title: http://1001daneshjo.ir/%D8%B3%DB%8C%D9%86%DA%A9-%DA%A9%D8%A7%D9%84%D9%88%DA%A9%DB%8C%D8%B4%D9%86-%D8%A8%D8%B1%D8%A7%DB%8C-%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D8%A7%D8%AA-%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84/
article: چکیده
  دراین پایان نامه روش هاي عددي جدیدبراي حل معادلات انتگرالی فردهلم خطی نوع دومباهسته منفرد ضعیف پیشنهادشده است،که آن رابررسی می کنیم.(معادلاتی ازاین نوع اغلب درکاربردهاي عملی مانندفیزیکی(طبیعی)ومهندسی،مسائل الکترواستاتیک،مسائل دیریکله،مسائل پتانسیل،مسائل ریاضی از تعادل تابشی ،مسائل انتقال حرارت تابشی،مسائل انتقال ذرات ازاخترفیزیک،مسائل راکتورو تعریفی ازهیدرودینامیکبرهم کنش بین عناصرازیک پلیمر(جسمی که ازترکیب ذرات متشابه الترکیب وازتکرارواحدهايساختمانی یکنواخت ایجادشده باشد.)زنجیري در محلول،بوجودمی آیند.)این روش هابوسیله تواناییهایی ازتقریب سینک باتبدیل هموارسازي،توسعه یافته اند،که این روش براي معادلاتی که بشکلمنفردند،قابل اجراست.این روش رابه معادلات انتگرالی ولتراخطی نوع دوم باهسته منفرد ضعیفبکاربرده ایم،که به عنوان یک مقاله ارائه کرده ایم.مثال هاي عددي نشان می دهد،که این روشهاداراي همگرایی نمایی می باشند،وازاین لحاظ این روش هانتایج معمول ومرسوم راوقتی که فقطچند جمله اي هاي همگرا بکاربرده شده اند،بهبود بخشیده اند.
  واژه هاي کلیدي:
  معادله انتگرالی فردهلم،هسته ي منفردضعیف،تقریب سینک،تبدیل هموارسازي.
  فهرست مطالب
  فهرست مطالب
  1.1 تاریخچه معادلات انتگرالی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
  2.1 تعریف معادله انتگرالی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
  3.1 دسته بندي معادلات انتگرالی خطی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
  1.3.1 معادلات انتگرالی خطی فردهلم . . . . . . . . . . . . . . . . 5
  2.3.1 معادلات انتگرالی خطی ولترا . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
  3.3.1 معادلات انتگرال خطی منفرد . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
  4.1 دسته بندي هسته هادر معادلات انتگرالی خطی . . . . . . . . . . . . . . 7
  1.4.1 هسته ي جدایی پذیر . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
  2.4.1 هسته ي پیچشی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
  3.4.1 هسته ي متقارن . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
  4.4.1 هسته ي هرمیتی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
  5.4.1 هسته ي نرمال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
  6.4.1 هسته ي منفردضعیف . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
  5.1 جبرخطی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
  1.5.1 تعریف فضاي خطی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
  2.5.1 تعریف ترکیب خطی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
  3.5.1 تعریف مستقل خطی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
  4.5.1 تعریف نگاشت وعملگر . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
  5.5.1 تعریف عملگر خطی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
  6.5.1 تعریف عملگر یک به یک . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
  7.5.1 تعریف عملگر پوشا . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
  8.5.1 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
  9.5.1 تعریف نرم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
  10.5.1 تعریف عملگرکراندار . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
  11.5.1 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
  12.5.1 تعریف دنباله همگرادرفضاي خطیX . . . . . . . . . . . . . ا . 11
  13.5.1 تعریف عملگر پیوسته . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
  14.5.1 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
  15.5.1 تعریف نرم برداري . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
  16.5.1 تعریف نرم ماتریسی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
  17.5.1 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
  6.1 معادلات انتگرالی فردهلم منفردباهسته ضعیف ازنوع دوم . . . . . . . . . 13
  1.6.1 تعریف معادلات انتگرالی فردهلم منفردباهسته ضعیف ازنوع دوم . . 13
  7.1 توابع تحلیلی وخواص آنها . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
  1.7.1 تعریف دیسک باز . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
  2.7.1 تعریف نقطه درونی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
  3.7.1 تعریف نقطه مرزي . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
  4.7.1 تعریف∂S . . . . . . . . . . . . ا. . . . . . . . . . . . . 14
  5.7.1 تعریف مجموعه باز . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
