\

[**Dois Problemas em Equações Diferenciais Parciais**]{}\
[\
]{}\
[Paulo R. Zingano]{}\
\
[Departamento de Matemática Pura e Aplicada]{}\
\
[Universidade Federal do Rio Grande do Sul]{}\
\
[Porto Alegre, RS 91509-900, Brazil]{}\
[\
]{}\
*Trabalho inédito submetido para avaliação*\
*para fins de progressão funcional à Classe E*\
[\
]{}\
[**Abstract**]{}\
\

[ In this work, we examine two important problems in the theory of nonlinear partial differential equations. In [Part I]{}, we propose and solve a more general and complete version of the celebrated Leray’s problem for the incompressible Navier-Stokes equations in $ \mathbb{R}^{3} \!$, which in its simplest form was suggested by J.$\;$Leray in 1934 (and solved only in the 1980s by T.$\;$ Kato, K.$\;$Masuda and other authors). A number of related new results of clear interest to the theory of Leray’s solutions are also given here.\
In [Part II]{}, which is independent of [Part I]{} and can be read separately, we introduce an important new collection of problems concerning global existence results and blow-up phenomena for solutions of conservative advection-diffusion equations in $ \mathbb{R}^{n} $ where heterogeneities in the lower order terms tend to destabilize the solution (everywhere or in certain regions), strongly competing with the viscous dissipation effects to determine the overall solution behavior. This work extends some recent contributions led by the author [@Zingano2010; @Zingano2011] (see also [@BarrionuevoOliveiraZingano2014; @BrazMeloZingano2015]) where the analysis was confined to one-dimensional problems, primarily in the case of linear advection, for which solutions are automatically global and can only misbehave by increasing unboundedly as $ t \rightarrow \infty $. Here, we consider the much more challenging case of superlinear advection (and arbitrary dimension), which may cause finite-time blow-up in several important spaces. We then point out a new kind of phenomena — one that may be properly named “anti-Fujita" for its vivid contrast to the type of blow-up behavior discovered by Fujita in the 1960s, and which has been investigated ever since — that has apparently been completely overlooked in the literature. For better clarity, we restrict ourselves here to the case of linear nondegenerate diffusion, but similar properties and behavior are also to be found in much more general diffusion phenomena, as will be reported shortly. ]{}

\
[**Índice**]{}\
[\
]{}[Parte I: Problema de Leray]{}\
\
1. Introdução $\;$1\
2. Preliminares, I $\;$7\
3. Preliminares, II $\;$12\
4. Prova de (1.12$a$) $\;$16\
5. Prova de (1.12$b$) $\;$23\
Apêndice A $\;$28\
[\
]{}[Parte II: Problema de Existência Global para Equações de Advecção-Difusão Conservativas]{}\
\
1. Introdução $\;$31\
2. Preliminares $\;$35\
3. Prova de (1.10) $\;$40\
4. Condições de existência global $\;$48\
[\
]{}[Referências]{} $\;$51\
[\
]{}[\
]{}[**Contribuições Principais**]{}\
[\
]{}[Parte I]{}\
\
Teorema 3.1 $\;$12\
Teorema 4.1 $\;$16\
Teorema 5.1 $\;$23\
Teorema A.1 $\;$30\
[\
]{}[Parte II]{}\
\
Teorema A $\;$33\
Teorema B $\;$34\
Teorema 3.1 $\;$40\
Teorema 4.1 $\;$48\

\

[Parte I]{}\
[\
]{}\
[**Problema de Leray**]{}\

\
[**1. Introdução**]{}\
Em seu trabalho seminal [@Leray1934], Leray construiu soluções (fracas) globais de energia finita $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \in $ $ {\displaystyle
L^{\infty}([\;\!0, \infty), \:\!L^{2}_{\sigma}(\mathbb{R}^{3}))
\cap
C_{\!\;\!w}([\;\!0, \infty), \:\!L^{2}(\mathbb{R}^{3}))
\cap
L^{2}([\;\!0, \infty), \;\!\dot{H}^{1}(\mathbb{R}^{3}))
} $ para as equações de Navier-Stokes em $ \mathbb{R}^{3} \!\:\!$,\
\
$$\tag{1.1$a$}
\mbox{\boldmath $u$}_{t} +\,
\mbox{\boldmath $u$} \!\;\!\cdot\!\;\! \nabla\;\!
\mbox{\boldmath $u$}
\,+\,
\nabla p
\,=\;
\nu \,
\Delta \mbox{\boldmath $u$},
\qquad
\nabla \!\cdot\!\;\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\,=\,0,$$\
$$\tag{1.1$b$}
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,0) \,=\,
\mbox{\boldmath $u$}_0 \in L^{2}_{\sigma}(\mathbb{R}^{3}),
$$\
onde $ \nu > 0 $ é constante, e $ {\displaystyle
L^{2}_{\sigma}(\mathbb{R}^{3})
} $ denota o espaço de funções $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\bf u} =
(\:\! \mbox{u}_{\mbox{}_{1}} \!\:\!,
 \:\! \mbox{u}_{\mbox{}_{2}} \!\:\!,
 \:\! \mbox{u}_{\mbox{}_{3}} \!\;\!)
\in L^{2}(\mathbb{R}^{3})
\;\!
} $ com $ {\displaystyle
\;\!
\nabla \!\cdot \mbox{\bf u}
= 0
} $ em $ {\cal D}^{\prime}(\mathbb{R}^{3}) $. Ademais, estas soluções reproduzem o estado inicial $ \mbox{\boldmath $u$}_0 \!\;\!$ em $ L^{2} \!\;\!$ (i.e., $ {\displaystyle
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) - \mbox{\boldmath $u$}_{0} \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\!\,\!\rightarrow 0
\;\!
} $ ao $\;\! t \mbox{\footnotesize $\,\searrow\,$} 0 $) e satisfazem a desigualdade de energia\
\
$$\tag{1.2}
\|\,\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\:\!+\;
2 \;\!\nu \!\!\;\!
\int_{0}^{\;\!\mbox{\mbox{\footnotesize $t$}}} \!
\|\, D \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\;\!ds
\;\leq\;
\|\,\mbox{\boldmath $u$}_{0} \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
$$\
para todo $ t > 0 $ [@Galdi2000; @KreissLorenz1989; @Leray1934; @Serrin1963]. Enquanto a [*unicidade*]{} das soluções de Leray correspondentes a um estado inicial $ \mbox{\boldmath $u$}_0 \in L^{2}_{\sigma}(\mathbb{R}^{3}) $ qualquer permanece fundamentalmente em aberto até hoje, Leray mostrou que existe um instante de tempo $ {\displaystyle
\;\!
0 < \mbox{\small $T$}_{\!\:\!\ast\ast}
\!\;\!< \infty
\:\!
} $ (dependendo dos dados $ \nu, \;\!\mbox{\boldmath $u$}_0 $ fornecidos) tal que $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\boldmath $u$} \in
C^{\infty}(\mathbb{R}^{3} \!\times\!\:\!
[\,\mbox{\small $T$}_{\!\:\!\ast\ast}\!\;\!, \infty))
} $[^1] e\
\
$$\tag{1.3}
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \in
L^{\infty}_{\tt loc}
([\;\!\mbox{\small $T$}_{\!\:\!\ast\ast},\infty),
H^{m}(\mathbb{R}^{3}))
$$\
para cada $ m \geq 0 $, onde $ H^{m}(\mathbb{R}^{3}) $ denota o espaço de Sobolev das funções (neste caso, com valores em $ \mathbb{R}^{3} $) em $ L^{2}(\mathbb{R}^{3}) $ com derivadas (espaciais) fracas de ordem até $m$ em $ L^{2}(\mathbb{R}^{3}) $. Um problema básico importante deixado aberto por Leray em 1934 foi (denotando $ {\displaystyle
\;\!
W(t) := \|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\!\:\!
} $, como em [@Leray1934]):\
\

\
ou seja, se vale (ou não) que\
\
$$\tag{1.4}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}
\:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
=\; 0.$$\
Esta questão somente foi resolvida (positivamente) 50 anos mais tarde por Kato [@Kato1984] e subsequentemente também por outros autores [@KajikiyaMiyakawa1986; @Masuda1984; @Wiegner1987]. Vários desenvolvimentos e extensões importantes de (1.4) vem sendo estabelecidos (ver e.g.$\;$[@BenameurSelmi2012; @BrazLorenzMeloZingano2014; @KreissHagstromLorenzZingano2003; @OliverTiti2000; @SchonbekWiegner1996; @SchutzZinganoZingano2014] e a discussão abaixo). Em particular, uma prova extremamente simples para (1.4) foi obtida em [@SchutzZinganoZingano2014], com base no método em [@KreissHagstromLorenzZingano2003], utilizando somente técnicas já conhecidas em 1934!$\:\!$[^2] $\!$($\,\!$Para uma descrição detalhada do método em [@SchutzZinganoZingano2014], ver [@Perusato2014].)\
Dado $ t_0 \!\geq 0 $, é natural que se tente aproximar as soluções $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $ de (1.1) para $ t > t_0 $ pelas soluções $ {\displaystyle
\mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t) =
e^{\nu \:\! \Delta \:\!(t - t_0)} \;\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0)
} $ dos problemas lineares associados\
\
$$\tag{1.5}
\mbox{\boldmath $v$}_{t}
\,=\;
\nu \,
\Delta \mbox{\boldmath $v$},
\qquad
\mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t_0) \,=\,
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0).$$\
Para estas soluções, é fácil obter várias estimativas de decaimento, como e.g.\
\
$$\tag{1.6$a$}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}
\:
\|\, \mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
\,=\;
0,$$\
$$\tag{1.6$b$}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}
\:
t^{\mbox{}^{\;\! \frac{\scriptstyle n}{\scriptstyle 4}}}
\,\!
\|\, \mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\,=\;
0,$$\
$$\tag{1.6$c$}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}
\:
t^{\mbox{}^{\;\! \frac{\scriptstyle s}{\scriptstyle 2}}}
\,\!
\|\, \mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \dot{H}^{\!\;\!s}(\mathbb{R}^{n})}}
\,=\;
0,
\qquad
s \geq 0,$$\
válidas para todo $n$. (Em (1.6$c$) acima, $ \!\:\!\dot{H}^{\!\;\!s}\!\;\!(\mathbb{R}^{n}) $ denota o espaço de Sobolev homogêneo formado pelas funções $ {\displaystyle
\mbox{\boldmath $v$} = (v_{\scriptscriptstyle 1}\!\;\!,\!...,v_{n})
\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})
} $ tais que $ {\displaystyle
\;\!
| \cdot |^{\,\!s}_{\mbox{}_{2}} \:\!
|\,\hat{\mbox{\boldmath $v$}}(\cdot)\,|_{\mbox{}_{2}}
\in\!\;\! L^{2}(\mathbb{R}^{n})
} $, onde $ \hat{\mbox{\boldmath $v$}}(\cdot) $ denota a transformada de Fourier de $ \mbox{\boldmath $v$}(\cdot) $, com norma $ {\displaystyle
\,\!
\| \cdot
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \dot{H}^{\!\:\!s}\!\;\!(\mathbb{R}^{n})}}
\!
} $ dada por\
\
$$\tag{1.7}
\|\, \mbox{\boldmath $v$} \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \dot{H}^{\!\:\!s}\!\;\!(\mathbb{R}^{n})}}
=\,
\Bigl\{\int_{\mathbb{R}^{n}} \!\!
|\,\xi\,|_{\mbox{}_{2}}^{\:\!2\:\!s}
\;\!
|\, \hat{\mbox{\boldmath $v$}}(\xi)\,|_{\mbox{}_{2}}^{2}
\,d\xi
\:\Bigr\}^{\!\!\;\!1/2}
\!\!.$$\
Podemos assim esperar que estimativas similares a (1.6) sejam também válidas para as soluções de Leray $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $ de (1.1), ao menos para $ n = 3 $, dado $ \mbox{\boldmath $ u $}_0 \in L^{2}_{\sigma}(\mathbb{R}^{n}) $ qualquer. Este é essencialmente o [Problema de Leray]{} para as equações de Navier-Stokes, com sua versão mais básica dada em (1.4) acima. Outras questões se põem aqui naturalmente; por exemplo, a respeito do comportamento da diferença (ou erro) $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) - \mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t) $ para $ t \gg 1 $. Na norma $L^{2}\!\;\!$, esta questão sobre o erro foi respondida por Wiegner [@Wiegner1987], tendo-se, para $ t_0 \geq 0 $ qualquer,\
\
$$\tag{1.8}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}
\,
t^{\;\! \frac{\scriptstyle n - 2}{\scriptstyle 4}}
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) -\,
e^{\:\!\nu \:\! \Delta \:\!(t - t_0)}
\;\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
\:\!=\;
0.$$\
Como com (1.4), uma prova mais simples para (1.8) foi recentemente dada em [@SchutzZinganoZingano2014], supondo $ n \leq 3 $, tendo-se também mostrado os resultados correspondentes a (1.6$b$):\
$$\tag{1.9$a$}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty} \,
t^{\;\! \frac{\scriptstyle n}{\scriptstyle 4}}
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\:\!=\;
0,$$\
$$\tag{1.9$b$}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}
\,
t^{\;\! \frac{\scriptstyle n - 1}{\scriptstyle 2}}
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) -\,
e^{\:\!\nu \:\! \Delta \:\!(t - t_0)}
\;\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\:\!=\;
0,$$\
em dimensão $ n = 2, 3 $ (cf.$\;$[@SchutzZinganoZingano2014], Section 4). No presente trabalho, vamos estabelecer as estimativas (mais difíceis) correspondentes a (1.6$c$) no caso das soluções de Leray do problema (1.1), além de estimativas similares sobre o erro (ver (1.10$b$) abaixo). Os resultados são simples de descrever: dados $ \mbox{\boldmath $ u $}_0 \!\;\!\in L^{2}_{\sigma}(\mathbb{R}^{n}) $, $ t_0 \!\;\!\geq 0 $ quaisquer,\
\
$$\tag{1.10$a$}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}
\:
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle s}{2} }}
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \dot{H}^{\!\:\!s}\!\;\!(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!=\:0,$$\
$$\tag{1.10$b$}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}
\:
t^{\mbox{}^{\scriptstyle
\frac{{\scriptstyle n} - 2}{4} \;\!+\;\!\frac{\scriptstyle s}{2}
}}
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \:\!-\:\!
e^{\:\!\nu \:\!\Delta (t - t_0)} \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \dot{H}^{\!\:\!s}\!\;\!(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!=\:0,$$\
para todo $ s \geq 0 $ ($s$ real), e $ \;\!n = 2, 3 $. Note-se que (1.4), (1.8) e (1.9) tornam-se agora consequências simples de (1.10), que pode assim ser considerada como a forma geral completa do problema de Leray, resolvida neste trabalho (exceto que, no caso especial $ n = 2 $, tem-se (1.10$a$) derivada previamente em [@BenameurSelmi2012], usando um procedimento diferente). A obtenção de (1.10$b$) é particularmente delicada, e utiliza a estimativa\
\
$$\tag{1.11}
\|\, e^{\:\!\nu \:\!\Delta (t - t_0)}
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \;\!-\,
e^{\:\!\nu \:\!\Delta (\:\!t - t_1\!\;\!)}
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_1) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \dot{H}^{\!\:\!s}\!\;\!(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!\leq\;\!
K\;\! \nu^{\scriptstyle \,-\,
\frac{1}{2} \,-\, \gamma} \,
( t_1 \!\;\!-\;\! t_0 )^{\scriptstyle \!\;\!\frac{1}{2}}
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!2}
(t - t_{1} \!\;\!)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\;\!-\, \gamma}}
$$\
para $ t > t_1 > t_0 \geq 0 $ arbitrários, derivada na Seção 3 abaixo, onde $ \gamma = n/4 \;\!+\;\! s/2 $, e $ \:\!K \!= K\!\;\!(n,s) > 0 \;\!$ é uma constante (cujo valor depende apenas dos parâmetros $\;\!n, s $ considerados). Leitores interessados prioritariamente nas novas contribuições do presente trabalho podem neste ponto consultar diretamente os seguintes resultados: Teorema 3.1, Teorema 4.1 (e Lema 4.1), Teorema 5.1 e Teorema A.1 (Apêndice A). Também pode ser conveniente rever rapidamente os Teoremas 4.2 e 4.3 e os resultados revisados na Seção 2 a seguir.\
[\
]{}[**Observação 1.1.**]{} Tomando-se $ s = m $ (inteiro) em (1.10), resulta (por (1.7) e do fato de se ter$\;\!$[^3] $ {\displaystyle
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \dot{H}^{\!\:\!m}\!\;\!(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!=\;\!
\|\, D^{m} \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\:\!
} $, por Parseval):\
\
$$\tag{1.12$a$}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}
\:
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\|\, D^{m} \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!=\:0,$$\
$$\tag{1.12$b$}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}
\:
t^{\mbox{}^{\scriptstyle
\frac{{\scriptstyle n} - 2}{4} \;\!+\;\!\frac{|\;\!{\scriptstyle \alpha}\;\!|}{2}
}}
\;\!
\|\, D^{\alpha} \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \:\!-\:\!
D^{\alpha} \:\![\:
e^{\:\!\nu \:\!\Delta (t - t_0)} \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0)
\;\!] \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!=\:0,$$\
para todo $ m \geq 0 $, $ {\displaystyle
\;\!
\alpha = (\:\! \alpha_{\mbox{}_{1}}\!\,\!, \:\!
\alpha_{\mbox{}_{2}}\!\;\!,\!\;\!...,\alpha_{\mbox{}_{\scriptstyle n}})
} $, sendo $ {\displaystyle
|\,\alpha\,| =
\alpha_{\mbox{}_{1}}\!\:\!+
\alpha_{\mbox{}_{2}}\!\:\!+ ... +
\alpha_{\mbox{}_{\scriptstyle n}}
\!\;\!
} $ a ordem de $ \alpha $. Assim, (1.10) descreve o comportamento de $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $, $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) - \mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t) $ e suas derivadas (espaciais) de qualquer ordem. Na verdade, (1.10) e (1.12) são equivalentes: tendo-se (1.12), obtém-se (1.10) aplicando-se a propriedade de interpolação\
\
$$\tag{1.13}
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \dot{H}^{\!\:\!s}\!\;\!(\mathbb{R}^{n})}}
\leq\:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \dot{H}^{\!\:\!s_{\mbox{}_{1}}}\!\;\!(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \:\!\alpha_{\mbox{}_{1}}}}
\:\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \dot{H}^{\!\:\!s_{\mbox{}_{2}}}\!\;\!(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}_{\scriptstyle \:\!\alpha_{\mbox{}_{2}}}}
\!,
\qquad
s_{\mbox{}_{1}} <\:\! s <\:\! s_{\mbox{}_{2}}
\!\;\!,$$\
onde $ {\displaystyle
\;\!
\alpha_{\mbox{}_{1}} \!=\:\!
\theta_{\mbox{}_{1}} \:\!s \:\!/
s_{\mbox{}_{1}}
\!\;\!
} $, $ {\displaystyle
\:\!
\alpha_{\mbox{}_{2}} \!=\:\!
\theta_{\mbox{}_{2}} \:\!s \:\!/
s_{\mbox{}_{2}}
\!\;\!
} $, sendo $ {\displaystyle
\;\!
\theta_{\mbox{}_{1}} \!\:\!,
\:\!\theta_{\mbox{}_{2}}
\in (\:\!0, 1)
\:\!
} $ dados por $ {\displaystyle
\;\!
s^{-\;\!1} \!\:\!=
\theta_{\mbox{}_{1}}
s_{\scriptscriptstyle 1}^{-\;\!1}
\!\;\!+\;\!
\theta_{\mbox{}_{2}}
s_{\scriptscriptstyle 2}^{-\;\!1}
\!\:\!
} $. A obtenção de (1.10) nas Seções 2, 3 abaixo será feita considerando-se a forma (1.12) destas propriedades. Se desejado, seria também suficiente derivar o resultado no caso particular $ \nu = 1 $; uma vez obtido, os resultados (1.10), (1.11), (1.12) para $ \nu > 0 $ geral decorreriam então de argumentos simples de escala (dado que, sendo $ \mbox{\boldmath $u$}(x,t) $, $ p(x,t) $ uma solução de Leray do sistema (1.1) para dado $ \nu > 0 $, então $ {\displaystyle
\mbox{\boldmath $U$}(x,t) :=
\mbox{\boldmath $u$}(\nu \;\!x, \nu \;\!t)
} $, $ {\displaystyle
P(x,t) := p(\nu \;\!x, \nu \;\!t)
} $ definem uma solução de Leray para (1.1) com $ \nu = 1 $).\
[\
]{}[**Observação 1.2.**]{} A análise e resultados a seguir podem também ser adaptados/estendidos para o problema de Navier-Stokes com forças externas, ou seja,\
\
$$\tag{1.14$a$}
\mbox{\boldmath $u$}_{t} +\,
\mbox{\boldmath $u$} \!\;\!\cdot\!\;\! \nabla\;\!
\mbox{\boldmath $u$}
\,+\,
\nabla p
\,=\;
\nu \,
\Delta \mbox{\boldmath $u$}
\,+\,
\mbox{\boldmath $f$}(\cdot,t),
\qquad
\nabla \!\cdot\!\;\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\,=\,0,$$\
$$\tag{1.14$b$}
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,0) \,=\,
\mbox{\boldmath $u$}_0 \in L^{2}_{\sigma}(\mathbb{R}^{3}),
$$\
onde se supõe, no caso mais simples, $ {\displaystyle
\mbox{\boldmath $f$} \in
C^{\infty}(\mathbb{R}^{n} \!\times \!\:\![\,0, \infty))
\cap\,
L^{2}(\mathbb{R}^{n} \!\times \!\:\![\,0, \infty))
} $ satisfazendo (1.15) abaixo: considerando-se a projeção de Helmholtz $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\boldmath $g$}(\cdot,t)
\:\!=\,
\mathbb{P}_{\mbox{}_{\!H}}[\;\!\mbox{\boldmath $f$}(\cdot,t)\,]
\;\!
} $ de $ \mbox{\boldmath $f$}(\cdot,t) $ em $ L^{2}_{\sigma}(\mathbb{R}^{n}) $, a suposição\
\
$$\tag{1.15}
\int_{\:\!0}^{\infty}
\!\!\!\;\!
(1 + t)^{\:\!m/2} \:
\|\,D^{m} \,\!\mbox{\boldmath $g$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
\;\!dt
\;<\, \infty,
\qquad
\forall \;\, m \geq 0$$\
permite a validade de (1.6), (1.10), (1.11), (1.12) acima, onde agora $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t)
\equiv
\mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t\:\!; \:\! t_0)
} $ deve ser definida como a solução (única) em $ L^{\infty}(\:\![\,t_0,\infty), L^{2}_{\sigma}(\mathbb{R}^{n})) $ do problema\
\
$$\tag{1.16}
\mbox{\boldmath $v$}_{t}
\;=\;
\nu \;\! \Delta \mbox{\boldmath $v$}
\,+\,
\mbox{\boldmath $g$}(\cdot,t),
\qquad
\mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t_0) \,=\,
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0).$$\
Hipóteses mais fracas sobre $ \mbox{\boldmath $g$}(\cdot,t) $ podem também ser adotadas no lugar de (1.15), com resultados correspondentes mais fracos; por exemplo, tendo-se apenas\
\
$$\tag{1.17}
\int_{\:\!0}^{\infty}
\!\!\!\;\!
(1 + t)^{\:\!m/2} \:
\|\,D^{m} \,\!\mbox{\boldmath $g$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
\;\!dt
\;<\, \infty,
\qquad
m = 0, 1,$$\
obtém-se (adaptando-se a prova em [@SchutzZinganoZingano2014], como feito em [@BrazLorenzMeloZingano2014]) que as estimativas (1.4), (1.6$a$), (1.6$b$), (1.8) e (1.9) acima permanecem válidas. Para mais detalhes, ver [@BrazLorenzMeloZingano2014]. Em [@Wiegner1987], obtém-se (1.4) e (1.8) para as soluções de (1.14) supondo-se (1.17) para $ m = 0 $ apenas, e adicionalmente\
\
$$\tag{1.18}
\limsup_{t\,\rightarrow\,\infty}
\;
t^{\;\!n/4 \,+\, 1/2} \:
\|\, \mbox{\boldmath $g$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{n}(\mathbb{R}^{n})}}
\;\!<\;
\infty.$$\
[\
]{} Descrevendo sucintamente o conteúdo das seções seguintes, apresentamos na Seção 2 vários resultados conhecidos que serão relevantes na derivação das estimativas (1.10), (1.11) e (1.12) a seguir. Esta discussão é baseada em [@KreissHagstromLorenzZingano2002; @KreissHagstromLorenzZingano2003; @Leray1934]. Na Seção 3, estabelecemos (1.11), que será importante para simplificar a prova de (1.10$b$), (1.12$b$) mais adiante. A Seção 4 é inteiramente voltada à obtenção das estimativas (1.10$a$) e (1.12$a$), enquanto a Seção 5 é dedicada a (1.10$b$), (1.12$b$). Com exceções ocasionais, apresentaremos os detalhes no caso específico $ n = 3 $ apenas, já que as provas correspondentes em dimensão $ n = 2 $ podem ser feitas seguindo um procedimento inteiramente análogo (e, em alguns casos, bem mais simples).\
[\
]{}\
[**Notação.**]{} Como já visto acima, usaremos (em geral) letras em negrito para grandezas vetoriais, e.g. $ {\displaystyle
\mbox{\boldmath $u$}(x,t)
=
} $ $ {\displaystyle
(\:\! u_{\mbox{}_{\!\:\!1}}\!\;\!(x,t),...,
 \:\! u_{\mbox{}_{\!\;\!\scriptstyle n}}\!\;\!(x,t) \:\!)
} $, denotando por $ | \cdot |_{\mbox{}_{2}} $ (ou simplesmente $ | \cdot | $) a norma Euclideana em $ \mathbb{R}^{n}\!\;\!$, ver e.g.$\;$(1.7). $\!$Como é usual, $ \nabla p \equiv \nabla p(\cdot,t) $ denota o gradiente (espacial) de $ \;\!p(\cdot,t) $, $ D_{\!\;\!j} \!\;\!=\:\! \partial / \partial x_{\!\;\!j} \!\;\! $, e $ {\displaystyle
\:\!
\nabla \!\cdot \mbox{\boldmath $u$}
\:\!=
  D_{\mbox{}_{\!\:\!1}} u_{\mbox{}_{\!\:\!1}} \!\;\!+
  ... +
  D_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!n}} \:\! u_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!n}} )
} $ é o divergente (espacial) de $ \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $; analogamente, $ {\displaystyle
\mbox{\boldmath $u$} \cdot \nabla \mbox{\boldmath $u$}
\;\!=\;\!
u_{\mbox{}_{\!\:\!1}} D_{\mbox{}_{\!\:\!1}} \mbox{\boldmath $u$}
+ ... +
u_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!n}}
D_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!n}} \mbox{\boldmath $u$}
} $, etc. $ {\displaystyle
\| \;\!\cdot\;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!
} $, $ 1 \leq q \leq \infty $, denota a norma tradicional do espaço de Lebesgue $ L^{q}(\mathbb{R}^{n}) $, pondo-se, para $ 1 \leq q < \infty $:

\
$$\tag{1.19$a$}
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\;\!=\;
\Bigl\{\,
\sum_{i\,=\,1}^{n} \int_{\mathbb{R}^{n}} \!
|\:u_{i}(x,t)\,|^{q} \;\!dx
\,\Bigr\}^{\!\!\:\!1/q}$$\
$$\tag{1.19$b$}
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\;\!=\;
\Bigl\{\,
\sum_{i, \,j \,=\,1}^{n} \int_{\mathbb{R}^{n}} \!
|\, D_{\!\;\!j} \;\!u_{i}(x,t)\,|^{q} \;\!dx
\,\Bigr\}^{\!\!\:\!1/q}$$\
$$\tag{1.19$c$}
\|\, D^{2} \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\;\!=\;
\Bigl\{\!\!
\sum_{\mbox{} \;\;i, \,j, \,\ell \,=\,1}^{n}
\!\;\! \int_{\mathbb{R}^{n}} \!
|\, D_{\!\;\!j} \:\!D_{\ell} \, u_{i}(x,t)\,|^{q} \;\!dx
\,\Bigr\}^{\!\!\:\!1/q}$$\
e, mais geralmente, para $ m \geq 1 $ qualquer:\
\
$$\tag{1.19$d$}
\|\, D^m \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot, t)\,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
=
\biggl(\;\! \sum_{i\,=\,1}^{n}
\sum_{\;\!j_{\mbox{}_{1}}=\,1}^{n}
\!\cdots\!
\sum_{j_{\mbox{}_{m}}=\,1}^{n}
\int_{\mbox{}_{\mbox{\scriptsize $\!\;\!\mathbb{R}^{n}$}}}
\!\!\!\!\;\!
|\;\!D_{\scriptstyle \!\;\!j_{\mbox{}_{1}}}
\!\!\:\!\cdots
D_{\scriptstyle \!\;\!j_{\mbox{}_{m}}}
u_{i}(x,t)\:|^q\, dx\:\!\biggr)^{\!\!\:\!1/q}\!\!\!\!,$$\
denotando-se por $ {\displaystyle
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\!=\;\!
\max \, \bigl\{\,
\|\,u_{i}(\cdot,t)\,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\!: \, 1 \leq i \leq n
\,\bigr\}
} $ o supremo (essencial) de $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $, e similarmente para $ {\displaystyle
\;\!
\|\, D \;\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\,\!
} $, $ {\displaystyle
\;\!
\|\, D^{2} \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\,\!
} $, etc. (Com estas definições, tem-se $ {\displaystyle
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!\rightarrow\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!
} $ ao $ q \rightarrow \infty $, assim como, mais geralmente, $ {\displaystyle
\|\, D^m \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!\rightarrow \;\!
\|\, D^m \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!
} $, para todo $m$.)$\:\!$[^4] Ocasionalmente, resulta também conveniente usar a seguinte definição alternativa para a norma do sup de $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $,\
\
$$\tag{1.20}
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \infty}}
=\;
\mbox{ess}\,\sup\; \bigl\{\:
|\,\mbox{\boldmath $u$}(x,t) \,|_{\mbox{}_{2}}
\!\!\:\!: \: x \in \mathbb{R}^{n}
\,\bigr\}.$$\
Podemos também utilizar $ \|\,\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)\,\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^q}}\!\;\!$ no lugar de $\;\! \|\,\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)\,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^q(\mathbb{R}^{n})}}\!\;\!$, etc, por simplicidade. Constantes serão usualmente representadas pelas letras $ C \!\,\!$, $\!\:\!c$, $\!\:\!K$; escrevemos $ \:\!C(\lambda_{\mbox{}_{1}}\!\;\!, ...,
\lambda_{\mbox{}_{\scriptstyle k}})\!\;\! $ para observar que o valor da constante $C$ em questão depende apenas dos parâmetros $ \;\!\{\;\!\lambda_{\mbox{}_{1}}\!\;\!, ...,
\lambda_{\mbox{}_{\scriptstyle k}} \}\;\!$ indicados (a menos que explicitamente mencionado em contrário). Por conveniência e economia, usamos tipicamente o mesmo símbolo para denotar constantes com diferentes valores numéricos (por exemplo, escrevemos $ C^2 \!\;\!$ ou $ 10 \,C + 1 $, $ \mbox{cosh}\;C $, etc, novamente como $C\!\;\!$, e assim por diante), como usualmente feito na literatura.\
\
[\
]{}[**Agradecimentos.**]{} Parte das contribuições feitas na [Parte I]{} não teria provavelmente sido possível sem várias ideias e métodos introduzidos em [@KreissHagstromLorenzZingano2002; @KreissHagstromLorenzZingano2003]. O autor é especialmente grato a Thomas Hagstrom e Jens Lorenz pelas inúmeras discussões ocorridas durante sua visita à Universidade do Novo México em 2001$\;\!$-$\;\!$2002.

