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abstract: '[Dans cet article je donnerai une nouvelle démonstration courte et directe pour le Théorème des Nombres Premiers. C’est vrai que ce théorème a été complétement démontré au début du 20ème siecle mais la démonstration était basé sur des résultats élémentaires (théorème de **Chebyshev**) et aussi analytiques compliqués (théorème de **Ikehrara**), mais ici j’ai pas utilisé le théorème de Chebyshev ainsi que j’ai remplacé et j’ai généralisé le théorème de **Ikehara** grâce à la notion des fonctions à variation bornée qui est ancienne mais récent dans la théorie analytique des nombres.]{}'
author:
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    \
    `lahoucine.elaissaoui@stud-mail.uni-wuerzburg.de`\
    `lahoumaths@gmail.com`
title: |
     <span style="font-variant:small-caps;">Tauberian Theorem of Laplace Transformation\
    And\
    Application of Prime Number Theorem</span> 
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Préliminaires
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Les fonctions à variation bornée
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Les fonctions à variation bornée joue un rôle très important dans la théorie de l’intégration au sens de **Stieltjes**, ici on va s’interésser à les fonctions à variation bornée sur $\R^+$ à valeurs complexes. Soit $x$ un réel positif et soit $(x_k)_{k=0,\cdots, n}$ une suite finie et strictement croissante des réels de l’intervalle $[0,x]$ tels que $0=x_0 < x_1<x_2< \cdots < x_n = x$ est une subdivision de l’intervalle $[0,x]$, on note $\Sigma$ pour cette subdivion et $\mathcal{S}([0,x])$ l’ensemble de toutes les subdivions possibles de $[0,x]$. *La fonction variation totale* d’une fonction complexe définie sur $\R^+$, notée $T_f$, est la fonction définie par [$$T_f(x) := \sup_{\Sigma \in \mathcal{S}([0,x])} \sum_{k=1}^n|f(x_k) - f(x_{k-1})|\label{e1}$$]{}

Il est bien clair que la fonction $T_f$ est une fonction croissante sur $\R^+$, par conséquent si $T_f$ est majorée sur $\R^+$ alors on dira que $f$ est à *variation bornée* sur $\R^+$ et on note $$V(f) = \lim_{x\to + \infty} T_f(x)  \in \R^+$$ pour *la variation totale* de la fonction $f$.

-   Toute fonction $g$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R^+$ à valeurs complexes telle que $g' \in L^1(\R^+)$ est à variation bornée, en effet, pour une subdivision $\Sigma: 0=x_0 < x_1<\cdots < x_n=x$ et puisque $g$ est continue sur chaque intervalle $[x_{i-1},x_i]$ (pour $i=1,\cdots n$) et dérivable sur leurs interieurs topologique alors d’après le théorème des accroissements finis il existe des $c_i$ dans $]x_{i-1},x_i[$ tels que $$|g(x_i) - g(x_{i-1})|=|g'(c_i)||x_{i} - x_{i-1}|$$

    D’où $$T_g(x) = \sup_{\Sigma \in \mathcal{S}([0,x])} \sum_{k=1}^n|g'(c_i)||x_{i} - x_{i-1}|$$

    Or cette somme est une somme de **Darboux** ce qu’on peut déduire grâce à l’intégrale de **Riemann** que $$T_g(x) = \int_0^x|g'(t)| dt$$

    Donc $$V(g) = \int_{0}^{+\infty}|g'(t)| dt$$ qui est finie puisque $g' \in L^1(\R^+)$, alors $g$ est à variation bornée sur $\R^+$.

-   toute fonction à variation bornée sur $\R^+$ est bornée sur $\R^+$, en effet, soit $f$ une fonction à variation bornée sur $\R^+$ alors pour un $x\geq 0$ $$\begin{aligned}
    |f(x) - f(0)| &= \left|\sum_{k=1}^n f(x_i) - f(x_{i-1})\right| \\ &\leq \sum_{k=1}^n|f(x_i) - f(x_{i-1})| \\ &\leq T_f(x) \\ &\leq V(f) <+\infty  \end{aligned}$$

    Alors $f$ est bornée sur $\R^+$.

\[prop1\]

On dit qu’une fonction $f$ définie de $\R^+$ à valeurs complexes admet une limite à gauche en $x \in \R^+$, notée $f(x^-)$ si à tout $\eps >0$ on peut associer un $0 \leq \delta < x$ tel que $$a < t < x \Longrightarrow |f(t) - f(x^-)| < \eps$$

Et en plus si $f(x^-) = f(x)$ on dit que $f$ est continue à gauche en $x$.

