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abstract: 'Dans ce papier, on résout d’abord le $\partial\bar\partial$ pour les courants prolongeables définis dans $\C^n$ privé d’une boule $B$ de $\C^n$, ensuite dans une variété analytique complexe $X$, on le résout pour un domaine $D=X\setminus\bar{\Omega}$, où $\Omega$ est un domaine borné de $X$ défini par $\{z\in X\,\ /\,\ \varphi(z)<0\}$, (avec $\varphi$ une fonction d’exhaustion strictement plurisousharmonique). [A]{}[BSTRACT.]{} In this present paper, we first solve the $\partial\bar\partial$ for extendable currents defined in $\C^n\setminus B$, where $B$ is a ball of $\C^n$, then in a analytic complex manifold $X$, and in a domain $D=X\setminus\bar{\Omega}$ where $\Omega$ is a bounded domain of $X$ defined by $\{z\in X\,\ /\,\ \varphi(z)<0\}$, ($\varphi$ is an exhaustion strictly plurisubharmonic function). 1.3mm *Classification mathématique 2010 :* 32F32.'
address: |
    Département de Mathématiques\
    UFR des Sciences et Thechnologies\
    Université Assane Seck de Ziguinchor, BP: 523 (Sénégal)
author:
- |
    Eramane Bodian & Ibrahima Hamidine\
    & Salomon Sambou
title: 'Résolution du $\partial\bar\partial$ pour les courants prolongeables définis dans un anneau'
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\[section\] \[section\] \[section\] \[section\] \[section\] \[section\] \[section\]

Introduction {#introduction .unnumbered}
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Soit $B\subset\C^n$ la boule unité, on se pose la question suivante : si $T$ est un courant prolongeable $d$-ferm[é]{} sur $\C^n\setminus \bar B$, existe-t-il un courant prolongeable sur $\C^n\setminus \bar B$ tel que $\partial \bar{\partial} u = T$? Tenant compte de consid[é]{}rations classiques, nous devons pour r[é]{}pondre [à]{} cette question, avoir [à]{} r[é]{}soudre l’[é]{}quation $$\label{Equa1}
d u =T,$$ o[ù]{} $T$ est un courant prolongeable, la solution obtenue se d[é]{}compose sans perte de généralités en une partie $\partial$-ferm[é]{}e et l’autre $\bar{\partial}$- ferm[é]{}e. $\C^n\setminus \bar B$ a les conditions géométriques nécessaires à la résolution du $\partial$ et $\bar \partial$ pour les courants prolongeables (voir [@Samb]). Partant de r[é]{}sultats connus de cohomologie de de Rham et de l’analogue convexe (voir [@SBD]), alors l’[é]{}quation admet une solution. La r[é]{}solution du $\partial \bar{\partial}$ devient alors une cons[é]{}quence des r[é]{}sultats de r[é]{}solution du $\bar{\partial}$ pour les courants prolongeables obtenus dans [@Samb]. Dans le cas d’une variété, on introduit la notion d’extension contractile et on résout le $\partial\bar{\partial}$ dans ce cadre.

Pr[é]{}liminaires et notations
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Soit $B$ la boule de $\C^n$.

$~~ $\
Un courant $T$ défini sur $\C^n\setminus \bar B$ est dit prolongeable s’il existe un courant $\check{T}$ défini sur $\C^n$ tel que $\check{T}_{|(\C^n\setminus \bar B)}=T$.