\
[**2. Preliminares, I**]{}\
\
Nesta seção, reunimos por conveniência vários resultados básicos dados em [@KreissHagstromLorenzZingano2002; @KreissHagstromLorenzZingano2003; @Leray1934] que terão papel relevante na derivação das estimativas (1.10), (1.11), (1.12) nas seções seguintes. No texto, restringiremos nossa atenção ao caso (fundamental) de dimensão $ n = 3 $, mas todos os argumentos usados podem ser facilmente estendidos/adaptados de modo a se aplicarem a $ n = 2 $ igualmente, com apenas pequenas mudanças óbvias. Em todo o texto, $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $ sempre denotará uma solução de Leray (dada, qualquer) para as equações (1.1), mesmo que nada seja dito explicitamente.\
Para a construção das soluções de Leray $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $ do problema (1.1), ver e.g.$\;$[@Galdi2000; @Leray1934] e a discussão abaixo. Estas soluções foram obtidas em [@Leray1934] usando um procedimento de regularização engenhoso revisado a seguir. Tomando $ {\displaystyle
\;\!
G \in C^{\infty}_{0}(\mathbb{R}^{n})
\;\!
} $ não negativa (qualquer) com $ \!\;\!\int_{\mathbb{^R}^{3}} \!\:\!G(x) \,dx \:\!=\:\! 1 $, e definindo $ {\displaystyle
\;\!
\bar{\mbox{\boldmath $u$}}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!0, \,\delta}}
\!\;\!(\cdot)
\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{3})
} $ pela convolução de $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\boldmath $u$}_{0}(\cdot)
\;\!
} $ com $ {\displaystyle
\;\!
G_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\delta}}(x)
\:\!=\:\!
\delta^{\;\!-\,n} \;\!G(x/\delta)
} $, $ \;\!\delta > 0 $, introduz-se $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}},
\,
p_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}}
\in
C^{\infty}(\:\!\mathbb{R}^{3} \!\times\!\;\! [\,0, \infty\:\!)\:\!)
} $ como a solução (única, clássica, globalmente definida e em $L^{2}$) do problema regularizado\
\
$$\tag{2.1$a$}
\mbox{\small $ {\displaystyle \frac{\partial}{\partial \;\!t} }$}
\,\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}}
\:\!+\:
\bar{\mbox{\boldmath $u$}}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}}
(\cdot,t) \!\;\!
\cdot\!\;\! \nabla\;\!
\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}}
\:\!+\,
\nabla \:\!p_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}}
\;=\;
\nu \,
\Delta \:\!\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}},
\qquad
\nabla \!\cdot\!\;\!
\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}}(\cdot,t)
\,=\,0,$$\
$$\tag{2.1$b$}
\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}}(\cdot,0)
\,=\,
\bar{\mbox{\boldmath $u$}}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!0, \,\delta}}
\!\;\!:=\,
G_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\delta}}
\!\:\!\ast
\mbox{\boldmath $u$}_{0}
\;\!
\in\!
\bigcap_{m\,=\,1}^{\infty}
\! H^{m}(\mathbb{R}^{3}),$$\
onde $ {\displaystyle
\;\!
\bar{\mbox{\boldmath $u$}}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}}
\!\;\!(\cdot,t)
\!\;\!:=\:\!
G_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\delta}} \!\,\!\ast
{\mbox{\boldmath $u$}}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}}
\!\;\!(\cdot,t)
} $. Em [@Leray1934], Leray logrou mostrar que, para uma sequência $ {\displaystyle
\delta^{\;\!\prime}
\!\rightarrow
\:\!0
} $ apropriada, tem-se a convergência fraca (em $L^{2}(\mathbb{R}^{3})$)\
\
$$\tag{2.2}
\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta^{\;\!\prime}}}(\cdot,t)
\,\rightharpoonup \,
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\quad \;\,
\mbox{as } \;\,\delta^{\;\!\prime}
\!\rightarrow
\:\!0,
\qquad \;\;\;
\forall \;\, t \geq 0,$$\
i.e., $ {\displaystyle
\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta^{\;\!\prime}}}(\cdot,t)
\,\rightarrow \,
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\;\!
} $ fracamente em $L^{2}(\mathbb{R}^{3}) $, para cada $ \;\! t \geq 0 $ (ver [@Leray1934], p.$\;$237), com $ {\displaystyle
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\in
L^{\infty}([\;\!0, \infty \:\!), L^{2}_{\sigma}(\mathbb{R}^{3}))
\cap
L^{2}([\;\!0, \infty \:\!), \mbox{$\stackrel{.}{H}$}\mbox{}^{1}(\mathbb{R}^{3}))
\cap
C^{0}_{w}([\;\!0, \infty \:\!), L^{2}(\mathbb{R}^{3}))
\:\!
} $ contínua em $L^{2}(\mathbb{R}^{3})\!\;\! $ no instante $ t = 0 $ e resolvendo a equação (1.1$a$) no sentido de distribuições. Ademais, (1.2) é satisfeita para todo $ t \geq 0 $, de modo que, em particular, tem-se\
\
$$\tag{2.3}
\int_{0}^{\:\!\infty} \!\!\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\:\!dt
\;\leq\;
\mbox{\small $ {\displaystyle
\frac{1}{\:\!2\;\!\mbox{\normalsize $\nu$}\:\!} }$} \:
\|\: \mbox{\boldmath $u$}_0 \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\!.
$$\
Outra propriedade importante obtida em [@Leray1934] é que $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\boldmath $u$} \in
C^{\infty}(\:\!\mathbb{R}^{3} \!\times \!\;\!
[\,\mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast\ast}\!\;\!, \infty\:\!)\:\!)
\;\!
} $ para certo $ \mbox{\small $T$}_{\!\:\!\ast\ast} \!\gg 1 $, com $ {\displaystyle
D^{m} \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\in L^{\infty}_{\tt loc}
(\:\![\, \mbox{\small $T$}_{\!\:\!\ast\ast}\!\;\!,
 \infty \:\!), L^{2}(\mathbb{R}^{3})\:\!)
\;\!
} $ para cada $ \:\! m \geq 1 $. Este fato permite simplificar significativamente o argumento desenvolvido para (1.10)$\,-\,$(1.12) mais adiante. Outros resultados importantes referem-se à projeção de Helmholtz de $ {\displaystyle
-\,
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\!\;\!\cdot\!\;\! \nabla \:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
} $ em $ L^{2}_{\sigma}(\mathbb{R}^{3}) $, ou seja, o campo $ \:\!\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,t) \in L^{2}_{\sigma}(\mathbb{R}^{3}) \:\!$ dado por\
\
$$\tag{2.4}
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,t)
\;\! := \;
-\:
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\!\;\!\cdot\!\;\! \nabla \:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\,-\;\! \nabla \:\!p\:\!(\cdot,t),
\qquad
\mbox{a.e. }\;\! t > 0.$$ As estimativas que precisaremos de $ \:\!\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,t) \in L^{2}_{\sigma}(\mathbb{R}^{3}) \:\!$ acima são revisadas a seguir. [\
]{}[**Proposição 2.1.**]{} *Para quase todo $ \;\! s > 0 $ $($e todo $\;\!s \geq \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast\ast})$, tem-se*\
\
$$\tag{2.5}
\|\: e^{\;\!\nu \,\!\Delta
(\:\!\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\,\! \mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\leq\:
K \,
\nu^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\,\frac{3}{4} }}
\:\!
( t - s )^{\mbox{}^{\scriptstyle \! -\,\frac{3}{4} }}
\:\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}$$\
*para todo $ \,t > s $, onde $ \:\!K \!\:\!=\:\! (\:\! 8 \:\!\pi )^{-\,3/4} \!\:\!$.*\
[\
]{}[[**Prova:**]{} O argumento a seguir é adaptado de [@KreissHagstromLorenzZingano2002; @KreissHagstromLorenzZingano2003]. Seja $ {\displaystyle
\;\!
\mathbb{F}\:\![\;\!f\;\!]
\equiv
\hat{f}
\;\!
} $ a transformada de Fourier de uma dada função $ \!\;\!f \!\;\!\in L^{1}(\mathbb{R}^{3}) $, viz.,\
\
$$\tag{2.6}
\mathbb{F}\:\![\;\!f\;\!]\:\!(k)
\:\equiv\;
\hat{f}(k)
\,:=\;
(\:\!2\:\!\pi)^{-\,3/2} \!\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\mathbb{R}^{3}}}
\!\!\:\!
e^{\mbox{\scriptsize $- \!\;\!
\stackrel{\mbox{\tiny $\circ$}}{\mbox{\sf \i$\!\;\!$\i}}
\!\:\! k \!\;\!\cdot\!\;\! x$}}
f(x) \: dx,
\qquad
k \in \mathbb{R}^{3}
$$\
(onde $ {\displaystyle
\:\!
\stackrel{\mbox{\tiny $\circ$}}{\mbox{\sf \i$\!\;\!$\i}}
\mbox{}\!\!\;\!\mbox{}^{2}
\!\;\!=\;\! - \;\!1
} $). Dada $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\bf v}(\cdot,s) =
(\:\! \mbox{v}_{\mbox{}_{\!\;\!1}}\!\;\!(\cdot,s),
      \mbox{v}_{\mbox{}_{\!\;\!2}}\!\;\!(\cdot,s),
      \mbox{v}_{\mbox{}_{\!\;\!3}}\!\;\!(\cdot,s)\:\! )
\in
L^{1}(\mathbb{R}^{3}) \cap L^{2}(\mathbb{R}^{3})
\:\!
} $ arbitrária, obtém-se, pela identidade de Parseval,\
\
$$\notag
\begin{split}
\|\:  e^{\;\!\nu \:\!\Delta \mbox{\scriptsize $(t-s)$}} \;\!
\mbox{\bf v}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\;\!&=\;\;\!
\|\; \mathbb{F}\;\![\, e^{\;\! \nu \:\!\Delta \mbox{\scriptsize $(t-s)$}}
\;\!\mbox{\bf v}(\cdot,s) \: ] \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2} \\
&=\,
\int_{\mathbb{R}^{3}} \!\!
e^{-\,2\,\nu \;\!|\,\mbox{\scriptsize $k$}\,
|_{\mbox{}_{\!\;\!2}}^{\:\!\scriptstyle 2} \:\!(t \,-\, s)}
\;\!
|\, \hat{\mbox{\bf v}}(k,s) \,
|_{\mbox{}_{\!\;\!2}}^{\:\!2}
\, dk \\
&\leq\;
\|\, \hat{\mbox{\bf v}}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \infty}}^{\:\!2} \!\!\;\!
\int_{\mathbb{R}^{3}} \!\!
e^{-\,2\,\nu \;\!|\,\mbox{\scriptsize $k$}\,
|_{\mbox{}_{\!\;\!2}}^{\:\!\scriptstyle 2} \:\!(t \,-\, s)}
\, dk \\
&=\;
\Bigl(\;\! \frac{\;\!\pi\;\!}{2} \,\Bigr)^{\!\!\;\!3/2}
\!\;\!
\nu^{-\,3/2}
\,( t - s )^{- \,3/2}
\,
\|\, \hat{\mbox{\bf v}}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \infty}}^{\:\!2}
\!\;\!,
\end{split}
$$\
ou seja,\
\
$$\tag{2.7}
\|\:  e^{\;\!\nu\:\!\Delta \mbox{\scriptsize $(t-s)$}} \;\!
\mbox{\bf v}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!\leq\;\;\!
\Bigl(\;\! \frac{\;\!\pi\;\!}{2} \,\Bigr)^{\!\!\;\!3/4}
\!\;\!
\nu^{-\,3/4} \,( t - s )^{- \,3/4}
\,
\|\, \hat{\mbox{\bf v}}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \infty}}
\!\;\!,$$\
onde $ {\displaystyle
\;\!
|\;\!\cdot\;\!|_{\mbox{}_{2}}
} $ denota a norma Euclideana em $ \mathbb{R}^{3}\!\;\!$, e $ {\displaystyle
\;\!
\|\, \hat{\mbox{\bf v}}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \infty}}
\!=\,
\sup \;\{\:
|\, \hat{\mbox{\bf v}}(k,s) \,|_{\mbox{}_{2}}
\!: \, k\,\in\,\mathbb{R}^{3} \:\!\}
} $. Como será mostrado abaixo, (2.5) segue de uma aplicação direta de (2.7) a $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\bf v}(\cdot,s) =
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
} $. Para isso, é preciso que se estime $ {\displaystyle
\;\!
\|\, \hat{\mbox{\boldmath $Q$}}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \infty}}
\!\;\!
} $: como tem-se $ {\displaystyle
\;\!
\mathbb{F}\:\![\,\nabla \!\:\!
P(\cdot,s)\,]\:\!(k) \;\!=\;\;\!
\stackrel{\mbox{\tiny o}}{\mbox{\sf \i$\!\;\!$\i}} \!\:\!
\hat{p}(k,s) \;\!k
\,
} $ e $ {\displaystyle
\:\!
\mbox{\small $\sum$}_{j\,=\,1}^{3} k_{j}
\hat{Q}_{j}(k,s)
=\;\!0
} $ (pois $ \nabla \!\:\!\cdot \mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s) =\;\! 0 $), segue que $ {\displaystyle
\;\!
\mathbb{F}\:\![\,\nabla \!\:\!
P(\cdot,s)\,]\:\!(k)
} $ e $ {\displaystyle
\:\!
\hat{\mbox{\boldmath $Q$}}(k,s)
\;\!
} $ são vetores ortogonais em $\mathbb{C}^{3}\!$, para todo $k \in \mathbb{R}^{3}\!$. Lembrando, por (2.4), que $ {\displaystyle
\;\!
\hat{\mbox{\boldmath $Q$}}(k,s)
+\:\!
\mathbb{F}\:\![\,\nabla \!\:\!
P(\cdot,s)\;\!]\:\!(k)
=
} $ $ {\displaystyle
-\:
\mathbb{F}\;\![\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \!\;\!\cdot \!\;\!\nabla
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s)\;\!]\:\!(k)
} $, obtém-se\
\
$$\tag{2.8}
|\,\hat{\mbox{\boldmath $Q$}}(k,s) \,|_{\mbox{}_{2}}
\,\leq\;\,\!
|\: \mathbb{F}\;\![\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s)\!\;\!\cdot \!\;\!\nabla
\mbox{\boldmath $u$}\;\!(\cdot,s)\;\!]\:\!(k)
\:|_{\mbox{}_{2}}
$$\
para todo $\;\! k \in \mathbb{R}^{3}\!$, de modo que\
\
$$\tag{2.9}
\|\:
\hat{\mbox{\boldmath $Q$}}(\cdot,s)
\,\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \infty}}
\;\!\leq\;
\|\;
\mathbb{F}\;\![\, \mbox{\boldmath $u$}
\!\;\!\cdot \!\;\!\nabla
\mbox{\boldmath $u$}\,]\:\!(\cdot,s)
\:\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \infty}}.$$\
Por outro lado, tem-se, para $ 1 \leq i \leq 3 $,\
\
$$\notag
\begin{split}
|\; \mathbb{F}\;\![\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s)
\!\;\!\cdot \!\;\!\nabla
\;\!u_{{\scriptstyle i}}(\cdot,s)\,]\:\!(k) \:|
\;\,&\leq\;
\sum_{j\,=\,1}^{3} \;\!
|\; \mathbb{F}\;\![\, u_{{\scriptstyle j}}(\cdot,s) \;\!
D_{{\scriptstyle \!\;\!j}} \:\! u_{{\scriptstyle i}}(\cdot,s)
\,]\:\!
(k) \:| \\
&\leq\;
(\:\!2\:\!\pi)^{-\,3/2} \;\!
\sum_{j\,=\,1}^{3} \;\!
\|\, u_{{\scriptstyle j}}(\cdot,s) \;\!
D_{{\scriptstyle \!\;\!j}} \:\! u_{{\scriptstyle i}}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{3})}} \\
&\leq\;
(\:\!2\:\!\pi)^{-\,3/2} \,
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!
\|\, \nabla \!\;\! u_{{\scriptstyle i}}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\;\!,
\end{split}
$$\
usando Cauchy-Schwarz. $\!$($\;\!$Aqui, como sempre, $ D_{\!\;\!j} \!\;\!=\,\! \partial/\partial x_{\!\;\!j} \!\;\!$.) Isso fornece\
\
$$\tag{2.10}
\|\; \mathbb{F}\;\![\, \mbox{\boldmath $u$} \!\;\!\cdot \!\;\!\nabla
\;\!\mbox{\boldmath $u$}\,]\:\!(\cdot,s) \:\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \infty}}
\:\leq\;
(\:\!2\:\!\pi)^{-\,3/2} \,
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\:\!.$$\
De (2.7), (2.9) and (2.10), obtém-se (2.5), concluindo a prova da Proposição 2.1. ]{} $\Box$\
\
Note-se que, repetindo o argumento acima para as soluções das equações regularizadas (2.1), obtém-se de modo análogo que\
\
$$\tag{2.11}
\|\: e^{\;\!\nu \:\!
\mbox{\scriptsize $\Delta$} \mbox{\scriptsize $(t - s)$}} \;\!
\mbox{\boldmath $Q$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\delta}}\!\;\!(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\leq\,
K \,
\nu^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{3}{4}}}
(t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!-\, \frac{3}{4}}}
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}
\!\;\!(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}
\!\;\!(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}$$\
para cada $\;\!t > s > 0 $, sendo $ K \!\;\!=\:\! (\:\!8 \:\!\pi)^{-\,3/4} \!$, como antes, e\
\
$$\tag{2.12}
\mbox{\boldmath $Q$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\delta}}
\!\:\!(\cdot,s)
\;=\; -\:
\bar{\mbox{\boldmath $u$}}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}\!\:\!(\cdot,s)
\!\;\!\cdot \!\;\!\nabla
\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}\!\:\!(\cdot,s)
\,-\;\!
\nabla p_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\delta}}\!\;\!(\cdot,s).$$\
A estimativa (2.11) é muito útil, visto que as soluções regularizadas $ {\displaystyle
\:\!
\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}\!\:\!(\cdot,t)
\:\!
} $ definidas em (2.1) satisfazem a desigualdade de energia\
\
$$\tag{2.13}
\|\,\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}
\!\:\!(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
+\;
2 \, \nu \!\!\;\!
\int_{0}^{\;\!\mbox{\mbox{\footnotesize $t$}}} \!\!\;\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}
\!\:\!(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\;\!ds
\;\;\!\leq\:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_{0} \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
$$\
para todo $\;\! t > 0 $ (e todo $ \delta > 0 $), de modo que $ {\displaystyle
\;\!
\|\,\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}
\!\:\!(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\;\!
} $, $
\int_{0}^{\;\!\mbox{\mbox{\footnotesize $t$}}} \!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}
\!\:\!(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\!\;\!ds
$\
podem ser estimadas independentemente de $ \:\!\delta > 0 $. Isso será usado no Teorema 3.1 (Seção 3) para mostrar que a escolha particular de $\;\!t_0 \!\;\!\geq 0 \;\!$ ao se definir as aproximações (1.5) não é relevante com respeito às propriedades (1.10$b$), (1.12$b$). Convém também generalizar a estimativa (2.5) para derivadas de ordem superior. No caso da equação do calor, será útil lembrarmos a seguinte estimativa (bem conhecida):\
\
$$\tag{2.14}
\|\, D^{\alpha} \:\![\,
e^{\;\!\nu \:\!\Delta \tau} \,\!
\mbox{u} \,]\,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
\;\!\leq\;
K\!\;\!(n,\:\!m)
\;
\|\: \mbox{u} \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{r}(\mathbb{R}^{n})}}
\:\!
(\;\!\nu \;\!\tau\:\!)^{\mbox{}^{\scriptstyle
\!\! -\, \frac{\scriptstyle n}{2}
\left( \frac{1}{\scriptstyle r} \;\!-\;\! \frac{1}{2} \right)
\,-\, \frac{|\:\!{\scriptstyle \alpha}\:\!|}{2} }}
$$\
para todo $ \tau > 0 $, e quaisquer $ \alpha $ (multi-índice), $ 1 \leq r \leq 2 $, $ \mbox{u} \in L^{r}(\mathbb{R}^{n}) $ considerados, $ n \geq 1 $ arbitrário, e onde $ \;\!m = |\;\!\alpha\:\!| $. ($\:\!$Para uma derivação de (2.14), ver e.g.$\;$[@KreissLorenz1989; @LorenzZingano2012].) [**Proposição 2.2.**]{} *Para quase todo $ \;\! s > 0 $ $($e todo $\;\!s \geq \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast\ast})$, tem-se*\
\
$$\tag{2.15}
\|\, D^{\alpha} \{\, e^{\;\!\nu \,\!\Delta
(\:\!\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\,\! \mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s) \,\}\,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\leq\:
K\!\;\!(m) \,\;\!
\nu^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\,\gamma }}
\:\!
( t - s )^{\mbox{}^{\scriptstyle \! -\,\gamma}}
\:\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}$$\
*para todo $ \,t > s $, onde $ m = |\;\!\alpha\;\!| $, $ \gamma = m/2 + 3/4 $, e $ \:\!K\!\;\!(m) $ depende apenas de $\;\!m$.*\
\
[[**Prova:**]{} Este resultado é uma consequência direta de (2.5) e (2.14) acima. De fato, tem-se:\
\
$ {\displaystyle
\|\, D^{\alpha} \{\, e^{\;\!\nu \,\!\Delta
(\:\!\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\,\! \mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s) \,\}\,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\leq
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq \:
K\!\:\!(m)
\,\;\!
\nu^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{m}{2} }}
(t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{m}{2} }}
\|\: e^{\;\!\nu \,\!\Delta
(\:\!\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})/2}
\,\! \mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s) \,\}\,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
} $ $\;\!$por (2.14)$\;\!$\
\
$ {\displaystyle
\leq \:
K\!\:\!(m)
\,\;\!
\nu^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{m}{2} \,-\, \frac{3}{4} }}
(t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{m}{2} \,-\, \frac{3}{4} }}
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!
\|\, D \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\;\!
} $. $\;\!$(2.5)$\;\!$\
]{} $ \Box $\
\
Para fins do próximo resultado a ser revisado nesta seção, dado na Proposição 2.3, precisaremos das seguintes desigualdades elementares de Nirenberg-Gagliardo () para funções $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{u} \in H^{2}(\mathbb{R}^{3})
} $ quaisquer:\
\
$$\tag{2.16$a$}
\|\: \mbox{u} \:\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \infty}}
\;\!\leq\,
K_{\mbox{}_{\!\;\!0}} \,
\|\: \mbox{u} \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!1/4}
\;\!
\|\: D^{2} \mbox{u} \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!3/4}
\!\:\!,
\qquad
K_{\mbox{}_{\!\;\!0}} \!\;\!<\;\! 0.678,$$\
ver e.g.$\;$$\,$[@Taylor2011], Proposition 2.4, p.$\;$5$\,$, ou $\,$[@Schutz2008], Teorema 4.5.1, p.$\;$52$\,$; $\;\!$e\
\
$$\tag{2.16$b$}
\|\, D \:\!\mbox{u} \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\leq\,
K_{\mbox{}_{\!\;\!1}} \;\!
\|\: \mbox{u} \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!1/2}
\;\!
\|\: D^{2} \mbox{u} \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!1/2}
\!\!\;\!,
\qquad
K_{\mbox{}_{\!\;\!1}} \!\;\!=\;\! 1,$$\
facilmente obtida usando a transformada de Fourier. De (2.16$a$), (2.16$b$), obtém-se\
\
$$\tag{2.17}
\|\: \mbox{u} \:\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \infty}}
\;\!
\|\, D \,\!\mbox{u} \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!1/2}
\leq\,
K_{\mbox{}_{\!\;\!2}} \;\!
\|\: \mbox{u} \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!1/2}
\;\!
\|\: D^{2} \mbox{u} \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\:\!,
\quad \;\,
K_{\mbox{}_{\!\;\!2}} \!\;\!=\;\!
K_{\mbox{}_{\!\;\!0}} \;\!
K_{\mbox{}_{\!\;\!1}}^{\:\!1/2}
\!\:\!< 1.$$\
Lembramos também a definição de $ \mbox{\small $T$}_{\!\:\!\ast\ast} $ dada pela propriedade (1.3) na Seção 1.\
[\
]{}[**Proposição 2.3.**]{} *Seja $ \,\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $ solução de Leray para $\;\!(1.1)$. Então, existe $ \,t_{\!\;\!\ast\ast} \!\;\!\geq \mbox{\small $T$}_{\!\:\!\ast\ast}$ $($com $\:\!t_{\!\;\!\ast\ast}\!\:\!$ dependendo da solução $\;\!\mbox{\boldmath $u$}$$)$ suficientemente grande tal que $ {\displaystyle
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\:\!
} $ é uma função suave e monotonicamente decrescente de $ \, t $ no intervalo $\:\! [\,t_{\!\;\!\ast\ast}\!\;\!, \:\!\mbox{\small $\infty$}\:\!)$.*\
\

[**Prova:**]{} O argumento abaixo é adaptado da prova de $\,$[@KreissHagstromLorenzZingano2002], Lemma 2.2$\,$. Considere-se $ {\displaystyle
\;\!
t_{0}
\geq\;\!
\mbox{\small $T$}_{\!\:\!\ast\ast}
} $ (a ser escolhido abaixo), e seja $ \;\! t > t_{0} $. Aplicando $ {\displaystyle
D_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\ell}} \!\;\!=\:\!
\partial/\partial \:\!x_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\ell}}
} $ à primeira equação em (1.1$a$), tomando o produto escalar com $ {\displaystyle
\:\!D_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\ell}}
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
} $ e integrando em $ {\displaystyle
\mathbb{R}^{3} \!\times\!\;\!
[\, t_{0}, \;\!t\;\!]
} $, obtém-se, somando em $ 1 \leq \ell \leq 3 $,\

\
$ {\displaystyle
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
+\:
2 \: \nu
\!\!\:\!
\int_{\mbox{\footnotesize $ t_{0} $}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\:\!t$}}
\!
\|\, D^{2} \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
ds
\;\;\!=
} $\
\
$ {\displaystyle
=\;\:\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_{0}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\!\;\!+\:
2
\sum_{i, \, j, \, \ell}
\int_{\mbox{\footnotesize $ t_{0} $}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\:\!t$}}
\!
\int_{\mathbb{R}^{3}}
\!\!\!\;\!
u_{i}(x,s) \;\!
D_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\!\;\!\ell}} u_{j}(x,s)
\;\!
D_{\scriptstyle \!j}
D_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\!\;\!\ell}}
u_{i}(x,s) \,
dx \: ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_{0}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
+\:
2 \!\!\:\!
\int_{\mbox{\footnotesize $ t_{0} $}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\:\!t$}}
\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \infty}}
\:\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\|\, D^{2} \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_{0}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
+\:
2 \!\!\:\!
\int_{\mbox{\footnotesize $ t_{0} $}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\:\!t$}}
\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!1/2}
\:\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!1/2}
\|\, D^{2} \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\;\!
ds
} $,\
\
por (2.17), lembrando (1.19) e (1.20). Em particular, tem-se\
\
$ {\displaystyle
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
+\:
2 \, \nu \!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $ t_{0} $}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\:\!t$}}
\!
\|\, D^{2} \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
ds
\;\;\!\leq
} $\
\
(2.18)\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}
(\cdot,t_{0}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
+\:
2 \!
\int_{\mbox{\footnotesize $ t_{0} $}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\:\!t$}}
\Bigl[\;
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_{0} \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!
\Bigr]^{\!1/2}
\|\, D^{2} \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
ds
} $\
\
para todo $ {\displaystyle
\;\!
t \geq t_{0}
} $. $\!$Seja então $ \;\! t_{0} \geq t_{\!\;\!\ast} \;\!$ tal que, por (1.2): $ {\displaystyle
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_{0} \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\,\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_{0}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\!\;\!< \nu
} $.\
De fato, com esta escolha, segue de (2.18) que\
\
$$\tag{2.19$a$}
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_{0} \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\,\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
<\;\! \nu
\qquad
\forall \;\;\!s \geq t_0.$$\
Prova de (2.19$a$): sendo falso, existiria $\;\! t_{1} \!\;\!> t_{0} \;\!$ tal que $ {\displaystyle
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_{0} \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\,\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!< \nu
} $\
para todo $ \;\!t_0 \leq s < t_{1}$, com $ {\displaystyle
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_{0} \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\,\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_{1}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!= \;\!\nu
} $. Tomando $\;\! t = t_{1} $ em (2.18),\
resultaria $ {\displaystyle
\;\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_1) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\;\!\leq
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\:\!
} $, e, então, $ {\displaystyle
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\;\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_1) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\,\!\leq
} $\
\
$ {\displaystyle
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!< \;\!\nu
} $. $\!$Esta contradição mostra (2.19$a$), como afirmado. $\,]$\
De (2.18) e (2.19$a$), segue que\
\
$$\tag{2.19$b$}
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
+\:
2 \, \gamma
\!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $ t_{2} $}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\:\!t$}}
\!
\|\, D^{2} \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
ds
\;\;\!\leq\;
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}
(\cdot,t_{2}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}$$\
para todo $\;\! t \geq t_{2} \geq t_{0} $, onde $ {\displaystyle
\,
\gamma \:\! := \:
\nu \,-\: \|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!1/2}
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!1/2}
\!
} $ é uma constante positiva. Isto conclui a prova, em vista de resultados clássicos de regularidade de $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $ (ver e.g.$\;$[@KreissLorenz1989; @Leray1934; @LorenzZingano2012]), tendo-se $ \:\!t_{\!\;\!\ast\ast} \!\:\!=\;\! t_{0} \:\!$ com $\;\!t_{0} \geq \mbox{\small $T$}_{\!\:\!\ast\ast} $ escolhido em (2.19$a$) acima.

$\Box$\
\
[\
]{}[**Observação 2.1.**]{} Como mostrado em [@KreissHagstromLorenzZingano2002], uma consequência da prova acima é que tem-se $ {\displaystyle
\,
t_{\ast\ast} \!\;\!<
0.212 \cdot\:\! \nu^{-\;\!5} \;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_{0} \;\!
\|_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}
  ^{\:\!4}
\!\;\!
} $ sempre. Um argumento mais elaborado desenvolvido no do presente texto produz a estimativa mais fina\
\
\
(2.20)\
[**3. Preliminares, II**]{}\
Nesta seção, vamos utilizar os resultados revisados acima para estabelecer (1.11). Além disso, vamos também obter (1.12$a$) para $ m = 1 $ (Teorema 3.2 abaixo) e $ m = 0 $ (Teorema 3.3), revisando as provas dadas em [@KreissHagstromLorenzZingano2002; @KreissHagstromLorenzZingano2003] e [@SchutzZinganoZingano2014], respectivamente.\
\
[\
]{}\
[[**Prova:**]{} Começamos escrevendo $ \:\!\mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t) \:\!$ na forma\
\
$$\notag
\mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t)
\;=\;\:\!
e^{\;\!\nu \,\!\Delta \:\!
(\;\!\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\,\mbox{\footnotesize $t_0$})} \;\!
[\,\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) -
\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}
\!\;\!(\cdot,t_0) \,]
\:+\:
e^{\;\!\nu \,\!\Delta \:\!
(\;\!\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\,\mbox{\footnotesize $t_0$})} \;\!
\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}
\!\;\!(\cdot,t_0),
\qquad
t > t_0,
$$\
sendo $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}
\!\;\!(\cdot,t)
\;\!
} $ dada em (2.1), $ \delta > 0 $. Como\
\
$$\notag
\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}
\!\;\!(\cdot,t_0)
\;=\;\:\!
e^{\;\!\nu \,\!\Delta \:\!\mbox{\footnotesize $t_0$}}
\;\!\bar{\mbox{\boldmath $u$}}_{0, \,\delta}
\:+\!\:\!
\int_{\:\!\mbox{\footnotesize $0$}}^{\;\!\mbox{\footnotesize $t_0$}}
\!\!
e^{\;\!\nu \,\!\Delta \:\!(\;\!\mbox{\footnotesize $t_0$} \;\!-\,
\mbox{\footnotesize $s$})} \;\!
\mbox{\boldmath $Q$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\delta}}
\!\;\!(\cdot,s)
\,ds,
$$\
onde $ {\displaystyle
\;\!
\bar{\mbox{\boldmath $u$}}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!0, \,\delta}}
\!\;\!=\;\!
G_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\delta}}
\!\:\!\ast
\mbox{\boldmath $u$}_{0}
} $, $ {\displaystyle
\:\!
\mbox{\boldmath $Q$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\delta}}
\!\:\!(\cdot,s)
= -\,
\bar{\mbox{\boldmath $u$}}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}\!\:\!(\cdot,s)
\!\;\!\cdot \!\;\!\nabla
\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}\!\:\!(\cdot,s)
\;\!-\:\!
\nabla p_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\delta}}\!\;\!(\cdot,s)
} $, dados em (2.1$b$) e (2.12), obtém-se\
\
$$\notag
\mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t)
\;=\;\:\!
e^{\;\!\nu \,\!\Delta \:\!(\;\!\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\,
\mbox{\footnotesize $t_0$})} \;\!
[\,\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) -
\:\!\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}
\!\;\!(\cdot,t_0) \,]
\;+\;
e^{\;\!\nu \,\!\Delta \mbox{\footnotesize $t$}} \:\!
\bar{\mbox{\boldmath $u$}}_{0,\,\delta}
\;+
\int_{\:\!\mbox{\footnotesize $0$}}^{\;\!\mbox{\footnotesize $t_0$}}
\!\!
e^{\;\!\nu \,\!\Delta \:\!(\;\!\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\,
\mbox{\footnotesize $s$})} \;\!
\mbox{\boldmath $Q$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\delta}}
\!\:\!(\cdot,s)
\; ds,
$$\
para $ \;\!t > t_0 $. Analogamente, tem-se, para $\;\! t > \tilde{t}_0 $:\
\
$$\notag
\tilde{\mbox{\boldmath $v$}}(\cdot,t)
\;=\;\:\!
e^{\;\!\nu \,\!\Delta \:\!(\;\!\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\,
\mbox{\footnotesize $\tilde{t}_0$})} \;\!
[\,\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,\tilde{t}_0) -
\:\!\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}
\!\;\!(\cdot,\tilde{t}_0) \,]
\;+\;
e^{\;\!\nu \,\!\Delta \mbox{\footnotesize $t$}} \:\!
\bar{\mbox{\boldmath $u$}}_{0,\,\delta}
\;+
\int_{\:\!\mbox{\footnotesize $0$}}^{\;\!\mbox{\footnotesize $\tilde{t}_0$}}
\!\!
e^{\;\!\nu \,\!\Delta \:\!(\;\!\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\,
\mbox{\footnotesize $s$})} \;\!
\mbox{\boldmath $Q$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\delta}}
\!\:\!(\cdot,s)
\; ds.
$$\
Segue então, para a diferença $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t)
\;\!-\;\!
\tilde{\mbox{\boldmath $v$}}(\cdot,t)
} $, sendo $\:\! t > \tilde{t}_0 $ qualquer, que\
\
$ {\displaystyle
D^{\alpha} \:\!
\tilde{\mbox{\boldmath $v$}}(\cdot,t)
\,-\,
D^{\alpha} \:\!
\mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t)
\;\;\!=\;\;\;\!
D^{\alpha} \:\!
\bigl\{\,
e^{\;\!\nu \,\!\Delta \:\!(\;\!\mbox{\footnotesize $t$}
\;\!-\,
\mbox{\footnotesize $\tilde{t}_0$})} \;\!
[\,\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,\tilde{t}_0) -
\:\!\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}
\!\;\!(\cdot,\tilde{t}_0) \,]
\,\bigr\}
\;\,+
} $\
\
(3.2)\
\
$ {\displaystyle
\;-\;
D^{\alpha} \:\!\bigl\{\,
e^{\;\!\nu \,\!\Delta \:\!(\;\!\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\,
\mbox{\footnotesize $t_0$})} \;\!
[\,\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) -
\:\!\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}
\!\;\!(\cdot,t_0) \,]
\,\bigr\}
\:+\,
D^{\alpha} \!\!
\int_{\:\!\mbox{\footnotesize $t_0$}}
    ^{\;\!\mbox{\footnotesize $\tilde{t}_0$}}
\!\!
e^{\;\!\nu\,\!\Delta \:\!(\;\!\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\,
\mbox{\footnotesize $s$})} \;\!
\mbox{\boldmath $Q$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\delta}}
\!\:\!(\cdot,s)
\; ds
} $.\
\
Portanto, dado $ {\displaystyle
\;\!\mathbb{K} \subset \mathbb{R}^{3}
\!\:\!
} $ compacto qualquer, tem-se, para cada $ \;\! t > \tilde{t}_0 $, $ \;\! \delta > 0 $:\
\
$ {\displaystyle
\|\, D^{\alpha} \tilde{\mbox{\boldmath $v$}}(\cdot,t)
\,-\, D^{\alpha} \mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{K})}}
\,\leq\;
J_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\alpha, \;\!\delta}}(t)
\;+\:\!
\int_{\:\!\mbox{\footnotesize $t_0$}}
    ^{\;\!\mbox{\footnotesize $\tilde{t}_0$}}
\!\!
\|\, D^{\alpha} \bigl\{\;\!
e^{\;\!\nu \Delta \:\!(\;\!\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\,
\mbox{\footnotesize $s$})} \;\!
\mbox{\boldmath $Q$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\delta}}
\!\:\!(\cdot,s)
\;\!\bigr\}
\;\!\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{K})}}
\, ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
J_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\alpha, \;\!\delta}}(t)
\;+\,
K\!\;\!(m)
\:
\nu^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{m}{2} }}
\!\!\!\:\!
\int_{\:\!\mbox{\footnotesize $t_0$}}
    ^{\;\!\mbox{\footnotesize $\tilde{t}_0$}}
\!
\Bigl(\, \frac{t - s}{\mbox{\scriptsize $2$}}
\;\!\Bigr)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!\!\!-\,\frac{m}{2}}}
\!\;\!
\|\: e^{\;\!\nu \Delta \:\!(\;\!\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\,
\mbox{\footnotesize $s$})/2} \,
\mbox{\boldmath $Q$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\delta}}
\!\:\!(\cdot,s)
\;\!\bigr\}
\;\!\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\, ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
J_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\alpha, \;\!\delta}}(t)
\;+\,
K\!\;\!(m)
\:
\nu^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{m}{2} \,-\, \frac{3}{4} }}
\!\;\!
(\,\!t - \tilde{t}_0
)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!-\,\frac{m}{2}}}
\!\!\!
\int_{\:\!\mbox{\footnotesize $t_0$}}
    ^{\;\!\mbox{\footnotesize $\tilde{t}_0$}}
\!
\Bigl(\, \frac{t - s}{\mbox{\footnotesize $2$}}
\;\!\Bigr)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!\!-\,\frac{3}{4}}}
\|\,\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}
\!\:\!(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}
\!\:\!(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
J_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\alpha, \;\!\delta}}(t)
\;+\;
K\!\;\!(m)
\:
\nu^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{m}{2} \,-\, \frac{5}{4} }}
\!\;\!
\bigl(\;\!t - \tilde{t}_0
\bigr)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!-\,\frac{m}{2} \,-\, \frac{3}{4}}}
\bigl(\;\! \tilde{t}_0 \!\;\!-\;\! t_0
\bigr)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\:\! \frac{1}{2} }}
\:\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \:\! 2}}
} $ (3.3)\
\
por (2.11), (2.13) e (2.14) acima (e Cauchy-Schwarz), onde\
\
$ {\displaystyle
J_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\alpha, \;\!\delta}}(t)
\;=\;
\|\, D^{\alpha} \bigl\{\;\!
e^{\;\!\nu \Delta \:\!(\;\!\mbox{\footnotesize $t$}
\;\!-\, \mbox{\footnotesize $\tilde{t}_0$})} \;\!
[\,\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,\tilde{t}_0) -
\:\!\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}
\!\;\!(\cdot,\tilde{t}_0) \,]
\;\!\bigr\}
\;\!\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{K})}}
\;+
} $\
\
$ {\displaystyle
+\;\;\!
\|\, D^{\alpha} \bigl\{\;\!
e^{\;\!\nu \Delta \:\!(\;\!\mbox{\footnotesize $t$}
\;\!-\, \mbox{\footnotesize $t_0$})} \;\!
[\,\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) -
\:\!\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}
\!\;\!(\cdot,t_0) \,]
\;\!\bigr\}
\;\!\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{K})}}
\!\:\!
} $.\
\
Tomando $ \;\!\delta = \delta^{\prime} \!\rightarrow  0 \;\! $ conforme (2.2), obtém-se $ J_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\alpha, \;\!\delta}}(t) \rightarrow 0 $, pois, pelo teorema da convergência dominada e (2.2), tem-se, para cada $ \sigma \!\:\!, \, \tau > 0 \:\!$:\
\
$$\tag{3.4}
\|\: D^{\alpha} \bigl\{\;\!
e^{\;\! \nu \Delta \mbox{\footnotesize $\tau$}}
[\,\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,\sigma) -
\:\!\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta^{\prime}}}
\!\;\!(\cdot,\sigma) \,]
\;\!\bigr\}
\;\!\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{K})}}
\rightarrow\; 0
\qquad
\mbox{ao }
\;\; \delta^{\prime} \!\rightarrow 0.$$\
$\,$De fato, sendo $ {\displaystyle
\;\!
F_{\mbox{}_{\!\delta}}(\cdot,\tau) :=
D^{\alpha} \bigl\{\;\!
e^{\;\! \nu \Delta \mbox{\footnotesize $\tau$}}
[\,\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,\sigma) -
\:\!\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}
\!\;\!(\cdot,\sigma) \,]
\;\!\bigr\}
} $, tem-se\
\
$$\notag
F_{\mbox{}_{\!\;\!\delta}}(\cdot,\tau)
\,=\,
H_{\mbox{}_{\!\;\!\alpha}}(\cdot,\tau) \ast
[\,\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,\sigma) -
\:\!\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}
\!\;\!(\cdot,\sigma) \,]$$\
onde $ {\displaystyle
H_{\mbox{}_{\!\alpha}}(\cdot,\tau)
\in
L^{1}(\mathbb{R}^{3}) \cap L^{\infty}(\mathbb{R}^{3})
\;\!
} $ é independente de $ \delta $. Como $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,\sigma) -
\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta^{\prime}}}
\!\;\!(\cdot,\sigma)
\;\!\rightharpoonup \;\!0
\;\!
} $ em $ L^{2}(\mathbb{R}^{3}) $, ver (2.2), segue que $ {\displaystyle
F_{\mbox{}_{\!\:\!\delta^{\prime}}}(x,\tau)
\rightarrow 0
} $ (ao $ \delta^{\prime} \rightarrow 0 $) para cada $ x \in \mathbb{R}^{3} \!\;\!$; por outro lado, por (2.13) e Cauchy-Schwarz, tem-se\
\
$$\notag
\begin{split}
|\, F_{\mbox{}_{\!\;\!\delta}}(x,\tau) \,|
\;&\leq\;
\|\, H_{\mbox{}_{\!\;\!\alpha}}(\cdot,\tau) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!
\|\,\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,\sigma) -
\:\!\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!\delta}}
\!\;\!(\cdot,\sigma) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}} \\
&\leq\;
2 \:
\|\, H_{\mbox{}_{\!\;\!\alpha}}(\cdot,\tau) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\end{split}
$$\
para todo $ x \in \mathbb{R}^{3} \!\;\!$. Por convergência dominada, segue então que $ {\displaystyle
\;\!
\|\, F_{\mbox{}_{\!\:\!\delta^{\prime}}}(\cdot,\tau) \,
\|_{{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{K})}}
\!\rightarrow\;\! 0
\;\!
} $ ao $ \delta^{\:\!\prime} \!\;\!\rightarrow 0 $, visto que $ \mathbb{K} $ é compacto, o que conclui a demonstração da afirmação (3.4) acima.$\;\!$ Assim, fazendo $ \;\! \delta = \delta^{\prime} \!\rightarrow 0 \;\!$ em (3.3), resulta\
\
$$\notag
\|\, D^{\alpha} \:\! \tilde{\mbox{\boldmath $v$}}(\cdot,t)
\;\!-\;\! D^{\alpha} \:\!\mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{K})}}
\leq\:
K\!\;\!(m)
\:
\nu^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{m}{2} \,-\, \frac{5}{4} }}
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \:\! 2}}
\bigl(\;\! \tilde{t}_0 \!\;\!-\;\! t_0
\bigr)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\:\! \frac{1}{2} }}
\bigl(\;\!t - \tilde{t}_0
\bigr)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!-\,\frac{m}{2} \,-\, \frac{3}{4}}}$$\
para todo $ \;\! t > \tilde{t}_0 $ (sendo $ \;\!\mathbb{K} \subset \mathbb{R}^{3} \!\;\!$ compacto [*arbitrário*]{}), o que é equivalente a (3.1). ]{} $\Box$\
\
O Teorema 3.1 estabelece (1.11) para todo $ s = m \geq 0 $ inteiro. Utilizando (1.13), segue a validade de (1.11) para todo $ \;\!s \geq 0 $ ($s$ real), como afirmado.

