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abstract: 'Let $K/k$ be purely inseparable extension of characteristic $p>0$. By invariants, we characterize the measure of the size of $K/k$. In particular, we give a necessary and sufficient condition that $K/k$ is of bounded size. Furthermore, in this note, we continue to be interested in the relationship that connects the restricted distribution of finitude at the local level of intermediate fields of a purely inseparable extension $K/k$ to the absolute or global finitude of $K/k$. Part of this problem was treated successively by J.K Devney, and in my work with M. Chellali. The other part is the subject of this paper, it is a question of describing the absolutely $lq$-finite extensions. Among others, any absolutely $lq$-finite extension decomposes into $w_0$-generated extensions. However, we construct an example of extension of infinite size such that for any intermediate field $L$ of $K/k$, $L$ is of finite size over $k$. In addition, $K/k$ does not respect the distribution of horizontal finitude.'
author:
- El Hassane Fliouet
title: 'Extensions absolument $lq$-finies\'
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[**Mathematics Subject Classification MSC2010:**]{} Primary 12F15

[**Keywords:**]{} Purely inseparable, $r$-basis, Relatively perfect, Degree of irrationality, Exponent, Modular extension, $q$-finite extension, $lq$-finite extension, absolutely $lq$-finite extension.

Introduction
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Soit $K/k$ une extension purement inséparable de caractéristique $p>0$. Une partie $B$ de $K$ est dite $r$-base de $K/k$ si $K=k(K^p)(B)$ et pour tout $x\in B$, $x\not\in k(K^p)(B\setminus \{x\})$. En vertu du ([@N.B], III, p. 49, corollaire [3]{}) et de la propriété d’échange des $r$-bases, on en déduit que toute extension admet une $r$-base et que le cardinal d’une $r$-base est invariant. Si de plus $K/k$ est d’exposant fini, on vérifie aussitôt que $B$ est une $r$-base de $K/k$ si et seulement si $B$ est un générateur minimal de $K/k$. Par suite, nous pouvons contrôler la taille de toute extension purement inséparable d’exposant borné $K/k$ et la longueur de tout corps $k$ par l’intermédiaire du degré d’irrationalité de $K/k$ et le degré d’imperfection de $k$ définis respectivement par $di(K/k)=|G|$ où $G$ est un générateur minimal de $K/k$, et $di(k)=|B|$, où $B$ est une $r$-base de $k/k^p$. Notamment, on montre que la mesure de la taille d’une extension est une fonction croissante par rapport à l’inclusion. Plus précisément, pour toute chaine d’extensions d’exposant borné $k\subseteq L\subseteq K$, on a $di(L/k)\leq di(K/k)$. Par ailleurs, cette propriété s’est avérée fort utile pour étendre la meseure de la taille à une extension purement inséparable $K/k$ quelconque par prolongement vertical du degré d’irrationalité des sous-extensions intermédiaires d’exposant fini de $K/k$. Ainsi, on pose $di(K/k)={\displaystyle}\sup_{n\in\N}(di(k^{p^{-n}}\cap K /k))$, ici le $\sup$ est utilisé au sens du ([@N.B], III, p. 25, proposition [2]{}). Dans ce contexte, on montre que la mesure de la taille d’une extension est compatible avec l’inclusion et la linéarité disjointe. En d’autres termes, on a :

**

Pour toute chaine d’extensions purement inséparables $k\subseteq L\subseteq L'\subseteq K$, on a $di(L'/L)\leq di(K/k)\leq di(k)$

Pour tous corps intermédiaires $K_1$ et $K_2$ de $K/k$, $k$-linéairement disjoints, on a $di(K_1(K_2)/k)=di(K_1/k)+di(K_2/k)$ et $di(K_1(K_2)/K_2)=di(K_1/k)$.

En outre, $di(K/k)=\sup(di(L/k))$, où $k\subseteq L\subseteq K$. Autrement dit, la mesure de la taille de $K/k$ est vue comme limite inductive du degré d’irrationalité de ces sous-extensions intermédiaires. Dans cette note, nous continuons à s’intéresser à la relation qui relit la répartition restreinte de la finitude au niveau des corps intermédiaires d’une extension purement inséparable $K/k$ à la finitude absolue ou globale de $K/k$.

Dans [@Dev2], J. K. Deveney construit un exemple d’extension modulaire $K/k$ tel que toute sous-extension propre de $K/k$ est finie, et pour tout $n\in \N$, on a $[k^{p^{-n}}\cap K: k]= p^{2n}$. Par conséquent, $K/k$ ne conserve pas la distribution de la finitude au niveau local des corps intermédiaires de $K/k$. Cependant, il est facile de vérifier que $di(k^{p^{-n}}\cap K/k))=2$, donc $K/k$ est relativement parfaite d’exposant non borné dont la mesure de la taille vaut 2, et par suite $K/k$ conserve la finitude horizontale (la taille) des corps intermédiaires. En tenant compte de cet exemple, dans [@Che-Fli2] on construit pour tout entier $j$ une extension purement inséparable $K/k$ d’exposant non borné vérifiant :

**

Toute sous-extension propre de $K/k$ est finie.

Pour tout $n\in \N$, $[k^{p^{-n}}\cap K: k]= p^{jn}$.

Améliorant ainsi le contre-exemple de J. K. Deveney, une telle extension est relativement parfaite d’exposant non borné, et pour tout $n\in \N$, $di(k^{p^{-n}}\cap K/ k)=j$. Il est également clair que $K/k$ préserve la mesure de la taille sans conservation de la finitude restreinte, donc on peut conjecturer que les extensions conservent la mesure de la taille de leurs corps intermédiaires. La résolution de ce problème nous amène à étudier de près la $lq$-finitude absolue.

Une extension $K/k$ est dite $lq$-finie si pour tout $n\in \N$, $k^{p^{-n}}\cap K/k$ est finie, et si de plus $di(K/k)$ est fini $K/k$ sera appelée extension $q$-finie. Il est trivialement évident que la finitude entraine la $q$-finitude entraine la $lq$-finitude, et lorsque $di(k)$ est fini, toute extension $K/k$ est $q$-finie. Pour des raisons de la non-contradiction, on donne des exemples qui différencient ces notions. Toutefois, notre objectif pricipal consiste à décrire les extensions absolument $lq$-finies, à cet ègard on montre que les propriétés suivantes sont équivalentes :

**

Pour toute sous-extension $L/k$ de $K/k$, $K/L$ est $lq$-finie.

Toute sous-extension $L/k$ de $K/k$ satisfait $L/k(L^p)$ est finie.

Pour toute sous-extension $L/k$ de $K/k$, on a $L/rp(L/k)$ est finie, où $rp(L/k)$ est la clôture relativement parfaite de $L/k$.

Toute suite décroissante de sous-extensions de $K/k$ est stationnaire.

Une extension qui vérifie l’une des conditions ci-dessus s’appelle extension absolument $lq$-finie. Il s’agit de la distribution absolue de la $lq$-finitude. On vérifie aussitôt que la $q$-finitude entraine la $lq$-finitude absolue entraine la $lq$-finitude au sens large. En particulier, la $lq$-finitude absolue est transitive, et toute extension qui est à la fois modulaire et $lq$-finie est $q$-finie. Plus généralement, on montre que $K/k$ est $q$-finie si et seulement si $K/k$ est absolument $lq$-finie et pour tout corps intermédiaire $L$ de $K/k$, la plus petite sous-extension $m$ de $L/k$ telle que $L/m$ est modulaire est non triviale ($m\not=L$). Pour ne mentionner que cela, on montre que toute extension absolument $lq$-finie est composée d’éxtensions $w_0$-génératrices. Enfin, nous approuvons cette notion par la construction d’un exemple d’extension de taille infinie telle que pour tout corps intermédiaire $L$ de $K/k$, on a $L/k$ est $q$-finie. En outre, $K/k$ ne respecte pas la répartition de la finitude horizontale au niveau de leurs sous-extensions. D’autre part, cet exemple permet la distinction entre la $lq$-finitude simple et absolue.

Généralité
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D’abord, nous commencerons par donner une liste préliminaire des notations le plus souvent utilisées tout le long de ce travail :

**

$k$ désigne toujours un corps commutatif de caractéristique $p>0$, et ${\Omega}$ une clôture algébrique de $k$.

$k^{p^{-\infty}}$ indique la clôture purement inséparable de ${\Omega}/k$.

Pour tout $a\in {\Omega}$, pour tout $n\in \N^*$, on symbolise la racine du polynôme $X^{p^n}-a$ dans ${\Omega}$ par $a^{p^{-n}}$. En outre, on pose $k(a^{p^{-\infty}})=k(a^{p^{-1}},\dots, a^{p^{-n}},$ $\dots )={\displaystyle}\bigcup_{n\in \N^*} k(a^{p^{-n}})$ et $k^{p^{-n}}=\{a\in {\Omega}\,|\ , a^{p^{n}}\in k\}$.

Pour toute famille $B=(a_i)_{i\in I}$ d’éléments de ${\Omega}$, on note $k(B^{p^{-\infty}})= k({({a_i}^{p^{-\infty}})}_{i\in I})$.

Enfin, |.| sera employé au lieu du terme cardinal.

Il est à signaler aussi que toutes les extensions qui interviennent dans ce papier sont des sous-extensions purement inséparables de ${\Omega}$, et il est commode de noter $[k,K]$ l’ensemble des corps intermédiaires d’une extension $K/k$.

$r$-base, $r$-générateur
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Soit $K/k$ une extension. Une partie $G$ de $K$ est dite $r$-générateur de $K/k$, si $K=k(G)$ ; et si de plus pour tout $x\in G$, $x\not \in k(G\backslash x)$, $G$ sera appelée $r$-générateur minimal de $K/k$.

Etant données une extension $K/k$ de caractéristique $p>0$ et une partie $B$ de $K$. On dit que $B$ est une $r$-base de $K/k$, si $B$ est un $r$-générateur minimal de $K/k(K^p)$. Dans le même ordre d’idées, on dit que $B$ est $r$-libre sur $k$, si $B$ est une $r$-base de $k(B)/k$ ; dans le cas contraire $B$ est dite $r$-liée sur $k$.

Voici quelques cas particuliers :

**

Toute $r$-base de $k/k^p$ s’appelle $p$-base de $k$.

Egalement, toute partie d’éléments de $k$, $r$-libre sur $k^p$ sera appelée $p$-indépendante (ou $p$-libre) sur $k^p$.

Ici $B$ désigne une partie d’un corps commutatif $k$ de caractéristique $p>0$. Comme conséqueces immédiates on a :

**

$B$ est $p$-base de $k$ si et seulement si pour tout $n\in \Z$, $B^{p^n}$ l’est également de $k^{p^n}$.

$B$ est $r$-libre sur $k^p$ si et seulement si pour tout $n\in \Z$, $B^{p^n}$ l’est auusi sur $k^{p^{n+1}}$.

$B$ est $p$-base de $k$ si et seulement si $B$ est un $r$-générateur minimal de $k/k^p$.

$B$ est $p$-base de $k$ si et seulement si pour tout $n\in \N^*$, $k^{p^{-n}}=\otimes_k (\otimes_k $ $k($ $a^{p^{-n}}$ $))_{a\in B}$ et pour tout $a\in B$, $a\not\in k^p$. En particulier, $B$ est $p$-base de $k$ si et seulement si $k^{p^{-\infty}}=\otimes_k (\otimes_k k(a^{p^{-\infty}}))_{a\in B}$ et pour tout $a\in B$, $a\not\in k^p$.

Il est à noter que le produit tensoriel est utilisé conformément à la définition [5]{} (cf. [@N.B2], III, p. 42). Il est vu comme limite inductive du produit tensoriel d’une famille finie de $k$-algèbre. Toutefois, la proposition ci-dessous permet de ramener l’étude des propriétés des systèmes $r$-libres des extensions de haureur $\leq 1$, ($K^p\subseteq k$) au cas fini. Plus précisément, on a :

[\[pr1\]]{} Soit $K/k$ une extension de caractéristique $p>0$. Une partie $B$ de $K$ est $r$-libre sur $k(K^p)$ si et seulement s’il en est de même pour toute sous-partie finie de $B$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Immédiat.

[\[pr2\]]{} Soit $K/k$ une extension de caractéristique $p>0$. Toute partie finie $B$ de $K$ satisfait $[k(K^p)(B) :k(K^p)]\leq p^{|B|}$, et il y’a égalité si et seulement si $B$ est $r$-libre sur $k(K^p)$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Notons $B=\{x_1,\dots,x_n\}$, comme pour tout $i\in \{1,\dots,n\}$, on a $x_{i}^p \in k(K^p)\subseteq k(K^p)(x_1,\dots,x_{i-1})$, alors $[k(K^p)(x_1,\dots,x_{i}) : k(K^p)(x_1,\dots,x_{i-1})]$ $\leq p$, et il y’a égalité si et seulement si $x_i\not\in k(K^p)(x_1,\dots,x_{i-1})$. Compte tenu de la transitivité de la finitude, $[k(K^p)(x_1,\dots,x_n) :k(K^p)]={\displaystyle}\prod_{i=1}^{n}[k(K^p)(x_1,\dots,x_{i}) :k(K^p)(x_1,\dots,x_{i-1})]\leq p^n$, et il y’a égalité si et seulement si $B$ est $r$-libre sur $k(K^p)$.

[\[cor1\]]{} Soit $K/k$ une extension de caractéristique $p>0$. Une partie $B$ de $K$ est $r$-libre sur $k(K^p)$ si et seulement si pour toute sous-partie finie $B'$ de $B$, on a $[k(K^p)(B') :k(K^p)]=p^{|B'|}$.

Comme application, le résultat ci-dessous montre que la $r$-indépendance est transitive dans le cas des extensions de hauteurs $1$. Autrement dit :

[\[pr3\]]{} Etant donnée une extension $K/k$ de caractéristique $p>0$. Deux parties $B_1$ et $B_2$ de $K$ sont respectivement $r$-libres sur $k(K^p)$ et $k(B_1)(K^p)$ si et seulement si $B_1\cup B_2$ l’est sur $k(K^p)$. En particulier, si $B_1$ est une $r$-base de $k(K^p)/K^p$, et $B_2$ est une $r$-base de $K/k(B_1)(K^p)$, alors $B_1\cup
B_2$ est $p$-base de $K$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}La condition suffisante résulte aussitôt de la définition des $r$-bases. Par ailleurs, d’après la proposition [\[pr1\]]{}, on se ramène au cas où $B_1$ et $B_2$ sont finies. En vertu de la proposition [\[pr2\]]{}, on a $[k(K^p)(B_1\cup B_2) :k(K^p)]= [k(K^p)(B_1\cup B_2) :k(K^p)(B_1)]. [k(K^p)(B_1) :k(K^p)]=p^{|B_2|}.p^{|B_1|}=p^{|B_2|+|B_1|}=p^{|B_1\cup B_2|}$, et par suite $B_1\cup B_2$ est $r$-libre sur $k(K^p)$.

Comme conséquences immédiates :

[\[adcor\]]{} Soient $k\subseteq L\subseteq K$ des extensions purement inséparables et $B_1$, $B_2$ deux parties respectivement de $K$ et $L$. Si $B_1$ est une $r$-base de $K/L$ et $B_2$ une $r$-base de $L(K^p)/k(K^p)$, alors $B_1\cup B_2$ est une $r$-base de $K/k$.

[\[cor2\]]{} Soient $K/k$ une extension de caractéristique $p>0$, $x$ un élément de $K$, et $B$ une partie $r$-libre sur $k(K^p)$. Pour que $B\cup \{x\}$ soit $r$-libre sur $k(K^p)$ il faut et il suffit que $x\not\in k(K^p)(B)$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}immédiat.

[\[thm1\]]{} \[théorème de la $r$-base incomplète\] Etant données une extension $K/k$ de caractéristique $p>0$, et une partie $B$ de $K$, $r$-libre sur $k(K^p)$. Pour tout $r$-générateur $G$ de $K/k(K^p)$, il existe un sous-ensemble $G_1$ de $G$ tel que $B\cup G_1$ est une $r$-base de $K/k$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Le cas où $k(K^p)(B)=K$ est trivialement évident. Si $k(K^p)(B)\not= K$, il existe $x\in G$ tel que $x\not\in k(K^p)(B)$. En effet, si pour tout $x\in G$, $x\in
k(K^p)(B)$, comme $G$ est un $r$-générateur de $K/k(K^p)$, on aura $k(K^p)(G)=K\subseteq
k(K^p)(B)$, absurde. D’après le lemme précédent, $B\cup \{x\}$ est une partie $r$-libre sur $k(K^p)$. Posons ensuite $H=\{L\subset G$ tel que $B\cup L$ est $r$-libre sur $k(K^p)\}$. IL est clair que $H$ est inductif, et donc d’après le lemme de Zorn, $H$ admet un élément maximal que l’on note $M$. Soit $B_1=M\cup B$, nécessairement $K=k(K^p)(B_1)$, si $K\not= k(K^p)(B_1)$, il existe également un élément $y$ de $G$ tel que $y\not \in
k(K^p)(B_1)$, et donc $B_1\cup \{y\}$ serait $r$-libre sur $k(K^p)$ ; c’est une contradiction avec le fait que $M$ est maximal.

Voici quelques conséquences immédiates :

**

De tout $r$-générateur de $K/k(K^p)$ on peut en extraire une $r$-base de $K/k$.

Toute partie $r$-libre sur $k(K^p)$ peut être complétée en une $r$-base de $K/k$. En particulier, toute partie $p$-indépendante sur $k^p$ peut être étendue en une $p$-base de $k$.

Toute extension $K/k$ admet une $r$-base. En outre, tout corps commutatif de caractéristique $p>0$ admet une $p$-base.

Par ailleurs, toutes les $r$-bases d’une même extension ont même cardinal comme le précise le résultat suivant.

[\[thm2\]]{} Soit $K/k$ une extension de caractéristique $p>0$. Si $B_1$ et $B_2$ sont deux $r$-bases de $K/k$, alors $|B_1|=|B_2|$.

Pour la preuve de ce théorème on se sérvira des résultats suivants.

[\[lem1\]]{} [**\[Lemme d’échange\]**]{} Sous les conditions du théorème précédent, pour tout $x\in B_2$, il existe $x_1\in B_1$ tel que $(B_1\backslash \{x_1\})\cup \{x\}$ est une $r$-base de $K/k$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Choisissons un élément arbitraire $x$ de $B_2$, comme $B_2$ est une $r$-base de $K/k$, il en résulte que $\{x\}$ est $r$-libre sur $k(K^p)$. Compte tenu du théorème [\[thm1\]]{}, il existe $B'_1\subset B_1$ tel que $B'_1\cup
\{x\}$ est une $r$-base de $K/k$. D’où, $p=[k(K^p)(B'_1)(\{x\}) :k(K^p)(B'_1)] =[K :k(K^p)(B'_1)]=[k(K^p)(B'_1)( B_1\backslash B'_1) :k(K^p)(B'_1)]$, et comme $B_1\backslash B'_1$ est $r$-libre sur $k(K^p)(B'_1)$, on en déduit que $|B_1\backslash B'_1|=1$, c’est-à-dire $ B_1\backslash B'_1$ est réduit à un singleton.

[\[pr4\]]{}Soit $K/k$ une extension de caractéristique $p>0$. Si $K/k$ admet au moins une $r$-base finie, alors toutes les $r$-bases de $K/k$ sont finies et ont même cardinal.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Immédiat, il suffit d’appliquer la proposition [\[pr2\]]{}.

[**Preuve du théorème [\[thm2\]]{}.**]{} D’après la prroposition [\[pr1\]]{}, on se ramène au cas où $|B_1|$ et $|B_2|$ sont infinies. Comme $B_1$ est une $r$-base de $K/k$, pour tout $x\in B_2$, il existe une partie finie $D(x)$ de $B_1$ telle que $x\in k(K^p)(D(x))$, et par suite $K=k(K^p)(B_2)\subseteq k(K^p)({\displaystyle}\bigcup_{x\in B_2}(D(x)))$. Il en résulte que ${\displaystyle}\bigcup_{x\in
B_2}(D(x))=B_1$, et en vertu du ([@N.B], III, p. 49, cor 3), on obtient $|B_1|\leq
|B_2|.|\N|=|B_2|$. De la même façon on montre que $|B_2|\leq |B_1|$ ; d’où $|B_1|=|B_2|$.

Comme conséquence, on a :

[\[cor3\]]{} Pour toute partie $B_1$ de $K$, $r$-libre sur $k(K^p)$, et tout $r$-générateur $G$ de $K/k$, on a $|B_1|\leq |G|$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Immédiat, puisque tout $r$-générateur peut se réduire (respectivement toute famille $r$-libre peut se compléter) en une $r$-base.

Dans le cas où $K/k(K^p)$ est fini, compte tenu du théorème de la $r$-base incomplète, un $r$-générateur $G$ de $K/k(K^p)$ est une $r$-base de $K/k$ si et seulement si $|G|=Log_p([K:k(K^p)])$. En particulier, si $B$ est une $r$-base de $K/k$ et $G$ un $r$-générateur de $K/k(K^p)$ tels que $|B|=|G|<+\infty$, alors $G$ est une $r$-base de $K/k$.

Soit $K /k$ une extension purement inséparable de caractéristique $p>0$. On rappelle que $K$ est dit d’exposant fini sur $k$, s’il existe $e\in \N$ tel que $K^{p^e}\subseteq k$, et le plus petit entier qui satisfait cette relation sera appelé exposant (ou hauteur) de $K/k$. Certes, la proposition suivante permet de ramener l’étude des propriétés des $r$-générateurs minimals des extensions d’exposant fini au cas des extensions de hauteur $1$, lesquelles sont plus riches.

[\[pr5\]]{} Soit $K/k$ une extension purement inséparable d’exposant fini. Pour qu’une partie de $K$ soit une $r$-base de $K/k$ il faut et il suffit que elle soit $r$-générateur minimal de $K/k$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Soit $G$ une $r$-base de $K/k$, donc $K=k(K^p)(G)=\dots= k(K^{p^e})(G)=k(G)$, et s’il existe $x\in G$ tel que $x\in
k(G\backslash \{x\})$, on aura $x\in k(K^p)(G\backslash \{x\})$, c’est une contradiction avec le fait que $G$ est une $r$-base de $K/k$. Inversement, pour tout $r$-générateur minimal $G$ de $K/k$, on a $K=k(G)=k(K^p)(G)$, et s’il existe $x\in G$ tel que $x\in K=
k(K^p)(G\backslash x)=\dots =k(K^{p^e}) (G\backslash
\{x\}=k(G\backslash \{x\})$, on aura une contradiction avec le fait que $G$ est un $r$-générateur minimal de $K/k$.

[\[thm3\]]{} Soit $L/k$ une sous extension d’une extension purement inséparable d’exposant fini $K/k$. Pour toutes $r$-bases $B_L$ et $B_K$ respectivement de $L/k$ et $K/k$, on a $|B_L|\leq |B_K|$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}On distingue deux cas :

1-ier cas. Si $K/k$ est d’exposant 1, c’est-à-dire $K^p\subseteq k$, donc $L^p\subseteq k$. D’après le théorème [\[thm1\]]{}, il existe $B_1\subseteq B_K$ tel que $B_L\cup B_1$ est une $r$-base de $K/k$, et par suite $|B_L|\leq |B_L\cup B_1|=|B_K|$.

2-ième cas. Etant donné un entier naturel $e$ distinct de $0$ et $1$. Raisonnons par récurrence en supposant que le théorème est vérifié pour toute extension d’exposant $<e$, et soit $K/k$ une extension purement inséprable d’exposant $e$. Il est clair que $k(K^p)\subseteq L(K^p)\subseteq K$, et donc il existe $B_1\subseteq B_L$ et $B_2\subseteq B_K$ telles que $B_1$ et $B_2$ sont deux $r$-bases respectivement de $L(K^p)/k(K^p)$ et $K/L(K^p)$. D’après la transitivité de la $r$-indépendance, $B_1\cup B_2$ est une $r$-base de $K/k(K^p)$. Posons ensuite $k_1=k(B_1)$ et $B'_L=B_L\setminus B_1$ ; on vérifie aussitôt que $L\subseteq k_1(K^p)=k_1({B_2}^p)$, et $k_1(K^p)/k_1$ est d’exposant $<e$. Par application de la propriété de récurrence et du corollaire [\[cor3\]]{}, on obtient $|B'_L|\leq  |{B_2}^p|=|B_2|$. Comme $B_1\cap B'_L=\emptyset$ et $B_1\cap B_2=\emptyset$, alors $|B_1\cup B'_L|\leq  |B_1\cup B_2|$, et par suite $|B_L|\leq |B_K|$.

Degré d’irrationalité
=====================

Soit $K/k$ une extension purement inséparable. Désormais, et sauf mention expresse du contraire, pour tout $n\in \N^{*}$, on note $k_n=k^{p^{-n}}\cap K$, on obtient ainsi $k\subseteq k_1\subseteq \dots \subseteq k_n\subseteq \dots \subseteq K$, et $k_n/k$ est d’exposant fini. Soit $B_n$ une $r$-base de $k_n/k$, d’après le théorème [\[thm3\]]{}, $|B_n|\leq |B_{n+1}|$. Ensuite, on pose $di(K/k)= {\displaystyle}\sup_{n\in \N^*}(|B_n|)$, on rappelle que le $\sup$ est utilisé ici au sens du ([@N.B], III, p. 25, proposition [2]{}).

L’invariant $di(K/k)$ défini ci-dessus s’appelle le degré d’irrationalité de $K/k$.

En particulier, et pour des raisons de différenciation, le degré d’irrationalité de $k/k^p$ sera appelé degré d’imperfection de $k$ et sera noté $di(k)$.

$di(K/k)$ permet de mesurer la taille de l’extension $K /k$, et $di(k)$ la longueur de $k$.

Toutefois, on vérifie aussitôt que :

**

$di(K/K)=0$.

Pour tout $n\in \Z$, $di(k)=di(k^{p^n})=di(k^{p^{-\infty}}/k)$.

Compte tenu du corollaire [\[adcor\]]{}, pour toute sous-extension $L/k$ de $K/k$, on a $di(K/k(K^p))=di(K/L(K^p))+di(L(K^p)/k(K^p))$. Plus généralement, si $K/k$ est d’exposant $1$, on a $di(K/k)=di(K/L)+di(L/k)$.

En vertu de la proposition [\[pr2\]]{}, pour toute extension purement inséparable d’exposant finie $K/k$, on a $di(K/k)=di(K/k(K^p))$.

[\[thm4\]]{} Soient $k\subseteq L\subseteq K$ des extensions purement inséparables, on a $di(L/k)\leq di(K/k)$. En outre, $di(K/k)={\displaystyle}\sup(di(L/k))_{L\in [k, K]}$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}D’après le théorème [\[thm3\]]{}, il suffit de remarquer que pour tout $n\geq 1$, on a $di(k^{p^{-n}}\cap L/k)\leq di(k_n/k)$, et donc ${\displaystyle}\sup(di(k^{p^{-n}}\cap L/k))_{n\geq 1}\leq {\displaystyle}\sup(di(k_n/k))_{n\geq 1}$ ; ou encore $di(L/k)\leq di(K /k)$.

Une conséquence type est le résultat suivant :

[\[thm5\]]{} Pour toute extension purement inséparable $K /k$, on a $di(K /k)$ $\leq di(k)$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Il suffit de remarquer qu’une partie $B$ de $k$ est une $p$-base de $k$ si et seulement si $B^{p^{-n}}$ est une $r$-base de $k^{p^{-n}}/k$ pour tout $n\geq 1$. Comme $k^{p^{-\infty}}={\displaystyle}\bigcup_{n\geq 1} k^{p^{-n}}$, on a pour tout $n\geq 1$, $k^ {p^{-n}}\cap K\subseteq k^{p^{-\infty}},$ et par suite $di(K/k)\leq di(k^{p^{-\infty}}/k)=di(k)$.

[\[pr6\]]{} Soit $(K_n/k)_{n\in \N}$ une famille croissante de sous-extensions purement inséparables d’une extension ${\Omega}/k$. On a : $$di({\displaystyle}\bigcup_{n\in\N}(K_n)/k)= {\displaystyle}\sup_{n\in\N}(di(K_n/k)).$$

[[ **Preuve.** ]{}]{}Notons $K={\displaystyle}\bigcup_{n\in\N}K_n$, et soit $j$ un entier naturel non nul. Il est immédiat que $k_j=k^{p^{-j}}\cap K={\displaystyle}\bigcup_{n\in \N} (k^{p^{-j}}\cap K_n)$. Dans la suite on distingue deux cas :

1-ier cas : si $di(k_j/k)$ est fini, ou encore $k_j/k$ est finie. Comme pour tout $n\in N$, on a $k^{p^{-j}}\cap K_n\subseteq k^{p^{-j}}\cap K_{n+1}\subseteq k^{p^{-j}}\cap K$, alors la suite d’entiers $([k^{p^{-j}}\cap K_n:k])_{n\in \N}$ est croissante et bornée, donc stationnaire à partir d’un rang $n_0$ ; et par conséquent pour tout $n\geq n_0$, $k^{p^{-j}}\cap K_n=k^{p^{-j}}\cap K_{n+1}$. En outre, $di(k^{p^{-j}}\cap K/k)=di(k^{p^{-j}}\cap K_{n_0}/k)={\displaystyle}\sup_{n\in N} (di(k^{p^{-j}}\cap K_n/k))$.