D’après Martineau [@Mart], puisque $\stackrel{\circ}{(\overline{\C^n\setminus \bar B})}=\C^n\setminus \bar B$, les courants prolongeables de degré $p$ sur $\C^n\setminus \bar B$ sont égaux au dual topologique des $(2n - p)$-formes diff[é]{}rentielles de classe $\CC^{\infty}$ sur $\C^n$ à support compact sur $\C^n\setminus B$. On note $\check{\mathcal{D}}'^p(\C^n\setminus \bar B)$ l’espace des $p$-courants définis sur $\C^n\setminus \bar B$ et prolongeables à $\C^n$, $\A_c^p
(\C^n\setminus \bar B)$ les $p$-formes diff[é]{}rentielles de classe $\CC^{\infty}$ sur $\C^n$ à support compact dans $\C^n\setminus \bar{B}$. Sur $\C^n$, on note $\check{\mathcal{D}}'^{p, q}
(\C^n\setminus \bar{B})$ l’espace des $(p, q)$-courants prolongeables d[é]{}finis sur $\C^n\setminus \bar{B}$ et $\A_c^{p, q} (\C^n\setminus \bar{B})$ l’espace des $(p, q)$-formes diff[é]{}rentielles [à]{} support compact dans $\C^n\setminus \bar{B}$. On note $\check{{\rm H}}^p(\C^n\setminus \bar{B})$ le $p^{{\rm ieme}}$ groupe de cohomologie de de Rham des courants prolongeables d[é]{}finis sur $\C^n\setminus \bar{B}$, $\check{{\rm H}}^{p, q} (\C^n\setminus \bar{B})$ le $(p,q)^{{\rm ieme}}$ groupe de cohomologie de Dolbeault des courants prolongeables d[é]{}finis sur $\C^n\setminus \bar{B}$. Si $F \subset \C^n$, alors ${\rm H}_{\infty}^p (F)$ d[é]{}signe le $p^{{\rm ieme}}$ groupe de cohomologie de de Rham des $p$-formes diff[é]{}rentielles de classe $\CC^{\infty}$ d[é]{}finis sur $\C^n$, ${\rm H}_{\infty, c}^p (\C^n)$ est le groupe de cohomologie de de Rham des $p$-formes diff[é]{}rentiables de classe $\CC^{\infty}$ sur $\C^n$ [à]{} support compact et enfin $\A^p (F)$ l’espace des $p$-formes diff[é]{}rentielles de classe $\CC^{\infty}$ sur $F$. On note aussi, pour tout domaine $D$ de $\C^n$, $\flat D$ le bord de $D$.

Résolution de l’équation $du=T$
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Tout le long de cette section, nous considérons $$S=\{z\in\C^n\, ; |z|=1\}$$ et $$B=\{ z\in \C^n\, ; |z|<1\},$$ la sphère et la boule unité respectivement dans $\C^n$. Considérons la suite courte suivante, pour $0\leq p\leq 2n$ $$0\to \A^p(\C^n)\to \A^p(\C^n\setminus \bar B)\oplus\A^p(\bar B)\to \A^p(S)\to 0.$$ Sur le plan de cohomologie de de Rham, on a la suite longue de cohomologie suivante : $$\label{suitelong1}
\begin{split}
& 0 \to {\rm H}^0(\C^n)\to {\rm H}^0(\C^n\setminus \bar B)\oplus {\rm H}^0(\bar B)\to{\rm H}^0(S)\to\\
&  {\rm H}^1(\C^n)\to {\rm H}^1(\C^n\setminus \bar B)\oplus {\rm H}^1(\bar B)\to{\rm H}^1(S)\to \ldots\to \\
& {\rm H}^{2n-1}(\C^n)\to {\rm H}^{2n-1}(\C^n\setminus \bar B)\oplus {\rm H}^{2n-1}(\bar B)\to {\rm H}^{2n-1}(S)\\
&\to {\rm H}^{2n}(\C^n)\to {\rm H}^{2n}(\C^n\setminus \bar B)\oplus {\rm H}^{2n}(\bar B)\to 0
\end{split}$$ On sait que $${\rm H}^p(\C^n\setminus \bar B)={\rm H}^p(\C^n\setminus B).$$

\[remark1\] $$\left\{
  \begin{array}{ll}
    {\rm H}^p(S)=0, & \hbox{ si }\, 1< p < 2n-1\\
    {\rm H}^0(S)={\rm H}^{2n-1}(S)=\R, \\
    {\rm H}^p(\R^{2n})=0, & \hbox{ si }\, p\geq 1\\
    {\rm H}^0(\R^{2n})=\R,  \\
   {\rm H}^p(B)=0, & \hbox{ si }\, p\geq 1\\
    {\rm H}^0(B)=\R.
  \end{array}
\right.$$

\[thm1\]$~~ $\
$$\check{{\rm H}}^j(\C^n\setminus\bar B)=0 \mbox{ pour } 2\leq j\leq 2n-2.$$

Pour démontrer le théorème \[thm1\], on a besoin du lemme suivant :

\[lem1\]$~~ $\
$\A_c^p(\C^n\setminus B)\cap \ker d=d(\A_c^{p-1}(\C^n\setminus B)\big)$ pour $2\leq p\leq 2n-1$.

