---
author:
- 'Ю. В. Дымченко'
title: Равенство емкости и модуля конденсатора в субфинслеровом пространстве
---

Равенство емкости и модуля конденсатора имеет важное значение в геометрической теории функций. Оно позволяет связать теоретико-функциональные и геометрические свойства множеств. Для конформных емкостей и модулей на плоскости равенство было доказано Л. Альфорсом и А. Бёрлингом в работе [@ahlfors]. Затем этот результат был улучшен в работах Б. Фюгледе [@fuglede] и В. Цимера [@ziemer]. Дж. Хессе [@hesse] распространил этот результат на p-емкость и p-модуль для случая, когда пластины конденсатора не пересекаются с границей области. В случае евклидовой метрики равенство емкости и модуля в самых общих предположениях было доказано В. А. Шлыком [@shlyk2], затем это доказательство было немного упрощено в работе М. Оцука [@ohtsuka]. В случае римановой метрики равенство было доказано в [@capmod].

Финслеровы пространства были введены как обобщение римановых многообразий на случай, когда метрика зависит не только от координат, но и от направления. Равенство емкости и модуля конденсатора в финслеровых пространствах в самых общих предположениях было установлено в работе [@dymch2009].

Пространства Карно-Каратеодори и субфинслеровы пространства отличаются от римановых и финслеровых пространств соответственно ограничением класса допустимых путей. C основными вопросами анализа на группах Карно можно ознакомиться, например, в книге [@folland]. Емкости, модули конденсаторов, а также свойства различных функциональных классов на группах Карно в последнее время изучались группой С. К. Водопьянова (например, [@vod89; @vod98; @vod96]). В частности, равенство емкости и модуля конденсатора было установлено И. Г. Маркиной в работе [@markina2003].

Субфинслеровы пространства изучались, например, в работах [@clelland2006628; @ber13; @donne; @ber14; @buk14].

Приведем основные определения и обозначения. Доказательство многих нижеприведенных рассуждений можно найти в [@folland].

Стратифицированной однородной группой (или группой Карно) называется связная односвязная нильпотентная группа Ли , алгебра Ли которой разлагается в прямую сумму векторных пространств $V_1\oplus V_2\oplus\dots\oplus V_m$ таких, что $[V_1,V_k]=V_{k+1}$ для $k=1,2,\dots,m-1$ и $[V_1,V_m]=\{0\}$. Здесь $[X,Y]=XY-YX$ — коммутатор элементов $X$ и $Y$, а $[V_1,V_j]$ — линейная оболочка элементов $[X,Y]$, где $X\in V_1$, $Y\in V_j$, $j=1,2,\dots,m$.

Пусть левоинвариантные векторные поля $X_{11}$, $X_{12}$,…, $X_{1n_1}$ образуют базис $V_1$. Определим подрасслоение $HT$ касательного расслоения $T\G$ со слоями $HT_x$, $x\in \G$, которые представляют собой линейную оболочку векторных полей $X_{11}(x)$, $X_{12}$, …, $X_{1n_1}(x)$. Назовем $HT$ горизонтальным касательным расслоением, а его слои $HT_x$ — горизонтальными касательными пространствами в точке $x\in\G$.

Расширим базис $X_{11}$, …, $X_{1n_1}$ до базиса $X_{ij}$, $j=1,2,\dots n_i$, $i=1,2,\dots,m$, всей алгебры Ли , где каждый $X_{ij}$ представляет собой коммутатор $j$-го порядка некоторых векторов $X_{1j}$, $j=1,2,\dots,n_1$. Таким образом, $n_i$ является размерностью пространства $V_i$, $i=1,2,\dots,m$.

Любой элемент $x\in \G$ можно единственным образом представить в виде $x=\exp\left(\sum\limits_{i,j}x_{ij}X_{ij}\right)$. Набор чисел $\{x_{ij}\}$ назовем координатами элемента $x$. Получим взаимно однозначное отображение между группой и пространством $R^N$, где $N=n_1+n_2+\cdots+n_m$ — топологическая размерность группы .

Мера Лебега в $R^N$ индуцирует биинвариантную меру Хаара в , которую мы обозначим через $dx$.

Обозначим $x_i=(x_{i1},x_{i2},\dots,x_{in_i})$, $i=1,2,\dots,m$. Определим растяжения $\delta_\lambda x$, $\lambda>0$, по формуле $\delta_\lambda x=(\lambda x_1,\lambda^2x_2,\dots,\lambda^m x_m)$. также имеем $d(\delta_\lambda x)=\lambda^Q dx$, где $Q=\sum\limits_iin_i$ — однородная размерность группы .

