---
abstract: |
    This paper (written in Russian) presents a survey of new and earlier results on fine zonotopal tilings (briefly, *cubillages*) of cyclic zonotopes. The combinatorial theory of these objects is of interest in its own right and also has a connection to higher Bruhat orders, triangulations of cyclic polytopes, and Tamari–Stasheff posets applied in the study of Kadomtsev–Petviashvily equations, and etc.

    **Keywords:** higher Bruhat order, Tamari–Stasheff poset, polycategory, rhombus tiling, separated sets, purity
author:
- 'Vladimir I. Danilov[^1]'
- 'Alexander V. Karzanov[^2]'
- 'Gleb A. Koshevoy[^3]'
title: Cubillages of cyclic zonotopes
---

Светлой памяти Владимира\
Воеводского посвящается

Введение {#введение .unnumbered}
========

Замощение фигур другими фигурами – излюбленная тема геометров. Вспомним кристаллические решетки и параллелоэдры, упаковки шаров, мозаики Пенроуза и связанные с этим ромбические тайлинги. Одно из направлений, интенсивно развивающееся в последние 30 лет, касается триангуляций т.н. циклических многогранников (см. [@R] и обзор Рэмбо и Райнера [@RR] в сборнике [@ATL]). Здесь мы хотим обсудить во многом параллельную теорию кубильяжей циклических зонотопов, то есть разбиений зонотопов на (комбинаторные) кубы.

Как это ни покажется странным, импульсы к рождению этой теории были не только геометрическими. [Хотя зонотопальные (и кубические) разбиения издавна привлекали внимание геометров (см., например, работу [@She], или исторический очерк в [@Zbook]), переворот вызвали две работы, скорее алгебраические или комбинаторные.]{} Одна – работа Леклерка и Зелевинского [@LZ] 1998 года – была связана с вопросом квазикоммутирования квантовых миноров и привела к изучению ромбических тайлингов зоногонов; обзор некоторых достижений на этом пути см. в статье [@UMN]. Другая – статья Манина и Шехтмана [@MSch-1] 1986 года (тоже мотивированная квантовой тематикой) – была посвящена обобщению слабого порядка Брюа на симметрической группе $S_n$; полученные упорядоченные множества $B(n,d)$ были названы высшими порядками Брюа. Несколько позже Воеводский и Капранов [@VK] дали интерпретацию этих порядков в терминах кубильяжей циклических зонотопов, частным (двумерным) случаем которых являются упомянутые выше ромбические тайлинги. Значительные продвижения в этом направлении были получены Циглером [@Z], Галашиным [@Ga], и Галашинм и Постниковым [@GaP] (см. также [@Ba]).

Обо всем этом (включая наши собственные результаты) и предполагается рассказать в настоящей работе. Мы условно делим изложение на две тесно связанные части: геометрическую и комбинаторную (или теоретико-множественную). В первой рассказывается про зонотопы, кубические тайлинги (кубильяжи) зонотопов, вводятся разные полезные объекты в кубильяже: перегородки, тоннели, и т.п. Здесь же вводится основной рабочий инструмент – редукции и экспансии, незаменимые для проведения индуктивных рассуждений.

После введения этих общих понятий мы ограничиваем свое внимание исключительно случаем циклических (или – более правильно – вполне положительных) зонотопов $Z(n,d)$. Именнно кубильяжи таких зонотопов связаны с высшими порядками Брюа Манина-Шехтмана. При работе внутри фиксированного кубильяжа важную роль играет структура естественного порядка $\preceq$ на множестве его кубов. Когда же мы переходим к сравнению различных кубильяжей, тут на первый план выходит понятие флипа, [некоторой локальной перестройки кубильяжа]{}. Последнее проще всего объяснить на примере простейшего (после куба) зонотопа $Z(d+1,d)$, т. н. капсида. У него есть всего два кубильяжа, и замена одного кубильяжа на другой и называется флипом. В общем случае флип – это замена ‘капсидного’ фрагмента кубильяжа другим (‘флипованным’) фрагментом. Главный факт о кубильяжах состоит в том, что с помощью флипов можно перейти от любого кубильяжа зонотопа $Z(n,d)$ к любому другому.

Другое важное понятие – понятие мембран, гиперповерхностей специального вида внутри зоногона; мы показываем, что любую мембрану можно вписать в кубильяж.

Комбинаторная часть статьи связывает кубильяжи с системами подмножеств множества $[n]=\{1,2,...,n\}$, индексирующего вектора, порождающие циклический зонотоп $Z(n,d)$. Имеется два способа сделать это. Первый рассматривает кубильяжи с точки зрения их *спектров*. Каждый кубильяж $\mathcal Q $ зонотопа $Z(n,d)$ ($d$ – это размерность зонотопа, тогда как $n$ – число ‘направляющих’ векторов) задает систему $Sp(\mathcal Q )$ подмножеств в $[n]=\{1,2,...,n\}$, то есть подмножество в $2^{[n]}$. Сет-система $Sp(\mathcal
Q )$ однозначно определяет кубильяж $\mathcal Q $. Этот результат поднимает вопрос: какие сет-системы соответствуют кубильяжам, потому что ответ на него позволяет заменить геометрию комбинаторикой. Найденный Галашиным и Постниковым [@GaP] ответ состоит в том, что такие сет-системы обладают т.н. свойством ($d-1$)-*разделенности* и при этом они максимальны по размеру (равному ${n
\choose \le d}$). Если максимальность по размеру можно заменить максимальностью по включению, то говорят о *чистоте* соответствующего отношения. Фундаментальное исследование вопросов чистоты было проведено в [@GaP]. Однако чтение этой статьи затруднено тем, что авторы работали с произвольными (не обязательно циклическими) зонотопами, и даже с ориентированными матроидами, и потому использовали усложненную матроидную терминологию и технику. Мы же сознательно ограничиваемся циклическим случаем, что делает (на наш взгляд) изложение более простым и доступным. В случаях $d=2$ и 3 свойство чистоты было доказано в [@LZ] и [@Ga], соответственно. В случае $d \ge 4$ ответ отрицателен; для этого мы подробно обсуждаем ситуацию в случае $n=d+2$, а также переносим отсутствия чистоты на большие $n$ и $d$.

Другой переход от геометрии к комбинаторике подсказывает отображение типов. С каждым кубом кубильяжа можно связать его *тип*, некоторое подмножество размера $d$ в множестве $[n]$. И это задает отображение (биективное, как несложно показать) кубильяжа в множество ${[n] \choose d}$ подмножеств размера $d$ в $[n]$. Пользуясь этой биекцией, можно перенести естественный порядок $\preceq _\mathcal Q $ с $\mathcal Q $ на ${[n] \choose d}$. Оказывается, что перенесенный порядок тоже однозначно определяет кубильяж $\mathcal Q $. Тем самым можно вместо кубильяжей работать с классом т.н. *допустимых* порядков на ‘дискретном’ грассманиане $Gr([n],d)={[n] \choose d}$. Так мы возвращаемся к истоку теории – определению высших порядков Брюа как допустимых порядков на грассманиане ${[n] \choose d}$. На геометрическом языке высший порядок Брюа $B(n,d)$ – это порядок на множестве ${\bf Q}(n,d)$ кубильяжей зонотопа $Z(n,d)$, или, эквивалентно, на множестве ${\bf M}(n,d)$ мембран в зонотопе $Z(n,d+1)$.

Кубильяжи имеют многочисленные связи с другими объектами математического мира. Например, известна их связь с уравнениями Кадомцева-Петвиашвили, идущая пока в основном через триангуляции циклических политопов. Уже отмечалось, что происхождение теории было мотивировано уравнениями Замолодчикова. Кубильяжи дают также естественный пример поликатегорий. Кубильяжи и триангуляции связаны с представлениями колчанов [и конечномерных алгебр, см., например, работу]{} [@OT]. О некоторых таких ‘внешних’ связях кубильяжей мы рассказывыаем кратко в Дополнениях. Здесь мы уже, как правило, не приводим точные определения и результаты, указывая лишь общие контуры связи. Таких Дополнений четыре. Это связь с поликатегориями, связь с триангуляциями (и через них с уравнениями К-П), рассказ о слабых мембранах, обобщающих понятие мембран. Туда же мы отнесли и доказательство теоремы об ацикличности из основного текста.

<span style="font-variant:small-caps;">Часть первая, геометрическая</span>

Здесь излагаются основные геометрические понятия и факты про кубильяжи зонотопов. Комбинаторый (теоретико-множественный) взгляд будет дан во второй части. Мы стараемся иллюстрировать все на 2-мерных кубильяжах (ромбических тайлингах), иногда рисовать 3-мерные картины.

Зонотопы {#sec:intr}
========

Естественно начать с напоминаний про зонотопы[^4] и введения терминов. Кубильяж – это, грубо говоря, правильное заполнение (разбиение) выпуклой фигуры ‘кубами’, а точнее говоря – параллелоэдрами.

Что же такое зонотоп? Фиксируем вещественное векторное пространство $V$ (размерности $d>0$) и некоторый конечный набор ${\bf V}=(v_1,...,v_n)$ из $n$ векторов в нем. [*Зонотопом*]{} $Z=Z({\bf  V})$ (порожденным набором ${\bf
V}$) называется сумма по Минковскому $n$ отрезков $[0,v_i]$. Иначе говоря, $Z$ состоит из точек $z$ вида $\sum _i \alpha_i v_i$, где $0\le \alpha _i\le 1$ для любого $i=1,...,n$. Можно также сказать, что зонотоп – это проекция ‘единичного’ $n$-мерного куба, когда базисные вектора пространства ${\mathbb
R}^n$ отправляются в $v_i$. Это выпуклое тело, симметричное относительно точки (центра) $\sum v_i/2$.

Зонотопом мы называем и любой сдвиг зонотопа. Заменяя, если нужно, вектора $v_i$ на $-v_i$, можно считать, что все они ‘смотрят в одну сторону’, если угодно – ‘вверх’ по отношению к некоторой ‘горизонтальной’ гиперплоскости. Такая замена меняет зонотоп на сдвинутый. Но зато теперь наш зонотоп имеет ‘нижнюю’ (корневую) вершину 0 и ‘верхнюю’ вершину $v_1+...+v_n$.

Простейший пример зонотопа – это *куб* (точнее – параллелоэдр, но мы для краткости именуем его кубом). Это когда система $v_1,...,v_n$ образует базис пространства $V$ (в этом случае $n=d$). Далее мы будем заниматься заполнениями зонотопов кубами.

Довольно легко описать грани зонотопа (которые тоже зонотопы меньшей размерности; [см. [@Zbook гл. 7] о кодировке граней знаковыми векторами]{}). Мы еще более облегчим эту задачу. Во первых, мы будем считать, что система [**V**]{} находится в *общем положении*, то есть что $n\ge d$ и что любые $d$ векторов из системы [**V**]{} образуют базис пространства $V$. Далее это предположение всюду подразумевается, в основном по той причине, что мы будем заниматься кубильяжами $Z$. Во вторых, мы ограничимся описанием только фасет (граней коразмерности 1) зонотопа $Z$. Понятно, что фасеты такого ‘общего’ зонотопа будут кубами размерности $d-1$.

Чтобы задать фасету, мы фиксируем произвольные $d-1$ вектор $w_1,...,w_{d-1}$ (подсистему [**W**]{}) в нашей системе [**V**]{}. Пусть $H_{\bf W}$ – гиперплоскость в $V$, натянутая на [**W**]{}. Она делит оставшиеся точки-вектора [**V**]{}-[**W**]{} на две части, скажем, ${\bf V}_+$ и ${\bf V}_-$. Это дает две (противоположные друг другу) фасеты зонотопа $Z$. Одна образована зонотопом-кубом $Z({\bf W})$, укорененным в точке $\sum  {\bf      V}_+$, а другая – тем же зонотопом, но укорененным в точке $\sum  {\bf V}_-$. И так получаются все фасеты. Отсюда видно, что

(1.1)     *‘общий’ зонотоп $Z$ имеет $2{n \choose d-1}$ фасет.*

Тут неявно предполагалось, что $d>1$; случай одномерного зонотопа несколько выпадает из общей картины по причине его тривиальности; это просто отрезок $[0,
v_1+...+v_n]$.

Стоит еще сказать о вершинах зонотопа и об их числе. Наверняка это хорошо известно, но нам не удалось найти хорошую ссылку. Поэтому приведем формулу, а позже скажем о доказательстве.

(1.2) *Число вершин $V(n,d)$ зонотопа $Z$ равно $2{n-1 \choose \le (d-1)}=2({n-1 \choose d-1}+...+{n-1 \choose 0})$.*

Другая полезная вещь – это взгляд на зонотоп вдоль некоторого направления. Пусть направление задается некоторым ненулевым вектором $w$ в $V$ и проектирует (отображением $\pi _w$) пространство $V$ (и находящийся в нем зонотоп $Z$) на (фактор)пространство $V'=V/{\mathbb R}w$. Снова тут удобно считать, что этот вектор $w$ находтся в общем положении относительно системы [**V**]{}. В этом случае каждая фасета $F$ зонотопа $Z$ инъективно проектируется в пространство $V'$. А весь зонотоп $Z$ проектируется на зонотоп $Z'=\pi
_w(Z)=Z(\pi _w({\bf V}))$. При этом граница $\partial Z'$ (имеющая размерность $d-2$) является биективным образом некоторого (тоже ($d-2$)-мерного) подкомплекса границы $Z$, который можно назвать *ободом* (относительно этой проекции $\pi _w$). Обод делит (нестрого) границу $Z$ на две ‘полусферы’ - ‘верхнюю’ (мы представляем проекцию $\pi_w $ как вертикальную, снизу вверх) и ‘нижнюю’.

Здесь удобно ввести терминологию видимых и невидимых фасет. Снова берем ‘общий’ вектор $w$ (вдоль которого мы смотрим на зонотоп $Z$). Пусть $F$ - фасета $Z$. Скажем, что эта фасета $F$ [*видимая*]{} (в направлении $w$), если для (относительно внутренней) точки $p$ этой фасеты точка $p-\varepsilon w$ не принадлежит $Z$ (для малого или любого $\varepsilon >0$); тогда для малого $\varepsilon >0$ точка $p+\varepsilon w$ принадлежит $Z$. Иначе говоря, точка $p$ первая в зонотопе при движении (из $-\infty $ в $+\infty $) по прямой $p+{\mathbb R}w$.

В этой теминологии видимые фасеты покрывают нижнюю полусферу зонотопа, а невидимые - верхнюю. Проекция верхней полусферы дает один кубильяж зонотопа $Z
'$, а нижнего – другой, симметричный верхнему. Мы еще вернемся к этой теме в следующем разделе.

Можно проектировать не только вдоль ‘общих’ направлений, но и, скажем, вдоль направления вектора $v_i$, обозначая эту проекцию как $\pi _i$. Проекция при $\pi _i$ зонотопа $Z$ снова будет зонотопом $Z'=Z/ v_i$, порожденным (в $V'=V/\mathbb{R}v_i$) образами всех векторов $v_1,...,v_n$, кроме $v_i$. Однако теперь обод будет не ($d-2$)-мерный, но ($d-1$)-мерный [(и называется он *зоной* или *поясом* зонотопа)]{}. Отметим также, что сам $Z$ получается как сумма зонотопа $Z({\bf V}-\{v_i\})$ и отрезка $Z(v_i)=[0,v_i]$.

После введения этих понятий можно обратиться к доказательству формулы (1.2). Зонотоп $Z=Z(\mathbf{V})$ представляется как сумма зонотопа $\widetilde{Z}=Z(\mathbf{V}-\{v_n\})$ и отрезка $[0,v_n]$. При этом его вершины делятся на видимые и невидимые. Но видимые вершины (относительно направления $v_n$) зонотопа $\widetilde{Z}$ те же, что видимые вершины зонотопа $Z$; аналогично для невидимых (точнее, видимых с противоположного направления). Единственная разница состоит в том, что в пером случае эти два множества не пересекаются, тогда как во втором – пересекаются, причем в точности по множеству вершин обода (зонотопа $\widetilde{Z}$ в направлении $v_n$.). Отсюда мы получаем соотношение $$V(n,d)=V(n-1,d)+V(n-1,d-1).$$ Учитывая правило Паскаля, остается только убедиться в справедливости формулы (1.2) в случаях $d=1$ и $d=n$. В первом случае правая часть равна $2{n-1
\choose 0}=2$, что согласуется с тем, что отрезок имеет две вершины. Во втором случае правая часть равна $2{d-1 \choose \le d-1}=2(2^{d-1})=2^d$, что согласуется с тем, что $d$-мерный куб имеет $2^d$ вершин.

Кубильяжи  {#sec:cubil}
==========

Кубильяж (или кубический, гиперромбический, параллелоэдральный тайлинг) – это правильное замощение (разбиение, paving, tiling) зонотопа (или другого многогранника) кубами. Точнее:

[*Кубильяж*]{} ${\mathcal Q}$ зонотопа $Z$ – это множество $d$-мерных кубов (см. выше) $Q_1,...,Q_N$ (называемых плитками, тайлами или просто *кубами*), покрывающих $Z$, причем выполнены два условия:

1\) два куба могут пересекаться только по общей грани;

2\) фасеты зонотопа $Z$ являются фасетами некоторых кубов из ${\mathcal Q}$.

Точнее, так определяется кубильяж для зонотопов размерности $d>1$. Кубильяж одномерного зонотопа по определению состоит из $n$ отрезков, конгруэнтных отрезкам $[0,v_i]$, $i=1,...,n$.

[*Гранью*]{} кубильяжа считается грань некоторого куба из ${\mathcal Q}$.

![Вид сверху и снизу на ромбододекаэдр[]{data-label="fig:1"}](projection)

**Пример.** Пусть $Z$ – зонотоп $Z(v_1,...,v_n)$, и мы проектируем его вдоль, скажем, направления $v_n$ (обозначая проекцию как $\pi  $, см. рис. \[fig:1\]). Тогда, как объяснялось в предыдущем разделе, проекция фасет видимой части границы $Z$ дает кубильяж зонотопа $Z'=Z(\pi (v_1),...,\pi
(v_{n-1}))$.

Часто на эту конструкцию смотрят в противоположном направлении, говоря, что система векторов ${\bf V}= \{v_1,...,v_n\}$ – это ‘одноэлементный лифтинг’ системы ${\bf V}'=\{\pi  (v_1),...,\pi (v_{n-1})\}$ (с помощью вектора $v_n$). В такой терминологии одноэлементный лифтинг системы ${\bf V}'$ дает кубильяж зонотопа $Z'=Z({\bf V}')$. Знаменитая теорема Бонэ-Дресса (см. [@BVSWZ] или [@Zbook]) в каком-то смысле утверждает обратное. Мы не приводим точную формулировку, поскольку это лежит в стороне от наших целей.

Полезным для понимания является следующий простой факт, который часто просто включают в определение кубильяжа.

\[lm:1\] Пусть $Q$ – куб некоторого кубильяжа ${\mathcal Q}$ зототопа $Z=Z({\bf V})$. Тогда любое ребро этого куба конгруэнтно некотоому отрезку $[0,v_i]$.

Можно считать, что $d>1$. Пусть $E$ - некоторое ребро куба $Q$. Если оно не лежит на границе зонотопа, вокруг него есть много кубов, ребра которых конгруэтны $E$. Переходя от одного такого куба к другому, мы рано или поздно выйдем на границу зонотопа. А тогда все следует из свойства 2) определения кубильяжа.

В частности, любой куб $Q$ кубильяжа конгруэнтен кубу-зонотопу $Z({\bf W})$, где ${\bf W}$ – $d$-элементное подмножество в $\mathbf{V}$. Множество индексов (или *цветов*; так мы понимаем элементы индексирующего множества $[n]=\{1,...,n\}$) этого подмножества ${\bf W}$ называется [*типом*]{} этого куба. Иными словами, тип куба $Q$ – это подмножество $\{i_1,...,i_d\}$ в $[n]$, такое что куб $Q$ есть сдвиг куба-зонотопа $Z(v_{i_1},...,v_{i_d})$.

Аналогично понимается тип грани кубильяжа. В частности, тип ребра кубильяжа – одноэлементное подмножество $\{i\}$ в $[n]$. Мы ориентируем каждое ребро кубильяжа в направлении вектора $v_i$. Направленный путь из нижней вершины 0 в верхнюю вершину $v([n])$, идущий по ребрам кубильяжа, мы называем [*змейкой*]{}. Как мы увидим далее, в змейке ребро цвета $i$ встречается ровно один раз. Если $c(i)$ – цвет $i$-го ребра-стрелки некоторой змейки, то мы получаем биекцию $[n]$ в $[n]$, то есть перестановку множества $[n]$. Эту перестановку можно понимать также как линейный порядок на $[n]$, в котором минимальным элементом яаляется цвет первого ребра змейки.

Сопоставление кубу $Q$ кубильяжа ${\mathcal Q}$ его типа задает отображение $\tau =\tau _{\mathcal Q}: {\mathcal Q} \to {{\bf V} \choose d}$ в множество $d$-элементных подмножеств [**V**]{}.

\[pr:1\] Отображение $\tau $ является биекцией. В частности, число кубов в любом кубильяже равно ${n \choose d}$.

Мы докажем это утверждение в следующем разделе. А пока приведем простое

**Следствие.** *Число вершин любого кубильяжа равно ${n \choose \le
d}$.*

В самом деле, выберем некоторое общее направление проектирования (‘смотрения’) $w$. [Из формулы (1.2) видно, что для каждого куба $Q$ кубильяжа все его вершины, кроме двух, лежат на ободе этого куба. И есть одна ‘внутренняя’ вершина на видимой половине границы $Q$ и, аналогично, одна ‘внутренняя’ вершина на невидимой половине. Обозначим эту последнюю, самую далекую он нас вершину куба как ]{}$h(Q)$. Легко понять, что отображение $h$ (из $\mathcal{Q}$ в множество вершин кубильяжа ${\mathcal Q}$) инъективно. А образ заметает все вершины, кроме вершин на видимой части $\partial _-(Z)$ границы $Z$. При проекции $\pi =\pi _w$ фасеты $\partial_-(Z)$ дают кубильяж зонотопа $Z'=Z(\pi
({\bf V}), d-1)$, у которого, по предположению индукции, ${n \choose d-1}+...+
{n \choose 1}+{n \choose 0}$ вершин. $\Box$

Перегородки {#sec:partit}
===========

Пусть ${\mathcal Q}$ – некоторый кубильяж зонотопа $Z=Z({\bf V})$, где ${\bf
V}=\{v_1,...,v_n\}$. В дальнейшем мы рассмотрим несколько интересных подмножеств в ${\mathcal Q}$ – перегородки, тоннели, гирлянды, стэки, капсиды ... Начнем с перегородок.

**Определение.** *Перегородкой* цвета $i\in [n]$ в кубильяже ${\mathcal Q}$ называется множество ${\mathcal P}_i$ кубов кубильяжа ${\mathcal
Q}$, которые содержат цвет $i$ в своем типе. То есть $${\mathcal P}_i=\{Q\in {\mathcal Q},  \    i\in \tau (Q)\}.$$ (В некоторых работах перегородки называются также *сечениями де Брюйна*). *Телом перегородки* ${\mathcal P}_i$ называется объединение кубов из ${\mathcal P}_i$; это замкнутое подмножество в зонотопе $Z=Z({\bf V})$, которое мы обозначаем как $|{\mathcal P}_i|$ (не путать с числом элементов множества ${\mathcal P}_i$, которое равно ${n-1 \choose d-1}$). Тело перегородки ${\mathcal P}_i$ выходит на границу зонотопа по зоне цвета $i$, см. раздел 1.

[**Основная теорема о перегородках.**]{} [*Тело перегородки $|{\mathcal P}_i|$ устроено как произведение отрезка $[0,v_i]$ на некоторый диск, трансверсальный направлению $v_i$ и биективно проектирующийся на зонотоп $Z'=\pi _i(Z)$ (где $\pi _i$ – проекция вдоль вектора $v_i$, см. выше).*]{}

Здесь для наглядности удобно считать вектор $v_i$ направленным вертикально вверх. В каждом кубе $P$ перегородки ${\mathcal P}={\mathcal P}_i$ проведем ‘среднее сечение’ $MP$ (среднее по вертикальному направлению). Все такие локальные сечения склеиваются в ($d-1$)-мерный кубический комплекс $M{\mathcal
P}$. Так как каждый куб $P$ представляется как сумма по Минковскому сечения $MP$ и трансверсального к нему вертикального отрезка $[-v_i/2, v_i/2]$, то и вся перегородка ${\mathcal P}$ есть сумма (по Минковскому) $M{\mathcal P}$ и отрезка $[-v_i/2, v_i/2]$. Более точно, естественное отображение $$M{\mathcal P} \times [-v_i/2, v_i/2] \to M{\mathcal P}+[-v_i/2, v_i/2]=|{\mathcal P}|$$ является биекцией (и гомеоморфизмом). Отсюда легко понять, что при (вертикальной) проекции сечение $M{\mathcal P}$ локально гомеоморфно проектируется на $Z'$. Так как зонотоп $Z'$ стягиваем и, следовательно, односвязен, среднее сечение представляетися как сумма нескольких копий $Z'$. На самом деле копия всего одна, что видно из того, что край этого комплекса $M{\mathcal P}$ образует ‘среднее сечение’ соответствующего обода (зоны цвета $i$) зонотопа $Z$. $\Box$

**Замечание.** [Перегородки (а еще лучше – их средние сечения) напоминают по своим свойствам гиперплоскости. Как и последние, они делят зонотоп на две области (до и после); кроме того, любые $d$ перегородок пересекаются по единственному кубу (а средние сечения – по единственной точке). Так что система всех перегородок выступает как некая замена арранжмента гиперплоскостей. Недаром вся эта теория у Манина и Шехтмана начиналась с аранжментов гиперплоскостей. ]{}

Проекция комплекса $M{\mathcal P}_i$ (или всей перегородки ${\mathcal P}_i$) дает кубильяж $\pi _i({\mathcal P}_i)$ зонотопа $Z'=\pi _i(Z)=Z/v_i$. Этот кубильяж (размерности $d-1$) зонотопа $Z'$ можно обозначить как ${\mathcal
Q}/v_i$. Вслед за Атанасиадисом [@Athan] мы называем кубильяж ${\mathcal
Q}/v_i$ [*сжатием (контрактацией)*]{} кубильяжа ${\mathcal Q}$ в направлении $v_i$, или сжатием по цвету $i$. Отметим, что при сжатии размерность кубильяжа уменьшается на единицу, как и число цветов.

Первое следствие основной теоремы про перегородки – это уже упоминавшееся утверждение про змейки. Напомним, что *змейка* – это направленный путь по ребрам-стрелкам кубильяжа из нижней (корневой) вершины зонотопа в верхнюю. Так вот, [*цвета ребер змейки биективны множеству $[n]$*]{}. То есть каждый цвет $i\in [n]$ встречается и при том один раз как цвет ребра змейки. В самом деле, перегородка ${\mathcal P}_i$ цвета $i$ делит зонотоп на три части – ниже ${\mathcal P}_i$, само ${\mathcal P}_i$, и выше ${\mathcal P}_i$. Наша змейка (при движении от корня к верхушке) обязательно пересекает перегородку, так что обязательно содержит стрелку цвета $i$. Причем пересекает ровно один раз, потому что после пересечения перегородки змейка попадает в верхнюю часть зонотопа и уже не может ее покинуть (в перегородке все стрелки цвета $i$ смотрят вверх).