2-ième cas : si $di(k^{p^{-j}}\cap K/k)$ est infini, ou encore ${\displaystyle}\sup_{n\in N} (di(k^{p^{-j}}\cap K_n/k))$ n’est pas fini. Comme $k^{p^{-j}}\cap K={\displaystyle}\bigcup_{n\in \N} (k^{p^{-j}}\cap K_n)$, donc si $B^{j}_{n}$ est une $r$-base de $k^{p^{-j}}\cap K_n/k$, alors ${\displaystyle}\bigcup_{n\in\N} B^{j}_{n}$ est un $r$-générateur de $k^{p^{-j}}\cap K/k$. En vertu du corollaire [\[cor3\]]{}, $di(k^{p^{-j}}\cap K/k)\leq |{\displaystyle}\bigcup_{n\in\N} B^{j}_{n}|$, et d’après ([@N.B], III, p.49, corollaire [3]{}), $|{\displaystyle}\bigcup_{n\in\N} B^{j}_{n}|\leq {\displaystyle}\sup_{n\in\N}(|B^{j}_{n}|)={\displaystyle}\sup_{n\in\N}(di(k^{p^{-j}}\cap K_n/k))$.

Compte tenu de ces deux cas, on en déduit que $di(K/k)\leq {\displaystyle}\sup_{n\in\N}(di(K_n/k))$. Mais comme $K_n\subseteq K$ pour tout $n\geq 1$, d’après le théoréme [\[thm4\]]{} on obtient ${\displaystyle}\sup_{n\in\N}(di(K_n/k))\leq di(K/k)$, et par suite $di(K/k)={\displaystyle}\sup_{n\in\N}(di(K_n/k))$.

Le résultat suivant qui est une conséquence bien connue de la linéarité disjointe intervient souvent dans le reste de ce papier.

[\[pr7\]]{} Soient $K_1/k$ et $K_2/k$ deux sous-extensions d’une même extension $K/k$, $k$-linéairement disjointes. Pour touts corps intermédiaires $L_1$ et $L_2$ respectivement de $K_1$ et $K_2$, on a $L_2(K_1)$ et $L_1(K_1)$ sont $k(L_1, L_2)$-linéairement-disjointes. En particulier, $L_2(K_1)\cap L_1(K_2)=k(L_1,L_2)$.

Une famille $(F_i/k)_{i\in J}$ d’extensions est dites $k$-linéairement disjointes, si pour toute partie $G$ d’éléments finis de $J$, $(F_n/k)_{n\in G}$ sont $k$-linéairement disjointes (cf. [@F-J], p. 36). Il est trivialement évident que $k((F_i)_{i\in J})={\displaystyle}\prod_{i\in J} F_i\simeq \otimes_k (\otimes_k F_i)_{i\in J}$ si et seulement si $(F_i/k)_{i\in J}$ sont $k$-linéairement disjointes. De plus, les propriétés de la linéarité disjointe du cas fini se prolonge naturellement à une famille quelconques d’extensions $k$-linéairement disjointes. En particulier, pour tout $i\in J$, soit $L_i$ un sous-corps de $F_i$, si $(F_i/k)_{i\in J}$ sont $k$-linéairement disjointes, compte tenu de la transitivité de la linéarité disjointe, $(L_i/k)_{i\in J}$ (resp. $(({\displaystyle}\prod_{n\in J}L_n)F_i/k)_{i\in J}$) sont $k$-linéairement (resp. ${\displaystyle}\prod_{n\in J}L_n$-linéairement) disjointes.

Considérons maintenant deux sous-extensions $K_1/k$ et $K_2/k$ d’exposant fini d’une même extension purement inséparable $K/k$. On vérifie aussitôt que si $B_1$ et $B_2$ sont deux $r$-bases respectivement de $K_1/k$ et $K_2/k$, alors $B_1$ et $B_1\cup B_2$ sont deux $r$-générateurs respectivement de $K_1(K_2)/K_2$ et $K_1(K_2)/k$. En outre, $di(K_1(K_2)/K_2)\leq di(K_1/k)$ et $di(K_1(K_2)/k)\leq di(K_1/k)+di(K_2/k)$. D’une façon plus précise, on a :

[\[pr8\]]{}Sous les conditions ci-dessus, et si de plus $K_1/k$ et $K_2/k$ sont $k$-linéairement disjointes, on a :

**

$B_1\cup B_2$ est une $r$-base de $K_1(K_2)/k$.

$B_1$ est une $r$-base de $K_1(K_2)/K_2$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Ici, on se contente de présenter uniquement la preuve du premier item, puisque les deux assertions utilisent les mêmes techniques de raisonnement. Il est clair que $K_1(K_2)=k(B_1\cup B_2)$, il suffit donc de montrer que $B_1\cup B_2$ est minimal. Pour cela, on suppose par exemple l’existence d’un élément $x$ dans $B_1$ tel que $x\in k((B_1\setminus\{x\})\cup B_2)=K$. Comme $K_1/k$ et $K_2/k$ sont $k$-linéairement disjointes, par transitivité, on a $k(B_1)=K_1$ et $K_2(B_1\setminus \{x\})=K$ sont $k(B_1\setminus \{x\})$-linéairement disjoints, et donc $K_1=K\cap K_1=k(B_1\setminus \{x\})$, c’est une contradiction avec le fait que $B_1$ est une $r$-base de $K_1/k$.

Comme conséquence immédiate, on a

[\[cor4\]]{} Soient $K_1$ et $K_2$ deux corps intermédiaires d’une même extension purement inséparable ${\Omega}/k$. Alors :

**

$di(K_1(K_2)/k)\leq di(K_1/k)+di(K_2 /k)$, et il y’a égalité si $K_1$ et $K_2$ sont $k$-linéairement disjoints.

$di(K_1(K_2)/K_2)\leq di(K_1/k)$, et il y’a égalité si $K_1$ et $K_2$ sont $k$-linéairement disjoints.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Il suffit de remarquer que $K_1(K_2)={\displaystyle}\bigcup_{j\in \N} (k^{p^{-j}}\cap K_1)(k^{p^{-j}}\cap K_2)={\displaystyle}\bigcup_{j\in \N} K_2(k^{p^{-j}}\cap K_1)$, et si $K_1$ et $K_2$ sont $k$-linéairement disjoints, d’après la transitivité de la linéarité disjoint, $k^{p^{-j}}\cap K_1$ et $k^{p^{-j}}\cap K_2$ sont aussi $k$-linéairement disjoints pour tout $j\geq 1$. On se ramène ainsi au cas où $K_1/k$ et $K_2/k$ sont d’exposant fini auquel cas le résultat découle immédiatement de la proposition précédente.

Comme conséquence immédiate, on a :

[\[cor5\]]{} Pour toute sous-extension $L/k$ d’une extension purement inséparable $K/k$, on a $di(L(K^p)$ $ /k(K^p))\leq di(L/k(L^p))$, et il y’a égalité si $k(K^p)$ et $L$ sont $k(L^p)$-linéairement disjointes.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Due au corollaire [\[cor4\]]{}.

Le résultat suivant améliore naturelement les conditions du théorème [\[thm4\]]{}

[\[thm6\]]{} Pour toute famille d’extensions purement inséparables $k\subseteq L\subseteq L'\subseteq K$, on a $di(L/L')\leq di(K/k)$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Il est clair que $K={\displaystyle}\bigcup_{j\in \N} L(k_j)$, et d’après la proposition [\[pr6\]]{}, et le théorème [\[thm4\]]{}, on a $di(L'/L)\leq di (K/L)={\displaystyle}\sup_{j\in \N}(di(L(k_j)/k))\leq {\displaystyle}\sup_{j\in \N}(di(k_j/k))=di(K/k)$.

Comme conséquence immédiate, on a :

[\[cor6\]]{} Pour toute extension purement inséparable $K/k$, on a $di(K)\leq di(k)$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Il suffit de remarque que $K\subseteq k^{p^{-\infty}}$, et $di(K)=di(K/K^p)\leq di(k^{p^{-\infty}}/k^p)=di(k)$.

Extensions relativement parfaites
---------------------------------

Au cours de cette section, on reprend, en les améliorant, quelques notions et résultats de [[@Che-Fli4]]{}, puisqu’ils sont utilisés fréquemment ici.

Un corps $k$ de caractéristique $p$ est dit parfait si $k^{p}=k$ ; dans le même ordre d’idées, on dit que $K/k$ est relativement parfaite si $k(K^{p})=K$. On vérifie aisément que :

**

La relation “être relativement parfaite” est transitive, c’est-à-dire si $K/L$ et $L/k$ sont relativement parfaites, alors $K/k$ l’est aussi.

Si $K/k$ est relativement parfaite, il en est de même de $L(K)/k(L)$.

La propriété “être relativement parfaite” est stable par un produit quelconque portant sur $k$. Autrement dit, pour toute famille $(K_i/k)_{i\in I}$ d’extensions relativement parfaites, on a alors $\displaystyle {\displaystyle}\prod_{i}^{}K_{i}/k$ est aussi relativement parfaite.

Par suite, il existe une plus grande sous-extension relativement parfaite de $K/k$ appelée clôture relativement parfaite de $K/k$, et se note $rp(K/k)$. On a les relations d’associativité-transitivité suivantes.

Soit $L$ un corps intermédiaire de $K/k$. Alors $$rp(rp(K/L)/k)=rp(K/k) \quad \mbox{ et } \quad
rp(K/rp(L/k))=rp(K/k).$$

[[ **Preuve.** ]{}]{}Cf. [[@Che-Fli4]]{}, p. [50]{}, proposition [5.2]{}.

Pour tout $L\in
[k,K]$, on a $K/L \hbox{ finie} \Longrightarrow rp(K/k) \subset  L.$

En particulier, si $K/k$ est relativement parfaite, on a $K/L \hbox{
$finie$ } \Longrightarrow   L=K.$ Schématiquement on a un $trou$

$$\begin{array}{rcl}
k\longrightarrow &&K;\\
&\uparrow&\\
&\hbox{$trou$ }&
\end{array}$$

et ce $trou$ caractérise le fait que $K/k$ est relativement parfaite. En effet, supposons que $K/k$ vérifie le $trou$ et soit $B$ une $r$-base de $K/k$. Supposons $B\neq \emptyset$; soit $x\in B$ et $L=k(K^{p})(B\setminus\left \{x\right \})$; on a $K/L$ finie, donc $K=L$ ce qui est absurde.

[\[arpaa1\]]{} Soit $K/k$ une extension purement inséparable telle que $[K:k(K^p)]$ est fini. Alors on a :

**

$K$ est relativement parfaite sur une extension finie de $k$.

La suite décroissante $(k(K^{p^{n}}))_{n \in
\N}$ est stationnaire sur $k(K^{p^{n_{0}}})=rp(K/$ $k)$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Cf. [[@Che-Fli4]]{}, p. [51]{}, lemme [2.1]{}.

Comme conséquence de la proposition précédente, on a :

Soit $K/k$ une extension purement inséparable telle que $[K:k(K^p)]$ est fini. Pour tout $L\in [k,K]$, on a $rp(K/L)=L(rp(K/k)).$

[[ **Preuve.** ]{}]{}Cf. [[@Che-Fli4]]{}, p. [51]{}, proposition [6.2]{}.

En utilisant le lemme 1.16 qui se trouve dans ([@Mor-Vin], p. 10), on peut affirmer que la condition de finitude de $[K:k(K^p]$ est nécéssaire, et par suite, le résultat précédent peut tomber en défaut si $K/k(K^p)$ n’est pas finie. Par ailleurs, on vérifie aussitôt que $k(K^p)=rp(K/k)(K^p)$, et donc pour qu’une partie $G$ de $K$ soit $r$-base de $K/k$ il faut et il suffit qu’elle en soit de même de $K/rp(K/k)$. De plus, comme $2$-ième conséquence de la proposition [\[arpaa1\]]{}, le résultat suivant exprime une condition nécessaire et suffisant pour que $K/rp(K/k)$ soit finie. Plus précisément, on a :

[\[arp1\]]{} Soit $K/k$ une extension purement inséparable, alors $K/rp($ $K/$ $k)$ est finie si est seulement il en est de même de $K/k(K^p)$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Résulte de la proposition [\[arpaa1\]]{}.

Extensions $q$-finies
=====================

Toute extension de degré d’irrationalité fini s’appelle extension $q$-finie.

En d’autres sens, la $q$-finitude est synonyme de la finitude horizontale. Toutefois, la finitude se traduit par la finitude horizontale et verticale, il s’agit de la finitude au point de vue taille et hauteur. Autrement dit, $K/k$ est finie si et seulement si $K/k$ est $q$-finie d’exposant borné. Par ailleurs, on vérifie que [*le degré d’irrationalité d’une extension $K/k$ vaut 1 si est seulement si l’ensemble de corps intermédiaires de $K/k$ est totalement ordonné.*]{} Ensuite, on appelle extension $q$-simple toute extension qui satisfait l’affirmation précédente.

On rappelle que lorsque $di(k)$ est fini, et après avoir montré dans [@Che-Fli2] que $K/k(K^p)$ est finie et $di(K)\leq di(k)$, le degré d’irrationalité d’une extension purement inséparable $K/k$ a été défini par l’entier $di(K/k)=di(k)-di(K)+di(K/k(K^p))$. En outre, toute extension est $q$-finie si $di(k)$ est fini. Avec quelques modifications légères, on peut toujours prolonger cette définition au cas où $di(k)$ est non borné. Commençons par le choix d’une extension $K/k$ relativement parfaite et $q$-finie. Etant donnée une $p$-base $B$ de $k$, donc $k=k^p(B)$, et par suite $k(K^p)=K^p(B)$. Comme $K/k$ est relativement parfaite, alors $K=k(K^p)=K^p(B)$. D’après le théorème [\[thm1\]]{}, il existe $B_1\subseteq B$ telle que $B_1$ est une $p$-base de $K$. Ainsi, on aura $k^{p^{-\infty}}=k(B^{p^{-\infty}})=k({B_1}^{p^{-\infty}})\otimes_k  k((B\setminus B_1)^{p^{-\infty}})\simeq K^{p^{-\infty}}\simeq  K \otimes_k k({B_1}^{p^{-\infty}} )$. En particulier, d’après le corollaire [\[cor4\]]{}, $di(K/k)=di(K \otimes_k k({B_1}^{p^{-\infty}} )/ k({B_1}^{p^{-\infty}} ))=di(k^{p^{-\infty}}/ k({B_1}^{p^{-\infty}} ))=di(k((B\setminus B_1)^{p^{-\infty}})/k)=| B\setminus B_1|$. Si on interprète (par abus de langage) $| B\setminus B_1|$ comme différence de degré d’imperfection de $k$ et $K$ en écrivant $| B\setminus B_1|=di(k)-di(K)$, on obtiendra $di(K/k)=di(k)-di(K)$. Dans le cas général, supposons que $K/k$ est $q$-finie quelconque, donc $K/rp(K/k)$ est finie, d’où $di(K)=di(rp(K/k))$; et par suite $di(K/k)=di(rp(K/k)/k)+di(K/k(K^p))=di(k)-di(K)+di(K/k(K^p))$ (cf. proposition [\[pr11\]]{} ci-dessous).

Il est à signaler en tenant compte de cette considération que tous les résultats des articles [@Che-Fli1], [@Che-Fli2], [@Che-Fli3] se généralisent naturellement par translation à une extension $q$-finie quelconque.

Soient $L/k$ une sous-extension d’une extension $q$-finie $K/k$, pour tout $n\in \N$, on note toujours $k_n=k^{p^{-n}}\cap K$. On vérifie aussitôt que :

**

La $q$-finitude est transitive, en particulier, pour tout $n\in \N$, $K/k(K^{p^n})$ et $k_n/k$ sont finies.

Il existe $n_0\in \N$, pour tout $n\geq n_0$, $di(k_n/k)=di(K/k)$.

Par ailleurs, voici quelques applications immédiates des propositions [\[arpaa1\]]{} et [\[arp1\]]{}.

[\[pr9\]]{} Soit $K/k$ une extension $q$-finie. La suite $(k(K^{p^n}))_{n\in\N}$ s’arrête sur $rp(K/k)$ à partir d’un $n_0$. En particulier, $K/rp(K/k)$ est finie.

Comme conséquence, on a :

[\[cor7\]]{} La clôture relativement parfaite d’une extension $q$-finie $K/k$ n’est pas triviale. Plus précisément, $rp(K/k)/k$ est d’exposant non borné si $K/k$ l’est.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Immédiat.

[\[pr10\]]{} Pour toute extension $q$-finie $K/k$, il existe $n\in \N$ tel que $K/k_n$ est relativement parfaite. En outre, $k_n(rp(K/k))=K$.

[\[pr11\]]{} Le degré d’irrationalité d’une extension $q$-finie $K/k$ vérifie l’égalité suivante : $di(K/k)$ $=di(rp(K/k)/k)+di(K/k(K^p))=di(K/rp(K/k))$ $+di(rp(K/k)/k)$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Soient $G$ une $r$-base de $K/k$ et $K_r=rp(K/k)$, donc $k(G)/k$ admet un exposant finie noté $m$ et, $K=K_r(G)$. En paticulier, pour tout $n\geq m$, $k(G)\subseteq k_n$. Compte tenu de la $r$-indépendance de $G$ sur $k(K^p)$ et vu que $k({k_n}^p)$ est un sous-ensemble de $k(K^p)$, on en déduit que $G$ est $r$-libre sur $k({k_n}^p)$ pour tout $n\geq m$. Complétons $G$ en une $r$-base de $k_n/k$ par une partie $G_n$ de $k_n$. Dans ces conditions, pour $n$ suffisamment grand, on aura $|G|+|G_n|={\displaystyle}\sup_{j\geq m}(|G|+|G_j|)=di(K/k)=di(K_r(G)/k) \leq di(K_r/k)+di(k(G)/k)=di(K_r/k)+|G|$, et donc $|G_n|\leq di(K_r/k)$. Toutefois, comme ${\displaystyle}\bigcup_{n\geq m} k({k_n}^{p^m})={\displaystyle}\bigcup_{n\geq m} k({G_n}^{p^m},G^{p^m})={\displaystyle}\bigcup_{n\geq m} k({G_n}^{p^m})=k(K^{p^m})=K_r(K^{p^m})$, d’après le théorème [\[thm4\]]{}, pour $n$ suffisamment grand, on aura également $ di(K_r/k)\leq di(K_r(K^{p^{m}})/k)= di(k({k_n}^{p^m})/k)\leq |{G_n}^{p^m}|=|G_n|$. D’où, $|G_n|=di(K_r/k)$ pour $n$ assez grand, et par suite $di(K/k)=di(K_r/k)+di(K/k(K^p))$.

Comme conséquence immédiate, on a :

[\[cor8\]]{}Pour qu’une extension $q$-finie $K/k$ soit finie il faut et il suffit que $di(K/k)=di(K/k(K^p))$.

[\[thm7\]]{} Pour toutes extensions $q$-finies $k\subseteq L\subseteq K$, on a $di(K/k)\leq di(K/L)+di(L/k)$, avec l’égalité si et seulement si $L/k(L^p)$ et $k(K^p)/k(L^p)$ sont $k(L^p)$-linéairement disjointes.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Comme $K={\displaystyle}\bigcup_{n\in \N} L^{p^{-n}}\cap K$ et $K/k$ est $q$-finie, d’après le théorème [\[thm4\]]{}, pour $n$ assez grand, on a $di(K/k)=di(L^{p^{-n}}\cap K/k)$ ; donc on est amené au cas où $K/L$ est finie, ou encore $rp(K/k)=rp(L/k)$. Dans la suite, on posera $L_r=K_r=rp(K/k)$. D’après la proposition [\[pr11\]]{} ci-dessus, on aura $di(K/k)=di(K_r/k)+di(K/k(K^p))= di(L_r/k)+di(K/L(K^p))+di(L(K^p)/k(K^p))= di(L_r/k)+di(K/L)+di(L(K^p)/k(K^p))$. Compte tenu du corollaire [\[cor5\]]{}, $di(L(K^p$ $)$ $/k(K^p))\leq di(L/k(L^p))$, donc $di(K/k)\leq di(L_r/k)+di(K/L) +di(L/k(L^p))=di(L/k)+di(K/L)$, et il y’a égalité si et seulement si $di(L/k(L^p))= di(L(K^p)/k($ $K^p))$, ou encore $[L : k(L^p)]=[L(K^p) :k(K^p)]$, c’est-à-dire $L/k(L^p)$ et $k(K^p)/k($ $L^p)$ sont $k(L^p)$-linéairement disjointes.

La condition de la linéarité disjointe qui figure dans la proposition ci-dessus se traduit en terme de $r$-indépendance par toute $r$-base de $L/k$ se complète en une $r$-base de $K/k$.

Comme application immédiate, on a :

[\[ccor1\]]{} Toute sous-extension relativement parfaite $L/k$ d’une extension $q$-finies $K/k$ vérifie $di(K/k)=di(K/L)+di(L/k)$.

D’une façon assez générale, on a :

[\[pr12\]]{} Pour toute suite de sous-extensions relativement parfaites $k=K_0 \subseteq K_1\subseteq \dots\subseteq K_n$ d’une extension $q$-finie $K/k$, on a $di(K/k)={\displaystyle}\sum_{i=0}^{n-1} di(K_{n+1}/K_n) +di(K/K_n)$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Résulte immédiatement du corollaire précédent.

Dans la suite on va étudier de plus près les propriétés des exposants d’une extension $q$-finie.

Exposants d’une extension $q$-finie
-----------------------------------

Dans cette section nous distinguons deux cas :

[**Cas où ${K/k}$ est purement inséparable finie.**]{} Soit $x\in K$, posons $o( x/k ) = \inf\{$ $m \in \mathbf{N}|\; x^{p^m}\in k \}$ et $o_1(K/k) = \inf\{m\in \mathbf{N}|\; K^{p^{m}}\subset k\}$. Une $r$-base $B=\{a_{1},a_{2},\dots, a_{n}\}$ de $K/k$ est dite canoniquement ordonnée si pour $j=1,2,\dots,n$, on a $o(a_{j}/k(a_{1},a_{2},$ $\dots$ $ ,a_{j-1}))=
o_{1}(K/k(a_{1},a_{2},\dots ,a_{j-1})).$ Ainsi, l’entier $o(a_j/k(a_1,\dots, $ $a_{j-1}))$ défini ci-dessus vérifie $o(a_j/k(a_1,\dots, a_{j-1}))=\inf\{m$ $\in \mathbf{N}|
\; di(k(K^{p^m})/k)\leq j-1\}$ (cf. [[@Che-Fli2]]{}, p. [138]{}, lemme [1.3]{}). On en déduit aussitôt le résultat de ([[@Pic]]{}, p. [90]{}, satz [14]{}) qui confirme l’indépendance des entiers $o(a_i/k(a_1,$ $\dots ,
a_{i-1}) )$, $(1\leq i\leq n)$, vis-à-vis au choix des $r$-bases canoniquement ordonnées $\{a_1,\dots , $ $a_n\}$ de $K/k$. Par suite, on pose $o_i(K/k)=o(a_i/k(a_1,$ $\dots , a_{i-1}) )$ si $1\leq i\leq n$, et $o_i(K/k)=0$ si $i>n$, où $\{a_1,\dots , a_n\}$ est une $r$-base canoniquement ordonnée de $K/k$. L’invariant $o_i(K/k)$ ci-dessus s’appelle le $i$-ème exposant de $K/k$. Voici les principales relations dont on aura besoin, et qui font intervenir les exposants.

[\[pr13\]]{} Soient $K$ et $L$ deux corps intermédiaires d’une extension $\Omega /k$, avec $K/k$ purement inséparable finie. Alors pour tout entier $j$, on a $o_{j}(K(L)$ $/k(L))$ $ \leq
o_{j}(K/k)$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Cf. [[@Che-Fli]]{}, p. [373]{}, proposition [5]{}.

[\[pr14\]]{} Soit $K/k$ une extension purement inséparable finie. Pour toute sous-extension $L/L'$ de $K/k$, et pour tout $j\in\mathbf{N}$, on a $o_j(L/L')\leq o_j(K/k)$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}cf. [[@Che-Fli]]{}, p. [374]{}, proposition [6]{}.

[\[pr15\]]{} Soient $\{{\alpha}_1 ,\dots,{\alpha}_n\}$ une $r$-base canoniquement ordonnée de $K/k$, et $m_j$ le $j$-ième exposant de $K/k$, $1\leq j\leq n$. On a :

**

$k(K^{p^{m_j}})=k({\alpha}_{1}^{p^{m_j}},\dots,
{\alpha}_{j-1}^{p^{m_j}})$.

Soit $\Lambda_j=\{(i_1,\dots, i_{j-1})$ tel que $0\leq i_1<p^{m_1-m_j},\dots,0\leq i_{j-1}<p^{m_{j-1}-m_j}\}$, alors $\{{({\alpha}_1,\dots, {\alpha}_{j-1})}^{{p^{m_j}}\xi}$ tel que $\xi\in
\Lambda_j\}$ est une base de $k(K^{p^{m_j}})$ sur $k$.

Soient $n\in\mathbf{N}$ et $j$ le plus grand entier tel que $m_j>n$. Alors $\{{\alpha}_{1}^{p^{n}},\dots, {\alpha}_{j}^{p^{n}}\}$ est une $r$-base canoniquement ordonnée de $k(K^{p^n})/k$, et sa liste des exposants est $(m_1-n,\dots, m_j-n)$

.

[[ **Preuve.** ]{}]{}cf. [[@Che-Fli2]]{}, p. [140]{}, proposition [5.3]{}.

[\[pr16\]]{} Soient $K_1/k$ et $K_2/k$ deux sous-extensions purement inséparables de $K/k$. $K_1$ et $K_2$ sont $k$-linéairement disjointes si et seulement si $o_j(K_1(K_2)/K_2)=o_j(K_1/k)$ pour tout $ j\in\mathbf{N}$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}cf. [[@Che-Fli]]{}, p. [374]{}, proposition [7]{}.

[\[pr17\]]{} (Algorithme de la complétion des r-bases) Soient K/k une extension purement inséparable finie, $G$ un $r$-générateur de $K/k$, et $\{{\alpha}_1,\dots, {\alpha}_s\}$ un système de $K$ tel que pour tout $j\in \{1,\dots, s\}$, $o({\alpha}_j,k({\alpha}_1,\dots,{\alpha}_{j-1}))=o_j(K/k)$. Pour toute suite ${\alpha}_{s+1}, {\alpha}_{s+2}, \dots,$ d’éléments de $G$ vérifiant $o({\alpha}_m,k({\alpha}_1,$ $\dots,{\alpha}_{m-1}))={\displaystyle}\sup_{a\in G}(o(a,k({\alpha}_1,\dots,{\alpha}_{m-1})))$, la suite $({\alpha}_i)_{i\in \N^*}$ s’arrête sur un plus grand entier $n$ tel que $o({\alpha}_n, k({\alpha}_1,\dots,{\alpha}_{n-1}))>0$. En particulier, $\{{\alpha}_1,\dots,{\alpha}_n\}$ est une r-base canoniquement ordonnée de $K/k$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Cf. [[@Che-Fli2]]{}, p. [139]{}, proposition [1.3]{}.

[**Cas où $K/k$ est $q$-finie d’exposant non borné.**]{} Soit $K/k$ une extension $q$-finie. Rappelons que pour tout $n\in \N^*$, $k_n$ désigne toujours $k^{p^{-n}}\cap K$. En vertu de la proposition [\[pr14\]]{}, pour tout $j\in \N^*$, la suite des entiers naturels $(o_j(k_n/k))_{n\geq 1}$ est croissante, et donc $(o_j(k_n/k))_{n\geq 1}$ converge vers $+\infty$, ou $(o_j(k_n/k))_{n\geq 1}$ est stationnaire à partir d’un certain rang. Lorsque $(o_j(k_n/k))_{n\geq 1}$ est bornée, par construction, pour tout $t\geq j$, $(o_t(k_n/k))_{n\geq 1}$ est aussi bornée (et donc stationnaire).

Soient $K/k$ une extension $q$-finie et $j$ un entier naturel non nul. On appelle le $j$-ième exposant de $K/k$ l’invariant $o_j(K/k)={\displaystyle}\lim_{n\rightarrow +\infty} (o_j(k_n/k))$.

[\[lem2\]]{} Soit $K/k$ une extension $q$-finie, alors $o_s(K/k)$ est fini si et seulement s’il existe un entier naturel $n$ tel que $di(k(K^{p^n})/k)<s$, et on a $o_s(K/k)=\inf\{m\in \N\,|\, di(k(K^{p^m})/k)<s\}$. En particulier, $o_s(K/k)$ est infini si et seulement si pour tout $m\in \N$, $di(k(K^{p^m})/k)\geq s$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Pour simplifier l’écriture, on note $e_t=o_t(K/k)$ si $o_t(K/k)$ est fini. Compte tenu du [@Che-Fli2], p. [138]{}, lemme [1.3]{}, on vérifie aussitôt que $o_s(K/k)$ est infini si et seulement si pour tout $m\in \N$, $di(k(K^{p^m})/k)\geq s$, donc on se ramène au cas où $o_s(K/k)$ est fini. Par suite, il existe un entier $n_0$, pour tout $n\geq n_0$, $e_s=o_s(k_n/k)$. D’après [@Che-Fli2] p. [138]{}, lemme [1.3]{}, $di(k({k_n}^{p^{e_s}})/k)<s$ et $di(k({k_n}^{p^{e_s-1}})/k)\geq s$. En vertu du théorème [\[thm4\]]{}, $di(k(K^{p^{e_s}})/k)<s$ et $di(k({K}^{p^{e_s-1}})/k)\geq s$. Autrement dit, $o_s(K/k)=\inf\{m\in \N\,|\, di(k(K^{p^m})/k)<s\}$.

Le résultat ci-dessous permet de ramener l’étude des propriétés des exposants des extensions $q$-finies aux extensions finies par le biais des clôtures relativement parfaites.

[\[thm8\]]{} Soit $K_r/k$ la clôture relativement parfaite de degré d’irrationalité $s$ d’une extension $q$-finie $K/k$, alors on a :

**

Pour tout $t\leq s$, $o_t(K/k)=+\infty$.

Pour tout $t> s$, $o_t(K/k)=o_{t-s}(K/K_r)$.