Пусть $F(x,\xi)$ — неотрицательная функция, определенная при $x\in\G$, $\xi\in HT_x$, которая гладко зависит от $x$ и $\xi$ и представляет собой финслерову метрику на каждом слое $HT_x$, то есть:

1\) Для любого $a>0$ выполнено $F(x,a\xi)=aF(x,\xi)$ и $F(x,\xi)>0$ при $\xi\ne0$, $x\in\G$;

2\) Для любых $x\in\G$, $\xi,\eta\in   HT_x$ функция $\nabla^2_HF^2(x,\eta)(\xi,\xi)$ положительно определена, где $$(\nabla^2_H)_{ij}=\frac12(X_{1i}X_{1j}+X_{1j}X_{1i}),\quad i,j=1,2,\dots,n_1.$$

Определим на кокасательном расслоении $HT^*$ функцию $H(x,\omega)$, где $x\in\G$, $\omega\in HT^*_x$ как супремум величин $\omega(\xi)$ по всем $\xi\in HT_x$, удовлетворяющим условию $F(x,\xi)\le1$. В дальнейшем будем отождествлять $\omega$ с вектором, имеющем координаты дифференциальной формы $\omega$ в базисе $\omega_i$, двойственным к базису $X_{1i}$, то есть $\omega_i(X_{1j})=\delta_{ij}$ для $i,j=1,2,\dots,n_1$.

Кривую $\gamma:(a,b)\to\G$ назовем горизонтальной, если для почти всех $t\in (a,b)$ $\dot \gamma(t)\in HT_{\gamma(t)}$. Длину такой кривой определим как интеграл $l(\gamma)=\int\limits_a^bF(\gamma(t),\dot\gamma(t))dt$. Если длина конечна, то кривую назовем спрямляемой.

На группе определим однородную норму $|\cdot|$, удовлетворяющую условиям: для любого $x\in\G$ $|x|\ge0$ и $|x|=0$ только при $x=0$; $|x^{-1}|=|x|$, $|\delta_\lambda x|=\lambda |x|$. Определим шар с центром в точке $x\in\G$ радиуса $r>0$ следующим образом: $B(x,r)=\{y\in \G: |x^{-1}y|<r\}$. Заметим, что он является левым сдвигом шара $B(0,r)$, который в свою очередь является образом единичного шара $B(0,1)$ при растяжении $\delta_r$. Известно [@folland], что существует константа $C$ такая, что для любых $x,y\in\G$

$$\label{ner}
\left||xy|-|x|\right|\le C|y|\text{ при } |y|\le \frac{|x|}2.$$

Меру $dx$ нормируем так, чтобы $|B(0,1)|=\int\limits_{B(0,1)}dx=1$. очевидно, что $|B(0,r)|=r^Q$. Посредством непрерывной положительной в функции $g(x)$ определим элемент объема $d\sigma=g(x)dx$.

Расстояние $d_c(x,y)$ между двумя точками $x,y\in\G$ определим как инфимум длин кривых, соединяющих $x$ и $y$.

Пусть $D$ — область в $\G$ и $E_0,E_1\subset \bar D$ — замкнутые непересекающиеся множества. Тройку множеств $(E_0,E_1,D)$ назовем конденсатором.

Будем говорить, что кривая $\gamma:(a,b)\to D$ соединяет множества $E_0$ и $E_1$, если $\liminf\limits_{t\to a} d(\gamma(t), E_0)=\liminf\limits_{t\to b} d(\gamma(t),E_1)=0$, где $d(x,y)=|x^{-1}y|$ для $x,y\in\G$. Семейство всех таких локально спрямляемых кривых обозначим через $\Gamma(E_0,E_1,D)$.

Расстояния $d$ и $d_c$ эквивалентны друг другу, а топология, порожденная расстоянием $d$, эквивалентна евклидовой [@vod98].

Неотрицательную числовую борелевскую функцию на $D$ назовём допустимой для некоторого семейства $\Gamma$ кривых, расположенных в $D$, если для любой $\gamma\in\Gamma$ $\int\limits_\gamma\rho F(x,dx)=\int\limits_a^b\rho(\gamma(t)) F(\gamma(t),\dot\gamma(t))dt \ge1$, где $\gamma(t)$ — параметризация $\gamma$ посредством параметра $t\in(a,b)$. Множество всех допустимых функций для $\Gamma$ обозначим через $\operatorname{adm}\Gamma$.

Пусть $p>1$. Определим $p$-модуль конденсатора $(E_0,E_1,D)$ следующим образом: $$M_{p,F}(E_0,E_1,D)=\inf\int\limits_D\rho^p\,d\sigma,$$ где инфимум берется по всем $\rho\in\operatorname{adm}\Gamma(E_0,E_1,D)$.

Функцию $u:D\to \mathbb R$ назовем локально липшицевой в $D$, если для любого компактного подмножества $D'\subset D$ существует константа $L$ такая, что для любых $x,y\in D'$ $u(x)-u(y)\le L d_c(x,y)$. Определим класс $L^1_{p,F}(D)$ как замыкание класса локально липшицевых в $D$ функций по норме $$\|u\|_{L^1_{p,F}(D)}=\left(\int\limits_DH(x,Xu)^p\,d\sigma\right)^{1/p},$$ где $Xu=(X_{11}u,X_{12}u,\dots, X_{1n_1}u)$ — горизонтальный градиент функции $u$, который имеет смысл в силу теоремы Радемахера для групп Карно (см. [@mitchell1985]).