Это следствие позволяет ввести важное понятие *спектра* (набора цветов) вершины кубильяжа, которое будет играть центральную роль в комбинаторной части. А именно, рассмотрим для вершины $v$ кубильяжа путь из 0 в $v$, идущий вверх по стрелкам-ребрам кубильяжа. Очевидно, что такой путь существует, быть может, не один. Этот путь – начальный кусок некоторой змейки, поэтому цвета его ребер образуют подмножество в $[n]$. Это подмножество не зависит от выбора пути; мы обозначаем его $sp(v)$ и называем [*спектром*]{} вершины $v$. Независимость от выбора пути видна из другого описания $sp(v)$: цвет $i$ входит в $sp(v)$ тогда и только тогда, когда перегородка ${\mathcal P}_i$ проходит ниже вершины $v$ (то есть отделяет $v$ от корневой вершины 0). Заметим также, что $sp(v)$ не зависит и от кубильяжа ${\mathcal Q}$; в самом деле, $$v=\sum _{i\in sp(v)} v_i.$$

Наряду с перегородками можно рассмотреть в каком-то смысле дуальные объекты, называемые [*тоннелями*]{} в кубильяже ${\mathcal Q}$. Зафиксируем подмножество $D$ в $[n]$ размера $d-1$ и соберем вместе множество ${\mathcal T}_D$ кубов, типы которых содержат $D$ (‘тоннель типа $D$’). У каждого куба $Q$ из ${\mathcal T}_D$ есть две фасеты типа $D$. Пусть $F$ – такая фасета; тогда она либо фасета самого зонотопа $Z$, либо по этой фасете наш куб $Q$ смежен другому кубу $Q'$, тоже из ${\mathcal T}_D$. Повторяя это с кубом $Q'$, мы получаем соседний куб $Q''$ и так далее, пока не дойдем до фасеты зонотопа $Z$. (Эта конструкция уже встречалась при доказательстве Леммы 1.) Таким образом, тоннель представляет набор нескольких ‘толстых путей’ (или циклов) внутри кубильяжа. На самом деле легко понять, что тоннель – это связная цепочка кубов, идущих от одной (видимой) части границы $Z$ к другой, невидимой. Потому что каждый тоннель типа $D$ пересекает каждую перегородку ${\mathcal P}_i$ (где $i\notin
D$) ровно по одному кубу (типа $Di$). И состоит ровно из $n-d+1$ куба.

Теперь обратимся к доказательству Предложения 1. Оно проводится индукцией по $d$; при $d=1$ утверждение тривиально. Пусть теперь $d>1$. Возьмем некоторую $d$-шку $D\subset [n]$ и покажем, что существует, и при том ровно один, куб $Q$ типа $D$ в нашем кубильяже ${\mathcal Q}$. Для этого выберем один из цветов (скажем, $i$) в $D$ и рассмотрим перегородку ${\mathcal P}_i$ цвета $i$. Пусть $\pi _i:Z \to Z'=\pi _i(Z)$ – проекция вдоль вектора $v_i$. Как было сказано выше, проекция перегородки ${\mathcal P}_i$ дает кубильяж $\pi_i({\mathcal P}_i)$ зонотопа $Z'$. По индукции у него есть единственный куб $Q'$ (размерности $d-1$) типа $D-i$. Куб $Q$ из перегородки ${\mathcal P}_i$, проектирующийся на $Q'$, имеет тип $(D-i)\cup  \{i\}=D$. Это доказываент существование и единственность куба типа $D$. $\Box$

Примерно так Шеппард [@She] получал формулу для числа кубов кубильяжа зонотопа (см. Предложение 1).

Редукции и экспансии
====================

Продолжим получать следствия структуры перегородок. Снова временно (и для наглядности) мы считаем, что вектор $v_i$ (произвольного цвета) идет вертикально вверх, так что мы смотрим на зонотоп $Z$ снизу вверх. Перегородка ${\mathcal P}={\mathcal P}_i$ делит $Z$ на три части: собственно перегородку ${\mathcal P}$, то, что нестрого ниже ${\mathcal P}$ (включая нижнюю границу ${\mathcal P}$), что мы обозначим $Z_-$, и верхнюю половину $Z_+$.

[*Редукцией*]{} кубильяжа ${\mathcal Q}$ называется кубильяж ${\mathcal
Q}_{-i}$ зонотопа $Z({\bf V}-\{v_i\}$), полученный следующим образом: нижнюю часть $Z_-$ мы оставляем на месте (вместе со всеми ее кубами), а верхнюю часть $Z_+$ сдвигаем вниз на вектор $-v_i$ (тоже вместе со всеми кубами). При этом перегородка ${\mathcal P}$ исчезает, а лучше сказать – сжимается на свою нижнюю границу, превращаясь в то, что позже мы назовем мембраной. Эту мембрану ${\mathcal M}=Z_-\cap |{\mathcal P}_i|$ мы называем [*швом*]{} (или рубцом), оставшимся после операции редукции. См. рис. \[fig:2\].

![Перегородка и ее постепенная редукция[]{data-label="fig:2"}](peregor)

Эта операция редукции обратима: если мы ‘раздвинем’ шов-мембрану ${\mathcal M}$ с помощью отрезка $[0,v_i]$ (отодвинув часть редуцированного кубильяжа, расположенную выше шва, на вектор $v_i$), мы вернемся к исходному кубильяжу ${\mathcal Q}$. Эту обратную операцию мы называем [*экспансией*]{}.

Вообще, если у нас есть кубильяж $\widetilde{{\mathcal Q}}$ зонотопа $\widetilde{Z}=Z({\bf V}-\{v_i\})$ и в нем мембрана ${\mathcal M}$ (то есть ($d-1$)-мерный подкомплекс кубильяжа ${\mathcal Q}$, который биективно проектируется при ‘вертикальной проекции’ на $\widetilde{Z}'=\pi(\widetilde{Z})$), то мы можем ‘раздвинуть’ мембрану $\mathcal M$ на вектор $v_i$ и получить некоторый кубильяж ${\mathcal Q}$ зонотопа $Z$. Эту операцию мы называем *экспансией мембраны* ${\mathcal M}$ в кубильяже $\widetilde{{\mathcal Q}}$ в направлении $v_i$.

**Следствие.** [*Кубильяж зонотопа $Z(\textbf{V})$ определяется множеством его вершин.* ]{}

Пусть $\mathcal{Q}$ и $\mathcal{R}$ – два кубильяжа зонотопа $Z(\textbf{V})$ с одним и тем же множеством вершин. Выберем какой-то цвет, скажем, $n$, и произведем редукцию этого цвета в $\mathcal{Q}$ и $\mathcal{R}$. В результате мы получим два новых кубильяжа $\mathcal{Q}_{-n}$ и $\mathcal{R}_{-n}$ (зонотопа $Z(\mathbf{V}-\{v_n\})$) и в каждом шов $S$ и $T$. Шов $S$ составлен из ‘слившихся’ вершин $v$ и $v'$, таких что $sp(v')=sp(v)\cup \{n\}$; аналогично для шва $T$. Отсюда видно, что совпадают как эти два шва, так и множества вершин кубильяжей $\mathcal{Q}_{-n}$ и $\mathcal{R}_{-n}$. По индукции мы получаем совпадение самих кубильяжей $\mathcal{Q}_{-n}=\mathcal{R}_{-n}$. А исходные кубильяжи $\mathcal{Q}$ и $\mathcal{R}$ получаются $n$-экспансией общего шва $S=T$, так что они тоже совпадают.

Раз уж речь зашла о вершинах кубильяжа, то возникает вопрос – *какие точки (или наборы точек) внутри зонотопа $Z=Z(\textbf{V})$ могут быть вершинами некоторого кубильяжа этого зонотопа* (‘вписываются в кубильяж’)? Одно требование очевидно (см. выше определение спектра): такая точки должна иметь вид $v(S)=\sum _{i\in S} v_i$ для некоторого подмножества $S\subset [n]$. Точки такого вида мы называем *целыми*, и это требование всюду далее предполагается выполненным. Мы еще вернемся к этому вопросу во второй части работы, а пока приведем один простой результат в этом направлении. А именно, мы утверждаем, что любая отдельно взятая целая точка вписывается в некоторый кубильяж. На самом деле верно даже большее: *любой подзонотоп вписывается в некоторый кубильяж*. Более точно, множество вершин любого подзонотопа $T
\subset  Z$ вписывается в некоторый кубильяж зонотопа $Z$; здесь предполагается, что $T$ есть сдвиг на целую точку $v(S)$ зонотопа $Z(\textbf{W})$, где $\textbf{W} \subset \textbf{V}$, [и $S$ не пересекается с множеством индексов $\textbf{W}$.]{}

\[pr:3\] Любой подзонотоп (и любой его кубильяж) $T$ зонотопа $Z=Z(\textbf{V})$ вписывается в некоторый кубильяж $Z$.

Будем рассуждать индукцией по $n$ (или по размеру $\textbf{V-W}$). Пусть $t(T)$ – ‘верхняя’ вершина подзонотопа $T$. Предположим сначала, что эта вершина отлична от верхней вершины всего зонотопа $Z$. В этом случаем множество $sp(t(T))$ отлично от $[n]$; пусть $i$ – произвольный цвет, не принадлежащий $sp(t(T))$. Тогда подзонотоп $T$ лежит в зонотопе $Z'=Z(\textbf{V}-\{i\})$, и по индуктивному предполоржению вписывается в некоторый кубильяж $\mathcal{Q}'$ зонотопа $Z'=Z(\textbf{V}-\{i\})$. Остается сделать экспансию по цвету $i$. См. рис. \[fig:3\].

![подзоногон $T$ в зоногоне $Z(7,2)$[]{data-label="fig:3"}](subzono)

Таким образом, мы можем считать, что ‘верхние’ вершины у $T$ и $Z$ совпадают. Рассуждая симметрично, можно считать, что совпадают и ‘нижние’ (корневые) вершины. Но тогда $T$ и $Z$ совпадают, и утверждение тривиально верно.

Экспансию мембраны ${\mathcal M}$ можно производить не только в направлении вектора $v_i$, но и в любом ‘близком’ направлении $v'_i$. Точнее, тут важна не близость, а только то, чтобы по отношению ко всем пластинкам (граням размерности $d-1$) мембраны ${\mathcal M}$ вектора $v_i$ и $v'_i$ глядели в одну и ту же сторону. Раздвигая мембрану ${\mathcal M}$ в направлении $v'_i$, мы получаем другой кубильяж другого зонотопа, но в каком-то смысле похожий, ‘подобный’ старому. Скажем об этом чуть подробнее.

Говоря о зонотопе $Z({\bf V})$ и его кубильяжах, мы фиксировали векторную конфигурацию [**V**]{}. Однако интуитивно ясно, что малые шевеления [**V**]{} не играют роли в строении кубильяжей. Скажем точнее. Пусть у нас есть две векторые конфигурации ${\bf V}=\{v_1,...,v_n\}$ и ${\bf W}=\{w_1,...,w_n\}$ (в одном и том же $d$-мерном пространстве $V$ и с одним и тем же числом векторов $n$). Скажем, что конфигурации [**V**]{} и [**W**]{} [*подобны*]{}, если для любого подмножества $B\subset [n]$ размера $d$ определители $\det(v_B)$ и $\det(w_B)$ имеют один и тот же знак (или что соответствующие базисы $v_B$ и $w_B$ имеют одну и ту же ориентацию).

Если конфигурации [**V**]{} и [**W**]{} подобны, то для любого кубильяжа ${\mathcal Q}$ зонотопа $ЕZ({\bf V})$ естественно строится ‘подобный’ кубильяж ${\mathcal Q}'$ зонотопа $Z({\bf W})$, который комбинаторно устроен так же, как ${\mathcal  Q}$. А именно, пусть $Q$ - куб кубильяжа ${\mathcal Q}$; у него есть корневая вершина $v$ и тип $\tau (Q)\subset [n]$. Из начальной вершины 0 зонотопа $Z({\bf V})$ в вершину $v$ ведет путь $P$ по стрелкам кубильяжа $Z({\bf  V})$. Проведем соответствующий путь $P'$ в $Z({\bf W})$ и конец его $v'$ объявим образом вершины $v$. Ясно, что это построение не зависит от выбора пути $P$. Образ куба $Q$ – это куб того же типа, что и $Q$, растущий из вершины $v'$. Так мы получаем новое множество ${\mathcal Q}'$ кубов в $Z({\bf
W})$, и нужно лишь убедиться, что эти кубы не налезают друг на друга. А это достаточно проверить для соседних кубов. То есть если кубы $Q$ и $R$ кубильяжа ${\mathcal Q}$ соседние (по общей фасете $F$), то их образы $Q'$ и $R'$ (которые, очевидно, имеют общую фасету $F'$) лежат по разные стороны от $F'$.

Пусть фасета $F$ (то есть куб размерности $d-1$) имеет тип $\tau (F)$. Кубы $Q$ и $R$ получаются добавлением к векторам $v_{\tau (F)}$ каких-то векторов $v_i$ и $v_j$. Так как они лежат по разные стороны от $F$, то ориентации базисов $v_{\tau (F)i}$ и $v_{\tau (F)j}$ противоположны. Но тогда и ориентации базисов $w_{\tau (F)i}$ и $w_{\tau (F)j}$ противоположны, что и означает, что кубы $Q'$ и $R'$ лежат по разные стороны от $F'$.

Это показывает, что строение (и разнообразие) кубильяжей зонотопа $Z({\bf V})$ зависит только от ориентированного матроида, порожденного векторной конфигурацией [**V**]{}. Мы будем активно пользоваться этим простым замечанием при рассмотрении вполне положительных конфигураций.

Циклические (вполне положительные) векторные конфигурации {#sec:cyclic_config}
=========================================================

До сих пор конфигурации [**V**]{} векторов в пространстве $V$ были, фактически, произвольными (если не считать требования общего положения). Начиная с этого места мы ограничиваемся более специальными конфигурациями, которые обычно называются циклическими или вполне положительными. Здесь и далее мы будем считать, что $V={\mathbb R}^d$ (с базисом $e_1,...,e_d$); кроме того, теперь важную роль будет играть порядок индексации векторов $v_i$ (то есть, мы снабжаем множество индексов-цветов $[n]$ естественным порядком $1<2<...<n$).

[**Определение.**]{} Конфигурация векторов ${\bf V}=(v_1,...,v_n)$ называется [*вполне положительной*]{} (или, не очень удачно, но более коротко, [*циклической*]{}), если для любой (возрастающей) $d$-шки $i_1<i_2<...<i_d$ из $[n]$ определитель матрицы $\textrm{Mat}(v_{i_1},...,v_{i_d})$, составленной из столбцов-векторов $v_{i_j}$, положителен.

Циклические конфигурации подобны между собой и определяются двумя числами $d$ и $n\ge d$. По этой причине циклический зонотоп $Z({\bf V})$ обозначается далее просто как $Z(n,d)$, а множество его кубильяжей – как ${\bf Q}(n,d)$.

Удобный представитель такой конфигурации получается следующим образом. Отобразим прямую ${\mathbb R}$ в ${\mathbb R}^d$ с помощью отображения ${\bf
v}_d$, ${\bf v}_d(t)=(1,t,t^2,...,t^{d-1})$. (Когда $d$ ясно из контекста, мы опускаем инлекс $d$ и говорим просто про [**v**]{}. Образ прямой ${\mathbb R}$ при таком отображении называют *кривой Веронезе* или *кривой моментов*.) Если мы теперь возьмем конечное подмножество $\{t_1<...<t_n\}$ в ${\mathbb R}$, мы получаем (индексированную множеством $[n]$) векторную конфигурацию [**V**]{}, состоящую из векторов $v_i={\bf v}(t_i)$, $i=1,...,n$. Такая конфигурация вполне положительна, что видно из формулы для определителей Вандермонда.

Отметим два важных для дальнейшего свойства циклических конфигураций. Если мы выбрасываем какой-то элемент $k$ из $[n]$, конфигурация остается циклической. Так что мы можем говорить о проекциях $\pi _k:Z(n,d) \to Z([n]-\{k\},d)$ и соответствующих редукциях кубильяжей (см. выше). И второе (применимое к конфигурациям Веронезе): если мы рассмотрим каноническую проекцию $\pi $ пространства ${\mathbb R}^d$ на ${\mathbb R}^{d-1}$ (проекция вдоль последнего базисного вектора $e_d$, или забывание $d$-ой координаты), то циклическая конфигурация переходит в циклическую. В частности, мы получаем проекцию $\pi
:Z(n,d)\to Z(n,d-1)$, полезную для проведения индукции по $d$. Заметим еще, что эту проекцию $\pi $ (вдоль $d$-ой координатной оси) можно понимать как проекцию вдоль направления ${\bf v} (+\infty )$, потому что направление вектора ${\bf
v}(t)$ при большом $t$ стремится к направлению вектора $e_d$. Неформальная же причина интереса циклических конфигураций объясняется тем, что кубильяжи циклических зонотопов тесно связаны с высшими порядками Манина-Шехтмана, о чем мы будем говорить в комбинаторной части работы.

Мы уже говорили про редукцию цветов для общих зонотопов. В случае циклических зонотопов особо важную роль играет редукция старшего цвета $n$. Дело в том, что шов, остающийся после такой редукции, является мембраной относительно проекции $\pi $ вдоль $d$-й координатной оси. Расскажем более обстоятельно об этом в следующем разделе.

Мембраны {#sec:membr}
========

[**Определение.**]{} Пусть ${\mathcal Q}$ - кубильяж (циклического) зонотопа $Z=Z(n,k)$. [*Мембраной*]{} этого кубильяжа, или мембраной, *вписанной* в кубильяж ${\mathcal Q}$, называется ($d-1$)-мерный подкомплекс ${\mathcal M}$ в ${\mathcal Q}$, который биективно проектируется на зонотоп $Z(n,d-1)$ (при проекции $\pi $ вдоль последней $d$-ой координаты).

Множество мембран кубильяжа ${\mathcal Q}$ обозначается как ${\bf M}({\mathcal
Q})$.

Так что мембрана – это некоторая $(d-1)$-мерная пленка в $Z$ (идущая по граням кубильяжа ${\mathcal Q}$), гомеоморфная $(d-1)$-мерному диску, край которого – в точности обод зонотопа $Z$ относительно проекции $\pi$. Мембрана делит зонотоп на две части: нестрого до мембраны ($Z_-({\mathcal M})$) и нестрого после нее ($Z_+({\mathcal M})$). Проекция клеток мембраны ${\mathcal M}$ (ее $(d-1)$-мерных кубов, называемых *пластинами*) дает при этом кубильяж зонотопа $Z'=Z(n,d-1)=\pi (Z)$, который мы обозначаем $\pi ({\mathcal M})$.

Априори не ясно, существуют ли мембраны вообще и много ли их. Позже мы увидим, что их достаточно много. А пока приведем пример двух универсальных мембран.

[**Пример 1.**]{} Мы уже говорили про это в разделе 2; давайте вернемся применительно к циклической ситуации. Рассмотрим видимую (в направлении $d$-ой координаты) часть границы $Z$, $\partial_-Z$. Очевидно, это мембрана (любого кубильяжа зонотопа $Z$); ее проекция $\pi (\partial _-Z)$ дает кубильяж зонотопа $Z'$, который мы называем [*стандартным*]{} (так именовались соответствующие ромбические тайлинги двумерного зоногона в [@UMN]). Невидимая часть границы $\partial _+Z$ дает [*анти-стандартный*]{} кубильяж зонотопа $Z'$.

Универсальный способ получения мембран дает редукция старшего цвета. Пусть ${\mathcal Q}$ – кубильяж зонотопа $Z=Z(n,d)$. И пусть $\widetilde{{\mathcal
Q}}={\mathcal Q}_{-n}$ – кубильяж зонотопа $\tilde Z=Z(n-1,d)$, полученный редукцией цвета $n$. Тогда *шов $\mathcal S $ от этой редукции является мембраной*. В самом деле, замена вектора $v_n$ на $d$-й базисный вектор $e_d=(0,...,0,1)$ в ${\mathbb  R}^d$ приводит к подобной векторной конфигурации. Поэтому (см. раздел 4) можно произвести экспансию шва $\mathcal
S $ в направлении $e_d$ и получить кубильяж ${\mathcal Q}'$, подобный ${\mathcal Q}$. А это значит (см. основную теорему из раздела 3), что шов $\mathcal S$ биективно проектируется на зонотоп $\pi (Z)=Z(n,d-1)$.

Напротив, имея мембрану ${\mathcal M}$ в кубильяже $\widetilde{{\mathcal  Q}}$ зонотопа $\widetilde Z=Z(n-1,d)$, мы можем экспансировать эту мембрану в направлении нового вектора $v_n={\bf v}(t_n)$, где $t_n>t_{n-1}$. Дело в том, что направление, задаваемое вектором $v_n$, также трансверсально мембране ${\mathcal M}$ (как и направление ${\bf v}(+\infty )$). Мы говорили об этом в разделе 4 про подобные конфигурации. В результате получаем новый кубильяж ${\mathcal Q}$ зонотопа $Z=Z(n,d)$. ‘Раздвинутая’ мембрана ${\mathcal
M}+[0,v_n]$ становится перегородкой старшего цвета $n$ в $\mathcal Q$. Редуцируя по этому цвету, мы возвращаемся к исходному кубильяжу $\widetilde{{\mathcal Q}}$.

Таким образом, пара $(\widetilde{{\mathcal Q}},{\mathcal M})$, где $\widetilde{{\mathcal Q}}$ – кубильяж зонотопа $\widetilde{Z}=Z(n-1,d)$, а ${\mathcal M}$ – мембрана в $\widetilde{{\mathcal Q}}$, определяет кубильяж ${\mathcal Q}$ зонотопа $Z=Z(n,d)$. И на этом пути получаются все кубильяжи зонотопа $Z$. В самом деле, пусть ${\mathcal Q}$ – произвольный кубильяж $Z$. Возьмем в нем перегородку ${\mathcal P}$ цвета $n$ и редуцируем ее. Шов $\mathcal S $ от этой редукции, как уже говорилось, является мембраной для редуцированного кубильяжа $\widetilde{{\mathcal Q}}={\mathcal Q}_{-n}$ редуцированного зонотопа $Z(n-1,d)$. Экспансия этой мембраны $\mathcal S $ возвращает нас к исходному кубильяжу ${\mathcal Q}$.

Итог этого обсуждения можно подвести следующим утверждением.

\[pr:4\] Задать кубильяж зонотопа $Z(n,d)$ – то же самое, что задать пару $(\widetilde{{\mathcal Q}}, {\mathcal M})$, где $\widetilde{{\mathcal Q}}$ – кубильяж зонотопа $Z(n-1,d)$, а ${\mathcal M}$ – мембрана для $\widetilde{{\mathcal Q}}$.

Или чуть иначе: существует естественное сюръективное отображение ${\bf Q}(n,d)
\to {\bf Q}(n-1,d)$; слой его над любой точкой ${\mathcal Q}\in {\bf Q}(n-1,d)$ совпадает с множеством ${\bf M}({\mathcal Q})$ мембран для ${\mathcal
Q}$.

[**Пример 2.**]{} Стандартный кубильяж зонотопа $Z(n,d)$ получается из стандартного же кубильяжа зонотопа $Z'=Z(n-1,d)$ с помощью ‘задней’ мембраны $\partial_+(Z')$ (невидимой части границы $Z'$). [См. рис. \[fig:7\], где $d=2$.]{}

В самом деле, мы определяли стандартный кубильяж зонотопа $Z(n,d)$ как образ ‘передней’ (видимой) мембраны $\partial_-Z(n,d+1)$ зонотопа $Z(n,d+1)$. Но как выглядит последняя? Зонотоп $Z(n,d+1)$ получается из зонотопа $Z(n-1,d+1)$ прибавлением отрезка $[0,{\bf v}_{d+1}(n)]$. Соответственно, его видимая граница состоит из видимой границы $\partial _-$ зонотопа $Z(n-1,d+1)$ плюс фасеты вида $F+[0,{\bf v}_{d+1}(n)]$, где $F$ пробегает множество невидимых (в направлении координаты $d$) фасет этой видимой границы $\partial _-$. При проекции вдоль координаты $d+1$ первая половина превращается в стандартный кубильяж зонотопа $Z'=Z(n-1,d)$, а фасеты $F$ – в невидимые фасеты этого зонотопа $Z'$, образуя в совокупности невидимую часть границы зонотопа $Z'$. Поэтому вторая половина проектируется в точности на экспансию (по цвету $n$) задней (невидимой) мембраны зонотопа $Z'$.

Аналогично, антистандартный кубильяж получается экспансией по цвету $n$ передней (видимой) мембраны $\partial_-Z'$ антистандартного кубильяжа зонотопа $Z'=Z(n-1,d)$.

Кубы и флопы {#sec:cubes}
============

Рассмотрим более обстоятельно случай куба, зонотопа $C=Z(d,d)$. У него есть всего две мембраны – видимая (передняя) $\partial_-C$ и невидимая (задняя) $\partial_+C$, которые при проекции $\pi$ дают стандартный и антистандартный кубильяжи зонотопа $Z(d,d-1)$. Из подсчета числа вершин обода (см. (1.2)) видно, что на передней мембране имеется ровно одна ‘внутренняя’ вершина $t$ (назовем ее *хвостом*), как и на задней одна ‘внутренняя’ вершина $h$ (назовем ее *головой*).

![Хвост и голова[]{data-label="fig:4"}](hvost)

Скажем более конкретно о спектрах этих вершин. Для этого вернемся к разделу 1, где описывались фасеты зонотопа. Аналогично можно поступить и здесь, для описания вершин $t$ и $h$. Напомним, что вектора $v_1,...,v_d$ задавались числами $t_1<...<t_d$ и мы полагали $v_i=\textbf{v}(t_i)$. Возьмем некоторые перемежающие их числа $s_1,...,s_{d-1}$, так что $t_1<s_1<t_2<...<t_{d-1}<s_{d-1}<t_{d}$. И в качестве линейного функционала на пространстве $\mathbb{R}^{d}$ возьмем $\det(\textbf{v}(s_1), ...,
\textbf{v}(s_{d-1}), \bullet)$. Заметим, что этот функционал положителен на векторах $v_{d}$ и $e_{d}$. Он положителен также на векторах $v_i$, когда $i$ имеет ту же четность, что и $d$, и отрицателен на векторах $v_i$, когда $i$ имеет противоположную с $d$ четность. Отсюда видно, что [головная]{} вершина ${h}$ есть сумма векторов $v_i$, таких что $d-i$ четно, тогда как [хвостовая]{} вершина ${t}$ есть сумма векторов $v_i$, таких что $d-i$ нечетно. Так что $sp(h)=\{d,d-2,...\}$, тогда как $sp(t)=\{d-1,d-3,...\}$. [Например, в случае $d=3$ (см. рис. \[fig:4\])]{} $sp(t)=2$, $sp(h)=13$ (как и далее, 13 обозначает множество $\{1,3\}$). Очевидно, что в объединении эти множества-спектры дают все $[d]$.