On note pour $\vb$ la classe des fonctions, définies de $\R^+$ à valeurs complexes, à variation bornée, continues à gauche en tout point de $\R^+$ et qui s’annullent en $0$.

Intégrale de Lebesgue-Stieltjes
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Le théorème 8.14 page 156 du livre \[Rud\] a établi le lien entre la théorie de la mesure et la théorie des fonctions à variation bornée. Donc d’après le même théorème, soit $f \in \vb$ alors il existe une unique mesure complexe de Borel $\mu_f$ telle que [$$f(x) = \mu_f([0,x[), \qquad \forall x\geq 0 \label{e2}$$]{}

Et en plus pour tout $x \in \R^+$ on a [$$T_f(x)=|\mu_f|([0,x[)$$]{}

Où $|\mu_f|$ est une mesure positive de Borel, dite *la variation totale de la mesure complexe $\mu_f$*, qui est *finie* d’après le théorème 6.4 page 114 de \[2\].

-   On peut facilement montrer que $|\mu_f|$ est finie autant que $f\in \vb$, en effet, soit $f\in \vb$ alors $$\begin{aligned}
     |\mu_f|(\R^+) &= \lim_{x\to +\infty} |\mu_f|([0,x[) \\ &= \lim_{x\to +\infty}T_f(x) \\&= V(f) <+ \infty\end{aligned}$$

-   D’une autre part, si $f$ est à valeurs dans $\R$ alors $\mu_f$ est dite *une mesure signée* alors de la même manière on démontre que cette mesure est finie.

-   Soit $f\in \vb$, si $y>x$ alors $$\begin{aligned}
    f(y) - f(x) &= \mu_f([0,y[) - \mu_f([0,x[)\\ &= \mu_f([x,y[) \end{aligned}$$

    Donc $$\mu_f(\{x\}) = f(x^+) - f(x)$$

    D’où $f$ est continue en $x$ si et seulement si $$\mu_f(\{x\}) = 0$$

Le théorème de **Radon-Nikodym**, voir le théorème 6.12 page 120 de \[2\], assure que pour toute mesure complexe $\mu$ il existe une fonction mesurable complexe $h$ de module égal à $1$ telle que $$d\mu = h d|\mu| .$$

Ainsi, on déduit que pour toute fonction $g:\R^+ \longrightarrow \C$ mesurable et bornée sur $\R^+$ on a $g \in L_{\mu_f}^1(\R^+)$ où $f\in \vb$. En effet: $$\begin{aligned}
 \left| \int_{\R^+} g d\mu_f \right| &\leq \int_{\R^+} |g| d|\mu_f| \\ &\leq \|g\|_{\infty} |\mu_f|(\R^+)\\ &< +\infty \end{aligned}$$

Où $$\|g\|_{\infty} = \sup_{x \in \R^+}|g(x)|.$$

Maintenant, d’après le théorème 6.1.4 du livre \[1\] on constate que pour $f \in \vb$ on a[$$\int_0^x df(t) = \mu_f([0,x[), \qquad x\geq 0 \label{e4}$$]{}

Soient donc $f\in \vb$ et $g:\R^+ \longrightarrow \C$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R^+$ telle que $g' \in L^1(\R^+)$, alors d’après le théorème 6.2.2 (grâce au résultat \[e4\]) du même livre on démontre que [$$\int_0^{+\infty} g(t) df(t) = \mu_{fg}(\R^+) - \int_0^{+\infty} f(t)g'(t) dt \label{e5}$$]{}

la mesure complexe $\mu_{fg}$ a bien un sens, en effet d’après les propriétés \[prop1\] on démontre que $g$ est à variation bornée or le produit de deux éléments de $\vb$ est un élément de $\vb$ alors $fg \in \vb$ (car $fg$ est à variation bornée et continue à gauche à chaque point de $\R^+$ et $(fg)(0) =0$), et en plus $$\mu_{fg}([0,x[) = f(x)g(x), \qquad \forall x\in \R^+$$

Et $$|\mu_{fg}(\R^+)| \leq |\mu_{fg}|(\R^+) = \lim_{x\to + \infty} T_{fg}(x)< + \infty$$

Théorème Tauberien de la transformation de Laplace complexe
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Dans tout ce qui suit $s = \sigma + it$ où $\sigma , t \in \R$ est un nombre complexe et $\rho$ est une fonction de la classe $\vb^* := \{f \in \vb , \quad  \ \Im(f) = 0 \}$. Ainsi $\C_*^+$ est l’ensemble des nombres complexes de partie réelle strictement positive.