Обозначим через $\operatorname{Adm}(E_0,E_1,D)$ множество неотрицательных функций из $L_{p,F}^1(D)\cap C(D)$, равных нулю (единице) в некоторой окрестности $E_0$ ($E_1$). Определим $p$-емкость конденсатора: $$C_{p,F}(E_0,E_1,D)=\inf\int\limits_DH(x,Xu)^p\,d\sigma,$$ где инфимум берется по всем функциям $u\in\operatorname{Adm}(E_0,E_1,D)$.

Инфимум в определении $M_{p,F}(E_0,E_1,D)$ можно брать по непрерывным в $D\setminus(E_0\cup E_1)$ допустимым функциям.

**Доказательство.**

Пусть $0<\varepsilon<1/2$, $D_k$, $k=1,2,\ldots$ — открытые множества, образующие исчерпание изнутри множества $D\setminus( E_0\cup E_1)$, т.е. $\overline{D_k}\subset D_{k+1}$, $\bigcup\limits_{k=1}^\infty D_k=D\setminus( E_0\cup E_1)$;$d_k=d(\partial D_k,\partial D_{k+1})$, $k\ge1$. Положим для единообразия рассуждений $d_{-1}=d_0=\infty$, $D_0=\emptyset$.

Для каждого $k\ge1$ покроем компактное множество $\overline{D_k}\setminus D_{k-1}$ конечным числом шаров $B(x_i,r_i)$, где $x_i\in  \overline{D_k}\setminus D_{k-1}$, $r_i<\min(d_{k-2},d_k)/2$. Получим локально конечное покрытие области $D\setminus( E_0\cup E_1)$ шарами $B(x_i,r_i)$, $i\ge1$, лежащими в $D\setminus( E_0\cup E_1)$. Заметим, что покрытие шарами с теми же центрами и вдвое большими радиусами $B(x_i,2r_i)$ обладает тем же свойством. Дополнительно можно считать что все $r_i<1/2$.

Пусть $\{h_i(x)\}$ — разбиение единицы на $D\setminus( E_0\cup E_1)$, подчиненное покрытию $\{B(x_i,r_i)\}$.

Возьмём допустимую функцию $\rho$ для $\Gamma(E_0,E_1,D)$ такую, что $$\int\limits_D\rho^p\,d\sigma<M_{p,F}(E_0,E_1,D)+\varepsilon.$$ Пусть $\varphi(z)$ — бесконечно дифференцируемая неотрицательная в функция с носителем в $B(0,1)$ с условием $\int\limits_\G\varphi(z)\,dz=1$.

Обозначим $\rho_i=h_i\rho$, $\varphi_t(x)=t^{-Q}\varphi(\delta_{1/t}x)$, $\tilde \rho_i=\int\limits_\G\rho_i(y)\varphi_t(xy^{-1})dy$. Для каждого $i\ge1$ подберем параметр $0<t_i<\varepsilon$ так, чтобы при $t\le t_i$ $\|\tilde\rho_i-\rho_i\|_{p,F}<2^{-i}\varepsilon^{1/p}$, где норма берется в пространстве $L_{p,F}(D)$, $\|\rho\|_{p,F}=\left(\int\limits_D\rho^p\,d\sigma\right)^{1/p}$ (см. [@folland утв. 1.20], с заменой левых сдвигов на правые и наоборот). Также потребуем, чтобы $zB(x_i,r_i)\subset B(x_i,2r_i)$ для любого $z$ с $|z|\le t_i$. Это можно сделать в силу неравенства .

Функция $\log F(x,\xi)$ равномерно непрерывна на компакте $\{(x,\xi):x\in \overline{B(x_i,2r_i)}, 1/2\le F(x,\xi)\le3/2\}$, то есть существует $\delta>0$ такое, что при $|z|<\delta$, $|\xi'-\xi''|<\delta$ и для любого $x\in B(x_i,2r_i)$ такого, что $zx\in \overline{B(x_i,2r_i)}$, $$\label{1}
  \frac{F(zx,\xi')}{F(x,\xi'')}\ge(1+\varepsilon)^{-1}.$$

Здесь $\xi'$, $\xi''$ рассматриваем как векторы в базисе $X_{1i}$, $i=1,2,\dots,n_1$ с евклидовой нормой. Далее считаем, что $t_i<\delta$.

Функция $\tilde\rho=\sum\limits_i\tilde\rho_i$ является бесконечно дифференцируемой в $D\setminus( E_0\cup E_1)$ и

$$\label{5}
\int\limits_D\tilde\rho^p\,d\sigma<M_{p,F}(E_0,E_1,D)+2\varepsilon,$$

если положить $\tilde\rho=0$ на $E_0\cup E_1$.

Далее мы покажем, что функция $(1+\varepsilon)\tilde\rho$ является допустимой для $\Gamma(E_0,E_1,D)$.

