---
abstract: |
    В настоящей работе предлагается эксперимент, направленный на поиск примеси стерильных нейтрино с массами в диапазоне 1–8 кэВ путем регистрации электронов от распада трития в пропорциональном счетчике. Примесь может быть обнаружена по специфическому искажению энергетического спектра электронов. Для указанных масс искажение распространяется на весь спектр, что позволяет использовать детекторы с относительно невысоким энергетическим разрешением. Новизна подхода заключается, с одной стороны, в использовании газового пропорционального счетчика с цельнопаяным кварцевым корпусом, позволяющим снимать токовый сигнал напрямую с анодной нити и обеспечивающим высокую стабильность при длительных измерениях. С другой стороны, применение современных цифровых методов регистрации позволит проводить измерения в условиях высокой загрузки — вплоть до 10$^6$ Гц. В результате энергетический спектр электронов от распадов трития, содержащий 10$^{12}$ отсчетов, можно будет набрать примерно за месяц. Такая статистика позволит поставить верхний предел на долю примеси стерильных нейтрино порядка …10$^{-5}$ на уровне достоверности 3$\sigma$ для $m_{s}$ в диапазоне 1–8 кэВ, что на 1…2 порядка лучше современных значений.\
    \
    (Figure captions and some text are in English)
author:
- |
    Д.Н. Абдурашитов, А.И. Берлев, Н.А. Лиховид,\
    А.В. Лохов, И.И. Ткачев, В.Э. Янц
date: |
    *Институт ядерных исследований\
    *Российской академии наук\
    *Москва 117312, Россия***
title: |
    Поиск примеси стерильных нейтрино\
    при регистрации распадов трития\
    в пропорциональном счетчике:\
    новые возможности 
---

Введение {#sec:intro}
========

Ненулевая масса нейтрино и существование темной материи, природа которой неизвестна, свидетельствуют о том, что Стандартная модель физики частиц не полна. К числу наиболее естественных кандидатов на роль темной материи относятся стерильные нейтрино. Эти частицы появляются в большинстве расширений Стандартной модели на случай массивных нейтрино. Стерильные (правые) нейтрино это нейтральные лептоны. Являясь SU(2) синглетами они не участвуют в слабых взаимодействиях. Однако, за исключением специальных вырожденных случаев, они смешиваются с активными (левыми) нейтрино и приводят к появлению дополнительных массовых состояний в спектре. С экспериментальной точки зрения, в пользу существования стерильных нейтрино говорят результаты некоторых осцилляционных экспериментов с короткой базой (LSND и MiniBooNE), реакторная аномалия и результаты калибровки радиохимических экспериментов по измерению потоков солнечных нейтрино, см. обзор [@Abazajian:2012ys]. Эти аномалии можно описать в предположении одного или двух легких стерильных нейтрино с массой порядка электронвольт. Гипотеза о существовании дополнителнительных легких нейтрино не противоречит современным космологическим данным по измерениям анизотропии реликтового излучения [@Hinshaw:2012aka] и по распространенности легких элементов в свете теории первичного нуклеосинтеза [@Izotov:2010ca]. Более того, эта гипотеза может снять [@Ade:2013lmv; @Wyman:2013lza] существующие на сегодняшний день противоречия в наблюдениях Вселенной на малых и больших красных смещениях, а именно: между данными эксперимента Планк, локальными измерениями постоянной Хаббла и имеющейся статистикой больших скоплений галактик. С точки же зрения объяснения темной материи, наиболее интересным является диапазон масс стерильных нейтрино в области 1–10 кэВ [@Dodelson:1993je; @Boyarsky:2009ix].

По аналогии с тремя поколениями фермионов Стандартной модели, можно ожидать, что стерильные правые нейтрино также образуют поколения. Обнаружение одного поколения стерильных нейтрино придаст уверенности в существовании остальных поколений. Если одно из них образует темную материю, соотношение между массой и углом смешивания такого нейтрино существенно ограниченo астрофизическими наблюдениями, такими как поиск гамма-линии от распада стерильных нейтрино в галактических гало [@Boyarsky:2006fg], см. обзор [@Boyarsky:2009ix]. Эти ограничения не распространяются на остальные поколения. В связи с этим прямые лабораторные поиски стерильных нейтрино представляют особенный интерес, как в области значений параметров соответствующих сектору темной материи, так и вне ее. Обнаружение стерильных нейтрино даст ответ сразу на ряд фундаментальных вопросов физики частиц (структура массовой матрицы нейтрино, характер расширения стандартной модели, несохранение лептонного числа), астрофизики и космологии (темная материя).

Поиск примеси массивных нейтрино в ядерных $\beta$-распадах {#sec:beta}
===========================================================

Начало целенаправленных поисков примеси массивных нейтрино в ядерных $\beta$-распадах в лабораторных условиях можно увязывать с оригинальной работой Симпсона [@Simpson1985], в которой было заявлено о наблюдении изгиба в спектре электронов трития в области 1.5 кэВ. Измерения проводились с использованием Si(Li) ППД, в который тритий был внедрен путем имплантации. На основании этого наблюдения был сделан вывод о существовании нейтрино с массой 17.1 кэВ и вероятностью смешивания  3%. После этого Симпсон с соавторами опубликовал еще 2 работы: спектр электронов трития, имплантированного в сверхчистый германиевый ППД [@Hime1989] и спектр электронов $^{35}$S, снятый внешним Si(Li) ППД, без имплантации источника в детектор [@Simpson1989]. В приведенных работах оценка на примесь была снижена до $\sim$0.6%, при этом подтверждалось присутствие тяжелых нейтрино с массой порядка 17 кэВ. Эти результаты привели к всплеску экспериментов, направленных на поиск таких нейтрино в распадах $^{14}$C, $^{63}$Ni, $^{177}$Lu и некоторых других элементов. В целом ряде работ были получены в основном отрицательные результаты, исключавшие выводы Симпсона. Наиболее существенное на текущий момент ограничение на примесь массивных нейтрино было получено на магнитном спектрометре в Университете Цюриха по измерениям спектра электронов $^{63}$Ni. По этим измерениям верхний предел на примесь 17-кэвных нейтрино был оценен в 0.05% на 95% уровне достоверности [@Ni-Holzshun1999].