En outre, $o_t(K/k)$ est fini si et seulement si $t> s$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Pour tout $t\in {\N}^*$, notons $e_t=o_t(K/K_r)$. Comme pour tout entier $e$, on a $k(K^{p^e})=K_r(K^{pe})={\displaystyle}\bigcup_{n\in \N}k({k_n}^{p^e})$, donc $s=di(K_r/k)\leq di(k(K^{p^e})/k)=di(k({k_n}^{p^e})/k)$ pour $n$ suffisament grand. D’après le lemme [\[lem2\]]{}, on aura d’une part $o_t(K/k)=+\infty$ pour tout $t\leq s$, et d’autrs part pour tout $n>s$, $di(K_r(K^{p^{e_{n-s}}})/k)=di(K_r/k)+di(K_r(K^{p^{e_{n-s}}})/K_r)<s+n-s=n$ et $di(K_r(K^{p^{e_{n-s}-1}})/k)=di(K_r/k)+di(K_r(K^{p^{e_{n-s}-1}})/K_r)\geq n$. Notamment, pour tout $n>s$, $o_n(K/k)=o_{n-s}(K/K_r)$. Toutefois, $o_n(K/k)$ est fini si et seulement si $n\leq s$.

Voici une liste de conséquences immédiates :

[\[pr18\]]{} Soient $K$ et $L$ deux corps intermédiaires d’une extension $q$-finie $M/k$. Pour tout $j\in \N^* $, on a $o_j(L(K)/L)\leq o_j(K/k)$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Due au lemme [\[lem2\]]{}, et à l’inégalité suivante résultant du corllaire [\[cor4\]]{}: $di(L(L^{p^{n}}, K^{p^n})/L)=di(L(K^{p^n})/L)\leq di (k(K^{p^n})/k)$ pour tout $n\in \N$.

[\[pr19\]]{} Etant données des extensions $q$-finies $k\subseteq L\subseteq K$. Pour tout $j\in \N^*$, on a $o_j(L/k)\leq o_j(K/k).$

[[ **Preuve.** ]{}]{}Application immédiate du lemme [\[lem2\]]{}, et de l’inégalité suivante résultant du théorème [\[thm4\]]{} : $di(k(L^{p^{n}})/k) $ $\leq di (k(K^{p^n})/k)$ pour tout $n\in \N$.

Par ailleurs la taille d’une extension relativement parfaite reste invariant, à une extension finie près comme l’indique le résultat suivant.

[\[pr20\]]{} Etant donnée une sous-extension relativement parfaite $K/k$ d’une extension $q$-finie $M/k$. Pour toute sous-extension finie $L/k$ de $M/k$, on a $di(L(K)/L)=di(K/k)$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}En vertu du corollaire [\[cor4\]]{}, il suffit de montrer que $di(L(K)/L)\geq di(K/k)$. Pour cela, on pose d’abord $e=o_1(L/k)$ et $t=di(K/k)$. D’après le théorème [\[thm8\]]{}, pour tout $s\in \{1,\dots, t\}$, $o_s(K/k)=+\infty$, donc pour $n$ assez grand, on aura $o_t(k_n/k)>e+1$, en outre $L\subseteq k_n$ et $di(k_n/k)=di(K/k)$. Soit $\{{\alpha}_1,\dots, {\alpha}_t\}$ une $r$-base canoniquement ordonnée de $k_n/k$, s’il existe $s\in \{1,\dots, t\}$ tel que ${\alpha}_s\in L({k_n}^p)({\alpha}_1,\dots, {\alpha}_{s-1})$, d’après la proposition [\[pr14\]]{}, on aura $e<o_t(k_n/k)\leq o_s(k_n/k)=o({\alpha}_s, k({\alpha}_1,\dots,{\alpha}_{s-1}))\leq o_1(L({k_n}^p)({\alpha}_1,\dots,{\alpha}_{s-1})/$ $k({\alpha}_1,\dots,{\alpha}_{s-1}))\leq {\displaystyle}\sup(o_1(L/k), o_s(k_n/k)-1)=o_s(k_n/k)-1$, et donc $o_s(k_n/k)$ $\leq o_s(k_n/k)-1$, contradiction. D’où, $\{{\alpha}_1,\dots, {\alpha}_t\}$ est une $r$-base de $L(k_n)/L$, et par suite, $t=di(K/k)=di(L(k_n)/L)\leq di(L(K)/L)$.

Extensions modulaires
=====================

On rappelle qu’une extension $K/k$ est dite modulaire si et seulement si pour tout $n\in\mathbf{N}$, $K^{p^{n}}$ et $k$ sont $K^{p^{n}}\cap
k$-linéairement disjointes. Cette notion a été définie pour la première fois par Swedleer dans [[@Swe]]{}, elle caractérise les extensions purement inséparables, qui sont produit tensoriel sur $k$ d’extensions simples sur $k$. Par ailleurs, toute $r$-base $B$ de $K/k$ telle que $K\simeq \otimes_k (\otimes_k k(a))_{a\in B}$ sera appelée $r$-base modulaire. En particulier, d’après le théorème de Swedleer, si $K/k$ est d’exposant borné, il est équivalent de dire que :

**

$K/k$ admet une $r$-modulaire.

$K/k$ est modulaire.

Soient $m_j$ le $j$-ième exposant d’une extension purement inséparable finie $K/k$ et $\{{\alpha}_1 ,\dots,{\alpha}_n\}$ une $r$-base canoniquement ordonnée de $K/k$, donc d’après la proposition ${\ref{pr15}}$, pour tout $j\in \{2,\dots,  n\}$, il existe des constantes uniques $C_{{\varepsilon}}\in k$ telles que ${{\alpha}_{j}}^{p^{m_j}}={\displaystyle}\sum_{{\varepsilon}\in \Lambda_j}{C_{{\varepsilon}}}{({\alpha}_1,
\dots, {\alpha}_{j-1})}^{p^{m_j}{\varepsilon}}$, où $\Lambda_j=\{(i_1,\dots, i_{j-1})$ tel que $0\leq i_1<p^{m_1-m_j},\dots,0\leq i_{j-1}<p^{m_{j-1}-m_j}\}$. Ces relations s’appellent les équations de définition de $K/k$.

Le critère ci-dessous permet de tester la modularité d’une extension.

[\[thm9\]]{} [**\[Critère de modularité\]**]{} Sous les notations ci-dessus, les propriétés suivantes sont équivalentes :

**

$K/k$ est modulaire.

Pour toute $r$-base canoniquement ordonnée $\{{\alpha}_1,\dots , {\alpha}_n\}$ de $K/k$, les $C_{{\varepsilon}}\in k \cap K^{p^{m_j}}$ pour tout $j\in \{2,\dots,  n\}$.

Il existe une $r$-base canoniquement ordonnée $\{{\alpha}_1,\dots , {\alpha}_n\}$ de $K/k$ telle que les $C_{{\varepsilon}}\in k \cap K^{p^{m_j}}$ pour tout $j\in \{2,\dots,  n\}$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}cf. [[@Che-Fli2]]{}, p. [142]{}, proposition [1.4]{}.

Soient $Q$ un corps parfait de caractéristique $p>0$, $k=Q(X,Y,Z)$ le corps des fractions rationnelles aux indéterminées $X,Y,Z$, et $K=k({\alpha}_1,{\alpha}_2)$ avec ${\alpha}_1=X^{p^{-2}}$ et ${\alpha}_2=X^{p^{-2}}Y^{p^{-1}}+Z^{p^{-1}}$. On vérifie aussitôt que

**

$o_1(K/k)=2$ et $o_2(K/k)=1$,

${\alpha}_2^{p}=Y{\alpha}_1^p+Z$.

Si $K/k$ est modulaire, d’après le critère du modularité, on aura $Y\in k\cap K^p$ et $Z\in k\cap K^p$, et donc $Y^{p^{-1}}$ et $Z^{p^{-1}}\in K$. D’où $k(X^{p^{-2}},Y^{p^{-1}}, Z^{p^{-1}})$ $\subset $ $K$, et par suite, $di(k(X^{p^{-2}},Y^{p^{-1}},Z^{p^{-1}})/k)=3<$ $di(K/k)=2$, contradiction.

Le résultat suivant est conséquence immédiate de la modularité.

[\[apr2\]]{} Soient $m,n\in \Z$ avec $n\geq m$. Si $K/k$ est modulaire, alors $K^{p^{m}}/k^{p^{n}}$ est modulaire.

La condition $n\geq m$ assure $k^{p^{n}}\subset K^{p^{m}}$.

[\[proa1\]]{} Soit $K/k$ une extension purement inséparable finie (respectivement, et modulaire), et soit $L/k$ une sous-extension de $K/k$ (respectivement, et modulaire) avec $di (L/k) = s$. Si $K^p\subseteq L$, il existe une r-base canoniquement ordonnée (respectivement, et modulaire) $ ({\alpha}_1, {\alpha}_2, \dots, {\alpha}_n)$ de $K/k$, et $e_1, e_2,\dots, e_s\in \{1,p\}$ tels que $({{\alpha}_1}^{e_1}, {{\alpha}_2}^{e_2},\dots, {{\alpha}_s}^{e_s})$ soit une r-base canoniquement ordonnée (respectivement, et modulaire) de $L/k$. De plus, pour tout $j\in \{1,\dots,  s\}$, on a $o_j (K/k) = o_j (L/k)$, auquel cas $e_j = 1$, ou $o_j (K/k) = o_j (L/k) + 1$, auquel cas $e_j = p$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Cf. [[@Che-Fli2]]{}, p. [146]{}, proposition [8.4]{}.

Le théorème suivant de Waterhouse joue un rôle important dans l’étude des extensions modulaires (cf. [@Wat] Théorème 1.1).

Soient $(K_{j})_{j\in I}$ une famille quelconque de sous-corps d’un corps $\Omega$, et $K$ un autre sous-corps de $\Omega $. Si pour tout $j\in I$, $K$ et $K_j$ sont $K\cap K_j$-linéairement disjoints, alors $K$ et ${\displaystyle}\bigcap_{j} K_{j}$ sont $K\cap ({\displaystyle}\bigcap_{j} K_{j})$-linéairement disjoint.

Comme conséquence, la modularité est stable par une intersection quelconque portant soit au dessus ou en dessous d’un corps commutatif. Plus précisément, on a :

[\[apr4\]]{} Sous les mêmes hypothèses du théorème ci-dessus, on a :

**

Si pour tout $j\in I$, $K_{j}/k$ est modulaire, il en est de même de ${\displaystyle}\bigcap_{j} K_{j}/k$.

Si pour tout $j\in I$, $K/K_j$ est modulaire, il en est de même de $K/{\displaystyle}\bigcap_{j} K_{j}$.

D’après le théorème de Waterhouse, il existe une plus petite sous-extension $m/k$ de $K/k$ (respectivement une plus petite extension $M/K$) telle que $K/m$ (respectivement $M/k$) est modulaire. Désormais, on note $m=mod(K/k)$ et $M=clm(K/k)$. Toutefois, l’extension $clm(K/k)$ sera appelée clôture modulaire de $K/k$.

Comme application immédiate de la proposition [\[pr7\]]{}, on a

[\[pr24\]]{} Etant données une $r$-base modulaire $B$ d’une extension modulaire $K/k$ et une famille $(e_a)_{a\in B}$ d’entiers tels que $0\leq e_a\leq o(a,k)$. Soit $L=k(({a}^{p^{e_a}})_{a\in B})$, alors $L/k$ et $K/L$ sont modulaires, et $(B\setminus L)$, $(({a}^{p^{e_a}})_{a\in B}\setminus L)$ sont deux $r$-bases modulaires respectivement de $K/L$ et $L/k$. En outre, pour tout $a\in B$, $o(a,L)=e_a$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}On se ramène au cas fini auquel le résultat découle de la transitivité de la linéarité disjointe. En outre, pour toute partie $\{a_1,\dots, a_n\}$ d’élément de $B$, $[L(a_1,\dots,a_n):L]={\displaystyle}\prod_{i=1}^{n}p^{e_{a_i}}$. Dans la suite, pour tout $a\in B$, on pose $n_a=o(a,k)$. Considérons maintenant les sous-ensembles $B_1$ et $B_2$ de $B$ définis par $B_1=\{a\in B\,|\, n_a>j\}$, $B_2=B\setminus B_1=\{a\in B\,|\, n_a\leq j\}$, ($j$ étant un entier ne dépassant pas $o(K/k)$).

Comme Application de la proposition précédente, on a :

[\[thm11\]]{} Sous les conditions précisées ci-dessus, pour tout entier $j< o(K/k)$, on a $k_j=k((a^{n_a-j})_{a\in B_1}, B_2)$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Comme $K/k$ est réunion inductive d’extentions modulaires engendrées par des parties finies de $B$, et compte tenu de la distributivité de l’intersection par rapport à la réunion, on peut supposer sans perdre de généralité que $K/k$ est finie d’exposant noté $e$. Soient $\{{\alpha}_1,\cdots,{\alpha}_n\}$ une $r$-base modulaire et canoniquement ordonnée de $K/k$, et $m_j$ le j-ième exposant de $K/k$. Désignons par $s$ le plus grand entier tel que $m_s>j$, et $L=k({\alpha}_{1}^{p^{m_1-j}},\dots,{\alpha}_{s}^{p^{m_s-j}}, {\alpha}_{s+1},\dots,$ $ {\alpha}_n)$. On vérifie aussitôt que :

**

$L\subseteq k_j$,

$K\simeq k({\alpha}_1)\otimes_k \dots\otimes_k k({\alpha}_n)\simeq L({\alpha}_1)\otimes_L \dots \otimes_L L({\alpha}_s)$.

Ainsi, pour tout $x\in K$, il existe des constantes uniques $C_{{\varepsilon}}\in L$ telles que $x={\displaystyle}\sum_{{\varepsilon}\in \Lambda}{C_{{\varepsilon}}}{({\alpha}_1,
\dots, {\alpha}_{s})}^{{\varepsilon}}$, où $\Lambda=\{(i_1,\dots, i_{s})$ tel que $0\leq i_1<p^{m_1-j},\dots, 0\leq i_{s}<p^{m_{s}-j}\}$, et donc $x^{p^j}={\displaystyle}\sum_{{\varepsilon}\in \Lambda}{C_{{\varepsilon}}}^{p^j}{({{\alpha}_1}^{p^j},
\dots, {{\alpha}_{s}}^{p^j})}^{{\varepsilon}}$. Compte tenu de la proposition [\[pr15\]]{}, $x^{p^j}\in k$ (c’est-à-dire $x\in k_j$) si et seulement si $x^{p^j}={C_{(0,\dots, 0)}}^{p^j}$, ou encore $x=C_{(0,\dots,0)}$. Par suite $x\in k_j$ si et seulement si $x\in L$, autrement dit $k_j=L$. Comme conséquence immédiate, dans le cas de modulaire le résultat suivant exprime une propriété de stabilité de la taille d’un certains corps intermédiaires. Plus précisément,

[\[acor1\]]{} Pour toute extension modulaire $K/k$, pour tout $n\in \N$, on a $di(k_n/k)=di(k_1/k)$. En particulier, $di(K/k)=di(k_1/k)$.

Le résultat suivant est bien connu (cf. [@Kim]).

[\[pr23\]]{} Soit $K/k$ une extension purement inséparable et modulaire ; soit pour tout $n\in\mathbf{N}$, $K_n=k(K^{p^n})$. Alors $k_n/k$, $K/k_n$, $K_n/k$ et $K/K_n$ sont modulaires.

[\[apr1\]]{} Soient $K_1$ et $K_2$ deux sous-extensions de $K/k$ telles que $K\simeq K_1\otimes K_2$. Si pour tout $i\in \{1,2\}$, $K_i/k$ est modulaire, il en est de même de $K/k$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Cf. [[@Che-Fli4]]{}, p. [55]{}, lemme [3.4]{}.

Le résultat suivant étend trivialement les hypothèses de la proposition [3.3]{}, [@Mor-Vin], p. [94]{}, ainsi que le théorème [3.2]{}, [@Dev1], p. [289]{}. Il utilise plus particulièrement les propriétés du système canoniquement générateur (pour plus d’information cf. [@Mor-Vin], définition [1.32]{}, p. 29).

[\[apr3\]]{}Soient $K_1$ et $K_2$ deux sous-extensions de $K/k$ telles que $K\simeq K_1\otimes K_2$. Si $K/K_1$ est modulaire, et $K_2/k$ est d’exposant borné, il existe une partie $B$ de $K$ telle que $K\simeq K_1\otimes_k (\otimes_k (k({\alpha})_{{\alpha}\in B})$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}D’abord, comme $K\simeq K_1\otimes_k K_2$, alors pour tout $i\in \N$, pour toute $r$-base $C$ de $k({K_2}^{p^i})/k$, $C$ est aussi une $r$-base de $K_1({K_2}^{p^i})/K_1$. Choisissons ensuite une $r$-base $B$ de $K_2/k$, comme $K_2/k$ est d’exposant fini, alors $B$ est un $r$-générateur minimal de $K_2/k$. Soit $B_1,\dots, B_n$ une partition de $B$ vérifiant $B_1=\{x\in B| \, o(x,k)=o_1(K_2/k)=e_1\}$ et, pour tout $1<i\leq n$, $B_i=\{x\in B| \, o(x,k(B_1,\dots, B_{i-1}))=o_1(K_2/k(B_1,\dots,B_{i-1}))=e_i\}$. Il est clair que $e_1>\dots>e_n$, et en vertu de la linéarité disjointe, pour tout $i\in \{1\dots,n\}$, pour tout $x\in B_i$, on a également $o(x,K_1(B_1,\dots, B_{i-1}))=o_1(K/K_1(B_1,\dots,B_{i-1}))\}=e_i$. En particulier, pour tout $i\in \{2,\dots, n\}$, $({\displaystyle}\prod_{{\alpha}}{(G)}^{{{\alpha}}p^{e_i}})_G$, où $G$ est une partie finie d’éléments de $ B_1\cup\dots\cup B_{i-1}$ et les ${\alpha}$ sont convenablement choisis, est une base respectivement de $k({K_2}^{p^{e_i}})$ sur $k$ et $K_1({K_2}^{p^{e_i}})=K_1({K}^{p^{e_i}})$ sur $K_1$. Notons $M_i$ cette base, et soit $x\in B_i$, il existe des $c_{{\alpha}}\in k$ uniques tels que $x={\displaystyle}\sum_{{\alpha}}c_{{\alpha}}y_{{\alpha}}$, ($y_{{\alpha}}\in M_i$), en outre les $c_{{\alpha}}$ sont aussi uniques dans $K_1$. D’autre part, en vertu de la modularité, pour tout $i\in \{1,\dots, n\}$, $K^{p^{e_i}}$ et $K_1$ sont $K_1\cap K^{p^{e_i}}$-linéairement disjointes. Comme $K_1({K_2}^{p^{e_i}})=K_1({K}^{p^{e_i}})$ et $M_i\subseteq K^{p^{e_i}}$, alors $M_i$ est aussi une base de $K^{p^{e_i}}$ sur $K_1\cap K^{p^{e_i}}$. En tenant compte de l’unicité de l’écriture de $x$ dans la base $M_i$, on en déduit par identification que les $c_{{\alpha}}\in k\cap K^{p^{e_i}}$, et donc ${B_i}^{p^{e_i}}\subseteq  k\cap K^{p^{e_i}}({K_1}^{p^{e_i}}({B_1}^{p^{e_i}},\dots, {B_{i-1}}^{p^{e_i}}))$ pour tout $i\in \{1\dots, n\}$. Par application du ([@Mor-Vin], proposition [3.3]{}, p. [94]{}), il existe une sous-extension modulaire $J/k$ d’exposant finie de $K/k$ telle que $K\simeq K_1\otimes_k J$. Ainsi, le résultat découle immédiatement du théorème de Swedleer. Dans le cas fini, le résultat suivant généralise la proposion ci-dessus.

[\[ajpr1\]]{} Soient $K_1$ et $K_2$ deux corps intermédiaires ; $k$-linéairement disjoints d’une extension purement inséparable finie $L/k$ avec $di(L/K_1)=di(K_2$ $/k)=n$. Soit $s$ le plus petit entier tel que $o_s(K_2/k)=o_n(K_2/k)$. Si $L/K_1$ est modulaire, il existe une $r$-base $\{{\alpha}_1,\dots, {\alpha}_n\}$ canoniquement ordonnée de $K_1(K_2)/K_1$ vérifiant $K_1(K_2)\simeq K_1\otimes k({\alpha}_1,\dots, {\alpha}_s)\otimes_k k({\alpha}_{s+1})\otimes_k \dots \otimes_k k({\alpha}_n)$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Pour simplifier l’écriture, pour tout $j\in\{1,\dots, n\}$, on note $o_j (K_2/k)$ $ = e_j$, et $K=K_1(K_2)$ . Soit $\{{\alpha}_1,\dots,{\alpha}_n\}$ une $r$-base canoniquement ordonnée de $K_2/k$. Compte tenu de la proposition [\[pr16\]]{}, $\{{\alpha}_1,\dots,{\alpha}_n\}$ est aussi une $r$-base canoniquement ordonnée de $K/K_1$, et pour tout $j\in\{1,\dots, n\}$, $o_j (K/K_1) = e_j$. D’après la proposition [\[pr15\]]{}, pour tout $i\in \{s,\dots, n\}$, il existe des constantes uniques $C_{{\varepsilon}}^{i}\in k$ telles que ${{\alpha}_i}^{p^{e_n}}={\displaystyle}\sum_{{\varepsilon}\in \Lambda_{s-1}} C_{{\varepsilon}}^{i}{({\alpha}_1\dots{\alpha}_{s-1})}^{p^{{\varepsilon}}}$ ($*$). En vertu de la proposition [\[pr16\]]{}, pour tout $i\in \{s\dots,n\}$, l’équation de définition de ${\alpha}_i$ par rapport à $K_1({\alpha}_1,\dots,{\alpha}_{s-1})$ est aussi définie par la relation ($*$) ci-dessus. Comme $L/K_1$ est modulaire, en se servant du critère de modularité, pour tout $(i,{\varepsilon})\in \{s,\dots, n\}\times \Lambda_{s-1}$, on aura ${(C_{{\varepsilon}}^{i})}^{p^{-e_n}}\in L$. Posons ensuite, $F=k({(C_{{\varepsilon}}^{i})}^{p^{-e_n}})$ où $(i,{\varepsilon})$ parcourt l’ensemble $\{s,\dots, n\}\times \Lambda_{s-1}$, et $H=K_1(F)({\alpha}_1,\dots,{\alpha}_{s-1})$. Il est clair que $o_1(F/k)\leq e_n$, et $K\subseteq H\subseteq L$. De plus, d’après le théorème [\[thm4\]]{} et la proposition [\[pr14\]]{}, $n=di(K/K_1)\leq di(H/K_1)\leq di(L/K_1)=n$, et pour tout $i\in \{s, \dots, n\}$, $e_n=o_i(K/K_1)\leq o_i(H/K_1) \leq e_n$. Il en résulte que $di(H/K_1)=n$, et pour tout $i\in \{s, \dots, n\}$, $e_n=o_i(H/K_1)$. Comme $e_{s-1}>e_s=e_n$, d’après l’algorithme de la complétion des $r$-bases, il existe des éléments $b_s,\dots, b_n \in  F$ tels que $\{{\alpha}_1\dots,{\alpha}_{s-1},b_s,\dots,b_n\}$ soit une $r$-base canoniquement ordonnée de $H/K_1$. En particulier, on aura :

**

Pour tout $i\in \{1 ,\dots, s-1\}$, $e_i=o_i(H/K_1)=o_i(K_1({\alpha}_1,\dots,{\alpha}_{s-1})/K_1)= o_i(k({\alpha}_1,\dots,{\alpha}_{s-1})/k)$.

Pour tout $j\in \{s,\dots,n\}$, $e_n=o_j(H/K_1)=o(b_j, K_1({\alpha}_1\dots,
{\alpha}_{s-1}, b_s,\dots, $ $b_{j-1})) \leq o(b_j, k(b_s,\dots,b_{j-1})/k)\leq o_1(F/k)\leq e_n$, et donc $e_n=o_j(H/K_1)$ $=o_j(k(b_s,\dots,b_n)/k)$.

D’où, $H=K\simeq K_1\otimes k({\alpha}_1,\dots, {\alpha}_{s-1})\otimes_k k(b_s)\otimes_k\dots\otimes_k k(b_n)$.

Extensions équiexponentielles 
==============================

[\[pr26\]]{} Soit $K/k$ une extension purement inséparable d’exposant $e$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

**

Il existe une $r$-base $G$ de $K/k$ vérifiant $K\simeq \otimes_k (k(a))_{a\in G}$, et pour tout $a\in G$, $o(a,k)=e$.

Toute $r$-base $G$ de $K/k$ satisfait $K\simeq \otimes_k (k(a))_{a\in G}$, et $o_1(K/k)=e$.

Il existe une $r$-base $G$ de $K/k$ telle que pour tout $a\in G$, $o(a,k(G\setminus \{a\}))=o(a,k)=e$.

Pour toute $r$-base $G$ de $K/k$, pour tout $a\in G$, $o(a,k(G\setminus \{a\}))=o(a,k)=e$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}D’après le théorème de la $r$-base incomplète, on se ramène au cas où $K/k$ est finie auquel cas $[K:k]=p^{en}$, où $e=o_1(K/k)$ et $n=di(K/k)$, et en vertu de la proposition [\[pr16\]]{}, le résultat est immédiat.

Une extension qui vérifie l’une des conditions de la proposition ci-dessus est dite équiexponentielle d’exposant $e$.

Il est clair que toute extension équiexponentielle est modulaire. De plus, on vérifie aussitôt qu’il est équivalent de dire que :

**

$K/k$ est équiexponentielle d’exposant $e$.

Il existe une $r$-base $G$ de $K/k$, pour toute partie finie $G_1$ de $G$, on a $k(G_1)/k$ est équiexponentielle d’exposant $e$.

Pour toute $r$-base $G$ de $K/k$, pour toute partie finie $G_1$ de $G$, on a $k(G_1)/k$ est équiexponentielle d’exposant $e$.

[\[thm13\]]{} Pour toute extension relativement parfaite et modulaire $K/k$, pour tout entier $n$, $k_n /k$ est équiexponentielle d’exposant $n$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}D’après le théorème [\[thm11\]]{}, il suffit de montrer que $k({k_n}^p)=k_{n-1}$. Compte tenu de la modularité de $K/k$, $K^{p^n}$ et $k$ sont $k\cap K^{p^n}$-linéairement disjointes pour tout $n\geq 1$, et en vertu de la transitivité de la linéarité disjointe, $k^{p^{n-1}}(K^{p^n})$ et $k$ sont $k^{p^{n-1}}(k\cap K^{p^{n}})$-linéairement disjointes. Or $K/k$ est relativement parfaite, donc $k^{p^{n-1}}(K^{p^n})=K^{p^{n-1}}$, et par suite $k\cap K^{p^{n-1}}=k^{p^{n-1}}(k\cap K^{p^n})$, ou encore $k({k_n}^p)=k_{n-1}$.

Le résultat suivant, rapporte plus de précision à la proposition [\[thm13\]]{} dans le cas des extensions $q$-finies, notamment aux extensions finies.

[\[pr27\]]{} Soit $K/k$ une extension purement inséparable de degré d’irrationalité $t$, relativement parfaite et modulaire (respectivement finie et équiexponentielle). Soient $n$ et $m$ deux entiers naturels tel que $n< m\hbox{ }(\hbox{respectivement, } n$ $< o_1(K/k))$. Les propriétés suivantes sont vérifiées:

**

$di(k_{m}/k_{n})=t$.

$k_{m}/k_{n}$ est équiexponentielle d’exposant $m-n$;

$k_{n}^{p^{-(m-n)}}\cap K=k_{m}\;$ et $\;k(k_{m}^{p^{m-n}})=k_{n}$.

En particulier, pour tout $n\in \N$, on a $[k_{n},k]=p^{nt}$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}cf. [@Che-Fli2], p. [147]{}, proposition [9.4]{}.

Comme conséquence immédiate, on a :

[\[cor10\]]{} Si $K/k$ est une extension équiexponentielle d’exposant $e$, alors:

**

Pour tout $i\in \{1,\dots, e\}$, $k_i/k$ et $K/k_i$ sont équiexponentielles d’exposant respectivement $i$ et $e-i$.

Pour tout $i\in\{ 1,\dots, e\}$, $k(K^{p^{i}})/k$ et $K/k(K^{p^i})$ sont équiexponentielles d’exposant respectivement $e-i$ et $i$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Immédiat.

Le théorème ci-dessus reproduit dans un cadre plus étendu le corollaire [4.5]{} qui se trouve dans [@Dev1], p. [292]{}, et pour plus d’information au sujet d’extraction des $r$-bases modulaires, on se réfère aux [@Dev1] et [@Dev-Mor2].

