---
author:
- 'И.Н. Шнурников'
title: ' Пример прямой без вещественных точек, лежащей в пересечении трех комплексных квадрик'
---

#### Постановка задачи.

В шестимерном евклидовом пространстве ${\mathbb{R}}^6$ с координатами $x=(x_1, \dots, x_6)$ множество $Q^3$ задано как совместная поверхность уровней функций $$Q^3=\{f_1(x)=d_1, f_2(x)=d_2, f_3(x)=d_3\} \subset {\mathbb{R}}^6$$ для функций $$\begin{gathered}
f_1(x)=x^2_1+x^2_2+x^2_3+x^2_4+x^2_5+x^2_6\\
f_2(x)=x_1x_4+x_2x_5+x_3x_6\\
f_3(x)=c_1x^2_1+c_2x^2_2+c_3x^2_3+c_4x^2_4+c_5x^2_5+c_6x^2_6,\end{gathered}$$ где $c_i$ и $d_j$ — некоторые вещественные числа. Необходимо

-   Найти все значения параметров $c_i$ и $d_j$, при которых множество $Q^3$ является гладким многообразием (подмногообразием ${\mathbb{R}}^6$).

-   Найти многообразие $Q^3$ с точностью до гомеоморфизма.

#### Схема решения.

А.Б. Жеглов предложил использовать теоремы Коллара [@Kollar] для того, чтобы предъявить некий список многообразий, которому обязано принадлежать $Q^3$. А именно:

(а) Многообразие $Q^3$ является множеством вещественных точек пересечения трех квадрик в комплексном проективном пространстве $$Q^3_c=\bar{Q}_1\cap \bar{Q}_2\cap \bar{Q}_3 \subset
{\mathbb{CP}}^6,$$ где квадрики $\bar{Q}_i$ задаются однородными многочленами от семи комплексных переменных, соответствующими функциям $f_i$. Для этого достаточно проверить, что все вещественные точки многообразия $Q^3_c$ аффинны.

(б) Находятся условия на параметры $c_i,\quad d_j$, при которых пересечение комплексных квадрик будет алгебраическим подмногообразием в ${\mathbb{CP}}^6$ ([*полным пересечением*]{}).

(в) Из известной формулы для размерности множества одномерных линейных подпространств (см. [@Chodg ch. 13, §. 6, th. 1]) следует, что в $Q^3_c$ есть однопараметрическое семейство комплексных прямых. Определим проекцию $$p: Q^3_c \to {\mathbb{CP}}^2$$ зафиксировав прямую $m$, лежащую в $Q^3_c$, рассмотрев ${\mathbb{CP}}^2$ как множество квадрик, содержащих $Q^3_c$, и точке $x$ поставив в соответствие квадрику, содержащую плоскость $(x,m)$.

(г) Отображение $p$ не определено на прямой $m$ и на пересекающих ее прямых. Зато отображение $p$ можно доопределить до отображения $\tilde p$ раздутия $\tilde
Q^3_c$ многообразия $Q^3_c$ вдоль $m$ и пересекающих ее прямых.

(д) Теорема Коллара для отображения $$\tilde p: \tilde Q^3_c \to
{\mathbb{CP}}^2$$ утверждает, что вещественные точки многообразия $\tilde Q^3_c$ есть одно из следующих многообразий: ${\mathbb{RP}}^3,S^3,S^2\times S^1$, их связные суммы, многообразия Зейферта с не более 6 особыми слоями, линзы с $p,q \leq 6$.

(е) Если прямая проекции $m$ и все пересекающие ее прямые не имеют вещественных точек, то раздутие не касается вещественных точек и поэтому множества вещественных точек (точек с вещественными однородными координатами) многообразий $\tilde Q^3_c$ и $Q^3_c$ совпадают.