Para a obtenção das estimativas (1.12), que será feito nas Seções 4 e 5 a seguir, precisaremos ter anteriormente estabelecido (1.12$a$) nos casos particulares $ m = 0, 1 $. Estes dois resultados já foram obtidos por outros autores; as provas mais simples são fornecidas em [@SchutzZinganoZingano2014] ($ m = 0 $) e [@KreissHagstromLorenzZingano2002; @KreissHagstromLorenzZingano2003] ($ m = 1 $), repetidas abaixo por conveniência. O resultado mais fácil é o segundo, por seguir imediatamente da desigualdade de energia (1.2) e do fato de $ {\displaystyle
\;\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\;\!
} $ ser eventualmente monotônica, conforme a Proposição 2.3 da Seção 2 acima:\
[\
]{}[**Teorema 3.2.**]{} *Sendo $ \,\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $ solução de Leray para as equações $\;\!(1.1)$, tem-se*\
\
$$\tag{3.5}
\lim_{\;t\,\rightarrow\,\infty}
\,
t^{\:\!1/2}
\,
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
=\; 0.
$$ [\
]{}\
[[**Prova:**]{} O argumento seguinte é obtido de [@KreissHagstromLorenzZingano2002; @KreissHagstromLorenzZingano2003]. Se a propriedade (3.5) fosse falsa, existiria uma sequência crescente $ \;\! t_{\ell} \;\!\mbox{\scriptsize $\nearrow$}\;\! \infty $ (com $ \:\! t_{\ell} \geq t_{\!\;\!\ast\ast} $ e $ \;\! t_{\ell} \geq 2 \;\! t_{\ell - 1} $ para todo $\ell $, digamos) e algum $ \;\!\eta > 0 \;\!$ fixo tais que\
\
$$\notag
\mbox{} \;\;\;
t_{\ell} \:
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_{\ell}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\:\!\geq\; \eta
\qquad
\forall \;\;\! \ell.$$\
Em particular, teríamos de ter\
\
$$\notag
\int_{\mbox{}_{\mbox{\footnotesize $\!\:\!t_{\ell - 1}$}}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\:\!t_{\ell}$}}
\!\!\!\!\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\:\!dt
\:\,\!\geq\:
(\:\!t_{\ell} -\;\! t_{\ell - 1})
\,
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_{\ell}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\!\:\!\geq\,
\mbox{\footnotesize $ {\displaystyle \frac{1}{2} }$}
\: t_{\ell} \,
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_{\ell}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\!\:\!\geq\,
\mbox{\footnotesize $ {\displaystyle \frac{1}{2} }$}
\, \eta$$\
para todo $\ell $, em contradição com (1.2), (2.3). Portanto, (3.5) tem de ser verdadeira. ]{} $\Box$\
[\
]{}\
[**Teorema 3.3**]{} ([Solução do Problema Clássico de Leray]{}). *Tem-se*\
\
$$\tag{3.6}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}
\,
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
=\;0.$$ [\
]{}\
[[**Prova:**]{} Seguindo o argumento em [@SchutzZinganoZingano2014], seja $ t_{\ast\ast} \!\;\!$ definido na Proposição 2.3 da Seção 2. Dado $ \:\!\epsilon > 0 $, tomemos $ \;\!t_0 \!\;\!\geq t_{\ast\ast} $ suficientemente grande tal que, pelo Teorema 3.2, tenha-se\
\
$$\tag{3.7}
\mbox{} \hspace{+0.500cm}
t^{\:\!1/2} \,
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\leq\: \epsilon
\qquad
\forall \;\;\!
t \geq t_0.$$\
Como $ \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \:\!$ é suave em $ [\,t_0, \infty) $, podemos escrever (pelo princípio de Duhamel)\
\
$$\tag{3.8}
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\;=\;
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $t_0$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0)
\;+
\int_{\mbox{\footnotesize $\!\;\!t_0$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\:\!t$}}
\!\!\;\!
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\: ds,
\qquad
t \geq t_0,$$\
onde $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\;\!
} $ é dada em (2.4), Seção 2.. Usando a representação (3.8) para $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $, obtém-se\
\
$ {\displaystyle
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!\leq\;
\|\: e^{\;\!\nu \Delta (t \;\!-\, t_0)} \:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!+
\int_{\mbox{\scriptsize $t_0$}}
    ^{\mbox{\scriptsize $t$}}
\!
\|\: e^{\;\!\nu \Delta (t \;\!-\, s)} \:\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
\|\: e^{\;\!\nu \Delta (t \;\!-\, t_0)} \:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!+\:
K \;\!
\nu^{-\,3/4} \!\!
\int_{\mbox{\scriptsize $t_0$}}
    ^{\mbox{\scriptsize $t$}}
\!
(t - s)^{-\,3/4} \:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
\|\: e^{\;\!\nu \Delta (t \;\!-\, t_0)} \:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!+\:
K \;\!
\nu^{-\,3/4} \,
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\!\;\!
\int_{\mbox{\scriptsize $t_0$}}
    ^{\mbox{\scriptsize $t$}}
\!\;\!
(t - s)^{-\,3/4} \:
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
\|\: e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\scriptsize $t$} \;\!-\, t_0)} \:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
+\,
K \;\! \nu^{-\,3/4} \,
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!
\epsilon
\!\:\!
\int_{\mbox{\scriptsize $t_0$}}
    ^{\mbox{\scriptsize $t$}}
\!\;\!
(t - s)^{-\,3/4} \, s^{-\,1/2}
\,ds
} $ \[$\,$por (3.7)$\;\!$\]\
\
para todo $ \:\!t > t_0 $, onde $ \:\!K \!\:\!=\:\! (\:\!8 \:\!\pi )^{-\,3/4} \!\:\!$, usando (1.2) e (2.5). Observando que\
\
$$\notag
\int_{\mbox{\scriptsize $t_0$}}
    ^{\mbox{\scriptsize $t$}}
\!\;\!
(t - s)^{-\,3/4} \, s^{-\,1/2}
\,ds
\;\leq\;
6 \: \sqrt[4]{\;\!2\;}
\qquad
\forall
\;\,
t \;\!\geq\;\! t_0 + 1,$$\
obtém-se, então, para todo $ \:\! t \geq\;\! t_0 +\;\! 1 $:\
\
$$\notag
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!\leq\;
\|\: e^{\;\! \nu \Delta (t \;\!-\, t_0)} \:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!+\:
\nu^{-\,3/4} \,
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\epsilon.$$\
Como, para o semigrupo do calor, tem-se que $ {\displaystyle
\;\!
\|\: e^{\;\!\nu \Delta (t \;\!-\, t_0)} \:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\rightarrow \;\!0
\;\!
} $ ao $ \;\!t \rightarrow \infty $,\
segue que\
\
$$\notag
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!\leq\;
(\;\! 1 \,+\, \nu^{-\,3/4} \,
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}})
\: \epsilon$$\
para todo $ \;\! t \gg 1 $. Dado que $ \;\!\epsilon > 0 \;\!$ é arbitrário, isto mostra (3.6), como afirmado. ]{} $\Box$\
[\
]{}\
[**Observação 3.1.**]{} De modo similar, poderíamos também estabelecer (1.8), ou seja,\
\
$$\tag{3.9}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}
\,
t^{\;\! \frac{\scriptstyle 3}{\scriptstyle 4}}
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) -\,
e^{\:\!\nu \:\! \Delta \:\!(t - t_0)}
\;\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!=\;
0,$$\
mas este resultado não será necessário na análise a seguir. (Para uma prova de (3.9), ver [@SchutzZinganoZingano2014], Section 3.) O mesmo vale para as propriedades (1.9), i.e.,\
\
$$\tag{3.10$a$}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty} \,
t^{\;\! \frac{\scriptstyle 3}{\scriptstyle 4}}
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!=\;
0,$$\
$$\tag{3.10$b$}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}
\,
t
\:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) -\,
e^{\:\!\nu \:\! \Delta \:\!(t - t_0)}
\;\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!=\;
0,$$\
obtidas em [@SchutzZinganoZingano2014], Section 4. Um ponto a destacar sobre as provas de (3.6), (3.9), (3.10) apresentadas em [@SchutzZinganoZingano2014] é que *elas utilizam apenas resultados obtidos por Leray* [@Leray1934] [*e*]{} *métodos matemáticos conhecidos até aquela época*. O mesmo [*não*]{} vale para as estimativas (bem mais difíceis) em (1.10) ou (1.12), como se verá nas Seções 4 e 5 seguir.\
[**4. Prova de (1.12[*a*]{})**]{}\
Nesta seção, vamos demonstrar o seguinte resultado, dada uma solução de Leray (qualquer) $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $ para as equações de Navier-Stokes (1.1).\
\
[\
]{}\
A prova do Teorema 4.1 ocupará toda a discussão a seguir. Novamente, o ponto de partida é dado pela representação (3.8) para $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $, ou seja: considerando $ t_0 \geq \mbox{\small $T$}_{\!\:\!\ast\ast} $ ($ \:\!\mbox{\small $T$}_{\!\:\!\ast\ast} $ dado em (1.3), Seção 1), podemos escrever, como $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $ é suave em $ [\,t_0, \infty ) $:\
\
$$\tag{4.2}
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\;=\;
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $t_0$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0)
\;+
\int_{\mbox{\footnotesize $\!\;\!t_0$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\:\!t$}}
\!\!\;\!
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\: ds,
\qquad
\forall \;\,
t \geq t_0,$$\
onde $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\;\!
} $ é dada em (2.4), Seção 2. Em particular, segue que, para cada $\alpha$,\
\
$$\tag{4.3$a$}
\|\, D^{\alpha} \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\,\leq\:
I_{\alpha}(\:\!t\:\!; t_0)
\;+
\int_{\mbox{\footnotesize $t_0$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
\|\, D^{\alpha} \:\![\:
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\,] \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds$$\
para todo $ \;\!t \geq t_0 $, onde\
\
$$\tag{4.3$b$}
\mbox{} \;\;
I_{\alpha}(\:\!t\:\!; t_0)
\;=\;
\|\: D^{\alpha} \;\![\;\!\;\!
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $t_0$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0)
\,] \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\:\!,
\quad \;\;
t \;\!\geq\;\! t_{0}.$$\
Note-se que (4.1) já foi obtido se $ m = 0 $ (Teorema 3.3) e $ m = 1 $ (Teorema 3.2), seguindo [@KreissHagstromLorenzZingano2002; @KreissHagstromLorenzZingano2003; @SchutzZinganoZingano2014]. Em particular, tem-se\
\
$$\tag{4.4}
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{1}{2} }}
\:\!
\|\, D \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!\leq\:
M_{\mbox{}_{1}}
\!\:\!,
\qquad
\forall \;\,
t \,\geq\, \mbox{\small $T$}_{\!\:\!\ast\ast}$$\
para certa constante $ M_{\mbox{}_{1}} \!\;\!> 0 $ dependendo da solução $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $ considerada. Mais geralmente, tem-se o seguinte resultado.\
[\
]{}[**Lemma 4.1.**]{} *Sendo $ {\displaystyle
\;\!
U_{m}(t) :=\,
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\!\;\!
\|\, D^{m} \,\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\;\!
} $, tem-se, para cada $\;\!m \geq 0 \!\!\;\!:$*\
\
$$\tag{4.5}
U_{m} \in
L^{\infty}(\:\![\,\mbox{\small $T$}_{\!\:\!\ast\ast}, \infty)\,\!).$$. [\
]{}

[**Prova:**]{} Para $ m = 0, 1 $, (4.5) segue de (1.2), (4.4); assim, resta provar (4.5) para $ m \geq 2 $. Dados $ \;\! t_0 \!\;\!\geq \mbox{\small $T$}_{\!\:\!\ast\ast} \:\!$ e $ \;\!\alpha \;\!$ multi-índice com $ \;\!|\;\!\alpha\;\!| = m $, tem-se, de (4.3) acima, para $ \;\! t \geq t_0 $:\
\
$$\tag{4.6}
V_{\alpha}(t) \;\equiv\;
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\!\;\!
\|\, D^{\alpha} \,\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!\leq\;
I_{1}(\alpha, \:\!t) \,+\,
I_{2}(\alpha, \:\!t) \,+\,
J_{\alpha}(t),$$\
onde\
\
$$\tag{4.7$a$}
I_{1}(\alpha, \:\!t)
\;=\;\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\,\!
\|\: D^{\alpha} \;\![\;\!\;\!
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $t_0$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0)
\,] \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\:\!,$$\
$$\tag{4.7$b$}
I_{2}(\alpha, \:\!t)
\;=\;\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\;\!t_0$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!\mu(t)$}}
\!\!
\|\, D^{\alpha} \:\![\:
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\,] \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds,$$\
$$\tag{4.7$c$}
J_{\alpha}(t)
\;=\;\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
\|\, D^{\alpha} \:\![\:
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\,] \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds,$$\
sendo $ {\displaystyle
\;\!
\mu(t) = (\:\!t_0 + \;\!t)/2
} $. Estimar $ I_{1}(t) $, $ I_{2}(t) $ é simples: obtém-se, de (2.14) e (4.7$a$),\
\
$$\tag{4.8}
|\: I_{1}(\alpha, \:\!t) \,|
\;\leq\:
K\!\;\!(m,\;\!\nu) \:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\,\!
(\:\! t - t_0)^{\mbox{}^{\scriptstyle
\!\!-\, \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\leq\;
K\!\;\!(m,\;\!\nu, \;\!t_0) \:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}$$\
para todo $ \;\! t \geq t_0 + 1 $, enquanto, por (2.15), (4.4) e (4.7$b$),\
\
$$\notag
\begin{split}
|\: I_{2}(\alpha, \:\!t) \,|
\;&\leq\:
K\!\;\!(m,\;\!\nu) \:
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\;\!t_0$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!\mu(t)$}}
\!\!
(\:\! t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!
-\, \frac{\scriptstyle m}{2} \,-\, \frac{3}{4} }}
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!
\|\, D \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds \\
&\leq\:
K\!\;\!(m,\;\!\nu) \:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\;\!t_0$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!\mu(t)$}}
\!\!
s^{\mbox{}^{\scriptstyle \!- \, \frac{1}{2} }}
\;\!
(\:\! t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!
-\, \frac{\scriptstyle m}{2} \,-\, \frac{3}{4} }}
\;\!
\bigl\{\, s^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{1}{2} }}
\;\!
\|\, D \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!\bigr\}
\, ds \\
&\leq\:
K\!\;\!(m,\;\!\nu) \:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\,
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\:\!
(\:\! t - t_0)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!
-\, \frac{\scriptstyle m}{2} \,-\, \frac{3}{4} }}
\,
M_{\mbox{}_{1}}
\!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\;\!t_0$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\:\!\mu(t)$}}
\!\!
s^{\mbox{}^{\scriptstyle -\, \frac{1}{2} }}
\;\!
ds \\
&\leq\:
K\!\;\!(m,\;\!\nu, \;\!t_0)
\:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\,
M_{\mbox{}_{1}}
\;\!
(\:\! t - t_0)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!-\, \frac{3}{4} }}
\:\!
(\:\! t + t_0)^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{1}{2} }} \\
\end{split}
$$\
(4.9$a$)\
\
para todo $ \;\! t \geq t_0 + 1 $, ou seja,\
\
$$\tag{4.9$b$}
|\: I_{2}(\alpha, \:\!t) \,|
\;\leq\:
K\!\;\!(m,\;\!\nu, \;\!t_0, \;\!M_{\mbox{}_{1}}\!\:\!, \;\!\mbox{\boldmath $u$}_0),
\qquad
\forall \;\;
t \,\geq\, t_0 \;\!+\;\! 1,$$\
onde $ {\displaystyle
\;\!
K\!\;\!(m,\;\!\nu, \;\!t_0, \:\!M_{\mbox{}_{1}}\!\:\!,
\:\!\mbox{\boldmath $u$}_0) > 0
\;\!
} $ depende dos dados $ (m,\;\!\nu, \;\!t_0, \:\!M_{\mbox{}_{1}}\!\:\!,
\:\!\mbox{\boldmath $u$}_0) $. Assim, por (4.6), (4.8) e (4.9), tem-se\
\
$$\tag{4.10}
V_{\alpha}(t)
\;\leq\:
K\!\:\!(m,\;\!\nu, \;\!t_0, \:\!M_{\mbox{}_{1}}\!\:\!,
\:\!\mbox{\boldmath $u$}_0)
\,+\;\!
J_{\alpha}(t),
\qquad
\forall \;\;
t \,\geq\, t_0 \;\!+\;\! 1,$$\
onde $ J_{\alpha}(t) $ é dada em (4.7$c$). Para estimar $ J_{\alpha}(t) $, que é o termo mais complicado, podemos proceder do modo seguinte. Ilustraremos o método considerando inicialmente o caso mais simples $ |\,\alpha\,| = 2 $, ou seja, $ D^{\alpha} \!\;\!=\,\! D_{j} \:\!D_{\ell} $, procedendo depois por indução em $ \;\!m = |\,\alpha\,| $.

Considerando $ D^{\alpha} = D_{j} \:\!D_{\ell} $, tem-se, por (4.7$c$) e (2.14),\
\
$$\notag
\begin{split}
J_{j,\,\ell}(t)
\;&\equiv\;\;\!
t \!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
\|\, D_{j} \:\!D_{\ell} \;\![\:
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\,] \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds, \\
&=\;\;\!
t \!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
\|\, D_{j} \:\![\:
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\:\!
D_{\ell} \;\! \mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\,] \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds, \\
&\leq\,
K\!\;\!(\nu) \;\;\!
t \!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\,\!
\|\, D_{\ell} \;\! \mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4/3}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds.
\end{split}
$$\
Para prosseguir, é preciso estimar $ {\displaystyle
\;\!
\|\, D_{\ell} \;\! \mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s) \,
\|_{\scriptstyle L^{4/3}(\mathbb{R}^{3})}
\!\;\!
} $, o que é feito usando a teoria de Calderon-Zygmund de operadores integrais singulares (ver e.g.$\;\!$[@Stein1970], Ch.$\;$2, ou [@DunfordSchwartz1963], Ch.$\;$11). Por conveniência, revisamos brevemente como isso é feito, considerando o caso geral em $ \mathbb{R}^{n} \!\;\!$. Por (2.4), Seção 2, tem-se $ {\displaystyle
\;\!
D_{\ell} \;\! \mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,t)
\;\!=\;\!
-\, D_{\ell} \,[\, \mbox{\boldmath $u$} \cdot
\nabla \:\! \mbox{\boldmath $u$}\;\!(\cdot,t) \,]
\;\!-\;\! \nabla \:\! q_{\mbox{}_{\scriptstyle \ell}}(\cdot,t)
} $, $ {\displaystyle
\;\!
q_{\mbox{}_{\scriptstyle \ell}}(\cdot,t)
=
D_{\ell} \,p(\cdot,t)
} $. Tomando o divergente em $x$, resulta que $ \;\!q_{\mbox{}_{\scriptstyle \ell}}(\cdot,t) \;\!$ é a solução (única) do problema de Poisson\
\
$$\notag
-\, \Delta \;\!
q_{\mbox{}_{\scriptstyle \ell}}(\cdot,t)
\;=\;
\mbox{div}\;
\bigl\{\, D_{\ell} \,[\, \mbox{\boldmath $u$} \cdot
\nabla \:\! \mbox{\boldmath $u$}\;\!(\cdot,t) \,]
\,\bigr\},
\quad \;\;
q_{\mbox{}_{\scriptstyle \ell}}(\cdot,t)
\in L^{2}(\mathbb{R}^{n}).$$\
Aplicando a teoria de Calderon-Zygmund (cf.$\;$[@Guterres2014], Ch.$\;$5), obtém-se, para cada $ 1 < r < \infty $:\
\
$$\notag
\|\, \nabla \:\!
q_{\mbox{}_{\scriptstyle \ell}}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{r}(\mathbb{R}^{n})}}
\,\leq\;
K\!\;\!(r,n) \:
\|\, D_{\ell} \,[\, \mbox{\boldmath $u$} \cdot
\nabla \:\! \mbox{\boldmath $u$}\;\!(\cdot,t) \,] \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{r}(\mathbb{R}^{n})}}$$\
para certa constante $ K\!\;\!(r,n) > 0 $ dependendo de $ \;\!r, \;\!n $ somente. Isso implica, por (2.4), que\
\
$$\tag{4.11}
\|\, D_{\ell} \;\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{r}(\mathbb{R}^{n})}}
\,\leq\;
K\!\;\!(r,n) \:
\|\, D_{\ell} \,[\, \mbox{\boldmath $u$} \cdot
\nabla \:\! \mbox{\boldmath $u$}\;\!(\cdot,t) \,] \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{r}(\mathbb{R}^{n})}}$$\
para cada $ 1 < r < \infty $, onde, novamente, $ K\!\;\!(r,n) $ depende de $ \;\!r, \;\!n $. (Por exemplo, repetindo o argumento usado na prova da Proposição 2.1, tem-se $ K\!\;\!(2,n) = 1 $, para todo $n$.) Assim, com $ \;\!r = 4/3 $, $ n = 3 $, obtém-se $ {\displaystyle
\;\!
\|\, D_{\ell} \, \mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4/3}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\;\!\leq\;\!
K \:
\|\, D_{\ell} \,[\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \cdot
\nabla \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,] \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4/3}(\mathbb{R}^{3})}}
\!
} $, de modo que\
\
$ {\displaystyle
J_{j,\,\ell}(t)
\;\leq\;
K\!\;\!(\nu) \;
t \!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\,\!
\|\, D_{\ell} \;\![\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \cdot
\nabla \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,]\,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4/3}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
K\!\;\!(\nu) \;
t \!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\;\!
\Bigl\{\,
\|\, D_{\ell} \;\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s)
\;\!\cdot\;\!
\nabla \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4/3}(\mathbb{R}^{3})}}
\:+
} $\
\
$ {\displaystyle
+\;\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s)
\;\!\cdot\;\!
\nabla \:\! D_{\ell} \;\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4/3}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! \Bigr\}
\;\! ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
K\!\;\!(\nu) \;
t \!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\;\!
\Bigl\{\,
\|\, D \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\|\, D \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:+
} $\
\
$ {\displaystyle
+\;\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\|\, D^{2} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! \Bigr\}
\;\! ds
} $,\
\
pela desigualdade de Hölder (no último passo acima). Utilizando agora a desigualdade de Nirenberg-Gagliardo\
\
$$\tag{4.12}
\|\, \mbox{u} \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!\leq\;
K \,
\|\, \mbox{u} \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
  ^{1/4}
\:\!
\|\, D \:\! \mbox{u} \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
  ^{3/4}$$\
para $ \;\!\mbox{u} \in H^{1}(\mathbb{R}^{3}) \;\!$ arbitrária, obtém-se, então,\
\
$ {\displaystyle
J_{j,\,\ell}(t)
\;\leq\;
K\!\;\!(\nu) \;
t \!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\;\!
\Bigl\{\,
\|\, D \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4}(\mathbb{R}^{3})}}
  ^{\:\!5/4}
\:\!
\|\, D^{2} \,\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
  ^{\:\!3/4}
\:+
} $\
\
$ {\displaystyle
+\;\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4}(\mathbb{R}^{3})}}
  ^{\:\!1/4}
\:\!
\|\, D \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
  ^{\:\!3/4}
\:\!
\|\, D^{2} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! \Bigr\}
\;\! ds
} $,\
\
$ {\displaystyle
=\:
K\!\;\!(\nu) \;
t \!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!\!\!\!\;\!
s^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{11}{8} }}
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\;\!
\Bigl\{\;\!
\bigl[\, s^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{1}{2} }}
\:\!
\|\, D \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!\bigr]^{\:\!5/4}
\;\!
\bigl[\, s \,
\|\, D^{2} \,\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\bigr]^{\:\!3/4}
} $\
\
$ {\displaystyle
+\;\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4}(\mathbb{R}^{3})}}
  ^{\:\!1/4}
\:\!
\bigl[\, s^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{1}{2} }}
\:\!
\|\, D \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\bigr]^{\:\!3/4}
\:\!
\bigl[\, s \,
\|\, D^{2} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\bigr]
\;\! \Bigr\}
\;\! ds
} $,\
\
$ {\displaystyle
\leq \:
K\!\;\!(\nu) \,
M_{\mbox{}_{1}}^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{5}{4} }}
\;\!
t \;\!\;\!
(\:\!t + t_0)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!-\, \frac{11}{8} }}
\!\!\!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\;\!
U_{\mbox{}_{2}}(s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{3}{4} }}
\;\! ds
\;\,+
} $\
\
$ {\displaystyle
+\;\;\!
K\!\;\!(\nu) \,
M_{\mbox{}_{1}}^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{3}{4} }}
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{1}{4} }}
\:\!
t \;\!\;\!
(\:\!t + t_0)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!-\, \frac{11}{8} }}
\!\!\!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\;\!
U_{\mbox{}_{2}}(s)
\;\!\;\! ds
} $,\
\
onde $ {\displaystyle
U_{\mbox{}_{2}}(t)
\;\!=\;\!
t \;
\|\,D^{2} \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
} $. Portanto, para cada $ 1 \leq j, \;\!\ell \leq 3 $ (e cada $ t \geq t_0 + 1$), obtém-se\
\
$ {\displaystyle
J_{j,\,\ell}(t)
\;\leq \;\!\;\!
K\!\;\!(\nu) \,
M_{\mbox{}_{1}}^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{5}{4} }}
\,\!
(\:\!t + t_0)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!-\, \frac{3}{8} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\;\!
U_{\mbox{}_{2}}(s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{3}{4} }}
\;\! ds
\;\,+
} $\
\
$ {\displaystyle
+\;\;\!
K\!\;\!(\nu) \,
M_{\mbox{}_{1}}^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{3}{4} }}
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{1}{4} }}
\:\!
(\:\!t + t_0)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!-\, \frac{3}{8} }}
\!\!\!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\;\!
U_{\mbox{}_{2}}(s)
\;\!\;\! ds
} $,\
\
$ {\displaystyle
\leq \;\!\;\!
K\!\;\!(\nu) \,
M_{\mbox{}_{1}}^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{5}{4} }}
\,\!
(\:\!t + t_0)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!-\, \frac{1}{4} }}
+\;
K\!\;\!(\nu, M_{\mbox{}_{1}}\!\:\!, \mbox{\boldmath $u$}_0)
\,
(\:\!t + t_0)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!-\, \frac{3}{8} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\;\!
U_{\mbox{}_{2}}(s)
\: ds
} $,\
\
pelo fato de se ter $ {\displaystyle
\;\!
U_{\mbox{}_{2}}(s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \:\!\frac{3}{4} }}
\!\:\!\leq\,\! 1 + U_{\mbox{}_{2}}(s)
} $, e onde $ \;\!K\!\;\!(\nu, M_{\mbox{}_{1}}\!\:\!, \mbox{\boldmath $u$}_0) > 0 \;\!$ depende apenas de $ \nu $, $ M_{\mbox{}_{1}}\!\:\! $ e $ \;\!\|\,\mbox{\boldmath $u$}_0 \;\! \|_{L^{2}(\mathbb{R}^{3})} $. Assim, por (4.6) e (4.10), obtém-se, para $ {\displaystyle
\;\!
V_{j,\;\!\ell}(t)
\;\!=\;\!
t \:
\|\, D_{j} \:\! D_{\ell} \, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\:\!
} $:\
\
$$\notag
V_{j,\;\!\ell}(t)
\;\leq\;
K\!\;\!(m,\;\!\nu, \;\!t_0, \;\!M_{\mbox{}_{1}}\!\:\!, \;\!\mbox{\boldmath $u$}_0)
\;+\;
K\!\;\!(\nu, M_{\mbox{}_{1}}\!\:\!, \mbox{\boldmath $u$}_0)
\,
(\:\!t + t_0)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!-\, \frac{3}{8} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\;\!
U_{\mbox{}_{2}}(s)
\: ds$$\
para todos $ j, \;\!\ell $ (e todo $ \;\! t \;\!\geq\;\! t_0 + 1 $), de modo que\
\
$$\tag{4.13}
U_{\mbox{}_{2}}(t)
\;\leq\;
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast}}\!\;\!
(m,\;\!\nu, \;\!t_0, \;\!M_{\mbox{}_{1}}\!\:\!, \;\!\mbox{\boldmath $u$}_0)
\;+\;
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast\ast}}\!\;\!
(\nu, M_{\mbox{}_{1}}\!\:\!, \mbox{\boldmath $u$}_0)
\,
(\:\!t + t_0)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!-\, \frac{3}{8} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\;\!
U_{\mbox{}_{2}}(s)
\: ds$$\
para todo $ \;\! t \geq t_0 + 1 $, onde $ {\displaystyle
\;\!
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast\ast}}\!\;\!
(\nu, M_{\mbox{}_{1}}\!\:\!, \mbox{\boldmath $u$}_0) > 0
\;\!
} $ depende apenas de $ \nu $, $ M_{\mbox{}_{1}}\!\:\! $ e $ \;\!\|\,\mbox{\boldmath $u$}_0 \;\! \|_{L^{2}(\mathbb{R}^{3})} $. Tomemos então $ \;\!t_{2} $, $ \mathbb{M}_{2} $ dados por\
$$\tag{4.14}
t_{2}\;\!:=\;
1 +\;\! t_0 +\, 2^{16} \;\!
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\ast\ast}}^{\:\!4}
\!\;\!,
\qquad
\mathbb{M}_{2} \;\!\!:=\;
\sup \,\{\, U_{\mbox{}_{2}}(s) \!:\;
t_0 \leq s \leq t_2 \;\!\},$$\
onde $ {\displaystyle
\;\!
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\ast\ast}}
\!\;\!=\;\!
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\ast\ast}}\!\:\!
(\nu, M_{\mbox{}_{1}}\!\:\!, \mbox{\boldmath $u$}_0)
\;\!
} $ é a constante definida em (4.13) acima. Afirmamos que\
\
$$\tag{4.15}
U_{\mbox{}_{2}}(t) \;\leq\;
2 \, K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast}}\!\;\!
(m,\;\!\nu, \;\!t_0, \;\!M_{\mbox{}_{1}}\!\:\!, \;\!\mbox{\boldmath $u$}_0)
\;+\;
16 \: K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast\ast}}\!\;\!
(\nu, M_{\mbox{}_{1}}\!\:\!, \mbox{\boldmath $u$}_0) \,
\mathbb{M}_{\mbox{}_{2}},
\qquad
\forall \;\,
t \;\!\geq\;\! t_{2},$$\
onde $ \;\! K_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\ast}} \!\;\! $, $ K_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\ast\ast}} $ são as constantes dadas em (4.13). $\,$De fato, sendo $ t \geq t_{2} $, definamos $ \mathbb{U}_{\mbox{}_{2}}(t) $ pondo $ {\displaystyle
\;\!
\mathbb{U}_{\mbox{}_{2}}(t) :=\,
\sup\,\{\;\! U_{\mbox{}_{2}}(s) \!:\; t_{2} \leq s \leq t \,\}
} $. Se $ \;\!\mu(t) \geq t_{2} $, então, por (4.13), obtém-se\
\
$$\notag
\begin{split}
U_{\mbox{}_{2}}(t)
\;&\leq\;
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast}}\!\;\!
(m,\;\!\nu, \;\!t_0, \;\!M_{\mbox{}_{1}}\!\:\!, \;\!\mbox{\boldmath $u$}_0)
\;+\;
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast\ast}}\!\;\!
(\nu, M_{\mbox{}_{1}}\!\:\!, \mbox{\boldmath $u$}_0)
\,
(\:\!t + t_0)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!-\, \frac{3}{8} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\;\!
ds
\;
\mathbb{U}_{\mbox{}_{2}}(t) \\
&\leq\;
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast}}\!\;\!
(m,\;\!\nu, \;\!t_0, \;\!M_{\mbox{}_{1}}\!\:\!, \;\!\mbox{\boldmath $u$}_0)
\;+\;
8 \, K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast\ast}}\!\;\!
(\nu, M_{\mbox{}_{1}}\!\:\!, \mbox{\boldmath $u$}_0)
\,
(\:\!t + t_0)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!-\, \frac{1}{4} }}
\;\!
\mathbb{U}_{\mbox{}_{2}}(t),
\end{split}
$$\
de modo que, pela definição de $\;\!t_{2} $, tem-se $ {\displaystyle
\;\!
U_{\mbox{}_{2}}(t) \;\!\leq\;\!
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast}}
\!\;\!+\;\! \mathbb{U}_{\mbox{}_{2}}(t)/2
} $. Se $ \;\!\mu(t) < t_{2} $, então\
\
$$\notag
\begin{split}
U_{\mbox{}_{2}}(t)
\;&\leq\;
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast}}\!\;\!
\;\!+\,
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast\ast}}\!
\cdot
(\:\!t + t_0)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!-\, \frac{3}{8} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\;\!
ds
\;
\bigl(\, \mathbb{M}_{\mbox{}_{2}} \;\!+\,
\mathbb{U}_{\mbox{}_{2}}(t) \;\!\bigr) \\
&\leq\;
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast}}\!\;\!
\;\!+\;
8 \, K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast\ast}}\;\!
\mathbb{M}_{\mbox{}_{2}}
\,+\,
8 \, K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast\ast}}\;\!
(\:\!t + t_0)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!-\, \frac{1}{4} }}
\;\!
\mathbb{U}_{\mbox{}_{2}}(t),
\end{split}
$$\
de modo que, pela definição de $\;\!t_{2} $, obtém-se neste caso $ {\displaystyle
\;\!
U_{\mbox{}_{2}}(t)
\;\!\leq\;\!
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast}}
\!\;\!+\;\!
8 \, K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast\ast}} \,
\mathbb{M}_{\mbox{}_{2}}
+\;\!
\mathbb{U}_{\mbox{}_{2}}(t)/2
} $. Portanto, tem-se sempre\
\
$$\notag
U_{\mbox{}_{2}}(t)
\;\leq\;
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast}}
\!\;\!+\,
8 \, K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast\ast}}
\;\!
\mathbb{M}_{\mbox{}_{2}}
\;\!+\,
\frac{1}{2} \;
\mathbb{U}_{\mbox{}_{2}}(t),
\qquad
\forall \;\,
t \;\!\geq\;\! t_{2}.$$\
Logo, $ {\displaystyle
\;\!
\mathbb{U}_{\mbox{}_{2}}(t)
\;\!\leq\;\!
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast}}
\!\,\!+\;\!
8 \, K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast\ast}}
\;\!
\mathbb{M}_{\mbox{}_{2}}
+\;\!
\mathbb{U}_{\mbox{}_{2}}(t)/2
\;\!
} $ para todo $ \;\!t \geq t_{2} $, que é equivalente a (4.15).$\;\!$ De (4.15), segue imediatamente que $ {\displaystyle
\;\!
U_{\mbox{}_{2}} \in L^{\infty}(\:\![\, t_2, \infty) )
} $. Como, por (1.3), tem-se também $ {\displaystyle
\;\!
U_{\mbox{}_{2}} \in L^{\infty}(\:\![\, \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast\ast}, \;\!t_2\;\!]\:\! )
} $, resulta que $ {\displaystyle
\;\!
U_{\mbox{}_{2}} \in L^{\infty}(\:\![\,\mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast\ast}, \infty) )
} $, provando assim (4.5) no caso $ m = 2 $.\
\
Mais geralmente, podemos mostrar (4.5) para $ m \geq 2 $ qualquer usando indução em $m$. Assim, dado $ m \geq 3 $, suponha-se que (4.5) já tenha sido obtida para os valores anteriores de $m$. Tomando-se, então, $ \alpha $ (multi-índice) com $ \;\!|\,\alpha\,| = m $, e escrevendo-se $ D^{\alpha} \!\;\!= D_{j} \;\! D^{\alpha^{\prime}} \!$ (para certo multi-índice $ \alpha^{\prime} $ com $ |\,\alpha^{\prime} \,| = m - 1 $), tem-se, lembrando (4.7$c$) acima,\
\
$$\notag
\begin{split}
J_{\alpha}(t)
\;&=\;\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
\|\, D^{\alpha} \;\![\:
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\,] \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds, \\
&=\;\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
\|\, D_{j} \,[\:
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\:\!
D^{\alpha^{\prime}} \!\;\! \mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\,] \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds, \\
&\leq\,
K\!\;\!(\nu) \;\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\,\!
\|\, D^{\alpha^{\prime}} \!\;\! \mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4/3}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds \\
&\leq\,
K\!\;\!(\nu) \;\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\,\!
\|\, D^{\alpha^{\prime}} \!\;\![\,
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \cdot
\nabla \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,]\,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4/3}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds \\
\end{split}
$$\
usando (2.14) e a estimativa (4.16) abaixo (que segue novamente por Calderon-Zygmund),