Стрелку, идущую из хвоста $t$ в голову $h$, будем назвать *хордой* куба $C$. В случае четного $d$ хорда идет горизонтально, тогда как в при нечетном $d$ она поднимается на 1 при каждом шаге, как видно из рис. \[fig:4\]. [Здесь впервые начинает проявляться небольшое различие между четными и нечетными $d$.]{}

После расмотрения изолированного куба обратимся к общей ситуации. Пусть ${\mathcal Q}$ – кубильяж зонотопа $Z=Z(n,d)$, и $Q$ – некоторый куб этого кубильяжа с хвостом $t_Q$, головой $h_Q$ и хордой $t_Q \to h_Q$. Если мы проделаем это с каждым кубом кубильяжа, то эти хорды дадут структуру направленного графа на множестве вершин кубильяжа ${\mathcal Q}$. Этот граф состоит из путей-нитей, соединяющих (внутренние) вершины передней мембраны $\partial_-Z$ с (внутренними же) вершинами задней мембраны $\partial_+Z$. Каждый куб оказывается ‘нанизанным’ на свою хорду, а кубы, нанизанные на пути, выглядят как ‘гирлянды’. Считая, что вершины обода соединены сами с собой путем длины 0, мы получаем интересную (и слабо изученную) ‘гирляндную’ биекцию множества вершин передней мембраны в множество вершин задней мембраны зонотопа $Z$.

![Гирлянда в зоногоне $Z(5,2)$[]{data-label="fig:5"}](girlanda)

Разумеется, можно не ограничиваться только граничными мембранами. Если $\mathcal{M}$ и $\mathcal{M}'$ – две произвольные мембраны (одного и того же кубильяжа), то каждая гирлянда ‘протыкает’ каждую из мембран ровно одит раз. Тем самым мы получаем ‘гирляндную’ биекцию между множеством вершин $\mathcal{M}$ и множеством вершин $\mathcal{M}'$. Это лишний раз показывает, что число вершин у каждой мембраны такое же, как у стандартной. На самом деле мы получаем даже больше: при четном $d$ у всех мембран зонотопа $Z(n,d)$ на каждой высоте одно и то же число вершин. Или: при нечетном $d$ у любого кубильяжа зонотопа $Z(n,d)$ число вершин на каждом этаже одно и то же.

[**Пример.**]{} [Проиллюстрируем гирляндную биекцию на примере стандартного кубильяжа занотопа $Z(4,3)$. Как уже говорилось в предыдущем разделе, такой кубильяж получается из куба $C=Z(3,3)$ экспансией по цвету 4 задней стороны этого куба. Задняя сторона $\partial _+C$ состоит из трех пластинок-ромбов, так что стандартный кубильяж $Z(4,3)$ состоит из четырех кубов: исходного $C$ и трех ‘экспансированных’ из этих пластинок. Мы изобразили все это на рис. 5, где для наглядности вынули и слегка отодвинули первый куб $C$.]{}

![Гирляндное отображение для стандартного кубильяжа зонотопа $Z(4,3)$[]{data-label="fig:6"}](girlandahm)

Передняя сторона (или мембрана) зонотопа $Z(4,3)$ содержит, кроме периферийных (лежащих на ободе), три вершины со спектрами 2,3 и 23. Так как гирляндное отображение $\gamma _S$ тривиально действует на ободе, нам нужно понять – куда при отображении $\gamma _S$ переходят эти три вершины 2, 3 и 23. Глядя на рисунок, мы видим, что 2 переходит сначала в точку 13, которая затем переходит в точку 124. Точка 3 переходит в 14, а точка 23 – в 134. Окончательно, $$\gamma _S:         \left\{ \begin{array}{c}
                                 2\mapsto 124 \\
                                 3 \mapsto 14 \\
                                 23 \mapsto 134
                               \end{array}\right..$$ Действуя аналогично, можно убедиться, что гирляндное отображение $\gamma _A$ (для антистандартного кубильяжа $Z(4,3)$) устроено так: $$\gamma _A:  \left\{ \begin{array}{c}
                                 2\mapsto 14 \\
                                 3 \mapsto 134 \\
                                 23 \mapsto 124
                               \end{array}\right..$$

[Последнее, впрочем, можно увидеть и из следующего общего соображения. Произвольный зоногон $Z$ симметричен относительно своего центра. Если обозначить эту симметрию как $\alpha $, мы для любого кубильяжа $\mathcal Q $ можем рассмотреть симметричный ему кубильяж $\alpha \mathcal Q $ того же зонотопа $Z$. При этом стандартный кубильяж переходит в антистандартный, и наоборот. Пусть $S$ обозначает вершины зоногона на передней стороне $Z$, а $A$ – вершины на задней стороне. Инволюция $\alpha $ осуществляет биекцию $S$ на $A$; подмножество $X$ переходит в свое дополнение $[n]-X$.]{}

\[pr:4\] Если $\gamma _\mathcal Q :S \to A$ – гирляндная биекция, связанная с кубильяжем $\mathcal Q $, то $\gamma _{\alpha
      \mathcal Q }=\alpha ^{-1}\gamma _\mathcal Q \alpha $.

При инволюции $\alpha $ каждая хорда куба $Q$ переходит в противоположно направленную хорду куба $\alpha Q$.

Пусть ${\mathcal M}$ – мембрана в некотором кубильяже ${\mathcal Q}$. Представим, что некоторый куб $Q$ кубильяжа ${\mathcal Q}$ касается мембраны всей своей видимой границей $\partial _-Q$. (Ниже мы увидим, что такая ситуация не исключительна и встречается постоянно.) В этом случае можно образовать новую мембрану ${\mathcal M}'$, которая всюду совпадает с ${\mathcal
M}$, за исключением того, что этот фрагмент $\partial _-Q$ заменяется новым фрагментом $\partial _+Q$. Иначе говоря, если мембрана ${\mathcal M}$ обходила куб $C$ спереди, то теперь она обходит его сзади. Мы говорим, что мембрана ${\mathcal M}'$ получена из ${\mathcal M}$ с помощью [*повышающего флопа*]{} (а ${\mathcal M}$ получена из ${\mathcal M}'$ *понижающим флопом*).

Это можно выразить чуть иначе. Пусть ${\mathcal Q}_-({\mathcal M})$ обозначает набор кубов кубильяжа ${\mathcal Q}$, которые расположены до мембраны ${\mathcal M}$. Тогда ${\mathcal Q}_-({\mathcal M}')$ получается добавлением к ${\mathcal Q}_-({\mathcal M})$ ровно одного куба $Q$. Так что при повышающих флопах мембрана движется ‘от нас’, захватывая по очереди по одному кубу кубильяжа, пока не дойдет до ‘задней’ границы зонотопа.

Капсиды и флипы {#sec:capsid}
===============

После обстоятельного рассмотрения куба естественно перейти к следующему по сложности случаю зонотопа $Z=Z(d+1,d)$. Такой зонотоп (или подзонотоп в большем зонотопе $Z(n,d)$) будем для краткости называть [*капсидом*]{}[^5].

Капсид представляется как проекция $(d+1)$-мерного куба $\widehat{Z}=Z(d+1,d+1)$. Проекция передней мембраны этого куба дает стандартный кубильяж капсида $Z$. А проекция ‘хвоста’ $t_{\widehat{Z}}$ дает единственную ‘центральную’ (не лежащую на ободе) вершину стандартного кубильяжа, которую мы обозначим как $c^{st}$. Ее спектр $sp(c^{st})=\{d,
d-2,...\}$. Эта вершина со всех сторон окружена кубами стандартного кубильяжа капсида и является вершиной каждого куба этого кубильяжа. Симметрично невидимая мембрана содержит ‘центральную’ вершину $c^{an}$ антистандартного кубильяжа капсида со спектром $\{d+1, d-1,...\}$. Например, при $d=2$ $sp(c^{st})=2$, $sp(c^{an})=13$; при $d=3$ $sp(c^{st})=13$, $sp(c^{an})=24$.

В силу Следствия из Раздела 4 мы получаем, что капсид имеет только два кубильяжа, описанных выше. Подведем итог:

\[pr:5\] Капсид $Z(d+1,d)$ допускает всего два кубильяжа - стандартный и антистандартный. Стандартный кубильяж характеризуется тем, что кроме вершин обода содержит вершину $c^{st}$ со спектром $\{d, d-2,...\}$. Симметрично, антистандартный кубильяж характеризуется тем, что кроме вершин обода содержит вершину $c^{an}$ со спектром $\{d+1, d-1,...\}$. $\Box$

Утверждение про два кубильяжа капсида можно получить также из Предложения 3. Последнее говорит, что задать кубильяж капсида $Z(d+1,d)$ – это то же самое, что задать мембрану в кубе $C=Z(d,d)$. Но у куба есть всего две мембраны: видимая часть границы $\partial_-C$ и невидимая часть границы $\partial_+C$. Соответственно, у капсида $Z(d+1,d)$ есть два кубильяжа. Один получается $(d+1)$-экспансией задней мембраны $\partial _+C$; это стандартный кубильяж. Другой (антистандартный) получается путем экспансии передней мембраны $\partial_-C$. См. рис. 7.

![экспансия мембран куба[]{data-label="fig:7"}](expan)

Предположим теперь, что у нас имеется некоторый кубильяж ${\mathcal Q}$ произвольного зонотопа $Z(n,d)$, а в нем фрагмент вида $Z(d+1,d)$ (то есть граница этого капсида является подкомплексом комплекса ${\mathcal Q}$). Ограничение кубильяжа ${\mathcal Q}$ на этот капсид $Z(d+1,d)$ является стандартным или антистандартным кубильяжем. Замена кубильяжа этого фрагмента противоположным кубильяжем называется [*флипом*]{} ([*повышающим*]{}, когда стандатрный фрагмент заменяется антистандартным, и [*понижающим*]{} в противном случае). Флип меняет кубильяж ${\mathcal Q}$ на некоторый новый кубильяж ${\mathcal Q}'$, отличающийся от ${\mathcal Q}$ лишь локально, внутри капсида.

Связь флипов с флопами, рассмотренными в предыдущем разделе, очевидна. Предположим: что кубильяж ${\mathcal Q}$ зонотопа $Z(n,d)$ получен как проекция мембраны $\mathcal{M}$ в кубильяже $\widehat{{\mathcal Q}}$ “большего” зонотопа $\widehat{Z}=Z(n, d+1)$. И мы делаем (скажем, повышающий) флоп с этой мембраной, заменяя ее мембраной $\mathcal{M}'$. Тогда проекция $\mathcal{Q}'$ новой мембраны $\mathcal{M}'$ получается применением (повышающего) флипа к кубильяжу $\mathcal{Q}'$.

Как мы увидим ниже, флипов много, хотя бы в том смысле, что от любого кубильяжа ${\mathcal Q}$ можно добраться до стандартного кубильяжа ${\mathcal
Q}_{st}$ с помощью понижающих флипов. Однако независимо от этого факта можно ввести понятие *порядка* на множестве ${\bf Q}(n,d)$. А именно, ${\mathcal Q} \le {\mathcal Q}'$, если от кубильяжа ${\mathcal Q}$ до кубильяжа ${\mathcal Q}'$ можно добраться серией повышающих флипов. Чтобы показать, что флипов ‘много’, полезно ввести важное понятие естественного порядка на множестве кубов произвольного кубильяжа.

Порядок кубов в кубильяже {#sec:order_in_cubil}
=========================

Пусть ${\mathcal Q}$ – кубильяж (циклического) зонотопа $Z(n,d)\subset
{\mathbb R}^d$. Оказывается, можно частично упорядочить некоторым естественным образом кубы этого кубильяжа. Говоря грубо – по росту $d$-й координаты. Но более правильно – по тому, располагается ли один куб за другим при смотрении в направлении $d$-й координаты.

Пусть $Q$ – некоторый куб кубильяжа ${\mathcal Q}$, и $F$ – его фасета. Скажем, что фасета $F$ куба $Q$ *видимая* (или освещенная), если существует прямая (в ${\mathbb R}^d$), параллельная координатному вектору $e_d$, которая сначала пересекает $F$ и лишь после этого входит в куб $Q$. Противоположная (к $F$ в $Q$) фасета называется *невидимой* или затененной. Очевидно, что из $2d$ фасет куба половина видимые, а половина затенненные.

Пусть теперь $Q$ и $Q'$ – два куба кубильяжа ${\mathcal Q}$. Скажем, что куб $Q$ [*непосредственно предшествует*]{} кубу $Q'$ (и пишем $Q\prec Q'$), если $Q$ и $Q'$ соседние по фасете $F$, которая невидима для $Q$ и видима для $Q'$. Так на ${\mathcal Q}$ возникает бинарное отношение $\prec $ (или $\prec
_{\mathcal Q}$, если быть точнее).

![Отношение $\prec$ на кубильяже зоногона $Z(5,2)$.[]{data-label="fig:8"}](r1)

Рисунок \[fig:8\] подсказывает следующее обобщение:

\[pr:6\] Отношение $\prec $ ациклично.

Это утверждение, как и следующая Лемма о реверсе доказываются в Дополнении 4. Лемма относится к следующей ситуации. Пусть ${\mathcal P}={\mathcal P}_n$ - перегородка старшего цвета $n$ в кубильяже ${\mathcal Q}$ зонотопа $Z=Z(n,d)$. Редукция этой перегородки дает кубильяж $\widetilde{{\mathcal
Q}}$ зонотопа $\widetilde{Z}=Z(n-1,d)$ и шов-мембрану ${\mathcal M}$ в $\widetilde{{\mathcal Q}}$. Проектируя ${\mathcal M}$ вдоль $d$-ой координатной оси $e_d$, мы получаем кубильяж ${\mathcal Q}'=\pi ({\mathcal
M})$ зонотопа $       Z'=Z(n,d-1)$.

Пусть теперь $Q$ и $R$ – два куба из перегородки ${\mathcal P}$, связанные отношением непосредственного предшествования, $R\prec Q$. При редукции кубы $Q$ и $R$ превращаются в пластинки-фасеты $\gamma (Q)$ и $\gamma (R)$ мембраны ${\mathcal M}$; их образы при проекции $\pi $ дают кубы $Q'$ и $R'$ кубильяжа ${\mathcal Q}'$. Очевидно, что $ Q'$ и $R'$ тоже соседние в кубильяже ${\mathcal Q}'$, и мы можем сравнить их отношением непосредственного предшествования $\prec '$ в кубильяже ${\mathcal Q}'$.

\[lm:2\] [(о реверсе).]{} *Если кубы $R$ и $Q$ лежат в перегородке ${\mathcal P}$ и $R\prec Q$ , то $Q' \prec' R'$.*

![На рисунке слева для кубов $R$ и $Q$ из перегородки выполнено $R\prec Q$. Справа нарисован кубильяж $\mathcal{Q'}$, полученный сжатием перегородки. Для соотвествующих кубов $R'$ и $Q'$ выполнено противоположное соотношение $Q' \prec R'$.[]{data-label="fig:9"}](revers)

Непосредственным следствием Леммы о реверсе является то, что *ограничение отношения $\prec $ на перегородку ${\mathcal P}$ (цвета $n$) противоположно отношению $\prec '$ для кубильяжа* ${\mathcal Q}'$ (здесь мы отождествляем множество ${\mathcal P}$ с ${\mathcal Q}'$ через $P \mapsto \gamma (P) \mapsto
P'$).

[**Определение.**]{} [*Естественным порядком*]{} на кубильяже ${\mathcal Q}$ называется рефлексивно-транзитивное замыкание отношения $\prec $; мы обозначаем его $\preceq $ или $\preceq_{\mathcal Q}$.

По определению это отношение $\preceq $ является предпорядком; нетривиальность в том, что оно является *порядком*, то есть антисимметрично ($Q\preceq Q'$ и $Q'\preceq Q$ влекут $Q=Q'$). Именно это и дает Предложение 6.

[**Пример 1.**]{} Пусть $Q$ и $Q'$ – два куба из одного туннеля, и $Q'$ идет после $Q$ при движении от видимой границы зонотопа к невидимой. Тогда $Q\preceq
Q'$.

[**Пример 2.**]{} Пусть куб $Q$ ‘частично затеняет’ $Q'$, то есть имеется прямая, параллельная координатному вектору $e_n$, которая протыкает (пересекает по внутренней точке) куб $Q$ раньше, чем $Q'$. Тогда $Q\preceq Q'$. В самом деле, надо рассмотреть цепочку кубов $Q_1,...,Q_k$, которые эта прямая пересекает по пути от $Q$ к $Q'$. Тогда $Q\prec Q_1\prec  ...\prec Q_k\prec Q'$.

Отметим, что мы могли бы начать с этого более сильного отношения затенения и (после транзитивного замыкания) получить то же отношение $\preceq $.

[**Пример 3.** Пусть куб $Q'$ располагается непосредственно после куба $Q$ в некоторой гирлянде (то есть голова $Q$ совпадает с хвостом $Q'$, см. раздел 7). Тогда $Q$ затеняет $Q'$ и по предыдущему примеру $Q\preceq Q'$. ]{}

Пусть ${\mathcal Q}$ – кубильяж, а ${\mathcal Q}_{-i}$ – редукция ${\mathcal
Q}$ по цвету $i$. Как множество кубов ${\mathcal Q}_{-i}$ отождствляется с ${\mathcal Q}-{\mathcal P}_i$, так что можно рассматривать ${\mathcal Q}_{-i}$ как подмножество в ${\mathcal Q}$.

\[pr:7\] Ограничение порядка $\preceq $ на ${\mathcal Q}_{-i}$ сильнее, чем порядок $\preceq _{-i}$ на ${\mathcal Q}_{-i}$.

Иначе говоря, если для кубов $Q$ и $R$ из редуцированного кубильяжа ${\mathcal
Q}_{-i}$ выполнено соотношение $Q\preceq _{-i}R$, то $Q\preceq R$.

Для доказательства мы должны проверить, что если $Q$ непосредственно предшествует $R$ в ${\mathcal Q}_{-i}$, то $Q\preceq R$. Соотношение $Q\prec
_{-i} R$ означает, что кубы $Q$ и $R$ соседние в ${\mathcal Q}_{-i}$ по фасете $F$, причем $Q$ располагается раньше. Возможны два случая. Первый – фасета $F$ не является пластиной шва $\mathcal S$ редукции. Тогда $Q$ и $R$ соседние уже в ${\mathcal Q}$ и все очевидно. Второй – фасета $F$ принадлежит шву. Но тогда она получилась редукцией цвета $i$ в кубе $S=F+[0,v_i]$. И очевидно, что (в кубильяже ${\mathcal Q}$) мы имеем соотношения $Q\prec S\prec R$. См. рисунок \[fig:10\].

(120.00,35) (25,10)[(-1,1)[10]{}]{} (35,20)[(-1,1)[10]{}]{} (50,25)[(-1,1)[10]{}]{} (25,30)[(-1,-1)[10]{}]{} (35,20)[(-1,-1)[10]{}]{} (35,20)[(3,1)[15]{}]{} (25,30)[(3,1)[15]{}]{} (24.00,20.00)[(0,0)\[cc\][$Q$]{}]{} (30.00,24.00)[(0,0)\[cc\][$F$]{}]{} (37.00,28.00)[(0,0)\[cc\][$R$]{}]{} (80,30)[(-1,-1)[10]{}]{} (90,20)[(-1,-1)[10]{}]{} (80,10)[(-1,1)[10]{}]{} (120,20)[(-1,1)[10]{}]{} (90,20)[(-1,1)[10]{}]{} (105,15)[(-1,1)[10]{}]{} (95,25)[(3,1)[15]{}]{} (105,15)[(3,1)[15]{}]{} (105.00,15.00)[(-3,1)[15.00]{}]{} (95.00,25.00)[(-3,1)[15.00]{}]{} (38.00,5.00)[(0,0)\[cc\][$\mathcal{Q}_{-i}$]{}]{} (96.00,5.00)[(0,0)\[cc\][$\mathcal{Q}$]{}]{} (96.00,15.00)[(0,0)\[cc\][$v_i$]{}]{} (80.00,20.00)[(0,0)\[cc\][$Q$]{}]{} (107.00,23.00)[(0,0)\[cc\][$R$]{}]{} (93.00,22.5)[(0,0)\[cc\][$S$]{}]{}

Порядок на кубильяжах капсида {#sec:order_in_kapsid}
=============================

Наиболее просто Предложение 7 работает для стандартного кубильяжа. Дело в том, что редукция $\widetilde{\mathcal Q}={\mathcal Q}_{-n}$ стандартного кубильяжа ${\mathcal Q}={\mathcal Q}_{st}$ зонотопа $Z(n,d)$ по цвету $n$ является стандартным кубильяжем (зонотопа $Z(n-1,d)$). Более того, сжатие перегородки ${\mathcal P}={\mathcal P}_n$ цвета $n$ в ${\mathcal Q}$ дает антистандартный кубильяж зонотопа $Z'=Z(n-1,d-1)$. Этими соображениями можно воспользоваться, чтобы полностью описать естественный порядок на стандартном кубильяже. Мы проделаем это упражнение для случая $n=d+1$, то есть для капсида.

Пусть ${\mathcal Q}$ – стандартный кубильяж капсида $Z=Z(d+1,d)$. Редуцированный кубильяж $\widetilde{{\mathcal Q}}$ – это тривиальный кубильяж куба $\widetilde{Z}=Z(d,d)$. Перегородка ${\mathcal P}$ (цвета $n=d+1$) примыкает к невидимой (задней) части $\partial _-(\widetilde{Z})$ границы куба $\widetilde{Z}$; более точно, она получается суммированием этой задней части границы с отрезком $[0,v_n]$. Поэтому кубы из перегородки имеют вид $F+[0,v_n]$, где $F$ пробегает невидивые фасеты куба $\widetilde{Z}$. [(Посмотрите на рис. 6 и 7.)]{} Видно, что все они $\succ$ куба $\widetilde{Z}$. И остается разобраться с порядком на кубах перегородки ${\mathcal P}$. Но, как мы знаем из Леммы о реверсе, этот порядок противоположен порядку кубильяжа, полученного проекцией $\pi $ (сжатием) задней мембраны $\partial
_+(\widetilde{Z})$, то есть антистандартного кубильяжа ‘меньшего’ капсида $Z'=Z(d,d-1)$. Так что порядок на кубах из ${\mathcal P}$ – это в точности порядок на стандартном кубильяже капсида $Z(d,d-1)$. Индукцией по $d$ мы получаем

\[pr:8\] Естественный порядок на стандартном кубильяже капсида $Z(d+1,d)$ – полный (или линейный).

=.6mm

(80.00,42.00)(-50,0) (60,45)[(2,-1)[20]{}]{} (40,35)[(2,-1)[20]{}]{} (40,15)[(2,-1)[20]{}]{} (60,5)[(0,1)[20]{}]{} (40,15)[(0,1)[20]{}]{} (80,15)[(0,1)[20]{}]{}

(60,5)[(2,1)[20]{}]{} (40,35)[(2,1)[20]{}]{} (60,25)[(2,1)[20]{}]{} (50.00,20.00)[(0,0)\[cc\][12]{}]{} (70.00,20.00)[(0,0)\[cc\][23]{}]{} (60.00,35.00)[(0,0)\[cc\][13]{}]{} (52.00,23.00)[(2,3)[6.00]{}]{} (62.00,32.00)[(3,-4)[6.67]{}]{} (53.00,19.00)[(1,0)[13.00]{}]{}

Иначе говоря, это цепь из $n=d+1$ элемента. Более того, мы видим, что уже отношение $\prec $ в этом случае транзитивно. Куб $\widetilde{Z}$ – минимальный элемент этого порядка. Заметим, что его тип равен $[d] = [n]-n$. Та же индукция, что и выше, показывает, что в терминах типов кубов порядок на стандарном кубильяже капсида $Z(d+1,d)$ совпадает с лексикографическим порядком $\prec _{lex}$ на множестве $Gr([d+1],d)$ подмножеств размера $d$ в $[d+1]$. Например, при $d=6$ этот порядок выглядит так: $$12345 \prec  12346 \prec  12356 \prec  12456 \prec       13456 \prec  23456.$$

Для антистандартного кубильяжа капсида порядок $\prec $ тоже линейный, но в терминах типов меняется на противоположный, антилексикографический, $\prec
_{antilex}$.

Мы оставляем как упражнение разбор следующего по сложности случая: стандартного кубильяжа зонотопа $Z(d+2,d)$. Ответ для стандартного кубильяжа зонотопа $Z(6,4)$ изображен на рис. 12.[^6]

=.75mm

(110.00,55)(-35,0) (31.00,10.00)[(0,0)\[cc\][1234]{}]{} (50.00,10.00)[(0,0)\[cc\][1236]{}]{} (70.00,10.00)[(0,0)\[cc\][1256]{}]{} (90.00,10.00)[(0,0)\[cc\][1456]{}]{} (110.00,10.00)[(0,0)\[cc\][3456]{}]{} (40.00,20.00)[(0,0)\[cc\][1235]{}]{} (60.00,20.00)[(0,0)\[cc\][1246]{}]{} (80.00,20.00)[(0,0)\[cc\][1356]{}]{} (100.00,20.00)[(0,0)\[cc\][2456]{}]{} (50.00,30.00)[(0,0)\[cc\][1245]{}]{} (70.00,30.00)[(0,0)\[cc\][1346]{}]{} (90.00,30.00)[(0,0)\[cc\][2356]{}]{} (60.00,40.00)[(0,0)\[cc\][1345]{}]{} (80.00,40.00)[(0,0)\[cc\][2346]{}]{} (70.00,50.00)[(0,0)\[cc\][2345]{}]{}

(32.00,12.00)[(1,1)[6.00]{}]{} (42.00,22.00)[(1,1)[6.00]{}]{} (52.00,32.00)[(1,1)[6.00]{}]{} (62.00,42.00)[(1,1)[6.00]{}]{} (52.00,12.00)[(1,1)[6.00]{}]{} (62.00,22.00)[(1,1)[6.00]{}]{} (72.00,32.00)[(1,1)[6.00]{}]{} (72.00,12.00)[(1,1)[6.00]{}]{} (82.00,22.00)[(1,1)[6.00]{}]{} (92.00,12.00)[(1,1)[6.00]{}]{}

(42.00,18.00)[(1,-1)[6.00]{}]{} (62.00,18.00)[(1,-1)[6.00]{}]{} (52.00,28.00)[(1,-1)[6.00]{}]{} (82.00,18.00)[(1,-1)[6.00]{}]{} (72.00,28.00)[(1,-1)[6.00]{}]{} (62.00,38.00)[(1,-1)[6.00]{}]{} (102.00,18.00)[(1,-1)[6.00]{}]{} (92.00,28.00)[(1,-1)[6.00]{}]{} (82.00,38.00)[(1,-1)[6.00]{}]{} (72.00,48.00)[(1,-1)[6.00]{}]{}

При рассмотрении естественного порядка на общем кубильяже важную роль играет следующее соображение. Каждый капсид (то есть подзоногон $Z(d+1,d)$ в кубильяже ${\mathcal Q}$) задает свой тип $K$, подмножество размера $d+1$ в $[n]$. В свою очередь, пусть $K\subset [n]$ – произвольное подмножество размера $d+1$. Рассмотрим в ${\mathcal Q}$ множество $\mathcal F (K)$, состоящее из кубов $Q\in {\mathcal Q}$, типы которых содержатся в $K$. Число таких кубов равно $d+1$, и они параметризуются своими типами $K-i$, где $i$ пробегает $K$. В совокупности эти кубы представляют как бы ‘разбежавшийся’ капсид (настоящий капсид состоит из кубов, тесно прижатых друг к другу). Редуцируя цвета, не входящие в $K$, мы ‘прижмем’ эти кубы друг к другу. Более точно, пусть ${\mathcal Q}_K$ обозначает кубильяж, полученный из ${\mathcal Q}$ редукцией всех цветов, не принадлежащих $K$. Как множество, ${\mathcal Q}_K$ отождествляется с $\mathcal F (K)$. Кубильяж ${\mathcal Q}_K$ является кубильяжем капсида $Z(K,d)$ и поэтому либо стандартный, либо антистандартный. И так как (см. Пример 3 выше) естественный порядок $\preceq $ на $\mathcal F
(K)$ совпадает с порядком на ${\mathcal Q}_K$, то он во-первых, линейный (то есть $\mathcal F (K)$ - это цепь для $\preceq $), и во-вторых, в терминах типов он либо лексикографический, либо антилексикографический. Причем какой – легко понять. В множестве $K$ как подмножестве $[n]$ есть максимальный элемент, пусть это $k$. Тогда все определяется тем – будет ли куб $Q$ с типом $K-k$ расположен раньше перегородки ${\mathcal P}_k$ цвета $k$ в ${\mathcal  Q}$ (и тогда $Q$ – минимальный элемент в $\mathcal F(K)$, а порядок лексикографический), либо позже перегородки (и тогда куб $Q$ максимален, а порядок $\preceq $ на подмножестве $\mathcal F (K)$ антилексикографический).