Если $\gamma\in\Gamma(E_0,E_1,D)$, то $$\label{3}
1\le\int\limits_\gamma\rho\,F(x,dx)=\int\limits_\gamma\sum_i\rho_i\,F(x,dx)=\sum_i\int\limits_{\gamma\cap B(x_i,r_i)}\rho_i\,F(x,dx).$$

Преобразуем интеграл от функции $\tilde\rho$ по $\gamma$: $$\begin{gathered}
\label{2}
    \int\limits_\gamma\tilde\rho\,F(x,dx)=\int\limits_\gamma\sum_i\tilde\rho_i\,F(x,dx)=\int\limits_\gamma\sum_i\int\limits_\G\rho_i(y^{-1}x)\varphi_{t_i}(y)\,dy\,F(x,dx)= \\
   =\int\limits_\gamma\sum_i\int\limits_\G\rho_i((\delta_{t_i}z)^{-1}x)\varphi(z)\,dz\,F(x,dx)=
   \sum_i\int\limits_{B(0,1)}\varphi(z)\,dz\int\limits_{\gamma\cap B(x_i,2r_i)}\rho_i((\delta_{t_i}z)^{-1}x)\,F(x,dx)=\\=\int\limits_{B(0,1)}\varphi(z)\,dz\sum_i\int\limits_{\gamma\cap B(x_i,2r_i)}\rho_i((\delta_{t_i}z)^{-1}x)\,F(x,dx).
  \end{gathered}$$

Пусть $z\in B(0,1)$. Для любого $i=1,2,\dots$ рассмотрим дугу $\gamma'$ из множества $\gamma\cap B(x_i,2r_i)$. Обозначим $\tilde\gamma'=(\delta_{t_i}z)^{-1}\cdot\gamma'$. Эта кривая будет горизонтальной вследствие левоинвариантности $X_{1j}$, $j=1,2,\dots,n_1$. Соединим соответствующие граничные точки $\gamma'$ и $\tilde\gamma'$ двумя горизонтальными кривыми, лежащими в $B(x_i,2r_i)\setminus B(x_i,r_i)$. Заменим $\gamma'$ на объединение $\tilde\gamma'$ с этими горизонтальными кривыми. В результате всех этих изменений получим кривую $\tilde\gamma_z$, которая также будет допустимой для $\Gamma(E_0,E_1,D)$.

Далее имеем, делая замену $y=(\delta_{t_i}z)^{-1}x$ и параметризуя кривую $\gamma$ посредством финслеровой длины дуги (если кривая не спрямляема, то отсчитываем длину дуги от какой-либо точки кривой с соответствующим знаком): $$\int\limits_{\gamma\cap B(x_i,2r_i)}\rho_i((\delta_{t_i}z)^{-1}x)\,F(x,dx)\ge(1+\varepsilon)^{-1}\int\limits_{\tilde\gamma_z\cap B(x_i,r_i)}\rho_i(y)\,F(y,dy)$$ в силу . Подставляя в и используя , получим, что $\int\limits_\gamma\tilde\rho\,F(x,dx)\ge(1+\varepsilon)^{-1}$, то есть $(1+\varepsilon)\tilde\rho\in\operatorname{adm}\Gamma(E_0,E_1,D)$.

В силу произвольности $\varepsilon$ и неравенства лемма доказана.

Следующий результат был установлен в $R^n$ В. А. Шлыком в [@shlyk2] и модифицирован в работе [@ohtsuka1999].

Определим систему замкнутых множеств $E_{ij}$, $j\ge0$, $i=0,1$, таких, что $E_{ij}\subset  \mathop{\rm int}E_{i,j-1}$ при $j\ge1$, $E_i=\bigcap\limits_{j=0}^\infty E_{ij}$, $E_{00}\cap E_{10}=\emptyset$.

\[lemma\] Пусть $\rho\in L_{p,F}(D)$ — положительная непрерывная в $D\setminus(E_0\cup E_1)$ функция. Для любого $\varepsilon>0$ существует функция $\rho'$, $\rho'\ge\rho$ в $D$ такая, что

1.  $\int\limits_D\rho'^p\,d\sigma\le\int\limits_D\rho^p\,d\sigma+\varepsilon$,

2.  Предположим, что для каждого $j\ge0$ существует кривая $\gamma_j\in\Gamma(E_{0j},E_{1j},D)$ такая, что\
    $\int\limits_{\gamma_j}\rho'\,F(x,dx)\le\alpha$. Тогда существует кривая $\tilde\gamma\in \Gamma(E_0,E_1,D)$ такая, что $\int\limits_{\tilde\gamma}\rho\, F(x,dx)\le\alpha+\varepsilon$.