On définit la transformation de Laplace-Stieltjes de la fonction $\rho$ par $$\L_{\rho}^*(s) = \int_0^{+\infty} e^{-sx}d\rho(x), \qquad \sigma > 0$$

il est bien clair d’après ce qui précéde, puisque $x\mapsto e^{-sx}$ est continue et bornée sur $\R^+$ pour tout $\sigma > 0$, que la fonction $\L_{\rho}^*$ est bien définie.

******

On pose pour tout $(x,s) \in \R^+ \times \C_+^*$ $$\phi(x,s) = e^{-sx}$$

Alors on a

-   Pour tout $x\geq 0$ la fonction $s\mapsto \phi(x,s)$ est continue en $0^+$.

-   Pour tout $\sigma > 0$ la fonction $x \mapsto \phi(x,s)$ est continue donc mésurable sur $\R^+$.

-   Pour tout $\sigma > 0$ et pour $d\rho$-presque tout $x \in \R^+$ on a $$|\phi(x,s)|\leq 1$$

    Où $1 \in L_{d\rho}^1(\R^+)$ car $$\int_{\R^+} d\rho(x) = \mu_{\rho}(\R^+) <+ \infty$$

    Alors la fonction $x \mapsto \phi(x,s)$ est $d\rho$-intégrable sur $\R^+$ et la fonction $\L_{\rho}^*$ est est continue en $0^+$. Donc $$\begin{aligned}
     \lim_{s \to 0^+} \L_{\rho}^*(s) &= \L_{\rho}^*(0) \\ &= \int_{\R^+}d\rho (x) \\ &= \lim_{x\to + \infty} \mu_{\rho}([0,x[) \qquad \text{d'après \ref{e4}}  \\ &= \lim_{+ \infty} \rho \qquad \qquad \qquad \quad \! \! \text{d'après \ref{e2}} \end{aligned}$$

$\blacksquare$

Maintenant on définit la transformation de Laplace complexe d’une fonction $\rho \in \vb^*$ par $$\L_{\rho}(s) = \int_{0}^{+ \infty} \rho(x)e^{-sx}dx, \qquad \sigma > 0 .$$

La fonction $\L_{\rho}$ est bien définie, en effet puisque $\rho \in \vb^*$ alors $\rho$ est bornée sur $\R^+$ en plus $$\left|\int_0^{+ \infty} \rho(x)e^{-sx}dx \right| \leq \| \rho\|_{\infty} \int_0^{+ \infty} e^{- \sigma x} dx = \frac{\|\rho\|_{\infty}}{\sigma} < +\infty$$

******

Soit $s\in \C_+^*$, d’après l’équation \[e5\] on a $$\L_{\rho}^*(s) = \mu_{\rho e^{-s \cdot}}(\R^+) + s \int_0^{+\infty} \rho(x) e^{-sx} dx$$

Or $$|\mu_{\rho e^{-s \cdot}}(\R^+)| = |\mu_{\rho}(\R^+)|\lim_{x \to + \infty} e^{-\sigma x} = 0$$

Donc $$\L_{\rho}^*(s) = s \L_{\rho}(s)$$

Passons à la limite $s \to 0^+$ on a d’après le <span style="font-variant:small-caps;">Lemme</span> \[L1\] $$\lim_{x\to + \infty} \rho(x) =Res(\L_{\rho},0)$$

$\blacksquare$

D’une manière générale, soit $\alpha$ un réel positif alors il est clair, d’après ce qui précéde, que pour tout $\rho \in \vb^*$ on a $\varrho(x) = \rho(x) e^{-\alpha x}$ est un élément de $\vb^*$. Ainsi on déduit le résultat suivant:

******

Soit $\sigma > \alpha$, alors $$\L_{\rho}(s) = \int_0^{+\infty} \rho(x)e^{-sx}dx = \int_{0}^{+\infty} \rho(x) e^{-\alpha x} e^{-(s-\alpha)x}dx$$