Итак, ограничения $\preceq $ на такие ‘капсидо-подобные’ системы $\mathcal F
(K)$ в ${\mathcal Q}$ являются линейными порядками (цепями). В свою очередь, эти цепи однозначно определяют $\preceq $. Более точно,

\[pr:9\] Естественный порядок $\preceq $ на кубильяже ${\mathcal Q}$ – это транзитивное замыкание цепей $(\mathcal F (K),\preceq _{\mathcal F (K)})$ по всем $K\subset [n]$ размера $d+1$.

Для доказательства достаточно проверить, что если $Q\prec R$ для кубов $Q$ и $R$ кубильяжа ${\mathcal Q}$, то $Q$ и $R$ встечаются в некотором ‘разбросанном’ капсиде $\mathcal F (K)$. В самом деле, надо взять в качестве $K$ объединение типов $Q$ и $R$; так как эти кубы соседние, размер $K$ равен $d+1$. $\Box$

Таким образом, естественный порядок $\preceq $ на кубильяже ${\mathcal Q}$ можно было бы определять не через отношение $\prec $ ‘непосредственного следования’, но через цепи $\mathcal F (K)$ размера $d+1$. Мы вернемся к этому обстоятельству в комбинаторной части.

Стэки и мембраны {#sec:stack-membr}
================

[**Определение.**]{} Подмножество $\mathcal S $ кубов в ${\mathcal Q}$ называется [*стэком*]{}, если с каждым кубом $Q$ подмножество $\mathcal S $ содержит и меньшие (относительно $\prec$ или $\preceq $) кубы. Иными словами, это порядковый идеал в посете $({\mathcal Q}, \preceq)$. *Телом* стэка $\mathcal S $ называется подмножество в $Z=Z(n,k)$, являющееся объединением кубов, входящих в $\mathcal S $, плюс множество точек видимой границы зонотопа $Z$.

Интерес стэков вызван тем, что они задают мембраны кубильяжа ${\mathcal Q}$. В самом деле, любая прямая, параллельная $d$-ой оси координат, проходя внутри зонотопа $Z$, сначала идет по телу стэка $\mathcal S$, потом в какой-то момент пересекает границу стэка и уже не возвращается в стэк. Множество этих ‘последних’ точек стэка образует мембрану ${\mathcal M}={\mathcal M}(\mathcal S
)$ в кубильяже ${\mathcal Q}$. В самом деле, оно состоит из фасет кубильяжа ${\mathcal Q}$ и биективно проектируется на $Z'=\pi (Z)$. Обратно, если ${\mathcal M}$ – мембрана кубильяжа ${\mathcal Q}$, и мы соберем все кубы, расположенные до мембраны, мы получим стэк $\mathcal S ({\mathcal M})$. Очевидно, что эти операции взаимно обратны, и мы получаем

\[pr:10\] Множество ${\bf S}({\mathcal Q})$ стэков в кубильяже ${\mathcal Q}$ и множество мембран ${\bf M}({\mathcal Q})$ естественно биективны. $\Box$

[**Следствие.**]{} [*Зонотоп $Z(d+2,d)$ имеет $2(d+2)$ различных кубильяжей.*]{}

Согласно Предложению \[pr:3\] из раздела 6, задать кубильяж зонотопа $Z(d+2,d)$ – это то же самое, что задать мембрану в некотором кубильяже капсида $Z(d+1,d)$. У последнего имеется всего два кубильяжа – стандартный и антистандартный. И на каждом из них естественный порядок является цепью (длины $d+1$). Соответственно, имеется $d+2$ стэка, а в силу предыдущего предложения – $d+2$ мембраны.

Легко понять, что [посет $\textbf{Q}(d+2,d)$ состоит из двух ветвей кольца размера $2(d+2)$, как на рисунке \[fig:13\].]{}

![“Кольцо”. Изображены восемь кубильяжей зоногона $Z(4,2)$. Стрелки указывают повышающие флипы. Сбоку от каждого кубильяжа помещен кубильяж $Z(3,2)$ и мембрана в нем, задающие (см. Предложение \[pr:4\]) соответствующий кубильяж $Z(4,2)$.[]{data-label="fig:13"}](ring)

Мембраны в кубильяже ${\mathcal Q}$ естественно упорядочены: мы говорим, что мембрана ${\mathcal M}$ кубильяжа ${\mathcal Q}$ встречается *раньше*, чем мембрана ${\mathcal M}'$, если любая прямая, параллельная $e_d$, пересекает ${\mathcal M}$ не позже, чем ${\mathcal M}'$. В терминах стэков это в точности отношение включения соответствующих подмножеств в ${\mathcal Q}$). Мы получаем отсюда следующие утверждения.

\[pr:11\] [a)]{} Множество мембран ${\bf M}({\mathcal Q})$ кубильяжа ${\mathcal Q}$ образует дистрибутивную решетку.

[b)]{} Эта решетка градуирована (как и любая дистрибутивная, см. [@Sta-1], 3.4); ранг мембраны ${\mathcal M}$ равен числу элементов в стэке $\mathcal S ({\mathcal M})$.

[c)]{} Для любой мембраны ${\mathcal M}$, если она не максимальна, существует куб $Q\in {\mathcal Q}$, который всеми своими видимыми фасетами входит в мембрану ${\mathcal M}$. Добавление этого куба приводит к мембране ${\mathcal
M}'$, которая отличается от ${\mathcal M}$ повышающим флопом. $\Box$

Таким образом, мы видим, что любую мембрану ${\mathcal M}$ в ${\mathcal Q}$ можно соединить с минимальной мембраной (видимой частью границы зонотопа) понижающими флопами (а с максимальной мембраной – повышающими флопами). А это означает также, что кубильяж $\pi ({\mathcal M})$ зонотопа $Z'=Z(n,d-1)$ можно превратить в стандартный кубильяж зонотопа $Z'$ серией понижающих флипов.

Существование флипов {#sec:exist_flip}
====================

Понятие флипа уже вводилось в разделе 8 как замена одного кубильяжа капсида $Z(d+1,d)$ в $Z$ другим кубильяжем. Здесь мы покажем существование флипов.

\[tm:1\] Пусть ${\mathcal Q}$ – кубильяж зонотопа $Z=Z(n,k)$. Если кубильяж ${\mathcal
Q}$ отличен от стандартного, то в нем можно сделать понижающий флип.

Иными словами, если в кубильяже нельзя сделать понижающий флип, то он стандартный. Верно, конечно, и обратное: стандартный кубильяж не допускает понижающих флипов. Это видно, например, из того, что стандартный кубильяж реализуется видимой, или передней, мембраной в (любом) кубильяже зонотопа $\hat
Z^=Z(n,d+1)$, и ‘отступать назад’ от такой мембраны уже некуда.

Рассмотрим перегородку ${\mathcal P}$ цвета $n$ в ${\mathcal Q}$. Если она проходит вплотную к невидимой стороне $Z$, мы просто ‘выбросим’ ее как из ${\mathcal Q}$, так и из $Z$, и получим кубильяж ${\mathcal Q}-{\mathcal P}$ зонотопа $Z(n-1,d)$. Если этот кубильяж ${\mathcal Q}-{\mathcal P}$ стандартный, тогда и ${\mathcal Q}$ - стандартный, вопреки предположению. Поэтому кубильяж ${\mathcal Q}-{\mathcal P}$ зонотопа $Z(n-1,d)$ не стандарный, и по индукции мы можем сделать в нем (а поэтому и в $Z$) понижающий флип.

Таким образом мы можем считать, что перегородка ${\mathcal P}$ не примыкает к невидимой части границы зонотопа $Z$, и за этой перегородкой реально есть кубы. Возьмем среди таких кубов (строго за перегородкой ${\mathcal P}$) минимальный куб $Q$ относительно естественного порядка $\preceq $ на ${\mathcal Q}$. Этот куб всей видимой стороной примыкает к перегородке ${\mathcal P}$. И если мы добавим к этому кубу $Q$ все кубы из перегородки ${\mathcal P}$, которые примыкают к $Q$, мы получим желаемый подзонотоп $Z_0$ (капсид). В самом деле, эти кубы устроены как суммы отрезка $[-v_n,0]$ на видимые фасеты $Q$. И мы получаем подзонотоп типа $Bn$, где $B$ - тип куба $Q$. Это как раз такой набор кубов, с которым можно делать понижающий флип, см. раздел 8.

В результате такого понижающего флипа с участием цвета $n$ мы передвигаем (отодвигаем) перегородку цвета $n$ ‘на один куб’ по направлению к невидимой границе зонотопа $Z$. Двигаясь так шаг за шагом, мы передвинем эту перегородку вплотную к невидимой границе $Z$. Однако мы могли бы сделать это сразу, за один ‘большой’ шаг. Для этого обозначим через ${\mathcal Q}_+$ множество кубов нашего кубильяжа ${\mathcal Q}$, расположенных ЗА перегородкой ${\mathcal
P}={\mathcal P}_n$. После этого ‘сдинем’ весь этот набор кубов ${\mathcal
Q}_+$ на вектор $-v_n$. В результате это множество передвинется вплотную к передней (видимой) границе перегородки ${\mathcal P}$ и образует кубильяж зонотопа $Z(n-1,d)$. Если мы добавим к этому зонотопу произведение (сумму) его невидимой границы на отрезок $[0,v_n]$ (иными словами, сделаем эспансию этого кубильяжа вдоль ‘задней’ мембраны зонотопа $Z(n-1,k)$ по цвету $n$), мы получим исходной зонотоп $Z$ и новый его кубильяж, в котором новая перегородка ${\mathcal P}'$ цвета $n$ примыкает к невидимой стороне $Z$. Такую ‘крупную’ перестройку кубильяжа можно было бы назвать ‘большим флипом’, или *обвалом*, см. рис. 14.

=.6mm

(150.00,75.00)(-46,0)

(45.00,5.00)(0.00,25.00)(35.00,60.00) (45.00,5.00)[(2,1)[10.00]{}]{} (35.00,60.00)[(2,1)[10.00]{}]{} (35.00,60.00)(45.00,50.00)(40.00,35.00) (40.00,35.00)(30.00,20.00)(45.00,5.00)

(27,33)[$\mathcal{Q}_-$]{} (43,33)[$\mathcal{P}$]{} (55,30)[$\mathcal{Q}_+$]{}

(110.00,5.00)(65.00,25.00)(100.00,60.00) (110.00,5.00)[(2,1)[10.00]{}]{} (100.00,60.00)[(2,1)[10.00]{}]{} (100.00,60.00)(110.00,50.00)(105.00,35.00) (105.00,35.00)(95.00,20.00)(110.00,5.00)

(40.00,10.00)[(2,1)[10.00]{}]{} (37.00,16.00)[(2,1)[10.00]{}]{} (36.00,22.00)[(2,1)[10.00]{}]{} (37.00,29.00)[(2,1)[10.00]{}]{} (40.00,35.00)[(2,1)[10.00]{}]{} (42.00,42.00)[(2,1)[10.00]{}]{} (42.00,49.00)[(2,1)[10.00]{}]{} (39.00,55.00)[(2,1)[10.00]{}]{}

(45.00,65.00)(55.00,53.00)(50.00,40.00) (50.00,40.00)(40.00,26.00)(55.00,10.00) (45.00,65.00)(90.00,40.00)(55.00,10.00)

(92,33)[$\mathcal{Q}_-$]{} (106,28)[$\mathcal{Q}_+\!\!-\!\! v_n$]{} (129,33)[$\mathcal{P}'$]{}

(49,4)[$v_n$]{} (114,4)[$v_n$]{} (73,33)[$\longrightarrow$]{}

(115.00,10.00)[(2,1)[10.00]{}]{} (120.00,16.00)[(2,1)[10.00]{}]{} (124.00,22.00)[(2,1)[10.00]{}]{} (126.00,29.00)[(2,1)[10.00]{}]{} (125.00,35.00)[(2,1)[10.00]{}]{} (121.00,42.00)[(2,1)[10.00]{}]{} (116.00,49.00)[(2,1)[10.00]{}]{} (108.00,55.00)[(2,1)[10.00]{}]{}

(100.00,60.00)(145.00,34.00)(110.00,5.00) (110.00,65.00)(155.00,40.00)(120.00,10.00)

В результате такого обвала мы получаем кубильяж $\widetilde{{\mathcal Q}}$ зонотопа $\widetilde{Z}=Z(n-1,d)$. С ним можно проделать такую же операцию подъема перегородки цвета $n-1$, и так далее. Эту последовательность из $n$ обвалов можно назвать [*стандартизацией*]{} кубильяжа ${\mathcal Q}$, потому что после каждого шага (обвала) кубильяж становится ‘все более стандартным’, а в конце процесса – полностью стандартным. Главное преимущество стандартизации – ее каноничность; если понижающие флипы мы могли делать в разных местах и в разной последовательности, то обвалы определены однозначно.

Симметрично можно делать ‘антистандартизацию’ кубильяжа, прижимая (на первом шаге) перегородку ${\mathcal P}$ к видимой границе зонотопа $Z(n,d)$ и продолжая в таком же духе; в результате через $n$ шагов мы получим антистандартный кубильяж.

Уже говорилось, как с помощью флипов вводится порядок $\le$ на множестве $\textbf{Q}(n,d)$ кубильяжей зонотопа $Z(n,d)$. А именно, мы полагаем $Q\le
Q'$, если от $Q$ до $Q'$ можно добраться с помощью последовательности повышающих флипов. Циклов при этом быть не может, так что это отношение $\le$ действительно является отношением частичного порядка на множестве $\textbf{Q}(n,d)$. Фактически, именно этот посет Манин и Шехтман называли *высшим порядком Брюа* и обозначали $B(n,d)$. Теорема 1 говорит, что этот посет обладает минимальным (стандартный кубильяж) и максимальным (антистандартный кубильяж) элементами. Подобные посеты часто оказываются решетками. И действительно, первый посет Брюа $B(n,1)$ (т. н. *слабый порядок Брюа*) является решеткой. При малых $n$ посет $B(n,2)$ тоже решетка (см. рисунок посета $B(5,2)$ в [@FZ]), но уже $B(6,2)$ не является решеткой, [@Z]. Более того, этот посет в общем случае не есть посет вершин многогранника, [@FZ]. И все же это градуированный (ранговый) посет.

Мембраны в зонотопе {#sec:membr_in_zonotop}
===================

До сих пор мы занимались мембранами в кубильяже. Теперь мы введем более общее понятие [*мембраны в зонотопе*]{} $Z=Z(n,k)$. Это снова $(d-1)$-мерный кубический комплекс ${\mathcal M}$, расположенный в $Z(n,k)$, причем выполнены два свойства (заимствованные у мембран в кубильяжах):

1\) ${\mathcal M}$ (точнее, тело ${\mathcal M}$) проектируется биективно на $Z'=Z(n,d-1)$,

2\) ребра $M$ конгруэнтны векторам $v_i$ (впрочем, при $d>2$ это выводится из свойства 1) примерно как в Лемме 1).

Проекции кубов из ${\mathcal M}$ дают $(d-1)$-мерный кубильяж зонотопа $Z'$, который мы снова обозначаем как ${\mathcal Q}'=\pi (M)$. Обратно, если ${\mathcal Q}'$ – кубильяж зонотопа $Z'$, мы можем (единственным способом) построить мембрану ${\mathcal M}$, для которой ${\mathcal Q}'=\pi ({\mathcal
M}))$. Делается это так. Для любой вершины $v'$ кубильяжа ${\mathcal Q}'$ мы задаем вершину $v$ как $\sum _{i\in sp(v')}v_i$. После этого организуем эти вершины в кубильяж, повторяя организацию в кубы вершин $v'$ кубильяжа ${\mathcal Q}'$. Или чуть иначе: мы строим мембрану ${\mathcal M}$ (точнее – тело этой мембраны) как некоторое естественное (кусочно линейное) сечение зонотопа $Z'$ (сечение относительно проекции $\pi $). Как уже говорилось, каждая точки кубильяжа ${\mathcal Q}'$ однозначно записывается через вектора $v'_i$; остается переписать это через $v_i$. Тем самым,

Поясним на примере $d=3$. Кубильяж зоногона $Z'=Z(n,2)$ - это ромбической тайлинг, чисто двумерная фигура. Переход к мембране в $Z=Z(n,3)$ делает ее более рельефной: это как переход от плоского чертежа к трехмерному макету. Флипы, выглядящие как искусственные перетасовки ромбов, превращаются в более наглядные изгибания пленок-мембран. Однако пока наши мембраны ‘висят в воздухе’. Следующее утверждение исправляет этот дефект.

\[tm:2\] Для любой мембраны ${\mathcal M}$ зонотопа $Z=Z(n,d)$ существует кубильяж ${\mathcal Q}$ этого зонотопа $Z$, для которого она является мембраной.

Иными словами, мембрана ${\mathcal M}$ вписывается в некоторый кубильяж ${\mathcal Q}$.

Обозначим через $Z_-({\mathcal M})$ область в $Z$ перед мембраной ${\mathcal M}$. Воспользуемся Теоремой 1. Делая с мембраной ${\mathcal M}$ понижающие флопы (точнее, мы делаем флипы с кубильяжем $\pi ({\mathcal M}$), а потом поднимаем их на мембраны), мы получаем серию мембран, идущую от ${\mathcal M}$ до ‘передней’ мембраны, то есть до видимой части границы $Z$. Тем самым мы получаем кубильяж области $Z_-({\mathcal M})$.

Аналогично можно поступить с областью $Z_+({\mathcal M})$ за мембраной; вместе они дадут кубильяж: в который вписана мембрана ${\mathcal M}$.

Более того, если делать каноническую стандартизацию кубильяжа $\pi ({\mathcal
M})$, мы получим канонический (или ‘стандартный’) кубильяж области $Z_-({\mathcal M})$ в зоногоне Z. ‘Стандартность’ этого кубильяжа проявляется в том, что в нем нельзя сделать понижающий флип.

![Стадии канонизации. Дан ромбический тайлинг и мембрана-змейка $\mathcal{M}$ в нем. На рис. слева изображен первый шаг стандартизации области перед мембраной – построение части перегородки цвета 6. На рис. в центре уже завершено построение всех перегородок в области перед мембраной, то есть показана стандартизация этой области. На рис. справа показана (анти)стандартизация области за мембраной.[]{data-label="fig:15"}](canon)

Симметрично можно поступить с областью $Z_+({\mathcal M})$, расположенной в $Z$ после мембраны ${\mathcal M}$. Мы получим каноническое (‘антистандартное’) заполнение этой области. Объединяя эти два кубильяжа, мы получаем кубильяж ${\mathcal Q}$ уже всего зонотопа $Z$, в котором ${\mathcal M}$ является мембраной. Мы называем этот стандартно-антистандартный кубильяж зонотопа $Z$ [*каноническим расширением*]{} мембраны ${\mathcal M}$ (или [*каноническим подъемом*]{} кубильяжа $\pi ({\mathcal M})$).

[**Замечание.**]{} [Рассуждая как при доказательстве Теоремы 1, можно показать, что если кубильяж области $Z_-({\mathcal M})$ отличен от стандартного (см. выше), то в нем можно сделать понижающий флип. Это показывает, что кубильяжи области $Z_-({\mathcal M})$ (как и кубильяжи всего зонотопа) связаны флипами. Аналогичное замечание верно и для кубильяж области $Z_+({\mathcal
M})$.]{}

Мембраны служат как бы средством, связывающим кубильяжи соседних размерностей. Кубильяж ${\mathcal Q}$ представляется ‘сетью’ мембран, а тем самым ‘сетью’ кубильяжей на 1 меньшей размерности. Напомним, что ${\bf Q}(n,d)$ – это множество кубильяжей зонотопа $Z(n,d)$. Скажем, что кубильяжи ${\mathcal Q}$ из ${\bf  Q}(n,d)$ и ${\mathcal Q}'$ из ${\bf Q}(n,d-1)$ [*согласованы*]{}, если $Q'$ поднимается до мембраны ${\mathcal M}$ в ${\mathcal Q}$ (так что ${\mathcal Q}'=\pi ({\mathcal M})$). Отношение согласованности можно рассматривать как соответствие $c$ из ${\bf Q}(n,d)$ в ${\bf Q}(n,d-1)$. Описанный выше канонический подъем кубильяжей задает сечение $can: {\bf
Q}(n,d-1) \to {\bf Q}(n,d)$ этого соответствия $c$.

Обилие связей между кубильяжами побуждает взглянуть на них с категорной точки зрения. Мы поговорим об этом в Дополнении 1 про поликатегории.

<span style="font-variant:small-caps;">Часть вторая, комбинаторная</span>

Под комбинаторным подходом к кубильяжам мы понимаем изучение систем подмножеств базисного множества $[n]$, генерируемых кубильяжами. Мы уже встречались с этим, когда рассматривали типы кубов кубильяжа. Однако если брать только типы кубов, то любой кубильяж дает все множество-грассманиан ${[n] \choose d}=Gr([n],d)$. Чтобы отразить специфику конкретного кубильяжа $\mathcal Q $, нужно перенести на $Gr([n],d)$ естественный порядок $\preceq _\mathcal Q$. Это перебрасывает мост между геометрическим подходом и подходом, который использовали Манин с Шехтманом [@MSch-1; @MSch-3] и Циглер [@Z]. Напомним, что Манин и Шехтман, создатели высших порядков Брюа, работали именно в терминах порядков на $Gr([n],d)$.

Другой выход в комбинаторику открывает понятие спектра. Если мы соберем в одну систему $Sp(\mathcal Q )$ спектры всех вершин кубильяжа $\mathcal Q $, то получим интересную систему подмножеств в $[n]$. Главное свойство таких систем – свойство разделенности, впервые обнаруженное Леклерком и Зелевинским [@LZ] в случае $d=2$ и обобщенное и исследованное затем Галашиним и Постниковым [@Ga; @GaP].

В процессе работы нам постоянно придется иметь дело с подмножествами и системами подмножеств в $[n]$. Само базисное множество $[n]$ можно понимать как аналог $n$-мерного векторного пространства (над произвольным полем, или над ‘полем’ ${\bf F}_1$ из одного элемента). С этой точки зрения подмножество в $[n]$ размера $k$ надо понимать как аналог векторного подпространства размерности $k$. Из-за этого множество всех подмножеств размера $k$ мы называем ‘дискретным грассманианом’ и обозначаем $Gr([n],k)$ (вместо обычного обозначения ${[n] \choose k}$). Аналогом полного флага подпространств служит неуплотняемая цепь подмножеств в $[n]$, то есть фактически линейный порядок на $[n]$. Напомним, что мы рассматриваем $[n]$ как множество (цепь) с естественным порядком $(1<2<...<n)$, что означает, что мы как бы фиксируем некоторый полный флаг.

Для удобства идентификации элементы базисного множества $[n]$ мы называем *цветами* и используем обычно буквы $i,j$ и т.д.; подмножества в $[n]$ обозначаются буквами $X,Y$ и т.д. и называются часто просто множествами. Для краткости множество вида $X\cup \{i\}$ обозначается обычно как $Xi$. Подмножества в $2^{[n]}$ называются [*системами множеств*]{} и обозначаются рукописными буквами (типа $\mathcal S$ или $\mathcal X$).

Допустимые порядки {#sec:admiss_orders}
==================

Если $Q$ – куб некоторого кубильяжа $\mathcal Q $ зонотопа $Z(n,d)$, то он определяет (и определяется) двумя множествами: спектром нижней (корневой) вершины $b(Q)$, $sp(b(Q))\subset [n]$, и типом $\tau (Q)\subset [n]$. Эти два подмножества не пересекаются, и второе имеет размер $d$. [Фактически это уже упоминавшаяся кодировка знаковыми векторами; $Q \mapsto
\frac{\tau(Q)}{sp(b(Q))}$.]{} Согласно Предложению 1, отображение типа $\tau $ задает биекцию множества $\mathcal Q $ всех кубов кубильяжа $\mathcal Q $ с грассманианом $Gr([n],d)$. Если перенести с помощью этой биекции $\tau $ естественный порядок $\preceq $ на $\mathcal Q $ (см. раздел 9), мы получим некоторый порядок $\preceq _\mathcal Q$ на грассманиане $Gr([n],d)$.

\[pr:12\] Порядок $\preceq _\mathcal Q $ определяет кубильяж $\mathcal Q $.

Иначе говоря, он позволяет однозначно восстановить кубильяж.

Пусть есть два кубильяжа $\mathcal Q _1$ и $\mathcal Q _2$ зонотопа $Z=Z(n,d)$ с одним и тем же порядком на $Gr([n],d)$. И пусть $\mathcal S $ – (порядковый) идеал в $Gr([n],d)$; покажем индукцией по размеру $\mathcal S $, что кубы (в $\mathcal Q _1$ и $\mathcal Q _2)$, соответствующие $\mathcal S $ (то есть $\tau ^{-1}(\mathcal S )$), расположены в $Z$ одинаково. Пусть $K\in
Gr([n],d)$ – максимальный элемент в $\mathcal S $, и $\mathcal S '=\mathcal S
-\{K\}$. По индуктивному предположению кубы, соотвествующие $\mathcal S '$, расположены в $Z$ одинаково. И лежат в ‘передней’ части относительно некоторой мембраны $\mathcal M '$. Тогда куб $Q_1$ (в $\mathcal Q _1$ с типом $K$) примыкает всей своей видимой границей к определенному участку (капсиду) этой мембраны $\mathcal M '$, точно так же, как и куб $Q_2$ (из $\mathcal Q _2$ с типом $K$). То есть они примыкают к одному и тому же участку $\mathcal M '$ и потому совпадают.

Можно пояснить это и чуть иначе. Пусть $Q_1$ (соотв., $Q_2$) – кубы в кубильяжах $\mathcal Q _1$ (соотв., $\mathcal Q _2$) с одним и тем же типом (скажем, $K$). И пусть $b_1=b(Q_1)$ и $b_2=b(Q_2)$ – их корневые вершины. Достаточно показать, что $b_1=b_2$. Возьмем какую-нибудь видимую фасету $F_1$ куба $Q_1$ (с типом $K-i$ для некоторого $i\in K$), и рассмотрим часть тоннеля типа $K-i$, идущую от $F_1$ и передней границе зонотопа $Z$. Мы не знаем, как проходит этот тоннель, но мы знаем, что он составлен из кубов $Q$, которые a) лежат в идеале $\mathcal S$, и b) содержат $K-i$ в своем типе $\tau (Q)$. Этот тоннель выходит к передней части границы $Z$ по единственной фасете $\widetilde{F}$ типа $K-i$. Обозначим его корневую вершину как $\widetilde{b}$. Тогда мы получаем, что $b_1= \widetilde{b}+\sum_j (\pm) v_j$, где сумма берется по тем $j$, что $K-i+j$ принадлежит $\mathcal S $. Знаки же определяются как знаки определителя $\det(...v_k...v_j)$, где $k$ пробегает $K-i$. Так как это выражение зависит от $K-i$ и от $\mathcal S $, но не от $\mathcal Q $, то $b_2=b_1$.