**Доказательство.**

Пусть $E^j=E_{0j}\cup E_{1j}$, $W_j=E^{j-1}\setminus \mathop{\rm int}E^j$, $d_j=\min(d_c(\partial E_{0j},\partial E_{0,j-1}),d_c(\partial E_{1,j-1},\partial E_{1j}))>0$. Так как функция $\rho$ положительна в $D\setminus (E_0\cup E_1)$, можно найти последовательность $\varepsilon_j\to0$ при $j\to\infty$ такую, что $$\begin{gathered}
  \label{11}\sum_{j=1}^\infty(1+\varepsilon_j^{-1})\varepsilon_j^{p+1}<\varepsilon,\\
  \label{12}\alpha\varepsilon_j<d_j\inf_{W_j\cap D}\rho.\end{gathered}$$

Образуем последовательность компактных множеств $D_j$ такую, что $D_j\subset \mathop{\rm int} D_{j+1}$, $\bigcup\limits_{j=1}^\infty D_j=D$ и $\int\limits_{D\setminus D_j}\rho^p\,d\sigma<\varepsilon_j$.

Пусть $V_j=(D\setminus D_j)\cap W_j$. Положим $$\rho'(x)=\left\{
           \begin{array}{cl}
             (1+\varepsilon_j^{-1})\rho(x), & x\in V_j; \\
             \rho(x), & x\in D\setminus\bigcup\limits_{j=1}^\infty V_j.
           \end{array}
         \right.$$ Покажем, что функция $\rho'$ удовлетворяет условиям леммы. Используя , имеем:

$$\begin{aligned}
  \int\limits_D\rho'^p\,d\sigma&=\sum_{j=1}^\infty\int\limits_{V_j}\left((1+\varepsilon_j^{-1})\rho\right)^p\,d\sigma+\int\limits_{D\setminus\bigcup\limits_{j=1}^\infty V_j}\rho^p\,d\sigma\le \\
  &\le \sum_{j=1}^\infty(1+\varepsilon_j^{-1})^p\int\limits_{V_j}\rho^p\,d\sigma+\int\limits_D\rho^p\,d\sigma\le \\
  &\le \sum_{j=1}^\infty(1+\varepsilon_j^{-1})^p\varepsilon_j^{p+1}+\int\limits_D\rho^p\,d\sigma\le\int\limits_D\rho^p\,d\sigma+\varepsilon.\end{aligned}$$

Таким образом, условие 1 выполнено. Покажем, что выполняется условие 2. Зафиксируем $j\ge1$. Кривая $\gamma_k\in\Gamma(E_{0j},E_{1j},D)$ при $k\ge j$, следовательно, она содержит две дуги: $\gamma'_k$, соединяющую $\partial E_{0j}$ с $\partial E_{0,j-1}$, и $\gamma''_k$, соединяющую $\partial E_{1,j-1}$ с $\partial E_{1j}$. Дуги $\gamma'_k$ и $\gamma''_k$ не содержатся в $V_j$. Действительно, если бы выполнялось обратное, то с помощью неравенства выводим, что $$\alpha\ge\int\limits_{\gamma_k}\rho'\,F(x,dx)\ge\int\limits_{\gamma'_k}\rho'\,F(x,dx)\ge\varepsilon_j^{-1}\int\limits_{\gamma'_k}\rho\,F(x,dx)\ge\varepsilon_j^{-1}d_j\inf_{W_j\cap D}\rho>\alpha,$$ и аналогично с $\gamma''_k$. Получили противоречие. Значит, $$\gamma_k\cap(D_j\cap(E_{i,j-1}\setminus \mathop{\rm int}E_{ij}))\ne\emptyset,\quad i=0,1,\quad k\ge j.$$ Обозначим $\gamma_k=\gamma_{0k}$. Приведем алгоритм, позволяющий из некоторой последовательности кривых $\gamma_{j-1,k}$ извлечь подпоследовательность $\gamma_{jk}$.

Заметим, что множество $D_j\cap(E_{i,j-1}\setminus \mathop{\rm int}E_{ij})$ является компактом. Следовательно, из последовательности $\gamma_{j-1,k}$ можно выделить подпоследовательность (которую снова обозначим $\gamma_{j-1,k}$), сходящуюся к некоторой кривой $\gamma_0$, для которой множество $M=\gamma_0\cap(D_j\cap(E_{0,j-1}\setminus \mathop{\rm int}E_{0j}))\ne\emptyset$. Возьмём какую-либо точку $x_{0j}\in M$. Так как $\rho$ непрерывна в точке $x_{0j}$, можно выбрать шар $B(x_{0j},r(x_{0j}))$ такой, что для любой геодезической линии $l$, соединяющую центр шара и его границу, выполнено условие $$\label{13}
\int\limits_l\rho\,F(x,dx)\le\frac\varepsilon{2^{j+3}}.$$ Отбрасывая несколько первых членов последовательности $\gamma_{j-1,k}$, можно считать, что любая кривая этой подпоследовательности пересекает шар $B(x_{0j},r(x_{0j}))$. Таким же образом рассмотрим множество $D_j\cap(E_{1,j-1}\setminus \mathop{\rm int}E_{1j})$, точку $x_{1j}$ из этого множества, шар $B(x_{1j},r(x_{1j}))$, удовлетворяющий условию, аналогичному ; так же из $\gamma_{j-1,k}$ выделим подпоследовательность, все члены которой пересекают этот шар. Полученная подпоследовательность и будет искомой последовательностью $\gamma_{jk}$.