[\[thm12\]]{} Soient $k\subseteq L\subseteq K$ des extensions purement inséparables telles que $K/k$ est équiexponentielle d’exposant $e$. Si $K/L$ est modulaire, il existe une $r$-base $G$ de $K/k$ telle que $\{a^{p^{o(a,L)}}| \, {a\in G}$ et $o(a,L)<e\}$ est une $r$-base modulaire de $L/k$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Comme $K/L$ est modulaire d’exposant fini, il existe une $r$-base $B_1$ de $K/L$ telle que $K\simeq \otimes_L (\otimes_L L(a))_{a\in B_1})$, (\*). Pour des raisons d’écriture, pour tout $a\in B_1$, on pose $e_a=o(a,L)$ et $C=(a^{p^{e_a}})_{a\in B_1}$. Soit $B_2$ une partie de $L$ telle que $B_2$ est une $r$-base de $L(K^p)/k(K^p)$. Compte tenu de la transitivité de $r$-indépendance, $B_1\cup B_2$ est aussi une $r$-base de $K/k$. Dans la suite, notons $M=k(C,B_2)$. Il est clair que $M\subseteq L$, de plus, comme $K/k$ est équiexponentielle, on aura $K\simeq \otimes_k (\otimes_k k(a))_{a\in B_1\cup B_2}$. En vertu de la transitivité de la linéarité disjointe, $K\simeq \otimes_M (\otimes_M M(a))_{a\in B_1}$, (\*\*). En particulier, d’après les relations (\*) et (\*\*), pour toute famille finie $\{a_1,\cdots, a_n\}$ d’éléments de $B_1$, $L(a_1,\dots, a_n)\simeq L(a_1)\otimes_L\dots \otimes_L L(a_n)$ et $M(a_1,\dots, a_n)\simeq M(a_1)\otimes_M\dots\otimes_M M(a_n)$. Par application de la proposition [\[pr16\]]{}, on a successivement $ [L(a_1,\dots, a_n) :L]={\displaystyle}\prod_{i=1}^{n}p^{e_{a_i}}$ et $[M(a_1,\dots, a_n) :M]={\displaystyle}\prod_{i=1}^{n}p^{e_{a_i}}$, ou encore $L$ et $K$ sont $M$-linéairement disjointes. D’où $L=L\cap K=M$.

$q$-finitude et modularité
==========================

Soit $K/k$ une extension $q$-finie d’exposant non borné. Dans tout ce qui suit, nous utilisons les notations suivantes : $k_j= k^{p^{-j}}\cap K$, $U_{s}^j(K/k)=j-o_s(k_j/k)$, et $Ilqm(K/k)$ désigne le premier entier $i_0$ pour lequel la suite $(U_{i_0}^{j}(K/k))_{j\in\mathbf{N}}$ est non bornée. Le résultat ci-dessus est une application immédiate de la proposition [\[pr14\]]{}.

[\[pr25\]]{} Etant donnée une extension $q$-finie $K/k$. Pour tout entier $s$, la suite $(U_{s}^j(K/k))_{j\in\mathbf{N}}$ est croissante.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Comme ${k_{n+1}}^p\subseteq k_n$, il est clair que $o_s(k_n/k)\leq o_s(k_{n+1}/k) \leq o_s(k_n/k)+1$, et donc $n+1-
o_s(k_{n+1}/k)\geq n-o_s(K_n/k)$ ; c’est-à-dire la suite $(U_{s}^j(K/k))_{j\in\mathbf{N}}$ est croissante.

En outre, on vérifie aussitôt que :

**

Pour tout $s\geq Ilqm(K/k)$, ${\displaystyle}\lim_{n \rightarrow
+\infty}(U_{s}^n (K/k))=+\infty$.

Pour tout $s<Ilqm(K/k)$, la suite $(U_{s}^j(K/k))_{j\in\mathbf{N}}$ est bornée ;

et par suite, pour tout $n\geq {\displaystyle}\sup_{j\in\mathbf{N}}({\displaystyle}\sup (U_{s}^{j}(K/$ $k$ $)))_{s<Ilqm(K/k)}$, on a $U_{s}^n(K/k)=U_{s}^{n+1}(K/k)$. Autrement dit, $o_s(k_{n+1}/k)=o_s(k_n/k)+1$.

Dans toute la suite, on pose $e(K/k)={\displaystyle}\sup_{j\in\mathbf{N}}({\displaystyle}\sup (U_{s}^{j}(K/k)))_{s<Ilqm(K/k)}$, et pour tout $(s,j)\in {\N}^*\times {\N}^{*}$, $e_{s}^{j}=o_s(k_j/k)$

[\[thm10\]]{} Soit $K/k$ une extension $q$-finie, avec $t=di(rp(K/k)/k)$. Les affirmations suivantes sont équivalentes ;

**

$K/k$ est modulaire sur une extension finie de $k$.

Pour tout $s\in\{1,2,\dots,t\}$, la suite $(U_{s}^{j}(K/k))_{j\in\mathbf{N}}$ est bornée.

$Ilqm(K/k)=t+1$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Il est clair que $(2) \Leftrightarrow (3)$. Par ailleurs, compte tenu de la proposition [\[pr10\]]{}, il existe un entier $j_0$ tel que $K/k_{j_0}$ est relativement parfaite et $k_{j_0}(rp(K/k))=K$, et d’après la proposition [\[pr20\]]{}, on aura $di(K/k_{j_0})= di(rp(K/$ $k)/k)=t$. Supposons ensuite que la condition $(1)$ est vérifiée. On distingue deux cas :

Si $K/k$ est modulaire, en vertu de la proposition [\[pr27\]]{}, pour tout $j\geq j_0$, on a $k_j/k_{j_0}$ est équiexponentielle d’exposant $j-j_0$ et $di(k_j/k_{j_0})=t$. D’où pour tout $s\in \{1,\dots,t\}$, on a $U_{s}^{j}(K/k)=U_{s}^{j+1}(K/k)$.

Si $K$ est modulaire sur une extension finie $L$ de $k$, compte tenu de la finitude de $L/k$, il existe un entier naturel $n$ tel que $L\subseteq k_n$. Par suite, $L^{p^{-j}}\cap K\subseteq k_{n+j}$, et donc $U_{s}^{n+j}(K/k)\leq n+U_{s}^{j}(K/L)$. D’où, la suite $(U_{s}^{j}(K/k))_j$ est stationnaire pour tout $s\in\{1,\dots, t\}$.

Inversement, si la condition $(2)$ est vérifiée, il existe $m_0\geq \sup(e(K/k),j_0)$, pour tout $j\geq m_0$, pour tout $s\in \{1,\dots,t\}$, on a $o_s(k_{j+1}/k)=o_s(k_j/k)+1$ (et $di(k_j/k_{m_0})=t$). Par suite, $k_j/k_{j_0}$ est équiexponentielle, donc modulaire. D’où $K={\displaystyle}\bigcup_{j>m_0} k_j$ est modulaire sur $k_{j_0}$.

[\[thm27\]]{} La plus petite sous-extension $M/k$ d’une extension $q$-finie $K/k$ telle que $K/M$ est modulaire n’est pas triviale ($M\not= K$). Plus précisément, si $K/k$ est d’exposant non borné, il en est de même de $K/M$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Le cas où $K/k$ n’est pas relativement parfaite (en particulier le cas fini) est trivialement évident, puisque $K/k(K^p)$ est modulaire. Ainsi, on est amené à considérer que $K/k$ est relativement parfaite d’exposant non borné. On emploiera ensuite un raisonnement par récurrence sur $di(K/k)=t$. Si $t = 1$, ou encore si $K/k$ est $q$-simple, il est immédiat que $K/k$ est modulaire. Supposons maintenant que $t > 1$, si $Ilqm(K/k)=t+1$, en vertu du théorème [\[thm10\]]{}, $M/k$ est finie, et donc $K/M$ est d’exposant non borné. Si $Ilqm(K/k)\leq t$, pour tout $j>e(K/k)$, pour tout $s\in[1; i-1]$ où $i=Ilqm(K/k)$, on a $e^{j+1}_{s}=e^{j}_{s}+ 1$. Comme $k^{p}_{j+1}\subseteq  k_j$, d’après la proposition [\[proa1\]]{}, il existe une r-base canoniquement ordonnée $({\alpha}_1,\dots, {\alpha}_n)$ de $k_{j+1}/k$, il existe ${\varepsilon}_i,\dots,{\varepsilon}_t\in \{1,p\}$ tels que $({\alpha}_{1}^{p},\dots,{\alpha}_{i-1}^{p},{\alpha}_{i}^{{\varepsilon}_i} \dots,{\alpha}_{t}^{{\varepsilon}_t})$ est une r-base canoniquement ordonnée de $k_j/k$. Dans la suite, pour tout $j>e(K/k)$, notons $K_j = k(k_{j}^{p^{e^{j}_{i}}})$. D’une part, $K_j=k({\alpha}_{1}^{p^{e^{j}_{i}+1}},\dots,{\alpha}_{i-1}^{p^{e^{j}_{i}+1}})$ et $K_{j+1}= k({\alpha}_{1}^{p^{e^{j+1}_{i}}},\dots,{\alpha}_{i-1}^{p^{e^{j+1}_{i}}})$. D’autre part, on a $e^{j+1}_{i}=e^{j}_{i}+{\varepsilon}$, avec ${\varepsilon}=0$ ou $1$, cela conduit à $K_j\subseteq K_{j+1}$. Toutefois, par définition de $Ilqm(K/k)$, on a $1 + e^{j}_{i }> e^{j+1}_{i}$ (c’est-à-dire $e^{j}_{i} = e^{j+1}_{i}$) pour une infinité de valeurs de $j$. Pour ces valeurs, on a $di(K_{j+1}/k) = i -1$, sinon d’après le lemme [\[lem2\]]{}, $e^{j+1}_{i} = e^{j+1}_{i-1} = 1 + e^{j}_{i-1} = e^{j}_{i}$ , et donc $e^{j}_{i} > e^{j}_{i-1}$, ce qui contredit la définition des exposants. Comme $(di(K_j/k))_{j>e(K/k)}$ est une suite croissante d’entiers bornée par $di(K/k)$, donc elle stationne sur $Ilqm(K/k)-1$. De plus, $K_j \not= K_{j+1}$, en effet si $K_j =K_{j+1} =k( K^{p}_{j+1})$, comme $K_{j+1}/k$ est d’exposant borné, on aura $K_{j+1} = k$, ce qui est absurde. Posons ensuite $H ={\displaystyle}\bigcup_{j>e(K/k)} K_j$. On vérifie aussitôt que $H/k$ est d’exposant non borné et $di(H/k) = i -1$, de plus $H/k$ est relativement parfaite car $k(K^{p}_{j+1})= K_j$ pour une infinité de $j$. Par ailleurs, d’après les corollaires [\[cor8\]]{} et [\[ccor1\]]{}, $di(K/H)<t$ et $K/H$ est d’exposant non borné. Compte tenu de l’hypothèse de récurrence appliquée à $K/H$, on aura $K$ est modulaire sur une extension $M'$ de $H$ avec $K/M'$ est d’exposant non borné; comme $M \subseteq M'$, alors $K/M$ est aussi d’exposant non borné.

Une version équivalente de ce résultat se trouve dans [@Che-Fli2]. Toutefois, le théorème ci-dessus peut tomber en défaut lorsque l’hypothèse de la $q$-finitude n’est pas vérifiée comme le montre le contre-exemple ci-dessus

Soient $Q$ un corps parfait de caractéristique $p>0$, et $(X,(Y_i)_{i\in\N^*}, $ $(Z_i)_{i\in \N^*}, (S_i)_{i\in\N^*})$ une famille algébriquement indépendante sur $Q$. Soit $k=Q(X,(Y_i)_{i\in\N^*}, (Z_i)_{i\in \N^*}, (S_i)_{i\in\N^*})$ le corps des fractions rationnelles aux indéterminées $(X,(Y_i)_{i\in\N^*}, (Z_i)_{i\in \N^*}, (S_i)_{i\in\N^*})$. Posons ensuite :

**

$K_1={\displaystyle}\bigcup_{n\geq 1} k({\theta}_{1,n})$, avec ${\theta}_{1,1}={X}^{p^{-1}}$ et ${\theta}_{1,n}={{\theta}_{1,n-1}}^{p^{-1}}$ pour tout entier $n>1$.

$K_2={\displaystyle}\bigcup_{n\geq 1} K_1({\theta}_{2,n})$, où ${\theta}_{2,1}={Z_1}^{p^{-1}}{\theta}_{1,2}+{Z_2}^{p^{-1}}$, et pour tout $n>1$, ${\theta}_{2,n}={Z_1}^{p^{-1}}{\theta}_{1,2n}+{{\theta}_{2,n-1}}^{p^{-1}}$.

Par récurrence, on pose $K_j={\displaystyle}\bigcup_{n\geq 1} K_{j-1}({\theta}_{j,n})$, où ${\theta}_{j,1}={Z_{j-1}}^{p^{-1}}{\theta}_{j-1,2}$ $+{Z_j}^{p^{-1}}$, et pour tout $n>1$, ${\theta}_{j,n}={Z_{j-1}}^{p^{-1}}{\theta}_{j-1,2n}$ $+{{\theta}_{j,n-1}}^{p^{-1}}$.

Enfin, on note $K={\displaystyle}\bigcup_{j\in\N^*} K_j$, et par conventient on pose $K_0=k$, et pout tout $i\in \N$, ${\theta}_{i,0}=0$. Comme pour tout $j\in \N^*$, $K_j\subseteq K_{j+1}$, alors $K$ est un corps commutatif.

[\[thm14\]]{} Sous les conditions ci-dessus, la plus petite sous-extension $m$ telle que $K/m$ est modulaire est triviale, c’est-à-dire $mod(K/k)=K$

Pour la preuve de ce théorème, on se servira des résultats suivants :

[\[lem3\]]{} Sous les mêmes conditions ci-dessus, pour tout $(j,n)\in \N\times \N^*$, $K_j({\theta}_{j+1,n})=K_j({{\theta}_{j+1,{n+1}}}^{p})$ et ${\theta}_{j+1,1}\not\in K_j$. En particulier, $o({\theta}_{j+1,n},K_j)=n$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Il est trivialement évident que $K_j({\theta}_{j+1,n})=K_j({{\theta}_{j+1,{n+1}}}^{p})$ pour tout $(j,n)\in \N\times \N^*$. Pour le reste, il suffit de remarquer que $K_j\subseteq k({X}^{p^{-\infty}},{Z_1}^{p^{-\infty}},$ $\dots, {Z_j}^{p^{-\infty}})$ et $k({\theta}_{j+1,n},{X}^{p^{-\infty}},{Z_1}^{p^{-\infty}},$ $\dots, {Z_j}^{p^{-\infty}})= k({Z_{j+1}}^{p^{-n}}, {X}^{p^{-\infty}},{Z_1}^{p^{-\infty}},$ $\dots, {Z_j}^{p^{-\infty}})$, et donc, pour tout $n\in \N^*$, $n=o({\theta}_{j+1,n},k({X}^{p^{-\infty}},{Z_1}^{p^{-\infty}},$ $\dots, {Z_j}^{p^{-\infty}}$ $))\leq o({\theta}_{j+1,n},K_j)\leq n $.

Comme conséquence immédiate, pour tout $j\in \N^*$, $K_j/K_{j-1}$ est $q$-simple d’exposant non borné. En particulier, $di(K_j/k)=j$.

[\[lem4\]]{} Pour tout $i\in \N^*$, la famille $(Z_i,(S_j)_{j\in \N^*})$ est $r$-libre sur $K^p$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Puisque pour tout $i\geq 1$, ${S_i}^{p^{-1}}\not\in k({X}^{p^{-\infty}}, ({Z_{j}}^{p^{-\infty}})_{j\geq 1})({S_1}^{p^{-1}},\dots, $ ${S_{i-1}}^{p^{-1}})=K({Z_1}^{p^{-\infty}})({S_1}^{p^{-1}},\dots, {S_{i-1}}^{p^{-1}})$, il suffit de montrer que ${Z_i}\not\in K^p$; ou encore ${Z_i}^{p^{-1}}\not\in K$. Par construction, pour tout $j\in \{1,\dots, n\}$, on a ${\theta}_{j,1}={Z_{j-1}}^{p^{-1}}{\theta}_{j-1,2}$ $+{Z_j}^{p^{-1}}$ avec $K_n$ contient ${\theta}_{j,1}$ et ${\theta}_{j-1,2}$, et donc s’il existe $n>i$ tel que ${Z_i}^{p^{-1}}\in K_n$, par itération, on aura ${Z_{i-1}}^{p^{-1}},\dots, {Z_1}^{p^{-1}}\in K_n$ et ${Z_{i+1}}^{p^{-1}},\dots, {Z_n}^{p^{-1}}\in K_n$. Par suite, d’après le théorème [\[thm4\]]{}, $di(k(X^{p^{-1}}, {Z_1}^{p^{-1}},$ $\dots, {Z_n}^{p^{-1}})/k)\leq di(K_n/k)$, ou encore $n+1\leq n$, absurde. D’où pour tout $n\in \N^*$, ${Z_i}^{p^{-1}}\not\in K_n$, et comme $K$ est réunion de la famille croissante d’extensions $(K_n)_{n\in \N^*}$, alors ${Z_i}^{p^{-1}}\not\in K$.

[**Preuve du théorème [\[thm14\]]{}.**]{} Posons $m=mod(K/k)$. En utilisant un raisonnement par récurrence on va montrer que $K_i\subseteq  m$ pour tout $i\in {\N}$, et par suite obtenir $K=m$. Il est immédiat que $K_0=k\subseteq m$, donc le résultat est vérifié pour le rang $0$. Soit $i\in \N^*$, supposons par application de l’hypothèse de récurrrence que $K_i\subseteq m$. S’il existe un entier naturel $s$ tel que ${\theta}_{{i+1},s}\not \in m$, désignons par $n$ le plus grant entier tel que ${\theta}_{{i+1},n}\in m$. D’où pour tout $t\in \{0, \dots, n\}$, ${\theta}_{{i+1},t}\in m$ et ${\theta}_{{i+1},n+1}\not\in m$, en outre ${\theta}_{{i+1},2n}^{p^n}\in m$, et ${{\theta}_{{i+1},2(n+1)}}^{p^{n+1}}\not\in m$. Il en résulte que le système $({{\theta}_{{i+1},2(n+1)}}^{p^{n+1}},1)$ est libre sur $m$, en particulier, il en est de même sur $m\cap K^{p^{n+1}}$. Complétons ce système en une base $B$ de $K^{p^{n+1}}$ sur $m\cap K^{p^{n+1}}$. Comme $K^{p^{n+1}}$ et $m$ sont $m\cap K^{p^{n+1}}$-linéairement disjointes ($K/m$ est modulaire), $B$ est aussi une base de $m(K^{p^{n+1}})$ sur $m$. Or, par construction, ${\theta}_{{i+2},n+1}={Z_{i+1}}^{p^{-1}}{\theta}_{{i+1},2(n+1)}+{{\theta}_{{i+2},n}}^{p^{-1}}$, ou encore ${{\theta}_{{i+2},n+1}}^{p^{n+1}}={Z_{i+1}}^{p^n}{{\theta}_{{i+1},2(n+1)}}^{p^{n+1}}+{{\theta}_{{i+2},n}}^{p^n}$, avec ${{\theta}_{{i+2},n}}^{p^n}={Z_{i+1}}^{p^{n-1}}{{\theta}_{i+1,2n}}^{p^n}+\cdots + Z_{i+1}{{\theta}_{i+1,2}}^{p}+Z_{i+2}\in m$. Par identification, ${Z_{i+1}}^{p^n}\in m\cap K^{p^{n+1}}\subseteq K^{p^{n+1}}$, et donc ${Z_{i+1}}^{p^{-1}}\in K$, absurde. D’où pour tout $n\in \N^*$, ${\theta}_{{i+1},n}\in m$, ou encore $K_{i+1}\subseteq m$. D’où $m=K$.

Extensions $lq$-finies
======================

Dans ce qui suit nous proposons un cadre rénové qui généralise naturellement le cas $q$-fini.

Soit $K/k$ une extension purement inséparable de caractéristique $p>0$. On dit que $K/k$ est $lq$-finie, si pour tout $n\in \N^*$, $k^{p^{-n}}\cap K/k$ est finie.

Il est trivialement évident que :

**

La $q$-finitude entraine la $lq$-finitude.

La $lq$-finitude est stable par inclusion. Plus précisément, toute sous-extension d’une extension $lq$-finie est $lq$-finie.

Voici également un exemple non trivial d’extension $lq$-finie de degré d’irrationalité infini.

Exemple non trivial d’extension $lq$-finie
------------------------------------------

[\[exe1\]]{} Soient $Q$ un corps parfait de caractéristique $p>0$, et $(X, (Y_i,$ $Z_i)_{i\in \N^*})$ une famille algébriquement indépendante sur $Q$, et $k=Q(X, (Y_i,Z_i)_{i\in \N^{*}})$ le corps des fractions rationnelles aux indéterminés $(X,(Y_i,Z_i)_{i\N^*})$. Pour tout entier $n\geq 2$, pour tout $j=1,\dots n-1$, on pose ${\alpha}_{j}^{n}={Z_j}^{p^{-n+j}}X^{p^{-n}}+{Y_j}^{p^{-n+j}}$ et $K_n=k(X^{p^{-n}}, {\alpha}_{1}^{n},\dots, {\alpha}_{n-1}^{n})$. Puisque $K_n\subseteq K_{n+1}$ et $K_n/k$ est purement inséparable, alors $K={\displaystyle}\bigcup_{n\geq 2}K_n$ est un corps purement inséparable sur $k$. Par convention, on identifie $K_0$ à $k$ et $K_1$ à $k(X^{p^{-\infty}})$.

On vérifie immédiatement que pour tous entier $n\geq 2$, pour tout $j=1,\dots n-1$, ${({{\alpha}_{j}^{n+1}})}^p= {({\alpha}_{j}^{n})}$. En outre, pour tout $n\geq 2$, $k(K_{n+1}^p)=K_n$, et par suite $K/k$ est relativement parfaite.

[\[thm15\]]{} L’extension $K/k$ ci-dessus est $lq$-finie de degré d’irrationalité infini.

Pour la démonstration, nous aurons besoin des résultats suivants. De plus, tout le long de cette section, pour tout entier $t\leq s$, $\zeta_{s}^{t}$ désigne l’ensemble $\{1,\dots, s\}\setminus \{t\}$. Il est clair que pour tout entier $s\geq 2$, pour tout $i\in \{1,\dots,s-1\}$, ${\alpha}_{i}^s\in k(X^{p^{-s}}, {Z_i}^{p^{-s}},{Y_i}^{p^{-s}})$ ; et par suite, $K_s\subseteq k(X^{p^{-s}},({Y_j}^{p^{-s}}, {Z_j}^{p^{-s}})_{j\in {\zeta}_{s-1}^{i}}, {\alpha}_{i}^s)$.

[\[lem5\]]{} Pour tout $j\geq 1$, $Z_j$ est $p$-indépendant sur $K^p$, ou encore ${Z_j}^{p^{-1}}\not\in K$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Supposons que ${Z_j} ^{p^{-1}}\in K={\displaystyle}\bigcup_{n\geq 2}K_n$, donc il existe $s> j$ tel que ${Z_{j}}^{p^{-1}}\in K_{s}$. Comme ${Y_j}^{p^{-1}}={({\alpha}_{j}^{s})}^{p^{s-j-1}}-{Z_j} ^{p^{-1}}X^{p^{-j-1}}$, alors ${Y_j} ^{p^{-1}}\in K_s\subseteq k(X^{p^{-s}},({Y_i}^{p^{-s}}, {Z_i}^{p^{-s}})_{i\in {\zeta}_{s-1}^{j}}, {\alpha}_{j}^s)$. En outre, $k(X^{p^{-1}},{Y_1}^{p^{-1}},\dots,$ ${Y_{s-1}}^{p^{-1}}, $ $ {Z_1}^{p^{-1}},$ $\dots,{Z_{s-1}}^{p^{-1}})\subseteq k(X^{p^{-s}},({Y_i}^{p^{-s}}, {Z_i}^{p^{-s}})_{i\in {\zeta}_{s-1}^{j}}, {\alpha}_{j}^s)$. Puisque $(X,(Y_i, Z_i)_{i\geq 1})$ est algébriquement indépendante sur $Q$, on aura $2(s-1)+1=di(k(X^{p^{-1}}, {Y_1}^{p^{-1}},\dots,$ ${Y_{s-1}}^{p^{-1}},{Z_1}^{p^{-1}},\dots,{Z_{s-1}}^{p^{-1}})/k)\leq di(k(X^{p^{-s}},$ $({Y_i}^{p^{-s}},{Z_i}^{p^{-s}})_{i\in {\zeta}_{s-1}^{j}}, {\alpha}_{j}^{s})/k)$ $\leq 2($ $s-2)+2$. Il en résulte que $1\leq 0$, c’est une contradiction, et par suite ${Z_j} ^{p^{-1}}\not \in K$.

[\[lem6\]]{} Pour tout $n\geq 2$, la famille $\{X^{p^{-n-1}},{\alpha}_{1}^{n+1},\dots, {\alpha}_{n}^{n+1}\}$ est une $r$-base de $K_{n+1}/K_n$

[[ **Preuve.** ]{}]{}Il est aussitôt que $K_n(X^{p^{-n-1}}, {\alpha}_{1}^{n+1},\dots,{\alpha}_{n}^{n+1})=K_{n+1}$, et $X^{p^{-n-1}}\not\in K_n$ puisque $n+1=o(X^{p^{-n-1}},k)> n=o_1(K_n/k)$. S’il existe $i\in\{1,\dots, n\}$ tel que ${\alpha}_{i}^{n+1}\in K_n(X^{p^{-n-1}},{\alpha}_{1}^{n+1},\dots, {\alpha}_{i-1}^{n+1},$ ${\alpha}_{i+1}^{n+1},\dots, {\alpha}_{n}^{n+1})$, comme $k({K_{n+1}}^{p})=K_n$ et $K_{n+1}/k$ est d’exposant fini, on en déduit que $k(X^{p^{-n-1}}, {\alpha}_{1}^{n+1},$ $\dots,{\alpha}_{i-1}^{n+1},$ ${\alpha}_{i+1}^{n+1},$ $
\dots,{\alpha}_{n}^{n+1})=K_{n+1}$. Notamment, ${\alpha}_{i}^{n+1}\in k(X^{p^{-n-1}}, {\alpha}_{1}^{n+1},\dots,{\alpha}_{i-1}^{n+1},$ ${\alpha}_{i+1}^{n+1},$ $\dots,{\alpha}_{n}^{n+1})\subseteq
k({X}^{p^{-n-1}}, ({Z_{j}}^{p^{-n-1}}, {Y_{j}}^{p^{-n-1}})_{j\in {\zeta}_{n}^{i}})$, et donc ${Z_i}^{p^{-1}}$ appartient à $k({X}^{p^{-n-1}}, $ $({Z_{j}}^{p^{-n-1}},$ $ {Y_{j}}^{p^{-n-1}}$ $)_{j\in {\zeta}_{n}^{i}}, {Y_i}{^{p^{-1}}})$. Comme la famille $(X,Y_i,Z_i)_{i\N^*}$ est algébriquement indépendante sur $Q$, on obtiendra $2n+1=di(k(X^{p^{-1}}, $ ${Y_1}^{p^{-1}},\dots,{Y_n}^{p^{-1}},{Z_1}^{p^{-1}},$ $\dots,{Z_n}^{p^{-1}})/k)\leq di(k({X}^{p^{-n-1}}, ({Z_{j}}^{p^{-n-1}}, $ ${Y_{j}}^{p^{-1}}$ $)_{j\in {\zeta}_{n}^{i}}, $ ${Y_i}{^{p^{-n-1}}}$ $)/k)=2(n-1)+2$, donc $1\leq 0$, c’est une contradiction. D’où $\{X^{p^{-n-1}},{\alpha}_{1}^{n+1},\dots, {\alpha}_{n}^{n+1}\}$ est une $r$-base de $K_{n+1}/K_n$.

D’après la proposition ci-dessus, pour tout $j>2$, $\{X^{p^{-j-1}}, {\alpha}_{1}^{j+1},\dots,{\alpha}_{j}^{j+1}\}$ et $\{X^{p^{-j}}, {({\alpha}_{1}^{j+1})}^p,\dots,$ ${({\alpha}_{j-1}^{j+1})}^p\}$ sont deux $r$-bases respectivement de $K_{j+1}/K_j$ et $K_{j}/K_{j-1}$. Comme $K_j= k({K_{j+1}}^p)$ et $K_{j-1}= k({K_{j}}^p)$, d’après le lemme [\[lem2\]]{}, pour tout $j>2$, pour tout $i\in \{1,\dots, j-1\}$, on a $o({\alpha}_{i}^{j+1}, K_{j-1}(X^{p^{-j-1}},$ ${\alpha}_{1}^{j+1},\dots,{\alpha}_{i-1}^{j+1}, {\alpha}_{i}^{j+1},\dots, {\alpha}_{j-1}^{j+1}))=o_1(K_{j+1}/K_{j-1})=2$. En particulier, $K_{j-1}($ $X^{p^{-j-1}},$ $ {\alpha}_{1}^{j+1},\dots,{\alpha}_{j-1}^{j+1})\simeq K_{j-1}(X^{p^{-j-1}})\otimes_{K_{j-1}} K_{j-1}({\alpha}_{1}^{j+1})\otimes_{K_{j-1}} \dots \otimes_{K_{j-1}} K_{j-1}({\alpha}_{i-1}^{j+1})$.