В итоге, если доказать существование прямой $m$ на $Q^3_c$, такой что на ней и на пересекающих ее прямых, лежащих на $Q^3_c$, нет вещественных точек, то тогда многообразие $Q^3$ будет гомеоморфно одному из указанному в пункте (д).

#### Результаты работы и дальнейшие перспективы.

В данной работе найдены условия на параметры квадрик, при которых множество $Q^3$ является подмногообразием ${\mathbb{R}}^6$ и в ${\mathbb{C}}^6$. Предъявлены прямая $l \subset Q^3_c$ и несколько условий, при выполнении которых на прямой $l$ нет вещественных точек. Для дальнейшего решения задачи необходимо

-   выяснить, при каких значениях параметров квадрик выполняются указанные условия,

-   проверить, что прямые, пересекающие $l$ и лежащие на $Q^3_c$, не содержат вещественных точек.

#### История возникновения и актуальность задачи.

Задача возникла в теории динамических систем при описании системы, аналогичной системе Эйлера движения трехмерного тела с закрепленной точкой, и поэтому названной “движением четырехмерного твердого тела”$, $ см. [@Bolsinov_99]. Рассматривается гамильтонова система на четырехмерном симплектическом многообразии $M^4$ — поверхности уровня функций $f_1(x)=d_1, f_2(x)=d_2$ с гамильтонианом $f_3(x)$. Известно [@Bolsinov_99], что если параметры удовлетворяют соотношению $$c_1c_4(c_2+c_5-c_3-c_6)+c_2c_5(c_3+c_6-c_1-c_4)+c_3c_6(c_1+c_4-c_2-c_5)=0
,$$ то гамильтонова система интегрируема по Лиувиллю и тем самым [*изоэнергетическая поверхность*]{} $Q^3$ расслаивается на торы, а слоение описывается с помощью молекул и их меток, см. обзоры работ А. Т. Фоменко и др. в [@Bolsinov_99]. В известных до сей поры примерах интегрируемых систем топология изоэнергетических поверхностей относительно простая, поэтому было бы интересно найти, чему диффеоморфно многообразие $Q^3$ в случае неинтегрируемости.

#### Невырожденность в ${\mathbb{R}}^6$ и в ${\mathbb{C}}^6$.

Множество уровня трех вещественных функций $$Q^3_R=
\{ f_1=d_1,\quad f_2=d_2,\quad f_3=d_3 \}\in{\mathbb{R}}^6$$ является трехмерным вещественным многообразием тогда и только тогда, когда

(а) $d_1>2|d_2|$ и

(б) не существует такого вещественного числа $b$, которое удовлетворяло бы всем трем уравнениям: $$\begin{split}
  &     1) \quad (c_1-a)(c_4-a)=b^2,\\
   &   2) \quad (c_2-a)(c_5-a)=b^2,\\
   &   3) \quad (c_3-a)(c_6-a)=b^2,  \\
\end{split}$$ и хотя бы одному неравенству: $$\begin{split}
& 1) \quad\frac {c_1-a}{bd_2}\geq \frac{1+(\frac {c_1-a}{b})^2}{d_1}, \\
& 2) \quad\frac {c_2-a}{bd_2}\geq \frac{1+(\frac {c_2-a}{b})^2}{d_1}, \\
& 3) \quad\frac {c_3-a}{bd_2}\geq \frac{1+(\frac {c_3-a}{b})^2}{d_1}, \\
\end{split}$$ где $a=\frac {d_3-2bd_2}{d_1}.$

Эти условия получаются как условия, при которых матрица Якоби производных функций $f_1, \quad f_2, \quad f_3$ по переменным $X_1,\dots, X_6$ размера $3\times 6$ невырождена во всех точках множества $Q^3_R.$

Обратно, если условие (а) не выполняется, то в матрице Якоби первые 2 строчки зависимы или множество $Q^3_R$ — пустое.