Проводим изложенное построение последовательно для $j=1,2,\dots$. Рассмотрим диагональную последовательность $\gamma_{kk}$.

Кривая $\gamma_{kk}$ пересекает шары $B(x_{ij},r(x_{ij}))$, $i=0,1$, для $1\le j\le k$ не менее чем в двух точках. Соединим две точки пересечения с центром соответствующего шара геодезическими линиями. Получим кривую $\tilde\gamma_k\in\Gamma(E_{0k},E_{1k},D)$, проходящую через точки $x_{0j}$, $x_{1j}$, $j=1,2,\dots,k$. Для этой кривой имеем, используя условие : $$\int\limits_{\tilde\gamma_k}\rho\,F(x,dx)\le\int\limits_{\gamma_{kk}}\rho\,F(x,dx)+2\sum_{j=1}^k\frac\varepsilon{2^{j+3}}\le\alpha+\frac\varepsilon4.$$ Пусть $\Gamma_0$ — семейство горизонтальных кривых, соединяющих $x_{00}$ и $x_{10}$ в $D\setminus(E_0\cup E_1)$, $\Gamma_{ij}$ — семейство горизонтальных кривых в $D\setminus(E_0\cup E_1)$, соединяющих $x_{ij}$ и $x_{i,j+1}$, $i=0,1$, $j=1,2,\dots$. Тогда $$\inf_{\gamma\in\Gamma_0}\int\limits_\gamma\rho\,F(x,dx)+\sum_{j=1}^k\inf_{\gamma\in\Gamma_{0j}}\int\limits_\gamma\rho\,F(x,dx)+\sum_{j=1}^k\inf_{\gamma\in\Gamma_{1j}}\int\limits_\gamma\rho\,F(x,dx)
\le\int\limits_{\tilde\gamma_k}\rho\,F(x,dx)\le\alpha+\frac\varepsilon4.$$ Это верно для любого $k$, следовательно, $$\inf_{\gamma\in\Gamma_0}\int\limits_\gamma\rho\,F(x,dx)+\sum_{j=1}^\infty\inf_{\gamma\in\Gamma_{0j}}\int\limits_\gamma\rho\,F(x,dx)+\sum_{j=1}^\infty\inf_{\gamma\in\Gamma_{1j}}\int\limits_\gamma\rho\,F(x,dx)
\le\alpha+\frac\varepsilon4.$$ Выберем кривые $C_0\in\Gamma_0$ и $C_{ij}\in\Gamma_{ij}$, $i=0,1$, $j=1,2,\dots$ так, чтобы

$$\begin{aligned}
  \int\limits_{C_0}\rho\,F(x,dx)&<\inf_{\gamma\in\Gamma_0}\int\limits_\gamma\rho\,F(x,dx)+\frac\varepsilon2,\\
  \int\limits_{C_{ij}}\rho\,F(x,dx)&<\inf_{\gamma\in\Gamma_{ij}}\int\limits_\gamma\rho\,F(x,dx)+\frac\varepsilon{2^{j+3}}.\end{aligned}$$

Пусть $\tilde\gamma=\dots+C_{01}+C_0+C_{11}+\dots$. Тогда $\tilde\gamma\in\Gamma(E_0,E_1,D)$ и $$\int\limits_{\tilde\gamma}\rho\,F(x,dx)\le\alpha+\frac\varepsilon4+\frac\varepsilon2+2\sum_{j=1}^\infty\frac\varepsilon{2^{j+3}}=\alpha+\varepsilon.$$ Лемма доказана.

Докажем теперь основную теорему.

Пусть $D$ — область в ; $E_0$, $E_1$ — непересекающиеся непустые компакты из $\bar D$. Тогда $$M_{p,F}(\Gamma(E_0,E_1,D))=C_{p,F}(E_0,E_1,D).$$

**Доказательство.** Сначала докажем неравенство $$\label{14}
  M_{p,F}(\Gamma(E_0,E_1,D))\le C_{p,F}(E_0,E_1,D).$$ Пусть $u\in\operatorname{Adm}(E_0,E_1,D)$, $\Gamma_0$ — подсемейство локально спрямляемых горизонтальных кривых $\gamma$ из $\Gamma(E_0,E_1,D)$ таких, что $u$ абсолютно непрерывна на любой спрямляемой замкнутой части $\gamma$. Определим функцию $\rho(x)=H(x,Xu)$ на $D$.