Несмотря на то, что наличие примеси нейтрино с массой 17 кэВ на уровне 0.6% было опровегнуто независимыми экспериментами, поиск массивных (стерильных) нейтрино в ядерных $\beta$-распадах в лабораторных условиях продолжился, хотя и не с такой интенсивностью. Современные ограничения на величину примеси отражены на Рис. \[u2lim\], где представлены верхние пределы на значение параметра смешивания $U^2_{ex}$ для разных масс нейтрино m$_x$. Рассматривается простой случай смешивания массивных стерильных нейтрино $\nu_x$ с электронным флейворным состоянием активного нейтрино $\nu_e$. Рисунок подготовлен по опубликованным результатам лабораторных экспериментов последнего времени, в которых на основе детального анализа ядерных распадов проводился поиск примеси массивных стерильных нейтрино. Нумерация пределов соответствует следующим экспериментам: 1 – $^{187}$Re [@Re-Galeazzi1978]; 2 – $^3$H [@T-Hiddeman1995]; 3 – $^{63}$Ni [@Ni-Holzshun1999]; 4 – $^{35}$S [@S-Holzschun2000]; 5 – $^{64}$Cu [@Cu-Shreck1983]; 6 – $^{37}$Ar ion recoils [@Ar-Hindi1998]; 7 – $^{38m}$K trap [@K-Trinczek2003]; 8 – $^{20}$F [@F-Deutsch1990]. На этом рисунке не представлены пределы на примесь массивных нейтрино, полученные по тритию на магнитных спектрометрах в Троицке [@Trnumass2012] и в Майнце [@Mainz2012]. Эти эксперименты были нацелены в первую очередь на регистрацию $\beta$-спектра трития вблизи граничной энергии для точного измерения массы $\nu_e$, поэтому пределы на примесь получены для m$_x$ в диапазоне 1–100 эВ. Однако в ближайших планах этих групп (проект KATRIN как продолжение эксперимента в Майнце) стоят измерения спектра в более широком диапазоне, позволяющем поставить пределы для масс порядка нескольких кэВ.

На этом же рисунке показан верхний предел на параметр смешивания, ожидаемый в результате предлагаемого эксперимента (помечен текстом ). Предел получен моделированием экспериментального спектра с обеспеченностью 10$^{12}$ событий; более подробно методика оценки описана ниже, в разделе \[sec:stat\].

Поиск примеси массивных нейтрино в $\beta$-распаде трития в пропорциональном счетчике {#sec:counter}
=====================================================================================

С точки зрения методики обсуждаемого эксперимента наиболее интересны работы [@Bahran1992; @Bahran1995], в которых исследовался $\beta$-спектр трития в газовой пропорциональной камере. Работы выполнялись с целью проверки гипотезы 17-кэвных нейтрино, поэтому в основном на наличие изгиба исследовался участок спектра от 0.8 до 3.5 кэВ. Несмотря на это, некоторые методические особенности указанной работы имеют прямое отношение к предлагаемому эксперименту. В частности, была использована смесь Ar+10%CH$_4$ при давлении 0.5 атм; максимальная скорость счета — 2000 Гц. За 500 часов измерений статистическая обеспеченность по всему спектру составила примерно 10$^9$ событий, при этом в работе не сообщается о замеченной деградации газовой смеси. Далее, отмечено наличие стеночного эффекта, который в основном проявил себя в области малых (до $\sim$3 кэВ) энерговыделений. По этим измерениям верхний предел на примесь 17-кэвных нейтрино также был оценен в 0.2% на 90% уровне достоверности.

Следует отметить одну раннюю работу, также имеющую прямое отношение к предлагаемому эксперименту. Речь идет об измерениях массы электронного (анти)нейтрино по форме $\beta$-спектра трития вблизи граничной энергии. В работах [@Pontecorvo1948; @Pontecorvo1949] был применен цилиндрический пропорциональный счетчик с газовой смесью на основе Xe+Ar+CH$_4$ в различных соотношениях. Активность трития в счетчике не превышала 30000 событий в минуту (500 Гц), о деградации смеси не сообщается. Также отмечается линейность шкалы и стабильность энергетического разрешения. Спектр трития исследовался в области выше 16 кэВ, ограничение на массу нейтрино составило 1 кэВ. С точки зрения методики важным моментом является также отмеченный пренебрежимо малый вклад стеночного эффекта в спектр электронов, начиная с 5 кэВ энерговыделения. И хотя численных оценок вклада стеночного эффекта не приведено, из этих работ можно сделать важный вывод о принципиальной возможности длительного набора спектра при высокой скорости счета в пропорциональном счетчике, так, что вклад от стеночного эффекта будет незначителен.

Новый подход к измерениям спектра электронов от трития в пропорциональном счетчике {#sec:new}
==================================================================================

Как уже было отмечено выше, экспериментальный интерес представляет поиск специфического искажения энергетического спектра электронов в распадах трития, возникающего благодаря гипотетической примеси стерильных нейтрино с массами $m_{s}$ в диапазоне 1–10  кэВ. Как будет показано ниже, для указанных масс искажение распространяется на весь спектр, что позволяет использовать детекторы с относительно невысоким ($\sim$ 10-15%) энергетическим разрешением. Для регистрации электронов будет использован цилиндрический газовый пропорциональный счетчик. Очевидным преимуществом газового счетчика в случае с тритием служит естественное совмещение источника с мишенью, что, в сочетании с низким порогом (вплоть до 0.2 кэВ), дает возможность регистрации практически всего спектра энерговыделений. Благодаря этому преимуществу, газовые детекторы неоднократно выбирались для измерения спектра трития [@Bahran1992; @Pontecorvo1948; @Pontecorvo1949]. Предлагаемый для данной работы счетчик имеет специальную конструкцию — выполняется из кварцевого стекла, с нанесением на внутреннюю поверхность тонкой углеродной пленки, служащей катодом [@Kuzminov1990; @Yants1994]. Цельнопаяный кварцевый корпус обеспечивает, по сравнению с традиционными методами изготовления пропорциональных счетчиков, радикальное улучшение надежности и стабильности работы счетчика, а также возможность работы со счетчиком в широком диапазоне температур — вплоть до 400 C.