$~~ $\
On utilse les résultats suivants: $${\rm H}_c^p(\C^n)=0, \mbox{ si } p \leq 2n-1$$ $${\rm H}_c^{2n}(\C^n)=\R, \mbox{ pour } p=2n.$$ Si $f\in\A_c^p(\C^n\setminus B)\cap \ker d$, alors $f\in\A_c^p(\C^n)\cap \ker d$ si $1\leq p\leq 2n-1$. ${\rm H}_c^{p}(\C^n)=0$, alors il existe $u\in \A_c^{p-1}(\C^n)$ telle que $du=f$. Si $p=1$, $u$ est une $0$-forme différentielle à support compact. Alors $du_{|_B}=0$. Ainsi $u=cst$ sur $B$. Par suite $du_{|_{\C^n\setminus\bar{B}}}\not\in \A_c^p(\C^n\setminus B)$ sauf pour $u$ identiquement nulle. Si $p\geq 2$, $du_{|_B}=0$. Puisque $${\rm H}^{p-1}(B)={\rm H}^{p-1}(\bar{B})=0, \mbox{ pour } 1\leq p-1;$$ i.e; $p\geq 2$, il existe $v\in \A^{p-2}(\bar{B})$ tel que $dv=u$ sur $B$. Posons $\tilde{v}$ une extension à support compact dans $\C^n$ de $v$, on a $$\tilde{u}=u-d\tilde{v}$$ qui est un élément de $\A_c^{p-1}(\C^n\setminus  B)$ tel que $d\tilde{u}=f$.