\
$$\tag{4.16}
\|\, D^{\beta} \,\!\,\!\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{r}(\mathbb{R}^{n})}}
\,\leq\;
K\!\;\!(r,n) \:
\|\, D^{\beta} \:\! [\,
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \cdot
\nabla \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,]\,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{r}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!,$$\
para cada $ 1 < r < \infty $, e qualquer multi-índice $ \beta $, que é mostrada de modo análogo a (4.11). Resulta, então, por Hölder e (4.12), como antes,\
\
$$\notag
\begin{split}
J_{\alpha}(t)
\;\;\!&\leq
\hspace{-1.250cm}
\sum_{\mbox{} \hspace{+1.250cm} |\,\beta\,| \,+\, |\,\gamma\,| \:=\:
m \,-\, {\scriptscriptstyle 1}}
\hspace{-1.400cm}
K\!\;\!(\nu) \;\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\,\!
\|\, D^{\beta} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \cdot
\nabla \:\!  D^{\gamma} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,]\,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4/3}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds \\
&\leq\;\;
K\!\;\!(\nu) \!
\sum_{\ell \,=\,0}^{m\,-\,{\scriptscriptstyle 1}}
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\,\!
\|\, D^{\ell} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\|\, D^{m - \ell} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds \\
&\leq\;\;
K\!\;\!(\nu) \!
\sum_{\ell \,=\,0}^{m\,-\,{\scriptscriptstyle 1}}
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\,\!
\|\, D^{\ell} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2} }}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{1}{4} }}
\:\!
\|\, D^{\ell + 1} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2} }}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{3}{4} }}
\:\!
\|\, D^{m - \ell} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2} }}
\, ds, \\
\end{split}
$$\
ou seja, $ {\displaystyle
\;\!
J_{\alpha}(t)
\;\!\leq\;\!
J_{\mbox{}_{1}}(t) \;\!+
J_{\mbox{}_{2}}(t) \;\!+
J_{\mbox{}_{3}}(t)
} $, onde\
\
$$\tag{4.17$a$}
J_{\mbox{}_{1}}(t)
\;=\;
K\!\;\!(\nu) \;
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\,\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2} }}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{1}{4} }}
\:\!
\|\, D \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2} }}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{3}{4} }}
\:\!
\|\, D^{m} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2} }}
\, ds,$$\
$$\tag{4.17$b$}
J_{\mbox{}_{2}}(t)
\;=\;
K\!\;\!(\nu) \!\;\!
\sum_{\ell \,=\,1}^{m\,-\,{\scriptscriptstyle 2}}
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\,\!
\|\, D^{\ell} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2} }}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{1}{4} }}
\:\!
\|\, D^{\ell + 1} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2} }}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{3}{4} }}
\:\!
\|\, D^{m - \ell} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2} }}
\, ds,$$\
$$\tag{4.17$c$}
J_{\mbox{}_{3}}(t)
\;=\;
K\!\;\!(\nu) \;
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\,\!
\|\, D^{m - 1} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2} }}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{1}{4} }}
\:\!
\|\, D \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2} }}
\:\!
\|\, D^{m} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2} }}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{3}{4} }}
\, ds.$$\
Escrevendo $ {\displaystyle
\;\!
\|\, D \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2} }}
\!=\;\!
s^{\mbox{}^{\scriptstyle -\, \frac{1}{2} }}
U_{\mbox{}_{1}}(s)
\;\!\leq\;\!
M_{\mbox{}_{1}} \,\!
s^{\mbox{}^{\scriptstyle -\, \frac{1}{2} }}
\!\!\;\!
} $, $ {\displaystyle
\;\!
\|\, D^{m} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2} }}
\!\;\!=\;\!
s^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{\scriptstyle m}{2} }}
U_{\mbox{}_{\scriptstyle m}}\!\;\!(s)
} $, obtém-se\
\
$$\tag{4.18$a$}
\begin{split}
J_{\mbox{}_{1}}(t)
\;&\leq\;
K\!\;\!(\nu) \:
M_{\mbox{}_{1}}^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{3}{4} }}
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3}) }}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{1}{4} }}
\,
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\;\!
s^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{3}{8} \,-\, \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\;\!
U_{\mbox{}_{\scriptstyle m}}(s)
\: ds \\
&\leq\;
K\!\;\!(\nu) \:
M_{\mbox{}_{1}}^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{3}{4} }}
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3}) }}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{1}{4} }}
\,
(\:\!t + t_0)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{3}{8} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\;\!
U_{\mbox{}_{\scriptstyle m}}(s)
\: ds.
\end{split}
$$\
Analogamente, tem-se\
\
$$\tag{4.18$b$}
\begin{split}
J_{\mbox{}_{2}}(t)
\;&\leq\;
K\!\;\!(\nu) \:\!
\sum_{\ell\,=\,{\scriptscriptstyle 1}}^{m - {\scriptscriptstyle 2}}
\;\!
M_{\mbox{}_{\scriptstyle \ell}}^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{1}{4} }}
\;\!
M_{\mbox{}_{{\scriptstyle \ell} + 1}}^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{3}{4} }}
\;\!
M_{\mbox{}_{{\scriptstyle m} - {\scriptstyle \ell}}}
\:
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\;\!
s^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{3}{8} \,-\, \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\, ds \\
&\leq\;
K\!\;\!(\nu)
\:\!
\sum_{\ell\,=\,{\scriptscriptstyle 1}}^{m - {\scriptscriptstyle 2}}
\;\!
M_{\mbox{}_{\scriptstyle \ell}}^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{1}{4} }}
\;\!
M_{\mbox{}_{{\scriptstyle \ell} + 1}}^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{3}{4} }}
\;\!
M_{\mbox{}_{{\scriptstyle m} - {\scriptstyle \ell}}}
\,
(\:\!t + t_0)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{1}{4} }}
\end{split}
$$\
e\
\
$$\tag{4.18$c$}
\begin{split}
J_{\mbox{}_{3}}(t)
\;&\leq\;
K\!\;\!(\nu) \:
M_{\mbox{}_{1}}
\,
M_{\mbox{}_{{\scriptstyle m} - 1}}^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{1}{4} }}
\,
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\;\!
s^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{3}{8} \,-\, \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\;\!
U_{\mbox{}_{\scriptstyle m}}(s)
 ^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{3}{4} }}
\: ds \\
&\leq\;
K\!\;\!(\nu) \:
M_{\mbox{}_{1}}
\,
M_{\mbox{}_{{\scriptstyle m} - 1}}^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{1}{4} }}
\,
(\:\!t + t_0)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{3}{8} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
(\:\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\;\!
U_{\mbox{}_{\scriptstyle m}}(s)
 ^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{3}{4} }}
\: ds.
\end{split}
$$

\
Observando novamente que $ {\displaystyle
\;\!
U_{\mbox{}_{\scriptstyle m}}(s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \:\!\frac{3}{4} }}
\!\:\!\leq\,\! 1 + U_{\mbox{}_{\scriptstyle m}}(s)
} $, resulta de (4.6), (4.10), (4.17) e (4.18) que, para todo $ \;\! t \geq t_0 + 1 $, tem-se ($\:\!$sendo $ {\displaystyle
\;\!
M_{\mbox{}_{0}} \!\;\!\equiv\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\;\!
} $):\
\
$$\notag
V_{\alpha}(t)
\,\leq\,
K\!\;\!(m,\;\!\nu, \;\!t_0, M_{\mbox{}_{0}}\!\;\!,
M_{\mbox{}_{1}}\!\;\!, ...,
M_{\mbox{}_{{\scriptstyle m} - 1}}\!\;\!)
\,+\,
K\!\;\!(\nu, M_{\mbox{}_{0}}\!\;\!, M_{\mbox{}_{1}}\!\;\!)
\,
(t + t_0)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!-\, \frac{3}{8} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!\!
(t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\,\!
U_{\mbox{}_{\scriptstyle m}}(s)
\, ds$$\
para todo $ \;\!\alpha \;\!$ com $ \;\!|\;\!\alpha\;\!|\;\!=\;\!m $, $\;\!$onde $ {\displaystyle
\;\!
V_{\alpha}(t)
\;\!=\,
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!-\, \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\,\!
\|\, D^{\alpha} \,\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\;\!
} $. Portanto, tem-se\
\
$$\tag{4.19}
U_{\mbox{}_{\scriptstyle m}}(t)
\,\leq\,
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast}}\!\;\!
(m,\;\!\nu, \;\!t_0, M_{\mbox{}_{0}}\!\;\!, ...,
M_{\mbox{}_{{\scriptstyle m} - 1}}\!\;\!)
\;+\;
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast\ast}}\!\;\!
(\nu, M_{\mbox{}_{0}}\!\;\!, M_{\mbox{}_{1}}\!\;\!)
\,
(\,\!t + t_0)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!-\, \frac{3}{8} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!\!
(\,\!t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{7}{8} }}
\;\!
U_{\mbox{}_{\scriptstyle m}}(s)
\: ds$$\
para todo $ \;\! t \geq t_0 + 1 $, onde $ {\displaystyle
\;\!
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast\ast}}\!\;\!
(\nu, M_{\mbox{}_{0}}\!\:\!, M_{\mbox{}_{1}}\!\;\!) > 0
\;\!
} $ depende apenas de $ \nu $, $ M_{\mbox{}_{1}}\!\:\! $ e $ {\displaystyle
M_{\mbox{}_{0}} \!\;\!=\,\!
\|\,\mbox{\boldmath $u$}_0 \;\! \|_{L^{2}}
} $. Como no caso $ m = 2 $, tomemos agora $ \;\!t_{m} $, $ \mathbb{M}_{{\scriptstyle m}} \!\;\!$ dados por\
$$\tag{4.20}
t_{m}\;\!:=\;
1 +\;\! t_0 +\, 2^{16} \;\!
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\ast\ast}}^{\:\!4}
\!\;\!,
\qquad
\mathbb{M}_{{\scriptstyle m}} \;\!\!:=\;
\sup \,\{\, U_{\mbox{}_{\scriptstyle m}}(s) \!:\;
t_0 \leq s \leq t_{m} \;\!\},$$\
onde $ {\displaystyle
\;\!
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\ast\ast}}
\!\,\!=\;\!
K_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\ast\ast}}\!\:\!
(\nu, M_{\mbox{}_{0}}\!\:\!, M_{\mbox{}_{1}}\!\:\!)
\;\!
} $ é a constante definida em (4.19) acima. Obtém-se, então,\
\
$$\tag{4.21}
U_{\mbox{}_{\scriptstyle m}}\!\;\!(t)
\:\leq\:
2 \, K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast}}\!\;\!
(m,\;\!\nu, \;\!t_0, M_{\mbox{}_{0}}\!\;\!,
M_{\mbox{}_{1}}\!\;\!, ...,
M_{\mbox{}_{{\scriptstyle m} - 1}}\!\,\!)
\;+\;
16 \: K_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast\ast}}\!\;\!
(\nu, M_{\mbox{}_{0}}\!\;\!, M_{\mbox{}_{1}}\!\,\!) \,
\mathbb{M}_{\mbox{}_{\scriptstyle m}},
\quad \;\;
\forall \;\,
t \;\!\geq\;\! t_{m},$$\
onde $ \;\! K_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\ast}} \!\;\! $, $ K_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\ast\ast}} $ são as constantes dadas em (4.19). $\,$A prova de (4.21) é exatamente análoga à de (4.15).$\;\!$ Isso mostra que $ U_{\mbox{}_{\scriptstyle m}}\!\;\! $ é limitada em $\,[\,t_{m}, \infty) $; como $ U_{\mbox{}_{\scriptstyle m}}\!\;\! $ é limitada em $\,[\,t_{0}, \;\!t_{m}\;\!] $ (por (1.3)), segue então que $ U_{\mbox{}_{\scriptstyle m}}\!\;\! \in L^{\infty}(\:\![\,t_0, \infty)\,\!) $, concluindo a prova do Lema 4.1.

$\Box$\
\
Usando o Lema 4.1, obtém-se o Teorema 4.1 sem dificuldade. De fato, sendo $ m \geq 2 $, $ t_0 \geq \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast\ast} \!\;\!$ quaisquer, pode-se proceder como segue. Dado $ \;\!\epsilon > 0\;\!$ (arbitrário), seja $ \;\! t_{\epsilon} \gg t_0 $ suficientemente grande tal que, por (1.6$c$) e (4.7$b$), (4.9$a$) acima, tenha-se, para todo $ \;\! t \geq t_{\epsilon} $:\
\
$$\tag{4.22$a$}
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \:\!\frac{\scriptstyle m}{2} }}
\:\!
\|\, D^{m} \:\![\:
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $t$}_0)}
\:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0)
\,] \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\leq\;
\mbox{\small $ {\displaystyle \frac{1}{3} }$} \:
\epsilon$$\
e\
\
$$\tag{4.22$b$}
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\;\!t_0$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!\mu(t)$}}
\!\!
\|\, D^{m} \;\![\:
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\,] \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds
\;\;\! \leq\;\;\!
\mbox{\small $ {\displaystyle \frac{1}{3} }$} \,
\epsilon,$$\
onde, como antes, $ \;\!\mu(t) = (\:\!t + t_0)/2 $. Por (4.5), Lema 4.1, e lembrando (4.6), (4.7$c$) e (4.18), obtemos (aumentando $ \:\!t_{\epsilon}$ se necessário)\
\
$$\tag{4.22$c$}
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!\!\;\!
\|\, D^{m} \;\![\:
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\,] \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds
\;\;\! \leq\;\;\!
\mbox{\small $ {\displaystyle \frac{1}{3} }$} \,
\epsilon$$\
para todo $ \;\! t \geq t_{\epsilon} $. $\!$Por (4.2), vê-se que (4.22) implica termos $ {\displaystyle
\,
t^{\:\!m/2} \;\!
\|\, D\:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\,\!\leq\,\! \epsilon
} $ para todo $ \:\! t \geq t_{\epsilon} $, estabelecendo (4.1), como afirmado. $\Box$

[\
]{}\
[**5. Prova de (1.12[*b*]{})**]{}\
Nesta seção, provaremos a estimativa (1.12$b$), para todo $ m \geq 0 $. Este fato, combinado com a propriedade de interpolação (1.13) $\,$tomando-se, por exemplo, $ s_{\mbox{}_{1}} = m $, $ s_{\mbox{}_{2}} = m + 1\,$, estabelece o resultado mais geral dado em (1.10$b$), válido para todo $ s \in \mathbb{R} $ não negativo. Como sempre, $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $ denota uma solução de Leray (qualquer) para as equações de Navier-Stokes (1.1); tal solução é suave em $ \mathbb{R}^{3} \!\times \!\;\!
[\,\mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast\ast}\!\;\!, \infty) $, para certo $ \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast\ast} \!\;\! \gg 1 $, e satisfaz: $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\in L^{\infty}_{\tt loc}
(\:\![\,\mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast\ast} \!\;\!, \infty),
H^{m}(\mathbb{R}^{3})\:\!)
} $, para todo $ m $ $\,$ver (1.3)$\,$. O ponto de partida para obter (1.12$b$) envolve vários resultados anteriores, particularmente (2.5), (2.14), (2.15) e os Teoremas 3.1, 3.2 e 4.1 acima.\
\
[\
]{}\

[**Prova:**]{} Pelo Teorema 3.1, é suficiente mostrar (5.1) supondo-se $ t_0 \geq \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast\ast} \!\;\!$. $\!$$\,$Com efeito, tendo-se já estabelecido o resultado neste caso, então se poderia estendê-lo para $ t_0 < \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast\ast} \!\;\!$ do seguinte modo: tomando-se $ t_0^{\;\!\prime} \geq \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast\ast} \!\;\!$, teríamos\
\
$ {\displaystyle
\limsup_{t\,\rightarrow\,\infty}
\;
t^{\mbox{}^{\scriptstyle
\frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\:\!
\|\, D^{\alpha} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\;\!-\;\!
D^{\alpha} \:\![\:
e^{\:\! \nu \Delta (t - t_0)} \:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,] \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!\leq
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
\limsup_{t\,\rightarrow\,\infty}
\;
t^{\mbox{}^{\scriptstyle
\frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\:\!
\|\, D^{\alpha} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\;\!-\;\!
D^{\alpha} \:\![\:
e^{\:\! \nu \Delta (t - t_0^{\;\!\prime})} \:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0^{\;\!\prime}) \,] \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!+
} $\
\
$ {\displaystyle
+\;
\limsup_{t\,\rightarrow\,\infty}
\;
t^{\mbox{}^{\scriptstyle
\frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\:\!
\|\,
D^{\alpha} \:\![\:
e^{\:\! \nu \Delta (t - t_0^{\;\!\prime})} \:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0^{\;\!\prime})
\;\!-\,
e^{\:\! \nu \Delta (t - t_0)} \:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,] \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
} $\
\
$ {\displaystyle
=\;
\limsup_{t\,\rightarrow\,\infty}
\;
t^{\mbox{}^{\scriptstyle
\frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\:\!
\|\, D^{\alpha} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\;\!-\;\!
D^{\alpha} \:\![\:
e^{\:\! \nu \Delta (t - t_0^{\;\!\prime})} \:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0^{\;\!\prime}) \,] \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
} $ $\,$por (3.1)$\,$\
\
$ {\displaystyle
=\; 0
} $,\
\
onde no último passo se teria usado o resultado (5.1), já mostrado neste caso ($ \:\!t_0^{\;\!\prime} \geq
\mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast\ast}$).$\;\!$\
Supondo-se, então, $ \:\!t_0 \geq
\mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast\ast} \!\;\!$, podemos escrever $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $ na forma (4.2), para $ t \geq t_0 $, ou seja,\
\
$$\tag{5.2}
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\;=\;
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $t_0$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0)
\;+
\int_{\mbox{\footnotesize $\!\;\!t_0$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\:\!t$}}
\!\!\;\!
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\: ds,
\qquad
\forall \;\,
t \geq t_0,$$\
onde $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\;\!
} $ é dada em (2.4), Seção 2. Considerando inicialmente os casos $ m = 0 $ e $ m = 1 $, podemos proceder do seguinte modo. Dado $ \;\!\epsilon > 0 $, seja $ \:\!t_{\!\;\!\epsilon} \!\:\!> t_{0} \!\;\!$ suficientemente grande tal que, pelo Teorema 3.2, se tenha\
\
$$\tag{5.3}
\mbox{} \hspace{+0.500cm}
t^{\:\!1/2} \,
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\leq\: \epsilon
\qquad
\forall \;\;\!
t \geq t_{\!\;\!\epsilon}.$$\
Por (5.2) e (1.2), (2.5), tem-se\
\
$ {\displaystyle
t^{\:\!1/4} \,
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,-\:
e^{\:\!\nu \Delta (t \;\!-\, t_0)} \:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\,\leq\;\:\!
t^{\:\!1/4}
\!\!
\int_{\mbox{\scriptsize $\!\;\!t_0$}}
    ^{\mbox{\scriptsize $t$}}
\!\!\:\!
\|\: e^{\:\!\nu \Delta (t \;\!-\, s)} \:\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
I(\:\!t, \:\!t_{\!\;\!\epsilon})
\;+\:
K\!\;\!(\nu) \: t^{\:\!1/4}
\!\!
\int_{\mbox{\scriptsize $\!\;\!t_{\epsilon}$}}
    ^{\mbox{\scriptsize $t$}}
\!
(t - s)^{-\,3/4} \,
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
I(\:\!t, \:\!t_{\!\;\!\epsilon})
\;+\:
K\!\;\!(\nu) \:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\epsilon
\:
t^{\:\!1/4}
\!\!
\int_{\mbox{\scriptsize $\!\;\!t_{\epsilon}$}}
    ^{\mbox{\scriptsize $t$}}
\!
(t - s)^{-\,3/4} \, s^{-\,1/2}
\,ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
I(\:\!t, \:\!t_{\!\;\!\epsilon})
\;+\:
K\!\;\!(\nu) \:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\epsilon
\;
t^{\:\!1/4}
\,
(\:\! t - t_{\!\;\!\epsilon})^{-\,1/4}
} $\
\
para todo $ \;\! t > t_{\!\;\!\epsilon}$, onde $ \:\!K\!\;\!(\nu) > 0 \;\! $ é independente de $ \epsilon $, e\
\
$ {\displaystyle
I(\:\!t, \:\!t_{\!\;\!\epsilon})
\;\!:=\:
K\!\;\!(\nu) \; t^{\:\!1/4}
\!\!
\int_{\mbox{\scriptsize $\!\;\!t_{0}$}}
    ^{\mbox{\scriptsize $t_{\epsilon}$}}
\!
(t - s)^{-\,3/4} \,
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
K\!\;\!(\nu) \;
t^{\:\!1/4}
\,
(\:\!t - t_{\!\;\!\epsilon})^{-\,3/4}
\!\!
\int_{\mbox{\scriptsize $\!\;\!t_{0}$}}
    ^{\mbox{\scriptsize $t_{\epsilon}$}}
\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
K\!\;\!(\nu) \:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\,
( t_{\epsilon} -\;\! t_0 )^{1/2}
\:
t^{\:\!1/4}
\,
(\:\!t - t_{\!\;\!\epsilon})^{-\,3/4}
} $\
\
Portanto, temos\
\
$$\notag
t^{\:\!1/4} \,
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,-\:
e^{\:\! \nu \,\!\Delta (t \;\!-\, t_0)} \:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!\leq\
K\!\;\!(\nu) \;
(\;\! 1 \,+\,
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}})
\: \epsilon$$\
para todo $ \;\! t > t_{\epsilon} $ grande, com $ \:\!K\!\;\!(\nu) \:\!$ independente de $ \epsilon $. Isto mostra (5.1) no caso $ m = 0 $.\
Considerando, agora, $ m = 1 $, seja novamente $ \;\!t_{\epsilon} > t_0 $ como em (5.3), para $ \;\!\epsilon > 0 \;\!$ dado. Por (5.2), tem-se, para cada $ \:\!1 \leq \ell \leq 3 \;\!$ e $ \;\! t > t_{\epsilon} $:\
\
$$\tag{5.4}
\;\!
{\cal V}_{\mbox{}_{\scriptstyle \ell}}(t)
\:\equiv\;
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{3}{4} }}
\!\;\!
\|\, D_{\ell} \;\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\;\!-\;\!
D_{\ell} \;\![\;\!\;\!
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $t_0$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,]
\,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\leq\;
{\cal I}_{\mbox{}_{\scriptstyle 1}}(t) \,+\,
{\cal I}_{\mbox{}_{\scriptstyle 2}}(t) \,+\,
{\cal J}_{\mbox{}_{\scriptstyle \ell}}(t),$$\
onde\
\
$$\tag{5.5$a$}
{\cal I}_{\mbox{}_{\scriptstyle 1}}(t)
\;=\;\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{3}{4} }}
\!\!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\:\!t_0$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t_{\epsilon}$}}
\!\!\;\!
\|\, D_{\ell} \,[\:
e^{\:\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\,] \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds,$$\
$$\tag{5.5$b$}
{\cal I}_{\mbox{}_{\scriptstyle 2}}(t)
\;=\;\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{3}{4} }}
\!\!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\:\!t_{\epsilon}$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!\mu_{\epsilon}(t)$}}
\!\!
\|\, D_{\ell} \,[\:
e^{\:\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\,] \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds,$$\
$$\tag{5.5$c$}
{\cal J}_{\mbox{}_{\scriptstyle \ell}}(t)
\;=\;\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{3}{4} }}
\!\!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu_{\epsilon}(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\!
\|\, D_{\ell} \,[\:
e^{\:\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\,] \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds,$$\
sendo $ {\displaystyle
\;\!
\mu_{\epsilon}(t) := (\:\!t_{\epsilon} + \;\!t)/2
} $. Começando com $ {\cal I}_{\mbox{}_{\scriptstyle 1}}(t) $, tem-se, por (1.2), (2.3) e (2.15):\
\
$ {\displaystyle
{\cal I}_{\mbox{}_{\scriptstyle 1}}(t)
\;\leq\:
K\!\;\!(\nu) \; t^{\:\!3/4}
\!\!\:\!
\int_{\mbox{\scriptsize $\!\;\!t_{0}$}}
    ^{\mbox{\scriptsize $t_{\epsilon}$}}
\!
(t - s)^{-\,5/4} \,
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
K\!\;\!(\nu) \;
t^{\:\!3/4}
\:
(\:\!t - t_{\!\;\!\epsilon})^{-\,5/4}
\!\!\:\!
\int_{\mbox{\scriptsize $\!\;\!t_{0}$}}
    ^{\mbox{\scriptsize $t_{\epsilon}$}}
\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
K\!\;\!(\nu) \:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\,\!
( t_{\epsilon} -\;\! t_0 )^{1/2}
\;
t^{\:\!3/4}
\,
(\:\!t - t_{\!\;\!\epsilon})^{-\,5/4}
} $ (5.6$a$)\
\
para todo $\;\!t > t_{\epsilon} $, onde $ \:\!K\!\;\!(\nu) $ independe de $ \:\!\epsilon $. Para $ {\cal I}_{\mbox{}_{\scriptstyle 2}}(t) $, tem-se, por (1.2), (2.15) e (5.3):\
\
$ {\displaystyle
{\cal I}_{\mbox{}_{\scriptstyle 2}}(t)
\;\leq\:
K\!\;\!(\nu) \; t^{\:\!3/4}
\!\!\:\!
\int_{\mbox{\scriptsize $ t_{\epsilon}$}}
    ^{\mbox{\scriptsize $\:\!\mu_{\epsilon}(t)$}}
\hspace{-0.350cm}
(t - s)^{-\,5/4} \,
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
K\!\;\!(\nu) \;
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\epsilon \;\;\!
t^{\:\!3/4}
\,
(\:\!t - t_{\!\;\!\epsilon})^{-\,3/4}
\!\!\:\!
\int_{\mbox{\scriptsize $\!\;\!t_{\epsilon}$}}
    ^{\mbox{\scriptsize $\mu_{\epsilon}(t)$}}
\hspace{-0.350cm}
( t - s )^{-\,1/2}
\:
s^{-\,1/2}
\:
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
K\!\;\!(\nu) \;
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\epsilon \;\;\!
t^{\:\!3/4}
\,
(\:\!t - t_{\!\;\!\epsilon})^{-\,3/4}
} $ (5.6$b$)\
\
para todo $\;\!t > t_{\epsilon} $, onde $ \:\!K\!\;\!(\nu) $ independe de $ \:\!\epsilon $. Finalmente, considerando $ {\cal J}_{\mbox{}_{\scriptstyle \ell}}(t) $, tem-se\
\
$ {\displaystyle
{\cal J}_{\mbox{}_{\scriptstyle \ell}}(t)
\;=\;\;\!
t^{\:\!3/4}
\!\!\:\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu_{\epsilon}(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\hspace{-0.325cm}
\|\, D_{\ell} \,[\:
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\,] \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
K\!\;\!(\nu)
\;\:\!
t^{\:\!3/4}
\!\!\:\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu_{\epsilon}(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\hspace{-0.300cm}
(\:\!t - s)^{-\, 7/8}
\:
\|\, \mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4/3}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
K\!\;\!(\nu)
\;
t^{\:\!3/4}
\!\!\:\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu_{\epsilon}(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\hspace{-0.300cm}
(\:\!t - s)^{-\, 7/8}
\:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \cdot
\nabla \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4/3}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
K\!\;\!(\nu)
\;
t^{\:\!3/4}
\!\!\:\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu_{\epsilon}(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\hspace{-0.300cm}
(\:\!t - s)^{-\, 7/8}
\:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!
\|\, D \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
K\!\;\!(\nu)
\;
t^{\:\!3/4}
\!\!\:\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu_{\epsilon}(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\hspace{-0.300cm}
(\:\!t - s)^{-\,7/8}
\:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
  ^{\:\!1/4}
\;\!
\|\, D \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
  ^{\:\!7/4}
\;\! ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
K\!\;\!(\nu)
\:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
  ^{\:\!1/4}
\:\!
\epsilon^{\:\! 7/4}
\!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu_{\epsilon}(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\hspace{-0.300cm}
(\:\!t - s)^{-\,7/8}
\:
s^{-\,7/8}
\:
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
K\!\;\!(\nu)
\:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
  ^{\:\!1/4}
\:\!
\epsilon^{\:\! 7/4}
\;
t^{\:\! 3/4}
\,
(\:\! t + t_{\epsilon})^{-\,3/4}
\!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu_{\epsilon}(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\hspace{-0.300cm}
(\:\!t - s)^{-\,7/8}
\:
s^{-\,1/8}
\:
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
K\!\;\!(\nu)
\;
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
  ^{\:\!1/4}
\;\!
\epsilon^{\:\! 7/4}
} $ (5.6$c$)\
\
para todo $ \:\! t > t_{\epsilon} $, usando (2.14), (4.16), desigualdade de Hölder, (4.12) e o fato de se ter\
\
$$\notag
\int_{t_0}^{\:\!t}
(t - s)^{-\,7/8}
\,
s^{-\,1/8}
\:
ds
\;\;\!\leq\;
K \,=\;
\frac{\pi}{\,\mbox{sen}\,(\pi/8)\,}
\;\!.$$