Предварительный выбор конструкции счетчика и смеси следующий. Счетчик представляет собой кварцевую трубку $\varnothing$10 мм и толщиной стенки 1 мм. Тонкий ($\sim$1 мкм) слой пиролитического графита (катод) наносится на внутреннюю поверхность трубки разложением изобутана; в качестве анода используется центральная вольфрамовая нить $\varnothing$12 мкм. При заполнении смесью Xe-CH$_4$ и при давлении $\sim$1 атм токовый импульсный сигнал, снимаемый в пропорциональном режиме напрямую с анодной нити, имеет длительность порядка 20 нс по основанию 10%. Запись подробных (с шагом $\sim$1 нс) осциллограмм импульсов обеспечит разрешение по времени порядка 3–5 нс и, как следствие, даст возможность работать с высокой скоростью счета.

Отличительной особенностью предлагаемого эксперимента служит возможность долговременных измерений в условиях высокой скорости поступления событий — порядка …10$^6$ Гц. Возможность длительного стабильного набора данных с высокой скоростью счета распадов $^3$H в пропорциональном счетчике обеспечивается, с одной стороны, подбором условий работы счетчика (оптимальная газовая смесь, не склонная к деградации, термостабилизация счетной аппаратуры и источников высокого напряжения и т.д.). С другой стороны, уровень развития современной цифровой обработки сигналов позволяет обеспечить накопление значительных объемов данных в режиме . При этом не представляет технических затруднений запись формы каждого токового сигнала от счетчика, превысившего предустановленный порог, с дискретизацией порядка 1 нс.

Подобный режим набора реализован в ИЯИ РАН в исследованиях подбаръерного деления ядер на нейтронном спектрометре по времени замедления в свинце (СВЗ-100), а также в исследованиях резонансной структуры нейтронных сечений на времяпролетных спектрометрах РЭПС и РАДЭКС. Экспериментальная техника и метод измерения подробно описаны в работах [@Berlev2007; @Alexeev20101]. В качестве примера использования счетчиков с кварцевым корпусом можно привести эксперимент SAGE по измерению потока солнечных нейтрино [@sage2002], в котором счетчики аналогичной конструкции стабильно работают в течение длительного времени.

Запись детальных осциллограмм импульсных сигналов с высоким разрешением по времени позволяет существенно снизить долю случайных наложений сигналов и осуществить набор значительной статистики в одном детекторе за разумное время. Так, при скорости 10$^6$ Гц за 1 месяц измерений будет набран спектр энерговыделений в счетчике, содержащий около 10$^{12}$ отсчетов в диапазоне 0.5–20 кэВ. Такая статистика позволит поставить верхний предел на долю примеси стерильных нейтрино порядка …10$^{-5}$ на уровне достоверности 3$\sigma$ для $m_{s}$ в диапазоне 1–8 кэВ. Указанный подход для поиска примеси стерильных нейтрино в распадах трития до настоящего времени не применялся. Кроме того, набор спектра электронов распада трития в одном детекторе со статистической обеспеченностью порядка 10$^{12}$ практически во всем диапазоне энергий будет уникальным измерением, не имеющим аналогов — максимальное число событий в спектре трития, полученное когда-либо за одну серию измерений в пропорциональном счетчике, не превышает 10$^{9}$ [@Bahran1992].

Методически описанный подход был уже реализован в работе [@Abd2006]. Однако главной целью этой работы была демонстрация возможностей метода записи осциллограмм импульсных сигналов на примере измерения активности $^{37}$Ar в пропорциональном счетчике в условиях интенсивной загрузки. Для решения этой задачи оказалось достаточно шага оцифровки 10 нс. Токовый импульсный сигнал с анода счетчика формировался предусилителем с характерным временем $\sim$20 нс. Длительность фронта сформированного сигнала составляла 50…70 нс, спада — до 1 мкс; временное разрешение составило 30 нс. В указанной работе не проводились оценки величин систематического искажения спектра $D$ и $C$ (см. раздел \[sec:syst\]), однако по косвенным данным эти параметры можно грубо оценить как $\sim$0.2% и $\sim$1% соответственно. В рамках методических исследований подобные измерения необходимо будет осуществить с упором на оценку именно этих параметров.

Механизм формирования искажения спектра электронов при распаде трития {#sec:analyt}
=====================================================================

Тритий (Z = 1, A = 3) распадается по схеме $$^{3}\text{H} \:\rightarrow \:^{3}\text{He} + e^- + \bar{\nu}_{e},
 \label{eq: tritio}$$ переходя в изотоп гелия $^{3}$He с периодом полураспада $t_{1/2} \simeq 12.3$ лет и энергией $ Q_{\beta}\simeq 18.6$ кэВ. Спин и четность ядер реакции не меняется ($ 1/2^{+} \rightarrow 1/2^{+} $), распад относится к сверхразрешенным фермиевским переходам и электрон испускается в виде $s$-волны. Для разрешенных переходов форма спектра испускаемых электронов определяется выражением $$\frac{dN}{dE} \sim F(Z,E) p E (E_0-E)^2.
 \label{eq:detritio1}$$ Здесь $p,E$ — импульс электрона и его энергия (в единицах $m_e c^2$), $E_0$ — граничная энергия, а $F(Z,E)$ — функция Ферми, учитывающая влияние кулоновского взаимодействия испускаемых электронов с ядром. Ненулевая масса нейтрино $m_{\nu}$ приводит к смещению граничной энергии спектра, которое описывается следующим образом: $$\frac{dN}{dE} \sim F(Z,E) p E (E_0-E) [(E_0-E)^2-(m_{\nu}c^2)^2]^{1/2}.
 \label{eq:detritionu}$$ В случае присутствия массивного стерильного нейтрино ${\nu}_{s}$ флейворное состояние ${\nu}_{e}$ (и, соответственно, $\bar{\nu}_{e} $) может быть записано как комбинация легкого активного (индекс $i$) и тяжелого стерильного массовых состояний:

$$|\nu_{e}\rangle = \sum_{i} U_{ei} |\nu_{i}\rangle +  \sum_{s} U_{es} |\nu_{s}\rangle,
 \label{eq:mixing1}$$ где $U$ — унитарная лептонная матрица смешивания. Без ущерба для общности можно аппроксимировать это выражение смешиванием только 2-х массовых состояний:

$$|\nu_{e}\rangle = U_{el} |\nu_{l}\rangle + U_{es}|\nu_{s}\rangle.
\label{eq:mixing2}$$ Эффективная масса легкого активного нейтрино ($ m_{l} \lesssim $ eV) пренебрежимо мала по сравнению с массой искомого стерильного нейтрино порядка 1 кэВ. В этом случае можно записать спектр электронов распадов трития как [@Shrock1980]

$$\frac{dN}{dE} =  (1-|U_{es}|^2) \frac{dN_{l}}{dE} + |U_{es}|^2 \frac{dN_{s}}{dE},
 \label{eq:spmix}$$ где

$$\frac{dN_{l}}{dE} \sim F(Z=1,E) p E (E_0-E)^2$$ — чистый спектр без примеси стерильного нейтрино и с нулевой массой активного нейтрино, а

$$\frac{dN_{s}}{dE} \sim F(Z=1,E) p E (E_0-E) [(E_0-E)^2-(m_s c^2)^2]^{1/2}$$ — чистый примесный спектр со стерильным нейтрино. Здесь и в дальнейшем мы пренебрегаем спектром конечных состояний молекулярного иона $^{3}$He.

С целью упрощения рассуждений рассмотрим только кинематическую составляющую формы спектра электронов. Для этого избавимся от функции Ферми в аналитических выражениях: чистый спектр без примеси стерильного нейтрино обозначим как $ S_{l} \equiv \frac{dN_{l}}{dE} / F(Z=1,E)$, чистый примесный спектр со стерильным нейтрино обозначим как $ S_{s} \equiv \frac{dN_{s}}{dE} / F(Z=1,E)$, а смешанный спектр — $ S \equiv \frac{dN}{dE} / F(Z=1,E)$. В этом случае возможное искажение спектра испускаемых электронов может выглядеть следующим образом.

На Рис. \[stmix\] показаны составляющие смешанного спектра для искусственного случая $U^2$ = 0.1, $m_s$ = 3 кэВ. Лиловым цветом представлен чистый спектр $S_l$ (без примеси $\nu_s$), синим цветом – этот же спектр с коэффициентом $1-0.1=0.9$. Красный цвет соответствует чистому примесному спектру $S_s$ с коэффициентом 0.1; смешанный спектр $S =0.9 S_l + 0.1 S_s$ показан черной линией. Спектры нормированы на 1, так, что представление по смыслу соответствует плотности вероятности испускания электрона $df$ с энергией в бине шириной $dE$=1 кэВ. Следует отметить, что даже для такого сильного смешивания спектр $S$ практически не отличается от $S_l$; это хорошо видно на вкладке, где представлены спектры во всем диапазоне энергий – черная линия сливается с лиловой. Основное искажение спектра наблюдается на участке, отстоящем от граничной энергии $E_0$ на величину $m_s$ = 3 кэВ – изгиб черной линии в области 15.6 кэВ. \[Stat\]

На Рис. \[tdiff\] показана разность функций плотностей вероятности испускания $S_l - S$, наглядно характеризующая особенности изгиба – острый пик в точке изгиба на фоне искажения формы по всему спектру.

Чувствительность метода: статистическая неопределенность {#sec:stat}
========================================================

Описанное выше поведение дает возможность использовать для оценки величины искажения интегралы по разностному спектру $S_l-S$. Проблема состоит в том, что измеряемый спектр $S_{meas}$ является суперпозицией не содержащего эффекта спектра $S_l$ и собственно эффекта $S_s$, при этом возможность измерить  (беспримесный) спектр $S_l$ принципиально отсутствует. Однако, эта трудность, типичная для широкого круга физических задач, в данном случае смягчается различным влиянием эффекта на разные области спектра. В частности, для оценки параметров беспримесного спектра выглядит целесообразным использовать интервал, соответствующий отрицательной величине разности (большая статистика, меньшее искажение формы спектра по отношению к эталонному). Тем самым  интервал становится эталонным, соответственно  интервал будет контрольным. Нас будет интересовать разница в предполагаемой (на основании фитирования эталонного интервала беспримесным спектром) и фактической скорости счета на контрольном интервале. Предполагаемый эффект будет складываться как из собственно искажения спектра, так и из смещения оценки вследствие влияния примеси стерильного нейтрино на спектр в эталонном интервале. В данном случае эти вклады будут иметь один знак, то есть усиливать эффект. Фактически речь будет идти о проверке гипотезы отсутствия искажений в измеренном спектре.

Очевидно, что граница между эталонным и контрольным интервалами будет зависеть от массы стерильного нейтрино, что в принципе (при наличии эффекта), позволит также оценить ее величину. Поэтому полная процедура обработки в этом подходе должна включать максимизацию эффекта путем подбора оптимальных границ эталонного и контрольного интервалов. Однако, в связи с предварительным характером оценок, при обсчете результатов моделирования эталонный и контрольный интервалы были фиксированными (для упрощения расчетов). Таким образом, приводимые ниже оценки чувствительности являются скорее заниженными.

Эталонным интервалом был выбран участок от 4 до 10 кэВ, содержащий $\sim60\%$ от всего спектра. Нижняя граница участка установлена достаточно высоко с целью ограничить влияние неопределенности функции Ферми $ F(Z=1,E)$. Выбор интервала фитирования вполне произволен и имеет предварительный характер. Получив оценку беспримесного спектра $S_{l}^{fit}$, можно анализировать разность $S_{l}^{fit} - S_{meas}$ на контрольном интервале 10-18 кэВ. Выбор указанных границ интервалов ограничивает диапазон поиска стерильных нейтрино массами 1-8 кэВ.

Высокая скорость счета позволит за разумное время набрать спектр энерговыделений со статистической обеспеченностью порядка 10$^{12}$ событий. Оценим, какой предел на вероятность примеси стерильных нейтрино можно будет поставить на такой статистике. Как уже отмечалось, мерой искажения смешанного спектра можно в первом приближении выбрать интеграл $\mathcal{J}$ разностного спектра на контрольном интервале 10-18 кэВ: $\mathcal{J} = \int_{10}^{18} (S_{l}^{fit} - S_{meas}) dE$. Из выражения для $\frac{dN}{dE}$ ясно, что $\mathcal{J}$ и $U^2$ связаны линейно. Численные значения $\mathcal{J}$, выраженные в долях нормированного спектра для различных масс стерильного нейтрино, представлены в Табл. \[delta\].