[\[lem7\]]{} Pour tout $m\in\N$, pour tout $n\in \N$, on a $k^{p^{-n}}\cap K_m=K_n$ si $m\geq n$, et $k^{p^{-n}}\cap K_m=K_m$ si $m\leq n$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Le lemme est vérifié pour $n=0$. Soit $n\geq 1$, supposons que le résultat est satisfait pour tout entier naturel $i\leq n-1$. Puisque $o_1(K_m/k)=m$, il est immédiat que $k^{p^{-n}}\cap K_m=K_m$ si $m\leq n$. On est amené au cas où $n<m$. Compte tenu de l’hypothèse du récurrence, on a $k^{p^{-n+1}}\cap K_m=K_{n-1}$, donc $k^{p^{-n}}\cap K_m={K_{n-1}}^{p^{-1}}\cap K_m$. Comme $o_1(K_n/K_{n-1})=1$ et $K_n\subseteq K_m$, ($n<m$), on a $K_n\subseteq {K_{n-1}}^{p^{-1}}
\cap K_m$. Si ${K_{n-1}}^{p^{-1}}\cap K_m\not=K_n$, ou encore s’il existe ${\theta}\in {K_{n-1}}^{p^{-1}}\cap K_m $ tel que ${\theta}\not\in K_n$, soit $j$ le plus grand entier tel que ${\theta}\not\in K_j$, donc ${\theta}\in K_{j+1}$. En particulier $n\leq j<m$, et $o({\theta}, K_{j-1})=1$, (car ${{\theta}}^p\in K_{n-1}\subseteq K_{j-1}$). Pour alléger l’écriture, on pose provisoirement ${\alpha}_1=X^{p^{-j-1}}$, et pour tout $i=2,\dots, j+1$, ${\alpha}_i= {\alpha}_{i-1}^{j+1}$. On va montrer ensuite que $\{{\theta}, {\alpha}_{1},\dots,{\alpha}_{j}\}$ est une $r$-base de $K_{j+1} /K_j$. Par hypothèse, ${\theta}\not\in K_j$ et, pour tout $i\in \{1,\dots,j\}$, on a ${\alpha}_{i}\not\in K_j({\theta}, {\alpha}_{1},\dots,{\alpha}_{i-1})$ ; sinon on aura $1<o({\alpha}_{i} ,K_{j-1}({\alpha}_{1},\dots,{\alpha}_{i-1}))\leq  o_1(K_j({\alpha}_{1},
\dots,{\alpha}_{i-1},{\theta})/K_{j-1}({\alpha}_{1},\dots,{\alpha}_{i-1}))\leq o(K_j({\theta})/K_{j-1})=1 $, ($o({\theta}, K_{j-1})=1$ et $o_1(K_j/K_{j-1})=1$), c’est une contradiction. D’où $\{{\theta},{\alpha}_{1},\dots,{\alpha}_{j}\}$ est $r$-libre sur $K_j$. Comme $di(K_{j+1}/K_j)=j+1$ et $k({K_{j+1}}^p)=K_j$, alors $\{{\theta},{\alpha}_{1},\dots,{\alpha}_{j}\}$ est une $r$-base de $K_{j+1}/K_j$. D’autre part, on a $o({\theta},K_{j-1})=1$ et $K_{j-1}({\alpha}_{1},\dots,{\alpha}_{j})/K_{j-1}$ est équiexponentielle d’exposant $2$, ce qui entraine $K_{j+1}\simeq K_{j-1}({\alpha}_{1},\dots,{\alpha}_{j})\otimes_{K_{j-1}} K_{j-1}({\theta})\simeq K_{j-1}({\alpha}_{1})\otimes_{K_{j-1}} \dots \otimes_{K_{j-1}} K_{j-1}({\alpha}_{j})\otimes_{K_{j-1}} K_{j-1}({\theta})$. D’où, $K_{j+1}/K_{j-1}$ est modulaire. Toutefois, l’équation de définition de ${\alpha}_{j+1}$ sur $K_{j-1}({\alpha}_1, {\alpha}_{2},\dots,{\alpha}_{j})$ s’écrit : ${{\alpha}_{j+1}}^p=Z_{j}X^{p^{-j}}+Y_{j}=Z_{j}{{\alpha}_1}^p+Y_{j}$, d’après le critère de modularité, on obtient $Z_{j}, Y_{j}\in {K_{j+1}}^p\cap K_{j-1}\subseteq {K_{j+1}}^p$. On en déduit que ${Z_{j}}^{p^{-1}}, {Y_{j}}^{p^{-1}}\in {K_{j+1}}$. C’est une contradiction avec le lemme [\[lem5\]]{}. D’où $k^{p^{-n}}\cap K_m=K_n$.

[**Preuve du théorème [\[thm15\]]{}.**]{} Pour tout $n\geq 1$, on $K_n\subseteq K_{n+1}$ et $K={\displaystyle}\bigcup_{m\geq1} K_m$, donc en vertu du lemme [\[lem7\]]{}, $k^{p^{-n}}\cap K={\displaystyle}\bigcup_{m\geq1}k^{p^{-n}}\cap K_m=K_n$. Comme pour tout $n\geq 1$, on a $K_n/k$ est finie, on en déduit que $K /k$ est $lq$-finie non triviale (qui n’est pas $q$-finie).

L’exemple ci-dessus est aussi bon pour affirmer que la $lq$-finitude n’est pas respecté si on change le corps de base dans le sens ascendant. En effet, si on pose $L=k(X^{p^{-\infty}})$, on vérifie immédiatement que :

**

$k(({{\alpha}_{s-1}}^s)_{s>1})\subseteq L^{p^{-1}}\cap K$.

La famille $({\alpha}_{s-1}^s)_{s>1}$ est $r$-libre sur $k$.

D’où, $L^{p^{-1}}\cap K /k$ n’est pas finie, et par suite $K/L$ n’est pas $lq$-finie. En particulier, il est fort probable que $K/k$ et $L/k$ sont $lq$-finies, mais $L(K)/L$ ne l’est pas.

D’une façon plus générale, et contrairement à la $q$-finitude, la $lq$-finitude n’est pas transitive comme le montre l’exemple ci-dessous. Il est à noter que cet exemple modifie légèrement les conditions de l’exemple [\[exe1\]]{}.

[\[exe2\]]{} Soient $Q$ un corps parfait de caractéristique $p>0$, et $(X,(Z_i)_{i\in {\N}^{*}})$ une famille algébriquement libre sur $Q$, et $k= Q(X,(Z_i)_{i\in\N^*})$ le corps des fractions rationnelles aux indéterminées $(X,(Z_i)_{i\in {\N}^{*}})$. Dans cette partie, on se servira des notations suivantes :

**

$K_1 = k({\theta}_{1,1})$, avec ${\theta}_{1,1}=X^{p^{-1}}$.

$K_2=k({\theta}_{2,1},{\theta}_{2,2})$, avec ${\theta}_{2,1}={({\theta}_{1,1})}^{p^{-1}}=X^{p^{-2}}$ et ${\theta}_{2,2}={Z_1}^{p^{-1}} {\theta}_{2,1}+{Z_2}^{p^{-1}}={Z_1}^{p^{-1}} X^{p^{-2}}+{Z_2}^{p^{-1}}$.

$K_3=k({\theta}_{3,1},{\theta}_{3,2},{\theta}_{3,3})$, avec ${\theta}_{3,1}={({\theta}_{2,1})}^{p^{-1}}$, $ {\theta}_{3,2}={({\theta}_{2,2})}^{p^{-1}}$, et ${\theta}_{3,3}={Z_2}^{p^{-1}}{\theta}_{3,2}+{Z_3}^{p^{-1}}$

Par récurrence, on pose $K_n=k({\theta}_{n,1},\dots,{\theta}_{n,n})$, où ${\theta}_{n,i}={({\theta}_{n-1,i})}^{p^{-1}}$ pour tout $i=1,\dots, n-1$, et ${\theta}_{n,n}={Z_{n-1}}^{p^{-1}}{\theta}_{n,n-1}+{Z_n}^{p^{-1}}$.

Posons $K={\displaystyle}\bigcup_{n\geq 1}K_n$ et $L=K({Z_1}^{p^{-\infty}})$.

On vérifie aussitôt que :

**

Pour tout $n\geq 1$, $k({K_{n+1}}^p)=K_n$. En particulier, $K/k$ est relativement parfaite.

$L\simeq k(X^{p^{-\infty}})\otimes_k (\otimes_k (k({Z_i}^{p^{-\infty}}))_{i\geq 1})$

Pour tout $n\geq 1$, pour tout $i=1,\dots, n$, $Z_i$ est $p$-indépendant sur ${K_n}^p$, ou encore ${Z_i}^{p^{-1}}\not\in K_n$. En outre, ${Z_{i}}^{p^{-1}}\not\in K$.

Pour tout $n\geq 1$, $({\theta}_{n,1},\dots,{\theta}_{n,n})$ est une $r$-base de $K_n/k$ (on utilise le même raisonnement que l’exemple ci-dessus).

[\[thm16\]]{} $K /k$ et $L/K$ sont $lq$-finies, mais $L/k$ ne l’est pas.

Comme dans l’exemple précédent, on emploiera le lemme technique suivant:

[\[lem8\]]{} Pour tous $n, m \in \N^*$, $k^{p^{-n}}\cap K_m=K_m$ si $n\geq m$, et $k^{p^{-n}}\cap K_m=K_n$ si $n\leq m$. En particulier, $K/k$ est $lq$-finie.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Démonstration analogue à celle du lemme [\[lem7\]]{}.

[**Preuve du théorème [\[thm16\]]{}**]{} D’une part, on a $K/k$ et $L/K$ sont $lq$-finies. D’autre part, pour tout $n\geq 1$, on a $k^{p^{-n}}\cap L\simeq k(X^{p^{-n}})\otimes_k(\otimes_k (k({Z_i}^{p^{-n}}))_{i\geq 1})$, et donc $L /k$ n’est pas $lq$-finie.

Egalement, cet exemple peut servir pour montrer que le produit ne respecte pas la $lq$-finitude. Pour cela, on pose $L_1=k({Z_1}^{p^{-1}})$ et $L_2=k(({Z_i}^{p^{-1}})_{i\geq 2})$. Par construction, pour tous entier $n\geq 2$, ${\theta}_{n,n}={Z_{n-1}}^{p^{-1}}{\theta}_{n,n-1}$ $+{Z_n}^{p^{-1}}$, et pour tout entier non nul $i$, on montre par récurence que ${Z_i}^{p^{-1}}\in L_1(K)$, ou encore $L_2\subseteq L_1(K)$. Comme $di(L_2/k)$ est infinie, alors $L_1(K)/k$ n’est pas $lq$-finie même si $K/k$ et $L_1/k$ sont $lq$-finies.

[\[pr31\]]{} Soient $K/k$ une extension purement inséparable d’exposant non borné, et $H$ l’ensemble des sous-extensions d’exposant non borné de $K/k$. Si $K/k$ est $lq$-finie, alors $H$ est inductif pour la relation d’ordre définie par $K_1\leq K_2$ si et seulement si $K_2\subseteq K_1$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}$H\not=\emptyset$, puisque $K\in H$. Soit $(K_n/k)_{n\in I}$ une famille totalement ordonnée de sous-extensions d’exposant non borné de $K/k$, donc pour tout $j\in {\N}^*$, la famille ${(k^{p^{-j}}\cap K_n)}_{n\in I}$ est aussi totalement ordonnée. Comme $K/k$ est $lq$-finie, donc la famille $([ k^{p^{-j}}\cap K_n :k])_{n\in I}$ des entiers naturels est totalement ordonnée ; et par suite elle admet un plus petit élément que l’on note $[ k^{p^{-j}}\cap K_{n_j} :k]$. Soit $I_1=\{s\in I|\, K_s\subseteq  K_{n_j}\}$ et $I_2=\{s\in I|\, K_{n_j}\subseteq K_s\}$, donc pour tout $m\in I_1$, $[k^{p^{-j}}\cap K_m :k]\leq [k^{p^{-j}}
\cap K_{n_j}:k]$. Compte tenu de la propriété caractéristique du plus petit élément, on en déduit que $
[k^{p^{-j}}\cap K_m :k]=[k^{p^{-j}}\cap K_{n_j}:k]$, et par suite pour tout $m\in I_1$, on a $k^{p^{-j}}\cap K_m=k^{p^{-j}}\cap K_{n_j}$. D’où, $k^{p^{-j}}\cap  ({\displaystyle}\bigcap_{m\in I_1}
K_m)= {\displaystyle}\bigcap_{m\in I_1} k^{p^{-j}}\cap K_m=k^{p^{-j}}\cap K_{n_j}$. Si on pose $L={\displaystyle}\bigcap_{i\in I} K_i$, il est clair que $L={\displaystyle}\bigcap_{m\in I_1} K_m$. Comme $K/k$ est d’exposant non borné et $k^{p^{-j}}
\cap K_{n_j}\subseteq K_m$ pour tout $m\in I_1$, donc $o_1(k^{p^{-j}}
\cap L/k)=o_1(k^{p^{-j}}\cap K_{n_j}/k)=j$. D’où, $L/k$ est d’exposant non borné, et pour tout $n\geq 1$, $K_n\leq L$. Il en résulte que $H$ est inductif.

Comme conséquence immédiate, on a :

[\[cor12\]]{}Toute extension $lq$-finie d’exposant non borné admet une sous-extension minimale $M/k$ d’exposant non borné. En outre, $M/k$ est relativement parfaite.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Immédiat.

La condition de $lq$-finitude est nécessaire pour que $H$ soit inductif, comme le montre l’exemple suivant :

[\[exe3\]]{}Soient $Q$ un corps parfait de caractéristique $p>0$, et $k=Q((X_i)_{i\in {\N}^*})$ le corps des fractions rationnelles aux indéterminées $(X_i)_{i\in {\N}^*}$. Pour tout $n\geq 1$, notons $K_n=k(((X_i)^{p^{-i}})_{i\geq n})$.

On vérifie aussitôt que la famille $(K_n)_{n\in \N^*}$ de sous-extensions d’exposant non borné de $K_1/k$ est totalement ordonnée. Comme $((X_i)^{p^{-i}})_{i\in {\N}^*}$ est une $r$-base modulaire de $K_1=k(((X_i)^{p^{-i}})_{i\in {\N}^*})$ sur $k$, alors ${\displaystyle}\bigcap_{n\geq 1} K_n$ se réduit à $k$, et donc $H$ n’est pas inductif.

Une autre conséquence de la proposition [\[pr31\]]{} est le résulatt suivant :

[\[pr32\]]{} La clôture relativement parfaite $K_r$ d’une extension $lq$-finie d’exposant non borné $K/k$ est non trivial. Plus précisément, $K_r/k$ est d’exposant non borné si $K /k$ l’est.

[[ **Preuve.** ]{}]{}D’après la proposition [\[pr31\]]{}, l’ensemble des sous-extensions d’exposant non borné de $K/k$ admet une sous-extension $m/k$ minimale. Nécessairement, $m/k$ est relativement parfaite, sinon $k(m^p) /k$ serait meilleure que $m$, contradiction ; et donc $K_r/k$ est d’exposant non borné ($m\subseteq K_r$).

Lorsque $K/k$ est $q$-finie, on peut situer $rp(K/k)$ par rapport à $K$, en particulier, on a $K/rp(K/k)$ est finie. Cependant, dans le cas de la $lq$-finitude l’emplacement de la clôture relativement parfaite varie d’une extension à l’autre.

A cet égard, chacun des exemples [\[exe1\]]{} et [\[exe2\]]{} ci-dessus présente une extension $K/k$ $lq$-finie et relativement parfaite (et donc $K/rp(K/k)$ est d’exposant fini). Toutefois, voici un exemple où $K/rp(K/k)$ est d’exposant infini.

[\[exe4\]]{} Soient $Q$ un corps parfait de caractéristique $p>0$, et $k=Q(X, (Y_i, $ $Z_i)_{i\in {\N}^*})$ le corps des fractions rationnelles aux indéterminées $(X, (Y_i,$ $ Z_i)_{i\in {\N}^*})$. Pour tout $n\geq 1$, on pose ${\theta}_n= {{Y_n}}^{p^{-1}}X^{p^{-n-1}}+{Z_n}^{p^{-1}}$. Egalement, on note $K=k(X^{p^{-\infty}}, ({\theta}_i)_{i\in{\N}^*})$, et pour tout $n\in \N$, $k_n=k^{p^{-n}}\cap K $. Par convention, ${\theta}_0$ désigne $X^{p^{-1}}$.

[\[pr33\]]{} Sous les conditions ci-dessus, on a $k_1=k({\theta}_0)=k(X^{p^{-1}})$, et pour tout $n\geq 2$, $k_n=k(X^{p^{-n}}, {\theta}_1,\dots, {\theta}_{n-1})$. En particulier, $K/k$ est $lq$-finie.

Pour regrouper les deux conditions, la proposition ci-dessus peut s’énoncée comme suit : pour tout $n\geq 1$, $k_n=k(X^{p^{-n}},{\theta}_0,\dots, {\theta}_{n-1})$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}La démonstration se fait par récurrence, et utilise (plus particulièrement au rang $1$) les mêmes techniques de raisonnement en passant d’un niveau à l’autre. Pour cela, on suppose que l’on a $k_n=k(X^{p^{-n}}, {\theta}_0,\dots, {\theta}_{n-1})$ avec $n\geq 1$. Il est clair que $k_{n+1}={k_n}^{p^{ -1}}\cap K$ et $k_n(X^{p^{-n-1}},{\theta}_n)\subseteq k_{n+1}$. Toutefois, s’il existe ${\alpha}\in k_{n+1}$ tel que ${\alpha}\not\in k_n(X^{p^{-n-1}},{\theta}_n)$ ; alors ${\alpha}\not \in k_n(X^{p^{-\infty}},{\theta}_n)$. Sinon, comme $k_n({\theta}_n)(X^{p^{-\infty}})/k_n({\theta}_n)$ est $q$-simple et $o({\alpha}, k_n({\theta}_n))=o({X}^{p^{-n-1}},$ $ k_n({\theta}_n))=1$, alors nécessairement $k_n({\theta}_n,{\alpha})=k_n({\theta}_n,$ $X^{p^{-n-1}})$, c’est une contradiction. Soit $i$ le plus grand entier tel que ${\alpha}\not\in k_n(X^{p^{-\infty}},$ $ {\theta}_n, \dots, {\theta}_i)$. Pour alléger l’écriture, on pose $L=k(X^{p^{-\infty}}, {\theta}_1,\dots,{\theta}_{i+1})=k_n(X^{p^{-\infty}}, $ ${\theta}_n,\dots,{\theta}_{i+1})$, donc ${\alpha}\in L$ et $o({\alpha}, k_n(X^{p^{-\infty}}, {\theta}_n,\dots,{\theta}_{i}))=o({\theta}_{i+1}, k_n(X^{p^{-\infty}},$ $ {\theta}_n,\dots,{\theta}_{i}))=1$. Il en résulte que $L= k_n(X^{p^{-\infty}}, {\theta}_n,\dots,{\theta}_{i})\otimes_{k_n} k_{n}({\alpha})$. Or, par construction, pour tout $j\geq 1$, ${\theta}_j={Y_j}^{p^{-1}}X^{p^{-j-1}}+{Z_j}^{p^{-1}}$, et donc $k({\theta}_j)\subseteq k({Y_j}^{p^{-1}},X^{p^{-j-1}},{Z_j}^{p^{-1}})\subseteq k({Y_j}^{p^{-1}},X^{p^{-\infty}},$ ${Z_j}^{p^{-1}})$. Notons $L_1=L(({Y_{j}}^{p^{-1}}, {Z_j}^{p^{-1}}$ $)_{n+1\leq j\leq i})$. Si ${\theta}_{i+1}\in L_1$, comme ${\theta}_{i+1}={Y_{i+1}}^{p^{-1}}X^{p^{-i-2}}+{Z_{i+1}}^{p^{-1}}$, alors $L_1($ ${Y_{i+1}}^{p^{-1}}$ $)=L_1({Z_{i+1}}^{p^{-1}})$, et donc ${Z_{i+1}}^{p^{-1}}\in k(X^{p^{-\infty}}, ({Y_j}^{p^{-1}},$ ${Z_j}^{p^{-1}}$ $)_{1\leq j\leq i},$ ${Y_{i+1}}^{p^{-1}})$, c’est une contradiction avec le fait que $(X, (Y_i, Z_i)_{i\in {\N}^*})$ sont alébriquement indépendent sur $Q$ et $k=Q((X, (Y_i, Z_i)_{i\in {\N}^*}))$. D’où, $$\begin{aligned}
L_1 &=&k_n(X^{p^{-\infty}}, ({Y_{j}}^{p^{-1}}, {Z_j}^{p^{-1}})_{n+1\leq j\leq i}, {\theta}_{i+1}))\\
& =& k_n(X^{p^{-\infty}}, ({Y_{j}}^{p^{-1}}, {Z_j}^{p^{-1}})_{n+1\leq j\leq i}, {\alpha}) \\
&\simeq& k_n(X^{p^{-\infty}})\otimes_{k_n} (( k_n({Y_{j}}^{p^{-1}})\otimes_{k_n} k_n ( {Z_j}^{p^{-1}}))_{n+1\leq j\leq i})) \otimes_{k_n} k_n({\alpha}).\end{aligned}$$ On en déduit que $L_1 /k_n$ est modulaire. En outre, ${L_1}^p$ et $k_n$ sont $k_n\cap {L_1}^p$-linéairement disjointes. Comme $X^{p^{-i-1}}\not\in k_n$ ($n\leq i$), alors $(1,X^{p^{-i-1}})$ est $k_n$-libre, en particulier $k_n\cap {L_1}^{p}$-libre. Complétons ce système en une base $B$ de ${L_1}^p$ sur $k_n\cap {L_1}^p$, en vertu de la linéarité disjointe $B$ est aussi une base de $k_n({L_1}^p)$ sur $k_n$. Or, l’équation de définition de ${\theta}_{i+1}$ par rapport à $L_1$ s’écrit : ${{\theta}_{i+1}}^p=Y_{i+1}X^{p^ {-i-1}}+Z_{i+1}$, par identification on aura $Y_{i+1}, Z_{i+1}\in k_n\cap {L_1}^p$. En particulier, ${Y_{i+1}}^{p^{-1}}, {Z_{i+1}}^{p^{-1}}\in L_1$, et donc $k(X^{p^{-\infty}}, {({Y_j}^{p^{-1}},{Z_j}^{p^{-1}})}_{1\leq j\leq i+1})\subseteq L({({Y_j}^{p^{-1}},{Z_j}^{p^{-1}})}_{1\leq j\leq i}),{\theta}_{i+1})= k(X^{p^{-\infty}}, {({Y_j}^{p^{-1}},{Z_j}^{p^{-1}})}_{1\leq j\leq i}),{\theta}_{i+1})$. Il en résulte que $2(i+1)+1=di(k(X^{p^{-\infty}}, $ $({Y_j}^{p^{-1}},{Z_j}^{p^{-1}}$ $)_{1\leq j\leq i+1})/k)\leq di(k(X^{p^{-\infty}}, ($ ${Y_j}^{p^{-1}},$ ${Z_j}^{p^{-1}}$ $)_{1\leq j\leq i},{\theta}_{i+1})/k)\leq 2(i+1)$ ; d’où $1\leq 0$, c’est une contradiction. Par suite, $k_{n+1}=k(X^{p^{-n-1}},{\theta}_1,$ $\dots, {\theta}_n)$.

[\[pr34\]]{}Sous les hypothèses ci-dessus, $rp(K/k)=k(X^{p^{-\infty}})$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Il suffit de remarquer que $({\theta}_i)_{i\geq 1}$ est une $r$-base modulaire de $K/k($ $X^{p^{-\infty}}$ $)$, et donc $k(X^{p^{-\infty}})\subseteq rp(K/k)\subseteq {\displaystyle}\bigcup_{i\in \N} k(K^{p^i})={\displaystyle}\bigcup_{i\in \N} k(X^{p^{-\infty}})(K^{p^i})=k(X^{p^{-\infty}})$. D’où $rp(K/k)=k(X^{p^{-\infty}})$ et $K/k(X^{p^{-\infty}})$ est d’exposant non borné.

Non seulement $K/rp(K/k)$ est d’exposant non borné, mais $K/rp(K/k)$ n’est pas $lq$-finie.

[\[pr35\]]{} Toute extension $lq$-finie et modulaire est $q$-finie.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Il suffit de remarquer que si $K/k$ est modulaire, on a $di(k^{p^{-n}}\cap K/k)=di(k^{p^{-1}}\cap K/k)<+\infty$ pour tout $n\geq 1$.

Extensions absolument $lq$-finies
=================================

Soit $K/k$ une extension purement inséparable. Si $K/k$ est $q$-finie, alors pour toute sous-extension $L/k$ de $K/k$, $K/L$ est aussi $q$-finie. Toutefois, d’après l’exemple [\[exe4\]]{}; cette proposition est généralement fausse dans le cas de la $lq$-finitude. Cela nous amène à étdier de pès la stabilité au sens absolue de la $lq$-finitude au sein des extensions $lq$-finie. L’étude de cette propriété fait l’objet de cette section.

[\[pr36\]]{}Soit $K/k$ une extension purement inséparable. Les assertions suivantes sont équivalentes :

**

Pour toute sous-extension $L/k$ de $K/k$, $K/L$ est $lq$-finie.

Toute sous-extension $L/k$ de $K/k$ satisfait $L/k(L^p)$ est finie.

Pour toute sous-extension $L/k$ de $K/k$, on a $L/rp(L/k)$ est finie.

[[ **Preuve.** ]{}]{}$1\Rightarrow 2\Leftrightarrow 3 $ est immédiate, il suffit de remarquer que $L\subseteq {(k(L^p))}^{p^{-1}}\cap K$ et $K/k(L^p)$ est $lq$-finie pour toute sous-extension $L/k$ de $K/k$, et d’appliquer la proposition [\[arp1\]]{}. Egalement, si l’item $2$ est vérifié, donc pour tout $n\in \N^*$, on aura $L_n/k({L_n}^p)$ est finie, où $L_n=L^{p^{-n}}\cap K$. En particulier, $di(L_n/L({L_n}^p))$ est fini. Comme $L_n/L$ est d’exposant fini, alors $di(L_n/L)=di(L_n/L({L_n}^p))<+\infty$, ou encore $L_n/L$ est finie pour tout $n\in \N^*$.

Une extension qui vérifie l’une des conditions équivalentes de la proposition ci-dessus s’appelle extension absolument $lq$-finie.

On vérifie aussitôt que :

**

Toute extension absolument $lq$-finie est $lq$-finie.

Toute extension $q$-finie est absolument $lq$-finie.

$K/k$ est absolument $lq$-finie si et seulement si toute sous-extension $L_2/L_1$ de $K/k$ est $lq$-finie. En particulier, toute sous-extension d’une extension absolument $lq$-finie est absolument $lq$-finie.

Voici un exemple qui montre que $lq$-finitude est distincte de la $lq$-finitude absolut.

[\[exe5\]]{} Reprenons l’exemple [\[exe4\]]{}, rappelons que $Q$ désigne toujours un corps parfait de caractéristique $p>0$ et $k=Q(X, (Y_i,Z_i)_{i\geq 1})$ le corps des fractions rationnelles aux indéterminées $(X, (Y_i,Z_i)_{i\geq 1})$. Rappelons aussi que ${\theta}_i={Y_i}^{p^{-1}}X^{p^{-i-1}}+{Z_i}^{p^{-1}}$ et $K=k(X^{p^{-\infty}}, ({\theta}_i)_{i\geq 1})$.

D’après l’exemple [\[exe4\]]{} $K/k$ est $lq$-finie. Comme $({\theta}_i)_{i\geq 1}$ est une $r$-base de $K/k(K^p)$, on en déduit que $K/k$ n’est pas absolument $lq$-finie.

[\[thm19\]]{} Une extension purement inséparable $K/k$ est absolument $lq$-finie si et seulement si toute suite décroissante de sous-extensions de $K/k$ est stationnaire.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Supposons que la condition suffisante est vérifiée, et considérons une sous-extension $L/k$ de $K/k$. Soit $G$ une $r$-base de $L/k$. Si $|G|$ n’est pas fini, il existe une suite $({\alpha}_n)_{n\in{\N}^*}$ d’éléments deux à deux distincts de $G$. Pour tout $n\geq 1$, posons $K_n=k(G\setminus \{{\alpha}_1,\dots, {\alpha}_n\}))$. Il est clair que la suite $(K_n/k)_{n\geq 1}$ de sous-extensions de $K/k$ est strictement décroissante (pour l’inclusion), contradiction avec l’hypothèse de la condition suffisante. D’où $|G|$ est fini, ou encore $L/k(L^p)$ est finie ; et donc $K/k$ est absolument $lq$-finie. Inversement, supposons que $K/k$ est absolument $lq$-finie, et soit $(K_n/k)_{n\geq 1}$ une suite décroissante de sous-extensions de $K/k$. Pour tout $n\geq 1$, posons $L_n=rp(K_n/k)$. Comme $K/k$ est absolument $lq$-finie, pour tout $n\geq 1$, on a $K_n/k({K_n}^p)$ est finie. Par suite, d’après la proposition [\[arp1\]]{}, il existe $e_n\in\N$, tel que $L_n=k({K_n}^{p^{e_n}})={\displaystyle}\bigcap_{i\geq 1}k({K_n}^{p^i})$. Puisque la suite $(K_n/k)_{n\geq 1}$ est décroissante, il en est de même de $(L_n/k)_{n\geq 1}$. On distingue deux cas :

1-ier cas : S’il existe $n_0\in \N$ tel que $L_n=L_{n_0}$ pour tout $n\geq n_0$, alors $K_n/L_{n_0}$ sera finie pour tout $n\geq n_0$. En vertu de la monotonie de $(K_n)_{n\geq 1}$, on en déduit que la suite des entiers naturels $([K_n :L_{n_0}])_{n\geq n_0}$ est décroissante, et donc stationnaire ; c’est-à-dire il existe $e\geq n_0$ tel que $[K_n :L_{n_0}]=[K_e :L_{n_0}]$ pour tout $n\geq e$. Or, pour tout $n\geq 1$, $K_{n+1}\subseteq K_n$, donc $K_{n+1}=K_n$ pour tout $n\geq e$.