\
Claramente, obtemos de (5.4) e (5.6$a$), (5.6$b$), (5.6$c$) acima que\
\
$$\notag
t^{\:\!3/4}
\,
\|\, D_{\ell} \,\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\;\!-\;\!
D_{\ell} \,[\;\!\;\!
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $t_0$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,]
\,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\leq\:
\bigl(\;\! 1 + \epsilon +
K\!\;\!(\nu)
\;
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!
\bigr)
\,
\epsilon
$$\
para todo $ t > t_{\epsilon} $ suficientemente grande, para cada $ \;\! 1 \leq \ell \leq 3 $, o que prova (5.1) se $ m = 1 $.\
\
Finalmente, consideramos o caso geral $ m \geq 2 $, procedendo de modo similar ao caso anterior. Dado $ \epsilon > 0 $ (arbitrário), tomamos $ t_{\epsilon} > t_0 $ suficientemente grande tal que, por (4.1) $\,$Teorema 4.1$\,$, tenhamos\
\
$$\tag{5.7}
t^{\mbox{}^{\scriptstyle
\frac{\scriptstyle k}{2} }}
\:\!
\|\, D^{k} \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\,\leq\;
\epsilon,
\qquad
\forall \;\,
t \geq t_{\epsilon}$$\
para todo $ \;\!0 \leq k \leq m $. Dado $\;\!\alpha\;\!$ multi-índice com $ \;\!|\;\!\alpha\;\!| = m $, definimos (para $ t > t_{\epsilon} $)\
\
$$\tag{5.8}
{\cal V}_{\alpha}(t)
\;\equiv\;\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\:\!
\|\, D^{\alpha} \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\;\!-\;\!
D^{\alpha} \;\![\:
e^{\:\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $t_0$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0)
\,] \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}},$$\
escrevendo $ {\displaystyle
\;\!
{\cal V}_{\alpha}(t)
\;\!\leq\,
{\cal I}_{\mbox{}_{\scriptstyle 1}}(\alpha, \:\!t) \,+\,
{\cal I}_{\mbox{}_{\scriptstyle 2}}(\alpha, \:\!t) \,+\,
{\cal J}(\alpha, t)
} $, onde\
\
$$\tag{5.9$a$}
{\cal I}_{\mbox{}_{\scriptstyle 1}}(\alpha, \:\!t)
\;=\;\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\!\!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\;\!t_0$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t_{\epsilon}$}}
\!\!
\|\, D^{\alpha} \:\![\:
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\,] \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds,$$\
$$\tag{5.9$b$}
{\cal I}_{\mbox{}_{\scriptstyle 2}}(\alpha, \:\!t)
\;=\;\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\!\!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\;\!t_0$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!\mu_{\epsilon}(t)$}}
\hspace{-0.570cm}
\|\, D^{\alpha} \:\![\:
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\,] \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds,$$\
$$\tag{5.9$c$}
{\cal J}(\alpha, t)
\;=\;\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\!\!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu_{\epsilon}(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\hspace{-0.350cm}
\|\, D^{\alpha} \:\![\:
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\,] \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds,$$\
sendo $ {\displaystyle
\;\!
\mu_{\epsilon}(t) = (\:\!t_{\epsilon} + \;\!t)/2
} $. Com relação a $ {\cal I}_{\mbox{}_{\scriptstyle 1}}(\alpha, t) $, tem-se, por (1.2), (2.3) e (2.15):\
\
$ {\displaystyle
{\cal I}_{\mbox{}_{\scriptstyle 1}}(\alpha, t)
\;\leq\:
K\!\;\!(\nu) \;
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\!\!\!\;\!
\int_{\mbox{\scriptsize $\!\;\!t_{0}$}}
    ^{\mbox{\scriptsize $t_{\epsilon}$}}
\!
(t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\! -\, \frac{\scriptstyle m}{2} \,-\, \frac{3}{4} }}
\,
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
K\!\;\!(\nu) \;\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\,\!
(t - t_{\epsilon})^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\! -\,
\frac{\scriptstyle m}{2} \,-\, \frac{3}{4} }}
\!\!\!\;\!
\int_{\mbox{\scriptsize $\!\;\!t_{0}$}}
    ^{\mbox{\scriptsize $t_{\epsilon}$}}
\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
K\!\;\!(\nu) \:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\:\!
( t_{\epsilon} -\;\! t_0 )^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{1}{2} }}
\,
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\,\!
(t - t_{\epsilon})^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\! -\,
\frac{\scriptstyle m}{2} \,-\, \frac{3}{4} }}
} $ (5.10$a$)\
\
para todo $\;\!t > t_{\epsilon} $, onde $ \:\!K\!\;\!(\nu) $ independe de $ \:\!\epsilon $. Para $ {\cal I}_{\mbox{}_{\scriptstyle 2}}(\alpha, t) $, tem-se, de (1.2), (2.15) e (5.7):\
\
$ {\displaystyle
{\cal I}_{\mbox{}_{\scriptstyle 2}}(\alpha, t)
\;\leq\:
K\!\;\!(\nu) \;\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\!\!\!\;\!
\int_{\mbox{\scriptsize $ t_{\epsilon}$}}
    ^{\mbox{\scriptsize $\:\!\mu_{\epsilon}(t)$}}
\hspace{-0.425cm}
(t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\! -\,\frac{\scriptstyle m}{2} \,-\, \frac{3}{4} }}
\,
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
K\!\;\!(\nu) \;
\:\!
\epsilon^{\:\!2}
\;
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\;\!
(\:\!t - t_{\!\;\!\epsilon})^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!- \,
\frac{\scriptstyle m}{2} \,-\, \frac{1}{4} }}
\!\!\:\!
\int_{\mbox{\scriptsize $\!\;\!t_{\epsilon}$}}
    ^{\mbox{\scriptsize $\mu_{\epsilon}(t)$}}
\hspace{-0.350cm}
( t - s )^{-\,1/2}
\:
s^{-\,1/2}
\:
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
K\!\;\!(\nu) \;
\:\!
\epsilon^{\:\!2}
\;
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\;\!
(\:\!t - t_{\!\;\!\epsilon})^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!- \,
\frac{\scriptstyle m}{2} \,-\, \frac{1}{4} }}
} $ (5.10$b$)\
\
para todo $\;\!t > t_{\epsilon} $, onde $ \:\!K\!\;\!(\nu) $ independe de $ \:\!\epsilon $. Finalmente, para $ {\displaystyle
\;\!
{\cal J}(\alpha,t)
} $, tem-se, escrevendo $ D^{\alpha} \!\;\!= D_{j} \;\! D^{\alpha^{\prime}} \!\!$, sendo $ \alpha^{\prime} $ multi-índice de ordem $ m - 1 $,\
\
$ {\displaystyle
{\cal J}(\alpha, t)
\;=\;\:\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\!\!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu_{\epsilon}(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\hspace{-0.325cm}
\|\, D^{\alpha} \;\![\:
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\,] \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds
} $\
\
$ {\displaystyle
=\;\:\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\!\!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu_{\epsilon}(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\hspace{-0.325cm}
\|\, D_{j} \,[\:
e^{\;\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\:\!
D^{\alpha^{\prime}} \!\:\!\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s)
\,] \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
K\!\;\!(\nu)
\;\:\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\!\!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu_{\epsilon}(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\hspace{-0.300cm}
(\:\!t - s)^{-\, 7/8}
\:
\|\, D^{\alpha^{\prime}} \!\:\! \mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4/3}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
K\!\;\!(\nu)
\;\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\!\!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu_{\epsilon}(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\hspace{-0.300cm}
(\:\!t - s)^{-\, 7/8}
\:
\|\, D^{\alpha^{\prime}} \!\;\![\,
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \cdot
\nabla \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,] \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4/3}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq
\hspace{-1.350cm}
\sum_{\mbox{} \hspace{+1.250cm} |\,\beta\,| \,+\, |\,\gamma\,| \:=\:
m \,-\, {\scriptscriptstyle 1}}
\hspace{-1.400cm}
K\!\;\!(\nu) \;\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\!\!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu_{\epsilon}(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\hspace{-0.300cm}
(\:\!t - s)^{-\, 7/8}
\:
\|\, D^{\beta} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \cdot
\nabla \:\!  D^{\gamma} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,]\,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4/3}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\! ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
K\!\;\!(\nu) \!
\sum_{\ell \,=\,0}^{m\,-\,{\scriptscriptstyle 1}}
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4}}}
\!\!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu_{\epsilon}(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\hspace{-0.300cm}
(\:\!t - s)^{-\, 7/8}
\:
\|\, D^{\ell} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{4}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\|\, D^{m - \ell} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
K\!\;\!(\nu) \!
\sum_{\ell \,=\,0}^{m\,-\,{\scriptscriptstyle 1}}
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\!\!\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu_{\epsilon}(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\hspace{-0.300cm}
(\:\!t - s)^{- \,7/8}
\:
\|\, D^{\ell} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2} }}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{1}{4} }}
\:\!
\|\, D^{\ell + 1} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2} }}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{3}{4} }}
\:\!
\|\, D^{m - \ell} \,\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2} }}
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
K\!\;\!(\nu) \!
\sum_{\ell \,=\,0}^{m\,-\,{\scriptscriptstyle 1}}
\!\;\!
\epsilon^{\:\!2}
\;\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\!\!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu_{\epsilon}(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\hspace{-0.300cm}
(\:\!t - s)^{-\,7/8}
\:
s^{-\,m/2 \,-\, 9 \,\ell/8 \,-\, 3/8}
\:
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
K\!\;\!(m, \nu)
\;
\epsilon^{\:\! 2}
\;
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\,
(\:\! t + t_{\epsilon})^{\mbox{}^{\scriptstyle
\!\! -\, \frac{\scriptstyle m}{2} \,-\, \frac{1}{4} }}
\!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $\mu_{\epsilon}(t)$}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\;\!t$}}
\hspace{-0.300cm}
(\:\!t - s)^{-\,7/8}
\:
s^{-\,1/8}
\:
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
K\!\;\!(m, \nu)
\;
\epsilon^{\:\! 2}
} $ (5.10$c$)\
\
para todo $ \:\! t > t_{\epsilon} $, usando-se (2.14), (4.16), desigualdade de Hölder, (4.12) e (5.7), tendo-se que a constante $ K\!\;\!(m, \nu) > 0 \;\!$ em (5.10$c$) independe de $ \;\!\epsilon\:\! $ (e $\;\!t_{\epsilon}$). $\,$Foi suposto também, no penúltimo passo acima, que $ \;\!t_{\epsilon} $ tenha sido tomado em (5.7) de modo a satisfazer: $ \:\!t_{\epsilon} \geq 1 $.$\;\!$\
Por (5.8) e (5.10$a$), (5.10$b$), (5.10$c$), segue em particular que se tem\
\
$$\notag
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} \,+\, \frac{1}{4} }}
\:\!
\|\, D^{\alpha} \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\;\!-\;\!
D^{\alpha} \;\![\:
e^{\:\!\nu \Delta (\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $t_0$})}
\:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0)
\,] \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\,\leq\;
(\;\! 1 + K\!\;\!(m,\nu) \,\epsilon \,)
\; \epsilon
$$\
para todo $ t > t_{\epsilon} $ suficientemente grande, para cada $ \alpha  $ com $ |\;\!\alpha\;\!| = m $, sendo $ \epsilon > 0 $ arbitrário, e $ m \geq 2 $ qualquer (com $ K\!\;\!(m,\nu) $ independente de $\:\!\epsilon $). Somado aos casos $m = 0$ e $ m = 1 $ considerados antes, isso conclui a prova de (5.1) para todo $ m \geq 0 $, como afirmado.

$\Box$\
Deixamos em aberto a obtenção de (1.10), (1.12) para $ n \geq 4 $, $ m \geq 0 $ arbitrários.

\

[Apêndice A]{}\

\
Neste apêndice, vamos mostrar como obter a estimativa (2.20) para o valor $ t_{\ast\ast} $ dado na Proposição 2.3 da Seção 2. O ponto de partida é a seguinte estimativa,\
\
$$\tag{A.1}
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle \mathbb{R}^{3}}}
\!\!\;\!\Bigl\{\!\!\!\!\:\!
\sum_{\mbox{}\;\;\,i, \,j, \,\ell \,=\,1}^{3}
\!\!\!\!
|\, D_{\ell} \;\!u_{i} \;\!| \:
|\, D_{\ell} \;\!u_{j} \;\!| \:
|\, D_{j} \;\!u_{i} \;\!|
\,\Bigr\}
\;\!dx
\:\leq\,
K_{\mbox{}_{\!\:\!3}}^{3} \;\!
\|\, D \:\!\mbox{\boldmath $u$} \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
  ^{3/2}
\;\!
\|\, D^{2} \mbox{\boldmath $u$} \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
  ^{3/2}
\!\:\!,$$\
onde $ \:\!K_{\mbox{}_{\!\:\!3}} \!< 0.581\,862\,001\,307 $ (ver [@Agueh2008], Theorem 2.1) é a constante na desigualdade de Nirenberg-Gagliardo [@Agueh2008]\
\
$$\tag{A.2}
\|\: \mbox{u} \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{3}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\leq
K_{\mbox{}_{\!\:\!3}}
\;\!
\|\: \mbox{u} \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{1/2}
\|\, D \:\!\mbox{u} \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{1/2}
\!\:\!.$$\
$\,$Prova de (A.1): aplicando-se repetidamente a desigualdade de Cauchy-Schwarz, tem-se\
\
$ {\displaystyle
\sum_{\mbox{}\;\;\,i, \,j, \,\ell \,=\,1}^{3}
\!\!\!\!\!\;\!
|\, D_{\ell} \;\!u_{i} \;\!| \:
|\, D_{\ell} \;\!u_{j} \;\!| \:
|\, D_{j} \;\!u_{i} \;\!|
\,\Bigr\}
\:\leq\!
\sum_{\mbox{}\;\, i, \,\ell \,=\,1}^{3}
\!\!\:\!
|\, D_{\ell} \;\!u_{i} \;\!|
\:
\Bigl\{\;\!
\sum_{j\,=\,1}^{3}
|\, D_{\ell} \;\!u_{j} \;\!|^{2}
\;\!\Bigr\}^{\!\!\:\!1/2}
\!\;\!
\Bigl\{\,
\sum_{j\,=\,1}^{3}
|\, D_{j} \:\!u_{i} \;\!|^{2}
\;\!\Bigr\}^{\!\!\:\!1/2}
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
\sum_{i\,=\,1}^{3}
\;
\Bigl\{\,
\sum_{j\,=\,1}^{3}
|\, D_{j} \:\!u_{i} \;\!|^{2}
\;\!\Bigr\}^{\!\!\:\!1/2}
\,\!
\Bigl\{\,
\sum_{\ell\,=\,1}^{3}
|\, D_{\ell} \;\!u_{i} \;\!|^{2}
\;\!\Bigr\}^{\!\!\:\!1/2}
\,\!
\Bigl\{\!
\sum_{\mbox{}\;\,j,\,\ell\,=\,1}^{3}
\!\!\!\;\!
|\, D_{\ell} \;\!u_{j} \;\!|^{2}
\;\!\Bigr\}^{\!\!\:\!1/2}
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
\Bigl\{\!
\sum_{\mbox{}\;j,\,\ell\,=\,1}^{3}
\!\!\!\;\!
|\, D_{\ell} \;\!u_{j} \;\!|^{2}
\;\!\Bigr\}^{\!\!\:\!1/2}
\:\!
\Bigl\{\!
\sum_{\mbox{}\;i,\,j\,=\,1}^{3}
\!\!\!\;\!
|\, D_{j} \:\!u_{i} \;\!|^{2}
\;\!\Bigr\}^{\!\!\:\!1/2}
\:\!
\Bigl\{\!
\sum_{\mbox{}\;i,\,\ell\,=\,1}^{3}
\!\!\!\;\!
|\, D_{\ell} \;\!u_{i} \;\!|^{2}
\;\!\Bigr\}^{\!\!\:\!1/2}
\!\!\!\!
} $, $\;\!$\
\
de modo que\
\
$$\notag
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle \mathbb{R}^{3}}}
\!\!\;\!\Bigl\{\!\!\!\!\:\!
\sum_{\mbox{}\;\;\,i, \,j, \,\ell \,=\,1}^{3}
\!\!\!\!
|\, D_{\ell} \;\!u_{i} \;\!| \:
|\, D_{\ell} \;\!u_{j} \;\!| \:
|\, D_{j} \;\!u_{i} \;\!|
\,\Bigr\}
\;\!dx
\:\leq\;
\|\: \mbox{w} \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{3}(\mathbb{R}^{3})}}^{3}
\!,
\quad \;\,
\mbox{w}(x) :=
\Bigl\{\!\!\;\!
\sum_{\mbox{} \;i, \,j, \,=\,1}^{3}
\!\!
|\, D_{j} \;\!u_{i} \;\!|^{\:\!2}
\,
\Bigr\}^{\!\!\;\!1/2}
\!\!\!\!.$$\
Isso fornece\
\
$ {\displaystyle
\notag
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle \mathbb{R}^{3}}}
\!\!\;\!\Bigl\{\!\!\!\!\:\!
\sum_{\mbox{}\;\;\,i, \,j, \,\ell \,=\,1}^{3}
\!\!\!\!
|\, D_{\ell} \;\!u_{i} \;\!| \:
|\, D_{\ell} \;\!u_{j} \;\!| \:
|\, D_{j} \;\!u_{i} \;\!|
\,\Bigr\}
\;\!dx
\:\leq\:
K_{\mbox{}_{\!\:\!3}}^{3}
\;\!
\|\: \mbox{w} \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{3/2}
\|\, D \:\!\mbox{w} \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{3/2}
} $ $\;\!$por (A.2)$\;\!$\
\
$ {\displaystyle
\leq\;\!
K_{\mbox{}_{\!\:\!3}}^{3}
\;\!
\|\, D \:\!\mbox{\boldmath $u$} \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{3/2}
\|\, D^{2} \mbox{\boldmath $u$} \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{3/2}
} $\
\
pois, por (1.19), tem-se $ {\displaystyle
\;\!
\|\,\mbox{w}\,\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\!\;\!=
\|\,D\:\!\mbox{\boldmath $u$}\,\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
} $ e $ {\displaystyle
\,
\|\,D\:\!\mbox{w}\,\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\!\;\!\leq\;\!
\|\,D^{2}\mbox{\boldmath $u$}\,\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\;\!
} $.$\;\!$\
Agora, considere $ \;\!\hat{t} > 0 \;\!$ qualquer satisfazendo\
\
$$\tag{A.3}
\hat{t} \;>\:
\frac{\;\!1\;\!}{2} \,
K_{\mbox{}_{\!\:\!3}}^{12}
\,
\nu^{-\,5}
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_{0} \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{4}
\!\!:$$\
Como (por (1.2)) $ {\displaystyle
\!
\int_{0}^{\:\!\mbox{\footnotesize $\hat{t}$}}
\!\!\:\!
\|\, D \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{2}
dt
\;\!\leq\;\!
\mbox{\small $ {\displaystyle \frac{1}{2\;\!\nu} }$}
\:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{2}
\!
} $, $\;\!$tem de existir $ \;\!t^{\prime} \!\in (\:\!0,\;\!\hat{t}\,] $\
tal que\
\
$$\tag{A.4}
\|\, D \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t^{\prime}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\,\leq\;
\frac{1}{\sqrt{\:\!2\:\!\nu\,}\,}
\:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}_{0} \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\cdot\;\!
\frac{\mbox{} \;1\,}{\!\sqrt{\:\!\hat{t}^{\mbox{}}\:}\;}
.
$$\
Portanto, por (A.3), tem-se\
\
$$\tag{A.5}
K_{\mbox{}_{\!\:\!3}}^{3}
\,
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{1/2}
\:\!
\|\, D\:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{1/2}
<\, \nu$$\
para todo $ \;\!s \geq t^{\prime} $ próximo do ponto $ t^{\prime} \!\:\!$. Isso fornece, diferenciando (1.1$a$) com respeito à variàvel $ x_{\ell} $, tomando o produto escalar com $ D_{\ell}\;\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $ e somando para $ \ell = 1, 2, 3$,\
\
$ {\displaystyle
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
+\:
2 \,\nu \!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $ t^{\prime} $}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\:\!t$}}
\!
\|\, D^{2} \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
ds
} $\
\
(A.6)\
\
$ {\displaystyle
\leq\;\:\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t^{\prime}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\!\;\!+\:
2
\sum_{i, \, j, \, \ell}
\int_{\mbox{\footnotesize $ t^{\prime} $}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\:\!t$}}
\!
\int_{\mathbb{R}^{3}}
\!\!\!\;\!
|\, D_{\ell} \:\! u_{i}(x,s) \,|
\;
|\, D_{\ell} \:\! u_{j}(x,s) \,|
\;
|\, D_{\scriptstyle \!j} \:\!u_{i}(x,s) \,|
\;
dx \: ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t^{\prime}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
+\:
2 \!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $ t^{\prime} $}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\:\!t$}}
\!
K_{\mbox{}_{\!\:\!3}}^{3}
\:\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!3/2}
\|\, D^{2} \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!3/2}
\,\!
ds
} $ $\,$por (A.1)$\,$\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t^{\prime}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\!+\,
2 \!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $ t^{\prime} $}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\:\!t$}}
\!
\bigl[\,
K_{\mbox{}_{\!\:\!3}}^{3}
\,
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!1/2}
\|\, D \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!1/2}
\:\!
\bigr]
\:
\|\, D^{2} \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}}}^{2}
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t^{\prime}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\!+\,
2 \, \nu \!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $ t^{\prime} $}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\:\!t$}}
\!
\|\, D^{2} \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{2}
ds
} $ $\,$por (A.5)$\,$\
\
para todo $ \;\!t \geq t^{\prime} \!\;\!$ próximo a $ t^{\prime} \!\:\!$, onde na quarta linha acima usamos a desigualdade (2.16$b$) da Seção 2. Segue daí que $ {\displaystyle
\;\!
\|\, D \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}
\!
} $ é limitada por $ {\displaystyle
\|\, D \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t^{\prime}) \,
\|_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}
\!\;\!
} $, e como $ {\displaystyle
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}
\!\;\!
} $ não pode crescer (por (1.2)), resulta que\
\
$$\tag{A.7}
K_{\mbox{}_{\!\:\!3}}^{3}
\,
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{1/2}
\:\!
\|\, D\:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{1/2}
\;\!<\: \nu,
\qquad
\forall \;\,
t \geq t^{\prime}
\!\:\!.$$\
Em particular, podemos repetir a derivação de (A.6) acima no intervalo $ [\;\!t_0, t\;\!] $, para $ t_0 < t \in [\,t^{\prime}\!\:\!, \infty) $ arbitrário, obtendo\
\
$ {\displaystyle
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
+\:
2 \, \nu \!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $ t_0 $}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\:\!t$}}
\!
\|\, D^{2} \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\,
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t^{\prime}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\!+\,
2 \!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $ t_0 $}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\:\!t$}}
\!\!\;\!
\bigl[\,
K_{\mbox{}_{\!\:\!3}}^{3}
\,
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!1/2}
\|\, D \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!1/2}
\:\!
\bigr]
\:
\|\, D^{2} \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}}}^{2}
ds
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\:
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\!+\,
2 \, \nu \!\!\;\!
\int_{\mbox{\footnotesize $ t_0 $}}
    ^{\mbox{\footnotesize $\:\!t$}}
\!\!\;\!
\|\, D^{2} \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{2}
ds
} $. $\,$por (A.7)$\,$\
\
Portanto, $ {\displaystyle
\|\, D\:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!
} $ é monotonicamente decrescente em $ {\displaystyle
[\,t^{\prime}\!, \:\!\infty\:\!)
\supseteq
[\,\hat{t}, \:\!\infty\:\!)
} $, de modo que, pela teoria clássica de Leray [@Leray1934], tem-se de ter $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\boldmath $u$} \in
C^{\infty}(\mathbb{R}^{3} \!\times \!\;\!
(\;\!t^{\:\!\prime} \!\;\!, \:\! \infty))
} $. Lembrando a desigualdade (A.3) definindo $ \;\!t^{\:\!\prime} \!\;\!$, isto completa a prova de (2.20), visto que tem-se $ {\displaystyle
\;\!
1/2
\:
K_{\mbox{}_{\!\:\!3}}^{12}
\!\;\!<\:\!
0.000\,753\,026
} $. $\Box$\
\
Em resumo, pelo argumento acima, tem-se demonstrado o seguinte resultado:\
\
[\
]{}

\

[Parte II]{}\
[\
]{}\
[**Problema de Existência Global para**]{}\
\
[**Equações de Advecção-Difusão Conservativas**]{}\
\

\
[**1. Introdução**]{}\
Na segunda parte deste trabalho, estenderemos um procedimento de análise introduzido pelo autor para a derivação de várias estimativas básicas importantes para as soluções $ u(\cdot,t) $ de equações de advecção-difusão conservativas em meios heterogêneos [@Zingano2010]. O método foi inicialmente aplicado a equações (ou sistemas de equações) em uma dimensão espacial ($ n = 1 $), no caso mais simples de velocidades advectivas limitadas (i.e., $ \kappa = 0 $ em (1.1) a seguir), ver [@BarrionuevoOliveiraZingano2014; @BrazMeloZingano2015; @Melo2011; @Oliveira2013]. Posteriormente, o autor estendeu os resultados para equações mais gerais\
\
$$\notag
u_t \,+\;
\bigl(\;\! b(x,t,u) \, |\;\!u\;\!|^{\:\!\kappa} \:\! u \;\!
\bigr)_{\!x}
\;\!=\;
u_{xx},
\qquad
x \in \mathbb{R}, \;\, t > 0,$$\
com $ \kappa > 0 $ constante, $ b(x,t,u) $ limitada [@Zingano2011], tendo orientado trabalhos de doutorado na aplicação do método a equações unidimensionais similares no caso de difusão não linear [@Chagas2015; @Diehl2015; @Fabris2013; @Guidolin2015]. No presente trabalho, consideraremos finalmente o desenvolvimento destas técnicas em dimensão $n$ arbitrária, adotando (por simplicidade) como protótipo o problema\
\
$$\tag{1.1$a$}
u_t \,+\;
\mbox{div}\,
\bigl(\;\! \mbox{\boldmath $b$}(x,t,u) \, |\;\!u\;\!|^{\:\!\kappa} \:\! u \;\!
\bigr)
\:+\:
\mbox{div} \,
\mbox{\boldmath $f$}(t,u)
\;=\;
\mbox{div}\,\bigl(\;\!
A(x,t,u) \;\! \nabla u \;\!\bigr),
$$\
$$\tag{1.1$b$}
u(\cdot,0) \,=\,
u_0 \in L^{1}(\mathbb{R}^{n})
\cap L^{\infty}(\mathbb{R}^{n}),$$\
sendo $ A(x,t,\mbox{u}) $ matriz suave satisfazendo $ A(x,t,\mbox{u}) \geq \mu(t) \:\!I $ para $ \mu \in C^{0}([\,0, \infty)) $ positiva, ou seja,\
\
$$\tag{1.2}
\left<\;\! A(x,t,\mbox{u}) \;\! \mbox{\bf v},
\, \mbox{\bf v} \;\!\right>
\;\geq\;
\mu(t) \, |\:\mbox{\bf v} \,|_{\mbox{}_{2}}^{\:\!2}
\quad \;\;
\forall \;\,
\mbox{\bf v} \in \mathbb{R}^{n}$$\
para todo $ x \in \mathbb{R}^{n} \!\;\!$, $ t \geq 0 $, $ \mbox{u} \in \mathbb{R} $, e onde $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\boldmath $b$} = (\;\! b_{\mbox{}_{1}} \!\;\!,
..., b_{\mbox{}_{\scriptstyle n}} )
} $, $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\boldmath $f$} = (\:\! f_{\mbox{}_{1}} \!\;\!,
..., f_{\mbox{}_{\scriptstyle n}} )
} $ são funções suaves, com $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\boldmath $b$}
\;\!
} $ satisfazendo\
\
$$\tag{1.3}
\mbox{} \hspace{+3.500cm}
\mbox{\boldmath $b$} \in
L^{\infty}(\mathbb{R}^{n} \!\times\!\;\!
[\,0,\mbox{\small $T$}\:\!] \!\;\!\times\:\! \mathbb{R})
\qquad
\mbox{\mbox{[}$\,$para cada $\;\!\mbox{\small $T$} > 0 \,]$.}$$

\
É conhecido (ver e.g.$\;$[@LadyzhenskayaSolonnikovUralceva1968; @Serre1999] e Seção 2 abaixo) que o problema (1.1)-(1.3) possui solução (clássica, limitada, única) $ {\displaystyle
\;\!
u(\cdot,t) \in
C^{0}([\,0, \mbox{\small $T$}\:\!],
L^{1}(\mathbb{R}^{n}))
\cap
L^{\infty}([\,0, \mbox{\small $T$}\:\!],
L^{\infty}(\mathbb{R}^{n}))
} $ para certo $ 0 < \mbox{\small $T$} < \infty $ (ou seja, existência [*local*]{} está bem estabelecida); esta solução pode ser continuada (i.e., estendida) a intervalos de existência mais amplos enquanto permanecer limitada. Assim, é importante examinar o comportamento das normas altas (especialmente $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}
} $) no intervalo de existência da solução. Porém, sob hipóteses tão gerais como (1.3) acima, esta questão pode tornar-se [*muito*]{} difícil, como explicamos intuitivamente a seguir. Considere-se, por exemplo, soluções $ v(\cdot,t) $ não negativas da equação\
\
$$\tag{1.4}
v_t \,+\; \mbox{div}\,(\;\!
\mbox{\boldmath $b$}(x) \, v^{\kappa \;\!+\;\! 1}
\:\!)
\,=\,
\Delta \;\!v,$$\
que reescrevemos na forma\
\
$$\tag{$1.4^{\prime}$}
v_t \,+\: (\kappa + 1) \,
v^{\kappa} \,
\mbox{\boldmath $b$}(x) \cdot \nabla v
\;=\;
\Delta \;\!v
\,+\, \beta(x) \, v^{\kappa \;\!+\;\! 1}$$\
onde $ \beta(x) \!\:\!:= -\,\mbox{div}\:\mbox{\boldmath $b$}(x) $. Supondo que $ {\displaystyle
\Omega \equiv
\{\, x \in \mathbb{R}^{n} \!\!\;\!:\;\!\beta(x) > 0 \,\}
} $ seja não vazio, vê-se de (1.4$^\prime$) que $ v(x,t) $ é estimulada a crescer nos pontos $ x \in \Omega $, particularmente onde ocorrer $ \;\!\beta(x) \gg 1 $. Como (1.4) conserva massa, se $ v(\cdot,t) $ crescer pronunciadamente em alguma parte de $ \Omega $ então o perfil de $ v(\cdot,t) $ terá de afinar-se, tornando-se assim mais suscetível aos efeitos dissipativos do termo difusivo presente em (1.4). O efeito final sobre a solução (i.e., ocorrência de blow-up ou não, supondo $ \kappa > 0 $) resultante desta competição entre os termos do lado direito em (1.$4^{\prime}$) é difícil de ser previsto. A situação pode à primeira vista parecer (equivocadamente) similar à das soluções não negativas da equação\
\
$$\tag{1.5}
w_t \,=\; \Delta \:\!w
\,+\, w^{\kappa \;\!+\;\!1}
\!,
\qquad
x \in \mathbb{R}^{n} \!\;\!, \;\, t > 0,$$\
examinada originalmente por Fujita [@Fujita1966] e subsequentemente generalizada por outros (ver e.g.$\;$[@BandleBrunner1998; @DengLevine2000; @Levine1990; @Pinsky1997; @QuittnerSouplet2007]), onde [*todas as soluções não negativas*]{} (exceto $ w(\cdot,t) \equiv 0 $) [*explodem em tempo finito se*]{} $ \:\!0 < \kappa \leq 2/n $ (e também para $ \kappa > 2/n \:\!$ se $ w(\cdot,0) $ for apropriadamente grande) [@Fujita1966; @Hayakawa1973]. Como ficará mostrado nos resultados a seguir, a situação em (1.4) tem natureza oposta: [*todas as soluções de*]{} (1.4) [*são globalmente de- finidas se*]{} $ \;\!0 \leq \kappa < 1/n $ (e também para $ \kappa \geq 1/n \;\!$ se $ v(\cdot,0) $ for apropriadamente pequena). Esta diferença notável entre os dois sistemas é devida ao fato de (1.4) conservar massa, o que não acontece com (1.5). Considerações análogas podem ser feitas no caso geral do problema (1.1)-(1.3): todas as soluções vão existir globalmente se $ \;\!0 \leq \kappa < 1/n $ (pela razão de se ter conservação de massa e, melhor ainda, no caso de soluções $ u(\cdot,t) $ sem sinal definido, a propriedade dada em (1.11) abaixo).

\
Como sugerido em (1.4$^{\prime}$), a [*magnitude*]{} do coeficiente $ \mbox{\boldmath $b$}(x,t,u) $ não deve desempenhar papel importante, ao contrário de suas derivadas — ou, mais propriamente, a [*variação*]{} de $ \mbox{\boldmath $b$}(x,t,u) $ em $ \mathbb{R}^{n} \!\,\!$, dada pela quantidade $ B(t) $ definida do seguinte modo. Para cada $ 1 \leq j \leq n $, introduzimos $ B_{j}(t) $ dada por\
\
$$\tag{1.6$a$}
B_{j}(t) \;\!:= \;
\mbox{\small $ {\displaystyle \frac{1}{2} } $}
\:
\Bigl[\,
\sup_{\;x \,\in\, \mathbb{R}^{n}}
\!b_{j}(x,t,u(x,t))
\;\;\!-\!\;\!
\inf_{\;x \,\in\, \mathbb{R}^{n}}
\!\!\:\!b_{j}(x,t,u(x,t))
\;\Bigr],
\qquad
0 \leq t < \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast} \!\;\!,$$\
e então definimos\
\
$$\tag{1.6$b$}
B(t) \:=\:
|\: (\:\!
B_{\mbox{}_{1}}\!\;\!(t), ..., B_{\mbox{}_{\scriptstyle n}}\!\;\!(t)
\:\!) \,|_{\mbox{}_{2}}
\;\!=\:
\Bigl\{\:\! B_{\mbox{}_{1}}\!\;\!(t)^{\:\!2} \!\;\!+ ... +
B_{\mbox{}_{\scriptstyle n}}\!\;\!(t)^{\:\!2} \:\!
\Bigr\}^{\!1/2}$$\
para cada $ \:\! 0 \leq t < \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast} $ $\,$acima, e em todo o texto que segue, $ [\,0, \:\!\mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast}\!\;\!) $ denota sempre o intervalo máximo de existência da solução $ u(\cdot,t) $ considerada$\,$. Para a descrição dos resultados principais a serem obtidos neste trabalho, precisamos ainda introduzir as quantidades $ \;\!\mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0\:\!; \:\!t) \;\!$ e $ \;\!\mathbb{U}_{p}(0\:\!; \:\!t) $, $ 1 \leq p \leq \infty $, definidas por\
\
$$\tag{1.7}
\mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0\:\!; \:\!t)
\,:=\;
\sup \;\Bigl\{\,
\frac{B(\tau)}{\mu(\tau)} \!\;\!:
\; 0 \,\leq\,\tau \,\leq\, t
\,\Bigr\},$$\
$$\tag{1.8}
\mathbb{U}_{p}(0\:\!; \:\!t)
\,:=\;
\sup \;\Bigl\{\:
\|\, u(\cdot,\tau) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{p}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\!\;\!:
\; 0 \,\leq\,\tau \,\leq\, t
\,\Bigr\},$$\
para $ \;\!0 \leq t < \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast} \!\;\!$, $ \:\!1 \leq p \leq \infty $. Na Seção 3, após alguns preliminares coletados (por conveniência) na Seção 2 anterior, as seguintes propriedades fundamentais das soluções do problema (1.1)$\;\!$-$\;\!$(1.3) serão mostradas. A primeira delas estabelece o importante fato de suas soluções serem todas globais quando $ \kappa > 0 $ não for grande (sendo o valor crítico, no caso do problema (1.1), dado por $ 1/n $).\
\
[\
]{}\
No caso $ \kappa \geq 1/n $, uma solução será garantidamente global quando conseguir ser mostrado que alguma (e então todas) de suas normas altas $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{p}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!
} $, $ \;\! p > n \:\!\kappa $, não puder explodir em tempo finito, como consequência do seguinte resultado:\
\
[\
]{}\
Note-se que o [Teorema A]{} é um corolário do [Teorema B]{} acima (tomando-se $ p = 1 $), em virtude da seguinte propriedade básica (conhecida) das soluções da equação (1.1):\
\
$$\tag{1.11}
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
\;\!\leq\;
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!,
\qquad
\forall \;\,
t > 0,$$\
ou seja, $ {\displaystyle
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\:\!
} $ decresce monotonicamente em $\:\!t$. Esta propriedade é também satisfeita pelas demais normas $ {\displaystyle
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{p}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\:\!
} $, $ \,\!p > 1 $, quando o termo $ \mbox{\boldmath $b$} $ em (1.1$a$) não depender explicitamente de $\:\!x$, ou, mais geralmente, se tivermos [@SchutzZinganoZingano2014]\
\
$$\tag{1.12$a$}
\sum_{j\,=\,1}^{n}
\;\!
\frac{\partial \:\!b_{\:\!j}}
{\partial \:\!x_{\!\;\!j}}
\:\!
(x,t,\mbox{u})
\;\geq\;0,
\qquad
\forall \;\,
x \in \mathbb{R}^{n} \!, \;
t \geq 0, \;
\mbox{u} \in \mathbb{R}.$$\
Neste caso, não apenas estarão as soluções de (1.1$a$), (1.1$b$) definidas para todo $t > 0 $, como também decairão ao $ \;\!t \rightarrow \infty $, tendo-se ([@BrazSchutzZingano2013], Theorem 3.2)\
\
$$\tag{1.12$b$}
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\;\!\leq\:
(\;\! 2 \:\!e \;\!)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\,
\frac{\scriptstyle n}{2} }}
\:\!
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
\;\!
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\,
\frac{\scriptstyle n}{2} }}
\qquad
\forall \;\,
t > 0.$$\
Neste trabalho, estamos justamente interessados na situação (muito mais difícil) em que (1.12$a$) não é válida, quando (em geral) não se tem decaimento, podendo existir soluções estacionárias, etc. Mesmo quando $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\!
\rightarrow 0
} $, a taxa de decaimento não é conhecida, em geral. Experimentos numéricos parecem indicar o seguinte comportamento, quando $ \:\!\mbox{\boldmath $b$}, \,\!\mbox{\boldmath $f$} \,\!$ na equação (1.1$a$) independem do tempo $\:\!t\;\!$:\
\
[*Conjectura A*]{}: as soluções estacionárias, quando existem, são estáveis (atratoras);\
[*Conjectura B*]{}: na ausência de soluções estacionárias (exceto $ u \equiv 0$) tem-se sempre $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\!
\rightarrow 0
\;\!
} $ ao $ \:\! t \rightarrow \infty $.\
\
Como estas, muitas questões de interesse para (1.1)$\;\!$-$\;\!$(1.3) permanecem em aberto.