Полученное утверждение поднимает вопрос о том, какими условиями выделяются порядки вида $\preceq _\mathcal Q $. Одно такое условие подсказывает Предложение 9 раздела 10. Назовем [*родителем*]{} подмножество $K$ в $[n]$ размера $d+1$, а его [*семьей*]{} – систему $\mathcal F (K)$ подмножеств размера $d$ в $K$. (Иначе говоря, это образ $Gr(K,d)$ в $Gr([n],d)$ при естественном вложении. Манин и Шехтман называли это *пакетом*.) У семьи есть два выделенных линейных порядка, а именно, лексикографический $\preceq
_{lex}$ и противоположный к нему антилексикографический $\preceq_{alex}$. Если $K=\{i_1<i_2<...<i_{d+1}\}$, то лексикографический порядок $\preceq _{lex}$ на $\mathcal M (k)$ имеет вид $$K-i_{d+1}<K-i_d<...<K-i_1,$$ а антилексикографический – противоположный.

[**Определение.**]{} Частичный порядок $\preceq $ на $Gr([n],d)$ называется [*допустимым*]{}, если его ограничение на любую семью $\mathcal F(K)$ (где $K$ – произвольное множество размера $d+1$) есть лексикографический или антилексикографический порядок.

Разумеется, любое усиление допустимого порядка также допустимое. В частности, любое линейное расширение. Манин и Шехтман работали именно с линейными допустимыми порядками.

В этих терминах Предложение \[pr:9\] утверждает, что порядок на $Gr([n],d)$, индуцированный некоторым кубильяжем, допустим. Оказывается, это условие не только необходимое, но и в каком-то смысле достаточное.

\[tm:3\] Пусть $\preceq $ – допустимый порядок на $Gr([n],d)$. Тогда существует (и притом единственный, см. Предложение \[pr:12\]) кубильяж $\mathcal Q $, такой что $\preceq $ – усиление $\preceq _\mathcal Q$.

Чтобы сделать идею доказательства более понятной, представим, что порядок $\preceq $ уже происходит из кубильяжа $\mathcal Q $. Пусть $\mathcal P $ - перегородка цвета $n$; произведем редукцию цвета $n$. В результате перегородка сожмется на мембрану $\mathcal M $, а кубильяж $\mathcal Q $ редуцируется в кубильяж $\mathcal Q '=\mathcal Q _{-n}$ зонотопа $Z'=Z(n-1,d)$. $\mathcal
Q '$ как множество кубов естественно вкладывается в $\mathcal Q $. И ограничение естественного порядка кубильяжа $\mathcal Q $ на $\mathcal Q '$ сильнее естественного порядка на $\mathcal Q '$ (Предложение 7 из раздела 9). Так что ограничение $\preceq $ на $Gr([n-1],d)$ – допустимый порядок, и по индукции мы можем восстановить $\mathcal Q '$. Остается восстановить еще и мембрану $\mathcal M $. Но она задается множеством (типов) кубов, расположенных в $\mathcal Q '$ до мембраны. Или, что то же самое, множеством кубов, расположенных в $\mathcal Q $ до перегородки. Пусть $Q$ – такой куб, и $T\subset [n-1]$ – его тип. Рассмотрим родителя $K=Tn$ и его семью как набор кубов в $\mathcal Q$. Эта семья ‘начинается’ с $Q$ и затем идут кубы из перегородки $\mathcal P $, так как их типы содержат цвет $n$. Из этого следует, что $Q$ – минимальный член этой семьи. Напротив, если куб $Q$ взят за перегородкой, то $Q$ – максимальный член семьи. Таким образом, кубы (в $\mathcal Q '$) до мембраны $\mathcal M $ – это те кубы, тип которых $T$ минимален в семье с родителем $Tn$. (Все это пояснение можно рассматривать как третье доказательство Предложения 12.)

Теперь перейдем к доказательству, которое представляет собой обращение предыдущих аргументов. Мы начинаем с допустимого порядка $\preceq $ на $Gr([n],d)$. Ограничиваем его на $Gr([n-1],d)\subset Gr([n],d)$; очевидно, что это снова допустимый порядок на $Gr([n-1],d)$. По индукции он происходит из некоторого кубильяжа $\mathcal Q '$ зонотопа $Z'=Z(n-1,d)$. Теперь образуем подмножество $\mathcal T $ в $Gr([n-1],d)$, состоящее из таких $T$, что ограничение $\preceq$ на семью $\mathcal F(Tn)$ родителя $Tn$ – лексикографический порядок.

Мы утверждаем, что $\mathcal T $ – *идеал относительно естественного порядка $\preceq '$ на* $\mathcal Q '$. В самом деле, пусть $Q\in \mathcal T $ и $R\prec Q$, то есть $R$ непосредственно предшестует кубу $Q$ в кубильяже $\mathcal Q '$ (см. раздел 9). Нужно показать, что $R$ тоже принадлежит $\mathcal T $. Предположим противное, что ограничение $\preceq $ на семью родителя $\tau (R)n$ – антилексикографический порядок. В частности, $\tau
(R)$ – максимальный элемент в семье $\mathcal F (\tau (R)n)$. В свою очередь, $\tau (Q)$ – минимальный элемент в семье $\mathcal F (\tau (Q)n)$. Кубы $R$ и $Q$ имеют общую фасету $F$, так что тип $F$, $\tau (F)$, содержится как в $\tau
(R)$, так и в $\tau (Q)$. Поэтому множество $\tau (F)n$ лежит как в семье $\mathcal F(\tau (R)n)$, так и в семье $\mathcal F (\tau (Q)n)$. Отсюда следует, что $\tau (Q)\preceq \tau (F)n\preceq \tau (R)$ и по транзитивности $\tau (Q)\preceq \tau (R)$. Но это противоречит тому, что $R\prec Q$ и, следовательно, $\tau (R)\prec \tau (Q)$.

Итак, $\mathcal T $ – идеал в $\mathcal Q '$. Этот идеал определяет мембрану $\mathcal M $ в $\mathcal Q '$; делая экспансию цвета $n$ в этой мембране, мы получаем кубильяж $\mathcal Q $ (см. Предложение 4 раздела 6). Остается убедиться, что исходное отношение $\preceq $ сильнее, чем отношение $\preceq
_\mathcal Q $. То есть если куб $R$ непосредственно предшествовал кубу $S$ в кубильяже $\mathcal Q $, $R\prec S$, то $\tau (R)\preceq \tau (S)$.

Это очевидно, если $R$ и $S$ лежат в $\mathcal Q '$. Это почти очевидно, если один из кубов лежит в перегородке $\mathcal P $ (полученной экспансией мембраны $\mathcal M $), а другой – нет. Пусть, к примеру, $S$ лежит в перегородке, а $R$ – нет. Тогда куб $R$ расположен до перегородки. По построению идеала $\mathcal T $ семья $\mathcal F (\tau (R) \cup \tau(S))$ ‘лексикографическая’, и $\tau (R)$ – минимальный член этой семьи, откуда $\tau (R)\preceq  \tau (S)$.

Осталось рассмотреть случай, когда $R$ и $S$ лежат в перегородке. Делая редукцию всех цветов, не вошедших в $\tau (R)\cup \tau (S)$, мы можем считать, что наш кубильяж $\mathcal Q $ – один из двух кубильяжей капсида, где утверждение очевидно в силу результатов раздела 10. Это завершает доказательство теоремы 3. $\Box$

Теорема 3 перебрасывает мостик между геометрическим подходом (кубильяжами) и подходом Манина-Шехтмана, основанным на рассмотрении допустимых порядков на грассманианах $Gr([n],d)$. Существование такой связи было анонсировано в работе Воеводского и Капранова [@VK] и более обстоятельно изложено в [@T Theorem 2.1].

Некоторое неудобство описания кубильяжей через допустимые порядки состоит в том, что разные порядки могут приводить к одному кубильяжу. Мы уже отмечали, что если $\preceq $ – допустимый порядок, то любое его усиление $\preceq '$ тоже допустимый порядок и задает тот же кубильяж, что и $\preceq $. Чтобы восстановить однозначность, можно работать с минимальными допустимыми порядками. Конечно, это в точности порядки, порожденные (в смысле транзитивного замыкания) ограничениями на всевозможные семьи в $Gr([n],d)$. Такие минимальные допустимые порядки задаются указанием для каждого родителя (множества $K$ размера $d+1$), лексикографически или антилексикографически упорядочена семья $\mathcal F (K)$ этого родителя. Иначе говоря, отображением $\sigma :Gr([n],d+1) \to  \{+,-\}$, где + соответствует лексикографии. Конечно, это назначение $\sigma $ не может быть произвольным; надо, чтобы в результате получалось ацикличное отношение (ср. с Предложением 6). Вопрос о том, какие назначения дают ацикличность (и, следовательно, приводят к кубильяжам) мы обсудим в следующем разделе.

Инверсии {#sec:invertions}
========

Раздел 13 позволяет рассматривать кубильяжи зонотопа $Z(n,d-1)$ как мембраны в зонотопе $Z(n,d)$ на единицу большей размерности. Это открывает еще один способ задания кубильяжей.

Пусть $\mathcal Q'$ – кубильяж зонотопа $Z'=Z(n,d-1)$. Реализуем его как мембрану $\mathcal M =\mathcal M (\mathcal Q')$ в зонотопе $Z=Z(n,d)$. Согласно Теореме 2, существует (и как правило, не один) кубильяж $\mathcal Q $ зонотопа $Z$, в который вписана мембрана $\mathcal M $. Эта мембрана делит кубы кубильяжа $\mathcal Q $ на расположенные до $\mathcal M $ и после $\mathcal M
$. Кубы, расположенные до мембраны $\mathcal M $, соберем в множество $\mathcal Q _-(\mathcal M )$. Это множество зависит, конечно, от кубильяжа $\mathcal Q $, содержащего мембрану $\mathcal M $. Однако множество *типов* кубов из $\mathcal Q _-(\mathcal M)$ уже зависит только от мембраны $\mathcal M$, но не от $\mathcal{Q}$. Это видно из следующей леммы.

\[lm:3\] Пусть $Q$ – куб кубильяжа $\mathcal Q$, расположенный до (соотв., после) мембраны $\mathcal M$, и $K=\{k_1<k_2<...<k_d\}$ – тип куба $Q$. Тогда существует вершина $v$ мембраны $\mathcal M$, такая что $K\cap sp(v)=\{k_d,
k_{d-2},...\}$ (соотв., $K\cap sp(v)=\{k_{d-1}, k_{d-3},...\}$).

Произведем редукцию всех цветов, отличных от цветов $K$. В результвте мы получим зонотоп $Z'=Z(K,d)$ (состоящий из единственного куба $Q=Z'$) и мембрану $\mathcal M'$ в $Z'$. Пусть $Q$ располагался до мембраны $\mathcal M$; тогда куб $Q=Z'$ тоже располагается до мембраны $\mathcal M'$ , то есть мембрана $\mathcal M'$ – это невидимая часть границы $Q$. Пусть теперь $v'$ – это ‘голова’ $h(Q)$ куба $Q$ (см. раздел 7) ; как мы знаем, ее спектр равен $\{k_d,
k_{d-2},...\}$. Пусть $v$ – ‘прообраз’ $v'$ в мембране $\mathcal M$, то есть та вершина мембраны $\mathcal M$, которая редуцировалась в $v'$. Ясно, что $sp(v)$ отличается от $sp(v')$ только цветами, не входящими в $K$, откуда $sp(v)\cap K=\{k_d, k_{d-2},...\}$.

Аналогично рассуждаем в случае, когда $K$ располагается после мембраны.

**Замечание.** Менее техническое рассуждение такое. Кубильяжи области в зонотопе $Z(n,d)$, расположенной перед мембраной $\mathcal M$, могут быть получены друг из друга с помощью флипов (см. замечание из раздела 13). А флипы не меняют типы кубов, но лишь переставляют их.

Пусть $\mathcal Q$ – кубильяж зонотопа $Z(n,d)$, $\mathcal M$ – соответствующая мембрана в зонотопе $Z(n,d+1)$ (так что $\mathcal
Q=\pi(\mathcal M)$), а $\mathcal{Q}'$ – некоторый кубильяж $Z(n,d+1)$, содержащий мембрану $\mathcal M$ (такой существует по Теореме 2).

[**Определение.**]{} [*Системой инверсий*]{} $Inv(\mathcal Q)$ кубильяжа $\mathcal Q$ называется система $\tau (\mathcal Q' _-(\mathcal M ))$ в $Gr([n],d+1)$ (независящая от выбора $\mathcal{Q'}$ в силу Леммы 3). [Система $Inv(\mathcal Q)$ обозначается также как]{} $Inv(\mathcal M)$.

То же рассуждение, как при доказательстве Леммы 3 (с редукцией всех цветов, не входящих в тип куба $Q$), дает еще одно описание системы инверсий:

\[pr:14\] Родитель $T\in Gr([n],d+1)$ принадлежит $Inv(\mathcal Q )$ тогда и только тогда, когда семья этого фатера в $Gr([n],d)$ упорядочена отношением $\preceq_\mathcal Q $ антилексикографически.

Или

$Inv(\mathcal Q )=\{T\in Gr([n],d+1), \text{ ограничение } \preceq
_\mathcal Q  \text{ на } Gr(T,d)  \text{ --  антилексикография}\}$.

Например, система $Inv$ для стандартного кубильяжа пустая. Напротив, $Inv$ для антистандартного кубильяжа – все $Gr([n],d)$. Когда мы делаем повышающий флип в кубильяже $\mathcal Q $, мы добавляем к домембранным кубам еще один куб. Так что при этом система $Inv(\mathcal Q )$ увеличивается на один элемент.

Важное свойство системы инверсий $Inv(\mathcal Q )$ в том, что она позволяет однозначно восстановить кубильяж $\mathcal Q $.

\[pr:15\] Отображение $Inv:\textbf{Q}(n,d)  \to 2^{Gr([n],d+1)}$ инъективно.

Из Предложения \[pr:14\] следует, что порядок $\preceq _\mathcal Q $ определяет $\mathcal Q $. Но порядок $\preceq _\mathcal Q $ порождается порядками на семьях, а система $Inv(\mathcal Q )$ как раз и показывает, какая семья упорядочена антилексикографически.

Как в предыдущем разделе, это поднимает вопрос о том, какие системы в $Gr([n],d)$ являются ‘инверсными’, то есть происходят (с помощью $Inv$) из кубильяжей $Z(n,d-1)$. Вопрос был решен Циглером в статье [@Z] (хотя фундамент для решения был заложен в более ранней работе Лас Вернаса [@LV]). Введем следующее

[**Определение.**]{} Множество $\mathcal S $ в $Gr([n],d)$ называется [*консистентным*]{}, если для любого $T\subset [n]$ размера $d+1$ семья $\mathcal
F (T)$ этого родителя пересекается с $\mathcal S $ по начальному или конечному отрезку $\mathcal F (T)$ (семья $\mathcal F (T)$ располагается в лексикографическом порядке).

\[lm:4\] Для любой мембраны $\mathcal M $ в $Z(n,d)$ система $Inv(\mathcal M )$ образует консистентное подмножество в $Gr([n],d)$.

Включим мембрану $\mathcal M $ в кубильяж $\mathcal Q  $ зонотопа $Z=Z(n,d)$, и пусть $\preceq $ – естественный порядок на $\mathcal Q $, а $\preceq
_\mathcal Q $ – соответствующий (допустимый) порядок на грассманиане $Gr([n],d)$. Мы знаем из раздела 11, что $Inv(\mathcal M )$ – это идеал относительно $\preceq      _\mathcal Q $. С другой стороны, для любой семьи $\mathcal F (T)$ порядок $\preceq _\mathcal Q $ индуцирует лексикографию или антилексикографию. В первом случае пересечение $Inv(\mathcal M )$ с $\mathcal F
(T)$ будет идеалом относительно лексикографического порядка, то есть начальным отрезком. Во втором – идеалом относительно противоположного порядка, то есть конечным отрезком.

\[tm:4\] Обратно, пусть $\mathcal S $ – консистентная система в $Gr([n],d)$. Тогда существует мембрана $\mathcal M $ в зонотопе $Z=Z(n,d)$, для которой $\mathcal S =Inv(\mathcal M )$.

Мембрана $\mathcal M $ единственна, согласно Предложению 14.

Рассмотрим подсистему $\mathcal S '$ в $\mathcal S $, состоящую из множеств $S\in \mathcal S $, не содержащих цвет $n$. Система $\mathcal S '$ лежит в $Gr([n-1],d)$ и тоже консистентна. Поэтому по индукции $\mathcal S '$ реализуется некоторой мембраной $\mathcal M '$ в $Z'=Z([n-1],d)$, так что $\mathcal S '=Inv(\mathcal M ')$. Дополним эту мембрану до кубильяжа $\mathcal
Q '$ зонотопа $Z'$ (Теорема 2). И затем сделаем экспансию по цвету $n$ мембраны $\mathcal M '$ в $\mathcal Q '$. Мы получаем кубильяж $\mathcal Q $ зонотопа $Z$, редукция которого $\mathcal Q _{-n}$ равна $\mathcal Q '$; в частности, мембрана $\mathcal M '$ ‘утолщается’ до перегородки $\mathcal P $ в $\mathcal Q
$ цвета $n$. Кубы кубильяжа $\mathcal Q $, типы которых принадлежат $\mathcal
S -\mathcal S '$, лежат в $\mathcal P$.

Мы утверждаем, что $\mathcal S $ *является стэком (идеалом) в кубильяже* $\mathcal Q $; в этом случае $\mathcal M $ – это мембрана, соответствующая стэку $\mathcal S $. Для этого нужно проверить, что если $R\prec S$ – два куба из перегородки $\mathcal P $, и $S$ принадлежит $\mathcal S $, то и $R$ принадлежит $\mathcal S $. Но кубы $R$ и $S$ соседние, поэтому объединение их типов, то есть $T=\tau (R)\cup \tau (S)$ имеет размер $d+1$. Рассмотрим семью $\mathcal F $ этого родителя $T$, расположенную лексикографически. Минимальным элеменом (‘начальным членом’) этой семьи служит множество $T-n$; пусть $Q$ – куб в $\mathcal Q $ с типом $T-n$. Этот куб не принадлежит перегородке $\mathcal P $, поэтому он лежит либо до перегородки, либо после нее.

Рассмотрим случай, когда $Q$ лежит до перегородки. Тогда в естественном порядке $\preceq $ на $\mathcal Q $ это минимальный элемент, и семья $\mathcal
F $ упорядочена лексикографически. В силу консистентности $\mathcal S$ весь интервал между $\tau (Q)=T-n$ и $\tau (S)$ принадлежит $\mathcal S$, и, в частности, множество $\tau (R)$. Так что $R$ принадлежит $\mathcal S $.

Аналогично рассматривается случай, когда $Q$ лежит после перегородки. В этом случае $Q$ – максимальный элемент (относительно ограничения $\preceq $ на семью $\mathcal F $), и $\tau (Q)$ не принадлежит $\mathcal S $. Значит естественный порядок $\preceq $ на $\mathcal F $ антилексикографический, в нем $R$ идет после $S$, и снова из консистентности $R$ принадлежит $\mathcal
S$.

Таким образом, мы имеем два эквивалентных (лучше сказать – криптоморфных) описания кубильяжей $Z(n,d)$: как (минимальных) допустимых порядков на $Gr(n,d)$ (Манин-Щехтман) и как консистентных подмножеств в $Gr(n,d+1)$ (Циглер). Имея такие описания, можно переписывать на соответствующий язык разные понятия и конструкции с кубильяжами. Например, повышающий флип соответствует увеличению консистентного множества на один элемент. Так что отношение $\le $ для кубильяжей (см. раздел 8) согласовано с отношением включения для консистентных множеств: если $\mathcal Q  \le \mathcal Q '$, то $Inv(\mathcal Q )\subset Inv(\mathcal Q ')$. Обратное свойство верно, если $d=1$ (классической свойство слабого порядка Брюа) или $d=2$ ([@FW; @ER]), но нарушается для больших $d$ (Циглер в [@Z] привел контрпример при $d=3$). В следующем разделе мы приведем еще одно описание (инициированное Леклерком и Зелевинским [@LZ] и развитое Галашиным и Постниковым [@GaP]), в терминах систем $Sp(\mathcal Q )$ спектров вершин кубильяжа.

Отношение разделенности {#sec:separ_relat}
=======================

Напомним, что с каждой вершиной $v$ кубильяжа $\mathcal Q $ зонотопа $Z(n,d)$ мы связывали подмножество $sp(v)$ в $[n]$ – спектр вершины. Когда $v$ пробегает все вершины $\mathcal Q $, мы получаем систему $Sp(\mathcal  Q )$, подмножество в $2^{[n]}$. В разделе 4 было показано, что система $Sp(\mathcal Q
)$ однозначно определяет кубильяж $\mathcal Q $. Поэтому естественно встает вопрос – какими свойствами обладают такие системы?

Первое свойство – это ее размер. В разделе 2 было показано, что размер системы $Sp(\mathcal Q )$ равен ${n \choose \le d}$. Этого, конечно, мало, чтобы характеризовать такие системы. Второе важное структурное свойство состоит в том, что любые два множества из $Sp(\mathcal Q )$ являются ($d-1$)-разделенными.

[**Определение.**]{} Два подмножества $X$ и $Y$ в $[n]$ называются $r$-*разделенными* ($r$ – натуральное число), если не существует возрастающей цепочки (размера $r+2$) $i_0<i_1<...<i_{r+1}$, такой что элементы с четными номерами лежат в одном из множеств $X-Y$ или $Y-X$, а элементы с нечетными – в другом. Это симметричное и рефлексивное отношение обозначим как $S_r$. Система подмножеств называется $r$-*разделенной*, если любые два ее члена $r$-разделены.

Иными словами, $X$ и $Y$ $r$-разделены, если множество $[n]$ можно разбить на $r+1$ интервал $I_0,...,I_r$ (некоторые могут быть пустыми), так что $X-Y$ лежит в одной части этих интервалов, а $Y-X$ – в другой части.

Такие интервалы удобно задавать ‘разделителями’ (сепараторами), то есть $r$ точками $c_1\le c_2\le ...\le c_r$ на вещественной прямой, так что интервал $I_i$ состоит из целых точке $x$, удовлетворяющих неравенствам $c_i<x<c_{i+1}$ (считая $c_0=0$, $c_r=n+1$).

Отношения $S_r$ слабеют с ростом $r$, $S_0\subset  S_1\subset ...\subset S_n$. Рассмотрим несколько первых членов этой серии отношений.

[**Пример 0.**]{} Отношение $XS_0Y$ означает, что множества $X$ и $Y$ сравнимы по включению: $X\subset Y$ или $Y\subset X$. Можно также сказать, что отношение $S_{-1}$ это отношение равенства =.

[**Пример 1.**]{} $S_1$ – это отношение сильной разделенности, введенное Леклерком и Зелевинским в [@LZ]. Оно означает, что после удаления общей части либо $X$ располагается левее $Y$ ($X<Y$), либо $Y$ располагается левее $X$.

[**Пример 2.**]{} $S_2$ – это отношение хорд-разделенности, исследованное в [@Ga].

Отношения разделенности $S_r$ имеют непосредственное отношение к кубильяжам. Это показывает

\[pr:16\] Пусть $\mathcal Q $ – кубильяж зонотопа $Z(n,d)$. Тогда для любых двух вершин $v$ и $w$ кубильяжа $\mathcal Q $ множества $sp(v)$ и $sp(w)$ $(d-1)$-разделены.

Иными словами, система $Sp(\mathcal Q )$ $(d-1)$-разделенная. Например, для любого ромбического тайлинга $\mathcal T $ система $Sp(\mathcal T)$ 1-разделена – факт, замеченный в [@LZ]. Или другой, крайний случай. Рассмотрим, как в разделе 7, куб $Z(d,d)$. У него есть две ‘выступаюшие’ точки – хвост $t$ и голова $h$. Спектр головы – $\{d,d-2,...\}$, спектр хвоста – $\{d-1,
d-3,...\}$, В совокупности эти элементы, чередуясь, покрывают все $[n]$. Поэтому множества $sp(h)$ и $sp(t)$ являются $(d-1)$-разделенными (но не $(d-2)$-разделенными). Если же мы ‘сплющим’ (спроектируем) этот куб в капсид $Z(d,d-1)$, точка $t$ превратится во внутреннюю (центральную) точку стандартного кубильяжа зонотопа $Z(d,d-1)$ и, как легко проверить, будет $(d-2)$-разделена со всеми другими вершинами этого кубильяжа. Но она не $(d-2)$-разделена с проекцией точки $h$, центральной точкой другого, антистандартного кубильяжа.

Доказательство предложения 15. Предположим, что $X=sp(v)$ и $Y=sp(w)$ не ($d-1$)-разделены. Тогда существуют элементы-цвета $i_0<i_1<...<i_d$, такие, что $i_0,i_2,...$ принадлежат, скажем, $X-Y$, а $i_1,i_3,...$ принадлежат $Y-X$. Делая редукцию по всем цветам, отличным от $i_0,...,i_d$, мы получаем кубильяж капсида $Z(d+1,d)$. И в нем две точки $v'$ и $w'$ (образы $v$ и $w$ при редукции) со спектрами $i_0,i_2,...$ и $i_1,i_3,...$. Но, как мы видели выше, эти точки лежат в разных кубильяжах, одна – в стандартном ($v'$ при нечетном $d$ и $w'$ при четном), а другая – в антистандартном. $\Box$

В следующем Предложении мы опишем спектр стандартного (и антистандартного) кубильяжей зонотопа $Z(n,d)$.

\[pr:16\] Пусть $v$ – вершина стандартного кубильяжа зонотопа $Z(n,d)$. Тогда существует разложение $[n]=I_0\sqcup I_1\sqcup  ... \sqcup I_d$ на $d+1$ последовательный интервал, так что $sp(v)=I_{d-1}\sqcup I_{d-3}\sqcup ... $. Обратно, любое множество такого вида есть спектр некоторой вершины стандартного тайлинга.

Для антистандартного кубильяжа спектры вершин имеют вид $I_d\sqcup
I_{d-2}\sqcup ...$.

Стандартный кубильяж зонотопа $Z(n,d)$ получается из стандартного же кубильяжа $Z(n-1,d)$ путем экспансии (добавления) цвета $n$ вдоль задней (невидимой) мембраны (см. Пример из раздела 6). Поэтому спектр стандартного кубильяжа состоит из двух частей – первая состоит из множеств вида $I_{d-1}\cup
I_{d-3}\cup ...$, где интервалы $I_d,I_{d-1},...,I_0$ берутся из $[n-1]$, а вторая получается из спектров вершин ‘задней’ мембраны (невидимой части границы зонотопа $Z(n-1,d)$) добавлением цвета $n$. Но ‘задняя’ мембрана – это фактически антистандартный кубильяж зонотопа $Z(n-1,d-1)$, и спектры ее вершин имеют вид $J_{d-1}\cup      J_{d-3}\cup ...$, где интервалы $J_{d-1},...,J_0$ снова берутся из $[n-1]$. В первом случае нужно ‘подправить’ интервал $I_d$, заменив его на интервал $I_d\cup \{n\}$ (заметим, что $I_d$ либо содержит цвет $n\!-\!1$, либо пуст). Во втором случае мы добавляем новый интервал $J_d=\{n\}$.