$~~ $\
*Étape 1:* Soit $T\in \check{\mathcal{D}'}^p(\C^n\setminus \bar{B})\cap\ker d$, $2\leq p\leq 2n-2.$ L’espace $d\A_c^{2n-p}(\C^n\setminus \bar{B})$ est fermé dans $\A_c^{2n-p+1}(\C^n\setminus B)$ pour $2\leq 2n-p+1\leq 2n-1$, (voir par exemple [@Samb], remarque 2). Pour $K$ un compact de $\C^n\setminus B$, notons $\A_{c,K}^{2n-p+1}(\C^n\setminus B)$ le sous-espace des formes différentielles appartenant à $\A_c^{2n-p+1}(\C^n\setminus  B)]$ et qui ont leur support dans $K$. L’espace $\A_{c,K}^{2n-p+1}(\C^n\setminus B)\cap d\A_c^{2n-p}(\C^n\setminus  B)$ est fermé dans $\A_{c,K}^{2n-p+1}(\C^n\setminus B)$ qui est un espace de Fréchet, par conséquent, c’est un espace de Fréchet. $$\A_{c,K}^{2n-p+1}(\C^n\setminus B)\cap d\A_c^{2n-p}(\C^n\setminus  B)=\bigcup_{\nu\in\N}\big(\A_{c,K}^{2n-p+1}(\C^n\setminus B)\cap d\A_{K_\nu}^{2n-p}(\C^n\setminus B)\big);$$ avec $K_\nu=\{z\in\C^n \; |z|\leq R_\nu,\,\ R_\nu\in\R_+^*\}\setminus B $ et $R_\nu > 1$ une suite exhaustive de compacts dans $\C^n\setminus B$. Il existe $\nu_0$ tel que $\A_c^{2n-p+1}(\C^n\setminus B)\cap d\A_{K_{\nu_0}}^{2n-p}(\C^n\setminus B)$ soit de deuxième catégorie de Baire. L’opérateur $d$ est alors un opérateur fermé de domaine de définition $$\{ \varphi\in\A_{K_{\nu_0}}^{2n-p}(\C^n\setminus B)| d\varphi\in \A_c^{2n-p+1}(\C^n\setminus B)\}$$ entre les espaces de Fréchet $\A_{K_{\nu_0}}^{2n-p}(\C^n\setminus B)$ et $\A_c^{2n-p+1}(\C^n\setminus B)\cap d\A_c^{2n-p} (\C^n\setminus B)$ dont l’image est de seconde catégorie de Baire. Le théorème de l’application ouverte implique que cet opérateur est surjectif et ouvert (voir par exemple [@Samb], Lemme 3.1). Donc $$d\A_{c,K_{\nu_0}}^{2n-p}(\C^n\setminus B)\cap \A_{c,K}^{2n-p+1}(\C^n\setminus B)=\A_{c,K}^{2n-p+1}(\C^n\setminus B)\cap d\A_{c}^{2n-p}(\C^n\setminus B).$$ Posons $\tilde{K}=K_{\nu_0}$. L’application $$\begin{split}
{\rm L}_T^K~: \A_{c,K}^{2n-p+1}(\C^n\setminus B)\cap d\A_{c,\tilde{K}}^{2n-p}(\C^n\setminus B)&\to \C \\
d\varphi & \mapsto \langle{\rm T},\varphi\rangle
\end{split}$$ est bien définie. En effet, si $d\varphi=d\varphi'$, on a $d(\varphi-\varphi')=0$, $\varphi-\varphi'$ est une $(2n-p)$-forme différentielle, $d$-fermée à support dans $\tilde{K}$, en particulier dans $\C^n\setminus \bar B$. Par conséquent, il existe $\theta\in\A_{c}^{2n-p-1}(\C^n\setminus B)$ tel que $\varphi-\varphi'=d\theta$. Par densité de $\A_{c}^{2n-p-1}(\C^n\setminus\bar B)$ dans $\A_{c}^{2n-p-1}(\C^n\setminus B)$, il existe une suite $(\theta_j)_{j\in\N}$ d’éléments de $\A_{c}^{2n-p-1}(\C^n\setminus \bar B)$ qui converge uniforment vers $\theta$ dans $\A_{c}^{2n-p-1}(\C^n\setminus B)$ et par conséquent $$\langle T,\varphi\rangle=\langle T,\varphi'\rangle+\langle T,d\theta\rangle=\langle T,\varphi'\rangle$$ car $T$ étant $d$-fermé, $$\langle T,d\theta\rangle=\lim_{j\to+\infty}\langle T,d\theta_j\rangle=0.$$ Donc $${\rm L}_T^K(d\varphi)={\rm L}_T^K(d\varphi').$$ L’application ${\rm L}_T^K$ est linéaire et aussi continue comme composée de deux applications continues (et de la dualité entre $\check{\mathcal{D}}_D^p(\C^n)$ et $\A_c^{2n-p}(\C^n\setminus B)$) : $$T~: \A_{c,\tilde{K}}^{2n-p}(\C^n\setminus B)\to \C$$ et $$\delta~: \A_{c,K}^{2n-p+1}(\C^n\setminus B)\cap d\big[\A_{c,\tilde{K}}^{2n-p}(\C^n\setminus B)\big]\to \A_{c,\tilde{K}}^{2n-p}(\C^n\setminus B)$$ qui vérifie $d\circ \delta={\rm Id}$ et qui est obtenue par application du théorème de l’application ouverte appliqué à $$\begin{split}
d~: \{ \varphi\in \A_{c,\tilde{K}}^{2n-p}(\C^n\setminus B)/\,\ d\varphi\in \A_{c,K}^{2n-p+1}(\C^n\setminus B)\}\subset \A_{c,\tilde{K}}^{2n-p}(\C^n\setminus B)\\