\
[**2. Preliminares**]{}\
Nesta seção, revisaremos resumidamente alguns resultados básicos para as soluções $ u(\cdot,t) $ do problema (1.1)$\;\!$-$\;\!$(1.3), que serão usadas na análise a seguir (Seção 3). Estas propriedades podem ser estabelecidas, sem esforço adicional, para o problema levemente mais geral\
\
$$\tag{2.1$a$}
u_t \,+\;
\mbox{div}\,
\bigl(\;\! \mbox{\boldmath $b$}(x,t,u) \, |\;\!u\;\!|^{\:\!\kappa} \:\! u \;\!
\bigr)
\:+\:
\mbox{div} \,
\mbox{\boldmath $f$}(t,u)
\;=\;
\mbox{div}\,\bigl(\;\!
A(x,t,u) \;\! \nabla u \;\!\bigr),
$$\
$$\tag{2.1$b$}
u(\cdot,0) \,=\,
u_0 \in L^{p_{\mbox{}_{0}}}(\mathbb{R}^{n})
\cap L^{\infty}(\mathbb{R}^{n}),$$\
para $ \:\! 1 \leq p_{\mbox{}_{0}} \!< \infty \;\!$ dado (e não somente $ \:\! p_{\mbox{}_{0}} \!= 1 $, como em (1.1$b$)), onde a matriz $A$ satisfaz a condição de elipticidade (1.2) acima (para certa $ \mu \in C^{0}([\,0,\infty)) $ positiva) e $ \mbox{\boldmath $b$} $ satisfaz (1.3).[^5] $\!\!\;\!$Em (2.1), a condição (2.1$b$) é entendida no sentido de $ L^{1}_{\tt loc}(\mathbb{R}^{n}) $, ou seja,\
\
$$\tag{2.2}
\|\, u(\cdot,t) \;\!-\;\! u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{K})}}
\!\;\!\rightarrow\, 0
\quad \;\;
\mbox{ao }\,
t \rightarrow 0$$\
para cada conjunto compacto $ \:\!\mathbb{K} \subset \mathbb{R}^{n} \!\:\!$ considerado. Por [*solução*]{} de (2.1$a$), (2.1$b$) em um dado intervalo $ \,\![\,0, \,\!\mbox{\small $T$}_{\!\,\!\ast}\!\;\!) $ entende-se uma função suave $ {\displaystyle
u(\cdot,t)
\in
L^{\infty}_{\tt loc}(\:\!
[\;\!0, \:\!\mbox{\small $T$}_{\!\,\!\ast}\!\;\!),
\:\!
L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})
\,\!)
} $ que satisfaz a equação (2.1$a$) classicamente para $ 0 < t < \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast} \!\;\!$ e verifica (2.2) ao $ t \rightarrow 0 $. A [*existência*]{} (local) de tais soluções decorre da teoria geral de equações parabólicas (ver e.g.$\;$[@LadyzhenskayaSolonnikovUralceva1968], ou [@Serre1999], Ch.$\;$7); sabe-se também que as soluções são [*únicas*]{}, como pode ser mostrado usando princípios de comparação (ver e.g.$\;$[@DiehlFabrisZingano2014], Theorem 2.1).\
[\
]{}[**Proposição 2.1.**]{} *Sendo $ {\displaystyle
\;\!
u(\cdot,t)
\in
L^{\infty}_{\tt loc}(\:\!
[\,0, \:\!\mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast}),
\:\!
L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})
\,\!)
} $ solução do problema $\;\!(2.1)$, onde $ 0 < \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast}\!\;\!\leq \infty $, então tem-se $ {\displaystyle
\;\!
u(\cdot,t) \in
C^{0}(\:\!
[\,0, \:\!\mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast}),
\:\!
L^{p}(\mathbb{R}^{n})
\,\!)
} $ para cada $ \;\! p_{\mbox{}_{0}} \!\;\!\leq p < \infty $. Além disso, tem-se, para cada $ \;\! p_{\mbox{}_{0}} \!\;\!\leq p < \infty \!\!\;\!:$*\
\
$$\tag{2.3}
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{p}(\mathbb{R}^{n})}}
\;\!\leq\;
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{p}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\cdot\;\!\;\!
\exp\,\Bigl\{\:
\mbox{\small $ {\displaystyle \frac{1}{4} }$} \,
(p - 1) \:
\mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0\:\!;\:\!t)^{\:\!2} \:
\mathbb{U}_{p}\!\;\!(0\:\!;\:\!t)^{\:\!2\;\!\kappa}
\!\!\!\;\!
\int_{0}^{\;\!\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\:\!
\mu(\tau) \, d\tau
\;\!\Bigr\}$$\
*para todo $\;\! 0 \leq t < \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast} \!\;\!$, com $ \;\! \mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0\:\!;\:\!t) $, $ \mathbb{U}_{p}\!\;\!(0\:\!;\:\!t) $ definidas em $\;\!(1.7) $, $(1.8)$ acima.\
*\
A prova da Proposição 2.1 pode ser feita adaptando-se o argumento usado em ([@BarrionuevoOliveiraZingano2014], Theorem 1), ou ([@BrazSchutzZingano2013], Theorem 2.1). Em particular, com $ \;\!p_{\mbox{}_{0}} \!\;\!= 1 $, $ p = 1 $ em (2.3), obtém-se a estimativa (1.11) referida na Seção 1, ou seja,\
\
$$\tag{2.4}
\mbox{} \hspace{+0.750cm}
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
\;\!\leq\;
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!,
\qquad
\forall \;\,
t > 0.$$

\
[\
]{}[**Proposição 2.2.**]{} *Sendo $ {\displaystyle
\;\!
u(\cdot,t)
\in
L^{\infty}_{\tt loc}(\:\!
[\,0, \:\!\mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast}),
\:\!
L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})
\,\!)
} $ solução do problema $\;\!(2.1) \!\;\!$ em um dado intervalo $ \:\![\,0, \:\!\mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast}) $, então tem-se, para cada $ \;\! q \;\!\geq\;\! p_{\mbox{}_{0}} \!\:\!+ 1 \!\!\:\!:$\
*\
$$\tag{2.5}
\int_{0}^{\;\!\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!
\int_{\mathbb{R}^{n}}
\!\!\;\!
|\, u(x,\tau)\,|^{\:\!q \;\!-\;\! 2}
\,
|\, \nabla u \,|^{\:\!2}
\:dx\, d\tau
\;<\; \infty,
\qquad
\forall \;\,
0 < t < \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast}
\!\;\!.$$\
[\
]{}[[**Prova:**]{} Para $ q > 2 $, considere $ \;\!\Phi(\mbox{u}) \!\:\!:= L_{\delta}(\mbox{u})^{q} \!\;\!$, onde $ L_{\delta}(\cdot) $ é uma função sinal regularizada (ver e.g.$\;$[@BrazSchutzZingano2013; @DiehlFabrisZingano2014; @KreissLorenz1989]), sendo $ \delta > 0 $ dado. Seja também, para $ R > 0 $ grande, $ \zeta_{\mbox{}_{R}} \in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n}) $ uma função de corte satisfazendo $ \zeta_{\mbox{}_{R}}(x) = 1 $ se $ |\,x\,| \leq R - 1 $, $ \zeta_{\mbox{}_{R}}(x) = 0 $ se $ |\,x\,| \geq R $, $ 0 \leq \zeta_{\mbox{}_{R}}(x) \leq 1 $ para todo $x$, $ |\,\nabla \zeta_{\mbox{}_{R}}(x) \,| \leq C $ para certa constante $C$ independente de $x$ e $R$. Multiplicando-se a equação (2.1$a$) por $ \;\!\Phi^{\prime}(u(x,t)) \, \zeta_{\mbox{}_{R}}(x) $ e integrando-se em $ [\,t_0, \:\!t\;\!] $ (dado $ 0 < t_0 < t $ arbitrário), obtém-se, integrando-se por partes e fazendo $ \delta \rightarrow 0 $:\
\
$ {\displaystyle
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-0.750cm}
|\, u(x,t) \,|^{q} \,
\zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\: dx
\:+\:
q \,(q - 1) \!
\int_{\mbox{}_{\!\;\!\mbox{\footnotesize $t$}_0}}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-0.750cm}
|\, u(x,\tau) \,|^{q - 2} \,
\bigl<\,A(x,\tau,u) \, \nabla u, \;\! \nabla u \;\!\bigr>
\: \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\: dx \, d\tau
\;=
} $\
\
(2.6)\
\
$ {\displaystyle
=
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-0.750cm}
|\, u(x,t_0) \,|^{q} \,
\zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\: dx
\:+\:
q \,(q - 1) \!
\int_{\mbox{}_{\!\;\!\mbox{\footnotesize $t$}_0}}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-0.750cm}
|\, u \,|^{q - 2 + \kappa} \, u \,
\bigl<\;\!\mbox{\boldmath $b$}(x,\tau,u) -
\mbox{\boldmath $\beta$}(\tau), \;\! \nabla u \;\!\bigr>
\: \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\: dx \, d\tau
} $\
\
$ {\displaystyle
-\;
q \,(q - 1) \!
\int_{\mbox{}_{\!\;\!\mbox{\footnotesize $t$}_0}}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!R - 1 \,<\, |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-1.675cm}
G_{q}(u) \:
\bigl<\;\!\mbox{\boldmath $\beta$}(\tau),
\;\! \nabla \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\,\bigr>
\: dx \, d\tau
\;\!+\,
q \!
\int_{\mbox{}_{\!\;\!\mbox{\footnotesize $t$}_0}}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!R - 1 \,<\,|\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-1.675cm}
|\,u\,|^{q + \kappa} \,
\bigl<\;\!\mbox{\boldmath $b$}(x,\tau,u),
\;\! \nabla \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\,\bigr>
\: dx \, d\tau
} $\
\
$ {\displaystyle
-\;
q \,(q - 1) \!
\int_{\mbox{}_{\!\;\!\mbox{\footnotesize $t$}_0}}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!R - 1 \,<\, |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-1.675cm}
\bigl<\;\!\mbox{\boldmath $F$}_{\!\!\;\!q}(\tau,u),
\;\! \nabla \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\,\bigr>
\: dx \, d\tau
\;\!+\,
q \!
\int_{\mbox{}_{\!\;\!\mbox{\footnotesize $t$}_0}}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!R - 1 \,<\,|\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-1.675cm}
|\,u\,|^{q - 2} \;\!u \:
\bigl<\;\!\mbox{\boldmath $f$}(\tau,u),
\;\! \nabla \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\,\bigr>
\: dx \, d\tau
} $\
\
$ {\displaystyle
-\;
q \!
\int_{\mbox{}_{\!\;\!\mbox{\footnotesize $t$}_0}}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!R - 1 \,<\, |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-1.675cm}
|\,u\,|^{q - 2} \;\!u \:
\bigl<\,A(x,\tau,u) \,\nabla u,
\;\! \nabla \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\,\bigr>
\: dx \, d\tau
} $,\
\
onde\
\
$$\tag{2.7$a$}
G_{q}(\mbox{u})
\,:=\:\!
\int_{0}^{\:\!\mbox{\scriptsize u}}
\!
|\,\mbox{v}\,|^{\:\!q - 2 + \kappa}
\;\! \mbox{v} \:
d\mbox{v},
\qquad
\mbox{\boldmath $F$}_{\!\!\;\!q}(t,\mbox{u})
\,:=\:\!
\int_{0}^{\:\!\mbox{\scriptsize u}}
\!
|\,\mbox{v}\,|^{q - 2} \;\!
\mbox{\boldmath $f$}(t,\mbox{v}) \:
d\mbox{v},$$\
e $ {\displaystyle
\,
\mbox{\boldmath $\beta$}(t)
\;\!=\;\!
(\;\!\beta_{\mbox{}_{1}}(t),\!\;\!..., \beta_{\mbox{}_{\scriptstyle n}}(t)
\:\!)
} $, com $ \beta_{\mbox{}_{\scriptstyle j}}(t) $, $ 1 \leq j \leq n $, dado por\
\
$$\tag{2.7$b$}
\beta_{\scriptstyle j}(t) \;\!:= \;
\mbox{\small $ {\displaystyle \frac{1}{2} } $}
\:
\Bigl[\,
\sup_{\;x \,\in\, \mathbb{R}^{n}}
\!b_{j}(x,t,u(x,t))
\;\;\!+\!\;\!
\inf_{\;x \,\in\, \mathbb{R}^{n}}
\!\!\:\!b_{j}(x,t,u(x,t))
\;\Bigr].$$\
Para obter (2.6), observamos que\
\
$ {\displaystyle
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-0.750cm}
|\, u \,|^{q - 2 + \kappa} \, u \,
\bigl<\,\mbox{\boldmath $b$}(x,\tau,u), \;\! \nabla u \;\!\bigr>
\: \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\: dx
\;=
} $\
\
$ {\displaystyle
=\;\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-0.750cm}
|\, u \,|^{q - 2 + \kappa} \, u \,
\bigl<\,\mbox{\boldmath $b$}(x,\tau,u) -
\mbox{\boldmath $\beta$}(\tau), \;\! \nabla u \;\!\bigr>
\: \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\: dx
\;+\;\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-0.750cm}
\bigl<\,\mbox{\boldmath $\beta$}(\tau),
\;\! \nabla G_{q}(u) \;\!\bigr>
\: \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\: dx
} $\
\
$ {\displaystyle
=\;\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-0.750cm}
|\, u \,|^{q - 2 + \kappa} \, u \,
\bigl<\,\mbox{\boldmath $b$}(x,\tau,u) -
\mbox{\boldmath $\beta$}(\tau), \;\! \nabla u \;\!\bigr>
\: \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\: dx
\;-\;\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!R - 1 \,<\, |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-1.675cm}
G_{q}(u) \:
\bigl<\,\mbox{\boldmath $\beta$}(\tau),
\;\! \nabla \zeta_{\mbox{}_{R}}(x) \;\!\bigr>
\: dx
} $\
e também\
\
$ {\displaystyle
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-0.750cm}
|\, u \,|^{q - 2} \,
\bigl<\;\!\mbox{\boldmath $f$}(\tau,u), \;\! \nabla u \;\!\bigr>
\: \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\: dx
\;=\;\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-0.715cm}
[\; \mbox{div} \,
\mbox{\boldmath $F$}_{\!\!\;\!q}(\tau,u) \:]
\:
\zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\: dx
} $\
\
$ {\displaystyle
=\;
-\!\;\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!R - 1 \,<\, |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-1.650cm}
\bigl<\,\mbox{\boldmath $F$}_{\!\!\;\!q}(\tau,u),
\;\! \nabla \zeta_{\mbox{}_{R}}(x) \;\!\bigr>
\: dx
} $.\
\
Como, por (1.6), tem-se\
\
$ {\displaystyle
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-0.750cm}
|\, u \,|^{q - 2 + \kappa} \, u \,
\bigl<\,\mbox{\boldmath $b$}(x,\tau,u) -
\mbox{\boldmath $\beta$}(\tau), \;\! \nabla u \;\!\bigr>
\: \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\: dx
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
B(\tau) \!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-0.750cm}
|\, u \,|^{q - 1 + \kappa} \,
|\, \nabla u \,|
\: \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\: dx
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
\frac{1}{2} \;
\mu(\tau) \!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-0.750cm}
|\, u \,|^{q - 2} \,
|\, \nabla u \,|^{\:\!2}
\: \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\: dx
\;+\;
\frac{1}{2} \:
\frac{\,B(\tau)^{2}}{\mu(\tau)}
\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-0.750cm}
|\, u \,|^{q + 2\;\! \kappa}
\: \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\: dx
} $,\
\
resulta de (1.2), (2.6) que\
\
$ {\displaystyle
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-0.750cm}
|\, u(x,t) \,|^{q} \,
\zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\: dx
\:+\:
\frac{1}{2} \;
q \,(q - 1) \!
\int_{\mbox{}_{\!\;\!\mbox{\footnotesize $t$}_0}}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!
\mu(\tau)
\!\!\;\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-0.750cm}
|\, u(x,\tau) \,|^{q - 2} \:
|\, \nabla u \,|^{2}
\: \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\: dx \, d\tau
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-0.750cm}
|\, u(x,t_0) \,|^{q} \,
\zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\: dx
\:+\:
\frac{1}{2} \;
q \,(q - 1) \!
\int_{\mbox{}_{\!\;\!\mbox{\footnotesize $t$}_0}}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\frac{\,B(\tau)^{2}}{\mu(\tau)}
\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-0.750cm}
|\, u \,|^{q + 2\;\! \kappa}
\: \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\: dx \, d\tau
} $\
\
$ {\displaystyle
-\;
q \,(q - 1) \!
\int_{\mbox{}_{\!\;\!\mbox{\footnotesize $t$}_0}}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!R - 1 \,<\, |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-1.675cm}
G_{q}(u) \:
\bigl<\;\!\mbox{\boldmath $\beta$}(\tau),
\;\! \nabla \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\,\bigr>
\: dx \, d\tau
\;\!+\,
q \!
\int_{\mbox{}_{\!\;\!\mbox{\footnotesize $t$}_0}}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!R - 1 \,<\,|\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-1.675cm}
|\,u\,|^{q + \kappa} \,
\bigl<\;\!\mbox{\boldmath $b$}(x,\tau,u),
\;\! \nabla \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\,\bigr>
\: dx \, d\tau
} $\
\
$ {\displaystyle
-\;
q \,(q - 1) \!
\int_{\mbox{}_{\!\;\!\mbox{\footnotesize $t$}_0}}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!R - 1 \,<\, |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-1.675cm}
\bigl<\;\!\mbox{\boldmath $F$}_{\!\!\;\!q}(\tau,u),
\;\! \nabla \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\,\bigr>
\: dx \, d\tau
\;\!+\,
q \!
\int_{\mbox{}_{\!\;\!\mbox{\footnotesize $t$}_0}}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!R - 1 \,<\,|\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-1.675cm}
|\,u\,|^{q - 2} \;\!u \:
\bigl<\;\!\mbox{\boldmath $f$}(\tau,u),
\;\! \nabla \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\,\bigr>
\: dx \, d\tau
} $\
\
$ {\displaystyle
-\;
q \!
\int_{\mbox{}_{\!\;\!\mbox{\footnotesize $t$}_0}}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\int_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\:\!R - 1 \,<\, |\,x\,| \,<\,R}}
\hspace{-1.675cm}
|\,u\,|^{q - 2} \;\!u \:
\bigl<\,A(x,\tau,u) \,\nabla u,
\;\! \nabla \zeta_{\mbox{}_{R}}(x)
\,\bigr>
\: dx \, d\tau
} $,\
\
para todo $ R > 1 $. Fazendo $ R \rightarrow \infty $, obtém-se, então,\
\
$ {\displaystyle
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!q}
\,\!+\;
\frac{1}{2} \;
q \,(q - 1) \!
\int_{\:\!\mbox{\footnotesize $t$}_0}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\mu(\tau)
\!
\int_{\scriptstyle \;\!\mathbb{R}^{n}}
\!\!
|\, u(x,\tau) \,|^{q - 2} \:
|\, \nabla u \,|^{2}
\: dx \, d\tau
} $\
\
(2.8)\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
\|\, u(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!q}
\,\!+\;
\frac{1}{2} \;
q \,(q - 1) \!
\int_{\:\!\mbox{\footnotesize $t$}_0}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!
\frac{\,B(\tau)^{2}}{\mu(\tau)}
\!\;\!
\int_{\scriptstyle \;\!\mathbb{R}^{n}}
\!\!
|\, u \,|^{q + 2\;\! \kappa}
\: dx \, d\tau
} $,\
\
de onde (2.5) pode ser derivado sem dificuldade. De fato, (2.8) produz\
\
$$\notag
\int_{\:\!\mbox{\footnotesize $t$}_0}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!
\mu(\tau)
\!
\int_{\scriptstyle \;\!\mathbb{R}^{n}}
\!\!\;\!
|\, u(x,\tau) \,|^{q - 2} \,
|\, \nabla u \,|^{2}
\: dx \, d\tau
\;\leq\;\!
\int_{\:\!\mbox{\footnotesize $t$}_0}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!
\frac{\,B(\tau)^{2}}{\mu(\tau)}
\!\;\!
\int_{\scriptstyle \;\!\mathbb{R}^{n}}
\!\!\;\!
|\, u \,|^{q + 2\;\! \kappa}
\: dx \, d\tau,$$ de modo que, fazendo $\:\!t_0 \!\;\!\rightarrow\;\!0 $, tem-se\
\
$ {\displaystyle
\int_{\:\!0}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!
\mu(\tau)
\!
\int_{\scriptstyle \;\!\mathbb{R}^{n}}
\!\!\;\!
|\, u \,|^{q - 2} \,
|\, \nabla u \,|^{2}
\: dx \, d\tau
\;\leq\;\!
\int_{\:\!0}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\frac{\,B(\tau)^{2}}{\mu(\tau)}
\!\;\!
\int_{\scriptstyle \;\!\mathbb{R}^{n}}
\!\!\;\!
|\, u(x,\tau) \,|^{q + 2\;\! \kappa}
\: dx \, d\tau
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;\:\!
\mathbb{U}_{\infty}(0\:\!;\:\!t)^{\:\!2 \;\!\kappa}
\!\!
\int_{\:\!0}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\frac{\,B(\tau)^{2}}{\mu(\tau)}
\!\;\!
\int_{\scriptstyle \;\!\mathbb{R}^{n}}
\!\!
|\, u(x,\tau) \,|^{q}
\: dx \, d\tau
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;\:\!
\mathbb{U}_{q}(0\:\!;\:\!t)^{\:\!q} \;
\mathbb{U}_{\infty}(0\:\!;\:\!t)^{\:\!2 \;\!\kappa}
\!\!
\int_{\:\!0}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\frac{\,B(\tau)^{2}}{\mu(\tau)}
\; d\tau
} $,\
\
para cada $ \;\!0 < t < T_{\!\;\!\ast} \!\;\!$, o que conclui a prova de (2.5) se $ \;\!q > 2 $. Considerando, agora, $ q = 2 $, pode-se obter (2.5) de modo inteiramente análogo, com a diferença de se multiplicar desta vez a equação (2.1$a$) por $ \;\! u(x,t) \: \zeta_{\mbox{}_{R}}(x) $, em vez de $ \;\! \Phi_{\delta}^{\prime}(u(x,t)) \: \zeta_{\mbox{}_{R}}(x) $ como feito antes. Integrando-se, então, o resultado em $\;\![\,t_0, \;\!t\;\!] $, para $ 0 < t_0 < t $ dado, obtém-se, seguindo marcha inteiramente similar a (2.6)$\;\!$-$\;\!$(2.8) acima,\
\
$$\tag{2.$8^{\prime}$}
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!2}
\!\;\!+
\int_{\:\!\mbox{\footnotesize $t$}_0}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\mu(\tau)
\!
\int_{\scriptstyle \;\!\mathbb{R}^{n}}
\!\!
|\, \nabla u \,|^{2}
\: dx \, d\tau
\;\leq\;
\|\, u(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!2}
\!\;\!+
\int_{\:\!\mbox{\footnotesize $t$}_0}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!
\frac{\,B(\tau)^{2}}{\mu(\tau)}
\!\;\!
\int_{\scriptstyle \;\!\mathbb{R}^{n}}
\!\!
|\, u \,|^{2 + 2\;\! \kappa}
\: dx \, d\tau$$\
(sendo $ q = 2 $, $ p_{\mbox{}_{0}} \!\:\!= 1 $), de onde resulta, como antes,\
\
$ {\displaystyle
\int_{\:\!0}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!
\mu(\tau)
\!
\int_{\scriptstyle \;\!\mathbb{R}^{n}}
\!\!\;\!
|\, \nabla u \,|^{2}
\: dx \, d\tau
\;\;\!\leq\;\!
\int_{\:\!0}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\frac{\,B(\tau)^{2}}{\mu(\tau)}
\!\;\!
\int_{\scriptstyle \;\!\mathbb{R}^{n}}
\!\!\;\!
|\, u(x,\tau) \,|^{2 + 2\;\! \kappa}
\: dx \, d\tau
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;\:\!
\mathbb{U}_{\scriptscriptstyle 2}(0\:\!;\:\!t)^{\:\!2} \;
\mathbb{U}_{\infty}(0\:\!;\:\!t)^{\:\!2 \;\!\kappa}
\!\!
\int_{\:\!0}
    ^{\,\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\frac{\,B(\tau)^{2}}{\mu(\tau)}
\; d\tau
} $,\
\
o que estabelece (2.5) no caso $ \:\!q = 2 $. Isso conclui a demonstração da Proposição 2.2. ]{} $\Box$\
[\
]{}Observe-se que, da Proposição 2.2, segue imediatamente que, para todo $ \;\!0 < t < \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast} \!\;\!$:\
\
$$\tag{2.9$a$}
\int_{0}^{\;\!\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\int_{\mathbb{R}^{n}}
\!\!\;\!
\bigl<\, A(x,\tau,u) \, \nabla u, \;\! \nabla u \,\bigr>
\:dx\, d\tau
\;<\; \infty$$\
se $ \;\!p_{\mbox{}_{0}} \!\:\!= 1 $ ($ q = 2 $), e\
\
$$\tag{2.9$b$}
\int_{0}^{\;\!\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\int_{\mathbb{R}^{n}}
\!\!\;\!
|\, u(x,\tau)\,|^{\:\!q \;\!-\;\! 2}
\,
\bigl<\, A(x,\tau,u) \, \nabla u, \;\! \nabla u \,\bigr>
\:dx\, d\tau
\;<\; \infty$$\
sendo $ \:\! q \;\!\geq\;\! p_{\mbox{}_{0}} \!\:\!+ 1 $, $ \:\!q > 2 $. Outra consequência importante de (2.5) acima é dada na Proposição 2.3 a seguir, que representa o ponto de partida para a análise na Seção 3 estabelecendo o resultado principal ([Teorema B]{}) anunciado na Seção 1.

\
[**Proposição 2.3.**]{} *Sendo $ {\displaystyle
\;\!
u(\cdot,t)
\in
L^{\infty}_{\tt loc}(\:\!
[\,0, \:\!\mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast}),
\:\!
L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})
\,\!)
} $ solução do problema $\;\!(2.1) \!\;\!$ em um dado intervalo $ \:\![\,0, \:\!\mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast}) $, tem-se, para cada $ \;\! q \;\!\geq\;\! p_{\mbox{}_{0}}\!\:\!+ 1 \!\!\:\!:$\
*\
$ {\displaystyle
\frac{d}{d \:\!t} \;
\|\, u(\cdot,t) \,\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!q}
\:\!+\;
q \, (q - 1)
\!\!\;\!
\int_{\mathbb{R}^{n}}
\!\!\;\!
|\, u(x,t) \,|^{\:\!q - 2}
\:
\bigl<\, A(x,t,u) \, \nabla u, \;\! \nabla u \,\bigr>
\:dx
} $\
\
(2.10)\
\
$ {\displaystyle
=\;
q \, (q - 1)
\!\!\;\!
\int_{\mathbb{R}^{n}}
\!\!\;\!
|\, u(x,t) \,|^{\:\!q - 2 + \kappa}
\;\!
u(x,t) \:
\bigl<\, \mbox{\boldmath $b$}(x,t,u) \;\!-\;\!
\mbox{\boldmath $\beta$}(t), \;\! \nabla u \,\bigr>
\:dx
} $\
\
*para todo $ \;\! t \in (\,0, \;\!\mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast})
\,\mbox{\footnotesize $\setminus$}\, E_{q} $, sendo $ E_{q} \!\;\!\subset\!\;\! (\;\!0, \infty) $ de medida zero e $ \mbox{\boldmath $\beta$}(t) $ dada em $(2.7b)$.*\
[\
]{}[[**Prova:**]{} Na notação da prova anterior, multiplicando-se (2.1$a$) por $ u(x,t) \, \zeta_{\mbox{}_{R}}(x) $ se $ q = 2 $, e por $ \;\! \Phi_{\delta}^{\prime}(u(x,t)) \:
\zeta_{\mbox{}_{R}}(x) \;\!$ se $ q > 2 $, e integrando-se o resultado em $ \:\![\,t_0, \;\!t\;\!] $, obtém-se, fazendo $ \delta \rightarrow 0 $, $ t_0 \!\;\!\rightarrow 0 $ e $ R \rightarrow \infty $, por (2.5), (2.6) e (2.7),\
\
$$\notag
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!q}
\:\!+\;
q \, (q - 1)
\!\!\;\!
\int_{\:\!0}^{\;\!\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\int_{\mathbb{R}^{n}}
\!\!\;\!
|\, u \,|^{\:\!q - 2}
\:
\bigl<\, A(x,\tau,u) \, \nabla u, \;\! \nabla u \,\bigr>
\;dx
\, d\tau
\;=$$\
$$\notag
=\;
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!q}
\:\!+\;
q \, (q - 1)
\!\!\;\!
\int_{\:\!0}^{\;\!\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\int_{\mathbb{R}^{n}}
\!\!\;\!
|\, u(x,\tau) \,|^{\:\!q - 2 + \kappa}
\;\!
u(x,\tau) \:
\bigl<\, \mbox{\boldmath $b$}(x,\tau,u) \;\!-\;\!
\mbox{\boldmath $\beta$}(\tau), \;\! \nabla u \,\bigr>
\;dx
\,d\tau$$\
se $ \;\!q > 2 $, para todo $ \;\! 0 < t < T_{\!\;\!\ast} \!\;\!$. Sendo $\;\!q = 2 $, o resultado correspondente obtido é\
\
$$\notag
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!2}
+\;
2
\!\!\;\!
\int_{\:\!0}^{\;\!\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\int_{\mathbb{R}^{n}}
\!
\bigl<\, A(x,\tau,u) \, \nabla u, \;\! \nabla u \,\bigr>
\;dx
\, d\tau
\;=$$\
$$\notag
=\;
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!2}
\:\!+\;
2
\!\!\;\!
\int_{\:\!0}^{\;\!\mbox{\footnotesize $t$}}
\!\!\;\!
\int_{\mathbb{R}^{n}}
\!\!\;\!
|\, u(x,\tau) \,|^{\:\!\kappa}
\;\!
u(x,\tau) \:
\bigl<\, \mbox{\boldmath $b$}(x,\tau,u) \;\!-\;\!
\mbox{\boldmath $\beta$}(\tau), \;\! \nabla u \,\bigr>
\;dx
\,d\tau,$$\
para todo $ \;\! 0 < t < T_{\!\;\!\ast} \!\;\!$. Nas expressões acima, todas as integrais são bem definidas e finitas $\,$por (2.5), Proposição 2.2, e (2.9)$\,$, envolvendo funções integráveis (no sentido de Lebesgue) nas regiões indicadas. $\!$($\,\!$Para o termo $ {\displaystyle
\:\!
z(x,t)
\:\!=\:\!
|\, u(x,t) \,|^{\:\!q - 2 + \kappa}
\,\!
u(x,t) \,
\bigl<\, \mbox{\boldmath $b$}(x,t,u) \;\!-\;\!
\mbox{\boldmath $\beta$}(t), \,\! \nabla u \,\bigr>
} $, por exemplo, tem-se, por (1.6) e (2.7$b$):\
\
$ {\displaystyle
|\, z(x,t) \,|
\;\leq\;
|\, u(x,t) \,|^{\:\!q - 1 + \kappa}
\;\!
|\, \mbox{\boldmath $b$}(x,t,u) \;\!-\;\!
\mbox{\boldmath $\beta$}(t) \,|_{\mbox{}_{2}}
\;\!
|\, \nabla u \,|_{\mbox{}_{2}}
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
B(t) \:
|\, u(x,t) \,|^{\:\!q - 1 + \kappa}
\;\!
|\, \nabla u \,|_{\mbox{}_{2}}
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
\frac{\,B(t)^{2}}{\mu(t)} \;
|\, u(x,t) \,|^{\:\!q + 2 \;\!\kappa}
\,+\;
\mu(t) \:
|\, u(x,t) \,|^{\:\!q - 2}
\;\!
|\, \nabla u \,|_{\mbox{}_{2}}^{\:\!2}
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;\:\!
\mu(t) \:
\mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0\:\!;\:\!t)^{2}
\:
\mathbb{U}_{\infty}\!\;\!(0\:\!;\:\!t)^{2\;\!\kappa}
\,
|\, u(x,t) \,|^{\:\!q}
\,+\:
\mu(t) \:
|\, u(x,t) \,|^{\:\!q - 2}
\,
|\, \nabla u \,|_{\mbox{}_{2}}^{\:\!2}
\!\:\!
} $,\
\
de modo que $ {\displaystyle
z \in L^{1}(\mathbb{R}^{n}
\!\!\;\!\times\!\;\! [\,0, \;\!t\;\!])
} $ para cada $ \;\! 0 < t < T_{\!\;\!\ast} \!\;\!$, como afirmado.) O resultado (2.10) segue, então, aplicando o teorema de diferenciação de Lebesgue, para cada $ \;\!q \:\!\geq\;\! p_{\mbox{}_{0}}\!\:\!+ 1 $. ]{} $\Box$\
[\
]{}[**Observação 3.1.**]{} Na verdade, por (2.1), tem-se (2.10) válida para todo $ 0 < t < \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast} \!\;\!$.

