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bibliography:
- 'Thomas.bib'
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[**Star Products that can not be induced by Drinfeld Twists**]{}\
![image](uni){width="6cm"}\
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[with]{}\
[Prof. Dr. Stefan Waldmann]{}\
[and]{}\
[Dr. Chiara Esposito]{}\

Summary of this Thesis {#summary-of-this-thesis .unnumbered}
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We give obstructions to the existence of Drinfeld twists on connected compact $ 2 $-dimensional symplectic manifolds. In fact, only the $ 2 $-torus permits a twist star product that deforms the symplectic structure. The main observation in the line of arguments is that a twist star product forces such a symplectic manifold to be a homogeneous space. This immediately excludes the higher pretzel surfaces $ \mathrm{T}(g) $ since they can not be structured as homogeneous spaces: by a theorem due to G. D. Mostow the Euler characteristic $ \chi $ of a compact homogeneous space is non-negative, while $ \chi(\mathrm{T}(g))=2-2g $. The $ 2 $-sphere $ \mathbb{S}^{2} $ is a bit more involved. A. L. Onishchik classified all connected Lie groups that act transitively and effectively on $ \mathbb{S}^{2} $ up to equivalence. In particular, they are semisimple Lie groups. We prove that a twist star product on $ \mathbb{S}^{2} $ induces a transitive effective action of a connected Lie group on $ \mathbb{S}^{2} $ that is not semisimple, to produce an obstruction also in this situation. It is the Etingof-Schiffmann subgroup of the $ r $-matrix corresponding to the twist.

Summary of this Thesis (in German) {#summary-of-this-thesis-in-german .unnumbered}
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In dieser Masterarbeit geben wir Obstruktionen für die Existenz von Drinfeld Twists auf zusammenhängenden, kompakten, $ 2 $-dimensionalen symplektischen Mannigfaltigkeiten. Einzig der $ 2 $-Torus besitzt ein Twist-Sternprodukt, welches die symplektische Struktur deformiert. Das Hauptargument der Beweisführung ist dabei, dass solch eine symplektische Mannigfaltigkeit mit einem Twist-Sternprodukt bereits ein homogener Raum ist. Somit können wir sofort die höheren Brezelflächen $ \mathrm{T}(g) $ ausschließen, da diese keine homogenen Räume sind: Nach einem Satz von G. D. Mostow ist die Euler-Charakteristik $ \chi $ eines kompakten homogenen Raumes nicht-negativ, während $ \chi(\mathrm{T}(g))=2-2g $. Die Argumentation für die $ 2 $-Spähre ist etwas aufwendiger. A. L. Onishchik klassifizierte bis auf Äquivalenz alle zusammenhängenden Lie-Gruppen, welche transitiv und effektiv auf $ \mathbb{S}^{2} $ wirken. Diese Lie-Gruppen sind insbesondere halbeinfach. Wir beweisen, dass ein Twist-Sternprodukt auf $ \mathbb{S}^{2} $ die transitive und effektive Lie-Gruppen-Wirkung einer zusammenhängenden nicht-halbeinfachen Lie-Gruppe induziert, um auch in diesem Fall eine Obstruktion zu erhalten. Es ist die Etingof-Schiffmann-Untergruppe der $ r $-Matrix, welche dem Twist zugehört.