 \qquad \qquad \to \A_{c,K}^{2n-p+1}(\C^n\setminus B)\cap d\big[\A_{c,\tilde{K}}^{2n-p}(\C^n\setminus B)\big].
\end{split}$$ D’après le théorème de Hahn-Banach, on peut [é]{}tendre ${\rm L}_T^K$ en un op[é]{}rateur lin[é]{}aire et continu : $$\tilde{\rm L}_T^K~: \A_c^{2n-p+1} (\C^n\setminus B) \to\C$$ qui est linéaire et continu. Donc $\tilde{{\rm L}}_T^K$ est un courant prolongeable défini dans $\C^n\setminus \bar B$ et $d \tilde{\rm L}_T^K = (- 1)^{2n-p} T$ sur $\stackrel{\circ}{K}$ car ${\rm supp}\varphi\subset K$, $$d\varphi \in\A_{c,K}^{2n-p+1}(\C^n\setminus B)$$ et $$\langle\tilde{{\rm L}}_T^K,d\varphi\rangle=(-1)^{2n-p}\langle T,\varphi\rangle.$$ On pose $S^{(K)}=(-1)^{2n-p}\tilde{{\rm L}}_T^K.$ D’o[ù]{} $S^{(K)} = (- 1)^{2n-p} \tilde{{\rm L}}_T^K $ est un courant prolongeable solution de $d u = T$ sur $K$. *Étape 2:* Soit maintenant $K_1$, $K_2$ et $K_3$ trois compacts d’intérieur non vide de $\C^n\setminus B$ tels que $\stackrel{\circ}{K_1}\subset\subset\stackrel{\circ}{K_2}\subset\subset\stackrel{\circ}{K_3}$ et $\stackrel{\circ}{K_i}\cup \bar B=\{z\in\C^n\,\; \mid z \mid<\eta_i\}$, $i=1,2,3$. Soit $T$ un courant prolongeable sur $\C^n\setminus\bar{B}$ tel qu’il existe $S_2$ et $S_3$ deux $p-1$ courants définis sur $\stackrel{\circ}{K_2}$ et $\stackrel{\circ}{K_3}$ et prolongeables à $\C^n$ tels que, pour tout indice $i=2,3$, $d S_i=T$ sur $\stackrel{\circ}{K_i}$ et soit $\epsilon > 0$, alors il existe un courant prolongeable $\tilde{S_3}$ défini sur $\stackrel{\circ}{K_3}$ tel que : $d\tilde{S_3}=T$ sur $\stackrel{\circ}{K_3}$ et $\tilde{S_3}_{|\stackrel{\circ}{K_1}}=(S_2)_{|\stackrel{\circ}{K_1}}$ si $2\leq p\leq 2n-1.$ En effet, comme $dS_2=T$ sur $\stackrel{\circ}{K_2}$ et $dS_3=T$ sur $\stackrel{\circ}{K_3}$, $d(S_2-S_3)=0$ sur $\stackrel{\circ}{K_2}$. Puisque sur $\stackrel{\circ}{K_2}$, on peut résoudre le $d$ pour les formes différentielles à support compact dans $\stackrel{\circ}{K_2}\cup\flat B$ de degré $p$ avec $2\leq 2n-p+1\leq  2n-1$ et $d\big[\A_c^{2n-p-1}(\stackrel{\circ}{K_2}\cup\flat B)\big]$ est fermé dans $\A_c^{2n-p-1}(\stackrel{\circ}{K_2}\cup\flat B)$, on a d’après l’étape 1 et pour $K$ un compact tel que $\stackrel{\circ}{K_1}\subset\subset K\subset\subset \stackrel{\circ}{K_2}$ un courant $S^{(K)}$ sur $\stackrel{\circ}{K}$ prolongeable à $\stackrel{\circ}{K_2}\cup\bar B$ tel que $S_2-S_3=dS^{(K)}$ sur $\stackrel{\circ}{K}$. Soient $\chi$ une fonction dans $\CC^\infty(\C^n)$ à support compact dans $\stackrel{\circ}{K}\cup \bar{B}$ qui vaut $\bf 1$ dans $K_1$ et $\tilde{S}^{(K)}$ une extension de $S^{(K)}$ à $\C^n$ $$S_3+d(\chi\tilde{S}^{(K)})=S_2-d\big((1-\chi)\tilde{S}^{(K)}\big) \mbox{ sur } \stackrel{\circ}{K_1}.$$ On pose $$\tilde{S}_3=S_3+d(\chi\tilde{S}^{(K)}).$$ *Étape 3:* Considérons une suite exhaustive $(K_j)_{j\in\N}$ de compacts de $\C^n\setminus B$. Supposons que $\stackrel{\circ}{K_j}\cup\bar B=\{z\in\C^n\,\: \mid z \mid<\eta_j\}$ où $(\eta_j)_{j\in\N}$ sont des réels tels que $\eta_j <\eta_{j+1}$. Pour $2\leq p\leq 2n-1$, on associe à $(K_j)_{j\in \N}$ grâce aux étapes 1 et 2 une suite de courants $(S_j)_{j\in\N}$ définis dans $K_j$ et prolongeables à $\C^n$ telle que $d S_j=T$ sur $\stackrel{\circ}{K_j}$ et si $j$, $j+1$, $j+2$ sont trois indices consécutifs, $S_{j+2}=S_{j+1}$ sur $\stackrel{\circ}{K_j}$. La suite $(S_j)_{j\in N}$ converge vers un courant $S$ défini sur $\C^n\setminus \bar{B}$ et prolongeable. De plus, $S$ est solution de l’équation $du=T$ dans $\C^n\setminus\bar{B}$.