  6.7.1 تعریف بستارS . . . . . . . . . . . ا. . . . . . . . . . . . 14
  7.7.1 تعریف مجموعه بسته . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
  8.7.1 تعریف مجموعه کراندار . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
  9.7.1 تعریف دنباله همگرادرC . . . . . . . . . . ا. . . . . . . . . 14
  13.7.1 نتیجه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
  14.7.1 تعریف قوسΓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
  15.7.1 تعریف مسیرساده بسته . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
  16.7.1 تعریف دامنه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
  17.7.1 تعریف دامنه جهتدار باجهت مثبت . . . . . . . . . . . . . . . 15
  18.7.1 تعریف دامنهk -همبند . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
  19.7.1 تعریف نگاشت همدیس . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
  20.7.1 تعریف تابع تحلیلی . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
  21.7.1 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
  22.7.1 نتیجه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
  23.7.1 تعریف دامنهH. P. (. .). Dd . . . . . . . . .ا . . . . . . . . 18
  24.7.1 تعریف فضاي تابعی (Lp(a,bD . . . . . .ا . . . . . . . . . . 20
  25.7.1 تعریف فضاي تابعی . . . . . . .ا . . . . . . . . . 20
  26.7.1 تعریف فضاي تابعی (HP(Dπd . . . . . . . . ا. . . . . . . . 20
  27.7.1 تعریف فضاي تابعی (W(h . . . . . . .ا . . . . . . . . . . 21
  28.7.1 تعریف فضاي تابعی (Lβ,γ(D . . . . . . . . . ا . . . . . . . 21
  29.7.1 تعریف فضاي تابعی (HC(D . . . . . ا . . . . . . . . . . . 21
  30.7.1 تعریف فضاي تابعی (Mα(D . . . . . .ا . . . . . . . . . . 22
  31.7.1 تعریفα -هولدرپیوستگی . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
  2 روش کالوکیشن وتقریب سینک 23
  1.2 روش کالوکیشن وتقریب سینک . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
  1.1.2 روش کالوکیشن . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
  2.1.2 تابع سینک . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
  2.2 تقریب سینک درDd (نوار) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
  1.2.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
  2.2.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
  3.2 تقریب سینک رويΓ برايSE -سینک . . . . . . . . . . . . . . . . 31
  1.3.2 نتیجه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
  2.3.2 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
  3.3.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
  4.2 تقریب سینک رويΓ برايDE -سینک . . . . . . . . . . . . . . . . 35
  1.4.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
  2.4.2 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
  3.4.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
  4.4.2 تبصره . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
  5.2 مربع سازي سینک . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
  1.5.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
  2.5.2 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
  3.5.2 نتیجه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
  4.5.2 نتیجه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
  3 روش هاي سینک-کالوکیشن(هم محلی) 44
  1.3 روش هاي سینک-کالوکیشن(هم محلی) . . . . . . . . . . . . . . . . 45
  1.1.3 برنامهSE – سینک . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
  2.1.3 برنامهDE – سینک . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
  2.3 چگونه مقادیرd وα راتعیین می کنیم . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
  1.2.3 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
  2.2.3 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
  3.2.3 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
  4.2.3 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
  4 تجزیه وتحلیل خطاومثال هاي عددي
  1.4 تجزیه وتحلیل خطا
  2.1.4 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
  3.1.4 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
  5.1.4 قضیه
  7.1.4 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
  8.1.4 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
  9.1.4 قضیه . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
  10.1.4 تبصره . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
  2.4 مثال هاي عددي . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