Если условие (б) не выполняется, то ранг матрицы Якоби равен 2 в точке с координатами $x_1,\dots,x_6,$ где

$$x_4=(\frac {c_4-a}{b})x_1,\quad x_5=(\frac {c_4-a}{b})x_2,\quad x_6=(\frac
{c_4-a}{b})x_3,$$

а числа $x_1, x_2, x_3$ являются решением системы: $$\begin{split}
 & d_1=x_1^2\left(1+\frac {(c_1-a)^2}{b^2}\right)+x_2^2\left(1+\frac {(c_2-a)^2}{b^2}\right)+x_3^2\left(1+\frac {(c_3-a)^2}{b^2}\right),\\
 & d_2=x_1^2\left(\frac {(c_1-a)}{b}\right)+x_2^2\left(\frac {(c_2-a)}{b}\right)+x_3^2\left(\frac {(c_3-a)}{b}\right), \\
 & d_3=x_1^2\left(c_1+c_4\frac {(c_1-a)^2}{b^2}\right)+x_2^2\left(c_2+c_5\frac {(c_2-a)^2}{b^2}\right)+x_3^2\left(c_3+c_6\frac {(c_3-a)^2}{b^2}\right). \\
   \end{split}$$ [$\hspace{\fill} \square$]{}

Множество уровня трех комплексных функций $$Q^3_C=\{ f_1=d_1,\quad f_2=d_2,\quad f_3=d_3 \}\in{\mathbb{C}}^6$$ является трехмерным комплексным многообразием тогда и только тогда, когда

(а) $d_1\neq 2|d_2|$ и

(б) не существует такого комплексного числа $b$, которое удовлетворяло бы всем трем уравнениям: $$\begin{split}
  &     1) \quad (c_1-a)(c_4-a)=b^2,\\
   &   2) \quad (c_2-a)(c_5-a)=b^2,\\
   &   3) \quad (c_3-a)(c_6-a)=b^2,  \\
\end{split}$$

Невырожденность в ${\mathbb{CP}}^6$ получается расмотрением 7 аффинных карт, в каждой из которых условия невырожденности будут аналогичны условиям невырожденности в ${\mathbb{C}}^6.$

#### Прямая без вещественных точек.

На многообразии $Q^3_c$ будем искать прямую в виде $$x_i=a_i+tb_i\quad \text{для}\quad i=1,2,\dots 6,$$ где коэффициенты $a_i, b_i$ — это комплексные числа, а $t$ — это комплексная переменная. Наложим условия на коэффициенты прямой: $$a_4=\lambda a_1,\quad a_5=\lambda a_2,\quad a_6=\lambda a_3\quad\text{и}\quad b_4=\mu
b_1,\quad b_5=\mu b_2,\quad b_6=\mu b_3.$$ После подстановки параметрического задания прямой в три уравнения, задающие многообразие $Q^3_c,$ получим девять уравнений (при $t^2, t$ и свободном члене для каждого из трех уравнения $f_j=d_j$), но из-за дополнительной симметрии, возникающей из наложенных условий на коэффициенты прямой, независимых уравнений будет семь, переменных же восемь: $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,\lambda,\mu$; поэтому положим число $\lambda$ равным корню уравнения $x+\frac 1x=\frac{d_1}{d_2},$ и число $\mu$ равным корню уравнения

$$\begin{gathered}
 \sqrt{c_2-c_3+\mu^2(c_5-c_6)}\sqrt{c_3-c_1+\mu^2(c_6-c_4)}(d_3-\frac{d_2}{\lambda}(c_1+\lambda^2c_4))(c_2-c_3+\lambda^2(c_5-c_6))+\\
 + (c_1-c_3+\lambda^2(c_4-c_6))\left(\frac{d_2}{\lambda}(c_2+\lambda^2c_5)-d_3\right)(c_1-c_2+\lambda \mu(c_4-c_5))+ \\
+ \sqrt{c_2-c_3+\mu^2(c_5-c_6)}\sqrt{c_1-c_2+\mu^2(c_4-c_5)}\left(\frac{d_2}{\lambda}(c_2+\lambda^2c_5)-d_3\right)(c_1-c_3+\lambda \mu(c_4-c_6))+\\
 +\sqrt{c_3-c_1+\mu^2(c_6-c_4)}\sqrt{c_1-c_2+\mu^2(c_4-c_5)}
(d_3-\frac{d_2}{\lambda}(c_1+\lambda^2c_4))(c_2-c_3+\lambda \mu(c_5-c_6))=\\
 = 0.\end{gathered}$$