Résolution du $\partial\bar\partial$ pour les courants prolongeables
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Tenant compte du th[é]{}or[è]{}me \[thm1\] et des r[é]{}sultats de r[é]{}solution du $\bar{\partial}$ pour les courants prolongeables obtenus par S. Sambou dans [@Samb], on a le th[é]{}or[è]{}me suivant :

\[thm3\]$~~ $\
Soit $T$ un $(p,q)$-courant prolongeable d[é]{}fini sur $\C^n\setminus \bar{B}$. Supposons que $d T = 0$; $1\leqslant p \leqslant n$ et $1 \leqslant q \leqslant n$, alors il existe un $(p-1,q-1)$-courant $S$ d[é]{}fini sur $\C^n\setminus \bar{B}$, prolongeable tel que $\partial \bar{\partial} S = T$, pour $2 \leqslant p + q \leqslant 2n-1$.

Soit $T$ un $(p, q)$-courant, $1 \leqslant p \leqslant n$ et $1 \leqslant
  q \leqslant n$, $d$-ferm[é]{} d[é]{}fini sur $\C^n\setminus \bar{B}$ et prolongeable avec $2 \leqslant p + q \leqslant 2n-1$. Puisque le th[é]{}or[è]{}me \[thm1\] nous assure que $\check{{\rm H}}^{p + q} (\C^n\setminus \bar{B})=0$, il existe un courant prolongeable $\mu$ d[é]{}fini sur $\C^n\setminus \bar{B}$ tel que $d \mu = T$. $\mu$ est un $(p + q - 1)$-courant, il se d[é]{}compose en un $(p - 1,
  q)$-courant $\mu_1$ et en un $(p, q - 1)$-courant $\mu_2$. On a $$d \mu = d (\mu_1 +
  \mu_2) = d \mu_1 + d \mu_2 = T.$$ Comme $d=\partial+\bar\partial$, on a, pour des raisons de bidegré, $\partial\mu_2=0$ et $\bar\partial\mu_1=0$. On obtient $\mu_1=\bar\partial u_1$ et $\mu_2=\partial u_2$ avec $u_1$ et $u_2$ des courants prolongeables définis sur $\C^n\setminus \bar{B}$, (voir [@Samb], section 3). On a : $$\begin{aligned}
T &= &\partial \mu_1  + \bar{\partial} \mu_2\\
&=&\partial \bar{\partial} u_1 + \bar{\partial}
  \partial u_2\\
  &=&\partial \bar{\partial} (u_1 - u_2)\end{aligned}$$ Posons $S = u_1 - u_2$ , $S$ est un $(p - 1, q - 1)$-courant prolongeable d[é]{}fini sur $\C^n\setminus \bar{B}$ tel que $\partial \bar{\partial} S = T$.

Résolution du $\partial\bar\partial$ sur une variété analytique complexe
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On va maintenant considérer $X$ comme une variété différentiable de dimension $n$.

Soit $X$ une variété différentiable de dimension $n$ et $\omega\subset X$ un domaine contractile. On dit que $X$ est une extension contractile de $\Omega$, s’il existe une suite $\left(\Omega_{n} \right)_{n} $ exhaustive de domaines contractiles telle que $$\forall n, \Omega\subset\subset \Omega_{n}\subset\subset X.$$

Quand $X=\mathbb{C}^{n}$, alors $\mathbb{C}^{n}$ est une extension contractile de la boule unité $B$.\
\
On a pour les extensions contractiles, le théorème suivant:

\[thm4\]$~~ $\
Soit $X$ une variété analytique complexe de dimension $n$ et soit $D\subset\subset X$ un domaine contractile fortement pseudoconvexe. Supposons que $X$ est une extension $(n-1)$-convexe avec $ H^{j}(\flat D)=0 \quad 2\leqslant j\leqslant 2n-2$ de $D$ et une extension contractile de $D$. Posons $\Omega=X\setminus\bar{D}$. Si $\stackrel{\circ}{\bar{\Omega}}=\Omega$, alors pour tout $(p,q)$ courant $T$ défini sur $\Omega$, $d$-fermé et prolongeable, il existe un $(p-1,q-1)$ courant $S$ défini sur $\Omega$ et prolongeable tel que $\partial\bar{\partial}S=T$ pour $1\leqslant p\leqslant n-1$ et $1\leqslant q\leqslant n-1$.

Pour démontrer le théorème \[thm4\], nous avons besoin du lemme suivant :

$$\A_c^r(\bar\Omega)\cap\ker d=d\big(\A_c^{r-1}(\bar\Omega)\big) \mbox{ pour } 1\leq r \leq 2n-1.$$

$~~ $\
On a $X=\cup D_{\nu} \quad , D\subset\subset D_{\nu}\subset\subset X$ et $D_{\nu}$ est contractile.\
Si $f\in\A_c^r(\bar{\Omega)}\cap\ker d \quad \exists \nu_{0}\in \mathbb{N}$ tel que $f\in \A_c^r(D_{\nu_{0}})\cap \ker d$. Or $ H^{j}(D_{\nu_{0}})=0 ,\quad \textrm{pour} j\geq 1 $. Par dualité de Poincaré $H^{j}_{c}(D_{\nu_{0}})=0 \quad \textrm{pour} j<2n$. Il existe $g\in \A_c^{r-1}(D_{\nu_{0}})$, donc $g\in \A_c^{r-1}(X)$ telle que $dg=f$.\
$dg_{\mid D}=0$, si $r=1$ alors $g$ est une constante sur $D$. Si $r>1$, il existe $u$ une $(r-2)$ forme différentielle sur $\bar{D}$ telle que $ g_{\mid D}=du $. Soit $\tilde{u}$ une extension de $u$ à support compact dans $X$, $h=g-d\tilde{u}$ convient.