К примеру, для $d=1$ спектр стандартного кубильяжа $Z(n,1)$ состоят из $(n+1)$-го интервала $[k]$, $k=0,1,...,n$. Соотвественно, спектры антистандартного тайлинга состоят из дополнительных интервалов: $[n],
[n-1..n],..., [n-k..n],...,\emptyset$.

Для $d=2$ спектр стандартного ромбического тайлига состоит из произвольных интервалов в $[n]$, тогда как спектр антистандарного тайлинга – из коинтервалов (дополнений к интервалам).

Для $d=3$ спектр стандартного кубильяжа состоят из т.н. ‘полуторных’ интервалов, то есть множеств вида $[1,i]\cup [j,k]$, где $0\le i\le j\le
k-1\le n$.

[Как следствие Предложения 16 мы получаем описание спектров *периферийных* вершин, то есть вершин зонотопа. Это в точности вершины, которые принадлежат одновременно стандартному и антистандартному кубильяжам. Тут удобно ввести понятие [*интервального ранга*]{} подмножества $X \subset [n]$ как минимального числа $r$, такого что $X$ представляется как объединение интервалов $I_1\sqcup
... \sqcup I_r$.]{}

[**Следствие 1.**]{} [*Множество $X$ является спектром периферийной вершины зонотопа $Z(n,d)$ тогда и только тогда, когда сумма интервальных рангов $X$ и дополнительного множества $[n]-X$ не больше $d$.*]{} $\Box$

[В частности, если размер некоторого множества $X$ не больше, чем $\frac{d-1}{2}$ (то есть $2|X|\le d-1$), то соответствующая точка $v(X)$ является периферийной, то есть вершиной зонотопа $Z(n.d)$. Иными словами, внутренние (не лежащие на границе зонотопа) целые точки появляются только на высоте $h\ge d/2$ и выше. Этот факт тесно связан с явлением, обычно упоминаемым при обсуждении циклических политопов (см., например, [@Zbook Пример 0.6]). А именно, что любое множество вершин циклического политопа размера не больше $\frac{d-1}{2}$ принадлежит некоторой грани этого политопа.]{}

[**Следствие 2.**]{} [*Спектр периферийной вершины $(d-1)$-разделен с любым подмножеством в $[n]$.*]{} $\Box$

Это утверждение коррелирует с Предложением 3, которое утверждает, в частности, что любая ‘целая’ точка вписывается в некотрый кубильяж.

Разделенность и кубильяжи {#sec:separ_and_cubil}
=========================

Мы уже получили, что система $Sp(\mathcal Q )$ для кубильяжа $\mathcal Q $ зонотопа $Z(n,d)$ является $(d-1)$-разделенной и имеет размер ${n \choose \le
d}$. Теперь пойдем в обратном направлении и покажем, что система с такими свойствами получается как спектр некоторого кубильяжа. Для начала покажем, что число ${n \choose \le d}$ – это верхняя граница для размера $(d-1)$-разделенной системы в $[n]$.

\[pr:18\] Пусть $\mathcal S $ – $(d-1)$-разделенная система подмножеств в $[n]$. Тогда ее размер не превышает ${n \choose \le d}$.

Разобьем $\mathcal S $ на две части: $\mathcal S _0$, члены которой не содержат цвет $n$, и $\mathcal S _1$, члены которой содержат $n$. Обозначим через $\mathcal S _2$ систему множеств вида $X-n$, где $X$ пробегает $\mathcal
S _1$. Очевидно, что размер $\mathcal S _2$ равен размеру $\mathcal S _1$. Легко понять, что $\mathcal S _0\cup \mathcal S _2$ – ($d-1$)-разделенная система в $[n-1]$, поэтому (по индукции) ее размер не превосходит ${n-1 \choose \le d}$.

Рассмотрим теперь пересечение $\mathcal T =\mathcal S_0\cap \mathcal S_2$. Оно состоит из множеств $X\subset [n-1]$, которые принадлежат $\mathcal S $, причем $Xn$ тоже принадлежит $\mathcal S $. Мы утверждаем, что [*система $\mathcal T $ ($d-2$)-разделенная*]{}. В самом деле, предположим, что в $\mathcal
T $ есть множества $X$ и $Y$, которые не $(d-2)$-разделенные. Значит есть последовательность $i_0<i_1<...<i_{d-1}$, такая, что члены с четными индексами принадлежат (скажем) $X-Y$, а с нечетными – $Y-X$. Но тогда последовательность $i_0<i_1<...<i_{d-1}<i_d=n$ обладает тем же свойством либо для $\widetilde{X}=Xn$ и $Y$, либо для $X$ и $\widetilde{Y}=Yn$. Это противоречит предположению о ($d-1$)-разделенности $\mathcal S $.

Снова по индуктивному предположению размер $\mathcal T $ не превосходит ${n-1
\choose \le d-1}$. Отсюда размер $\mathcal S $, равный сумме размеров $\mathcal S _0$ и $\mathcal S _2$, то есть сумме размеров $\mathcal S_0\cup
\mathcal S _2$ и $\mathcal S _0\cap \mathcal S _2$, не превосходит ${n-1
\choose \le d}+{n-1 \choose \le d-1}={n \choose \le d}$.

Ввиду Предложения 17 ($d-1$)-разделенные системы в $[n]$ размера ${n \choose
\le d}$ называают [*максимальными по размеру*]{}, противопоставляя это [*максимальности по включению*]{}. Следующий результат установлен Галашиным и Постниковым [@GaP] в несколько большей общности (они не ограничивались кубильяжами циклических зонотопов).

\[tm:5\] Пусть $\mathcal S $ – $(d-1)$-разделенная система в $[n]$ размера ${n
\choose \le d}$. Тогда она имеет вид $Sp(\mathcal Q )$ для некоторого (единственного) кубильяжа зонотопа $Z(n,d)$.

Оно близко к доказательству Предложения 17. Снова разделим $\mathcal S $ на $\mathcal S _0$ и $\mathcal S _1$ и обозначим $\mathcal S _2$ как выше. Тогда из доказательства Предложения 17 следует, что размер $\mathcal S _0\cup
\mathcal S _2$ равен ${n-1 \choose \le  d}$, а размер пересечения $\mathcal S
_0\cap \mathcal S _2$ равен ${n-1 \choose \le  d-1}$. По индукции мы можем считать, что система $\mathcal S_0\cup \mathcal S _2$ реализуется некоторым кубильяжем $\mathcal Q' $ в $Z(n-1,d)$, а пересечение $\mathcal S _0\cap
\mathcal S _2$ – кубильяжем $\mathcal Q ''$ зонотопа $Z(n-1,d-1)$. Очевидно, что $\mathcal Q ''$ реализуется мембраной $\mathcal M $ в кубильяже $\mathcal Q' $. Остается взять в качестве $\mathcal Q$ экспансию по цвету $n$ кубильяжа $\mathcal Q' $ вдоль этой мембраны. На уровне спектров это сведется к замене всех множеств $X$ из $\mathcal S_2$ на множества $Xn$. Так что $Sp(\mathcal Q)=\mathcal S _0\cup \mathcal S_1=\mathcal S $.

Таким образом, мы получаем еще одно криптоморфное воплощение кубильяжей. И снова можно в этих новых терминах пересказывать разные конструкции.

Приведем еще один интересный пример разделенных систем.

\[pr:19\] Пусть $\mathcal{{M}}_1$ и $\mathcal{{M}}_2$ – две мембраны в зонотопе $Z(n,d)$, причем $Inv(\mathcal{M}_1)\subset~ Inv(\mathcal{M}_2)$. Тогда система $Sp(\mathcal{M}_1)\cup Sp(\mathcal{M}_2)$ $(d-1)$-разделена.

Пусть это не так, и некоторые множества $X\in Sp(\mathcal{M}_1)$ и $Y\in
Sp(\mathcal{M}_2)$ не $(d-1)$-разделены. Тогда сушествует последовательность элементов $i_1<i_2<...<i_{d+1}$ из $[n]$, которые поочередно лежат то в $X-Y$, то в $Y-X$. Рассмотрим случай, когда в $X-Y$ лежат элементы $i_{d+1}, i_{d-1},
...$ (а элементы $i_{d}, i_{d-2}, ...$ лежат в $Y-X$), и образуем $d$-элементное множество $K=\{i_1,...,i_d\}$. По Лемме \[lm:3\], примененной к $X$, мы получаем, что $K$ является инверсным для мембраны $\mathcal{{M}}_1$, а значит и для мембраны $\mathcal{{M}}_2$. Но по той же Лемме \[lm:3\] мы получаем, что множество $X$ неинверсное для мембраны $\mathcal{{M}}_2$.

Аналогично разбирается случай, когда элементы $i_{d+1}, i_{d-1}, ...$ лежат в $Y-X$. Однако теперь мы образуем $d$-элементное множество $K'=\{i_2,...,i_{d+1}\}$. По Лемме \[lm:3\] $K'$ неинверсное для мембраны $\mathcal{{M}}_2$, а значит и для $\mathcal{{M}}_1$. Но по той же лемме $K'$ инверсное для $\mathcal{{M}}_1$.

Чистота и расширяемость {#sec:purity}
=======================

Предложение 17 поднимает следующий вопрос – когда данная ($d-1$)-разделенная система $\mathcal S $ подмножеств в $[n]$ расширяется до системы максимального размера, то есть до ($d-1$)-разделенной системы размера ${n \choose \le d}$? Или, в терминах раздела 4, когда соответствующее множество целых точек зонотопа $Z(n,d)$ вписывается в некоторый кубильяж этого зонотопа. Если это так, система $\mathcal S $ называется [*расширяемой*]{} (или, точнее, $(n,d)$-*расширяемой*). Если любая ($d-1$)-разделенная система расширяема, то говорят, что для пары $(n,d)$ выполнено свойство *чистоты*.

Например, мы видели в разделе 4, что любая одноэлементная система (то есть любое подмножество в $[n]$) расширяема. Согласно Теореме 2 из раздела 13 любая мембрана вписывается в кубильяж. Покажем, что любая двухэлементная система расширяема.

\[pr:20\] Пусть $X$ и $Y$ – два ($d-1$)-разделенных подмножества в $[n]$. Тогда двухэлементная система $\{X,Y\}$ расширяема.

Будем доказывать индукцией по $n$. Предположим, что цвет $i$ не входит в $X$ и $Y$. Тогда их можно рассматривать как подмножества в $[n]-i$. По индукции множества $X$ и $Y$ вписываются в кубильяж $\mathcal Q $ зонотопа $Z([n]-i,d)$. Остается сделать экспансию по цвету $i$ (см. раздел 4) относительно невидимой (в направлении $v_i$) части границы этого зонотопа.

Аналогично рассуждаем в том случае, когда цвет $i$ входит как в $X$, так и в $Y$. Только теперь надо делать экспансию по цвету $i$ относительно видимой по этому цвету части границы зонотопа.

Таким образом, все сводится к случаю, когда множества $X$ и $Y$ дополнительны друг к другу в $[n]$. Пользуясь интервальным представлением, мы видим, что $X$ и $Y$ образованы из чередующихся интервалов в некотором разложении $I_0\sqcup
I_1\sqcup  ... \sqcup  I_r$ цепи $[n]$ на последовательно идущие непустые интервалы. В силу ($d-1$)-разделенности $X$ и $Y$ мы имеем $r<d$. Но это означает, что $X$ и $Y$ (точнее, реализующие их точки $v(X)$ и $v(Y)$) принадлежат ‘периферии’ зонотопа $Z(n,d)$ и потому вписываются в любой кубильяж.

Как мы увидим в следующем разделе, это утверждение уже неверно для трех множеств. Это означает, что свойство чистоты выполнено не для любых $(n,d)$. А для каких же?

Тривиально чистота имеет место для $d=1$. Чистота для $d=2$ была установлена Леклерком и Зелевинским в семинальной работе [@LZ] (см. также наш обзор [@UMN]). Чистота для $d=3$ установлена в работе Галашина [@Ga]. Кроме того, по тривиальным причинам чистота имеет место для $n=d+1$ (капсиды). Этими случаями и исчерпывается чистота, как показано в [@GaP]. В следующем разделе мы более подробно рассмотрим случай $n=d+2$ при $d\ge  4$ и приведем простые и явные примеры нерасширяемых систем. Для распространения таких результатов на случай $n>d+2$ полезны будут следующие два факта.

\[pr:20\] Пусть $\mathcal S \subset 2^{[n]}$. Система $\mathcal S$ $(n,d)$-расширяема тогда и только тогда, когда она (рассмотренная как система подмножеств в $[n+1]$) $(n+1,d)$-расширяема.

Пусть $\mathcal S $ $(n,d)$-расширяема. Тогда она ($d-1$)-разделенная и реализуется как подмножество вершин некоторого кубильяжа $\mathcal Q $ зонотопа $Z=Z(n,d)$. Пусть кубильяж $\mathcal Q '$ зонотопа $Z(n+1,d)$ получен из $\mathcal Q $ экспансией по цвету $n+1$ относительно невидимой (задней) мембраны $Z$. Так как $\mathcal Q \subset \mathcal Q '$, то $\mathcal S $ вписывается в $\mathcal Q '$.

Обратно, пусть $\mathcal S $ вписывается в некоторый кубильяж $\mathcal Q '$ зонотопа $Z(n+1,d)$. И пусть $\mathcal P =\mathcal P _{n+1}$ – перегородка цвета $n+1$ в $\mathcal Q '$. Так как множества из $\mathcal S $ не содержат цвет $n+1$, эта система вершин лежит (нестрого) до перегородки $\mathcal P $. Поэтому при редукции $\mathcal P $ мы получим кубильяж $\mathcal Q $ зонотопа $Z$, в который $\mathcal S $ вписывается.

\[pr:21\] Пусть $\mathcal S $ – $(d-1)$-разделенная система подмножеств в $[n]$, и $n'=n+1$. Образуем систему $\mathcal S '\subset 2^{[n+1]}$, $\mathcal S
'=\{Xn', X\in \mathcal S \}$. Система $\mathcal S $ $(n,d)$-расширяема тогда и только тогда, когда система $\mathcal S \cup \mathcal S '$ $(n+1,d+1)$-расширяема.

Пусть $\mathcal S $ $(n,d)$-расширяемая, то есть вписывается в некоторый кубильяж $\mathcal Q $ зонотопа $Z(n,d)$. Реализуем $\mathcal Q $ как мембрану $\mathcal M $ в некотором кубильяже $\mathcal Q '$ зонотопа $Z(n,d+1)$, так что $\mathcal S $ образует часть вершин $\mathcal M $. Пусть, наконец, $\mathcal Q
''$ – экспансия $\mathcal Q '$ по цвету $n'$ относительно этой мембраны $\mathcal M $; это некоторый кубильяж зонотопа $Z(n+1,d+1)$. При этом мембрана $\mathcal M $ расширяется до перегородки $\mathcal P $ цвета $n'$ в $\mathcal Q ''$. Система $\mathcal S $ лежит на одной (видимой) стороне этой перегородки, тогда как $\mathcal S '$ лежит на другой (невидимой) стороне перегородки $\mathcal P $. Откуда видно, что $\mathcal S \cup \mathcal S '$ вписывается в $\mathcal Q ''$.

Обратно, пусть система $\mathcal S \cup \mathcal S '$ (как множество целых точек в зонотопе $Z''=Z(n+1,d+1)$) вписывается в некоторый кубильяж $\mathcal
Q ''$ зонотопа $Z''$. Рассмотрим перегородку $\mathcal P $ цвета $n'$ в $\mathcal Q ''$. Ясно, что $\mathcal S $ располагается на одной стороне этой перегородки, тогда как $\mathcal S '$ – на другой (и получается из $\mathcal
S $ сдвигом на вектор $v_{n'}$). Редукция этой перегородки приводит к кубильяжу $\mathcal Q '$ зонотопа $Z'=Z(n,d+1)$; при этом перегородка $\mathcal P $ сжимается до мембраны $\mathcal M $, а системы $\mathcal S$ и $\mathcal S '$ сливаются в одну систему $\mathcal S $ точек на этой мембране. Остается спроектировать эту мембрану и получить кубильяж $\mathcal Q $ зонотопа $Z(n,d)$, содержаций систему $\mathcal S $ как подмножество вершин.

[**Следствие.**]{} [*Пусть $\mathcal S $ – нерасширяемая система в зонотопе $Z(d+r,d)$, $r\le r'$ и $d\le d'$. Тогда существует нерасширяемая система в зонотопе $Z(d'+r',d')$.*]{} $\Box$

Мы говорили выше, что любая мембрана вписывается в кубильяж. Покажем, что не любая пара мембран (даже $(d-1)$-разделенных) вписываются в кубильяж. Воспользуемся примером, построенным Циглером [@Z]. А именно, он построил две мембраны $\mathcal M_1$ и $\mathcal M_2$ в зонотопе $Z(8,4)$ (он задавал их в форме консистентных систем), которые обладали двумя свойствами: 1) $Inv(\mathcal M_1)\subset Inv(\mathcal M_2)$, и 2) эти две мембраны не вписываются в один кубильяж зонотопа $Z(8,4)$ (справедливости ради надо сказать, что Циглер формулировал свойство 2) немного в других терминах). Так вот, в силу Предложения 19 объединение спектров $\mathcal M_1$ и $\mathcal M_2$ является 3-разделенной системой в $Gr([8],4)$, но не продолжающейся до максимальной по размеру. Это также дает пример отсутствия чистоты.

Случай $Z(6,4)$ {#sec:Z64}
===============

Здесь мы более подробно исследуем вопрос о расширяемых/нерасширяемых системах точек в $Z(d+2,d)$. Мы уже касались в разделе 11 вопроса о кубильяжах таких зонотопов и выяснили, что их бывает $2n$ штук, где $n=d+2$. Мы подробно рассмотрим $Z(6,4)$ (в случае $Z(5,3)$ все 2-разделенные подсистемы расширяемы). На этом простом примере видны почти все эффекты общего случая $Z(d+2,d)$.

При малом $n-d$ почти все целые точки лежат на границе зонотопа $Z(n,d)$. Например, при $n=d+1$ только две точки не на границе. В случае $n=d+2$ непериферийных точек $2n$. В самом деле, по формуле (1.2) число периферийных точек равно $2({d+1 \choose d-1}+...+{d+1 \choose 0})=
2(2^{d+1}-1-(d+1))=2^n-2n$. И так как все периферийные точки ($d-1$)-разделены со всеми точками, то нам надо разобраться с разделенностью этих $2n$ непериферийных точек-множеств. Здесь мы и начнем считать, что $n=6$, а $d=4$.

В этом случае имеется $52=64-12$ периферийных точек-множеств. Выпишем явно 12 непериферийных точек-множеств. Как было показано в Следствии 1 Предложения 16, периферийные точки задаются разбиением отрезка $[n]$ на $d$ последовательно идущих интервала; после этого надо взять объединение либо ‘четных’ интервалов, либо ‘нечетных’. В случае, когда $d=4$, а $n=6$, непериферийные точки-множества – это те, которые не укладываются (альтернированно) в четыре интервала, а должны задействовать 5 или 6 (непустых) интервалов. Понятно, что такие интервалы либо одноэлементные (и тогда их шесть), либо почти все одноэлементные, и только один интервал двухэлементный (и тогда интервалов пять). Выпишем эти 12 множеств как строки сдедующей таблицы.

$$\begin{array}{cccccc}
  1 &  & 3 &  & 5 &  \\
  1 &  & 3 &  & 5 & 6 \\
  1 &  & 3 &  &  & 6 \\
  1 &  & 3 & 4 &  & 6 \\
  1 &  &  & 4&  & 6 \\
  1 & 2 &  & 4 &  & 6 \\
   & 2 &  & 4 &  & 6 \\
   & 2 &  & 4 &  &  \\
   & 2 &  & 4 & 5 &  \\
   & 2 &  &  & 5 &  \\
   & 2 & 3 &  & 5 &  \\
   &  & 3 &  & 5 &
\end{array}$$

Эти 12 множеств удобно расположить по кругу, как на цифербате часов, помещая 135 на месте шести часов, а дополнительное множество 246 на месте двенадцати часов. См. рис. 16.

=.65mm

(125.00,120.00)(-40,0) (71.00,5.00) (71.00,5.00)[(0,0)\[cc\][135]{}]{}

(95.00,10.00) (95.00,10.00)[(0,0)\[cc\][35]{}]{}

(115.00,30.00) (115.00,30.00) (115.00,30.00)[(0,0)\[cc\][235]{}]{}

(120.00,55.00) (120.00,55.00)[(0,0)\[cc\][25]{}]{}

(115.00,80.00) (115.00,80.00)[(0,0)\[cc\][245]{}]{}

(95.00,100.00) (95.00,100.00)[(0,0)\[cc\][24]{}]{}

(70.00,105.00) (70.00,105.00) (70.00,105.00)[(0,0)\[cc\][246]{}]{}

(45.00,100.00) (45.00,100.00)[(0,0)\[cc\][1246]{}]{}

(25.00,80.00) (25.00,80.00)[(0,0)\[cc\][146]{}]{}

(20.00,55.00) (20.00,55.00)[(0,0)\[cc\][1346]{}]{}

(25.00,30.00) (25.00,30.00) (25.00,30.00)[(0,0)\[cc\][136]{}]{}

(45.00,10.00) (45.00,10.00)[(0,0)\[cc\][1356]{}]{}

Какие же множества среди этих 12-ти 3-разделенные? Легко понять, что неразделенными является множество и его дополнение, а также два соседа этого дополнения. Так что неразделенными являются множество и три ‘противоположных’ к нему. Это можно увидеть также из того, что подряд идущие 5 множеств на циферблате вписываются в один кубильяж (и дают все 12 кубильяжей зонотопа $Z(6,4)$). Например, ‘цифры’ от часа до пяти (а именно, множества 24, 245, 25, 235 и 35) вписываются в стандартный кубильяж. Из этого описания 3-неразделенности видно, что три множества (размещенные как XII часов, IV часа и VIII часов, то есть множества 246, 235 и 136) образуют (вместе с периферией) максимальную по включению 3-разделенную систему из 52+3=55 множеств, тогда как максимум по размеру равен 52+5=57. Это показывает, что в $Z(6,4)$ имеется система размера 55, которая не (6,4)-расширяемая (и максимальна по включению).

Аналогичные рассуждения показывают, что в $Z(d+2,d)$ (при $d\ge  4$) имеется $(d+2,d)$-нерасширяемая система.[^7] Любопытно отметить, что в случае $d=8$ на цифеблате из 20 ‘часов’ можно указать 5 ‘цифр’ (0, 4, 8, 12 и 16), которые дают максимальную по включению 7-разделенную подсистему в этой 20-элементной непериферийной системе. Вместе с периферией это дает 1009-элементную максимальную по включению 7-разделенную систему подмножеств множества \[10\]. В то время как максимум по размеру равен 1004+9=1013. Разница равна 1013-1009=4=$d/2$, что дает основания предположить, что [*размер максимальной по включению ($d-1$)-разделенной системы отличается от максимума по размеру не более чем на $d/2$.*]{}

Вместе со Следствием из предыдущего раздела мы получаем теорему Галашина-Постникова [@GaP], что *если $d\ge  4$ и $n\ge  d+2$, то существует $(n,d)$-нерасширяемая система множеств в $[n]$.* В частности, для таких $(n,d)$ нет чистоты.

Слабая разделенность {#sec:weak}
====================

В разделе 16 и последующих вводилось и изучалось отношение $k$-разделенности в множестве $2^{[n]}$. Обобщая понятие слабой разделенности Леклерка и Зелевинского [@LZ], можно предложить понятие слабой $k$-разделенности в случае нечетного $k$. (Для четного $k$ мы не видим хорошего определения.) Удобнее, однако, задавать это отношение как усиление отношения $(k+1)$-разделенности.

Итак, пусть $k$ – нечетное натуральное число. Напомним, что подмножества $A$ и $B$ в $[n]$ назывались $(k+1)$-разделенными: если существует такое разбиение $[n]$ на $k+2$ последовательных интервала $[n]=I_0\sqcup I_1\sqcup
... \sqcup I_{k+1}$, что множество $A - B$ располагается в объединении ‘четных’ интервалов $I_0\sqcup I_2\sqcup ... I_{k+1}$, а $B-A$ – в объединении ‘нечетных’ интервалов $I_1\sqcup ... I_k$ (или наоборот).

**Определение.** Множества $A$ и $B$ как выше называются *сильно $(k+1)$-разделенными* (или *слабо $k$-разделенными*), если размер $A$ не больше, чем размер $B$. Образно говоря, ‘окружающее’ множество по размеру не превосходит ‘окружаемое’.

Например, множество 15 слабо 1-разделено с множествами 234 и 24, но не с множеством 3. Отношение слабой 1-разделенности – это в точности отношение слабой разделенности Леклерка-Зелевинского. Если множества $A$ и $B$ $k$-разделены, то они слабо $k$-разделены, что оправдывает употребление эпитета ‘слабо’. Если $A$ и $B$ имеют одинаковый размер, слабая $k$-разделенность превращается в $(k+1)$-разделенность.

В некоторых отношениях слабая $k$-разделенность ‘похожа’ на $k$-разделенность. Например: в Предложении 17 утверждается, что размер любой $k$-разделенной системы подмножеств $[n]$ не превышает ${n \choose \le k+1}$. Покажем, что это же верно для слабой $k$-разделенности.

**Предложение 22**. *Пусть $k$ – нечетное число. Размер слабо $k$-разделенной системы подмножеств в $[n]$ не превышает ${n \choose \le
k+1}$.*

Оно проводится индукцией по $k$; при $k=-1$ утверждение очевидно, так как сильная 0-разделенность – это просто равенство. Поэтому размер такой системы равен 1, как и ${n \choose 0}$. При $k\ge 1$ рассуждение начинается как в предложении 17. Пусть $\mathcal{W}$ – слабо $k$-разделенная система в $[n]$; разделим ее на две части: $\mathcal{W}_0$, члены которой не содержат цвет $n$, и $\mathcal{W}_1$, члены которых содержат цвет $n$. Пусть $\mathcal{W}_2$ состоит из множеств вида $X-n$, где $X$ пробегает $\mathcal{W}_1$. Ясно, что $\mathcal{W}_0\cup \mathcal{W}_2$ снова слабо $k$-разделенная система (уже в $[n-1]$), и по индукции ее размер не превосходит ${n-1 \choose \le k+1}$.

Обозначим через $\mathcal D $ систему множеств $X$, которые сами лежат в $\mathcal W_0 $, а их ‘двойник’ $Xn$ лежит в $\mathcal W_1$. Мы утверждаем, что *размер $\mathcal D $ не превосходит ${n-1 \choose \le
k}$.* Как и в предложении 17, Предложение 22 следует из этой оценки. Следующие три леммы доказывают эту оценку.