Теперь находятся числа $$\begin{split}
&b_1=\sqrt{c_2-c_3+\mu^2(c_5-c_6)},\\
&b_2=\sqrt{c_3-c_1+\mu^2(c_6-c_4)},\\
&b_3=\sqrt{c_1-c_2+\mu^2(c_4-c_5)},
\end{split}$$ и находятся числа $a_1,\quad a_2,\quad a_3$.

Предположим, что

-   $
    \frac{d_2}{\lambda}(c_2+\lambda^2c_5)-d_3 \neq 0,
    $

-   не выполняется одновременно пара условий $c_1=c_2$ и $c_4=c_5,$

-   не выполняется одновременно пара условий $c_1=c_3$ и $c_4=c_6,$

-   у уравнения на $\mu$ есть корень, отличный от $\lambda$ и от $-\lambda,$

-   не все числа $a_1,a_2,a_3$ вещественны.

Тогда для любого комплексного числа $t$ шесть чисел $a_j+tb_j$ не могут быть одновременно вещественными.

Предположим противное, то есть что числа $a_i+tb_i$ и $\lambda a_i+t\mu b_i$ одновременно вещественны, тогда три числа $\lambda (a_i+tb_i)$ вещественны. Вычтем вторые числа из третьих (для всех $i=1,2,3$), получим вещественность чисел $t(\lambda-\mu)b_i.$ Деля полученные числа одно на другое (они не равны нулю по сделанным предположениям), получим вещественность чисел $\frac{b_2}{b_1}$ и $\frac{b_3}{b_1}.$ Числа $b_i$ удовлетворяют уравнению $b_1^2+b_2^2+b_3^2=0.$ Из вещественности чисел $\frac{b_2}{b_1}$ и $\frac{b_3}{b_1}$ следует, что $b_1=b_2=b_3=0.$ Однако подстановка $b_1=b_2=b_3=0$ в уравнение на $\mu$ даст уравнение

$$(c_1-c_3+\lambda^2(c_4-c_6))\left(\frac{d_2}{\lambda}(c_2+\lambda^2c_5)-d_3\right)(c_1-c_2+\lambda \mu(c_4-c_5))=0$$ Каждый из трех множителей не может быть равен нулю по сделанным предположениям. [$\hspace{\fill} \square$]{}

Можно заметить, что для почти всех значений параметров на $Q^3_c$ существует вещественно одномерное множество вещественных точек, сквозь которые проходят прямые $m\in Q^3_c$. Множество же самих прямых вещественно двумерно, однако прямые могут густо пересекаться, поэтому применение теоремы Коллара нетривиально, и будет осуществлено с помощью найденной явно прямой.

Работа выполнена при поддержке гранта Правительства РФ по постановлению N 220, договор No. 11.G34.31.0053.

[99]{}

Kollar J., [*Real Algebraic Threefolds 3. Conic bundles*]{}. arxiv AG/9802053 v1

Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. М.: Изд-во Ин. лит. 1954 (1 и 2 том), 1955 (3 том).

А.В. Болсинов, А.Т. Фоменко, Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Тома 1 и 2. Ижевск: Изд. д. “Удмуртский университет”$,$ 1999.

ЯрГУ, лаб. дискретной и вычислительной геометрии им. Делоне.\
E-mail: shnurnikov@yandex.ru