Nous pouvons établir donc la preuve du théorème \[thm4\]

$~~ $\
Soit une suite exhaustive de compacts $K_{\nu}$ de $\Omega$. $$K_{\nu}=\bar{D_{\nu}}\setminus \bar{D}$$ et quelque soit $\nu$, $K_\nu$ est un compact d’intérieur non vide. Pour $K$ un compact de $\Omega$, l’opérateur ${\rm L}_T^K$ est bien défini, linéaire et continu, cf. étape 1 de la démonstrations du théorème \[thm1\]. *Étape 1:*\
D’après le théorème de Hahn-Banach, on peut [é]{}tendre ${\rm L}_T^K$ en un op[é]{}rateur lin[é]{}aire et continu : $$\tilde{\rm L}_T^K~: \A_c^{2n-p+1} (\Omega) \to\C$$ qui est linéaire et continu. Donc $\tilde{{\rm L}}_T^K$ est un courant prolongeable défini dans $ \bar\Omega$ et $ d\tilde{\rm L}_T^K = (- 1)^{2n-p} T$ sur $\stackrel{\circ}{K}$ car ${\rm supp}\varphi\subset K$, $$d\varphi \in\A_{c,K}^{2n-p+1}(\Omega)$$ et $$\langle\tilde{{\rm L}}_T^K,d\varphi\rangle=(-1)^{2n-p}\langle T,\varphi\rangle.$$ On pose $S^{(K)}=(-1)^{2n-p}\tilde{{\rm L}}_T^K.$ D’o[ù]{} $S^{(K)} = (- 1)^{2n-p} \tilde{{\rm L}}_T^K $ est un courant prolongeable solution de $d u = T$ sur $K$. *Étape 2:*\
Soit maintenant $K_1$, $K_2$ et $K_3$ trois compacts d’intérieur non vide de $\Omega$ tels que $\stackrel{\circ}{K_1}\subset\subset\stackrel{\circ}{K_2}\subset\subset\stackrel{\circ}{K_3}$ et $\stackrel{\circ}{K_i}\cup \bar D=\{z\in X\,\ ; |z|<\eta_i\}$, $i=1,2,3$. Soit $T$ un courant prolongeable sur $\bar{\Omega}$ tel qu’il existe $S_2$ et $S_3$ deux $(p-1)$ courants définis sur $\stackrel{\circ}{K_2}$ et $\stackrel{\circ}{K_3}$ et prolongeables à $X$ tels que, pour tout indice $i=2,3$, $d S_i=T$ sur $\stackrel{\circ}{K_i}$, alors il existe un courant prolongeable $\tilde{S_3}$ défini sur $\stackrel{\circ}{K_3}$ tel que : $d\tilde{S_3}=T$ sur $\stackrel{\circ}{K_3}$ et $\tilde{S_3}_{|\stackrel{\circ}{K_1}}=(S_2)_{|\stackrel{\circ}{K_1}}$ si $2\leq p.$ En effet, comme $d S_2=T$ sur $\stackrel{\circ}{K_2}$ et $d S_3=T$ sur $\stackrel{\circ}{K_3}$, $d(S_2-S_3)=0$ sur $\stackrel{\circ}{K_2}$. Puisque sur $\stackrel{\circ}{K_2}$, on peut résoudre le $d$ pour les formes différentielles à support compact dans $\stackrel{\circ}{K_2}\cup\,\ \flat D$ de degré $p$ avec $2\leq 2n-p+1\leq 2n-1$ et $d\big[\A_c^{2n-p-1}(\stackrel{\circ}{K_2}\cup\,\ \flat D)\big]$ est fermé dans $\A_c^{2n-p-1}(\stackrel{\circ}{K_2}\cup\,\ \flat D)$, on a d’après l’étape 1 et pour $K$ un compact tel que $\stackrel{\circ}{K_1}\subset\subset K\subset\subset \stackrel{\circ}{K_2}$ un courant $S^{(K)}$ sur $\stackrel{\circ}{K}$ prolongeable à $\stackrel{\circ}{K_2}\cup\bar D$ tel que $S_2-S_3=d S^{(K)}$ sur $\stackrel{\circ}{K}$. Soient $\chi$ une fonction de classe $\CC^\infty$ à support compact dans $\stackrel{\circ}{K}\cup \bar{D}$ qui vaut $1$ dans $K_1$ et $\tilde{S}^{(K)}$ une extension de $S^{(K)}$ à $X$ $$S_3+d(\chi\tilde{S}^{(K)}=S_2-d\big((1-\chi)\tilde{S}^{(K)}\big) \mbox{ sur } \stackrel{\circ}{K_1}.$$ On pose $$\tilde{S}_3=S_3+d(\chi\tilde{S}^{(K)}).$$ *Étape 3:*\