  ------------ ------------------- ------------------- ------------------- ------------------- -------------------
   $U^2_{es}$                                                                                  
                        1                   2                   4                   6                   8
   10$^{-3}$    2.7$\cdot10^{-6}$   1.1$\cdot10^{-5}$   4.4$\cdot10^{-5}$   1.0$\cdot10^{-4}$   1.7$\cdot10^{-4}$
   10$^{-4}$    2.7$\cdot10^{-7}$   1.1$\cdot10^{-6}$   4.4$\cdot10^{-6}$   1.0$\cdot10^{-5}$   1.7$\cdot10^{-5}$
   10$^{-5}$    2.7$\cdot10^{-8}$   1.1$\cdot10^{-7}$   4.4$\cdot10^{-7}$   1.0$\cdot10^{-6}$   1.7$\cdot10^{-6}$
  ------------ ------------------- ------------------- ------------------- ------------------- -------------------

  : Значения $\mathcal{J}$, выраженные в долях нормированного спектра для различных масс нейтрино и нескольких значений $U^2_{es}$[]{data-label="delta"}

В случае отсутствия сигнала для каждого значения массы $m_s$ находится наименьшее значение $U^2$, при котором $\mathcal{J}$ все еще превышает статистическую неопределенность на уровне 3$\sigma$. Для статистики 10$^{12}$ этот уровень на интервале 10-18 кэВ составляет $3 \cdot \sqrt{0.35 \cdot 10^{12}} \sim 1.8 \cdot 10^6$ отсчетов, что соответствует доле спектра $\sim 1.8 \cdot 10^{-6}$ \[statlim\]. Из Табл. \[delta\] видно, что для $m_s$ = 1 кэВ только при смешивании порядка $U^2 = 10^{-3}$ значение $\mathcal{J}$ оказывается выше этого уровня. Другими словами, на статистике 10$^{12}$ событий верхний предел на $U^2$ (или статистическая чувствительность эксперимента) для $m_s$ = 1 кэВ составит $10^{-3}$. Для массы $m_s$ = 8 кэВ верхний предел на смешивание составит $\sim10^{-5}$.

Необходимо заметить, что изложенный подход к оценке пределов на данной статистике достаточно груб и носит предварительный характер, как и в случае с выбором эталонного интервала энергий для фитирования беспримесного спектра. Детальное моделирование покажет, можно ли повысить чувствительность, анализируя разностный спектр на предмет специфических особенностей, таких как, например, наличие острого пика (см. Рис. \[tdiff\]).

Вообще говоря, для поиска примеси стерильных нейтрино и оценок чувствительности можно также использовать прямое фитирование спектра с добавлением двух дополнительных параметров - массы тяжелого нейтрино и квадрата синуса угла смешивания. Однако такой способ имеет сильную зависимость от знания теоретического спектра. Более удобным может оказаться применение специальных статистических критериев, построенных, например, с помощью метода квазиоптимальных весов [@FTkachev2006]. Можно показать, что такие критерии достаточно чувствительны к наличию вклада стерильных нейтрино в спектре, но не требуют точного знания теоретического спектра. Такие критерии были построены, например, в [@Lokhov2012] для поиска аномального вклада типа ступеньки в спектре электронов $\beta$-распада трития в эксперименте .

Систематическое искажение амплитудного спектра пропорционального счетчика {#sec:systmodel}
=========================================================================

Факторы систематического воздействия на отклик цилиндрических газовых счетчиков хорошо известны. Основной вклад в отклик счетчика вносит разброс измеряемых амплитуд сигналов, обусловленный в первую очередь статистическим разбросом числа $n$ ион-электронных пар первичной ионизации. Исторически этот разброс характеризуется параметром $R$ (энергетическое разрешение), который по определению равен отношению ширины на $1/2$ высоты (full width at half maximum, f.w.h.m.) отклика счетчика на линию к энергии линии: $R = \frac{f.w.h.m.}{E}$. Полная ширина на полувысоте и дисперсия нормального распределения $\sigma$ связаны соотношением f.w.h.m.=$2.34\cdot\sigma$; оценкой дисперсии для больших чисел служит $\sqrt{n}$. В этом случае $R=2.34\cdot\frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{2.34}{\sqrt{n}}$; в пропорциональном режиме, с газовым усилением порядка 10$^3$, соответственно $R\propto\frac{1}{\sqrt{E}}$, где $E$ — энергия электронов. Для инертных газов средняя энергия, затрачиваемая на образование иона составляет примерно 30 эВ. Электроны с энергией 5.9 кэВ, выбиваемые в рабочем газе счетчика рентгеновским источником $^{55}$Fe, часто применяемого для калибровки, образуют в среднем $\sim$200 электронов первичной ионизации с дисперсией $\sigma\sim\sqrt{200}\sim14$ электронов. Таким образом, отклик счетчика на электроны с энергией 5.9 кэВ в лучшем случае обладает разрешением $R_{5.9}=\frac{2.34}{14}\sim16\%$; для энергии 18 кэВ разрешение составит около 10%.

Значительный вклад в систематику обусловлен формированием подложки в спектре за счет стеночного и краевого эффектов, и характеризуется долей $D$ событий,\[degr\] ушедших в подложку. В рабочей смеси с преобладанием ксенона при 1 атм размер облака первичной ионизации от электрона с энергией $\sim$10 кэВ имеет порядок $l\sim$0.1 мм. В этом случае в счетчике с характерным поперечным размером $L\sim$10 мм доля событий с деградацией энергии (стеночный эффект) составит $\frac{l}{L}\sim$1%. Специальная конструкция счетчика (конусная форма торцов) и достаточная длина ($\sim$200 мм) позволяет довести долю краевого эффекта до величины порядка $\sim$0.1% (см., например, [@Abd1994]).

При высокой скорости счета начинают играть роль случайные совпадения (наложения) событий. Скорость счета совпавших событий $C$ прямо пропорциональна произведению скорости счета и длительности сигнала. Запись формы каждого сигнала обеспечивает разрешение по времени порядка 3[…]{}5 нс, и при скорости счета $\sim$10$^6$ Гц доля неразличимых наложений $C$, искажающих конечный амплитудный спектр, составит величину $\sim$0.1%.