[**Лемма 5.**]{} [*Пусть множества $A$ и $B$ из $\mathcal D $ имеют один и тот же размер. Тогда они $(k-1)$-разделены.* ]{}

Доказательство. $(k-1)$-неразделенность означает, что ($A-B$ и $B-A$) нельзя альтернированно разместить в разбиении $[n-1]$ на $k$ интервалов. То есть что для их размещения нужно задействовать $k+1$ интервал. Предположим, что такое размещение имеет схему $ABAB...AB$ (слово из $k+1$ буквы). В этом случае сравним $B$ и $An$. И хотя эти множества помещаются в $k+2$ интервала, размер окружающего множества $An$ превышает размер окружаемого $B$, что противоречит тому, что $An$ и $B$ слабо $k$ -разделены. Аналогично в случае схемы $BA...BA$, где мы будем сравнивать множества $A$ и $Bn$. $\Box$

Обозначим через $\mathcal D _i$ подсистему тех множеств из $\mathcal D$, которые имеют размер $i$. И дополним ее двумя другими системами подмножеств в $[n-1]$. Для их определения рассмотрим две вспомогательные системы $\mathcal S
$ и $\mathcal A $. Чтобы их задать, мы рассмотрим разбиение $[n-1]$ на $k$ интервалов, $[n-1]=I_0\sqcup ...\sqcup I_{k-1}$. Тогда объединение ‘нечетных’ интервалов $(I_1\sqcup ...\sqcup I_{k-2})$ этого разбиения дает элемент системы $\mathcal S$, а объединение ‘четных’ интервалов дает элемент системы $\mathcal
A $. Через $\mathcal S _i$ мы обозначаем подсистему в $\mathcal S $, образованную множествами размера $i$, и аналогично понимаются $\mathcal A
_i$.

[**Лемма 6.**]{} [*Объединение систем $\mathcal S _{n-1}\sqcup ...\sqcup
\mathcal S _{i+1}\sqcup \mathcal D _i\sqcup \mathcal A_{i-1}\sqcup ...\sqcup
\mathcal A_0$ образует слабо $(k-2)$-разделенную систему подмножеств множества $[n-1]$.* ]{}

Доказательство получается их следующих трех простых замечаний. Первое: множество из $\mathcal S _l$ слабо $(k-2)$-разделено с любым множеством меньшего или равного размера. В самом деле, оно имеет вид $I_1\sqcup...\sqcup
I_{k-2}$ для некоторого разбиения $[n-1]=I_0\sqcup ...\sqcup I_{k-1}$ на $k$ интервалов. Условие на размер дает сильную $(k-1)$-разделенность, то есть слабую $(k-2)$-разделенность. Второе: по тем же причинам множество из $\mathcal
A _l$ слабо $(k-2)$-разделено с любым множеством большего или равного размера. Третье – множества из $\mathcal D _i$ слабо $(k-2)$-разделены по Лемме 5 (они $(k-1)$-разделены и имеют одинаковый размер). $\Box$

По предположению индукции размер системы $\mathcal S _{n-1}\sqcup ...\sqcup
\mathcal S _{i+1}\sqcup      \mathcal D _i\sqcup \mathcal A _{i-1}\sqcup
...\sqcup \mathcal A _0$ не превосходит ${n-1 \choose \le k-1}$. С другой стороны размер системы $\mathcal S $ (как спектра стандартного кубильяжа зонотопа $Z(n-1,k-1)$) равен ${n-1 \choose \le k-1}$. Откуда мы заключаем, что размер $\mathcal D _i$ не превосходит разности размеров $\mathcal S _0\sqcup
\mathcal S _1\sqcup ...\sqcup \mathcal S _i$ и $\mathcal A _0\sqcup ...\sqcup
\mathcal A _{i-1}$. И осталось разобраться с размером этой разности.

**Лемма 7.** *Эта разность равна числу вершин стандартного (а на самом деле – любого) кубильяжа зонотопа $Z(n-1, k)$ на высоте $i$.*

Имея это равенство, мы быстро завершаем доказательство Предложения 22. В самом деле, размер $\mathcal D _i$ не превосходит числа вершин стандартного кубильяжа на уровне $i$. Поэтому размер всей системы $\mathcal D$ не превосходит числа вершин стандартного кубильяжа $Z(n-1, k)$, то есть ${n-1 \choose \le k}$. Но именно нужно было доказать.

Доказательство леммы 7. Рассмотрим зонотоп $Z=Z(n-1,k)$. Элементы системы $\mathcal S $ реализуются как спектры вершины видимой части границы $Z$, элементы $\mathcal A $ – как спектры вершин невидимой части границы. Обрежем $Z$ на высоте $i$. Тогда элементы $\mathcal S _0\sqcup \mathcal S _1\sqcup
...\sqcup \mathcal S _i$ реалзуются как вершины видимой части этого обрубка (‘чаши’), тогда как элементы $\mathcal A _0\sqcup ...\sqcup  \mathcal A _{i-1}$ – как вершины невидимой части (исключая те, которые находятся на высоте $i$).

А теперь возьмем любой кубильяж $Z$, напрмер, стандартный. И рассмотрим гирлянды (см. раздел 7) в этом кубильяже, точнее, те, которые начинаются в точках видимой части границы ‘обрубка’. Каждая гирлянда где-то пересекает другую границу ‘обрубка’, а это либо невидимоя часть обрубка, либо его верхнее ‘горизонтальное’ основание (потолок). И при этом получается любая вершина кубильяжа этой невидимой части границы обрубка. Отсюда мы получаем, что интересующая нас разность в точности равна числу вершин нашего кубильяжа, находящихся на высоте $i$. Лемма 7 доказана, а вместе с ней доказано и Предложение 22.

Наконец, можно поставить вопрос о чистоте отношения слабой разделенности. Для $k=1$ утвердительный ответ был получен в [@UMN]. Однако уже при $k=3$ ответ отрицателен. Для получаеия контрпримера обратимся снова к разделу 19, то есть к системе подмножеств в $[6]$. В этом случае есть 52 периферийных точек-множеств, которые 3-разделимы с любыми подмножествами в $[6]$. Мы утверждаем, что

а) Три множества 25, 1356 и 1246 слабо 3-разделены. Они даже 3-разделены, см. раздел 19.

б) Вместе с периферийными точками-множествами эти три множества образуют нерасширяемую дальше (максимальную по включению) слабо 3-разделенную систему размера 52+3=55. Тогда как ${6 \choose \le 4}=57$. Утверждение про нерасширяемость проверяется непосредственно. Например, множество 25 4-разделено с множествами 136, 1346 и 146, но разделено не сильно из соображений размера.

Отметим, с другой стороны, что нерасширяемая 3-разделенная система $\{246, 235,
\\ 136\}$, рассмотренная как слабо 3-разделенная, допускает расширение за счет добавления двух множеств 146 и 245.

Дополнение 1. Поликатегорный взгляд на кубильяжи {#дополнение-1.-поликатегорный-взгляд-на-кубильяжи .unnumbered}
================================================

Попробуем дать некоторое представление об этой достаточно изощренной конструкции, придуманной Маниным, Шехтманом, Капрановым и Воеводским ([@MSch-3; @VK; @KV]).

В основе лежит идея, что кубильяжи можно трактовать как морфизмы, но между чем? Между кубильяжами меньшей размерности. Но те, в свою очередь, можно рассматривать как морфизмы, и так мы приходим не просто к категории, но к поликатегории. Грубо говоря, поликатегория – это система категорий, в которой для любых объектов $a$ и $b$ одной категории множество $Hom(a,b)$ в свою очередь является множеством объектов другой категории, более высокого уровня.

Чтобы настроиться на этот поликатегорный взгляд, вернемся к ромбическим тайлингам. Пусть есть две мембраны в тайлинге, то есть две змейки, идущие в зоногоне $Z(n,2)$ из нижней вершины $\emptyset$ в верхнюю вершину $[n]$. Предполагая, что вторая мембрана $\mathcal M _2$ проходит правее первой $\mathcal M_1$, мы можем сказать, что $\mathcal M _1\le \mathcal M _2$, если между этими мембранами-змейками можно вписать (частичный) ромбический тайлинг (или, что эквивалентно, обе мембраны вписаны в некоторый ромбический тайлинг). Интерпретируя мембраны-змейки как линейные порядки (или перестановки) на множестве $[n]$, мы получаем (слабый) порядок Брюа.

Однако можно поступить более тонко и сказать, что нас интересует не просто существование тайлингов, ‘соединяющих’ $\mathcal M _1$ и $\mathcal M _2$, но и сами ‘соединяющие’ их тайлинги. Иначе говоря, морфизмом из $\mathcal M _1$ в $\mathcal M _2$ объявляется произвольный (частичный) тайлинг $\mathcal T $ между $\mathcal M_1$ и $\mathcal M _2$. Так мы получаем вместо посета Брюа категорию Брюа, в которой объектами служат перестановки (или линейные порядки на $[n]$), морфизмами – соединяющие их тайлинги, а композиция морфизмов производится просто путем объединения тайлингов. На самом деле, мы получаем большее: ведь два тайлинга $\mathcal T _1$ и $\mathcal T_2$ между $\mathcal M
_1$ и $\mathcal M _2$ тоже можно сравнивать с помощью повышающих флипов. Так что $Hom(\mathcal M_1,\mathcal M _2)$ не просто (довольно богатое) множество, но тоже посет! И композиция морфизмов-тайлингов уважает эти структуры посетов.

Но если уж мы встали на этот путь, то грех останавливаться. Можно не просто говорить, что тайлинги $\mathcal T _1$ и $\mathcal T _2$ соединяются повышающими флипами, но само такое соединение назвать морфизмом (уже следующего, второго уровня). А соединение – это некоторый (частичный) кубильяж уже в зонотопе $Z(n,3)$. И эту конструкцию можно продолжать и далее, поднимаясь все выше и выше по размерности, пока мы не дойдем до зонотопа-куба $Z(n,n)$, в котором имеется уже только один тривиальный кубильяж.

Так выглядит эта поликатегорная картина в общих чертах.

В следующем примере мы приведем лишь наиболее интересный фрагмент поликатегорного полотна, да и то в предельно простом случае. А именно, возьмем $n=3$, и изобразим лишь первый, второй и третий этажи получающейся ‘пагоды’.

Объектами первого этажа служат вершины куба $Z(3,3)$, то есть подмножества базисного множества $[3]=\{1,2,3\}$. Но что считать морфизмами? Казалось бы, естественно полагать, что из множества $X$ идет стрелка в $Y$, если $X\subset
Y$. На этом пути мы приходим просто к посету $2^{[3]}$. Кубильяжная точка зрения говорит, что морфизмом надо считать ‘путь’ от $X$ в $Y$, частичную змейку из $X$ в $Y$. Композиция змеек очевидна: если есть змейка из $X$ в $Y$ и из $Y$ в $Z$, надо просто приставить их друг к другу и получить змейку из $X$ в $Z$.

=.8mm

(136.00,48.00)(-15,0) (30.00,5.00)(22.00,10.00)(15.00,15.00) (15.00,15.00)(15.00,22.00)(15.00,30.00) (15.00,30.00)(22.00,35.00)(30.00,40.00) (30.00,40.00)(36.00,36.00)(45.00,30.00) (45.00,30.00)(45.00,23.00)(45.00,15.00) (45.00,15.00)(38.00,11.00)(30.00,5.00) (30,5)[(-3,2)[15]{}]{} (15,15)[(0,1)[15]{}]{} (15,30)[(3,2)[15]{}]{} (30,25)[(0,1)[15]{}]{} (30,5)[(3,2)[15]{}]{} (45,15)[(-3,2)[15]{}]{} (15.00,15.00)(22.00,20.00)(30.00,25.00) (10,20)[$a$]{} (38,20)[$b$]{}

(80.00,5.00)(72.00,10.00)(65.00,15.00) (65.00,15.00)(65.00,22.00)(65.00,30.00) (65.00,30.00)(72.00,35.00)(80.00,40.00) (80.00,40.00)(86.00,36.00)(95.00,30.00) (95.00,30.00)(95.00,23.00)(95.00,15.00) (95.00,15.00)(88.00,11.00)(80.00,5.00) (80,5)[(-3,2)[15]{}]{} (65,15)[(3,2)[15]{}]{} (80,20)[(3,2)[15]{}]{} (80,5)[(0,1)[15]{}]{} (80,25)[(0,1)[15]{}]{} (95,30)[(-3,2)[15]{}]{} (70,21)[$a$]{} (85,19)[$b$]{}

(130.00,5.00)(122.00,10.00)(115.00,15.00) (115.00,15.00)(115.00,22.00)(115.00,30.00) (115.00,30.00)(122.00,35.00)(130.00,40.00) (130.00,40.00)(136.00,36.00)(145.00,30.00) (145.00,30.00)(145.00,23.00)(145.00,15.00) (145.00,15.00)(138.00,11.00)(130.00,5.00) (130,5)[(-3,2)[15]{}]{} (115,15)[(0,1)[15]{}]{} (115,30)[(3,2)[15]{}]{} (145,15)[(0,1)[15]{}]{} (130,5)[(3,2)[15]{}]{} (145,30)[(-3,2)[15]{}]{}

(130,5)[(0,1)[15]{}]{} (130,20)[(-3,2)[15]{}]{} (130,20)[(3,2)[15]{}]{} (130.00,25.00)(130.00,32.00)(130.00,40.00) (115.00,15.00)(122.00,20.00)(130.00,25.00) (130.00,25.00)(136.00,20.00)(145.00,15.00)

(110,20)[$a$]{} (148,20)[$b$]{}

Объектами второго этажа являются [частичные змейки. Если есть две змейки $a$ и $b$ с одним и тем же началом и одним и тем же концом, возникает вопрос]{} – можно ли замостить промежуток между ними ромбами? И морфизмами второго этажа (между $a$ и $b$) являются именно такие ромбические замощения области между $a$ и $b$ (здесь надо считать, что змейка $b$ проходит правее змейки $a$). В нашем случае с $n=3$ такое замощение бывает либо одно (как слева на рис. 17), или ни одного (как на среднем рисунке), где змейки идут из $\emptyset$ в $[3]$).

Однако (в нашем простом случае) есть единственное исключение, когда между змейкой $123$ и $321$ (здесь мы понимаем сокращение $123$ как линейный порядок на множестве $\{1,2,3\}$) возможны два замощения или тайлинга: стандартный и антистандартный. Так что если нарисовать часть второго этажа, содержащую только ‘полные’ змейки (из $\emptyset $ в $[3]$, то есть шесть линейных порядков на множестве $[3]$), мы получим следущую картину (рис. 18).

(97.00,43.00) (40.00,20.00)[(0,0)\[cc\][123]{}]{} (42.00,18.00)[(1,-1)[13.00]{}]{} (57.00,3.00)[(0,0)\[cc\][132]{}]{} (59.00,3.00)[(1,0)[18.00]{}]{} (80.00,3.00)[(0,0)\[cc\][312]{}]{} (82.00,5.00)[(1,1)[13.00]{}]{} (97.00,20.00)[(0,0)\[cc\][321]{}]{}

(43.00,23.00)[(3,1)[35.00]{}]{} (43.00,17.00)[(3,-1)[36.00]{}]{}

(42.00,22.00)[(1,1)[13.00]{}]{} (57.00,37.00)[(0,0)\[cc\][213]{}]{} (59.00,37.00)[(1,0)[18.00]{}]{} (80.00,37.00)[(0,0)\[cc\][231]{}]{} (82.00,35.00)[(1,-1)[13.00]{}]{} (42.00,22.00)(67.00,32.00)(94.00,22.00) (42.00,18.00)(65.00,8.00)(94.00,18.00)

(58.00,6.00)[(3,1)[36.00]{}]{} (58.00,34.00)[(3,-1)[35.00]{}]{}

(68.00,20.00)[(0,0)\[cc\][$\Downarrow$]{}]{}

Мы хотели бы обратить внимание, что из змейки 123 в змейку 321 идут два морфизма-тайлинга: стандартный и антистандартный. И эти два морфизма, как объекты третьего этажа, тоже связаны морфизмом (третьего уровня), который изображен двойной стрелкой $\Rightarrow$. (Конечно, на третьем этаже имеется еще много ‘банальных’ (изолированных) объектов.)

Этим примером мы хотели бы завершить рассказ о поликатегорном взгляде на кубильяжи. Подробности фомализма можно посмотреть в статье Манина-Шехтмана [@MSch-3] или Капранова-Воеводского [@VK; @KV]. Само понятие поликатегории кратко обсуждается в книге [@Mac] и более подробно – в книге [@Lu-1]. Отметим еще статью [@KV-3], где на на поликатегорном языке обсуждается уравнение Замолодчикова.

Дополнение 2. Связь с триангуляциями и посетом Тамари-Сташева  {#дополнение-2.-связь-с-триангуляциями-и-посетом-тамари-сташева .unnumbered}
==============================================================

Практически одновременно с введением кубильяжей в форме высшего посета Брюа появились (в работе Воеводского и Капранова [@KV]) посеты Тамари-Сташева, которые во многом параллельны посетам Брюа и тесно с ними связаны. На эту тему написано много работ, с которыми можно познакомиться по обзору [@RR].

Чтобы определить эти посеты, снова рассмотрим циклическую конфигурацию векторов $C(n,d)$. Концы этих векторов являются точками на гиперплоскости в $\mathbb R ^d$, заданной уравнением $x_1=1$, то есть гиперплоскостью на ‘высоте’ 1. Выпуклая оболочка этих точек $v_1,...,v_n$ называется [*циклическим политопом*]{} и обозначается $P(n,d)$; это пересечение зонотопа $Z(n,d)$ с гиперплоскостью, и его размерность равна $d-1$. При $d>2$ точки $v_i$ являются вершинами этого политопа.

Вместо кубильяжей зонотопа $Z(n,d)$ теперь интересуются триангуляциями политопа $P(n,d)$, то есть разбиениями на $(d-1)$-мерные симплексы, вершины которых лежат в множестве $\{v_1,...,v_n\}$. При $d=2$ это разбиение отрезка $[v_1,v_n]$ на подотрезки, при $d=3$ – разбиение выпуклого $n$-угольника на $(n-2)$ треугольника, и так далее. Множество триангуляций обозначим ${\bf
TS}(n,d)$.

Триангуляции во многом похожи на кубильяжи. Например, среди них есть ‘стандартная’ и ‘антистандартная’ триангуляции (или нижняя и верхняя триангуляции в терминологии [@RR]), которые получаются как ограничения соответствующих кубильяжей. В частности, этими триангуляциями исчерпываются множества ${\bf TS}(d+1,d)$. Замена стандартной триангуляции на антистандартную в ${\bf  TS}(d+1,d)$ называется повышающим флипом. Аналогичную вещь (повышающий флип) можно делать при любом $n$, если удается найти фрагмент вида стандартной триангуляции ${\bf TS}(d+1,d)$. Мы говорим, что $\mathcal T \le \mathcal T '$, если от $\mathcal T $ можно добраться до $\mathcal T '$ серией повышающих флипов. Это дает структуру посета в множестве ${\bf TS}(n,d)$, называемую [*посетом Тамари-Сташева*]{}.

**Пример 1.** $d=2$. Задать тут триангуляцию – значит задать разбиение на отрезки отрезка $[t_1,t_n]$, причем так, чтобы концы отрезков были какие-то $t_i$. Любое подмножество в $\{t_2,...,t_{n-1}\}$ задает такое разбиение на отрезки. Типичный повышающий флип состоит в замене двух последовательных отрезков $[t_i,t_j]$ и $[t_j,t_k]$ ($t_i<t_j<t_k$) на отрезок $[t_i,t_k]$, то есть фактически удаление $t_j$ из подмножества. Мы видим, что посет Тамари-Сташева в этом случае (анти)изоморфен булевой решетке подмножеств множества $\{2,...,n-1\}$.

**Пример 2.** Случай $d=3$ более интересен. Надо взять $n$ точек на параболе $y=x^2$, упорядоченных по возрастанию $x$; выпуклая оболочка этих точек дает циклический многоугольник $P=P(n,3)$. Возьмем некоторую его триангуляцию и войдем (сверху) в треугольник со стороной $[v_1,v_n]$. После чего выйдем через любую из оставшихся сторон. Если при этом мы покидаем $P$, на этом путь заканчивается. Если попали в другой треугольник триангуляции, процесс продолжается – мы снова выходим через одну из двух других сторон этого треугольника. И так далее. В результате получается то, что называется [*плоским бинарным деревом*]{} (с $(n-2)$-мя некорневыми вершинами, соответствующими треугольникам триангуляции), см. рис. 20 и 21. В книге [@Sta-2] (упр. 6.19) приведены еще 65 способов задания множества таких деревьев, среди которых стоит выдеить способ ‘правильной’ расстановки скобок в строке из $(n-1)$-й буквы. Этот способ использовал Тамари при определении его посета ${\bf TS}(n,3)$.

Чтобы говорить не просто о множестве ${\bf TS}(n,3)$, но и о частичном порядке на нем, надо конкретизировавать повышающие флипы. Они устроены так: надо взять фрагмент триангуляции, изображенный слева на рис. 19, и заменить диагональ ($ik$) четырехугольника на другую диагональ ($jl$).

![флип триангуляции[]{data-label="fig:19"}](flip-tr)

Ниже нарисованы пять трангуляций пятиугольника и соответствующие бинарные деревья.

![пять триангуляций пятиугольника $P(5,2)$.[]{data-label="fig:20"}](triangl)

![соответствующие пять бинарных дерева.[]{data-label="fig:21"}](trees)

Помимо очевидной аналогии с кубильяжами имеется более точная связь между ними. Пусть $\mathcal Q $ – кубильяж зонотопа $Z(n,d)$. Если мы пересечем этот зонотоп гиперплоскостью $x_1=1$, мы получим в точности политоп $P(n,d)$; сечения кубов той же гиперплоскостью дают триангуляцию политопа $P(n,d)$. Это дает естественное отображение $$sec:\textbf{Q}(n,d) \to {\bf TS}(n,d).$$ Триангуляция $\mathcal T =sec(\mathcal Q )$ дает полное представление о кубах, лежащих в ‘основании’ кубильяжа $\mathcal Q $ (то есть укорененных в 0), но мало что говорит о том, как лежат кубы выше. Поэтому нет оснований надеяться на инъективность отображения $sec$, и уже простейшие примеры показывают неинъективность. В то же время есть веские основания надеяться, что верна следующпя

**Гипотеза 1.** [*Отображение $sec:\textbf{Q}(n,d) \to {\bf TS}(n,d)$ сюръективно.*]{}

Во всяком случае это так для $d\le 3$. В случае $d=2$ это простое упражнение. Случай $d=3$ можно получить из работы [@DKK-18 sec. 7] или из результатов [@Ga].

Отметим, что в обзоре [@RR] (в пункте 8.3) также говорится про связь посетов Тамари и Брюа, но там обсуждается другое отображение. Что же касается отображения $sec$, то оно обсуждается в работе [@DMH]. Там заявляется о сюръективности этого отображения, правда посет Тамари понимается несколько иначе, более ‘комбинаторно’. А вся их работа посвящена применению Тамари-посетов к солетонным решениям уравнения Кадомцева-Петвиашвили. Имеется еще несколько работ о связи уравнения КП и кубильяжей-триангуляций, из которых отметим самую последнюю [@Ko]

Ометим еще, что отображение $sec:{\bf Q}(n,d) \to {\bf  TS}(n,d)$ согласовано с флипами. Если мы делаем флип в кубильяже $\mathcal Q $, то он может индуцировать флип в триангуляции $sec(\mathcal Q )$. Точнее, если мы делаем флип внутри некоторого капсида, укорененного в 0, мы получаем флип соответствующей триангуляции. Если же капсид расположен ‘высоко’, то флип кубильяжа не оказывает никакого воздействия на триангуляцию. В любом случае это дает, что отображение $sec:{\bf Q}(n,d) \to {\bf TS}(n,d)$ согласовано со структурами посетов.

Дополнение 3. Слабые мембраны  {#дополнение-3.-слабые-мембраны .unnumbered}
==============================

Это дополнение непосредственно продолжает материал разделов 9-11. С другой стороны оно примыкает к тематике Дополнения 2 про триангуляции циклических политопов.

В разделе 6 вводилось понятие мембраны в кубильяже. Это $(d-1)$-мерный подкомплекс кубильяжа, который при проекции $\pi$ вдоль $d$-го координатного вектора $e_d$ биективно проектируется туда же, куда весь зонотоп $Z(n,d)$. Аналогично понимается и слабая мембрана. Это тоже некоторая ($d-1$)-мерная пленка в зонотопе $Z(n,d)$, биективно проектирующаяся туда же, куда и весь зонотоп. Но есть два отличия. Первое – эта пленка уже не является подкомплексом кубильяжа $\mathcal Q $, но подкомплексом некоторого измельчения этого кубильяжа. Второе – проектируем мы не вдоль вектора (направления) $e_d$, но вдоль вектора $e_d+\varepsilon e_1$, где $\varepsilon $ – небольшое положительное число. То есть мы глядим на зонотоп почти в направлении $e_d$, но чуть-чуть ‘снизу’. Иначе говоря, проекция $\pi_\varepsilon$ вдоль вектора $e_d+\varepsilon e_1$ переводит точку $x=(x_1,x_2,...,x_d)\in \mathbb R^d$ в $\pi_\varepsilon(x)=(x_1-\varepsilon x_d, x_2,...,x_{d-1})\in \mathbb R^{d-1}$.

Скажем более точно. Циклический зонотоп $Z=Z(n,d)$ как бы растет из точки 0 ‘вверх’, до высоты $n$, и все его вершины, как и вершины кубильяжа $\mathcal Q
$, находятся на целочисленной высоте. Рассечем и зонотоп $Z$, и все кубы кубильяжа $\mathcal Q $ ‘горизонтальными’ гиперплоскостями $H_k$, заданными уравнениями $x_1=k$, где $k$ пробегает целые число от 1 до $n-1$. В результате каждый куб $Q$ будет разрезан на $d$ частей , называемых [*кусками*]{}. Каждый кусок – это некоторый гиперсимплекс (в терминологии [@GS]). На рис. 22 показано рассечение трехмерного куба на три куска: нижний тетраэдр, октаэдр и верхний тетраэдр.

![куски[]{data-label="fig:22"}](kuski)

Получается разбиение зонотопа $Z$, но уже не на кубы, но на более мелкие куски-гиперсимплексы, которое мы обозначаем $\mathcal Q \!\! \equiv $ и называем [*измельчением*]{} кубильяжа $\mathcal Q $.

Измельченный кубильяж $\mathcal Q \!\!\! \equiv $ имеет те же вершины, что и $\mathcal Q $. Но нас больше будут интересовать ‘фасеты’ $\mathcal Q
\!\!\equiv $, или фасеты кусков. Они бывают ‘вертикальные’ (это куски фасет кубов кубильяжа $\mathcal Q $) и ‘горизонтальные’, лежащие в некоторой гиперплоскости $H_k$. (И те, и другие – гиперсимплексы, только теперь размерности $d-1$.) Большинство фасет куска $P$ вертикальные, и только две (или одна, если кусок – симплекс) горизонтальные.