2-ième cas : Si $(L_n)_{n\geq 1}$ n’est pas stationnaire, on est amené à considérer que la suite $(L_n)_{n\geq 1}$ est strictement décroissante, et par suite on va construire par récurrence une suite $({\alpha}_i)_{i\in \N^*}$ déléments de $K$ telle que ${\alpha}_i\in L_i$ et ${\alpha}_i\not\in k({\alpha}_1,\dots,{\alpha}_{i-1})(L_{i+1})$ pour tout $i\geq 1$. Le cas où $i=1$ est trivial, il suffit de choisir ${\alpha}_1$ dans $L_1\setminus L_2$. De plus, $k({\alpha}_1)L_2\subseteq L_1$ (strictement). Considérons maintenant un entier naturel $n$ distinct de $0$ et $1$, et supposons que cette propriété est satisfait pour tout $i=1,\dots, n$. Comme $L_i/k$ est relativement parfaite pour tout $i\geq 1$ et, $(L_i)_{i\geq 1}$ est strictement décroissante, on en déduit que $(k({\alpha}_1,\dots, {\alpha}_n)L_i)_{i\geq 1}$ est aussi strictement décroissante ; et donc il existe ${\alpha}_{n+1}\in L_{n+1}$ tel que ${\alpha}_{n+1}\not\in k({\alpha}_1,\dots, {\alpha}_n)L_{n+2}$. Dans la suite, on pose $G=({\alpha}_1,\dots,{\alpha}_n,\dots)$ et $G_n=({\alpha}_1,\dots,{\alpha}_n)$, et on va montrer que $G$ est $r$-libre sur $k$. Comme $G={\displaystyle}\bigcup_{n\geq 1} G_n$ et $G_i\subseteq G_{i+1}$, il suffit de montrer que $G_n$ est $r$-libre sur $k$ pour tout $n\geq 1$. S’il existe $i\in \{1,\dots, n\}$ tel que ${\alpha}_i\in k(G_n\setminus \{{\alpha}_i\})$, donc en particulier ${\alpha}_i\in k({\alpha}_1,\dots,{\alpha}_{i-1})K_{i+1}$ (puisque pour tout $j\geq i+1$, $k({\alpha}_1,\dots, {\alpha}_{i-1})K_j\subseteq k({\alpha}_1,\dots, {\alpha}_{i-1})(K_{i+1})$), c’est une contradiction par construction. Par suite, $di(k(G)/k)=di(k(G)/k({(k(G))}^p))=+\infty$ ; et donc $K/k$ n’est pas absolument $lq$-finie, absurde. Soit $K/k$ une extension purement inséparable. Si $K/k$ est $q$-finie, il est aussitôt que toute sous-extension $L/k$ de $K/k$ est finie sur $k(L^p)$, donc il est fort probable que la réciproque soit aussi vraie. Autrement dit la $lq$-finitude absolut est synonyme de la $q$-finitude. Toutefois, en utilisant la propriété caractéristique de la $lq$-finitude absolut, voici un exemple type d’extension absolument $lq$-finie qui n’est pas $q$-finie. Par ailleurs, les deux notions se confondent dans le cas de la modularité.

Existence effective de $lq$-finitude absolut
--------------------------------------------

[\[exe6\]]{} Soient $Q$ un corps parfait de caractéristique $p>0$, et $(X,(Z_{i}^{j}, Y_{i}^{j}$ $))_{(i,j)\in {\N^*}\times (\N^*\setminus \{1\})}$ une famille algébriquement indépendante sur $Q$. Soit $k=Q((X,(Z_{i}^{j},$ $ Y_{i}^{j}))_{(i,j)\in {\N^*}\times (\N^*\setminus \{1\})})$ le corps des fractions rationnelles aux indéterminées $(X,(Z_{i}^{j},$ $ Y_{i}^{j})_{(i,j)\in \N^*\times (\N^*\setminus \{1\})})$. Soit $(a_n)_{n\in \N^*}$ une famille d’éléments de $Q(X^{p^{-\infty}})$ telle que $Q(a_n)=Q(X^{p^{-n}})$ pour tout $n\in \N^*$. En particulier, $k(a_n)=k(X^{p^{-n}})$, et par suite pour tout $n\in N^*$, $o(a_n,k)=o(X^{p^{-n}},k)=n$. Dans la suite on se servira des notations suivantes :

**

$K_1={\displaystyle}\bigcup_{i\geq 1} k({\theta}_{i}^{1})$, avec ${\theta}_{i}^{1}=a_i$ pour tout $i\in N^*$.

$K_2={\displaystyle}\bigcup_{i\geq 1} K_1({\theta}_{i}^2)$, avec ${\theta}_{1}^{2}={(Z_{1}^{2})}^{p^{-1}}{\theta}_{2}^{1}+{(Y_{1}^{2})}^{p^{-1}}$, et pour tout $i\geq 2$, ${\theta}_{i}^{2}={(Z_{i}^{2})}^{p^{-1}}{\theta}_{2i}^{1}+{({\theta}_{i-1}^{2})}^{p^{-1}}+{(Y_{i}^{2})}^{p^{-1}}$.

Par récurrence, on pose : $K_n= {\displaystyle}\bigcup_{i\geq 1} K_{n-1}({\theta}_{i}^n)$, avec ${\theta}_{1}^n= {(Z_{1}^n)}^{p^{-1}}{\theta}_{2}^{n-1}+(Y_{1}^{n})^{p^{-1}}$, et pour tout $i\geq 2$, ${\theta}_{i}^{n}=(Z_{i}^n)^{p^{-1}}{\theta}_{2i}^{n-1}+{({\theta}_{i-1}^{n})}^{p^{-1}}+ (Y_{i}^{n})^{p^{-1}}$.

On note également $K={\displaystyle}\bigcup_{i\geq 1} K_n$, et pour des raisons de formulation, on pose par convention $K_0=k$, et pour tout $i\in N$, ${\theta}_{0}^{i}=0$.

On vérifie aussitôt que :

**

Pour tout $(i,n)\in {\N^*}\times (\N\setminus \{0,1\})$, $${\theta}_{i}^{n}=(Z_{i}^{n})^{p^{-1}}{\theta}_{2i}^{n-1}+\dots+ (Z_{1}^{n})^{p^{-i}}({\theta}_{2}^{n-1})^{p^{-i+1}}+(Y_{i}^{n})^{p^{-1}}+\dots+ (Y_{1}^{n})^{p^{-i}}.$$

Pour tout $n\in \N^*$, pour tout $i\in \N$, on a $K_{n-1}({\theta}_{i}^{n})\subseteq K_{n-1}({\theta}_{i+1}^{n})$, et donc $K_n/k$ est un corps commutatif. En outre, $K/k$ est purement inséparable, et pour tout $n\in \N^*$, $K_n/K_{n-1}$ est $q$-simple.

[\[thm22\]]{} $(K_i/k)_{i\geq 1}$ sont les seules sous-extensions d’exposant non borné de $K/k$ à une extension finie près ; c’est-à-dire pour toute sous-extension propre $L/k$ d’exposant non borné de $K/k$, il existe $i\in \N^*$ tel que $K_i\subseteq L$ et $L/K_i$ est finie.

Comme application type de ce théorème, on a :

[\[pr38\]]{} Toute suite décroissante de sous-extensions de $K /k$ est stationnaire.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Soit $(F_i/k)_{i\geq 1}$ une suite décroissante de sous-extensions de $K/k$. D’après le théorème précédent, pour tout $j\in {\N}^*$, il existe $i_j\in \N$ tel que $K_{i_j}\subseteq F_j$ et $F_j/K_{i_j}$ est finie. Comme $F_{j+1}\subseteq F_j$, alors ${\displaystyle}\bigcap_{n\in {\N}} k({F_{j+1}}^{p^n})=K_{i_{j+1}}\subseteq {\displaystyle}\bigcap_{n\in {\N}} k({F_j}^{p^n})=K_{i_j}$. D’où, il existe $s\in \N^*$, pour tout $j\geq s$, $K_{i_j}=K_{i_s}$. En particulier, pour tout $j\geq s$, $F_j/K_{i_s}$ est finie. Ainsi, pour tout $j\geq s$, $[F_{j+1} :K_{i_s}]\leq [F_j : K_{i_s}]\leq [F_s :K_{i_s}]$ ; ou encore la suite d’entiers naturels $([F_j :K_{i_s}])_{j\geq s}$ est décroissante, donc stationnaire à partir d’un entier $n_0$, et par suite pour tout $n\geq n_0$, $F_n=F_{n_0}$.

Comme conséquence immédiate, on a :

[\[thm23\]]{} Sous les mêmes hypothèses ci-dessus, on a $K/k$ est absolument $lq$-finie.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Due au théorème [\[thm19\]]{}. Pour la preuve du théorème [\[thm22\]]{} ci-dessus, nous aurons besoin des résultats suivants :

Tout d’abord, désormais, pour tout $(i,s)\in (\N\setminus \{0,1\})\times \N^*$, on pose ${\Lambda}_{s}^{i}=\{(j,l)\in {\N}^2| \, 2\leq j\leq i$ et $1\leq l\leq 2^{i-j}s\}$.

[\[lem10\]]{} Pour tout $i\geq 2$, pour tout $s\geq 1$, on a ${\theta}_{s}^{i}\in Q({\theta}_{{2}^{i-1}s}^{1},({(Z_{l}^{j})}^{p^{-2^{i-j}s}},$ ${(Y_{l}^j)}^{p^{-2^{i-j}s}})_{(j,l)\in \Lambda_{s}^{i}})$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}On va utiliser une démonstration par récurrence. Par construction, pour tout $s\in\N^*$, ${\theta}_{s}^2={(Z_{s}^{2})}^{p^{-1}}{\theta}_{2s}^{1}+\dots+ {(Z_{1}^{2})}^{p^{-s}}{({\theta}_{2}^{1})}^{p^{-s+1}}+{(Y_{s}^{2})}^{p^{-1}}+\dots+{(Y_{1}^{2})}^{p^{-s}}$, d’où ${\theta}_{s}^{2}\in Q({\theta}_{2s}^{1},\dots, {({\theta}_{2}^1)}^{p^{-s+1}}, {(Z_{s}^{2})}^{p^{-1}},\dots, $ ${(Z_{1}^{2})}^{p^{-s}}, $ ${(Y_{s}^{2})}^{p^{-1}},$ $\dots, {(Y_{1}^{2})}^{p^{-s}})\subseteq Q({\theta}_{2s}^{1}, {(Z_{s}^{2})}^{p^{-s}},\dots, {(Z_{1}^{2})}^{p^{-s}},{(Y_{s}^{2})}^{p^{-s}},\dots, {(Y_{1}^{2})}^{p^{-s}})$, et par suite le lemme est vérifié pour le premier rang. Supposons que la propriété de récurrence s’applique jusqu’à l’ordre $i>1$. Egalement, pour tout $s\in \N^*$, on a ${\theta}_{s}^{i+1}={(Z_{s}^{i+1})}^{p^{-1}}{\theta}_{2s}^{i}+\dots+{(Z_{1}^{i+1})}^{p^{-s}}{({\theta}_{2}^i)}^{p^{-s+1}}+$ ${(Y_{s}^{i+1})}^{p^{-1}}+\dots+{(Y_{1}^{i+1})}^{p^{-s}}$, et donc ${\theta}_{s}^{i+1}\in Q({\theta}_{2s}^{i},\dots,$ ${({\theta}_{2}^{i})}^{p^{-s+1}}, $ ${(Z_{s}^{i+1})}^{p^{-1}},$ $\dots,{(Z_{1}^{i+1})}^{p^{-s}}, {(Y_{s}^{i+1})}^{p^{-1}},\dots,$ ${(Y_{1}^{i+1})}^{p^{-s}})$. Or, d’après l’hypothèse de récurrence, pour tous $r\in \{1,\dots, s\}$, ${\theta}_{2r}^{i}\in Q({\theta}_{2^{i-1}.2r}^{1},({(Z_{l}^{j})}^{p^{-2^{i-j}2r}}, $ ${(Y_{l}^{j})}^{p^{-2^{i-j}2r}}$ $)_{(j,l)\in {\Lambda}_{2r}^{i}})$. Comme $Q$ est parfait, pour tout $n\in\N$, on a ${Q}^{p^{-n}}=Q$ ; et par suite ${({\theta}_{2r}^{i})}^{p^{-(s-r)}}\in Q({({\theta}_{2^{i}r}^{1})}^{p^{-(s-r)}},$ $
({(Z_{l}^{j})}^{p^{-2^{i+1-j}r-(s-r)}}, {(Y_{l}^{j})}^{p^{-2^{i+1-j}r-(s-r)}})_{(j,l)\in {\Lambda}_{2r}^{i}})$ pour tous $r\in \{1,\dots, s\}$. Puisque $Q({\theta}_{2^{i}r}^{1})=Q(X^{p^{{-2^i}r}})$ et $2^{i+1-j}s=2^{i+1-j}(r+(s-r))=2^{i+1-j}r+2^{i+1-j}(s-r)\geq 2^{i+1-j}r+(s-r)$, on en déduit les relations ci-dessus:

**

$Q({({\theta}_{2^{i}r}^{1})}^{p^{-(s-r)}})=Q(X^{p^{{-2^i}r-(s-r)}})\subseteq Q(X^{p^{{-2^i}s}})=Q(({\theta}_{2^{i}s}^{1}))$,

${(Z_{l}^{j})}^{p^{-2^{i+1-j}r-(s-r)}}\in Q({(Z_{l}^{j})}^{p^{-2^{i+1-j}s}})$, et ${(Y_{l}^{j})}^{p^{-2^{i+1-j}r-(s-r)}}$ élément de $Q({(Y_{l}^{j})}^{p^{-2^{i+1-j}s}})$.

D’où, ${\theta}_{s}^{i+1}\in Q({\theta}_{2^{i}s}^{1}, ({(Z_{l}^{j})}^{p^{-2^{i+1-j}s}}, {(Y_{l}^{j})}^{p^{-2^{i+1-j}s}})_{(j,l)\in {\Lambda}_{s}^{i+1}})$. Dans toute la suite, pour tout $n\geq 2$, on pose $S_n=k(X^{p^{-\infty}}, ({(Z_{i}^{j})}^{p^{-\infty}}, $ $(Y_{i}^{j})^{p^{-\infty}}$ $)_{(i,j)\in {\Gamma}_n})$, où ${\Gamma}_n={\N}^*\times \{2,\dots,n\}$, et $S_1=k(X^{p^{-\infty}})$ par convention.

D’après le lemme ci-dessus, pour tout $n\geq 2$, on vérifie aussitôt que $K_n\subseteq S_n$. De plus, pour tout $(i,n)\in \N^*\times (\N\setminus \{0,1\})$, ${(Z_{1}^n)}^{p^{-1}}\in S_{n-1}({(Y_{1}^{n})}^{p^{-1}},{\theta}_{i}^{n})$ par construction.

[\[pr39\]]{} La famille $(Z_{i}^{j})_{(i,j)\in \N^* \times (\N\setminus \{0,1\})}$ est $p$-indépendente sur $K^p$.

Tout le long de cette démonstration, on va utiliser les notations suivantes : pour tous $(i,j)\in \N^*\times (\N\setminus\{0,1\})$, on pose $A_{i}^{j}=({(Z_{s_1}^{s_2})}^{p^{-1}})_{(s_1,s_2)<(i,j)}$ où $\leq$ est la relation d’ordre hexadécimal, et pour tout $j\geq 2$, $C_{i}^{j}=({(Z_{l}^{j})}^{p^{-i}}, {(Y_{l}^{j})}^{p^{-i}})_{l<i}$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}D’après le lemme d’échange, pour tout $j\geq 2$, pour tout $i\in {\N}^*$, il suffit de montrer que $Z_{i}^{j}\not\in K^p({(A_{i}^{j})}^p)$, ou encore ${(Z_{i}^{j})}^{p^{-1}}\not\in K(A_{i}^{j})$. Pour cela, on suppose l’existence d’un couple $(i,j)\in {\N}^*\times (\N\setminus \{0,1\})$ tel que ${(Z_{i}^{j})}^{p^{-1}}\in K(A_{i}^{j})$. Comme $K={\displaystyle}\bigcup_{n\geq 1} K_n$, il existe $n\in \N^*$ tel que ${(Z_{i}^{j})}^{p^{-1}}\in K_n(A_{i}^{j})$. Soit $n$ le plus petit entier qui vérifie cette relation. Par construction, il est clair que $n>1$. De plus, on distingue deux cas :

1-ier cas : si $n\leq j$, donc ${(Z_{i}^{j})}^{p^{-1}}\in K_n(A_{i}^{j})\subseteq  K_j(A_{i}^{j})\subseteq S_{j-1}(K_j)(C_{i}^{j})$. Or, on a, ${\theta}_{i}^{j}={(Z_{i}^{j})}^{p^{-1}}{\theta}_{2i}^{j-1}+\dots+{(Z_{1}^{j})}^{p^{-i}}{({\theta}_{2}^{j-1})}^{p^{-i+1}}+{(Y_{i}^{j})}^{p^{-1}}+\dots+
{(Y_{1}^{j})}^{p^{-i}}$, et comme pour tout $(r,l)\in \{1,\dots, i-1\}\times \N^*$, on a ${(Z_{r}^{j})}^{p^{-i}}, {(Y_{r}^{j})}^{p^{-i}}\in C_{i}^{j}$ et ${\theta}_{l}^{j-1}\in S_{j-1}$, on en déduit que ${(Y_{i}^{j})}^{p^{-1}}\in S_{j-1}(K_j)(C_{i}^{j})$. Cela conduit en vertu du théorème [\[thm4\]]{}, à $di(S_{j-1}(C_{i}^{j},{(Z_{i}^{j})}^{p^{-1}}, {(Y_{i}^{j})}^{p^{-1}}) /S_{j-1}(C_{i}^{j}))=2\leq di(S_{j-1}(K_j,C_{i}^{j})/S_{j-1}($ $C_{i}^{j}))=1$ ; et donc $2\leq 1$, c’est une contradiction.

2-ième cas : $n\geq j+1$. On a ${(Z_{i}^{j})}^{p^{-1}}\not\in K_{n-1}(A_{i}^{j})$ et ${(Z_{i}^{j})}^{p^{-1}}\in K_n(A_{i}^{j})$, comme $K_n(A_{i}^{j})/$ $K_{n-1}(A_{i}^{j})$ est $q$-simple et ${\theta}_{1}^{n}\not\in K_{n-1}(A_{i}^{j})$, (sinon on aura ${(Z_{1}^n)}^{p^{-1}}\in S_{n-1}({(Y_{1}^{n})}^{p^{-1}})$, absurde), alors $K_{n-1}(A_{i}^{j})({\theta}_{1}^{n})=K_{n-1}(A_{i}^{j})({(Z_{i}^{j})}^{p^{-1}})$ $\subseteq S_{n-1}$. En particulier, ${\theta}_{1}^{n}\in S_{n-1}$ et donc ${(Z_{1}^{n})}^{p^{-1}}\in S_{n-1}({(Y_{1}^{n})}^{p^{-1}})$, (car ${\theta}_{1}^n={(Z_{1}^{n})}^{p^{-1}}{\theta}_{2}^{n-1}+{(Y_{1}^{n})}^{p^{-1}}$), c’est une contradiction.

[\[lem11\]]{} Pour tout $(i,s) \in\N\times \N^*$, pour tout $j> i$, $o({\theta}_{s}^{j},K_i)=2^{j-i-1}s$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Il est immédiat que $o({\theta}_{s}^1,K_0)=s$ pour tout $s\in \N^*$, donc on se ramène au cas où $j\geq 2$. Dans la suite, on va utiliser un raisonnement par récurrence sur $j$. Par construction, on a ${\theta}_{s}^{i+1}={(Z_{s}^{i+1})}^{p^{-1}}{\theta}_{2s}^{i}+ \dots+{(Z_{1}^{i+1})}^{p^{-s}} {({\theta}_{2}^{i})}^{p^{-s+1}}+{(Y_{s}^{i+1})}^{p^{-1}}+\dots+{(Y_{1}^{s+1})}^{p^{-s}}$, et donc ${({\theta}_{s}^{i+1})}^{p^s}\in K_i$. Si ${({\theta}_{s}^{i+1})}^{p^{s-1}}\in K_i$, on aura ${(Z_{1}^{i+1})}^{p^{-1}}\in K_i({(Y_{1}^{i+1})}^{p^{-1}})$, c’est une contradiction. D’où, ${({\theta}_{s}^{i+1})}^{p^{s-1}}\not\in K_i$, et donc $o({\theta}_{s}^{i+1},K_i)=s$. Soit maintenant $j$ un entier tel que $j\geq i+2$. Egalement, pour tout $s\geq 1$, on a ${\theta}_{s}^{j}={(Z_{s}^{j})}^{p^{-1}}{\theta}_{2s}^{j-1}+\dots+ {(Z_{1}^{j})}^{p^{-s}}{({\theta}_{2}^{j-1})}^{p^{-s+1}}+{(Y_{s}^{j})}^{p^{-1}}+\dots+{(Y_{1}^{j})}^{p^{-s}}$. Or, d’après l’hypothèse de récurrence, pour tout $s\in N^*$, pour tout $n\in \{0,\dots, s-1\}$, on a $o({{\theta}_{2(s-n)}^{j-1}},K_i)=2^{j-1-i-1}.2(s-n)=2^{j-i-1}(s-n)$, d’où pour tout $n\in \{1,\dots, s-1\}$, $$o({({\theta}_{2(s-n)}^{j-1})}^{p^{-n}},K_i)=2^{j-i-1}(s-n)+n<2^{j-i-1}s=o({{\theta}_{2(s)}^{j-1}},K_i).$$ Il en résulte que $o({\theta}_{s}^j,K_i)=o({\theta}_{2s}^{j-1},K_i)=2^{j-i-1}s$.

[\[lem12\]]{} Pour tout $i\in \N$, ${K_i}^{p^{-1}}\cap K=K_i({\theta}_{1}^{i+1})$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Il est clair que ${K_i}({\theta}_{1}^{i+1})\subseteq K_{i}^{p^{-1}}\cap K$. S’il existe ${\alpha}\in K_{i}^{p^{-1}}\cap K$ tel que ${\alpha}\not\in K_i({\theta}_{1}^{i+1})$, comme $K_{i+1}/K_i$ est $q$-simple, on a ${\alpha}\not\in K_{i+1}$, sinon $K_i({\theta}_{1}^{i+1})=K_i({\alpha})$. Soit $j$ le plus grand entier tel que ${\alpha}\not\in K_j$, donc ${\alpha}\in K_{j+1}$ avec $i+1\leq j$. En outre, on aura $o({\alpha},K_{j-1})=1$, et par suite $K_j({\alpha})=K_j({\theta}_{1}^{j+1})\simeq K_j\otimes_{K_{j-1}} K_{j-1}({\alpha})$ ; d’où $K_j({\theta}_{1}^{j+1})/K_{j-1}$ est modulaire. Or, $o({\theta}_{2}^j,K_{j-1})=2$, donc le système $(1, {({\theta}_{2}^j)}^p)$ est $K_{j-1}$ libre, en particulier il est libre sur $K_{j-1}\cap {[K_j({\theta}_{1}^{j+1})]}^p$. Complétons ce système en une base $B$ de ${[K_j({\theta}_{1}^{j+1})]}^p$ sur $K_{j-1}\cap {[K_j({\theta}_{1}^{j+1})]}^p$. Comme $K_j({\theta}_{1}^{j+1})/K_{j-1}$ est modulaire, donc ${[K_j({\theta}_{1}^{j+1})]}^p$ et $K_{j-1}$ sont $K_{j-1}\cap {[K_j({\theta}_{1}^{j+1})]}^p$-linéairement disjointes ; et par suite $B$ est aussi une base de $K_{j-1}({[K_j({\theta}_{1}^{j+1})]}^p)$ sur $K_{j-1}$. Or l’équation de définition de ${\theta}_{1}^{j+1}$ sur $K_{j-1}$ s’écrit : ${({\theta}_{1}^{j+1})}^p=Z_{1}^{j+1}{({\theta}_2^{j})}^p+Y_{1}^{j+1}$, par identification on aura $Z_{1}^{j+1}, Y_{1}^{j+1}\in K_{j-1}\cap {[K_j({\theta}_{1}^{j+1})]}^p\subseteq K^p$, c’est une contradiction avec la proposition [\[pr39\]]{}; et donc ${K_{i}}^{p^{-1}}\cap K=K_i({\theta}_{1}^{i+1})$.

[\[cor14\]]{} Pour tous $(i,n)\in \N\times {\N}^*$, on a ${K_i}^{p^{-n}}\cap K\subseteq {K_{i+1}}^{p^{-n+1}}\cap K$. En particulier, ${K_i}^{p^{-n}}\cap K\subseteq K_{n+i}$ pour tout entier $n$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Il suffit de remarquer que ${K_{i}}^{p^{-n}}\cap K={({K_i}^{p^{-1}}\cap K)}^{p^{-n+1}}\cap K\subseteq {K_{i+1}}^{p^{-n+1}}\cap K$.

Comme conséquence, on a :

[\[cor15\]]{} Pour tout $j\in \N$, $K/K_j$ est $lq$-finie.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Application immédiate du résultat précédente, et du fait que $di(K_{n+j}$ $/K_j)=n$ pour tous $j,n\in \N$. Soit $n$ un entier naturel non nul. Considérons la suite $(n_s)_{s\in \N^*}$ des entiers définie par la relation de récurrence suivante : $n_1=n$, et pour tout $s\in N^*\setminus \{1\}$, $n_{s+1}={\displaystyle}[\frac{n_s}{2}]$, où ${\displaystyle}[.]$ désigne la partie entière. La suite des entiers ainsi obtenue est décroissante, et donc stationnaire. Le premier entier $e$ tel que $n_e=1$ s’appelle longueur de parité inférieur de $n$ et se note $lpi(n)$. On vérifie immédiatement que :

**

Pour tout $s> lpi(n)$, $n_s=0$.

Si $n\leq m$, alors $lpi(n)\leq lpi(m)$.

Pour tout $i\in \N^*$, $2n_{i+1}+{\varepsilon}_i=n_i$, avec ${\varepsilon}_i=0$ ou $1$ selon la parité de $n_i$.

En particulier, $2n_{i+1}\leq n_{i}$ et $n_i+1\leq 2(n_{i+1}+1)$, et par suite pour tout $j\geq i$, on en déduit que $2^{j-i}n_j\leq n_i$ et $n_i+1\leq 2^{j-i}(n_j+1)$. Notamment, si l’on pose $p_1=lpi(n)$, on aura $2^{p_1-1}\leq n< 2^{p_1}$. Autrement dit, $p_1$ est le plus petit entier tel que $n< 2^{p_1}$.

[\[thm24\]]{} Pour tout $(i, n)\in \N\times \N^*$, ${K_i}^{p^{-n}}\cap K\subseteq {K_{i+1}}^{p^{- {\displaystyle}[\frac{n}{2}]}}$.

Pour la preuve de ce théorème, on aura besoin des résultats suivants :

[\[pr40\]]{} Soit $n$ un entier naturel non nul. Pour tout $s\in \N^*$, pour tout $n\in \N$, on a $o({\theta}_{n_s}^{s+r}, K_r({\theta}_{n_1}^{1+r},$ $\dots,$ ${\theta}_{n_{s-1}}^{s-1+r}))=n_s={\displaystyle}\sup_{i\in \N^*}(o({\theta}_{n_i}^{i+r}, K_r({\theta}_{n_1}^{1+r},$ $\dots,$ ${\theta}_{n_{s-1}}^{s-1+r}))$. En paticulier, $\{{\theta}_{n_1}^{1+r},\dots,{\theta}_{n_{p_1}}^{p_1+r}\}$ est une $r$-base canoniquement ordonnée de $K_r(({\theta}_{n_i}^{i})_{i\in \N^*})/K_r$, où $p_1=lpi(n)$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Comme les $K_i/k$, ($1\leq i$) sont construites de la même façon, on se contente de présenter la démonstration dans le cas où $r=0$. Par convention, pour tout $s>p_1$, $o({\theta}_{n_s}^s,k)=o({\theta}_{0}^s,k)=0$, donc on se ramène au cas où $s\leq p_1$. D’après le lemme [\[lem11\]]{}, pour tout $i\in \{1,\dots, p_1\}$, $o({\theta}_{n_i}^{i},k)=o({\theta}_{n_i}^{i},K_0)=2^{i-1}n_i\leq n_1=o({\theta}_{n_1}^{1},k)$, et donc $o({\theta}_{n_1}^{1},k)={\displaystyle}\sup_{i\in \N^*} (o({\theta}_{n_i}^i,k))$. Soit $s\in \{2,\dots, p_1-1\}$, supposons en tenant compte de l’hypothèse de récurrence que pour tout $j\in \{1,\dots,s\}$, on a $o({\theta}_{n_j}^j, k({\theta}_{n_1}^1,\dots,{\theta}_{n_{j-1}}^{j-1}))=n_j={\displaystyle}\sup_{i\in \N^*}(o({\theta}_{n_i}^i, k({\theta}_{n_1}^1,$ $\dots,{\theta}_{n_{j-1}}^{j-1}))$. Pour simplifier l’écriture, on pose $L_1=k({\theta}_{n_1}^{1},\dots,{\theta}_{n_s}^s)$, $L_2=k({\theta}_{n_1}^{1},\dots,{\theta}_{n_{p_1}}^{p_1})$ et $L_3=L_2(K_s)= K_s({\theta}_{n_{s+1}}^{s+1},\dots,{\theta}_{n_{p_1}}^{p_1})$. D’une part, $L_3/k$ étant $q$-finie, donc en vertu du lemme [\[lem11\]]{}, pour tout $i\geq s+1$, $o({\theta}_{n_i}^{i},K_s)=2^{i-s-1}n_i\leq n_{s+1}=o({\theta}_{n_{s+1}}^{s+1}, K_s)$. D’autre part, d’après la proposition [\[pr18\]]{} et [\[pr19\]]{}, $n_{s+1}=o({\theta}_{n_{s+1}}^{s+1}, K_s$ $) $ $\leq o({\theta}_{n_{s+1}}^{s+1}, L_1)\leq o_1(L_2/L_1)=o_{s+1}(L_2/k)\leq o_{s+1}(L_3/k)=o({\theta}_{n_{s+1}}^{s+1}, K_s)=n_{s+1}$, et donc $o({\theta}_{n_{s+1}}^{s+1}, L_1)=o_{s+1}(L_2/k)=o_1(L_2/$ $L_1)=n_{s+1}$. Par suite, pour tout $s\in N^*$, $o({\theta}_{n_s}^s, k({\theta}_{n_1}^1,\dots,{\theta}_{n_{s-1}}^{s-1}))$ $=n_s={\displaystyle}\sup_{i\in \N^*}(o({\theta}_{n_i}^i, k({\theta}_{n_1}^1,\dots,{\theta}_{n_{s-1}}^{s-1}))$. En particulier, par application de l’algorithme de la complétion des $r$-bases, on aura $\{{\theta}_{n_1}^1,\dots,{\theta}_{n_{p_1}}^{p_1}\}$ est une $r$-base canoniquement ordonnée de $k(({\theta}_{n_i}^{i})_{i\in \N^*})/k$.