Искажение отклика пропорционального счетчика, обусловленное разрешением, деградацией и неразличимым наложением событий, проиллюстрировано рисунком \[2line\], на котором представлено модельное распределение амплитуд сигналов счетчика. Для наглядности показан отклик на электроны энергий 5 и 15 кэВ. Цветовое обозначение линий следующее: лиловый цвет – исходные линии электронов, каждая интенсивностью 1; синий цвет – размытие с разрешением $R_{5.9}=16\%$; красный цвет – искажение отклика за счет краевого и стеночного эффектов ($D=1\%$); черный цвет соответствует неразличимым наложениям событий с коэффициентом $C=0.1\%$. Амплитудный спектр сигналов счетчика от распадов трития, искаженный таким откликом, представлен на Рис. \[tritmod\].

Чувствительность метода: cистематические факторы {#sec:syst}
================================================

Чувствительность эксперимента, помимо статистической погрешности, зависит также и от величины систематической неопределенности. Количественную оценку воздействия систематических факторов искажения спектра, описанных выше, можно получить, проводя моделирование.

Экспериментальный спектр $S$ с определенной статистикой $N$ и при заданных значениях $m_s$ и $U^2$ случайным образом формируется, используя аналитические выражения для плотности вероятности испускания электронов (см. разд. \[sec:analyt\]). Затем полученный спектр искажается разрешением $R$, подложкой $D$ и наложениями $C$. Таким образом, смоделированный спектр $S$ является функцией указанных параметров:

$$S=S(m_s, U^2, N, R, D, C).$$ Следующим этапом проводится фитирование (подгонка) $S$ чистым беспримесным спектром $S_{l}^{fit}$, искаженным соответствующей систематикой: $$S_{l}^{fit}=S_{l}^{fit}(N,R,D,C).$$ При этом параметры $D$ и $C$ фиксируются, а $N$ и $R$ оставляются свободными, т.е. в результате подгонки получаются конкретные значения $N^{fit}$ и $R^{fit}$, с которыми беспримесный спектр наиболее удовлетворительно укладывается в экспериментальный. Для подгонки использовалась стандартная функция нелинейного фита nlinfit() из пакета Matlab 7.0; фитирование проводилось на участке 4-12 кэВ. В конечном итоге из разности $S_{l}^{fit} - S$ получается оценка сигнала $\mathcal{J}^{fit}$ как интеграл разностного спектра на участке 12-18 кэВ.

С точки зрения оценки систематической неопределенности интерес представляет разброс значений $\mathcal{J}$ при вариациях фиксированных параметров $D$ и $C$. Разброс возникает в том случае, когда модельный спектр $S$ получается при одних значениях $D$ и $C$, а фитирование проводится с другими значениями $D\pm\delta{D}$ и $C\pm\delta{C}$. Такая ситуация моделирует неточное знание $D$ и $C$ в реальном эксперименте и, следовательно, приводит к оценке систематической неопределенности.

В качестве иллюстрации изменения модельного отклика счетчика при вариациях подложки и наложений приведем результаты моделирования разностных спектров для случая $U^2$ = 10$^{-4}$ и $m_s$ = 4 кэВ; модельная статистика N=10$^{12}$. На Рис. \[systD\] представлен разностный спектр $S_{l}^{fit} - S$ с одинаковыми $D$ и $C$ при центральных значениях $D_0$=10$^{-2}$ и $C_0$=10$^{-3}$ (показан точками с ошибками). Здесь же показаны разности в случае, когда фит проводится при других значениях подложки: $D$=$D_0\cdot[1-0.01]$ (синяя линия) и $D$=$D_0\cdot[1+0.01]$ (красная линия). Аналогично этому, на Рис. \[systC\] представлен тот же модельный разностный спектр вместе с фитом при других значениях наложений: $C$=$C_0\cdot[1-0.01]$ (синяя линия) и $C$=$C_0\cdot[1+0.01]$ (красная линия). Из приведенных рисунков отчетливо видно, что даже при небольшой, порядка 1%, неточности в определении $D$ и $C$ сигнал может искажаться значительно, особенно в случае подложки.

Оценка систематической неопределенности, связанной с неточным знанием подложки и наложений, была проведена путем моделирования в отсутствие сигнала стерильных нейтрино в смешанном спектре (случай $U^2$ = 0). Параметры $D$ и $C$ варьировались в пределах $\pm$1% относительно центральных значений $D_0$=10$^{-2}$ и $C_0$=10$^{-3}$ на статистике N=10$^{12}$. Для каждого моделирования фиксировалось значение фиктивного сигнала $\mathcal{J}$, порожденного систематическим воздействием. Результаты сведены в Рис. \[systDC\], на котором представлены значения сигнала в зависимости от изменения $D$ (синяя линия) и от изменения $C$ (черная линия). Две красные линии отмечают границу статистической неопределенности нулевого сигнала на уровне 3$\sigma$, которая для N=10$^{12}$ соответствует 1.8$\cdot10^6$ отсчетов (см. разд. \[sec:stat\]).

Из этого рисунка можно сделать вывод, важный с точки зрения планирования эксперимента. Неточность знания подложки (параметр $D$) воздействует на конечный результат значительно сильнее по сравнению с неточностью наложений $C$. В таком случае, чтобы удержать систематическую неопределенность в пределах статистической, необходимы калибровки, обеспечивающие измерения подложки с точностью $\sim$0.2% и наложений с точностью $\sim$1%.

Обсуждение {#sec:discuss}
==========

Минимизация традиционных факторов систематической погрешности предполагает подбор конструкции счетчика и параметров рабочей смеси, обеспечивающих стабильность его работы в условиях высокой загрузки. Необходимо будет изготовить кварцевые счетчики с углеродным катодным напылением различных диаметров и длины; для различных смесей инертных газов (Ar, Xe и др.) с гасящими добавками CH$_4$, CO$_2$ и др. исследовать оптимальные состав и давление, обеспечивающие быстродействие и долговременную стабильность в изготовленных счетчиках. На основе измерений можно будет выбрать наиболее подходящий счетчик и состав смеси для проведения измерений с $^3$H. Детальные расчеты (численное моделирование) будут необходимы для уточнения вклада различных источников систематической неопределенности. Для калибровочных измерений можно использовать источники внутренние ($^{37}$Ar, 2.8 кэВ) и внешние — $^{55}$Fe, 5.9 кэВ и $^{109}$Cd, 22 кэВ. Следует отметить, что измерения спектра трития предполагается проводить при максимальной загрузке, поэтому калибровать счетчик с рабочим тритиевым заполнением не представляется возможным. По этой причине линейность рабочей шкалы, величину энергетического разрешения и стабильности счетчика оптимально оценивать при помощи калибровочных источников до и после измерений, с аналогичной смесью.