*Слабая мембрана* (или $w$-*мембрана*) в кубильяже $\mathcal Q $ – это подкомплекс $\mathcal W $ измельчения $\mathcal Q $, который при проекции $\pi _\varepsilon $ вдоль вектора $e_d+\varepsilon e_1$ , биективно (гомеоморфно) проектируется на зонотоп (меньшей размерности) $\pi _\varepsilon
(Z)$. Обычные мембраны (из раздела 6, их можно называть сильными) могут пониматься как слабые. Как и сильные мембраны, слабые мембраны гомеоморфны ($d-1$)-мерному диску, край которого – это обод зонотопа $Z$ (относительно $\pi $ или $\pi _\varepsilon $), и они делят зонотоп $Z$ на две части – перед мембраной ($Z_-(\mathcal W )$) и после мембраны ($Z_+(\mathcal W )$); каждая из этих частей тоже разбита на куски. Проекции (при $\pi _\varepsilon $) клеток мембраны дают некоторое разбиение зонотопа $\pi _\varepsilon (Z)$ на плитки-гиперсимплексы, которое можно было бы назвать *гиперкомби*, по аналогии с понятием комби в размерности 2, [@DKK-17; @DKK-18]. Это интересный объект, но мы (пока) не будем им заниматься.

Главное отличие слабых мембран от сильных в том, что первые могут иметь горизонтальные участки (‘выступы’ или ‘балконы’), см. рис. 23 и 24.

![слабая мембрана в ромбическом тайлинге; видны три балкона.[]{data-label="fig:23"}](vystupy)

Простейшие примеры $w$-мембран (назовем их *главными*) получаются следующим образом. Пусть $\mathcal Q $ – кубильяж зонотопа $Z=Z(n,d)$. Мы идем (сверху вниз) сначала по передней (видимой) части границы $Z$ до уровня $k$, $0\le k\le n$. Затем идем горизонтально по этому уровню $k$ вплоть до невидимой (задней) части границы и наконец спускаемся до 0 по задней границе. На рис. \[fig:24\] слева изображена главная $w$-мембрана (при $k=2$) для зоногона $Z(5,2)$, а справа – для зонотопа $Z(5,3)$ (вид спереди и немного снизу).

![простые мембраны.[]{data-label="fig:24"}](prostye "fig:") ![простые мембраны.[]{data-label="fig:24"}](prostye-2 "fig:")

Тут уступы имеются лишь на высоте 2; в общем случае уступы могут встречаться на любой высоте. Для тривиального кубильяжа куба $Z(d,d)$ все мембраны главные.

Отметим, что триангуляции циклического политопа из Дополнения 2 можно понимать как главные слабые мембраны (для $k=1$).

Основная вещь, о которой мы хотим рассказать – это аналог естественного порядка на множестве кусков измельченного кубильяжа $\mathcal Q \!\! \equiv $. Поступим в точности как в разделе 9. А именно, введем понятие *непосредственного следования* $\prec $ для кусков. Только проектируем (и, соотвественно, говорим о видимых и невидимых фасетах кусков) не отображением $\pi $, а чуть измененным отображением $\pi _\varepsilon $. При этом заметим следующее. Пусть кусок $P$ (лежащий в кубе $Q$) непосредственно предшествует куску $P'$ (лежащему в кубе $Q'$), $P\prec P'$. Тогда возможны два случая:

1\) куски $P$ и $P'$ лежат на одном этаже (между гиперплоскостями $H_k$ и $H_{k+1}$), и тогда $Q\prec Q'$;

2\) куски $P$ и $P'$ разделены гиперплоскостью $H_k$; тогда $Q=Q'$, и $P$ лежит под $P'$.

Это замечание помогает доказать следующий аналог Предложения 6:

[**Утверждение.**]{} [*Отношение $\prec $ на $\mathcal Q\!\! \equiv $ ациклично.* ]{}

В самом деле, пусть $P_1\prec ...\prec P_m$ – некоторый направленный путь в $\mathcal Q \equiv $. И пусть $Q_l$ – куб кубильяжа $\mathcal Q $, содержащий кусок $P_l$. Тогда мы получаем направленный путь $Q_1...Q_m$ в $\mathcal Q $, в котором соседние кубы либо связаны отношением $\prec _\mathcal Q $, либо совпадают. В силу Предложения 6 раздела 9, если на этом пути встречается хоть раз отношение $\prec _\mathcal Q $, то $Q_1$ отлично от $Q_m$ и тем более $P_1$ отлично от $P_m$. Поэтому можно считать, что все $Q_l$ одни и те же и равны некоторому кубу $Q$. Тогда все куски $P_l$ – это куски этого куба $Q$. Теперь утверждение очевидно, потому что каждый следующий кусок лежит на этаж выше предыдущего. $\Box$

Основываясь на этом утверждении, мы транзитивно замыкаем отношение $\prec $ и получаем отношение порядка $\preceq $ на $\mathcal Q \!\!\!\equiv $, которое снова называем *естественным*. И точно так же, как это делалось в разделе 11, можно ввести понятие стэка (или идеала) для этого порядка и отождествить слабые мембраны (для кубильяжа $\mathcal Q $) со стэками. Польза этого простого наблюдения в том, что стэк ‘разбирается’ путем удаления некоторого максимального (относитеольно порядка $\preceq $) элемента (куска). В терминах слабых мембран мы получаем понятие слабого (понижающего) флопа. Важное следствие состоит в том, что от любой слабой мембраны до ‘минимальной’ (и уже сильной) мембраны можно добраться серией таких слабых понижающих флопов. Кроме того, множество слабых мембран (в кубильяже $\mathcal Q $) является (как в Предложении 11) дистрибутивной решеткой.

Однако на этом аналогии частично обрываются, и ситуация начинает зависеть от четности/нечетности $d$. Вернемся к простейшему кубильяжу куба $Z(d,d)$. У измельчения такого куба имеется $d$ кусков. И почти у всех кусков (кроме средних) все вершины лежат на ободе этого куба. Как мы знаем из раздела 7, не на ободе находятся только две вершины, обозначенные там как $t$ и $h$ (хвост и голова). Обе эти вершины принадлежат либо одному ‘среднему’ куску (если $d$ нечетно), либо одному ‘среднему’ сечению (если $d$ четно, см. Рис. \[fig:4\]). И это сказывается на числе вершин слабой мембраны. Когда мы удаляем нецентральный кусок из груды $\mathcal S(\mathcal W )$ домембранных кусков (делая соотвествующий понижающий флоп), то число вершин слабой мембраны не меняется. Однако когда мы удаляем центральные куски, положение усложняется. Удаление более верхнего куска (при четном $d$) приводит к увеличению числа вершин мембраны на 1, удаление более низкого – к уменьшению на 1, а удаление единственного центрального куска (при нечетном $d$) не меняет числа вершин мембраны.

[**Вывод.**]{} [*При нечетном $d$ слабые мембраны имеют одно и то же число вершин, равное ${n \choose \le d-1}$. При четном $d$ число вершин у слабых мембран может меняться (в каких пределах?).*]{}

Например, рис. \[fig:23\] изображает тайлинг $Z(5,2)$ cо слабой мембраной, у которой 12 вершин (вместо ‘нормальных’ шести).

А теперь вспомним Предложение 22, которое говорит, что (при нечетном $d$) размер слабо $(d-2)$-разделенной системы в $[n]$ не превосходит ${n \choose \le
d-1}$. В [@DKK19] доказывается, что *при нечетном $d$ спектр любой слабой мембраны в $Z(n,d)$ является слабо $(d-2)$-разделенной системой* (ср. с Предложением 15) . Также есть основания предполагать следующее.

**Гипотеза 2** (ср. с Теоремой 5). *Если $\mathcal{W}$ – слабо $(d-2)$-разделенная система размера ${n \choose \le d-1}$, то она реализуется как спектр некоторой слабой мембраной в зонотопе* $Z(n,d)$.

Во всяком случае, для $d=3$ эта гипотеза верна.

Дополнение 4. Доказательство ацикличности {#дополнение-4.-доказательство-ацикличности .unnumbered}
=========================================

В этом дополнении мы собираемся доказать Предложение 6 об ацикличности отношения $\prec$ на множестве кубов кубильяжа $\mathcal{Q}$. На самом деле мы покажем большее – что отношение $\prec$ ациклично не только на множестве кубов фиксированного кубильяжа $\mathcal{Q}$, но на множестве $\mathcal{C}$ всех кубов всех кубильяжей. (Абстрактным) *кубом* называется произвольный $d$-мерный куб $C$ в зонотопе $Z(n,d)$, порожденный некоторым набором векторов в ${\bf V}$ и растущий из целой точки. Такой куб задается указанием своего корня $v(X)$ ($X\subset [n]$) и своего типа $T\subset [n]$; $T$ имеет размер $d$ и не пересекается с $X$. Как показано в Предложении 3, такой куб вписывается в некоторый кубильяж. Множество всех кубов в $Z(n,d)$ обозначается $\mathcal{C}(n,d)$; очевидно, оно равно объединению множества всех кубов всех кубильяжей $Z(n,d)$.

На множестве $\mathcal{C}(n,d)$ введем бинарное отношение $\prec$ ровно так, как это было сделано в разделе 9. Напомним, что $Q\prec Q'$, если эти кубы $Q$ и $Q'$ соседние по некоторой общей фасете $F$, причем эта фасета $F$ невидимая в $Q$ и видимая в $Q'$. Предложение 6 следует из более сильного утверждения.

**Теорема.** *Отношение $\prec$ на множестве $\mathcal{C}(n,d)$ ациклично.*

Для доказательства теоремы мы выразим комбинаторно отношение $\prec$. Пусть куб $Q$ равен $(X,T)$, куб $Q'$ – $(X',T')$, и $Q\prec Q'$. Обозначим через $F$ фасету, по которой эти кубы соседствуют. Комбинаторно эта фасета равна $(S,J)$, где $S$ - корень фасеты, а $J$ – ее тип. Очевидно, $J=T\cap T'$, размер ее равен $d-1$. Пусть $T=Ji$, $T'=Jk$ для некоторых цветов $i$ и $k$. Вектор $v_i$ может либо входить в корень $F$, либо выходить из него. В первом случае $S=Xi$, во втором $X=Si$. Аналогично с $k$. Так что возможен один из четырех случаев, изображенных на рисунке 25.

=1.1mm

(120.00,55.00)(-5,0)

(19.8,20)[(0,1)[15]{}]{} (20.2,20)[(0,1)[15]{}]{} (20,20)[(-1,1)[10]{}]{} (20,20.2)[(-1,1)[10]{}]{} (10,30)[(0,1)[15]{}]{} (10,45)[(1,-1)[10]{}]{} (20,35)[(2,-1)[10]{}]{} (30,30)[(0,-1)[15]{}]{} (30,15)[(-2,1)[10]{}]{} (30,15.2)[(-2,1)[10]{}]{}

(49.8,20)[(0,1)[15]{}]{} (50.1,20)[(0,1)[15]{}]{} (50,20)[(-1,1)[10]{}]{} (50,20.2)[(-1,1)[10]{}]{} (40,30)[(0,1)[15]{}]{} (40,45)[(1,-1)[10]{}]{} (50,35)[(2,1)[10]{}]{} (60,40)[(0,-1)[15]{}]{} (60,25)[(-2,-1)[10]{}]{} (50,20.2)[(2,1)[10]{}]{}

(79.8,20)[(0,1)[15]{}]{} (80.2,20)[(0,1)[15]{}]{} (80,20)[(-2,-1)[10]{}]{} (80,20.2)[(-2,-1)[10]{}]{} (70,15)[(0,1)[15]{}]{} (70,30)[(2,1)[10]{}]{} (80,35)[(2,-1)[10]{}]{} (90,30)[(0,-1)[15]{}]{} (90,15)[(-2,1)[10]{}]{} (90,15.2)[(-2,1)[10]{}]{}

(109.8,20)[(0,1)[15]{}]{} (110.2,20)[(0,1)[15]{}]{} (110,20)[(-2,-1)[10]{}]{} (100,15.2)[(2,1)[10]{}]{} (100,15)[(0,1)[15]{}]{} (100,30)[(2,1)[10]{}]{} (110,35)[(1,1)[10]{}]{} (120,45)[(0,-1)[15]{}]{} (120,30)[(-1,-1)[10]{}]{} (110,20.2)[(1,1)[10]{}]{}

(70,15)[(2,1)[10]{}]{} (90,15)[(-2,1)[10]{}]{} (80.00,17.00)[(0,0)\[cc\][$S$]{}]{}

(15.00,32.00)[(0,0)\[cc\][$Q$]{}]{} (25.00,25.00)[(0,0)\[cc\][$Q'$]{}]{} (50.00,17.00)[(0,0)\[cc\][$X\!\!=\!\!S\!\!=\!\!X'$]{}]{} (18.00,17.00)[(0,0)\[cc\][$X\!\!=\!\!S$]{}]{} (113.00,17.00)[(0,0)\[cc\][$S\!\!=\!\!X'$]{}]{}

(52.00,29.00)[(0,0)\[cc\][$J$]{}]{} (82.00,27.00)[(0,0)\[cc\][$J$]{}]{} (112.00,29.00)[(0,0)\[cc\][$J$]{}]{}

(70.00,12.00)[(0,0)\[cc\][$X$]{}]{} (100.00,12.00)[(0,0)\[cc\][$X$]{}]{}

(30.00,12.00)[(0,0)\[cc\][$X'$]{}]{} (90.00,12.00)[(0,0)\[cc\][$X'$]{}]{} (74.00,19.00)[(0,0)\[cc\][$i$]{}]{} (86.00,19.00)[(0,0)\[cc\][$k$]{}]{} (20.00,5.00)[(0,0)\[cc\][I]{}]{} (50.00,5.00)[(0,0)\[cc\][II]{}]{} (80.00,5.00)[(0,0)\[cc\][III]{}]{} (110.00,5.00)[(0,0)\[cc\][IV]{}]{}

Мы должны теперь выразить то, что фасета $F$ невидимая в кубе $Q$. Для этого будем временно считать, что корень фасеты $F$ расположен в нуле. Пусть $J=\{j_1<j_2<...<j_{d-1}\}$; тогда линейное уравнение $\det(v_{j_1},...,v_{j_{d-1}}, \cdot)=0$ задает гиперплоскость, содержащую фасету $F$. То, что эта фасета невидимая в $Q$, означает, что вектор $v_i$ лежит в положительном полупространстве (если он входит в корень $F$) и в отрицательном полупространстве (если он выходит из корня $F$). То есть в случаях I и II $\det(v_{j_1},...,v_{j_{d-1}}, v_i)<0$, а в случаях III и IV этот определитель больше 0.

Симметрично фасета $F$ видимая в кубе $Q'$, если вектор $v_k$ лежит в положительном полупространстве в случаях II и IV, и в отрицательном полупространстве в случаях I и III. То есть определитель $\det(v_{j_1},...,v_{j_{d-1}}, v_k)$ должен иметь знак + или - соответственно.

Это возвращает нас к вопросу о знаках определителей, о котором мы рассказали в разделе 5. А именно, точки $j_1<j_2<...<j_{d-1}$ на отрезке $[n]$, делят этот отрезок на $d$ интервалов, которые удобно нумеровать справа налево. Нулевой интервал состоит из точек-чисел строго больших $j_{d-1}$, первый интервал – между $j_{d-2}$ и $j_{d-1}$ и так далее; последний интервал состоит из чисел, строго меньших $j_1$. Если число $j$ попадает в интервал с четным номером, то определитель $\det(v_{j_1},...,v_{j_{d-1}}, v_j)$ положителен; если с нечетным номером – отрицателен. Можно говорить, что число $j$ *четно* относительно $J$, если $j$ попадает в интервал с четным номером, и *нечетно* в противном случае.

Подведем итог. Пусть задана фасета $F$, представленная как пара $(S,J)$, и куб $Q=(X,T)$, имеющий $F$ своей фасетой, так что $T=Ji$ для некоторого $i$, не принадлежащего $J$. *Фасета $F$ невидима в кубе $Q$ тогда и только тогда, когда выполнено одно из двух:*

a\) $X=S$ *и $i$ нечетно относительно* $J$;

b\) $X=S-i$ *и $i$ четно относительно* $J$.

Симметрично, пусть куб $Q'=(X',T')$ имеет $F$ своей фасетой, так что $T'=Jk$. *Фасета $F$ видима в кубе $Q$ тогда и только тогда, когда выполнено одно из двух:*

a’) $X'=S$ *и $k$ четно относительно* $J$;

b’) $X'=S-k$ *и $k$ нечетно относительно* $J$.

Таким образом, $Q\prec Q'$ тогда и только тогда, когда выполнены комбинации: a) и a’) (случай II рисунка), или a) и b’) (случай I рисунка), или b) и a’) (случай IV) или b) и b’) (случай III).

Итак, мы выразили комбинаторно отношение $\prec $. Теперь приступим к доказательству теоремы. Для этого разделим все множество $\mathcal{C}$ кубов на три группы, или уровня, $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_1$ и $\mathcal{C}_2$. К нулевому уровню $\mathcal{C}_0$ мы относим те кубы $(X,T)$, для которых цвет $n$ не входит ни в $X$, ни в $T$; к первому уровню (‘перегородка цвета $n$’) $\mathcal{C}_1$ мы относим те кубы, для которых $n$ принадлежит типу $T$; наконец, второй уровень $\mathcal{C}_2$ состоит из кубов, для которых $n\in X$. Следующее утверждение является ключевым.

**Лемма.** *Уровень монотонно не убывает относительно $\prec$.*

Пусть $Q\prec Q'$. Обозначим через $l$ и $l'$ уровни $Q$ и $Q'$, соотвественно. Мы должны проверить две вещи. Первая: если $l'=0$, то и $l=0$. Вторая: если $l=2$, то и $l'=2$.

Начнем со второго утверждения. Допустим, что $l=2$ (то есть $n$ принадлежит $X$), но $n$ не принадлежит $X'$. Так как в случае a’) $X'$ содержит $X$, этот случай не реализуем и имеет место случай b’). Но тогда $k=n$, а $n$ всегда четно, так что мы получаем противоречие.

Проверим теперь первое утверждение. Допустим, что $l'=0$, тогда как $l>0$. Это значит, что $n$ не принадлежит ни $X'$, ни $T'$, и в то же время принадлежит либо $X$, либо $T$. Принадлежать $X$ цвет $n$ не может, как было только что показано. Таким образом, $n\in T=Si=(T'-k)\cup \{i\}$. Так как $n$ не принадлежало $T'$, то $i=n$. Но цвет $n$ всегда четен, так что мы попадаем в случай a), когда $X=S-i=S-n$. Значит $n$ принадлежит $S$ и тем более $X'=Sk$. Противоречие.

Приступим к доказательству теоремы. Оно ведется индукцией по $n$. При $n=d$ утверждение теоремы верно, поскольку имеется всего один куб. Будем считать, что $d<n$.

Предположим, что имеется циклический монотонный путь $Q_0\prec Q_1 \prec ...
\prec Q_N=Q_0$. В силу предыдущей Леммы этот путь целиком располагается на одном из уровней, нулевом, первом или втором.

Если цикл проходит на уровне 0, то он лежит в зонотопе $Z(n-1,d)$, что противоречит индуктивному предположению.

Если цикл лежит на втором уровне, то заменим каждый корень $X_i$ на $X_i-n$. Мы снова получаем циклический путь в зонотопе $Z(n-1.d)$, что невозможно по индуктивному предположению.

Остается рассмотреть случай, когда циклический путь располагается на уровне 1. То есть, если $Q_i=(X_i,T_i)$ для $i=0,...,N$, то $n\in T_i$ для всех $i$. В этом случае, заменяя каждое множество $T_i$ на ‘редуцированное’ множество $\widetilde{T_i}=T_i-n$, мы получим ‘путь’ $\widetilde{Q_0}, ... ,
\widetilde{Q_N}$ в $Z(n-1,d-1)$, где $\widetilde{Q_i}=(X_i,\widetilde{T_i})$. Главное замечание состоит в том, что мы снова получаем цикл, хотя и противоположно ориентированный, что противоречит индуктивному предположению. Это замечание следует из приводимой ниже Леммы о реверсе.

**Лемма о реверсе.** *Пусть для кубов $Q=(X,T)$ и $Q'=(X',T')$ из $\mathcal{C}(n,d)$ выполнено соотношение $Q\prec Q'$. Предположим, что $n\in T,
T'$, и положим $\widetilde{T}=T-n$, $\widetilde{T'}=T'-n$. Тогда для кубов $\widetilde{Q}=(X,\widetilde{T})$ и $\widetilde{Q'}=(X',\widetilde{T'})$ в зонотопе $\widetilde{Z}=Z(n\!-\!1,d\!-\!1)$ выполнено противоположное соотношение $\widetilde{Q'} \ \widetilde{\prec} \ \widetilde{Q}$, где $\widetilde{\prec}$ – соответствующее отношение на множестве $\mathcal{C}(n-1,d-1)$.*

Пусть $J=T\cap T'$; очевидно, что $J$ также содержит $n$. Положим $\widetilde{J}=J-n$. Причина реверса состоит в том, что в силу $J=\widetilde{J}n$ четность какого-либо цвета $i$ относительно множества $\widetilde{J}$ противоположна четности этого цвета относительно $J$.

[40]{}

Rambau J. Triangulations of cyclic polytopes and higher Bruhat orders. *Mathematika* 44, 1997, 162-194.

Rambau J., Reiner V. A survey of the higher Stasheff-Tamari orders. In *Associahedra, Tamari Lattices and Related Structures* (eds. F. Muller-Hoissen, J.M.Pallo, J. Stasheff), Birkhauser/Springer, 2012, pp. 351-390.

*Assosihedra, Tamati Lattices and Related Structures* (eds. F. Muller-Hoissen, J.M. Pallo, and J. Stasheff), Springer, 2012.

Shephard G.C. Combinatorial properties of associated zonotopes. Can. J. Math., v. 26, No. 2, 1974, 302-321.

Циглер Г.М. *Теория многогранников.* М,: МЦНМО, 2014. (Перевод Ziegler G. *Lectures on polytopes*, Springer-Verlag, N.Y., 1995.)

Leclerc B., Zelevinsky A. Quasicommuting families of quantum Pl[ü]{}cker coordinates. *Amer. Math. Soc. Trans.*, Ser. 2, v. 181 (1998) 85-108.

Данилов В.И., Карзанов А.В., Кошевой Г.А. Системы разделенных множеств и их геометрические модели. *Успехи матем. наук*, т. 65, вып. 4 (394) 2010, 132-217.

Манин Ю.И., Шехтман В.В. О высших порядках Брюа, связанных с симметрической группой. *Функц. анализ и его приложения*, 1986, т. 20, вып. 2, 74-75.

Воеводский В.А., Капранов М.М. Свободная $n$-категория, порожденная кубом, ориентированные матриоды и высшие порядки Брюа. *Функц. анализ и его приложения*, 1991, т. 25, вып. 1, 62-65.

Ziegler G.M., Higher Bruhat orders and cyclic hyperplane arrangements. *Topology*, v. 32, No. 2, 1991, pp. 259-279.

Galashin P. Plabic graphs and zonotopal tilings. *Proc. London Math. Soc.* 117 (4), 2018, 661-681.

Galashin P., Postnikov A. Purity and separation for oriented matroids. ArXiv:1708.01329\[math.CO\], 2017.

Bailey G.D. Tilings of zonotopes: Discriminantal arrangements, oriented matroids, and enumeration, Minnesota Univ., 1997.

Manin Yu., Schechtman V. Arrangemennts of hyperplanes, higher braid groups and higher Bruhat orders. In: *Algebraic Number Theory – in Honour of K. Iwasawa*, Advances Studies in Pure Math. 17, Academic Press, NY, 1989, pp. 289-308.

Kapranov M.M., Voevodsky V.A. Combinatorial-geometric aspects of polycategory theory: pasting schemes and higher Bruhat orders. *Cahiers de topologie et geometrie differentielle categoriques*, t. 32, n. 1, 1991, 11-28.

Bjorner A., Las Vergnas M, Sturmfels B., White N., Ziegler G.M. *Oriented matroids.* Cambridge Univ. Press, 1999.

Athanasiadis C.A. Zonotopal subdivisioms of cyclic zonotopes, *Geometriae Dedicata* 86, 2001, 37-57

Стенли Р. *Перечислительная комбинаторика,* т. 1. Москва, Мир, 1990

Felsner S., Ziegler G.M. Zonotopes associated with higher Bruhat orders. *Discrete Mathematics* 241, 2001, pp. 301-312.

Thomas H. Maps between higher Brughat orders and higher Stasheff-Tamari posets. In *Formal Power Series and Algebraic Combinatorics Conference* – Link[ö]{}ping, Sweden, 2003.

Las Vergnas M. Extensions ponctuelles compatibles d’une geometrie combinatoire. *C.R. Acad. Sci.* Paris, Ser. A-B, 286(21), A981-A984, 1978.

Felsner S., Weil H. A theorem on higher Bruhat orders. *Discrete Comput. Geom.* 23, 2000, pp. 121-127.

Edelman P.H., Reiner V. Free arrangements and rhombic tilings. *Discrete Comput. Geom.*, 16 (1996) 307-340.

Oppermann A., Thomas H. Higher dimensional cluster combinatorics and representation theory. ArXiv:1001.5437\[math.RT\], 2011.

Маклейн С. *Категории для работающего математика.* Москва, Физматлит, 2004.

Lurie J. *Higher topos theory.* Princeton Univ. Press, 2009.

Kapranov M.M., Voevodsky V.A. 2-categories and Zamolodchikov tetrahedra equations. *Proc. of Symposia in Pure Math.* v. 56, part. 2, 1994.

Стенли Р. *Перечислительная комбинаторика*, т.2. Москва, Мир, 2005.

Гельфанд И.М., Серганова В.В. Комбинаторные геометрии и страты тора на однородных компактных многообразиях. *УМН*, 1987, т. 42, вып. 2(254), 107-143.

Danilov V.I., Karzanov A.V., Koshevoy G.A. Combined tilings and separated set-systems. *Selecta Mathematica*, v. 23, 2017, 1175-1203.

Danilov V.I., Karzanov A.V., Koshevoy G.A. On interrelations between strongly, weakly and chord separated set-systems (a geometric approach). ArXiv:1805.09595\[math.CO\], 2018.

Danilov V.I., Karzanov A.V., Koshevoy G.A. The weak separation in higher dimensions. *Manuscript*, 2019.

Dimakis A., Müller-Hoissen F. KP line solitons and Tamari lattices. In *Associahedra, Tamari Lattices and Related Structures* (eds. F. Muller-Hoissen, J.M.Pallo, J. Stasheff), Birkhauser/Springer, 2012, pp. 391-424.

Karpman R., Kodama Y. Triangulations and soliton graphs for totally positive Grassmanian. arXiv:1808.01587\[nlin.SI\] 2018.

[^1]: Central Institute of Economics and Mathematics of the RAS, 47, Nakhimovskii Prospect, 117418 Moscow, Russia; email: danilov@cemi.rssi.ru.

[^2]: Central Institute of Economics and Mathematics of the RAS, 47, Nakhimovskii Prospect, 117418 Moscow, Russia; email: akarzanov7@gmail.com. Corresponding author.

[^3]: The Institute for Information Transmission Problems of the RAS, 19, Bol’shoi Karetnyi per., 127051 Moscow, Russia, and HSE University, Moscow, Russia; email: koshevoyga@gmail.com. Supported in part by grant RSF 16-11-10075, and by Laboratory of Mirror Symmetry NRU HSE, RF Government grant, ag. № 14.641.31.0001.

[^4]: Имеется большая литература про зонотопы, включая книги [@BVSWZ; @Zbook].

[^5]: Термин взят из вирусологии. Так называется белковая оболочка вируса, обычно полиэдральная (типа ромбододекаэдра, то есть $Z(5,3)$).

[^6]: Отметим аналогию с рисунками колчанов в [@OT Table 1].

[^7]: Отсутствие чистоты при $d=7$ фактически утверждается в [@OT Proposition 8.1].