Пусть $\gamma\in\Gamma_0$ и $\gamma:(a,b)\to D$. Если $a<t_1<t_2<b$, то получим: $$\int\limits_\gamma\rho\,F(x,dx)\ge\int\limits_{t_1}^{t_2} H(x,Xu(\gamma(t)))F(x,\dot\gamma(t))dt\ge\left|\int\limits_{t_1}^{t_2} (Xu(\gamma(t)),\dot\gamma(t))\,dt\right|=|u(\gamma(t_2))-u(\gamma(t_1))|.$$ Вследствие произвольности $t_1$ и $t_2$ получим, что $\int\limits_\gamma\rho\,F(x,dx)\ge1$. Таким образом, $\rho\in\operatorname{adm}\Gamma_0$.

Следовательно, $$M_{p,F}(\Gamma_0)\le\int\limits_D\rho^p\,d\sigma=\int\limits_DH(x,Xu)\,d\sigma.$$ Учитывая, что $M_{p,F}(\Gamma_0)=M_{p,F}(\Gamma(E_0,E_1,D))$ (см. [@fuglede] и [@markina2003]), переходя к инфимуму по $u$, получим неравенство .

Докажем противоположное неравенство $$\label{16}
  M_{p,F}(\Gamma(E_0,E_1,D))\ge C_{p,F}(E_0,E_1,D)$$ в случае $(E_0\cup E_1)\cap\partial D=\emptyset$. Пусть $\rho\in \operatorname{adm}\Gamma(E_0,E_1,D)$ — непрерывная в $D\setminus(E_0\cup E_1)$ функция. Определим в $D$ функцию $u(x)=\min(1,\inf\int\limits_{\beta_x}\rho\,F(x,dx))$, где инфимум берется по всем локально спрямляемым горизонтальным кривым $\beta_x$, соединяющим $E_0$ и $x$ в направлении точки $x$. Покажем, что $u\in\operatorname{Adm}(E_0,E_1,D)$ и $H(x,Xu)\le \rho$ почти везде в $D$. Если $u\equiv1$, то это очевидно.

В случае $u\not\equiv1$ пусть $\alpha_{x_1x_2}$ — кратчайшая кривая, соединяющая $x_1$ и $x_2$ в направлении точки $x_2$, где точки $x_1$ и $x_2$ выбраны достаточно близко друг от друга. Пусть $\beta_{x_1}$ — спрямляемая кривая, соединяющая $x_1$ и $E_0$. Тогда $$u(x_2)\le\int\limits_{\beta_{x_1}}\rho\,F(x,dx)+\int\limits_{\alpha_{x_1x_2}}\rho\,F(x,dx)\le\int\limits_{\beta_{x_1}}\rho\,F(x,dx)+\max_{x\in\alpha_{x_1x_2}}\rho(x)d_c(x_1,x_2).$$ Здесь $d_c$ измеряется от $x_1$ до $x_2$. Так как $\beta_{x_1}$ произвольно, то $$u(x_2)\le u(x_1)+\max_{x\in\alpha_{x_1x_2}}\rho(x)d_c(x_1,x_2).$$ Используя рассуждения, аналогичные приведеным в [@mitchell1985], убедимся в существовании производных $X_{1j}u$, $j=1,2,\dots,n_1$ почти всюду в $D$. Пусть $x_1$ такая точка, и пусть дана гладкая кривая, проходящая через $x_1$ в направлении вектора $\xi$. Устремляя $x_2$ к $x_1$ по этой кривой, получим: $$Xu(x_1)(\xi)\le \rho(x_1)F(x_1,\xi).$$ Поделив на $F(x_1,\xi)$ и взяв супремум по всем $\xi$, получим, что $H(x_1,Xu(x_1))\le\rho(x_1)$. Значит, $$C_{p,F}(E_0,E_1,D)\le\int\limits_DH(x,Xu)^p\,d\sigma\le\int\limits_D\rho^p\,d\sigma.$$ Переходя к инфимуму по $\rho$, получим неравенство в случае $\partial D\cap(E_0\cup E_1)=\emptyset$. Поэтому теорема в этом случае доказана.

Рассмотрим общий случай $\partial D\cap(E_0\cup E_1)\ne\emptyset$. Пусть $0<\varepsilon<1/2$. Рассмотрим непрерывную на $D\setminus(E_0\cup E_1)$ допустимую для $\Gamma(E_0,E_1,D)$ функцию $\rho$ такую, что $$\int\limits_{D\setminus(E_0\cup E_1)}\rho^p\,d\sigma<\varepsilon+M_{p,F}(E_0,E_1,D).$$ Можем считать, что $\rho>0$ на $D\setminus(E_0\cup E_1)$, иначе возьмем вместо нее функцию $\max(\rho(x),h(x))$, где $h(x)>0$ — непрерывная на функция со сколь угодно малым интегралом $\int\limits_Dh^p\,d\sigma$.

Пусть $\rho'$, $E_{0j}$, $E_{1j}$ такие же, как в лемме \[lemma\]. Покажем, что $$\int\limits_\gamma\rho'\,F(x,dx)>1-2\varepsilon$$ для всех $\gamma\in\Gamma(E_{0j},E_{1j},D)$ при достаточно больших $j$.