  1.2.4 مثال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
  2.2.4 مثال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
  3.2.4 مثال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
  4.2.4 مثال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
  5.2.4 مثال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
  5 نتیجه گیري 82
  6.0.5 مثال . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
  6 پیوست ها
  1.6 خلاصه اي ازالگوریتم روش
  DE
  2.6 اثباتی ازپیوستگی هولدر
  5.2.6 لم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
  6.2.6 تمرین . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
  7.2.6 تبصره . . . . . . 96
  واژه نامه . . . . . . . . . 97
  کتابنامه 113
  ح
  لیست تصاویر
  16 . . . . . . . . . . . ا . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B١,B٢ 1.1
  2.1 ناحیهDd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ا . . . 18
  3.1 تبدیل ناحیه ها به همΓ ←→ Dd . ا. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
  1.4 همگرایی ازخطاها . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
  63 . . . . . . . . . . . . . ا. . . . . . . . . uSE(t),u(t),Error 2.4
  65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uDE۶۴(t),u(t),Error 7.4
  8.4 همگرایی ازخطاها . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
  67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uSE(t),u(t),Error 9.4
  69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uDE۶۴(t),u(t),Error 14.4
  15.4 همگرایی ازخطاها . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
  71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uSE(t),u(t),Error 16.4
  خ
  22.4 همگرایی ازخطاها
  77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uDE۶۴(t),u(t),Error 28.4
  29.4 همگرایی ازخطاها . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
  79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uSE(t),u(t),Error 30.4
  فصل 1
  معادلات انتگرالی
  مقدمه
  ازآنجاییکه براي بسیاري ازمعادلات انتگرالی نمی توان به روش تحلیلی جواب واقعی پیداکرد،بنابراین مجبورمی شویم ازروش هاي عددي براي حل اینگونه معادلات انتگرالی استفاده کنیم.درسالهاي اخیرمقالات وپایان نامه هاي زیادي درموردحل اینگونه معادلات انتگرالی به روش هاي عدديبیان شده اند،که بعضی ازاین روش هاازدقت وسرعت همگرایی بالایی بر خوردارند،دراین پایان نامهیکی ازروش ها،که روش سینک کالوکیشن[1] نامیده می شود را ارائه می دهیم.که می توان این روشرابراي حل اینگونه معادلات انتگرالی خطی با هسته ي منفردضعیف بکاربرد.این پایان نامه شاملفصل هاي زیرمی باشد .
  درفصل اول به تاریخچه معادلات انتگرالی وانواع آنها می پردازیم.وتعاریف اصلی مطرح میشودکه درفصل هاي بعدي مورداستفاده قرارمی گیرد.
  درفصل دوم روش کالوکیشن وتقریب سینک و قضایاي مربوط به همگرایی روش هاآورده شدهاست.
  درفصل سوم روش هاي سینک کالوکیشن با برنامه هايSE – سینک وDE – سینک رابرايحل معادلات انتگرالی فردهلم باهسته منفردضعیف ازنوع دوم معرفی شده است.وقضایایی که چگونهمی توان مقادیرd وα راتعیین کرد،آورده شده است.
  درفصل چهارم تجزیه وتحلیل خطاوقضایاي مربوط به همگرایی روش هاآورده شده است.ومثالهاي عددي بانمودارهاي جواب واقعی وجواب بدست آمده ازاین روش هادریک دستگاه مختصاتباهم براي مقادیرمختلفN مقایسه وهمچنین نمودارخطاهم به صورت معمولی وهم به صورتنزولی مرتب شده وماکزیمم خطاEmax مشخص شده است.
  ودرپیوست خلاصه اي ازالگوریتم روشهاواثباتی ازشرط هولدرو واژه نامه آورده شده است.
  1.1 تاریخچه معادلات انتگرالی
  دربسیاري ازرشته هاي علوم مهندسی مسائلی مطرح ووقتی مدلسازي ریاضی می شوند ، بهمعادلات انتگرالی تبدیل می شوند .نظریه کلی معادلات انتگرالی درقرن اخیربوجودآمده ومطرح شدهاست ، هرچندبعضی ازریاضیدان هاي قرن نوزدهم بامعادلات خاصی ازاین نوع مواجه شدند.درحلدسته اي ازمعادلات دیفرانسیل معمولی ومعادلات بامشتقات جزئی به معادلاتی برخوردمی کنیم،کهدرآنهاتابع مجهول هم زیرانتگرال وهم بیرون انتگرال ظاهرمی شود.که می توان به مسائلی مانندمسائلبرق ، مخابرات ، نفت ، الکترومغناطیس ، الکترواستاتیک و…اشاره نمود.به طورکلی درمعادلاتی که تابعمجهول زیرعلامت انتگرال قرارمی گیردمعادلات انتگرالی می گویند.ازبعضی مراجع مانند [1، 2] بویسریموند[2] اولین کسی بودکه درسال 1888 اینگونه معادلات رامعادلات انتگرالی نامید.اماظاهراًًتاریخاولیه معادلات انتگرالی به زمان لاپلاس2 برمی گرددکه درسال 1782 براي حل معادلات دیفرانسیلمعمولی ومعادلات تفاضلی خطی تبدیل انتگرالی زیر را
  رابه کاربردونظریه معادلات انتگرال راپایه گذاري کرد.این معادله هم اکنون به عنوان تبدیل لاپلاسمعروف است.شایداولین مثال معکوس یابی انتگرال زیر
  بودکه درسال 1811 توسط فوریه3،طبق فرمول زیرحل شده است.