Soit $n$ un entier naturel non nul. Considérons la suite $(n'_s)_{s\in \N^*}$ des entiers définie par la relation de récurrence suivante :

**

$n'_1=n$ si $n$ est paire, et $n'_1=n+1$ dans le cas contraire.

Pour tout $s\in \N^*$, $n'_{s+1}={\displaystyle}\frac{n'_s}{2}$ si $n'_s$ est paire, et $n'_{s+1}={\displaystyle}\frac{n'_s+1}{2}$ si $n'_s$ est impaire.

La suite des entiers ainsi obtenue est décroissante, donc stationnaire. Le plus petit entier $r$ tel que $n'_r=1$ s’appelle longueur de parité supérieur de $n$ et se note $lps(n)$. On vérifie immédiatement que :

**

Pour tout $s\geq lps(n)$, $n'_s=1$.

Pour tout $i\in \N^*$, $2n'_{i+1}=n'_i+{\varepsilon}_i$, avec ${\varepsilon}_i=0$ ou $1$ selon la parité de $n'_i$.

En particulier, $n'_i\leq 2n'_{i+1}$ et $2(n'_{i+1}-1)\leq n'_i-1$. Par suite, pour tout $j\geq i$, $n'_i\leq 2^{j-i}n'_j$ et $2^{j-i}(n'_j-1)\leq n'_i-1$. En outre, si on pose $p_2=lps(n)$, on aura $2^{p_2-2}< n \leq 2^{p_2-1}$. Autrement dit, $p_2-1$ est le plus petit entier tel que $n \leq 2^{p_2-1}$. De même, il est aisé d’obtenir l’expression $n_i\leq n'_i$, pour tout $i\in \N^*$. Toutefois, on montre par récurrence que $n'_i\leq n_i+1$. En effet, pour $i=1$ le résultat est vérifié, et si $n'_i\leq n_i+1$, ou encore $n'_i+1\leq 2(n_{i+1}+1)+1$, on aura $n'_{i+1}\leq {\displaystyle}\frac{n'_i+1}{2}\leq (n_{i+1}+1)+{\displaystyle}\frac{1}{2}$ ; et par suite $n'_{i+1}\leq [n_{i+1}+1+{\displaystyle}\frac{1}{2}]=n_{i+1}+1$. En outre, $n'_i=n_i+{\alpha}_i$, avec ${\alpha}_i=0$ ou $1$ ; et par conséquent $lps(n)=lpi(n)+{\alpha}$, avec ${\alpha}=0$ ou $1$. Egalement, on a $2^{p_2-2}\leq 2^{p_1-1}\leq n\leq 2^{p_2-1}\leq 2^{p_1}$, où $p_1=lpi(n)$ et $p_2=lps(n)$, et comme conséquences, $p_2=p_1$ si et seulement si $n$ est puissance de $2$.

On pose ensuite, $\Delta=\{(f,g)\in \N^2|\, \, f\geq 2$ et $1\leq g\leq n'_f\}$, et $Q_{0}^{n}=Q({\theta}_{n'_1}^{1}, ({(Z_{g}^{f})}^{p^{-n'_2}},$ $ {(Y_{g}^{f})}^{p^{-n'_2}}$ $)_{(f,g)\in {\Delta}})$.

Comme pour tout $i\in \N^*\setminus \{1\}$, et pour tout $j\in \{2,\dots, i\}$, $2^{i-j}n_i\leq n_j\leq n'_j\leq n'_2$, on en déduit que $\{{(Z_{l}^{j})}^{p^{-2^{i-j}n_i}},{(Y_{l}^{j})}^{p^{-2^{i-j}n_i}}\}\subseteq Q_{0}^{n}$. D’après le lemme [\[lem10\]]{}, pour tout $i\in \N^*$, on a ${\theta}_{n_i}^{i}\in Q_{0}^{n}$ ; et donc $Q(({\theta}_{n_i}^{i})_{i\in \N^*})\subseteq Q_{0}^{n}$. Pour tout $i\in \N$, posons de même ${\mathbf{\mathcal{F}}}_{i}^{n}=Q_{0}^{n}(K_i)$ et ${\mathbf{\mathcal{F}}}^{n}=Q_{0}^{n}(K)$. On vérifie aussitôt que:

**

Pour tout $i\in\N$, ${\mathbf{\mathcal{F}}}_{i}^{n}\subseteq {\mathbf{\mathcal{F}}}_{i+1}^{n}$, et ${\mathbf{\mathcal{F}}}^{n}={\displaystyle}\bigcup_{i\in\N} {\mathbf{\mathcal{F}}}_{i}^{n}$.\

Pour tout $i\in\N$, ${\mathbf{\mathcal{F}}}_{i+1}^{n}/{\mathbf{\mathcal{F}}}_{i}^{n}$ est $q$-simple.\

Pour tout $1\leq i$, ${({{\theta}_{n'_i-1}^{i}})}^{p^{-1}}\in Q_{0}^{n}$.

En effet, ${\theta}_{n'_i-1}^{i}\in Q({\theta}^{1}_{2^{i-1}(n'_i-1)}, ({(Z_{l}^{j})}^{p^{-2^{i-j}(n'_i-1)}},$ ${(Y_{l}^{j} )}^{p^{-2^{i-j}(n'_i-1)}}$ $)_{(j,l)\in {\Lambda}_{n'_i-1}^{i}})$, en vertu du lemme [\[lem10\]]{}. Comme ${\theta}_{n'_i-1}^{1}\in  {(Q_{0}^{n})}^p$ ($Q$ étant donné parfait), et pour tout $j\in \{2,\dots, i\}$, $2^{i-j}(n'_i-1)\leq n'_{j}-1\leq n'_2-1$, (et donc en particulier $2^{i-1}(n'_i-1)\leq n'_1-1$), alors ${\theta}_{n'_i-1}^{i}\in Q({\theta}^{1}_{n'_1-1},({(Z_{l}^{j})}^{p^{-(n'_2-1)}},$ ${(Y_{l}^{j})}^{p^{-(n'_2-1)}}$ $)_{(j,l)\in
{\Lambda}_{n'_i-1}^{i}})\subseteq {(Q_{0}^{n})}^p$ ; ou encore ${({\theta}_{n'_i-1}^{i})}^{p^{-1}}\in {Q_{0}^{n}}$. En outre ${({\theta}_{n'_i-1}^{i})}^{p^{-1}}\in {{\mathbf{\mathcal{F}}}_{0}^{n}}$, et pour tout $i\geq 1$, ${\theta}_{n'_i}^{i}\in {\mathbf{\mathcal{F}}}_{i-1}^{n}$, (car ${\theta}_{n'_i}^{i}= {(Z_{n'_i}^{i})}^{p^{-1}}{\theta}_{2n'_i}^{i-1}+{({\theta}_{n'_i-1}^{i})}^{p^{-1}}+{(Y_{n'_i}^i)}^{p^{-1}}$, avec ${(Z_{n'_i}^{i})}^{p^{-1}}, {(Y_{n'_i}^i)}^{p^{-1}}\in {\mathbf{\mathcal{F}}}_{0}^{n}$ et ${\theta}_{2n'_i}^{i-1}\in K_{i-1}\subseteq {\mathbf{\mathcal{F}}}_{i-1}^{n}$.

[\[lem13\]]{} Pour tout $(s,j)\in \N^*\times \N^*$, $o({\theta}_{n'_s+j}^{s}, {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n})=j$.

Pour simplifier l’écriture, on pose $L_2= k({(Q_{0}^{n})}^{p^{-\infty}}, {(Y_{n'_2+1}^{2})}^{p^{-\infty}})=k({X}^{p^{-\infty}},$ $({(Z_{l}^{s})}^{p^{-\infty}}, {(Y_{l}^{s})}^{p^{-\infty}})_{(s,l)\in \Delta},$ ${(Y_{n'_2+1}^{2})}^{p^{-\infty}} )$, et pour tout $t> 2$, $L_t=S_{t-1}({(Q_{0}^{n})}^{p^{-\infty}},$ $ {(Y_{n'_t+1}^{2})}^{p^{-\infty}})=k({X}^{p^{-\infty}}, ({(Z_{i}^h)}^{p^{-\infty}}, {(Y_{i}^{h})}^{p^{-\infty}})_{(i,h)\in {\Gamma}_{t-1}},$ $ ({(Z_{l}^{j})}^{p^{-\infty}}, {(Y_{l}^{j})}^{p^{-\infty}})_{(j,l)\in \Delta}, $ ${(Y_{n'_t+1}^{t})}^{p^{-\infty}})$, où ${\Gamma}_{t-1}={\N}^*\times \{2,\dots,t-1\}$. Il est clair que ${\mathbf{\mathcal{F}}}_{s}^{n}\subseteq L_s$, par ailleurs, comme $Q$ est parfait, et ${\theta}_{i}^{s}=
{(Z_{i}^{s})}^{p^{-1}}{\theta}_{2i}^{s-1}+\dots+ {(Z_{1}^{s})}^{p^{-i}}{({\theta}_{2}^{s-1})}^{p^{-i+1}}+{(Y_{i}^{s})}^{p^{-1}}+\dots +{(Y_{1}^{s})}^{p^{-i}}$, $s> 1$ et $i\in \N^*$, alors pour tout $j\in \N$, ${({\theta}_{i}^{s})}^{p^{-j}}\in k({X}^{p^{-\infty}}, ({(Z_{r}^h)}^{p^{-\infty}}, {(Y_{r}^{h})}^{p^{-\infty}})_{(r,h)\in {\Gamma}_{s-1}},$ $ {({(Z_{l}^{s})}^{p^{-\infty}}, {(Y_{l}^{s})}^{p^{-\infty}})}_{1\leq l\leq i})$. En particulier, ${({\theta}_{n'_s}^{s})}^{p^{-j}}\in L_s$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Pour $s=1$, le résultat est trivial, donc on est amené au cas $s\geq 2$. Par construction, ${\theta}_{n'_s+1}^{s}={(Z_{n'_s+1}^s)}^{p^{-1}}{\theta}_{2(n'_s+1)}^{s-1}+{({\theta}_{n'_s}^{s})}^{p^{-1}}+{(Y_{n'_s+1}^s)}^{p^{-1}}=
{(Z_{n'_s+1}^{s})}^{p^{-1}}{\theta}_{2(n'_s+1)}^{s-1}$ $+\dots+ {(Z_{1}^{s})}^{p^{-n'_s-1}}{({\theta}_{2}^{s-1})}^{p^{-n'_s}}+{(Y_{n'_s+1}^{s})}^{p^{-1}}+\dots +{(Y_{1}^{s})}^{p^{-n'_s-1}}$, donc ${({\theta}_{n'_s+1}^{s})}^p=Z_{n'_s+1}^{s}{({\theta}_{2(n'_s+1)}^{s-1})}^p+{\theta}_{n'_s}^{s}+Y_{n'_s+1}^{s}$, et par suite ${({\theta}_{n'_s+1}^{s})}^p\in {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}$. Toutefois, si ${\theta}_{n'_s+1}^{s}\in {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}$, on aura ${(Z_{n'_s+1}^{s})}^{p^{-1}}\in L_s$ Remarquons que pour tout $h\leq s-1$ et pour tout $i\in {\N}^*$, $Z_{i}^h\not= Z_{n'_s+1}^s$, également pour tout $1\leq l\leq n'_j$. $Z_{n'_s+1}^{s}\not= Z_{s}^j$ ; et comme la famille $(Z_{i}^{j}, Y_{i}^{j})_{(i,j)\in {{\N}^{*}}^2}$ est $p$-indépendante sur $k^p$, alors ${(Z_{n'_s+1}^{s})}^{p^{-1}}\not \in L_s$, c’est une contradiction. D’où $o({\theta}_{n'_s+1}^{s}, {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n})=1$. Soit $j$ un entier naturel différent de $0$ et $1$, supposons par application de la propriété de récurrence que $o({\theta}_{n'_s+i}^s,{\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n})=i$ pour tout $i\in \{1,\dots,j\}$. Comme ${\theta}_{n'_s+j+1}^{s}={(Z_{n'_s+j+1}^{s})}^{p^{-1}}{\theta}_{2(n'_s+j+1)}^{s-1}+{({\theta}_{n'_s+j}^{s})}^{p^{-1}}+{(Y_{n'_s+j+1}^{s})}^{p^{-1}}$, on aura ${({\theta}_{n'_s+j}^{s})}^{p^{-1}}\in {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}({\theta}_{n'_s+j+1}^s, {(Z_{n'_s+j+1}^{s})}^{p^{-1}}, $ ${(Y_{n'_s+j+1}^{s})}^{p^{-1}})$. D’où, $j+1=o({({\theta}_{n'_s+j}^s)}^{p^{-1}},{\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n})\leq o_1({\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}({\theta}_{n'_s+j+1}^s, {(Z_{n'_s+j+1}^{s})}^{p^{-1}}, {(Y_{n'_s+j+1}^{s})}^{p^{-1}})$ $/$ ${\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n})\leq o({\theta}_{n'_s+j+1}^{s},{\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n})\leq j+1$, et par suite $o({\theta}_{n'_s+j+1}^s,{\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n})=j+1$.

Comme conséquence, on a :

[\[cor16\]]{} Pour tout $s\in \N^*$, ${({\theta}_{2(n'_{s+1}+1)}^s)}^p\not\in {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}({\theta}_{2n'_{s+1}}^{s})$. En particulier, ${({\theta}_{n'_{s+1}+1}^{s+1})}^p\not\in {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}($ ${\theta}_{2n'_{s+1}}^{s})$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Si ${({\theta}_{2(n'_{s+1}+1)}^s)}^p\in {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}({\theta}_{2n'_{s+1}}^{s})$, alors $o($ ${({\theta}_{2(n'_{s+1}+1)}^s)}^p,$ $ {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n})=o({({\theta}_{n'_{s}+{\varepsilon}_s+2}^s)}^p,$ ${\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n})$ $={\varepsilon}_s+2-1\leq o({\theta}_{2n'_{s+1}}^s, {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n})=o({\theta}_{n'_{s}+{\varepsilon}_s}^s, {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n})={\varepsilon}_s$, ce qui implique que $1<0$, contradiction. D’où, ${({\theta}_{2(n'_{s+1}+1)}^s)}^p\not\in {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}({\theta}_{2n'_{s+1}}^{s})$. D’autre part, comme ${({\theta}_{n'_{s+1}+1}^{s+1})}^{p}=Z_{n'_{s+1}+1}^{s+1}{({\theta}_{2(n'_{s+1}+1)}^{s})}^p+{(Z_{n'_{s+1}}^{s+1})}^{p^{-1}}{\theta}_{2n'_{s+1}}^{s}+
{({\theta}_{n'_{s+1}-1}^{s+1})}^{p^{-1}}+Y_{n'_{s+1}+1}^{s+1}+ {(Y_{n'_{s+1}}^{s+1})}^{p^{-1}}$, et ${({\theta}_{n'_{s+1}-1}^{s+1})}^{p^{-1}}, {(Z_{n'_{s+1}}^{s+1})}^{p^{-1}}, {(Y_{n'_{s+1}}^{s+1})}^{p^{-1}}$ sont des éléments de ${\mathbf{\mathcal{F}}}_{0}^{n}$, on en déduit que ${({\theta}_{n'_{s+1}+1}^{s+1})}^p\not\in {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}({\theta}_{2n'_{s+1}}^{s})$.

[\[lema14\]]{} Pour tout $s\geq 1$, ${(Z_{n'_{s+1}+1}^{s+1})}^{p^{-1}} \not\in {\mathbf{\mathcal{F}}}^n$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}En posant $m_0=Q(({(Z_{g}^{f})}^{p^{-\infty}},$ $ {(Y_{g}^{f})}^{p^{-\infty}}$ $)_{(f,g)\in {\Delta}})$, $m=k(m_0)$ et $M_i=m(K_{i})$, $M=m(K)={\displaystyle}\bigcup_{i\geq 1} M_i$, et pour tout $i\in \N^*$, ${Z'}_{i}^{j}=Z_{n'_j+i}^{j}$, ${Y'}_{i}^{j}=Y_{n'_j+i}^{j}$ et ${\alpha}_{i}^j={\theta}_{n'_j+i}^j$ ; on se retrouve dans des conditions analogues à celles de la proposition [\[pr39\]]{}, où $X$, ${Z'}_{i}^{j}$, ${Y'}_{i}^{j}$ et ${\alpha}_{i}^j$ jouent des rôles similaires que $X$, ${Z}_{i}^{j}$, ${Y}_{i}^{j}$ et ${\theta}_{i}^j$ auquel cas le résultat découle immédiatement.

Toutefois, on vérifie aussitôt que pour tout $i\in \N^*$, ${\mathbf{\mathcal{F}}}_{i}^{n}={\mathbf{\mathcal{F}}}_{i-1}^{n}(({\alpha}_{j}^{i})_{j\geq 1})$, et pour tout $j\geq 1$, $o({\alpha}_{j}^{i},{\mathbf{\mathcal{F}}}_{i-1}^{n})=j$.

[\[lem14\]]{} ${({\mathbf{\mathcal{F}}}_{0}^{n})}^{p^{-1}}\cap {{\mathbf{\mathcal{F}}}}^n={\mathbf{\mathcal{F}}}_{0}^{n}({\alpha}_{1}^{1})$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Il est clair que ${\mathbf{\mathcal{F}}}_{0}^{n}({\alpha}_{1}^{1})\subseteq {({\mathbf{\mathcal{F}}}_{0}^{n})}^{p^{-1}}\cap {\mathbf{\mathcal{F}}}^n$. Supposons que ${({\mathbf{\mathcal{F}}}_{0}^{n})}^{p^{-1}}\cap {\mathbf{\mathcal{F}}}^n\not= {\mathbf{\mathcal{F}}}_{0}^{n}({\alpha}_{1}^{1})={\mathbf{\mathcal{F}}}_{0}^{n}({\theta}_{n'_1+1}^{1})$, donc il existe ${\theta}\in {({\mathbf{\mathcal{F}}}_{0}^{n})}^{p^{-1}}\cap {\mathbf{\mathcal{F}}}^n$ tel que ${\theta}\not\in {\mathbf{\mathcal{F}}}_{0}^{n}({\theta}_{n'_1+1}^{1})$. Soit $s$ le plus grand entier tel que ${\theta}\not\in {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s}^{n}$, donc ${\theta}\in {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s+1}^{n}$ et $1\leq s$. Comme ${\mathbf{\mathcal{F}}}_{s+1}^{n}/{\mathbf{\mathcal{F}}}_{s}^{n}$ est $q$-simple et $o({\theta}, {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s}^{n})=o({\theta}, {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n})=1$, et compte tenu de la transitivité de la linéarité disjointe, on aura ${\mathbf{\mathcal{F}}}_{s}^{n}({\theta})={\mathbf{\mathcal{F}}}_{s}^{n}({\alpha}_{1}^{s+1})\simeq {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s}^{n}\otimes_{{\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}} {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}({\theta})\simeq {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s}^{n}\otimes_{{\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}({\theta}_{2n'_{s+1}}^{s})} {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}({\theta}_{2n'_{s+1}}^s)({\theta})$. D’où ${\mathbf{\mathcal{F}}}_{s}^{n}({\theta})/{\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}({\theta}_{2n'_{s+1}}^s)$ est modulaire, en outre ${({\mathbf{\mathcal{F}}}_{s}^{n}({\theta}))}^p$ et ${\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}({\theta}_{2n'_{s+1}}^s)$ sont ${({\mathbf{\mathcal{F}}}_{s}^{n}({\theta}))}^p\cap {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}({\theta}_{2n'_{s+1}}^s)$-linéairement disjointes. Comme ${({\theta}_{2(n'_{s+1}+1)}^{s})}^p\not\in {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}({\theta}_{2n'_{s+1}}^{s})$ d’après le corollaire [\[cor16\]]{}, alors $(1,{({\theta}_{2(n'_{s+1}+1)}^{s})}^p)$ est libre sur ${\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}({\theta}_{2n'_{s+1}}^s)$, d’où $(1,{({\theta}_{2(n'_{s+1}+1)}^{s})}^p)$ est libre sur ${({\mathbf{\mathcal{F}}}_{s}^{n}({\theta}))}^p\cap {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}({\theta}_{2n'_{s+1}}^s)$. Complétons ce système en une base $B$ de ${({\mathbf{\mathcal{F}}}_{s}^{n}({\theta}))}^p$ sur ${({\mathbf{\mathcal{F}}}_{s}^{n}({\theta}))}^p\cap {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}({\theta}_{2n'_{s+1}}^s)$. En vertu de la linéarité disjointe, $B$ est aussi une base de $( {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}({\theta}_{2n'_{s+1}}^s))({({\mathbf{\mathcal{F}}}_{s}^{n}({\theta}))}^p)$ sur ${\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}({\theta}_{2n'_{s+1}}^s)$. Or, par construction, on a ${({\alpha}_{1}^{s+1})}^p={({\theta}_{n'_{s+1}+1}^{s+1})}^p=Z_{n'_{s+1}+1}^{s+1}{({\theta}_{2(n'_{s+1}+1)}^{s})}^p+{(Z_{n'_{s+1}}^{s+1})}^
 {p^{-1}}{\theta}_{2n'_{s+1}}^{s}+{({\theta}_{n'_{s+1}-1}^{s+1})}^{p^{-1}}+ Y_{n'_{s+1}+1}^{s+1}+{(Y_{n'_{s+1}}^{s+1})}^{p^{-1}}$, et ${(Z_{n'_{s+1}}^{s+1})}^
 {p^{-1}}{\theta}_{2n'_{s+1}}^{s}+{({\theta}_{n'_{s+1}-1}^{s+1})}^{p^{-1}}+ Y_{n'_{s+1}+1}^{s+1}+{(Y_{n'_{s+1}}^{s+1})}^{p^{-1}}\in {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}({\theta}_{2n'_{s+1}}^s)$, (car ${(Z_{n'_{s+1}}^{s+1})}^{p^{-1}}, {(Y_{n'_{s+1}}^{s+1})}^{p^{-1}},$ $ {({\theta}_{n'_{s+1}-1 }^{s+1})}^{p^{-1}}\in {\mathbf{\mathcal{F}}}_{0}^{n}$). Par identification, on obtient ${(Z_{n'_{s+1}+1}^{s+1})}\in {({\mathbf{\mathcal{F}}}_{s}^{n}({\theta}))}^p\cap {\mathbf{\mathcal{F}}}_{s-1}^{n}({\theta}_{2n'_{s+1}}^s)$, et donc ${(Z_{n'_{s+1}+1}^{s+1})}^{p^{-1}}\in {{\mathbf{\mathcal{F}}}_{s}^{n}({\theta})} \subseteq {\mathbf{\mathcal{F}}}^n$, c’est une contradiction d’après le lemme [\[lema14\]]{} ci-dessus ; et par suite ${({\mathbf{\mathcal{F}}}_{0}^{n})}^{p^{-1}}\cap {{\mathbf{\mathcal{F}}}}^n={\mathbf{\mathcal{F}}}_{0}^{n}({\alpha}_{1}^{1})$.

[\[lem15\]]{} Pour tout $n\in \N^*\setminus \{1\}$, $o_2({(k({\theta}_{n_1}^{1},\dots,{\theta}_{n_{p_1}}^{p_1}))}^{p^{-1}}\cap K/k)={\displaystyle}[\frac{n_1+1}{2}]$, où $p_1=lpi(n)$ et $n_1=n$, et pour tout $s\in \N^*$, $n_{s+1}={\displaystyle}[\frac{n_s}{2}]$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Notons $L=k({\theta}_{n_1}^1,\dots,{\theta}_{n_{p_1}}^{p_1})$, $L_1=L^{p^{-1}}\cap K$, et $L_2=k({\theta}_{n_1+1}^{1},{\theta}_{n_2+1}^{2})$. On distingue deux cas.

1-ier cas : si $n$ est paire, alors $n'_1=n$ et $n'_2=n_2={\displaystyle}[\frac{n}{2}]$. En vertu du lemme [\[lem14\]]{}, $L_1\subseteq {({\mathbf{\mathcal{F}}}_{0}^{n})}^{p^{-1}}\cap K\subseteq {({\mathbf{\mathcal{F}}}_{0}^{n})}^{p^{-1}}\cap {{\mathbf{\mathcal{F}}}}^n={\mathbf{\mathcal{F}}}_{0}^{n}({\alpha}_{1}^{1})$. Or, ${\mathbf{\mathcal{F}}}_{0}^{n}({\alpha}_{1}^{1})\subseteq K_1(({(Y_{i}^{j})}^{p^{-n_2}}, {(Z_{i}^{j})}^{p^{-n_2}})_{(i,j)\in {{\N}^*}\times (\N\setminus \{0,1\})})$, donc pour tout ${\beta}\in {\mathbf{\mathcal{F}}}_{0}^{n}({\alpha}_{1}^{1})$, on a ${\beta}^{p^{n_2}}\in K_1$ ; et par suite $L^{p^{-1}}\cap K\subseteq {\mathbf{\mathcal{F}}}_{0}^{n}({\alpha}_{1}^{1})\cap K\subseteq  {K_1}^{p^{-n_2}}\cap K$. Compte tenu de la proposition [\[pr18\]]{} et [\[pr19\]]{}, on a $n_2=o_2(L/k)\leq o_2(L_1/k)\leq o_2({K_1}^{p^{-n_2}}\cap K/k)=o_1({K_1}^{p^{-n_2}}\cap K/K_1)=n_2$, et donc $o_2(L_1/k)=n_2={\displaystyle}[\frac{n+1}{2}]$.

2-ième cas : si $n$ est impaire, comme $k({L_1}^p)\subseteq L\subseteq L_1$, d’après la proposition [\[pr19\]]{}, $o_i(L_1/k)=o_i(L/k)+{\varepsilon}_i$, avec ${\varepsilon}_i=0$ ou $1$. D’une part, par construction, on a ${({\theta}_{n_2+1}^{2})}^p=Z_{n_2+1}^{2}{({\theta}_{2(n_2+1)}^{1})}^p+{{\theta}_{n_2}^{2}}+{Y_{n_2+1}^{2}}$. D’autre part, on a $2n_2+1=n=n_1$, et pour tout $i\in \N^*$, $Q({\theta}_{i}^1)=Q(X^{p^{-i}})$, donc en particulier $Q({\theta}_{2n_2+1}^{1})=Q({({\theta}_{2(n_2+1)}^{1})}^p)$ ; et par conséquent, ${({\theta}_{n_2+1}^{2})}^p\in L$. On en déduit que $L_2\subseteq L_1$, et d’après la proposition [\[pr40\]]{} et la proposition [\[pr18\]]{}, on a $o_2(L_2/k)=n_2+1\leq o_2(L_1/k)\leq n_2+1$. D’où, $o_2(L_1/k)=n_2+1={\displaystyle}[\frac{n_1+1}{2}]$.

[\[lem16\]]{} Soient $n$ et $r$ deux entiers naturels avec $n$ non nul. Si ${K_r}^{p^{-n_1}}\cap K\subseteq {K_{r+1}}^{p^{-n_2}}\cap K\subseteq \dots\subseteq {K_{r+p_1-1}}^{p^{-n_{p_1}}}\cap K \subseteq K_{r+p_1}$, où $p_1=lpi(n)$, $n_1=n$, et pour tout $s\in \N^*$, $n_{s+1}={\displaystyle}[\frac{n_s}{2}]$, alors on aura ${K_r}^{p^{-n}}\cap K=K_r({\theta}_{n_{r+1}}^1,\dots,{\theta}_{n_{r+p_1}}^{p_1})$.

[[ **Preuve.** ]{}]{} Comme les $K_i/k$, $1\leq i$ sont construites de façon analogue, on se raméne au cas où $r=0$. Pour tout $n\in \N^*$, $k_n$ désigne toujours $k^{p^{-n}}\cap K$. D’une part, d’après la proposition [\[pr40\]]{}, on a $o_1(k({\theta}_{n_1}^{1},\dots, {\theta}_{n_{p_1}}^{p_1})/k)=n_1$, et donc $k({\theta}_{n_1}^{1},\dots, {\theta}_{n_{p_1}}^{p_1})\subseteq k_{n_1}$. D’autre part, comme $k_{n_1}\subseteq {K_{s-1}}^{p^{-n_s}}\cap K$, en vertu de la proposition [\[pr40\]]{}, on aura $n_s=o_s(k({\theta}_{n_1}^{1},\dots, {\theta}_{n_{p_1}}^{p_1})/k)\leq o_s(k_{n_1}/k)\leq o_s({K_{s-1}}^{p^{-n_s}}\cap K/k)=o_1({K_{s-1}}^{p^{-n_s}}\cap K/K_{s-1})=n_s$, (car ${K_{s-1}}^{p^{-n_s}}\cap K/k$ est $q$-finie et $K_{s-1}/k$ est relativement parfaite de degré d’irrationalité $s-1$) ; et donc $o_s(k_{n_1}/k)=n_s$. D’où, $k_{n_1}= k({\theta}_{n_1}^1,\dots,{\theta}_{n_{p_1}}^{p_1})$.