\
[**3. Prova de (1.10)**]{}\
Nesta seção, vamos obter o resultado principal ([Teorema B]{}), reescrito na forma mais geral a seguir para as soluções do problema (2.1), sob as hipóteses de trabalho (1.2) e (1.3) descritas na Seção 1.\
\
[\
]{}\
A prova do Teorema 3.1 será feita a partir da Proposição 2.3, com o auxílio de vários resultados auxiliares apresentados nos lemas abaixo. Também serão necessárias diversas desigualdades de Nirenberg-Gagliardo, incluindo a desigualdade de Nash [@Nash1958]\
\
$$\label{Nash}
\tag{3.2}
\|\:\mbox{v}\:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
\;\!\leq\;\!\;\!
K\!\;\!(n) \:
\|\:\mbox{v}\:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{2}{{\scriptstyle n} \;\!+\;\! 2} }}
\;\!
\|\, \nabla \mbox{v}\:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle n}{{\scriptstyle n} \;\!+\;\! 2} }}
\qquad
\forall \;\,
\mbox{v} \in
L^{1}(\mathbb{R}^{n})
\cap
\dot{H}^{1}(\mathbb{R}^{n}),$$\
para certa constante $ \:\!K\!\;\!(n) < 1 $ (ver [@CarlenLoss1993] para a determinação de seu valor optimal). Esta desigualdade será importante mais adiante para se estimar $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}
} $ em termos de $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\scriptstyle L^{q/2}(\mathbb{R}^{n})}
\!\;\!
} $, dado $ \:\!q \:\!\geq\:\! p_{\mbox{}_{0}}/2 $ (Lema 3.2), na versão desenvolvida pelo autor para o clássico método $ L^{p}$-$\,\!L^{q}$ em ordem a se aplicar à investigação de problemas da forma (2.1) acima. Em particular, dado $ \;\!q \;\!\geq\;\! 2 \;\!p_{\mbox{}_{0}}\!\;\! $, resulta desde já conve- niente introduzir a função auxiliar $ {\displaystyle
\;\!
v^{[\,q\,]}(\cdot,t)
\in
L^{1}(\mathbb{R}^{n})
\cap
L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})
\:\!
} $ definida por\
\
$$\label{vq}
\tag{3.3}
v^{[\,q\,]}(x,t)
\,:=\:
\left\{
\begin{array}{ll}
\!\;\,u(x,t) \; &
\mbox{se }\, q = 2, \\
\mbox{} \vspace{-0.200cm} \\
\! |\, u(x,t) \,|^{\mbox{}^{\scriptstyle q/2}} \; &
\mbox{se }\, q > 2.
\end{array}
\right.
$$\
Em termos de $ v^{[\,q\,]}(\cdot,t) $, tem-se\
\
$$\tag{3.4$a$}
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}^{\;\!q}
\:\!=\;
\|\, v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}^{\;\!2}
\!\;\!,$$\
$$\tag{3.4$b$}
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q/2}(\mathbb{R}^{n})}}^{\;\!q/2}
=\;
\|\, v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!,$$\
e também\
\
$$\tag{3.5}
\int_{\mathbb{R}^{n}}
\!\!\;\!
|\, u(x,t) \,|^{\:\!q - 2}
\:
|\, \nabla u\;\!(x,t) \,|_{\mbox{}_{2}}^{\:\!2}
\: dx
\;=\;
\mbox{\small $ {\displaystyle \frac{4}{\,q^{2}} }$}
\:
\|\, \nabla v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!2}
\!.$$\
[\
]{}[**Lema 3.1.**]{} *Seja $\;\! q \:\!\geq\:\!2 \;\! p_{\mbox{}_{0}} \!\;\!$. Sendo $ {\displaystyle
\;\!
v^{[\,q\,]}(\cdot,t)
\in
L^{1}(\mathbb{R}^{n})
\cap
L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})
} $ dada em $\;\!(3.3) $ acima, tem-se\
*\
$ {\displaystyle
\frac{d}{d \:\!t} \:
\|\, v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!2}
\!\:\!+\;
\mbox{\small $ {\displaystyle
4 \;\! \Bigl(\:\! 1 - \frac{1}{q} \,\Bigr)
\, \mu(t)
} $}
\:
\|\, \nabla v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!2}
} $\
\
(3.6)\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
\mbox{\small $ {\displaystyle
2 \, q \;\!
\Bigl(\;\! 1 - \frac{1}{q} \,\Bigr) \,
B(t)
} $}
\:
\|\, v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\scriptstyle L^{2 \;\!+\;\!\frac{4\:\!\kappa}{q}}\!(\mathbb{R}^{n})}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle 1 \;\!+\;\! \frac{2\:\!\kappa}{q} }}
\;\!
\|\, \nabla v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
} $\
\
*para todo $ \;\! t \in (\,0, \;\!\mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast})
\,\mbox{\footnotesize $\setminus$}\, E_{q} $, sendo $ E_{q} \!\;\!\subset\!\;\! (\;\!0, \infty) $, $ |\,E_{q} \;\!|_{\mbox{}_{1}} \!\;\!=\;\! 0 $, dado na Proposição $2.3$.* [\
]{}[[**Prova:**]{} De (2.10), tem-se, por (1.2) e (1.3), (1.6), (2.7$b$), para $ t \in (\,0, \;\!\mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast})
\,\mbox{\footnotesize $\setminus$}\, E_{q} $:\
\
$ {\displaystyle
\frac{d}{d \:\!t} \;
\|\, u(\cdot,t) \,\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!q}
\:\!+\;
q \, (q - 1)
\:
\mu(t)
\!\!\;\!
\int_{\mathbb{R}^{n}}
\!\!\;\!
|\, u(x,t) \,|^{\:\!q - 2}
\:
|\, \nabla u \,|_{\mbox{}_{2}}^{\:\!2}
\:dx
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
q \,(q - 1)\,
B(t) \!
\int_{\mathbb{R}^{n}}
\!\!\;\!
|\, u(x,t) \,|^{\:\!q - 1 + \kappa}
\:
|\, \nabla u \,|_{\mbox{}_{2}}
\:dx
} $ $\,$por (1.2), (1.6), (2.10)$\,$\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
q \,(q - 1)\,
B(t) \;
\biggl\{\:\!
\int_{\mathbb{R}^{n}}
\!\!\;\!
|\, u(x,t) \,|^{\:\!q \;\!+\;\! 2\;\! \kappa}
\:dx
\;\!\biggr\}^{\!\!\;\!1/2}
\;\!
\biggl\{\:\!
\int_{\mathbb{R}^{n}}
\!\!\;\!
|\, u(x,t) \,|^{\:\!q \;\!-\;\! 2}
\,
|\, \nabla u \,|_{\mbox{}_{2}}^{\:\!2}
\:dx
\;\!\biggr\}^{\!\!\;\!1/2}
\!\!\!\!,
} $\
\
que, em termos da função $ \:\!v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \:\!$ definida em (3.3), equivale a (3.6), como afirmado. ]{} $\Box$\
[\
]{}De (3.6), resulta a importante estimativa (3.8) abaixo, para $ \:\!q \:\!\geq\:\! 2 \;\!p_{\mbox{}_{0}} \!\;\!$ com $ \:\! q > 2 \;\!n\;\!\kappa $, usando-se as desigualdades de Nirenberg-Gagliardo\
\
$$\tag{3.7}
\|\:\mbox{v}\:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{r}(\mathbb{R}^{n})}}
\:\!\leq\;
\|\:\mbox{v}\:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{1 - \theta}
\|\, \nabla \mbox{v}\:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\:\!\theta}
\!\;\!,
\qquad
\theta \;=\;
\frac{\mbox{\small 1} \:\mbox{\small $-$}\: \mbox{\small 1/}r}
{\mbox{\small 1/2} \;\mbox{\small +}\:\mbox{\small 1/}n}$$\
(ver e.g.$\;$[@Friedman1969], p.$\;$24), nos casos $ \;\!\mbox{\small $2$} \leq r < \mbox{\small $2$} + \mbox{\small $2$}/n $. Aplicando-se (3.7) para estimar $ {\displaystyle
\|\, v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\scriptstyle L^{2 \;\!+\;\!\frac{4\:\!\kappa}{q}}\!(\mathbb{R}^{n})}
\!
} $ no lado direito da desigualdade (3.6), Lema 3.1, obtém-se\
\
$ {\displaystyle
\frac{d}{d \:\!t} \:
\|\, v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!2}
\!\:\!+\;
\mbox{\small $ {\displaystyle
4 \;\! \Bigl(\:\! 1 - \frac{1}{q} \,\Bigr)
\, \mu(t)
} $}
\:
\|\, \nabla v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!2}
} $\
\
(3.8)\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
\mbox{\small $ {\displaystyle
2 \, q \;\!
\Bigl(\:\! 1 - \frac{1}{q} \,\Bigr)
\;\!
B(t)
} $}
\:
\|\, v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \:\!
\frac{2}{{\scriptstyle n}\;\!+\;\!2} \:
\frac{{\scriptstyle q} \;\!-\;\!
({\scriptstyle n} - 2) \;\!
{\scriptstyle \kappa}}
{{\scriptstyle q}} }}
\|\, \nabla v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \:\!
\frac{2}{{\scriptstyle n}\;\!+\;\!2} \:
\frac{({\scriptstyle n} + 1)\,{\scriptstyle q}
\,+\, 2 \;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa}}
{{\scriptstyle q}} }}
\hspace{-1.625cm},
} $\
\
para $ \:\! q \:\!\geq\:\! 2 \;\!p_{\mbox{}_{0}} \!\:\!$ satisfazendo $ \;\! q > 2 \;\!n \;\!\kappa $. (Esta última condição foi feita de modo a (3.8) poder ser útil: ela torna o expoente do termo $ {\displaystyle
\;\!
\|\, \nabla v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
\!
} $ no lado direito da expressão (3.8) menor que 2 $\,$que é o expoente do mesmo termo no lado esquerdo$\,$. Posto de outra forma (equivalente): vamos deste ponto em diante supor sempre que se tenha $ q $ verificando $ \;\!q \geq 2 \;\!p $, com $ p \:\!\geq\:\! p_{\mbox{}_{0}} \!\;\!$ dado (fixo) satisfazendo$\;\!$[^6] [\
]{}\
$$\tag{3.9}
p \;\!\geq\;\! p_{\mbox{}_{0}}
\!\;\!,
\quad
\;\,
p \;\!>\;\!
n \;\! \kappa.$$\
Esta condição sobre $q$ permite que se prossiga a análise além da estimativa (3.8), como mostram os seguintes resultados.\
[\
]{}[**Lema 3.2.**]{} *Seja $\;\! q \:\!\geq\:\!2 \;\! p$, com $ \;\!p $ dado em $\;\!(3.9)$. Sendo $ {\displaystyle
\;\!
v^{[\,q\,]}(\cdot,t)
\in
L^{1}(\mathbb{R}^{n})
\cap
L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})
} $ definida em $\;\!(3.3) $, tem-se\
*\
$ {\displaystyle
\frac{d}{d \:\!t} \;
\|\, v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!2}
\!\:\!+\;
\mbox{\small $ {\displaystyle
\frac{4}{n + 2} \,
\Bigl(\:\! 1 - \frac{1}{q} \,\Bigr) \;\!
\Bigl(\:\! 1 - \frac{2 \;\!n \:\! \kappa}{q} \;\!\Bigr)
} $}
\,
\mbox{\small $\mu(t)$}
\,
\|\, \nabla v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!2}
} $\
\
(3.10)\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
\mbox{\small $ {\displaystyle
\frac{4}{n + 2} \,
\Bigl(\:\! 1 - \frac{1}{q} \,\Bigr) \;\!
\Bigl(\:\! 1 - \frac{2 \;\!n \:\! \kappa}{q} \;\!\Bigr)
} $}
\,
\mbox{\small $ {\displaystyle
\Bigl(\;\! \frac{\;\!q\;\!}{2} \;\! \Bigr)
} $}^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!
\frac{({\scriptstyle n} + 2) \,{\scriptstyle q}}
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2 \;\!{\scriptstyle n \;\!\kappa}} }}
\hspace{-0.700cm}
\cdot
\hspace{+0.300cm}
\mbox{\small $\mu(t)$}
\;\!\;\!
\mbox{\small $ {\displaystyle
\Bigl(\, \frac{B(t)}{\mu(t)} \,\Bigr)
} $}^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!\!
\frac{({\scriptstyle n} + 2) \;\!{\scriptstyle q}}
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2 \;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa}} }}
\hspace{-0.650cm}
\cdot
\hspace{+0.300cm}
\|\, v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \:\!  2 \,\cdot\,
\left[\,
\frac{{\scriptstyle q} \;\!-\;\!
({\scriptstyle n} - 2) \;\!{\scriptstyle \kappa}}
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2 \;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa}}
\,\right]}}
\hspace{-1.200cm},
} $\
\
*para todo $ \;\! t \in (\,0, \;\!\mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast})
\,\mbox{\footnotesize $\setminus$}\, E_{q} $, sendo $ E_{q} \!\;\!\subset\!\;\! (\;\!0, \infty) $, $ |\,E_{q} \;\!|_{\mbox{}_{1}} \!\;\!=\;\! 0 $, dado na Proposição $2.3$.* [\
]{}[[**Prova:**]{} Considerando o termo no lado direito de (3.8), tem-se\
\
$ {\displaystyle
\mbox{\small $ {\displaystyle
2 \, q \;\!
\Bigl(\:\! 1 - \frac{1}{q} \,\Bigr)
\;\!
B(t)
} $}
\:
\|\, v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \:\!
\frac{2}{{\scriptstyle n}\;\!+\;\!2} \:
\frac{{\scriptstyle q} \,-\,
({\scriptstyle n} - 2) \;\!
{\scriptstyle \kappa}}
{{\scriptstyle q}} }}
\|\, \nabla v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \:\!
\frac{2}{{\scriptstyle n}\;\!+\;\!2} \:
\frac{({\scriptstyle n} + 1)\,{\scriptstyle q}
\,+\, 2 \;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa}}
{{\scriptstyle q}} }}
\hspace{-1.625cm}
} $\
\
$ {\displaystyle
=\;
\mbox{\small $ {\displaystyle
4 \,
\Bigl(\:\! 1 - \frac{1}{q} \,\Bigr)
} $}
\;
\Bigl[\;\,
\mbox{\small $ {\displaystyle
\frac{q}{2} \:
B(t) \;
\mu(t)}$}^{\scriptstyle \!\!-\,
\frac{({\scriptstyle n} + 1)\;\!{\scriptstyle q}
\,+\, 2 \;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa}}
{({\scriptstyle n} + 2)\;\!{\scriptstyle q}} }
\,
\|\, v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \:\!
\frac{2}{{\scriptstyle n}\;\!+\;\!2} \:
\frac{{\scriptstyle q} \,-\,
({\scriptstyle n} - 2) \;\!
{\scriptstyle \kappa}}
{{\scriptstyle q}} }}
\;\Bigr]
\;\times
} $\
\
$ {\displaystyle
\times \;
\Bigl[\;\;\!
\mbox{\small $\mu(t)$}^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!
\frac{({\scriptstyle n} + 1)\;\!{\scriptstyle q}
\,+\, 2 \;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa}}
{({\scriptstyle n} + 2)\;\!{\scriptstyle q}} }}
\,
\|\, \nabla v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \:\!
\frac{2}{{\scriptstyle n}\;\!+\;\!2} \:
\frac{({\scriptstyle n} + 1)\,{\scriptstyle q}
\,+\, 2 \;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa}}
{{\scriptstyle q}} }}
\;\Bigr]
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq \;
\mbox{\small $ {\displaystyle
\frac{4}{n + 2} \,
\Bigl(\:\! 1 - \frac{1}{q} \,\Bigr) \;\!
\Bigl(\:\! 1 - \frac{2 \;\!n \:\! \kappa}{q} \;\!\Bigr)
} $}
\,
\mbox{\small $ {\displaystyle
\Bigl(\;\! \frac{\;\!q\;\!}{2} \;\! \Bigr)
} $}^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!
\frac{({\scriptstyle n} + 2) \,{\scriptstyle q}}
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2 \;\!{\scriptstyle n \;\!\kappa}} }}
\hspace{-0.700cm}
\cdot
\hspace{+0.300cm}
\mbox{\small $\mu(t)$}
\;\!\;\!
\mbox{\small $ {\displaystyle
\Bigl(\, \frac{B(t)}{\mu(t)} \,\Bigr)
} $}^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!\!
\frac{({\scriptstyle n} + 2) \;\!{\scriptstyle q}}
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2 \;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa}} }}
\hspace{-0.650cm}
\cdot
\hspace{+0.300cm}
\|\, v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \:\!  2 \,\cdot\,
\left[\,
\frac{{\scriptstyle q} \;\!-\;\!
({\scriptstyle n} - 2) \;\!{\scriptstyle \kappa}}
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2 \;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa}}
\,\right]}}
} $\
\
$ {\displaystyle
+ \;\,
\mbox{\small $ {\displaystyle
4 \,
\Bigl(\:\! 1 - \frac{1}{q} \,\Bigr)
\;
\frac{(n + 1)\;\!q \,+\, 2 \;\!n\;\!\kappa}
{(n + 2)\;\!q}
\;
\mu(t)
} $}
\:
\|\, \nabla v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!2}
} $\
\
aplicando-se (no último passo) a desigualdade elementar de Young (ver e.g.$\;$[@Evans2002], p.$\;$622). Estimando-se em (3.8) seu termo direito como realizado nesta prova, obtém-se (3.10). ]{} $\Box$ [\
]{}\
[**Lema 3.3.**]{} *Seja $\;\! q \:\!\geq\:\!2 \;\! p$, com $ \;\!p $ dado em $\;\!(3.9)$, e seja $ {\displaystyle
\;\!
v^{[\,q\,]}(\cdot,t)
\in
L^{1}(\mathbb{R}^{n})
\cap
L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})
} $ dada em $\;\!(3.3) $. Se $ \;\! \hat{t} \in (\,0, \;\!\mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast})
\,\mbox{\footnotesize $\setminus$}\, E_{q} $ for tal que\
*\
$$\tag{3.11$a$}
\frac{d}{d \:\!t} \;
\|\, v^{[\,q\,]}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!2}
{\mbox{}_{\bigr|}}_{\mbox{}_{\mbox{\footnotesize $t = \:\!\hat{t}$}}}
\hspace{-0.700cm}
\geq\: 0,$$\
*então*\
\
$$\tag{3.11$b$}
\|\, v^{[\,q\,]}(\cdot,\hat{t}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
\;\!\leq\;
\mbox{\small $ {\displaystyle
K\!\;\!(n) } $}
\:
\mbox{\small $ {\displaystyle
\Bigl(\;\! \frac{\;\!q\;\!}{2} \;\! \Bigr)
} $}^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!\!\;\!
\frac{\scriptstyle n}{2} \,
\frac{\scriptstyle q}
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2 \;\!{\scriptstyle n \;\!\kappa}} }}
\hspace{-0.810cm}
\cdot
\hspace{+0.445cm}
\mbox{\small $ {\displaystyle
\Bigl(\, \frac{B(\hat{t})}{\mu(\hat{t})} \,\Bigr)
} $}^{\scriptstyle \!\!\!\;\!
\frac{\scriptstyle n}{2} \,
\frac{\scriptstyle q}
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2 \;\!{\scriptstyle n \;\!\kappa}} }
\hspace{-0.775cm}
\cdot
\hspace{+0.500cm}
\|\, v^{[\,q\,]}(\cdot,\hat{t}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \:\!
\frac{{\scriptstyle q} \;\!-\;\!{\scriptstyle n \:\! \kappa}}
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2 \;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa}} }}
\hspace{-0.100cm},$$\
*onde $\,\!K\!\;\!(n) > 0 $ é a constante de Nash dada em $\;\!(3.2) $.\
* [\
]{}[[**Prova:**]{} De (3.10), Lema 3.2, obtém-se, usando a hipótese (3.11$a$) acima, a estimativa\
\
$$\tag{3.12}
\|\, \nabla v^{[\,q\,]}(\cdot,\hat{t}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
\;\!\leq\;
\mbox{\small $ {\displaystyle
\Bigl(\;\! \frac{\;\!q\;\!}{2} \;\! \Bigr)
} $}^{\scriptstyle \!
\frac{{\scriptstyle n} + 2}{2} \,
\frac{\scriptstyle q}
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2 \;\!{\scriptstyle n \;\!\kappa}} }
\;\!
\mbox{\small $ {\displaystyle
\Bigl(\, \frac{B(\hat{t})}{\mu(\hat{t})} \,\Bigr)
} $}^{\scriptstyle \!\!\!\!
\frac{{\scriptstyle n} + 2}{2} \,
\frac{\scriptstyle q}
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2 \;\!{\scriptstyle n \;\!\kappa}} }
\;\!
\|\, v^{[\,q\,]}(\cdot,\hat{t}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \:\!
\frac{{\scriptstyle q} \;\!-\;\!({\scriptstyle n} - 2) \;\! {\scriptstyle \kappa} }
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2 \;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa}} }}
\hspace{-0.500cm},$$\
de onde segue o resultado (3.11$b$) aplicando-se a desigualdade (3.2) para $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{v} = v^{[\,q\,]}(\cdot,\hat{t})
} $. ]{} $\Box$\
[\
]{}Em termos da solução $ u(\cdot,t) $ do problema (2.1), o Lema 3.3 é escrito como segue.\
[\
]{}[**Lema 3..**]{} *Seja $\;\! q \:\!\geq\:\!2 \;\! p$, com $ \;\!p $ dado em $\;\!(3.9)$. Se $ \;\! \hat{t} \in (\,0, \;\!\mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast})
\,\mbox{\footnotesize $\setminus$}\, E_{q} $ for tal que\
*\
$$\tag{3.13$a$}
\frac{d}{d \:\!t} \;
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!q}
{\mbox{}_{\bigr|}}_{\mbox{}_{\mbox{\footnotesize $t = \:\!\hat{t}$}}}
\hspace{-0.700cm}
\geq\: 0,$$\
*então*\
\
$$\tag{3.13$b$}
\|\, u(\cdot,\hat{t}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\;\!\leq\:
\mbox{\small $ {\displaystyle
K\!\;\!(n) } $}^{\mbox{}^{\scriptstyle \!
\frac{2}{\scriptstyle q} }}
\!\;\!
\mbox{\small $ {\displaystyle
\Bigl(\;\! \frac{\;\!q\;\!}{2} \;\! \Bigr)
} $}^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!\!\;\!
\frac{\scriptstyle n}
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2 \;\!{\scriptstyle n \;\!\kappa}} }}
\hspace{-0.700cm}
\cdot
\hspace{+0.300cm}
\mbox{\small $ {\displaystyle
\Bigl(\, \frac{B(\hat{t})}{\mu(\hat{t})} \,\Bigr)
} $}^{\scriptstyle \!\!\!\;\!
\frac{\scriptstyle n}
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2 \;\!{\scriptstyle n \;\!\kappa}} }
\hspace{-0.630cm}
\cdot
\hspace{+0.350cm}
\|\, u(\cdot,\hat{t}) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q/2}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \:\!
\frac{{\scriptstyle q} \;\!-\;\!{\scriptstyle n \:\! \kappa}}
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2 \;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa}} }}
\hspace{-0.050cm},$$\
*onde $\,\!K\!\;\!(n) > 0 $ é a constante de Nash dada em $\;\!(3.2) $.\
*\
Os lemas acima indicam intuitivamente um caminho básico para a obtenção de resultados como (3.1) usando argumentos tipo $ L^{p}$-$\;\!L^{q}$: para cada $ \;\!q \geq 2 \,p_{\mbox{}_{0}} \!\;\!$, $ \:\!q > 2 \;\! n \:\!\kappa $, examina-se o comportamento (local) em $t$ de $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{L^{q}(\mathbb{R}^{n})}
\!\;\!
} $. Caso esteja [*crescendo*]{}, então $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{L^{q}(\mathbb{R}^{n})}
} $ pode ser estimada (localmente) em termos de $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{L^{q/2}(\mathbb{R}^{n})}
\!\;\!
} $, por meio da desigualdade de energia (3.10), de acordo com o Lema 3.3$^{\prime}$; se estiver [*decrescendo*]{}, então (3.10) torna-se neste caso inútil, mas possivelmente esta situação possa ser compensada pelo fato de se saber que $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{L^{q/2}(\mathbb{R}^{n})}
\!\;\!
} $ não esteja crescendo (momentaneamente, pelo menos). Em qualquer dos casos, sempre se possui alguma informação aparentemente importante sobre $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{L^{q}(\mathbb{R}^{n})}
\!\;\!
} $, embora varie (de modo complicado, provavelmente) com $q $ e $t$. Assim, não é evidente uma estratégia simples que indique como utilizar a informação disponível de modo eficaz. O próximo lema mostra precisamente como isso pode ser feito.

\
[**Lema 3.4.**]{} *$\!$Seja $\;\! q \:\!\geq 2 \;\! p$, com $ \:\!p $ dado em $\:\!(3.9)$. $\!$Sendo $\:\!u(\cdot,t) $, $ 0 \leq t < \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast}\!\;\!$, $\!\;\!$solução do problema $\,\!(2.1) $, tem-se*\
\
$$\tag{3.14}
\mathbb{U}_{q}(0; t)
\;\!\leq\,
\max\,\biggl\{\,
\|\, u_0 \;\!\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\,\!;
\;\!\,\!
K\!\;\!(n)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\frac{2}{\scriptstyle q} }}
\!\;\!
\Bigl(\;\! \mbox{\small $ {\displaystyle \frac{q}{2} }$}
\;\!\Bigr)^{\!\!\;\! \frac{\scriptstyle n}
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2\;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa}} }
\,
\mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0; t)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!
\frac{{\scriptstyle n}}{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2 \;\!
{\scriptstyle n \:\!\kappa}} }}
\;\!
\mathbb{U}_{\mbox{}_{\!\frac{\scriptstyle q}{2}}}\!
(0; t)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!
\frac{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! {\scriptstyle n\:\!\kappa} }
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2 \;\!
{\scriptstyle n \:\!\kappa}} }}
\:\!
\biggr\}$$\
*para todo $ \:\!0 \leq t < \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast}\!\;\!$, $\!\;\!$onde $ \;\!\mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0\:\!; \:\!t) $, $ \!\;\!\mathbb{U}_{q}\!\;\!(0\:\!; \:\!t) $, $ \!\;\!\mathbb{U}_{\frac{\scriptstyle q}{2}}\!\;\!(0\:\!; \:\!t) $ são definidas em $\:\!(1.7)$ e $(\:\!1.8)$,\
e $K\!\;\!(n) $ é dada na desigualdade $\:\!(3.2)$.\
* [\
]{}\

[**Prova:**]{} Dado $ \;\!0 \leq t < \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast}$, fixo no que segue, seja (por conveniência) $ \,\!\gamma_{q} \in \mathbb{R}^{\mbox{}^{+}}\!\!\;\!$ definido por\
\
$$\notag
\gamma_{q}
\,=\:
K\!\;\!(n)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\frac{2}{\scriptstyle q} }}
\!\;\!
\Bigl(\;\! \mbox{\small $ {\displaystyle \frac{q}{2} }$}
\;\!\Bigr)^{\!\!\;\! \frac{\scriptstyle n}
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2\;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa}} }
\,
\mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0; t)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!
\frac{{\scriptstyle n}}{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2 \;\!
{\scriptstyle n \:\!\kappa}} }}
\;\!
\mathbb{U}_{\mbox{}_{\!\frac{\scriptstyle q}{2}}}\!
(0; t)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!
\frac{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! {\scriptstyle n\:\!\kappa} }
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2 \;\!
{\scriptstyle n \:\!\kappa}} }}$$\
e consideremos os casos possíveis para os valores de $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,\tau) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\:\!
} $ no intervalo $ 0 \leq \tau \leq t $:\
\
$ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,\tau) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\:\!
>\;\!
\gamma_{q}
} $ para todo $ \;\!0 \leq \tau < t $.\
\
Neste caso, segue do Lema 3.$3^{\prime}$ que temos de ter $ {\displaystyle
\,
d/d\tau \,
\|\, u(\cdot,\tau) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}^{\:\!q}
\!\!\;\!<\:\!0
\;\!
} $ para quase todo\
$ \tau \in I \equiv [\,0, \:\!t\,] $, de modo que $ {\displaystyle
\,
\|\, u(\cdot,\tau) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\!\;\!
} $ é (estritamente) decrescente neste intervalo. Em particular, segue que $ {\displaystyle
\,
\|\, u(\cdot,\tau) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!\leq\;\!
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!
} $ para todo $ \tau $ em $I$, ou seja, tem-se\
neste caso\
\
$$\notag
\mathbb{U}_{q}(0; t)
\,=\,
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!.$$\
$ {\displaystyle
\;\!
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\:\!
>\;\!
\gamma_{q}
} $, $\;\!$tendo-se $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,t_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast}}\!\;\!) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\:\!
\leq\;\!
\gamma_{q}
} $ para algum $ \;\!0 < t_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast}} < t $.\
\
Neste caso, existe $ \;\!0 < t_{\mbox{}_{1}} \!\:\! \leq t_{\mbox{}_{\scriptstyle \ast}} $ tal que $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,\tau) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\:\!
>
\gamma_{q}
} $ em $ [\,0, \:\!t_{\mbox{}_{1}} \!\;\!) $, $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot, t_{\mbox{}_{1}} \!\;\!)\,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\:\!
=
\gamma_{q}
} $. Pelo Lema 3.$3^{\prime}\!\;\!$, segue repetindo o argumento acima que $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,\tau) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!
} $ tem de ser decrescente em $[\,0, \:\!t_{\mbox{}_{1}}] $. Por outro lado, no intervalo $ J \equiv [\, t_{\mbox{}_{1}} \!\;\!, \:\! t\;\!] \;\!$ temos de ter $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,\tau) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\leq
\gamma_{q}
} $ para todo $ \tau \in J $. $\,$De fato, se assim não fosse, teriam de existir $ \;\!t_{\mbox{}_{2}} \!\:\!< t_{\mbox{}_{3}} \in
[\;\!\:\!t_{\mbox{}_{1}}\!\;\!, \:\!t\,] $ tais que $ {\displaystyle
\|\, u(\cdot, \tau) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!>
\gamma_{q}
} $ para todo $ t_{\mbox{}_{2}} \!< \tau \leq t_{\mbox{}_{3}} \!\;\!$, tendo-se $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,t_{\mbox{}_{2}}\!\;\!) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!=
\gamma_{q}
} $. Assim, teria de existir $ t_{\mbox{}_{\ast\ast}} \!\!\:\!\in
(\,t_{\mbox{}_{2}}\!\;\!, \;\! t_{\mbox{}_{3}})
\setminus E_{q} $ com $ {\displaystyle
\,
d/d\tau \,
\|\, u(\cdot, \tau) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\:\!q}
\!
} $ positiva em $ \:\!\tau = t_{\mbox{}_{\ast\ast}} \!\:\!$, de modo que, pelo\
Lema 3.$3^{\prime}\!\;\!$, valeria $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot, t_{\mbox{}_{\ast\ast}}\!) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\leq \gamma_{q}
\!\;\!
} $, contradizendo o fato de ter-se $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot, \tau) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!> \gamma_{q}
\!\;\!
} $ em todo o intervalo $ (\;\!t_{\mbox{}_{2}}\!\;\!, \:\!t_{\mbox{}_{3}}) $.$\,$ $\;\!$Portanto, tem-se também aqui $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,\tau) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!\leq\;\!
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!
} $ para todo $ \tau \in [\,0, \:\!t\;\!] $, ou seja, obtém-se novamente $ {\displaystyle
\;\!
\mathbb{U}_{q}(0; t)
\,=\,
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!
} $.\
\
$ {\displaystyle
\;\!
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\:\!
\leq\;\!
\gamma_{q}
} $.\
\
Neste caso, repetindo-se o argumento aplicado no [Caso]{} [II]{} acima para o intervalo $J\!\;\!$, resulta que se tem $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,\tau) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\,\!\leq
\gamma_{q}
\:\!
} $ em todo o intervalo $ \;\![\;\!0, \;\!t\;\!\,\!] $, de modo que, neste caso, tem-se

\
$$\notag
\mathbb{U}_{q}\!\;\!(0\:\!; \:\!t)
\:\leq\:
K\!\;\!(n)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\frac{2}{\scriptstyle q} }}
\!\;\!
\Bigl(\;\! \mbox{\small $ {\displaystyle \frac{q}{2} }$}
\;\!\Bigr)^{\!\!\;\! \frac{\scriptstyle n}
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2\;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa}} }
\,
\mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0; t)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!
\frac{{\scriptstyle n}}{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2 \;\!
{\scriptstyle n \:\!\kappa}} }}
\;\!
\mathbb{U}_{\mbox{}_{\!\frac{\scriptstyle q}{2}}}\!
(0; t)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!
\frac{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! {\scriptstyle n\:\!\kappa} }
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2 \;\!
{\scriptstyle n \:\!\kappa}} }}
\hspace{-0.960cm}.$$\
Em todos os casos, tem-se sempre (3.14) acima, o que conclui a prova do Lema 3.4.

$\Box$\
\
Para os resultados seguintes, será conveniente introduzir, para cada $ 1 \leq j \leq m $, $ p \geq p_{\mbox{}_{0}} \!\;\!$, $ p > n \:\!\kappa $, a constante $ \:\!C(j,m) \,\equiv\, C(j,m\:\!; n,p,\kappa) > 0 \;\!$ definida por\
\
$$\tag{3.15$a$}
C(j,m)
\,:=\;
\prod_{\ell\,=\,j}^{m}
\,
\lambda(\,\!2^{\ell}p\,\!)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!\;\!
\frac{\,{\scriptstyle p} \:-\:
2^{\mbox{}^{-\;\!m}} \!\:\!{\scriptstyle n \:\!\kappa}}
{{\scriptstyle p} \;-\;
2^{\mbox{}^{-\;\!\ell}} \!\;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa}}
}}
$$\
sendo\
\
$$\tag{3.15$b$}
\lambda(q)
\,\equiv\,
\lambda(n, \:\!\kappa, \:\!q)
\;\!:=\;
K\!\;\!(n)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\frac{2}{\scriptstyle q} }}
\Bigl(\;\! \mbox{\small $ {\displaystyle \frac{\mbox{\normalsize $q$}}{2} }$}
\;\!\Bigr)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\!
\frac{\scriptstyle n}
{{\scriptstyle q} \;\!-\;\! 2\;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa}}
}}
$$\
para todo $ q \geq 2 \,\!\,\!p $, onde $ K\!\;\!(n) > 0 $ denota a constante de Nash na desigualdade (3.2).\
[\
]{}[**Lema 3.5.**]{} *$\!$Seja $\;\! p \:\!\geq\;\! p_{\mbox{}_{0}} \!\;\!$, $ \:\!p > n \:\! \kappa $. $\!$Sendo $\:\!u(\cdot,t) $, $ 0 \leq t < \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast}\!\;\!$, $\!\;\!$solução de $\,\!(2.1) $, tem-se*\
\
$$\tag{3.16$a$}
\mathbb{U}_{2\:\!p}(0; t)
\;\!\leq\,
\max\,\biggl\{\,
\|\, u_0 \;\!\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2\:\!p}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\,\!;
\;\!\,\!
\lambda(2\:\!p)
\:
\mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0; t)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!
\frac{{\scriptstyle n}}{2\;\!{\scriptstyle p} \;\!-\;\! 2 \;\!
{\scriptstyle n \:\!\kappa}} }}
\;\!
\mathbb{U}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!p}}
(0; t)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!
\frac{2 \;\!{\scriptstyle p} \;\!-\;\! {\scriptstyle n\:\!\kappa} }
{2\;\!{\scriptstyle p} \;\!-\;\! 2 \;\!
{\scriptstyle n \:\!\kappa}} }}
\:\!
\biggr\}$$\
*e, mais geralmente, para todo $ \;\! m \geq 2 \!:$*\
\
$ {\displaystyle
\mathbb{U}_{2^{\mbox{}^{m}}\!p}(0; t)
\;\!\leq\,
\max\;\biggl\{\;\!\;\!
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2^{m}p}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\:\!;
\;\;\!
C(j,m)
\;\:\!
\mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0; t)^{\mbox{}^{\scriptstyle
\!\!\!
\frac{\;\!{\scriptstyle p} \:-\;
{\scriptstyle n \:\!\kappa}\:\!/\;\!2^{m}}
{{\scriptstyle p}}
\;\!
\left[\;
\frac{2\;\!{\scriptstyle n}}{\;\!2^{j}{\scriptstyle p}
\,-\, 2{\scriptstyle n \:\!\kappa}}
\:-\;
\frac{\scriptstyle n}{2^{m}{\scriptstyle p}
\,-\, {\scriptstyle n \:\!\kappa}} \,
\right] }}
\,
\times
} $\
\
$ {\displaystyle
\times
\;\;\!
\|\, u_0 \;\!
\|_{{\scriptstyle L^{2^{j}p/2}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle
\frac{\;\!{\scriptstyle p} \:-\;
{\scriptstyle n \:\!\kappa}\:\!/\;\!2^{m}}
{\;\!{\scriptstyle p} \:-\; 2 \;\!
{\scriptstyle n \:\!\kappa}\:\!/\;\!2^{\:\!j}}
}}
\!\!\:\!,
\hspace{+0.400cm}
2 \;\!\leq\;\! j \;\!\leq\;\! m
\;\!;
} $ (3.16$b$)\
\
$ {\displaystyle
C(1,m)
\;\:\!
\mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0; t)^{\mbox{}^{\scriptstyle
\!\!\!\;\!
\frac{\;\!{\scriptstyle n}
\,(\;\!1 \:-\; 2^{-\;\!m})}
{\;\!{\scriptstyle p} \,-\: {\scriptstyle n \:\!\kappa}}
}}
\:\!
\mathbb{U}_{p}(0; t)^{\mbox{}^{\scriptstyle
\!\!\!\;\!
\frac{\;\!{\scriptstyle p} \:-\;
{\scriptstyle n \:\!\kappa}\:\!/\;\!2^{m}}
{{\scriptstyle p} \:-\; {\scriptstyle n \:\!\kappa}}
}}
\;
\biggr\}
\:\!
} $,\
\
*onde $\:\! C(j,m) $, $ 1 \leq j \leq m $, são as constantes dadas em $\;\!(3.15)$, com $ \;\!\mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0; t) $, $ \mathbb{U}_{q}\!\;\!(0; t) $ definidas em $\;\!(1.7) $, $(1.8)$.\
* [\
]{}[[**Prova:**]{} A expressão (3.16$a$) corresponde a (3.14) do Lema 3.4 acima, tomando-se simplesmente $ q = 2 p $; a prova de (3.16$b$) é realizada por indução em $m$, como indicado a seguir. Para $ m = 2 $, (3.16$b$) é obtida combinando-se (3.16$a$) e $\,$(3.14), com $ q = 4 \:\!p \,$. Dado $ m \geq 3 $ arbitrário, supondo-se que (3.16$b$) seja válida para inteiros menores que $m$, obtém-se, pelo Lema 3.4, tomando-se $ q = 2^{m} p $ em (3.14),\
\
$$\notag
\mathbb{U}_{2^{m}p}(0; t)
\;\!\leq\,
\max\,\biggl\{\,
\|\, u_0 \;\!\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2^{m}p}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\,\!;
\;\:\!
\lambda(2^{m}p)
\;
\mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0\:\!; \:\!t)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!
\frac{{\scriptstyle n}}{\;\!2^{m}p \;\!-\;\! 2 \;\!
{\scriptstyle n \:\!\kappa}} }}
\;\!
\mathbb{U}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!2^{m-1}p}}\!
(0\:\!; \:\!t)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!
\frac{\;\!{\scriptstyle p} \:-\;
{\scriptstyle n \:\!\kappa}\:\!/\;\!2^{m}}
{\;\!{\scriptstyle p} \:-\; 2 \;\!
{\scriptstyle n \:\!\kappa}\:\!/\;\!2^{m}}
}}
\:\!
\biggr\},$$\
de onde a expressão (3.16$b$) segue aplicando-se a hipótese de indução para $ {\displaystyle
\;\!
\mathbb{U}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!2^{m-1}p}}\!
(0\:\!; \:\!t)
} $. ]{} $\Box$\
\
Antes de prosseguir, será útil estimar as constantes $ C(j,m) $ definidas em (3.15). Observando as somas elementares abaixo,\
\
$$\tag{3.17$a$}
\sum_{\ell \,=\, 1}^{m}
\;\!
\mbox{\small $ {\displaystyle
\frac{2^{\ell} \:\!p}
{\;\!(\:\!2^{\ell}\:\!p \:\!-\;\! 2 \;\! n \:\! \kappa\:\!)
\, (\:\!2^{\ell}\:\!p \:\!-\;\! n \:\! \kappa\:\!)\;\!}
\;\;\!=\;\;\!
\frac{1}{\;\!p \:\!-\;\! n \:\!\kappa \;\!}
\;-\;
\frac{1}{\;\!2^{m}\:\! p \:\!-\;\! n \:\!\kappa \;\!}
} $}
\;\!,
\mbox{} \hspace{+0.200cm}$$