Как показывают предварительные оценки, при средних значениях $D{\sim}10^{-2}$ и $C{\sim}10^{-3}$ с точностью $\pm0.1\%$ и $\pm1\%$ соответственно вклад систематической неопределенности в оценку предела на примесь стерильных нейтрино оказывается сравним с вкладом статистической неопределенности на уровне 3$\sigma$ при общем числе событий в спектре порядка 10$^{12}$. Такая точность измерений подложки может быть достигнута при статистике калибровочных спектров не менее 10$^8$ событий, что не представляет проблем. Необходимо, однако, отметить, что простая модель прямоугольной подложки, заложенная в оценку систематики, скорее всего, не полностью описывает подложку. Прямые калибровочные измерения с большой статистикой позволят уточнить истинную форму подложки.

Специфическим для измерений с тритием фактором систематической неопределенности будет вклад распадов атомов, поглощенных стенками счетчика. По имеющимся данным [@Bahran1992] при использовании не содержащих водород материалов и соответствующей методике измерений, вклад этого фактора достаточно мал, и может быть проконтролирован и корректно учтен. Кроме того, ряд специалистов по взаимодействию трития с материалами (напр., [@Kaz2013]), сообщают, что водород и тритий в основном сформирует мономолекулярный слой на плоской поверхности пиролитического графита, нанесенного на внутреннюю поверхность кварцевой трубки. Это одно из преимуществ применения кварцевого счетчика, в отличие от металлического катода, в котором в первую очередь ожидается диффузия водорода с поверхности в глубину металла.

Заключение
==========

В заключение авторы выражают признательность Н.Титову, В.Пантуеву, В.Матушко и А.Нозику за плодотворное обсуждение и конструктивную критику предлагаемого эксперимента, а также С.Гирину за внимательное прочтение и правку текста.

[99]{} K.N. Abazajian [*et al.*]{}, , arXiv:1204.5379

G. Hinshaw [*et al.*]{} \[WMAP Collaboration\], Astrophys. J. Suppl.  [**208**]{} (2013) 19, arXiv:1212.5226

Y.I. Izotov and T.X. Thuan, Astrophys. J.  [**710**]{} (2010) L67, arXiv:1001.4440

P.A.R. Ade [*et al.*]{} \[Planck Collaboration\], arXiv:1303.5080

M. Wyman [*et al.*]{}, arXiv:1307.7715

S. Dodelson and L.M. Widrow, PRL [**72**]{} (1994) 17, \[hep-ph/9303287\].

A. Boyarsky, O. Ruchayskiy and M. Shaposhnikov, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci.  [**59**]{} (2009) 191, arXiv:0901.0011

A. Boyarsky [*et al.*]{}, PRL [**97**]{} (2006) 261302, \[astro-ph/0603660\].

J.J. Simpson, PRL [**54**]{} (1985) 1891

A. Hime and J.J. Simpson, PR [**D39**]{} (1989) 1837

J.J. Simpson and A. Hime, PR [**D39**]{} (1989) 1825

S. Schönert [*et al.*]{}, NP [**B28**]{} Proc. Suppl. (1992) 176

M. Galeazzi [*et al.*]{}, PRL [**86**]{} (2001) 1978

K.H. Hiddemann [*et al.*]{}, JPG [**21**]{} (1995) 639

E. Holzschuh [*et al.*]{}, PL [**B451**]{} (1999) 247

E. Holzschuh [*et al.*]{}, PL [**B482**]{} (2000) 1

K. Schreckenbach [*et al.*]{}, PL [**129B**]{} (1983) 265

M.M. Hindi [*et al.*]{}, PR [**C58**]{} (1998) 2512

M. Trinczek [*et al.*]{}, PRL [**90**]{} (2003) 012501

J. Deutsch [*et al.*]{}, NP [**A518**]{} (1990) 149

А.И. Белесев [*и др.*]{}, Письма в ЖЭТФ [**97**]{} (2013), arXiv:1211.7193

C. Kraus [*et al.*]{}, Eur. Phys. J. C [**73**]{} (2013) 2323, arxiv:1210.4194

M. Bahran and G.R. Kalbfleisch, PL [**B291**]{} (1992) 336

M.Y. Bahran and G.R. Kalbfleisch, PL [**B354**]{} (1995) 481

D.H.W. Kirkwood [*et al.*]{}, PR [**74**]{} (1948) 497

B. Pontecorvo and G.C. Hanna. PR [**75**]{} (1949) 983

В.В. Кузьминов [*и др.*]{}, ПТЭ **4** (1990) 86

S. Danshin [*et al.*]{}, NIM **A349** (1994) 466

А.И. Берлев, Препр. ИЯИ РАН 1189/2007, декабрь 2007

А.А. Алексеев [*и др.*]{}, Яд.Физ. [**73**]{}, вып.9 (2010) 1533

Д.Н. Абдурашитов и др. (коллаб. SAGE), ЖЭТФ [**122**]{}, вып.2(8) (2002) 211

Д.Н. Абдурашитов [*и др.*]{}, ПТЭ [**2**]{} (2006) 1

R.E. Shrock, PL [**B96**]{} n.1,2 (1980) 159

Д.Н. Абдурашитов [*и др.*]{}, Препр. ИЯИ РАН, 861/94, Москва (1994)

F.V. Tkachov, arXiv:physics/0604127.

A.V. Lokhov, F.V. Tkachov, P.S. Trukhanov, NIM **A686** (2012) 162, arXiv:1111.4835

О.В. Казаченко, частное сообщение

Figure captions and some text in English {#sec:eng .unnumbered}
========================================

This is a proposal of very simple measurement so mostly it is described in the abstract. In addition let us comment figures.

Fig.1 - red line is an upper limit on mixing of the experiment due to statistics of 10$^{12}$ events.