On pose $$\varrho(x) = \rho(x)e^{- \alpha x}, \qquad \forall x \geq 0  .$$

Alors $$\L_{\rho}(s) = \int_0^{+ \infty} \varrho(x)e^{-(s-\alpha)x}dx = \L_{\varrho}(s - \alpha)$$

Donc $$(s-\alpha) \L_{\rho}(s) = (s-\alpha)\L_{\varrho}(s- \alpha) = z \L_{\varrho}(z)$$

D’où quand $s \to \alpha$ on aura $z \to 0$ et d’après le <span style="font-variant:small-caps;">Théorème</span> \[T1\] on a $$\lim_{x \to + \infty} \varrho(x) = Res(\L_{\varrho}(z),z=0) = Res(\L_{\rho},\alpha)$$

Alors $$\rho(x) \underset{x \to + \infty}{\sim} Res(\L_{\rho},\alpha) e^{\alpha x} .$$

$\blacksquare$

Théorème des Nombres Premiers (nouvelle démonstration)
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Soit $\chi: \N^* \longrightarrow \R^+$ une fonction arithmétique positive, on pose pour tout $x \in (1,+\infty)$ $$f(x) = \sum_{1 \leq n < x}\chi(n) \qquad \text{et} \qquad f(1) =0 .$$

Il est clair que la fonction $f$ est croissante sur $[1,+\infty)$ et continue à gauche en tout point de $[1,+\infty)$. Ainsi, les points de discontinuité de $f$ sont des éléments de $\N^*$. Si $f$ est continue en $x\in \N^*$ alors on aura $$f(x^+) = f(x)$$

Donc $$\begin{aligned}
 0 &= f(x^+) - f(x) \\ &= \sum_{x \leq n < x^+}\chi(n) \\ &= \chi(x) \end{aligned}$$

Alors [$$f \ \text{est \ continue \ en } \ x \in \N^* \Longleftrightarrow \chi(x) = 0 \label{R1}$$]{}

Soit maintenant $(a_k)_{k \in \N}$ une suite croissante des points de discontinuité de la fonction $f$ sur $[1,+\infty)$ alors $f$ est constante sur chaque intervalle $I_k=(a_{k-1},a_{k}]$ (où $k \in \N^*$). En effet, soit $k\in \N^*$ s’il existe $n \in I_k$ tel que $f$ est continue en $n$ alors d’après \[R1\] $\chi(n) = 0$ ainsi et d’une manière générale soit $(\beta_i)_{i \in \N^*}$ une suite strictement croissante des entiers de $\overset{\circ}{I_k}$ (l’interieur de $I_k$), alors $f$ est continue en chaque $\beta_i$ d’où $\chi(\beta_i)=0$ pour tout $i=1,2,\cdots$ et en conséquent pour tout $x \in (a_{k-1},a_k]$ on a $f(x) = f(a_{k-1}^+)$ ($k \in \N^*$).

Soient $\alpha >1$ un réel et $\rho$ la fonction définie sur $\R^+$ par $$\rho(x) = f\left( e^{x} \right) e^{-\alpha x} .$$

Soit $k$ un entier strictement positif on note $ (\lambda_k)_{k \in \N}$ pour la suite croissante des points de discontinuité de la fonction $\rho$ sur $\R^+$ ($\lambda_k = \log a_k \in \log\N^*$). Alors la fonction $\rho$ est décroissante sur chaque intervalle $J_k = (\lambda_{k-1},\lambda_k]$, en effet: soient $x,y \in J_k$ tels que $x>y$, donc puisque $f$ est constante ($\equiv c_k$) sur $J_k$ alors $\rho(x) - \rho(y) = c_k \left(e^{-\alpha x} - e^{-\alpha y}\right) < 0$ d’où $\rho$ est strictement décroissante sur $J_k$ pour tout $k \in \N^*$. D’une autre part, pour tout $k \in \N^*$ $$\rho(\lambda_k^+) > \rho(\lambda_k).$$

En effet, puisque la fonction $x \mapsto e^{- \alpha x}$ est continue sur $\R^+$ alors $e^{-\alpha \lambda_k^+} = e^{- \alpha \lambda_k}$ donc $$\rho(\lambda_k^+)-\rho(\lambda_k) = (f(a_k^+) - f(a_k))e^{- \alpha \lambda_k}$$ et puisque $f$ est discontinue en $a_k$ et croissante sur $[1,+\infty)$ alors $f(a_k^+) > f(a_k)$. D’où $$\rho(\lambda_k^+) > \rho(\lambda_k).$$

