Un sous-système d’un système plat de dimension différentielle $2$ est plat

A subsystem of a flat system of differential dimension $2$ is flat.

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Mai 2017

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The result that will be proved corresponds in control theory to the fact that a system with $2$ controls which is linearizable by exogenous feedback is linearizable by endogenous feedback or also that any of a is flat. We refer to [@fliess; @fliess3; @Sira-Ramirez2004; @Levine2009] for more details on flat systems, a notion that goes back to Monge’s problem [@Monge1787; @Hilbert1912; @Cartan1915; @Zervos1932], and to [@vinogradov; @zharinov; @fliess2] for the formalism of diffiety theory. We will use Rouchon’s lemma [@Rouchon1994; @Ollivier1998], following the notations and definitions of [@OllivierSadik2006a]. A , or , $V/U$ will be a diffiety with a projection $V\mapsto U$ that is a diffiety morphism and a $W/U$ of $V/U$ is such that $\cO(W)\subset\cO(V)$. For brevity, we denote $\partial/\partial x$ by $\partial_{x}$.

A $m$ $V/U_{\delta_{0}}$ is an open subset of $\R^{n}\times\left(\R^{\N}\right)^{m}\times U$ with a derivation $\delta_{0}+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x,z,u)\partial_{x_{i}}+\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=0}^{\infty}
z_{j}^{(k+1)}\partial_{z_{j}^{(k)}}$.

The , $T^{m}/U_{\delta_{0}}$, is $\left(\R^{\N}\right)^{m}\times U$ equipped with the derivation $\delta_{0}+\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=0}^{\infty}
z_{j}^{(k+1)}\partial_{z_{j}^{(k)}}$. We may then define flat systems.

\[e-flatness\] A system $V/U_{\ast}$ is if there exist a diffiety extension $U/U_{\ast}$ and $\phi:W/U\mapsto
V\times_{U_{\ast}}U$ a morphism of extensions of $U$, where $W$ is an open subset of $T^{\mu}/U$, such that $\mathrm{Im}\phi$ is dense in $V\times_{U_{\ast}}U$.

A system $V/U$ is if there exists a dense open set $W\subset V$ such that any $x\in W$ admits a neighbourhood $O$ isomorphic by $\phi: O\mapsto \tilde O$ to an open subset $\tilde
  O$ of $T^{m}\times U$; the functions $\phi^{\ast}(z_{j})$ that generate $\cO(O)$ are called .

By convention, $\ord_{z}A=-\infty$ if $A$ is free from $z$ and its derivatives. In the case of a parametrizable diffiety, we identify a function $x\in\cO(V)$ with the function $x(z)=\phi^{\ast}(x)\in\cO(W)$.

Our theorem may be stated as follows. The case $m=1$ is classical [@Charlet1989]. The proof will make a repeated use of Rouchon’s lemma [@Rouchon1994; @Ollivier1998], given below.

\[e-endo\] A parametrizable extension of differential dimension at most $2$ is flat.

\[e-Rouchon\] Let $V/U_{\ast}$ be a parametrizable diffiety extension, $x_{i}\in\cO(V)$, $i=1\ldots n$ a family of nonconstant functions on $V$, $H(x)=0$ a differential equation satisfied by the $x_{i}$ and $e_{i}:=\ord_{x_{i}}H$.

Using the notations of def. \[e-flatness\], let $z_{j}$ be coordinates on $T^{\mu}$ and assume the $\max_{i=1}^{n}\ord_{z_{1}}
x_{i}=r>-\infty$. If $e_{i}=0$ $\Rightarrow$ $\ord_{z_{1}}
x_{i_{0}}<r$, then using the notation $D:=\sum_{e_{i}>0}C_{i}\partial_{x_{i}^{(e_{i})}}$ where the $C_{i}$ are new variables with $DC_{1}=0$, the $n$-tuple $(\partial_{z_{1}^{(r)}}
x_{i}^{(e_{i})})$ is a solution of the equations $\phi^{\ast}(D^{k}P)=0$.

It suffices to remark that, $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}x_{i}^{(e_{i})}=\partial_{z_{1}^{(r)}}x_{i}$ for $e_{i}>0$, so that $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}^{2}x_{i}=0$. Substituting $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}x_i$ to $C_{i}$ in $D^{k}P$, one gets $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}^{k}P=0$.