Fig.2 - the normalized spectrum of tritium electrons in case of m$_s$=3 keV and U$^2$=0.1 is presented; magenta line is pure spectrum without sterile neutrino S$_l$; blue line is the same one but reduced by 0.9 factor; red line is pure sterile neutrino spectrum S$_s$ reduced by 0.1; black line is mixed one S=0.9xS$_l$ + 0.1xS$_s$.

Fig.3 - the difference (S$_l$ - S) is shown; we derive a J as the (S$_l$ - S) being integrated over some energy range; for the purpose of this work we chooze the range to be 10 to 18 keV. In this case J is a measure of distortion.

Note: in real measurement we obtain the S only; no information about S$_l$ is available there. One of possible technique is to fit S with S$_l$ in some energy range where the statistics is rather high; for the purpose of this work we chooze it to be 4-10 keV. The S is fitted with N (statistics) and R (resolution) being released.

Fig.4 - the model response of proportional counter to electrons of 5 and 15 keV. Primary electrons lines are shown in magenta; first it is spread with resolution R=16% (at 5.9 keV), blue line. Next, the response is distorted by degraded events (due to wall and edge effects) - it looks like a left-handed shoulder (in blue) at each line with D=1%; and finally it is distorted by pile-up with C=0.1% (black line).

Fig.5 - the model tritium electron spectrum (blue) distorted by R=16%, D=1% and C=0.1% (red) in propoprtional counter; during fit procedure D and C are usually fixed at the same central values D0=1% and C0=0.1%.

Systematic distortion is estimated further.

Fig.6 - the model difference (S$_l$ - S) in case of m$_s$=4 keV, U$^2$=10$^{-4}$ and N=10$^{12}$ is presented (circles with error); the S$_l$ indeed is (S$_l$)$_{fit}$ here, i.e. a result of fit of the S at 4-10 keV range. The distortion of model difference due to degraded events is also shown in color. Red line is the distortion due to fit with D=1.01xD0; blue one is due to D=0.99xD0.

Fig.7 - the same, but distorted due to pile up; red line is the distortion due to fit with C=1.01xC0; blue one is due to C=0.99xC0.

Fig.8 - the amplitude of systematic distortion J at zero mixing (U$^2$=0) is shown as a function of variaton of D (blue) and C (black) in the interval of $\pm$1% around D0 and C0; the 3-sigma boundaries for N=10$^{12}$ are shown also.

The main conclusion is that we need the accuracy of D and C to be 0.2% and 0.9% resp. in order to keep the systematic uncertainty to be similar to statistic one. Such accuracy may be achieved in calibrating measurements with statistics as high as 10$^8$ events; it looks to have no problems.

![Пределы на примесь стерильных нейтрино в ядерных распадах (нумерация пределов соответствует следующим экспериментам: 1 – $^{187}$Re [@Re-Galeazzi1978]; 2 – $^3$H [@T-Hiddeman1995]; 3 – $^{63}$Ni [@Ni-Holzshun1999]; 4 – $^{35}$S [@S-Holzschun2000]; 5 – $^{64}$Cu [@Cu-Shreck1983]; 6 – $^{37}$Ar ядра отдачи [@Ar-Hindi1998]; 7 – $^{38m}$K [@K-Trinczek2003]; 8 – $^{20}$F [@F-Deutsch1990]).[]{data-label="u2lim"}](u2limr){width="100.00000%"}

![Спектр электронов трития с примесью стерильных нейтрино на участке 14–19 кэВ: $U^2$=0.1, $m_s$=3 кэВ; лиловый цвет – чистый спектр $S_l$ без примеси $\nu_s$, синий цвет – этот же спектр с коэффициентом $1-0.1=0.9$, красный цвет – чистый примесный спектр $S_s$ с коэффициентом 0.1, смешанный спектр $S =0.9 S_l + 0.1 S_s$ показан черным цветом. На вкладке представлен спектр электронов во всем диапазоне энергий.[]{data-label="stmix"}](st_mix){width="100.00000%"}

![Разность $S_l - S$ для искусственного случая $U^2$ = 0.1, $m_s$ = 3 кэВ.[]{data-label="tdiff"}](tdiff){width="100.00000%"}

![Модельный отклик счетчика на электроны с энергией 5 и 15 кэВ (лиловый цвет), искаженный разрешением, деградацией (стеночный и краевой эффекты) и неразличимым наложением событий. Синий цвет – $R_{5.9}=16\%$, красный цвет – $D=1\%$, черный цвет – $C=0.1\%$.[]{data-label="2line"}](rtwoline){width="100.00000%"}

![Модельный спектр событий в счетчике в присутствии трития для статистики N=10$^{12}$. Синий цвет – исходный спектр испускаемых электронов, красный цвет – амплитудный спектр, искаженный разрешением ($R_{5.9}=16\%$), деградацией ($D=1\%$) и неразличимым наложением событий ($C=0.1\%$).[]{data-label="tritmod"}](rexpvsteor){width="100.00000%"}

![Разностный спектр $S_{l}^{fit} - S$ с вариациями подложки при центральных значениях $D_0$=1% и $C_0$=0.1% ($U^2$ = 10$^{-4}$, $m_s$ = 4 кэВ, N=10$^{12}$). Точки с ошибками – фит с $D$=$D_0$, $C$=$C_0$; синяя линия – $D$=$D_0\cdot[1-0.01]$; красная линия – $D$=$D_0\cdot[1+0.01]$.[]{data-label="systD"}](systD){width="100.00000%"}

![Разностный спектр $S_{l}^{fit} - S$ с вариациями наложений при центральных значениях $D_0$=1% и $C_0$=0.1% ($U^2$ = 10$^{-4}$, $m_s$ = 4 кэВ, N=10$^{12}$). Точки с ошибками – фит с $D$=$D_0$, $C$=$C_0$; синяя линия – $C$=$C_0\cdot[1-0.01]$; красная линия – $C$=$C_0\cdot[1+0.01]$.[]{data-label="systC"}](systC){width="100.00000%"}

![Значения фиктивного сигнала $\mathcal{J}$ при нулевом смешивании в зависимости от изменения подложки $D$ (синяя линия) и наложений $C$ (черная линия). Красные линии – границы статистической неопределенности нулевого сигнала для N=10$^{12}$, соответствущей 1.8$\cdot10^6$ отсчетов.[]{data-label="systDC"}](rsystDC){width="100.00000%"}