Действительно, если это не так, то найдутся $j_k$ и $\gamma_k\in\Gamma(E_{0j_k},E_{1j_k},D)$ такие, что $\int\limits_{\gamma_k}\rho'\,F(x,dx)\le1-2\varepsilon$. По лемме \[lemma\] найдется кривая $\tilde\gamma\in\Gamma(E_0,E_1,D)$ такая, что $\int\limits_{\tilde\gamma}\rho\,F(x,dx)\le1-\varepsilon$, что противоречит допустимости функции $\rho$.

Определим функцию $$\tilde\rho(x)=\left\{
  \begin{array}{ll}
    \dfrac{\rho'}{1-2\varepsilon}, & x\in D\setminus(E_{0j}\cup E_{1j}); \\
    0, & x\notin D\setminus(E_{0j}\cup E_{1j}).
  \end{array}
\right.$$ Она принадлежит $\operatorname{adm}\Gamma(E_0,E_1,D\cup E_{0j}\cup E_{1j})$. Поэтому, в силу доказанного частного случая, $$\begin{gathered}
 C_{p,F}(E_0,E_1,D)\le C_{p,F}(E_0,E_1,D\cup E_{0j}\cup E_{1j})=M_{p,F}(E_0,E_1,D\cup E_{0j}\cup E_{1j})\le\\
\le\int\limits_D\tilde\rho^p\,d\sigma\le(M_{p,F}(E_0,E_1,D)+2\varepsilon)(1-2\varepsilon)^{-p}.\end{gathered}$$

Устремляя $\varepsilon\to0$, получим неравенство , а следовательно, и утверждение теоремы.

Из леммы \[lemma\] следует непрерывность модуля, то есть $$\lim\limits_{j\to\infty}M_{p,F}(E_{0j},E_{1j},D)=M_{p,F}(E_0,E_1,D).$$

[10]{}

В. Н. Берестовский, *Однородные пространства с внутренней метрикой и субфинслеровы многообразия. Научный семинар.*, http://gct.math.nsc.ru/?p=2632.

В. Н. Берестовский, *Универсальные методы поиска нормальных геодезических на группах Ли с левоинвариантной субримановой метрикой*, Сиб. матем. журн., **55**, №5, (2014), 959–970.

А. В. Букушева, *Слоения на распределениях с финслеровой метрикой*, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, **14**, №3, (2014), 247–251.

С. Водопьянов, А. Ухлов, *Пространства Соболева и $(P,Q)$-квазиконформные отображения групп Карно*, Сиб. мат. ж., **39**, №4, (1998), 776–795.

С. К. Водопьянов, *Теория потенциала на однородных группах*, Матем. сб., **180**, №1, (1989), 57–77.

С. К. Водопьянов, *Монотонные функции и квазиконформные отображения на группах Карно*, Сиб. матем. журн., **37**, №6, (1996), 1269–1295.

Ю. В. Дымченко, *Равенство емкости и модуля конденсатора на поверхности*, *Аналитическая теория чисел и теория функций. 17(Зап. научн. семин. ПОМИ)*, **276**, 112–133, СПб.: Наука, 2001.

Ю. В. Дымченко, *Равенство емкости и модуля конденсатора в финслеровых пространствах*, Матем. заметки, **85**, №4, (2009), 594–602.

В. А. Шлык, *О равенстве $p$-емкости и $p$-модуля*, Сиб. мат. журн., **34**, №6, (1993), 216–221.

L. Ahlfors, A. Beurling, *Conformal invariants and function-theoretic null-sets*, Acta Mathematica, **83**, (1950), 101–129.

H. Aikawa, M. Ohtsuka, *Extremal lenth of vector measures*, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A., **24**, (1999), 61–88.

J. N. Clelland, C. G. Moseley, *Sub-Finsler geometry in dimension three*, Differential Geometry and its Applications, **24**, №6, (2006), 628 – 651.

E. L. Donne, *A metric characterization of Carnot groups*, http://arxiv.org/abs/1304.7493v2.

G. Folland, E. Stein, *Hardy Spaces on Homogeneous Groups*, Mathematical Notes Series, University Press, 1982.

B. Fuglede, *Extremal length and functional completion*, Acta Math., **126**, №3, (1957), 171 – 219.

J. Hesse, *A $p$-extremal length and $p$-capacity equality*, Ark. mat., **13**, №1, (1975), 131 – 144.

I. Markina, *On coincidence of p-module of a family of curves and p-capacity on the Carnot group*, Rev. Mat. Iberoamericana, **19**, №1, (2003), 143–160.

J. Mitchell, *On Carnot-Caratheodory metrics*, J. Differential Geom., **21**, №1, (1985), 35–45.

M. Ohtsuka, *Extremal length and precise functions*, GAKUTO international series, Gakk[ō]{}tosho, 2003.

W. P. Ziemer, *Extremal length and conformal capacity*, Trans. Amer. Math. Soc., **126**, №3, (1967), 460–473.