From now on, we only consider differential dimension $2$. We may complete some local coordinates on $V$, considered as functions of the $z_{j}$ using the morphism $\phi$, to get local coordinates on $W$, say by choosing $z_{i}, \ldots, z_{i}^{(s_{i})}$, $i=1,2$, ($s_{1}\le r$), and the $z_{j}^{(k)}$, $j>2$, $k\in\N$. We may then express the derivations $\partial/\partial z_{1}^{(k)}$ in the $V$ coordinates. In this setting, for state equations defining $V$, Rouchon’s lemma means that $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}$ and $\partial_{z_{1}^{(r)}}=[\delta,\partial_{z_{1}^{(r+1)}}]$ do commute. The next lemma goes one step further by considering $\partial_{z_{1}^{(r-1)}}=[\delta,\partial_{z_{1}^{(r)}}]$ (*cf.* [@zharinov1996]).

\[e-Rouchon2\] Under the hypotheses of th. \[e-Rouchon\], assume that the system $V/U$ is locally defined by explicit equations of order $1$. $P_{i}:=x_{i}'-h_{i}(x,x_{1}',x_{2}',u)=0$, $2< i\le n$.

If $V/U$ is parametrizable, the homogeneous ideal $(D^{k}P_{i}|1\le i\le n-2,\> k\in\N)$ is of projective dimension $0$, iff at least one of the equations $P_{i}$ is non linear in the derivatives $x_{i}'$.

In this case, the state equations can be rewritten $x_{i}'=f_{i}(x,v_{2},u)v_{1}+g_{i}(x,v_{2},u)$, where the $v_{i}$ are functions of the $x_{i}$ and the $x_{j}'$, $j=1,2$, such that $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}v_{2}=0$, $f_{1}=1$ ( $v_{1}=x_{1}'$) and $f_{2}=v_{2}$ if $f_{2}$ depends on $v_{2}$.

We have moreover $\partial_{z_{1}^{(r)}}f_{i}(x,v_{2},u)=0$.

— By th. \[e-Rouchon\], the dimension is at least $1$. Now, if $P_{i}$ is non linear in $x_{i}'$, $i=1,2$, then a non trivial relation $D^{2}P_{i}=0$, so that the dimension is at most $1$. — Up to a permutation of indices, we may assume that $C_{1}\neq0$. Now, $C_{2}=F(x,x_{1}',x_{2}')C_{1}$ with $\partial_{z_{1}^{(r)}}F=0$. We take $v_{1}=x_{1}'$. If $F$ depends on $x_{2}'$, we choose $v_{2}=F$, $f_{2}(v_{2})=v_{2}$ and $g_{2}=x_{2}'-v_{2}$ or else $f_{2}(x)=F(x)$, $v_{2}=x_{2}'-f_{2}(x)v_{1}$ and $g_{2}(v_{2})=v_{2}$. — We have $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}=A\partial_{v_{1}}+2A'\partial_{v_{1}'}+\cdots+B\partial
v_{2}'+\cdots$  So $\partial_{z_{1}^{(r)}}=\sum_{i=1}^{n}Af_{i}\partial_{x_{i}}+
A'\partial_{v_{1}}\cdots+B\partial_{v_{2}}+\cdots$ Going one step further, we get, as terms in $A'$ cancel: $\partial_{z_{1}^{(r-1)}}=\sum_{i=1}^{n}\left(Af_{i}'+
\hbox{terms of order at most $r$ in $z_{1}$}\right)\partial_{x_{i}}+\cdots$ As $[\partial_{z_{1}^{(r+1)}},\partial_{z_{1}^{(r-1)}}]=0$, we need have $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}f_{i}'=\partial_{z_{1}^{(r)}}f_{i}=0$.

<span style="font-variant:small-caps;">Sketch of the proof of th. \[e-endo\].</span> — Denote by $z$, $v$, $u$ $u_{\ast}$ coordinate functions on $T^{\mu}$, $V$, $U$, $U_{\ast}$. If the result is false, there exists an open subset $O=\phi(\tilde O)\subset V$ such that no open subset $O_{\prime}=\phi(\tilde O_{\prime})\subset O$ is isomorphic to an open subset of $T^{m}$. We will look for a contradiction.

In the case $m=1$, we choose $x_{i}$, $1\le i\le n$ such that the $x_{i}$ and their derivatives are local coordinates of $O_{\prime}\subset O$. We assume moreover that these function satisfy equations of order $1$ $x_{i}'=h_{i}(x, x_{1}', u_{\ast})$, $1<i\le n$ and that $n$ is minimal. If $n=1$, $O_{\prime}$ is flat.