\
$$\tag{3.17$b$}
\sum_{\ell \,=\, 1}^{m}
\;\!
\mbox{\small $ {\displaystyle
\frac{\ell \;\!\cdot\, 2^{\ell} \:\!p}
{\;\!(\:\!2^{\ell}\:\!p \:\!-\;\! 2 \;\! n \:\! \kappa\:\!)
\, (\:\!2^{\ell}\:\!p \:\!-\;\! n \:\! \kappa\:\!)\;\!}
\;\;\!=\;\;\!
\frac{1}{\;\!p \:\!-\;\! n \:\!\kappa \;\!}
\;-\;
\frac{m \;\!+\;\!1}{\;\!2^{m}\:\! p \:\!-\;\! n \:\!\kappa \;\!}
} $}
\;+\,
\sum_{\ell \,=\, 1}^{m}
\;\!
\mbox{\small $ {\displaystyle
\frac{1}{\;\!2^{j}\:\! p \:\!-\;\! n \:\!\kappa \;\!}
} $}
\;\!,
\mbox{} \hspace{+0.200cm}$$\
resulta a seguinte estimativa básica para os coeficientes $ C(j,m) $ em (3.15), (3.16).\
[**Lema 3.6.**]{} *$\!$Sejam $ \;\!p > n \:\! \kappa $, $ m \geq 2 $. Então, para $\:\!C(j,m) $ dado em $\;\!(3.15)$, tem-se\
*\
$$\tag{3.18}
C(j,m)
\;\leq\;
\bigl(\;\! 2 \;\!p \;\!
\bigr)^{\mbox{}^{\scriptstyle
\!
\frac{{\scriptstyle n}}
{\;\!{\scriptstyle p} \;\!-\;\! {\scriptstyle n \:\!\kappa}}
}}
\equiv\:
K\!\;\!(n, \,\!\kappa, \,\!p),
\qquad \,
\forall \;\,
1 \;\!\leq\;\!j \;\!\leq\;\! m.$$\
[[**Prova:**]{} Como $ K\!\;\!(n) < 1 $ para todo $n$ $\;\!$(cf.$\;$[@CarlenLoss1993], p.$\;$213) obtém-se, de (3.15):\
\
$$\notag
C(j,m)
\;\;\!\leq\;\;\!
p^{\mbox{}_{\scriptstyle
\!
\frac{\,\!(\:\!2^{m}\:\!{\scriptstyle p}
\,-\, {\scriptstyle n \:\!\kappa}\:\!)\,\!}
{2^{\mbox{}^{m}} \!\;\!{\scriptstyle p}}
\;\!
\mbox{\scriptsize
$ {\displaystyle
\sum_{\ell\,=\,j}^{m}
\;\!
\frac{2^{\ell} \:\!{\scriptstyle p \, n}}
{\,\!(\:\!2^{\ell} {\scriptstyle p} -
2 \;\! {\scriptstyle n \:\! \kappa}\:\!)
\, (\:\!2^{\ell} {\scriptstyle p} -
{\scriptstyle n \:\! \kappa}\:\!)\,\!}
} $}
}}
\;\!\times\;
2^{\mbox{}_{\scriptstyle
\!\!
\frac{\,\!(\:\!2^{m}\:\!{\scriptstyle p}
\,-\, {\scriptstyle n \:\!\kappa}\:\!)\,\!}
{2^{\mbox{}^{m}} \!\;\!{\scriptstyle p}}
\;\!
\mbox{\scriptsize
$ {\displaystyle
\sum_{\ell\,=\,j}^{m}
\;\!
\frac{{\scriptstyle \ell} \cdot
2^{\ell} \:\!{\scriptstyle p \, n}}
{\,\!(\:\!2^{\ell} {\scriptstyle p} -
2 \;\! {\scriptstyle n \:\! \kappa}\:\!)
\, (\:\!2^{\ell} {\scriptstyle p} -
{\scriptstyle n \:\! \kappa}\:\!)\,\!}
} $}
}}
,
$$\
de onde segue a estimativa (3.18), visto que\
\
$ {\displaystyle
\frac{\,\!2^{m} \,\!p - n \:\!\kappa \,\!}
{2^{m} p}
\,
\sum_{\ell \,=\, j}^{m}
\;\!
\mbox{\small $ {\displaystyle
\frac{2^{\ell} \:\!p}
{\;\!(\:\!2^{\ell}\:\!p \:\!-\;\! 2 \;\! n \:\! \kappa\:\!)
\, (\:\!2^{\ell}\:\!p \:\!-\;\! n \:\! \kappa\:\!)\;\!}
\;\,\!\leq\,
\sum_{\ell \,=\, 1}^{m}
\;\!
\mbox{\small $ {\displaystyle
\frac{2^{\ell} \:\!p}
{\;\!(\:\!2^{\ell}\:\!p \:\!-\;\! 2 \;\! n \:\! \kappa\:\!)
\, (\:\!2^{\ell}\:\!p \:\!-\;\! n \:\! \kappa\:\!)\;\!}
} $}
\;\,\!\leq\;\,\!
\frac{1}{\,\!p - n \:\!\kappa\,\!}
} $}
} $\
\
e\
\
$ {\displaystyle
\frac{\,\!2^{m} \,\!p - n \:\!\kappa \,\!}
{2^{m} p}
\,
\sum_{\ell \,=\, j}^{m}
\;\!
\mbox{\small $ {\displaystyle
\frac{\ell \;\!\cdot\, 2^{\ell} \:\!p}
{\;\!(\:\!2^{\ell}\:\!p \:\!-\;\! 2 \;\! n \:\! \kappa\:\!)
\, (\:\!2^{\ell}\:\!p \:\!-\;\! n \:\! \kappa\:\!)\;\!}
\;\,\!\leq\,
\sum_{\ell \,=\, 1}^{m}
\;\!
\mbox{\small $ {\displaystyle
\frac{\ell \;\!\cdot\, 2^{\ell} \:\!p}
{\;\!(\:\!2^{\ell}\:\!p \:\!-\;\! 2 \;\! n \:\! \kappa\:\!)
\, (\:\!2^{\ell}\:\!p \:\!-\;\! n \:\! \kappa\:\!)\;\!}
} $}
\;\,\!\leq\;\,\!
\frac{1}{\,\!p - n \:\!\kappa\,\!}
} $}
} $\
\
(devido a (3.17) acima). $\,$Note-se que estimativas mais finas para $ C(j,m) $ também podem ser obtidas, de modo análogo, mas este ponto não é essencial no argumento a seguir.$\,$ ]{} $\Box$\
\
Usando-se as expressões (3.15), (3.16$b$) e (3.18) acima, obtém-se uma estimativa mais simples para $ {\displaystyle
\;\!
\mathbb{U}_{2^{\mbox{}^{m}}\!p}(0\:\!; \:\!t)
} $, descrita em (3.19) abaixo. Esta estimativa representa o passo final para estabelecermos o Teorema 3.1.\
\
[\
]{}\
[[**Prova:**]{} Se $ m = 1 $, o resultado segue imediatamente de (3.15$b$), (3.16$a$), já que $ \lambda(2\:\!p) \leq K\!\;\!(n,\kappa,p) $. Consideremos, assim, $ m \geq 2 $. Dado $ 2 \leq j \leq m $, obtém-se, então, estimando-se $ {\displaystyle
\|\, u_0 \;\!
\|_{L^{2^{j}p/2}(\mathbb{R}^{n})}
\!\;\!
} $ por interpolação com respeito às duas normas $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{p}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!
} $ e $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2^{m}p}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!
} $ (e usando (3.18) acima):\
\
$ {\displaystyle
C(j,m)
\;\:\!
\mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0; t)^{\mbox{}^{\scriptstyle
\!\!\!
\frac{\;\!{\scriptstyle p} \:-\;
{\scriptstyle n \:\!\kappa}\:\!/\;\!2^{m}}
{{\scriptstyle p}}
\;\!
\left[\;
\frac{2\;\!{\scriptstyle n}}{\;\!2^{j}{\scriptstyle p}
\,-\, 2{\scriptstyle n \:\!\kappa}}
\:-\;
\frac{\scriptstyle n}{2^{m}{\scriptstyle p}
\,-\, {\scriptstyle n \:\!\kappa}} \,
\right] }}
\,
\|\, u_0 \;\!
\|_{{\scriptstyle L^{2^{j}p/2}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle
\frac{\;\!{\scriptstyle p} \:-\;
{\scriptstyle n \:\!\kappa}\:\!/\;\!2^{m}}
{\;\!{\scriptstyle p} \:-\; 2 \;\!
{\scriptstyle n \:\!\kappa}\:\!/\;\!2^{\:\!j}}
}}
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
K\!\;\!(n,\kappa,p)
\;
\biggl[\;\,
\|\, u_0 \;\!
\|_{{\scriptstyle L^{2^{m}p}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle
\frac{\;\!{\scriptstyle p} \:-\;
{\scriptstyle n \:\!\kappa}\:\!/\;\!2^{m}}
{\;\!{\scriptstyle p} \:-\; 2 \;\!
{\scriptstyle n \:\!\kappa}\:\!/\;\!2^{\:\!j}}
\,
\frac{\,\!1 - 2^{-j + 1}}
{1 \,-\, 2^{-m}}
}}
\;
\biggr]
\;\times
} $\
\
$ {\displaystyle
\times \;
\biggl[\;\,
\mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0; t)^{\mbox{}^{\scriptstyle
\!\!\!
\frac{\;\!{\scriptstyle p} \:-\;
{\scriptstyle n \:\!\kappa}\:\!/\;\!2^{m}}
{{\scriptstyle p}}
\;\!
\left[\;
\frac{2\;\!{\scriptstyle n}}{\;\!2^{j}{\scriptstyle p}
\,-\, 2{\scriptstyle n \:\!\kappa}}
\:-\;
\frac{\scriptstyle n}{2^{m}{\scriptstyle p}
\,-\, {\scriptstyle n \:\!\kappa}} \,
\right]
}}
\;\!
\|\, u_0 \;\!
\|_{{\scriptstyle L^{p}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle
\frac{\;\!{\scriptstyle p} \:-\;
{\scriptstyle n \:\!\kappa}\:\!/\;\!2^{m}}
{\;\!{\scriptstyle p} \:-\; 2 \;\!
{\scriptstyle n \:\!\kappa}\:\!/\;\!2^{\:\!j}}
\,
\frac{\,\!2^{-j + 1} -\, 2^{-m}}
{1 \,-\, 2^{-m}}
}}
\;
\biggr]
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
\theta \,\!\cdot\;\!
K\!\;\!(n,\kappa,p) \;
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle
L^{2^{m}p}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\!\;\!+\,
(1 - \theta)
\,\!\cdot\;\!
K\!\;\!(n,\kappa,p) \;
\mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0; t)^{\mbox{}^{\scriptstyle
\!\!\!\;\!
\frac{\;\!{\scriptstyle n}
\,(\;\!1 \:-\; 2^{-\;\!m})}
{\;\!{\scriptstyle p} \,-\: {\scriptstyle n \:\!\kappa}}
}}
\:\!
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle
L^{p}(\mathbb{R}^{n})}}
^{\mbox{}^{\scriptstyle
\!\!\!\;\!
\frac{\;\!{\scriptstyle p} \:-\;
{\scriptstyle n \:\!\kappa}\:\!/\;\!2^{m}}
{{\scriptstyle p} \:-\; {\scriptstyle n \:\!\kappa}}
}}
} $\
\
pela desigualdade de Young ([@Evans2002], p.$\;$622), onde $ \;\! \theta \in (\;\!0, 1\,\!) \;\!$ é dado por\
\
$$\notag
\theta
\;=\;
\frac{\,\! 1 - 2^{-\;\!j + 1}}
{1 - 2^{-\;\!m}}
\:
\frac{\,\!p \;\!-\;\! n \:\!\kappa/2^{m}}
{\,\!p \;\!-\;\! 2 \;\!n \:\!\kappa/2^{j}}
\:\!.$$\
Assim, de (3.16$b$) e (3.18), segue que, denotando $ K \!\;\!\equiv K\!\;\!(n,\kappa,p) $:\
\
$ {\displaystyle
\mathbb{U}_{2^{m}p}(0\:\!; \:\!t)
\;\leq\;
\max \;
\biggl\{\;\:\!
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2^{m}p}(\mathbb{R}^{n})}}
\:\!;
} $\
\
$ {\displaystyle
\theta \,\!\cdot\;\!
K \;
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle
L^{2^{m}p}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\!\;\!+\,
(1 - \theta)
\,\!\cdot\;\!
K \;
\mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0; t)^{\mbox{}^{\scriptstyle
\!\!\!\;\!
\frac{\;\!{\scriptstyle n}
\,(\;\!1 \:-\; 2^{-\;\!m})}
{\;\!{\scriptstyle p} \,-\: {\scriptstyle n \:\!\kappa}}
}}
\:\!
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle
L^{p}(\mathbb{R}^{n})}}
^{\mbox{}^{\scriptstyle
\!\!\!\;\!
\frac{\;\!{\scriptstyle p} \:-\;
{\scriptstyle n \:\!\kappa}\:\!/\;\!2^{m}}
{{\scriptstyle p} \:-\; {\scriptstyle n \:\!\kappa}}
}}
\:\!;
} $\
\
$ {\displaystyle
K \;
\mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0; t)^{\mbox{}^{\scriptstyle
\!\!\!\;\!
\frac{\;\!{\scriptstyle n}
\,(\;\!1 \:-\; 2^{-\;\!m})}
{\;\!{\scriptstyle p} \,-\: {\scriptstyle n \:\!\kappa}}
}}
\:\!
\mathbb{U}_{p}(0\:\!;\:\!t)
^{\mbox{}^{\scriptstyle
\!\!\!\;\!
\frac{\;\!{\scriptstyle p} \:-\;
{\scriptstyle n \:\!\kappa}\:\!/\;\!2^{m}}
{{\scriptstyle p} \:-\; {\scriptstyle n \:\!\kappa}}
}}
\;
\biggr\}
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
K
\cdot\;
\max \;
\biggl\{\;\:\!
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2^{m}p}(\mathbb{R}^{n})}}
\:\!;
\;\;\!
\mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0; t)^{\mbox{}^{\scriptstyle
\!\!\!\;\!
\frac{\;\!{\scriptstyle n}
\,(\;\!1 \:-\; 2^{-\;\!m})}
{\;\!{\scriptstyle p} \,-\: {\scriptstyle n \:\!\kappa}}
}}
\:\!
\mathbb{U}_{p}(0\:\!;\:\!t)
^{\mbox{}^{\scriptstyle
\!\!\!\;\!
\frac{\;\!{\scriptstyle p} \:-\;
{\scriptstyle n \:\!\kappa}\:\!/\;\!2^{m}}
{{\scriptstyle p} \:-\; {\scriptstyle n \:\!\kappa}}
}}
\;
\biggr\}
} $\
\
para todo $ \;\! 0 \leq t < T_{\!\;\!\ast} \!\;\! $, como afirmado. Isso conclui a prova do Lema 3.7. ]{} $\Box$\
\
Do Lema 3.7, pode-se finalmente obter a estimativa (3.1), sendo apenas necessário que se tome $ \;\!m \rightarrow \infty \;\!$ em (3.19), pelo fato de se ter\
\
$$\tag{3.20}
\lim_{q\,\rightarrow\,\infty}
\mathbb{U}_{\!\;\!q}(0\:\!;\:\!t)
\;=\;
\mathbb{U}_{\infty}\!\;\!(0\:\!;\:\!t).$$\
Isso conclui a prova do Teorema 3.1, que ocupou toda a discussão da presente seção.

\
[**4. Condições de existência global**]{}\
Nesta seção, vamos aplicar a análise acima de modo a obter condições garantindo existência global (i.e., $ \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast} \!\;\! = \infty $) das soluções $ u(\cdot,t) $ do problema (1.1)$\;\!$-$\;\!$(1.3), ou seja,\
$$\tag{4.1$a$}
u_t \,+\;
\mbox{div}\,
\bigl(\;\! \mbox{\boldmath $b$}(x,t,u) \, |\;\!u\;\!|^{\:\!\kappa} \:\! u \;\!
\bigr)
\:+\:
\mbox{div} \,
\mbox{\boldmath $f$}(t,u)
\;=\;
\mbox{div}\,\bigl(\;\!
A(x,t,u) \;\! \nabla u \;\!\bigr),
$$\
$$\tag{4.1$b$}
u(\cdot,0) \,=\,
u_0 \in L^{1}(\mathbb{R}^{n})
\cap L^{\infty}(\mathbb{R}^{n}),$$\
sendo $ A $ (tensor difusivo) e $ \;\!\mbox{\boldmath $b$}, \mbox{\boldmath $f$} \!\;\!$ (campos vetoriais) suaves satisfazendo (1.2) e (1.3). Um exemplo de condições de existência global é dado no Teorema 4.1 a seguir, onde (ver (1.7), Seção 1)\
\
$$\tag{4.2}
\mathbb{B}_{\!\;\!\mu}\!\;\!(0\:\!; \:\!\infty)
\;=\;\;\!
\sup_{t \,\geq\,0} \;
\mbox{\small $ {\displaystyle
\frac{B(t)}{\mu(t)}
} $}
\:\leq\;\! \infty.$$\
[\
]{}[\
]{}

[**Prova:**]{} O caso ([*i*]{}), já considerado no [Teorema A]{} da Seção 1, é consequência imediata da propriedade (2.4) e do Teorema 3.1 (tomando-se $ \;\!p = 1 $ em (3.1)). Nos casos ([*ii*]{}) e ([*iii*]{}), podemos proceder do seguinte modo. Da desigualdade (3.8) $\,$reescrita em termos de $ u(\cdot,t) $, usando (3.4), (3.5)$\,$, obtém-se, considerando $ \;\! q = 2 \;\! n \:\! \kappa \geq 2 $,\
\
$ {\displaystyle
\frac{d}{d\:\!t} \;
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2\;\!n\:\!\kappa}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\:\! 2 \;\! n \:\!\kappa}
\!+\,
 2\;\!n \:\!\kappa \,
(2\;\!n \:\!\kappa - 1) \;
\mu(t)
\!
\int_{\mathbb{R}^{n}}
\!\!\:\!
|\, u(x,t) \,|^{\:\!2\;\!n \:\!\kappa \;\!-\;\!2}
\,
|\, \nabla u \,|^{\:\!2}
\: dx
} $ (4.4)\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
n \:\! \kappa \;
\frac{B(t)}{\mu(t)} \;
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{n\:\!\kappa}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\:\!\kappa}
\;\!
\Bigl\{\,
 2\;\!n \:\!\kappa \,
(2\;\!n \:\!\kappa - 1) \;
\mu(t)
\!
\int_{\mathbb{R}^{n}}
\!\!\:\!
|\, u(x,t) \,|^{\:\!2\;\!n \:\!\kappa \;\!-\;\!2}
\,
|\, \nabla u \,|^{\:\!2}
\: dx
\;\!\Bigr\}
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
n \:\! \kappa \;
\mathbb{B}_{\!\;\!\mu}\!\;\!(0\:\!; \infty)
\:
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{n\:\!\kappa}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\:\!\kappa}
\;\!
\Bigl\{\,
 2\;\!n \:\!\kappa \,
(2\;\!n \:\!\kappa - 1) \;
\mu(t)
\!
\int_{\mathbb{R}^{n}}
\!\!\:\!
|\, u(x,t) \,|^{\:\!2\;\!n \:\!\kappa \;\!-\;\!2}
\,
|\, \nabla u \,|^{\:\!2}
\: dx
\;\!\Bigr\}
} $\
\
para todo $ \;\!t \in (\:\!0, \:\!T_{\!\;\!\ast}\!\;\!) \setminus
E_{2\;\!n \:\!\kappa} $, de modo que temos $ {\displaystyle
\,
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2 \;\!n\:\!\kappa}(\mathbb{R}^{n})}}
\!
} $ decrescente em $\;\![\,0, \:\!T\;\!] $

\
sempre que tivermos\
\
$$\tag{4.5}
n \:\! \kappa \:\,\!
\mathbb{B}_{\!\;\!\mu}\!\;\!(0\:\!; \infty)
\:
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{n\:\!\kappa}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\:\!\kappa}
\;\!\leq\:
1,
\qquad
\forall \;\,
t \in [\,0, \;\!T\;\!].$$\
No caso ([*ii*]{}), esta condição é simplesmente $ {\displaystyle
\;\!
\mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0\:\!; \infty)^{\:\!n}
\:\!
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!\leq\:\!
1
} $, que é automaticamente satisfeita em qualquer intervalo $ \,\![\,0, \:\!T\:\!]\,\! $ se for satisfeita em $ \:\!t = 0 $, devido a (2.4). Isso mostra que $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}^{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!
} $ é monotonicamente decrescente em $ \,\![\,0, \:\!T_{\!\;\!\ast}\!\;\!) \,\! $ caso se tenha $ {\displaystyle
\mathbb{B}_{\mu}\!\;\!(0\:\!; \infty)^{\:\!n}
\:\!
\|\, u_0 \;\!
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!\leq\:\!
1
} $. Pelo Teorema 3.1, $ {\displaystyle
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\!\;\!
} $ é controlada (como $ \:\!n \:\!\kappa = 1 $)\
por $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}^{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!
} $, e, assim sendo, $ {\displaystyle
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\!\;\!
} $ tem de permanecer limitada em qualquer intervalo limitado. Logo, não se pode ter $ \;\!T_{\!\;\!\ast} < \infty \:\!$ neste caso, como afirmado em ([*ii*]{}).\
Finalmente, consideremos o caso ([*iii*]{}). Observando que (por interpolação) tem-se\
\
$ {\displaystyle
n \:\! \kappa \:\,\!
\mathbb{B}_{\!\;\!\mu}\!\;\!(0\:\!; \infty)
\:
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{n\:\!\kappa}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\:\!\kappa}
\:\!\leq\,\:\!
n \:\! \kappa \:\,\!
\mathbb{B}_{\!\;\!\mu}\!\;\!(0\:\!; \infty)
\:
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle
  \frac{1}{\,\!2 \;\!{\scriptstyle n} \;\!-\;\!1/{\scriptstyle \kappa}}}}
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2\:\!n\:\!\kappa}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle
  \frac{2 \;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa} \;\!-\;\!2}
       {\,\!2 \;\!{\scriptstyle n} \;\!-\;\!1/{\scriptstyle \kappa}}}}
} $ (4.6)\
\
e também (novamente, por interpolação)\
\
$ {\displaystyle
n \:\! \kappa \:\,\!
\mathbb{B}_{\!\;\!\mu}\!\;\!(0\:\!; \infty)
\:
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle
  \frac{1}{\,\!2 \;\!{\scriptstyle n} \;\!-\;\!1/{\scriptstyle \kappa}}}}
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2\:\!n\:\!\kappa}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle
  \frac{2 \;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa} \;\!-\;\!2}
       {\,\!2 \;\!{\scriptstyle n} \;\!-\;\!1/{\scriptstyle \kappa}}}}
\!\;\!<\:
n \:\! \kappa \:\,\!
\mathbb{B}_{\!\;\!\mu}\!\;\!(0\:\!; \infty)
\:
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{1}{\scriptstyle n} }}
\:\!
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle \kappa \;\!-\;\! \frac{1}{\scriptstyle n} }}
} $\
\
(4.7)\
\
para todo $\;\!t \in [\,0, T_{\!\;\!\ast}\!\;\!) $, obtemos, por (4.3) e (4.7),\
\
$$\tag{4.8}
n \:\! \kappa \:\,\!
\mathbb{B}_{\!\;\!\mu}\!\;\!(0\:\!; \infty)
\:
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle
  \frac{1}{\,\!2 \;\!{\scriptstyle n} \;\!-\;\!1/{\scriptstyle \kappa}}}}
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2\:\!n\:\!\kappa}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle
  \frac{2 \;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa} \;\!-\;\!2}
       {\,\!2 \;\!{\scriptstyle n} \;\!-\;\!1/{\scriptstyle \kappa}}}}
\!\;\!<\:
1$$\
para todo $\;\!t \in [\,0, T_{\!\;\!\ast}\!\;\!) $ suficientemente próximo de zero. Afirmamos que (4.8) acima tem de ser verdadeira para todo $\;\!t \in [\,0, T_{\!\;\!\ast}\!\;\!) $. $\,$De fato, se não fosse, existiria $\;\!T_{\mbox{}_{1}} \!\in (\:\!0, T_{\!\;\!\ast}\!\;\!) $ tal que se teria\
\
$ {\displaystyle
n \:\! \kappa \:\,\!
\mathbb{B}_{\!\;\!\mu}\!\;\!(0\:\!; \infty)
\:
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle
  \frac{1}{\,\!2 \;\!{\scriptstyle n} \;\!-\;\!1/{\scriptstyle \kappa}}}}
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2\:\!n\:\!\kappa}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle
  \frac{2 \;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa} \;\!-\;\!2}
       {\,\!2 \;\!{\scriptstyle n} \;\!-\;\!1/{\scriptstyle \kappa}}}}
\!\;\!<\:
1,
\quad \;\;\,
\forall \;\,
0 \;\!\leq\;\! t \;\!<\;\! T_{\mbox{}_{1}}\!\;\!
} $, (4.9)\
\
enquanto $ {\displaystyle
\,
n \:\! \kappa \:\,\!
\mathbb{B}_{\!\;\!\mu}\!\;\!(0\:\!; \infty)
\:
\|\, u(\cdot,T_{\mbox{}_{1}}) \,
\|_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle
  \frac{1}{\,\!2 \;\!{\scriptstyle n} \;\!-\;\!1/{\scriptstyle \kappa}}}}
\|\, u(\cdot,T_{\mbox{}_{1}}) \,
\|_{\scriptstyle L^{2\:\!n\:\!\kappa}(\mathbb{R}^{n})}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle
  \frac{2 \;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa} \;\!-\;\!2}
       {\,\!2 \;\!{\scriptstyle n} \;\!-\;\!1/{\scriptstyle \kappa}}}}
\!\;\!=\;\!
1
} $. Por (4.6), teríamos então (4.5) satisfeita para $ T = T_{\mbox{}_{1}} $, de modo que, por (4.4), $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{L^{2\;\!n\;\!\kappa}(\mathbb{R}^{n})}
\!\;\!
} $ seria decrescente no intervalo $ \;\![\,0, \;\!T_{\mbox{}_{1}}\:\!] $. Assim, teríamos\
\
$ {\displaystyle
1
\;\;\!=\;\;\!
n \:\! \kappa \:\,\!
\mathbb{B}_{\!\;\!\mu}\!\;\!(0\:\!; \infty)
\:
\|\, u(\cdot,T_{\mbox{}_{1}}) \,
\|_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle
  \frac{1}{\,\!2 \;\!{\scriptstyle n} \;\!-\;\!1/{\scriptstyle \kappa}}}}
\|\, u(\cdot,T_{\mbox{}_{1}}) \,
\|_{\scriptstyle L^{2\:\!n\:\!\kappa}(\mathbb{R}^{n})}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle
  \frac{2 \;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa} \;\!-\;\!2}
       {\,\!2 \;\!{\scriptstyle n} \;\!-\;\!1/{\scriptstyle \kappa}}}}
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
n \:\! \kappa \:\,\!
\mathbb{B}_{\!\;\!\mu}\!\;\!(0\:\!; \infty)
\:
\|\, u_0 \;\!
\|_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle
  \frac{1}{\,\!2 \;\!{\scriptstyle n} \;\!-\;\!1/{\scriptstyle \kappa}}}}
\|\, u_0 \;\!
\|_{\scriptstyle L^{2\:\!n\:\!\kappa}(\mathbb{R}^{n})}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle
  \frac{2 \;\!{\scriptstyle n \:\!\kappa} \;\!-\;\!2}
       {\,\!2 \;\!{\scriptstyle n} \;\!-\;\!1/{\scriptstyle \kappa}}}}
} $ $\,$por (2.4)$\,$\
\
$ {\displaystyle
\leq\;
n \:\! \kappa \:\,\!
\mathbb{B}_{\!\;\!\mu}\!\;\!(0\:\!; \infty)
\:
\|\, u_0 \;\!
\|_{\scriptstyle L^{1}(\mathbb{R}^{n})}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle
    \frac{1}{\scriptstyle n}}}
\:\!
\|\, u_0 \;\!
\|_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}
  ^{\mbox{}^{\scriptstyle
    {\scriptstyle \kappa} \;\!-\;\! \frac{1}{\scriptstyle n}}}
\;<\, 1
} $. $\,$por (4.7), (4.3)$\,$\
\
Esta contradição mostra que (4.8) tem ser válida para todo $ \;\!0 \leq t < T_{\!\;\!\ast} \!\;\!$, como afirmado.$\,$ Sendo (4.8) verdadeira para todo $ \;\!0 \leq t < T_{\!\;\!\ast} \!\;\!$, resulta então, por (4.6), que

\
$$\tag{4.10}
n \:\! \kappa \:\,\!
\mathbb{B}_{\!\;\!\mu}\!\;\!(0\:\!; \infty)
\:
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{n\:\!\kappa}(\mathbb{R}^{n})}}
  ^{\:\!\kappa}
\,<\; 1,
\qquad
\forall \;\,
t \in [\,0, \;\!T_{\!\;\!\ast}).$$\
Isso mostra, por (4.4), que $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2\:\!n\;\!\kappa}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\,\!
} $ é decrescente no intervalo de existência $\;\![\,0, \;\!T_{\!\;\!\ast}) $. Portanto, pelo Teorema 3.1 $\,$aplicado a $ \;\!p = 2\:\!n\:\!\kappa \,$, temos de ter $ {\displaystyle
\;\!
\|\, u(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\:\!
} $ limitada em todo o intervalo $\;\![\,0, \;\!T_{\!\;\!\ast}) $, de modo que, como no caso ([*ii*]{}), $ T_{\!\;\!\ast} $ não pode ser finito.

$\Box$\

\

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[^1]: É conhecido também que se tem $ {\displaystyle
    \;\!
    T_{\!\:\!\ast\ast} \!\;\! <\;\!
    K \;\! \nu^{-\,5} \,
    \|\, \mbox{\boldmath $u$}_0 \;\!
    \|_{{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!4}
    \!
    } $ para certa constante absoluta $ K > 0 $,\
    ver e.g.$\;$[@KreissHagstromLorenzZingano2003; @LorenzZingano2012; @Leray1934]. ($\:\!$No [Apêndice A]{} a seguir, melhoraremos o valor dado para $K\!\:\!$, mostrando que $ \:\!K \!\;\!< 0.000\,753\,026 \:\!$.) Condições adicionais sobre o estado inicial $ \mbox{\boldmath $u$}_0 \in L^{2}_{\sigma}(\mathbb{R}^{3}) $ — por exemplo, $ \mbox{\boldmath $u$}_0 \in H^{s}_{\sigma}(\mathbb{R}^{3}) $, $ s > 3/2 $ — garantem além disso $ {\displaystyle
    \mbox{\boldmath $u$} \in
    C^{\infty}(\mathbb{R}^{3} \!\times\!\;\!(\:\!0,\mbox{\small $T$}_{\!\:\!\ast}])
    } $ para certo $ {\displaystyle
    0 < \mbox{\small $T$}_{\!\:\!\ast} \leq
    \mbox{\small $T$}_{\!\:\!\ast\ast}
    } $ [@Yuan2008].

[^2]: Como em [@KreissHagstromLorenzZingano2003], esta prova faz uso tradicional de técnicas clássicas como estimativas de energia e transformadas de Fourier, mas é válida apenas em dimensão $ n = 2, 3$. Em contraste, a prova de (1.4) em [@Kato1984] pode ser estendida a $ n = 4 $, e o argumento (muito envolvente) desenvolvido em [@Wiegner1987] consegue estabelecer (1.4) para $ n \geq 2 $ qualquer.

[^3]: Para a definição de $ {\displaystyle
    \;\!
    \| \, D^{m} \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
    \|_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}
    \!\:\!
    } $ e outras normas aqui usadas, ver (1.19), (1.20) a seguir. De modo geral, o símbolo $ D^{m} $ refere-se coletivamente a todas as derivadas espaciais de ordem $m$, enquanto $ \:\!D^{\alpha} \!\:\!$ denota uma derivada particular, correspondente ao multi-índice $\:\!\alpha\:\!$ indicado.

[^4]: Mais seriamente, convém observar que, com as definições (1.19), (1.20), se uma desigualdade de tipo Nirenberg-Gagliardo $ {\displaystyle
    \|\,{\sf u}\,\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\!q}}}
    \!\leq\!\;\!K\;\!
    \|\,{\sf u}\,\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\!r_{\mbox{}_{\!\:\!1}}}}}^{1 - \theta}
    \|\;\!\nabla {\sf u}\,
    \|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\!r_{\mbox{}_{\!\:\!2}}}}}^{\:\!\theta}
    \!
    } $, $ 0 \leq \theta \leq 1 $, valer para funções [*escalares*]{} $ {\sf u} $ ($K \!> 0$ constante), então ela será automaticamente válida para funções [*vetoriais*]{} $ \mbox{\boldmath $u$} $ com a [*mesma*]{}\
    constante $K\!\;\!$ do caso escalar. Ademais, tem-se $ {\displaystyle
    \;\!
    \|\, D^m \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)\,
    \|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\!q}}}
    \!\:\!\leq\:\!
    \|\, D^m \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)\,
    \|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\!q_{\mbox{}_{\!\:\!1}}}}}^{1 - \theta}
    \|\, D^m \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)\,
    \|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\!q_{\mbox{}_{\!\:\!2}}}}}^{\:\!\theta}
    \!\!\;\!
    } $ se $ 1/q = (1 - \theta)/q_{\mbox{}_{1}} \!+ \theta/q_{\mbox{}_{2}} $, $ 0 \leq \theta \leq 1 $, e assim por diante.

[^5]: Além disso, supoõe-se $ \mbox{\boldmath $b$} $ suave (mais precisamente: $ \mbox{\boldmath $b$} $, $ \mbox{\boldmath $b$}_{\mbox{\scriptsize $x_{\mbox{}_{\!\;\!1}}$}} \!\,\!,
    \!\:\!..., \mbox{\boldmath $b$}_{\mbox{\scriptsize $x_{\mbox{}_{n}}$}} \!\!\!\,\!$ e $ \mbox{\boldmath $b$}_{\mbox{\scriptsize u}} $ são supostas contínuas). Sobre o termo de fluxo $ \mbox{\boldmath $f$} \!\;\!$, por não depender de $x$, só será preciso supor que $ \mbox{\boldmath $f$} \!\:\!$, $ \mbox{\boldmath $f$}_{\!\:\!\mbox{\scriptsize u}} $ sejam contínuas.

[^6]: A condição $ \;\! p > \:\! n \:\! \kappa \;\! $ imposta em (3.9) acima não é resultado de limitação do método de análise apresentado, mas uma condição [*natural*]{}, prevista por argumentos de escala aplicados a (2.1).