Considérons une suite exhaustive $(K_j)_{j\in\N}$ de compacts de $\Omega$. Supposons que $\stackrel{\circ}{K_j}\cup\bar D=\{z\in X\,\: \mid z \mid<\eta_j\}$ où $(\eta_j)_{j\in\N}$ sont des réels tels que $\eta_j <\eta_{j+1}$. Pour $2\leq  p$, on associe à $(K_j)_{j\in \N}$ grâce aux étapes 1 et 2 une suite de courants $(S_j)_{j\in\N}$ définis dans $K_j$ et prolongeables à $X$ telle que $d S_j=T$ sur $\stackrel{\circ}{K_j}$ et si $j$, $j+1$, $j+2$ sont trois indices consécutifs, $S_{j+2}=S_{j+1}$ sur $\stackrel{\circ}{K_j}$. La suite $(S_j)_{j\in N}$ converge vers un courant $S$ défini sur $\Omega $ et prolongeable à $X$. De plus, $S$ est solution de l’équation $d u=T$ dans $\Omega$. *Étape 4 :*\
Soit $T$ un $(p, q)$-courant, $1 \leqslant p \leqslant n$ et $1 \leqslant
  q \leqslant n$, $d$-ferm[é]{} d[é]{}fini sur $\Omega$ et prolongeable avec $2 \leqslant p + q \leqslant 2n-2$. Puisque le th[é]{}or[è]{}me \[thm1\] nous assure que $\check{{\rm H}}^{p + q} (\Omega)=0$, il existe un courant prolongeable $\mu$ d[é]{}fini sur $\Omega$ tel que $d \mu = T$. $\mu$ est un $(p + q - 1)$-courant, il se d[é]{}compose en un $(p - 1,
  q)$-courant $\mu_1$ et en un $(p, q - 1)$-courant $\mu_2$. On a $$d \mu = d (\mu_1 +
  \mu_2) = d \mu_1 + d \mu_2 = T.$$ Comme $d=\partial+\bar\partial$, on a, pour des raisons de bidegré, $\partial\mu_2=0$ et $\bar\partial\mu_1=0$. On obtient $\mu_1=\bar\partial u_1$ et $\mu_2=\partial u_2$ avec $u_1$ et $u_2$ des courants prolongeables définis sur $\Omega$, (voir [@Samb], section 3). On a : $$\begin{aligned}
T &= &\partial \mu_1  + \bar{\partial} \mu_2\\
&=&\partial \bar{\partial} u_1 + \bar{\partial}
  \partial u_2\\
  &=&\partial \bar{\partial} (u_1 - u_2)\end{aligned}$$ Posons $S = u_1 - u_2$ , $S$ est un $(p - 1, q - 1)$-courant prolongeable d[é]{}fini sur $\Omega$ tel que $\partial \bar{\partial} S = T$.

[33333]{} C. Godbillon. Topologie algébrique, Hermann Paris, 1971. A. Martineau. Distribution et valeurs au bord des fonctions holomorphes. Strasbourg RCP 25 (1966). S. Sambou, E. Bodian, D. Diallo. Résolution du $\partial\bar\partial$ pour les courants prolongeables définis sur la boule euclidienne de $\C^n$. A paraître dans Mathmatical report of royal academy society of Canada.

S. Sambou. Résolution du $\bar\partial$ pour les courants prolongeables définis dans un anneau. Annales de la faculté des sciences de Toulouse $6^e$ série, tome 11, 1 (2002), p. 105-129.

S. Sambou. Résolution du $\bar\partial$ pour les courants prolongeables. Math. Nachrichten [**235**]{} (2002), pg. 179-190.