******

Soit $x \in \R^+$, on pose $0=x_0 < x_1 < \cdots < x_n = x$ une subdivision de l’intervalle $[0,x]$ et on note pour $m$ le plus grand entier naturel non nul tel que $\lambda_{m-1} < x \leq \lambda_m$ où les $(\lambda_k)_{k \in \N}$ sont les points de discontinuité de la fonction $\rho$ définis précédamment, alors $$\sum_{i=1}^n |\rho(x_i) - \rho(x_{i-1})| = \sum_{k=0}^m\sum_{\underset{x_i \in J_k}{i=1}}^n|\rho(x_i) - \rho(x_{i-1})|$$ où $(J_k)_{k \in \N^*}$ sont les intervalles $(\lambda_{k-1},\lambda_k]$ et $J_0=[0,\lambda_0]$, et on note bien que $\displaystyle \cup_{k=0}^mJ_k =[0, \lambda_m] $ donc puisque $\rho$ est strictement décroissante sur chaque $J_k$ alors

$$\begin{aligned}
\sum_{k=0}^m\sum_{\underset{x_i \in J_k}{i=1}}^n|\rho(x_i) - \rho(x_{i-1})| & \leq \rho(0) - \rho(\lambda_0) + \sum_{k=1}^m\left(\rho(\lambda_{k-1}^+) - \rho(\lambda_k)\right) - (\rho(x) - \rho(\lambda_m)) \\ &=-\rho(\lambda_0)+\rho(\lambda_0^+)-\rho(\lambda_1)+\rho(\lambda_1^+)+ \cdots -\rho(\lambda_m) - \rho(x) + \rho(\lambda_m)\\ &= - \rho(x) + \sum_{k=0}^{m-1}\left(\rho(\lambda_k^+) -\rho(\lambda_k)\right) \\ &= - \rho(x) + \sum_{k=0}^{m-1} \frac{f(a_k^+) - f(a_k)}{a_k^{\alpha}} \\ &= -\rho(x) + \sum_{k=0}^{m-1}\frac{\chi(a_k)}{a_k^{\alpha}}\end{aligned}$$

Où les $(a_k)_{k \in \N}$ sont les points de discontinuité de la fonction $f$ et qui sont des éléments de $\N^*$. Donc $$\sum_{k=0}^{m-1}\frac{\chi(a_k)}{a_k^{\alpha}} \leq \sum_{1\leq \ell < e^x} \frac{\chi(\ell)}{\ell^{\alpha}}$$

D’où $$\sum_{i=1}^n |\rho(x_i) - \rho(x_{i-1})| \leq - \rho(x) + \sum_{1\leq \ell < e^x} \frac{\chi(\ell)}{\ell^{\alpha}}.$$

Alors $$T_{\rho}(x) \leq - \rho(x) + \sum_{1 \leq \ell <e^x}\frac{\chi(\ell)}{\ell^{\alpha}}  .$$

Or puisque $\rho$ est une fonction positive alors $$T_{\rho}(x) \leq \sum_{1 \leq \ell < e^x} \frac{\chi(\ell)}{\ell^{\alpha}} .$$

Donc $$\text{la série} \ \sum_{n \geq 1} \frac{\chi(n)}{n^{\alpha}} \ \text{converge} \ \Longrightarrow \rho \in \vb^* .$$

$\blacksquare$

Sans perte de généralité le résultat est vrai pour toute fonction arithmétique $\chi:\N^* \longrightarrow \R$ croissante. Dans ce cas, le <span style="font-variant:small-caps;">Lemme</span> \[L1\] peut être reformulé: $$\text{la série} \ \sum_{n \geq 1} \frac{\chi(n)}{n^{\alpha}} \ \text{est absolument convergente} \Longrightarrow \rho \in \vb^*.$$ où $\alpha > 1$.

Maintenant on arrive au résultat le plus important dans cette section:

******

Soit $\alpha > 1$ un réel tel que la série du terme générale $\frac{\chi(n)}{n^{\alpha}}$ est convergente alors, d’après le <span style="font-variant:small-caps;">Lemme</span> \[L1\], la fonction $\rho(x) = f(e^x)e^{-\alpha x}$ est un élément de $\vb^*$. Or d’après le <span style="font-variant:small-caps;">Corollaire</span> \[C1\] on déduit que $$\rho(x) \underset{x \to + \infty}{\sim} Res(\L_{\rho},\beta) e^{\beta x} .$$

Ce qui est $$f(e^x) \underset{x \to + \infty}{\sim}Res(\L_{\rho},\beta) e^{(\alpha + \beta)x} .$$

D’où $$f(x) \underset{x \to + \infty}{\sim} Res(\L_{\rho},\beta) x^{\alpha + \beta} .$$

Ce qu’il fallait démontrer.

