتگرال بسته به نوع تابع مجهول از حیث خطی و غیر خطی بودن و همچنین حدودانتگرال گیری و اینکه تابع مجهول به غیر از زیر علامت انتگرال جای دیگری ظاهر می شود یا نه،انواع مختلفی دارد. که با توجه به کاربردهای وسیع و متنوع معادلات انتگرال در صنعت ، فیزیک،بیولوژی ، شیمی ، مهندسی و غیره و با نامهای خاصی ظاهر می شوند. مراجع [2] و [4] منابع خوبیبرای پی بردن به منشا ظهور این گونه معادلات می باشند.
  2.2 انواع معادلات انتگرال
  تعریف 2.2.1. ([29]). فرم کلی معادلات انتگرال به شکل زیر است :
  که در آن (k(x,t هسته معادله انتگرال و (u(x تابع مجهول می باشند. (α(x و (β(x حدودانتگرال (k(x,t و (f(x و (g(x توابع معلوم هستند.
  در کتابهای مختلف معادلات انتگرال را بصورتهای گوناگونی تقسیم بندی می کنند که متداولترینتقسیم بندی معادلات انتگرال بصورت زیر است :
  1.2.2 معادلات انتگرال خطی فردهلم
  تعریف 2.2.2. ([29]). درمعادله (4.2) اگرα(x) = a وβ(x) = b توابعی ثابت باشند، معادلهرا معادله انتگرال فردهلم می نامند. که به صورت زیردسته بندی می شوند :
  الف- اگر 0=(g(x آن را معادله انتگرال فردهلم نوع اول می نامند.
  ب- اگر 0≠ (g(x باشد که در این صورت بدون اینکه خللی در کلیت وارد شود می توان فرضکرد 1=(g(x و آن رامعادله انتگرال فردهلم نوع دوم می نامند.
  مقطع : کارشناسی ارشد