  ٢که این معادلات براي حل مسائل حرارت،تبدیلات سینوسی وکسینوسی فوریه مطرح شدواساستبدیلات فوریه بنیان نهاده شد.و آبل [3] درسال 1823 درحل مسائل مکانیکی معادله انتگرالی زیر
  مطرح کرد،وجواب آن رادر [22] به صورت زیر
  dt,٠ < α < ١
  تعیین کرد.پواسون 1 درسال 1826 درنظریه مغناطیس معادله زیر
  f(x) = g(x) + λ∫ Γ(xs)f(s)ds
  رامطرح کرد.لیوویل 2 درسال 1832 براي حل برخی ازمعادلات دیفرانسیل ازمعادلات انتگرالی استفادهکرد.ونیومن 3 درسال 1870 براي حل مسأله دیریکله آن رابه معادله انتگرالی تبدیل کرد.وپوانکاره 4درسال 1896 براي حل یک معادله یفرانسیل جزئی،معادلات انتگرال رامطرح کرد.وسرانجام ولترا 5درسال 1896 نظریه معادلات انتگرال راارائه نمود، ودرحدودسال هاي 1900 فردهلم 6 براي بدستآرودن جواب معادله حرکت موج مجبور به ارائه قضایاي فردهلم شد.ویک دسته بندي کلی ازمعادلاتانتگرال خطی راانجام داد،که به آنهاخواهیم پرداخت.دراوایل قرن بیستم دانشمندآلمانی به نام هیلبرتبه تحقیق درمورد معادلات انتگرالی پرداخت که مسائلODE,PDE باشرایط مرزي واولیهرابه صورت یک معادله انتگرالی فرموله کردوتئوري معادلات انتگرال راابداع کرد.هادامارد 7 درسال1902 دومفهوم بدخیمی 8 وخوش خیمی 9 رامطرح کردکه حل دقیق بسیاري ازمعادلات انتگرالیامکان پذیرنبودبعضی ازمعادلات انتگرال بدخیم رامی توان در مسائل ارتباطات،اشعه لیزر،انگشتنگاري،ارتعاشات زلزله،مهندسی پتروشیمی،سازه آبی وخاکی ومخازن نفتی ملاحظه کرد.
  2.1 تعریف معادله انتگرالی
  درهرمعادله اي که تابع مجهول زیرعلامت انتگرال قراربگیردیک معادله انتگرالی نامیده می شود.کهبایدتابع مجهول رابدست آوریم.یک معادله انتگرالی درحالت کلی به صورت زیرمی باشد.
  (k(x,t هسته معادله انتگرالی و (u(x تابع مجهول می باشند. (α(x و (β(x حدودانتگرالگیريوتوابع (k(x,t و (f(x و (g(x ،توابعی معلوم می باشند[ .22]
  3.1 دسته بندي معادلات انتگرالی خطی
  1.3.1 معادلات انتگرالی خطی فردهلم
  درمعادله (1.1) اگرα(x) = a وβ(x) = b توابعی ثابت باشند،معادله رامعادله انتگرالیفردهلم می نامند.که به صورت زیردسته بندي می شوند[ :22]الف- اگر ٠ =(g(x آن رامعادله انتگرالی فردهلم نوع اول می نامند.
  ٠ (2.1)
  - اگر ١ =(g(x آن رامعادله انتگرالی فردهلم نوع دوم می نامند.
  (3.1)
  - اگر ١ =(g(x و ٠ =(f(x آن رامعادله انتگرالی فردهلم همگن می نامند.
  مقطع : کارشناسی ارشد