$\blacksquare$

On rappelle que la fonction $\Lambda$ de **Von Mangoldt** est une fonction arithmétique définie sur $\N^*$ par $$\Lambda(n) := \begin{cases} \log p \quad \text{si} \ n=p^k , \quad k \in \N^*,p\in \P \\ \\ \quad 0 \qquad  \text{sinon} \end{cases}.$$

La fonction définie pour tout $x \in  [1,+ \infty)$ tel que $x \neq p^k$ où $k\in \N^*$ et $p\in \P$ par $ \displaystyle \psi(x) = \sum_{n < x} \Lambda(n)$ est dite la fonction de **Chebyshev**, ainsi pour démontrer le théorème des nombres premiers il faut et il suffit de démontrer que $$\psi(x) \underset{x\to + \infty}{\sim} x .$$

Il existe une forte relation entre la fonction $\zeta$ de **Riemann** et la fonction $\psi$, en effet $$-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \sum_{n \geq 1} \frac{\Lambda(n)}{n^s} = s \int_0^{+ \infty} \psi(e^x)e^{-sx}dx, \qquad \forall \sigma > 1.$$

On rappelle aussi que la fonction $\zeta$ est holomorphe sur $\{\sigma \geq 1\}$ sauf au $s=1$ qui est le seul pôle simple de la fonction $\zeta$, ainsi d’après **Hadamard** et **De La Vallée Poussin** la fonction $\zeta$ ne s’annulle en aucun point du demi-plan $\{\sigma \geq 1 \}$. Alors on déduit que la fonction $-\frac{\zeta'}{\zeta}$ est holomorphe sur $\{\sigma \geq 1 \}$ sauf au point $s=1$ qui est le seul pôle simple de résidu égal à $1$.

Et on a le **Théorème des Nombres Premiers**:

******

Soit $\alpha > 1$ un réel donné, on pose $$\rho(x) = \psi(e^x)e^{-\alpha x}, \qquad \forall x \in \R^+.$$

Alors puisque la fonction $- \frac{\zeta'}{\zeta}$ est holomorphe sur $\{\sigma > 1\}$ alors la série su terme général $\frac{\Lambda(n)}{n^{\alpha}}$ est convergente pour tout $\alpha > 1$.

D’une autre part, soit $\sigma > 1$ alors

$$\begin{aligned}
\L_{\rho}(s) &= \int_0^{+ \infty}\rho(x)e^{-sx}dx \\ &= \int_0^{+\infty} \psi(e^x)e^{-\alpha x} e^{-sx}dx \\ &= \int_0^{+ \infty} \psi(e^x)e^{-(s+\alpha)x}dx \\&= - \frac{\zeta'(s+\alpha)}{(s+\alpha)\zeta(s+\alpha)} \end{aligned}$$

Alors puisque la fonction $s\mapsto - \frac{\zeta'(s+\alpha)}{(s+\alpha)\zeta(s+\alpha)}$ est holomorphe sur $\{\sigma \geq 1-\alpha\}$ sauf au point $s=1-\alpha$ qui est le seul pôle simple de cette fonction où $$Res\left(- \frac{\zeta'(s+\alpha)}{(s+\alpha)\zeta(s+\alpha)},1-\alpha \right)=1$$

Alors d’après le <span style="font-variant:small-caps;">Théorème</span> \[T2\] on a $$\psi(x) \underset{x \to + \infty}{\sim}x^{\alpha + 1 - \alpha}$$

C’est à dire $$\psi(x) \underset{x \to + \infty}{\sim} x .$$

Ce qu’il fallait démontrer.

$\blacksquare$

[plain]{}

M.Carter et B. Van Brunt, *The Lebesgue-Stieltjes Integral* a practical introduction, Springer (2000). E.C. Titchmarsh, *The Theory of The Riemann Zeta-Function* 2nd ed, revised by D. R. Heath-Brown, Oxford University Press (1986). Walter Rudin, *Analyse réelle et complexe*, Troisième tirage MASSON Paris New York Barcelone Milan 1980.