[**Preuve du théorème [\[thm24\]]{}.**]{} D’abord, il est à signaler qu’on va continuer à utiliser les notations du lemme ci-dessus. Soit $n$ un entier naturel non nul. D’après le corollaire [\[cor14\]]{}, pour tout $i\in \N$, ${K_i}^{p^{-1}}\cap K\subseteq {K_{i+1}}$ et ${K_i}^{p^{-2}}\cap K\subseteq {K_{i+1}}^{p^{-1}}\cap K$ ; donc le théorème est vérifié si $n\in\{1, 2\}$. Supposons que le théorème est satisfait pour tout $j\leq n$. Autrement dit, pour tout $j\leq n$, pour tout $i\in \N$, ${K_i}^{p^{-j}}\cap K\subseteq {K_{i+1}}^{p^{-{\displaystyle}[\frac{j}{2}]}}$, et montrons que ${K_i}^{p^{-n-1}}\cap K\subseteq {K_{i+1}}^{p^{-{\displaystyle}[\frac{n+1}{2}]}}$ pour tout $i\in \N$. Dans un premier temps, on se limite au cas $i=0$. Désormais et sauf mention du contraire, on notera $e={\displaystyle}[\frac{n_1+1}{2}]$.

[**Cas particulier :**]{} Compte tenu de l’hypothèse de récurrence, on a ${k}^{p^{-n_1}}\cap K\subseteq {K_{1}}^{p^{-n_2}}\cap K\subseteq \dots\subseteq {K_{p_1-1}}^{p^{-n_{p_1}}}\cap K\subseteq K_{p_1}$, où $p_1=lpi(n)$. En vertu du lemme [\[lem16\]]{}, $k_{n_1}= k({\theta}_{n_1}^1,\dots,{\theta}_{n_{p_1}}^{p_1})$, et d’après le lemme [\[lem15\]]{}, $o_2({k_{n_1}}^{p^{-1}}\cap K/k)=o_2(k_{n_1+1}/k)=e$. Comme $o({\theta}_{n_1+1}^{1}, k)=n_1+1=o_1(k_{n_1+1}/k)$, donc ${\theta}_{n_1+1}^{1}\in k_{n_1+1}$ ; et par application de l’algorithme de la complétion des $r$-bases, on complète ${\theta}_{n_1+1}^{1}$ en une $r$-base de $k_{n_1+1}/k$. D’où, pour tout ${\beta}\in k_{n_1+1}$, on a ${\beta}^{p^{e}}\in k({\theta}_{n_1+1}^1)\subseteq K_1$. Il en résulte que $k_{n_1+1}\subseteq {K_1}^{p^{-e}}\cap K$.

[**Cas général.**]{} Soit $s\geq 1$, par application successive de l’hypothèse de récurrence, on obtient ${K_s}^{p^{-n_1}}\cap K\subseteq {K_{s+1}}^{p^{-n_2}}\cap K\subseteq \dots \subseteq {K_{s+p_1-1}}^{p^{-n_{p_1}}}\cap K\subseteq K_{s+p_1}$. Dans la suite, on désire prouver que ${K_s}^{p^{-n_1-1}}\cap K\subseteq {K_{s+1}}^{p^{-e}}$. D’après le lemme [\[lem16\]]{}, on a ${K_s}^{p^{-n}}\cap K=K_s({\theta}_{n_1}^{s+1},{\theta}_{n_2}^{s+2},\dots,{\theta}_{n_{p_1}}^{s+{p_1}})$. Soit $h_0=Q(X^{p^{-\infty}}, ({(Z_{i}^{j})}^{p^{-\infty}})_{(i,j)\in \Gamma_{s+1}\setminus \{(1,s+1)\}}, {(Y_{i}^{j})}^{p^{-\infty}})_{(i,j)\in \Gamma_{s+1}})$, où ${\Gamma}_{s+1}={\N}^* \times \{2,$ $\dots,$ $ s+1\}$. Il est clair que $h_0$ est parfait. Posons également, $h=k(h_0)$. D’après le lemme [\[lem10\]]{}, pour tout $(i,j)\in {\Gamma}_s$, on a ${\theta}_{i}^{j}\in h_0$. En outre, $K_s\subseteq h$. De plus, comme pour tout $i\geq 1$, ${\theta}_{i}^{s+1}={(Z_{i}^{s+1})}^{p^{-1}}{\theta}_{2i}^{s}+\dots+ {(Z_{1}^{s+1})}^{p^{-i}}{({\theta}_{2}^{s})}^{p^{-i+1}}+{(Y_{i}^{s+1})}+\dots+ {(Y_{1}^{s+1})}^{p^{-i}}$, on en déduit que $h_0({\theta}_{i}^{s+1})=h_0({(Z_{1}^{s+1})}^{p^{-i}})$. En modifiant légèrement les notations ci-dessus, on va se ramener au conditions de l’exemple ci-haut. Pour se faire, pour tout $i\geq 1$, on pose : $H_i=h(K_{s+i})$, et par convention $H_0=h$. Notons également : $H=h(K)={\displaystyle}\bigcup_{i\geq 1} H_i$, $X'=Z_{1}^{s+1}$, et pour tout $j\geq 2$, ${Z'}_{i}^{j}=Z_{i}^{j+s}$ et ${Y'}_{i}^{j}=Y_{i}^{j+s}$. On vérifie aussitôt que $H_j={\displaystyle}\bigcup_{i\geq 1} H_{j-1} ({\beta}_{i}^{j})$, où ${\beta}_{i}^{j}={\theta}_{i}^{j+s}={(Z_{i}^{j+s})}^{p^{-1}}{\theta}_{2i}^{j+s-1}+{({\theta}_{i-1}^{j+s})}^{p^{-1}}+{(Y_{i}^{j+s})}^{p^{-1}}$ pour tout $j\geq 1$. En particulier, pour tout $j\geq 2$, ${\beta}_{i}^{j}={({Z'}_{i}^{j})}^{p^{-1}}{\beta}_{2i}^{j-1}+{({\beta}_{i-1}^{j})}^{p^{-1}}+{({{Y'}_{i}}^{j})}^{p^{-1}}$ ; et par suite on se retrouve de nouveau dans les mêmes conditions de l’exemple précédent.

Le reste de la démonstration résulte aussitôt du lemme suivant :

[\[lem17\]]{}Pour tout $(i,j)\in \N^*\times \N$, $o({\beta}_{i}^{j+1},H_j)=o({\theta}_{i}^{s+j+1},h(K_{s+j}))=i=o({\theta}_{i}^{s+j+1},K_{j+s})$. En outre, $K$ et $h$ sont $K_s$-linéairement disjointes.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Comme $(X,({Z}_{i}^{j},{Y}_{i}^{j})_{(i,j)\in \N^*\times (\N\setminus\{0,1\})}$ est algébriquement libre sur $Q$ et $h_0=Q(X^{p^{-\infty}}, $ $({(Z_{i}^{j})}^{p^{-\infty}})_{(i,j)\in \Gamma_{s+1}\setminus \{(1,s+1)\}}, {(Y_{i}^{j})}^{p^{-\infty}})_{(i,j)\in \Gamma_{s+1}})$, alors la famille $(X',({Z'}_{i}^{j},{Y'}_{i}^{j})_{(i,j)\in \N^*\times (\N\setminus\{0,1\})})$ est algébriquement indépendante sur $h_0$. D’où, de la même façon qu’au lemme [\[lem11\]]{}, pour tout $(i,j)\in \N^*\times \N$, on a $o({\beta}_{i}^{j+1},H_j)=o({\theta}_{i}^{s+j+1},h(K_{s+j}))=i=({\theta}_{i}^{s+j+1},K_{j+s})$, ou encore pour tout $(i,j)\in \N^*\times \N$, $H_{j}$ et $K_{s+j}({\beta}_{i}^{j+1})$ sont $K_{s+j}$-linéairement disjointes. Comme, $K_{j+s+1}$ est réunion croissante d’extensions $(K_{j+s}({\beta}_{i}^{j+1}))_{i\geq 1}$, on en déduit que $K_{j+s+1}$ et $H_j$ sont $K_{s+j}$-linéairement disjointes pour tout $j\in \N$. Par application successive de la transitivité de la linéarité disjointe, on aura $K_{j+s+1}$ et $H_0$ sont $K_{s}$-linéairement disjointes. Or, $K$ est réunion croissante des sous-extensions ${(K_n)}_{n\geq s}$, donc $K$ et $h$ sont $K_s$-linéairement disjointes.

[**Suite de la preuve du théorème [\[thm24\]]{}.**]{} Pour des raisons d’écriture, on pose $N= h({\beta}_{n_1}^{1},\dots,{\beta}_{n_{p_1}}^{p_1})$. On montre à la même façon du lemme [\[lem15\]]{} que $o_2({N}^{p^{-1}}\cap H/h)=e$. Or, ${K_s}^{p^{-n_1}}\cap K=K_s({\beta}_{n_1}^{1},\dots,{\beta}_{n_{p_1}}^{p_1})\subseteq N$, donc ${K_s}^{p^{-n_1-1}}\cap K\subseteq {N}^{p^{-1}}\cap H$. Comme $K$ et $h$ sont $K_s$-linéairement disjointes, alors en particulier, $h({K_s}^{p^{-n_1-1}}\cap K)\simeq h\otimes_{K_s} {K_s}^{p^{-n_1-1}}\cap K$ ; et par suite d’après les propositions [\[pr16\]]{}, [\[pr19\]]{}, $o_2(h({K_{s}}^{p^{-n_1-1}}\cap K)/h)=o_2( h\otimes_{K_s} {K_{s}}^{p^{-n_1-1}}\cap K/h)=o_2({K_{s}}^{p^{-n_1-1}}\cap K/K_s)\leq o_2({N}^{p^{-1}}\cap H/h)=e$. Comme $o({\theta}_{n_1+1}^{s+1},K_s)=n_1+1$, par application de l’algorithme de la complétion des $r$-bases, on complète ${\theta}_{n_1+1}^{s+1}$ en une $r$-base canoniquement ordonnée de ${K_s}^{p^{-n_1-1}}\cap K/K_s$ ; et donc $o_2({K_s}^{p^{-n_1-1}}\cap K/K_s)=o_1({K_s}^{p^{-n_1-1}}\cap K/K_s({\theta}_{n_1+1}^{s+1}))\leq e$. Par conséquent, pour tout $x\in {K_s}^{p^{-n_1-1}}\cap K$, $x^{p^{e}}\in K_s({\theta}_{n_1+1}^{s+1})\subseteq K_{s+1}$ ; il en résulte que $x\in {K_{s+1}}^{p^{-e}}\cap K$. D’où ${K_{s}}^{p^{-n_1-1}}\cap K\subseteq {K_{s+1}}^{p^{-e}}\cap K$.

[\[cor17\]]{} Pour tout $(n,s)\in N^*\times \N$, ${K_s}^{p^{-n}}\cap K=K_s({\theta}_{n_1}^{s+1},{\theta}_{n_2}^{s+2},\dots,$ ${\theta}_{n_{p_1}}^{s+p_1})$, où $n_1=n$, $lpi(n)=p_1$, et pour tout $s\in \N^*$, $n_{s+1}={\displaystyle}[\frac{n_s}{2}]$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Démonstration analogue à celle du lemme [\[lem16\]]{}.

Voici une liste de conséquences du théorème [\[thm22\]]{},

[\[thm25\]]{} La plus petite sous-extension $m/k$ de $K/k$ telle que $K/m$ est modulaire est triviale. Autrement dit $mod(K/k)=K$

[[ **Preuve.** ]{}]{}Notons $m=mod(K/k)$. Si $m\not=K$, en vertu du théorème [\[thm22\]]{}, il existe $i\in \N^*$ tel que $K_i\subseteq m\subseteq K_{i+1}$ et $m/K_i$ est fini. Comme $di(K/K_{i+1})$ est infini, il en est de même de $di(K/m)$. En vertu du corollaire [\[acor1\]]{}, $di(m^{p^{-1}}\cap K/m)=di(K/m)$, donc $di(m^{p^{-1}}\cap K/m) $ est infini. Par ailleurs, il existe $e\in \N$, tel que $m\subseteq {K_i}^{p^{-e}}\cap K$, ($m/K_i$ est finie), et donc $m^{p^{-1}}\cap K\subseteq {K_i}^{p^{-e-1}}\cap K$. Compte tenu du théorème [\[thm4\]]{}, on a $di(m^{p^{-1}}\cap K /m)\leq di({K_i}^{p^{-e-1}}\cap K/K_i) <+\infty$, c’est une contradiction avec le fait que $ di(m^{p^{-1}}\cap K /m)$ est infini. D’où $m=K$.

[\[cor18\]]{} Pour tout $j\geq 1$, $mod(K/K_j)=K$.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Immédiat.

Soit ${\Omega}$ une clôture algébrique de $K$. Dans $[k :{\Omega}]$ on définit la relation $\sim$ de la façon suivante : $K_1\sim K_2$ si $K_1\subseteq K_2$ et $K_2/K_1$ est finie ou $K_2\subseteq K_1$ et $K_1/K_2$ est finie. On vérifie aussitôt que $\sim$ est réflexive, symétrique, cependant $\sim$ est généralement non transitive. Il est immédiat que

**

$\{K_i/k, \, i\geq 1\}$ est l’ensemble des représentants des sous-extensions d’exposant non borné de $K/k$ pour la relation $\sim$.

$K/k$ et $(K_i/k)_{i\in \N}$ sont les seules sous-extensions relativement parfaites de $K/k$.

Pour tout $i,j \in \N$ tels que $i<j$, $mod(K_j/K_i)=K_{j-1}$.

Caractérisation des extensions $q$-finies
-----------------------------------------

[\[pr37\]]{} Toute extension absolument $lq$-finie $K/k$ est $q$-finie sur $mod($ $K/k)$. En particulier, toute extension qui est à la fois modulaire et absolument $lq$-finie est $q$-finie

[[ **Preuve.** ]{}]{}Notons $m=mod(K/k)$. Le cas $m=K$ est trivial, pour cela on suppose que $m\not =K$. D’après la proposition [\[pr23\]]{}, $di(m^{p^{-1}}\cap K/m)=di(K/m)$. Comme $K/k$ est absolument $lq$-finie, il en est de même de $K/m$, et donc $di(K/m)$ est fini.

[\[thma1\]]{} Une extension absolument $lq$-finie $K/k$ est $q$-finie si et seulement si pour tout corps intermédiaire $L$ de $K/k$, la plus petite sous-extension $m$ de $L/k$ telle que $L/m$ est modulaire est non triviale ($m\not= L$).

[[ **Preuve.** ]{}]{}La condition nécessaire résulte du théorème [\[thm27\]]{}. Inversement, considérons la suite décroissante $(m_i)$ de sous-extensions de $K/k$ définie par : $m_0=K$, et pour tout $i\geq 1$, $m_{i}=mod(m_{i-1}/k)$. Par hypothèse, si $m_{i-1}\not=k$, alors $m_i\not=m_{i-1}$. Toutefois, comme toute suite décroissante de sous-extensions de $K/k$ est stationnaire, on en déduit l’existence d’un entier $j$ tel que $m_j=k$. Par suite, on aura $K=m_0 \longleftarrow m_1 \longleftarrow\dots \longleftarrow m_{j-1} \longleftarrow m_j=k$. En particulier, pour tout $i\in \{1,\dots,j\}$, $m_{i-1}/m_i$ est absolument $lq$-finie, et par suite d’après la proposition [\[pr37\]]{}, $m_{i-1}/m_i$ est $q$-finie. D’où, $K/k$ est $q$-finie.

Comme conséquence immédiate des théorèmes [\[thma1\]]{} et [\[thm19\]]{}, on a

Pour qu’une extension purement inséparable $K/k$ soit $q$-finie il faut et il suffit qu’elle satisfait les deux conditions suivantes :

**

Toutes suite décroissante de sous-extensions de $K/k$ est stationnaire.

Pour tout corps intermédiaire $L$ de $K/k$, on a $mod(L/k)\not= L$.

Par ailleurs, voici une propriété caractéristique qui permet d’identifier les extensions moduliares qui sont $q$-finies.

[\[thm20\]]{} Soit $K/k$ une extension purement inséparable et modulaire. Les assertions suivantes sont équivalentes :

**

Toute suite décroissante de sous-extensions de $K/k$ est stationnaire.

Toute ensemble de sous-extensions de $K/k$ admet un élement minimal.

$K/k$ est $q$-finie.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Découle aussitôt du théorème [\[thm19\]]{} et la proposition [\[pr37\]]{}.

Comme application immédiate, on a :

Soit $k$ un corps commutatif de caracterstique $p>0$, et $\Omega$ une clôture algébrique de $k$. Il est équivalent de dire que :

**

$di(k)$ est fini.

Toute ensemble de sous-extensions purement inséparables de $\Omega/k$ admet un élement minimal.

Toute suite décroissante de sous-extensions purement inséparables de $\Omega/k$ est stationnaire.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Il suffit de remarquer que la clôture purement inséparable $k^{p^{-\infty}}$ de $\Omega/k$ est modulaire sur $k$, et $di(k)=di(k^{p^{-\infty}}/k)$. Par suite, le résulat découle aussitôt du théorème [\[thm20\]]{}.

Soit $K/k$ une extension modulaire d’exposant non borné. Pour que $K/k$ soit $q$-finie, il suffit de modifier légérement la condition suffisante du théorème ci-dessus de la façon suivante :

[\[thm21\]]{} Pour qu’une extension modulaire d’exposant non borné $K/k$ soit $q$-finie il faut et il suffit que toute suite décroissante de sous-extensions d’exposant non borné de $K/k$ soit stationnaire.

Pour la preuve nous aurons besoin du résultat suivant :

[\[lem9\]]{} Soit $K/k$ une extension purement inséparable d’exposant non borné et de degré d’irratinalité infini. Si de plus, $K/k$ est relativement parfaite et modulaire, alors $K/k$ contient une sous-extension propre $L/k$ d’exposant non borné et modulaire.

[[ **Preuve.** ]{}]{}On va construire par récurrence une suite strictement croissante $(K_n/k)_{n\geq 1}$ de sous-extensions modulaires d’exposant $n$ de $K/k$. Comme $K/k$ est relativement parfaite, d’après la proposition [\[thm13\]]{} et le corollaire [\[acor1\]]{}, pour tout $n\geq 1$, $ di(k^{p^{-n}}\cap K/k)=di(k^{p^{-1}}\cap K/k)=di(K/k)$ et $k^{p^{-n}}\cap K/k$ est équiexponentielle d’exposant $n$. Soit $G_1$ une $r$-base de $k^{p^{-1}}\cap K/k$, il en résulte que $k^{p^{-1}}\cap K\simeq \otimes_k (k(a))_{a\in G_1}$. Choisissons un élément $x$ de $G_1$, comme $G_1$ est infini, il existe un sous-ensemble fini $G'_1$ de $G_1$ tel que $x \not \in k(G'_1)$. Posons $K_1=k(G'_1)$, il est clair que $K_1/k$ est modulaire. Supposons qu’on a construit une suite de sous-extensions finies $k\subseteq K_1\subseteq K_2\subseteq \dots K_n$ de $K/k$ telle que

**

Pour tout $i\in \{1,\dots,n\}$, $K_i/k$ est modulaire.

Pour tout $i\in \{1,\dots,n\}$, $o_1(K_i/k)=i$.

$x\not\in K_n$.

Soit $G_{n+1}$ une $r$-base de $k^{p^{-n-1}}\cap K/k$, d’après la proposition [\[pr26\]]{}, $k^{p^{-n-1}}\cap K\simeq \otimes_k (k(a))_{a\in G_{n+1}}$. Comme $o_1(K_{n}/k)=n$, on en déduit que $K_n\subseteq k^{p^{-n-1}}\cap K$. Or $K_n/k$ est finie et $G_{n+1}$ est infinie, donc il existe une partie finie $G'_{n+1}$ de $G_{n+1}$ telle que $K_n\subseteq k(G'_{n+1})$. Deux cas peuvent se produire :

1-ier cas si $x\not\in k(G'_{n+1})$, alors $K_{n+1}=k(G'_{n+1})$ convient.

2-ième cas si $x\in k(G'_{n+1})$, comme $k^{p^{-n-1}}\cap K\simeq \otimes_k (\otimes_k (k(a))_{a\in G'_{n+1}})\otimes_k (\otimes_k (k(a))_{a\in G_{n+1}\setminus G'_{n+1}})$, donc $x\not\in k(G_{n+1}\setminus G'_{n+1})$ ; sinon puisque $k(G'_{n+1})$ et $k(G_{n+1}\setminus G'_{n+1})$ sont $k$-linéairement disjoints, alors $x \in k(G'_{n+1})\cap k(G_{n+1}\setminus G'_{n+1})=k$, absurde. Soit $y$ un élément de $G_{n+1}\setminus G'_{n+1}$, ($y$ existe car $G_{n+1}$ est infinie et $G'_{n+1}$ est finie). Notons $K_{n+1}=K_n(y)$, on vérifie aussitôt que :

**

$K_{n+1}/k$ est finie, et $o_1(K_{n+1}/k)=o(y,k)=n+1$.

$K_{n+1}\simeq K_n\otimes_k k(y)$, (application de la transitivité de la linéarité disjointe de $k(G'_{n+1})$ et $k(G_{n+1}\setminus G'_{n+1})$), et comme $K_n/k$ est modulaire, d’après la proposition [\[apr1\]]{}, $K_{n+1}/k$ est modulaire.

$x \not\in K_{n+1}$, sinon comme $k^{p^{{-n-1}}}\cap K\simeq k(G'_{n+1})\otimes_k k(G_{n+1}\setminus G'_{n+1})\simeq K_n(G'_{n+1})\otimes_{K_n} K_n(G_{n+1}\setminus G'_{n+1})$, alors $x\in k(G'_{n+1})\cap K_n(y)\subseteq K_n(G'_{n+1})$ $\cap K_n (G_{n+1}\setminus G'_{n+1})=K_n$, abbsurde.

D’où $K_{n+1}/k$ convient, et par suite $L={\displaystyle}\bigcup_{i\geq 1}K_i$ satisfait les conditions du théorème ci-dessus.

[**Preuve du théorème [\[thm21\]]{}**]{} Il suffit de montrer que $2\Rightarrow 1$. Pour cela, on va utiliser un raisonnement par contraposé. Supposons que $K/k$ n’est pas $q$-finie, et soit $G$ une $r$-base de $K/k(K^p)$. Si $|G|$ est infinie, il existe une famille $(a_i)_{i\in \N^*}$ d’éléments de $G$ deux à deux distincts. Pour tout $n\in N^*$, notons $K_n=k(K^p)(G\setminus \{a_1,\dots,a_n\})$, et $K_0=K$. Il est clair que la suite $(K_n)_{n\in N}$ de sous-extensions d’exposant non borné de $K/k$ est décroissante, mais comme $G$ est une $r$-base de $K/k(K^p)$, alors pour tout $n\in\N$, $K_n\not= K_{n+1}$ ; et par suite la suite $(K_n/k)_{n\in \N}$ est non stationnaire, donc on est amené au cas où $|G|$ est fini. Posons $e=o_1(k(G)/k)$ et $L_1=k(K^{p^e})$. D’une part, d’après la proposition [\[pr23\]]{}, $L_1/k$ est modulaire. D’autre part, Comme $K=k(K^p)(G)$, alors $k(K^{p^e})=k(K^{p^{e+1}})(G^{p^e})=k(K^{p^{e+1}})$ ; ou encore $L_1/k$ est relativement parfaite. On vérifie aussitôt que :

**

Si $L_1/k$ est $q$-finie, il en est de même de $K/k$ puisque $di(K/k)\leq di(K/L_1)$ $+di(L_1/k)$.

Si $L_1/k$ n’est pas $q$-finie, d’après le lemme [\[lem9\]]{}, $L_1/k$ contient une sous-extension propre modulaire d’exposant non borné $L_2/k$, et on distingue deux cas :

1-ier cas : Si $L_2/k$ est $q$-finie, comme $L_1/k$ n’est pas $q$-finie et modulaire, d’après le corollaire [\[acor1\]]{}, $di(k^{p^{-1}}\cap L_1 /k)$ est infini. Notons $M=L_2(k^{p^{-1}}\cap L_1)$. Il est immédiat que $di(M/k)\geq di(k^{p^{-1}}\cap L_1/k)$, et comme $L_2/k$ est $q$-finie, alors $di(M/L_2)$ est infini. Par suite si $G$ est une $r$-base de $M/L_2$, alors $|G|$ est infini. Comme dans le cas précédent, on construit une suite strictement décroissante de sous-extensions de $K/k$.

2-ième cas si $L_2/k$ n’est pas $q$-finie, on se ramène aux conditions de $K/k$, et en répétant les même procédures, on construit une suite décroissante non stationnaire $(L_n/k)_{n\geq 1}$ de sous extensions de $K/k$.

L’absolument $lq$-finitude et la $w_0$-génératrice
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Rappelons qu’une extension $K/k$ est dite $w_0$-génératrice, s’elle n’admet aucune sous-extension propre d’exposant non borné. Pour plus de détails sur ce sujet, se référer aux articles [@Dev2] et [@Che-Fli2].

[\[thm18\]]{}Toute extension absolument $lq$-finie est composée d’éxtensions $w_0$-génératrices.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Si $K/k$ est finie ou $w_0$-génératrice, c’est terminé. Sinon, soit $H$ l’ensemble de sous-extensions d’exposant non borné de $K/k$. D’après la proposition [\[pr31\]]{}, $H$ admet une sous-extension minimale d’exposant non borné de $K/k$ que l’on note $K_1$. Nécessairement, $K_1/k$ est $w_0$-génératrice. Supposons qu’on a construit une suite de sous-extensions de $K/k$ telle que $k=K_0\subseteq K_1\subseteq \dots\subseteq K_n$, et pour tout $i\in \{1,\dots, n\}$, $K_{i}/K_{i-1}$ est $w_0$-génératrice. Si $K=K_n$, on s’arrête. Sinon, Comme $K/K_n$ est absolument $lq$-finie, on reprond avec $K/K_n$, et donc il existe une sous extension $K_{n+1}/K_n$ de $K/k_n$ telle que $K_{n+1}/K_n$ est $w_0$-génératrice. D’où, compte tenu de la propriété de récurrence, il existe une suite de sous-extensions $(K_i/k)$ de $K/k$ telle que $k=K_0\subseteq K_1\subseteq \dots\subseteq K_n\subseteq\dots\subseteq K$ et pour tout $i\geq 1$, $K_i/K_{i-1}$ est $w_0$-génératrice.

Comme application de la proposition [\[pr37\]]{}, on a :

[\[cor13\]]{} Soit $K/k$ une extension absolument $lq$-finie, si de plus $K/k$ est $w_0$-génératrice, alors $mod(K/k)\not=K$ si et seulement si $K/k$ est $q$-finie.

[[ **Preuve.** ]{}]{}Immédiat.

[999]{} N. Bourbaki, [*Eléments de Mathématique Théorie des ensembles,*]{} Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006 N. Bourbaki, [*Algèbre, Chapitre 1 à 3,*]{} Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007 Michael D. Fried and Moshe Jarden, [*Field Arithmetic,*]{} Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008 M. Chellali et E. Fliouet, [ *Sur les extensions purement inséparable,*]{} Arch. Math. Vol [**81**]{}, (2003), 369-382 M. Chellali et E. Fliouet, [[*Extension presque modulaire,* ]{}]{} Ann.Sci.Math Québec Vol [**28**]{} no. 1-2, (2004), 65-75 M. Chellali et E. Fliouet, [*Extensions purement inséparables d’exposant non borné,*]{} Archivum Mathematicum [**40**]{}, (2004), 129-159. M. Chellali et E. Fliouet, [*Théorème de la clôture $lq$-modulaire et applications ,*]{} Colloq. Math. [**122**]{}, (2011), 275-287 M. Chellali et E. Fliouet, [*Extensions i-Modulaires,*]{} International Journal of Algebra, Vol. [**6**]{}, (2012), no. 10, 457-492 M. Chellali et E. Fliouet, [*Sur la tour des clôtures modulaires,*]{} An. St. Univ. Ovidius Constanta Vol. [**14(1)**]{}, (2006), 45-66, J.K. Deveney, [*An intermediate theory for a purely inseparable Galois theory,*]{} Trans. Amer. Math. Soc. [**198**]{}, (1974), 287-295. J.K. Deveny, [*$w_0$-generated field extensions,*]{} Arch. Math. [**47**]{}, (1986), 410-412. J.K. Deveney et J.N. Mordeson, [*Higher derivation Galois theory of inseparable field extensions,*]{} Handbook of Algebra, Vol [**1**]{}, (1996), 189-220. J.K. Deveney et J.N. Mordeson, [*Invariance in inseparable Galois theory*]{}, Rocky Mountain J. Math. [**83**]{}, (1979), 655-662. L.A. Kime, [*Purely inseparable modular extensions of unbounded exponent,*]{} Trans. Amer. Math. Soc [**176**]{}, (1973) , 335-349. J.N. Mordeson et W.W. Shoultz, [*$p$-bases of inseparable field extensions,*]{} Arch. Math [**227**]{}, (1973), 44-49. J.N. Mordeson and B.Vinograde, [*Structure of arbitrary purely inseparable extension fields*]{}, Springer-Verlag, Berlin, LNM [**173**]{}, (1970). G. Pickert, [*Inseparable Körperweiterungen,*]{} Math. Z. [**52**]{}, (1949), 81-135. M.E. Sweedler, [*Structure of inseparable extensions*]{}, Ann. Math. [**87**]{} (2), (1968), 401-410. W.C. Waterhouse, [*The structure of inseparable field extensions,*]{} Trans. Am. Math. Soc. [**211**]{}, (1975), 39-56.

[: [*EL Hassane Fliouet*]{}, Regional Center for the Professions of Education and Training, Agadir, Morocco e-mail: `fliouet@yahoo.fr`. ]{}