If not, th. \[e-Rouchon\] implies that the $h_{i}$ are linear in $x_{1}'$: $h_{i}=f_{i}x_{i}'+g_{i}$. Then, we may replace the $x_{i}$ by $n-1$ independent solutions $y(x,u_{\ast})$ of the differential system $\partial_{x_{1}} Y+\sum_{i=2}^{n}f_{i}\partial_{x_{i}}
Y=0$. The derivatives $y_{i}'$ do not depend on $x_{1}'$, and the $y_{i}$ satisfy a new system of order $1$ contradicting the minimality of $n$.

In the case $m=2$, we also consider $x_{i}(z,u,u_{\ast})$, $1\le i\le n$, that satisfy a system of order $1$ $x_{i}'=h_{i}(x, x_{1}',
x_{2}',u_{\ast})$, $2<i\le n$ and $\max_{i=1}^{n}\ord_{z_{1}} x_{i}=r>-\infty$. We assume that the couple $(r, n)$ is minimal for lexicographic ordering.

If $n=2$, $O_{\prime}$ is flat. If the $h_{i}$ do not depend on $x_{1}'$ or $x_{2}'$, we are reduced to the case $m=1$, already considered. We distinguish two cases.

i\) If the $h_{i}$ are all linear in $x_{1}'$ and $x_{2}'$: $h_{i}=\sum_{j=1}^{2}f_{i,j}x_{j}'+g_{i}$, $1\le i\le n$, we replace the $x_{i}$ by $n-1$ independent solutions $y(x, u_{\ast})$, of the differential equation $\partial_{x_{1}}
Y+\sum_{i=3}^{n}f_{i,1}\partial_{x_{i}} Y=0$. The order $\max_{i=1}^{n-1}\ord_{z_{1}} y_{i}$ is at most $r$. The $y_{i}'$ do not depend on $x_{1}'$, so that they satisfy a system of order $1$. If the $y_{i}'$ depend on $x_{1}$, they satisfy our hypotheses, which contradicts the minimality of $n$. If not, we are reduced to the case $m=1$ and we just have to complete the flat output for the diffiety defined by the $y_{i}$ with $x_{1}$ to conclude.

ii\) If the $h_{i}$ are not linear in $x_{1}'$ and $x_{2}'$, by  \[e-Rouchon2\] the state equations can be rewritten $x_{i}'=f_{i}(x,v_{2},u_{\ast})*v_{1}+g_{i}(x,v_{2},u_{\ast})$, with $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}v_{2}=0$ and $\partial_{z_{1}^{(r)}}f_{i}(x,v_{2},u)=0$. We can replace the $x_{i}$ by $n-1$ independent solutions $y_{i}(x,v_{2},u_{\ast})$ of the differential equation $\sum_{i=1}^{n}f_{i}\partial_{x_{i}}Y=0$, completed with $v_{2}$ if the $f_{i}$ depend on $v_{2}$. The $y_{i}'$ must depend on $x_{1}$; if not the $f_{i}$ must be constants, the $y_{i}'$ satisfy linear equations so that the $h_{i}$ should have been linear in the $x_{j}'$, $j=1,2$.

So, the $y_{i}$ (and $v_{2}$ if $f_{2}=v_{2}$) must satisfy a system of order $1$ and, according to  \[e-Rouchon2\] are of order less than $r$ in $z_{1}$. A final contradiction that concludes the proof.

*E.g.*, the diffieties $U$ and $U_{\ast}$ may be respectively $\R$, standing for the time variable $t$ with a derivation $\partial/\partial t$ and a single point with derivation $0$, if $V$ is associated to a stationary model. Then, the theorem asserts that $V$ is flat with flat outputs not depending on the time, answering a problem raised by Pereira Da Silva and Rouchon [@PereiraRouchon2004].

Introduction {#intro .unnumbered}
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Si la notion mathématique remonte aux travaux de Monge [@Monge1787] et a été étudiée au début du <span style="font-variant:small-caps;">xx</span>$^{\rm
  e}$ siècle par Hilbert [@Hilbert1912], Cartan [@Cartan1915] ou Zervos [@Zervos1932], les systèmes plats ont été inventés sous ce nom pour les besoins de l’automatique [@fliess; @fliess3; @Levine2009]. Dans ce cadre, le résultat qui va être prouvé en dimension différentielle au plus $2$, signifie qu’un système linéarisable par bouclage exogène est linéarisable par bouclage endogène. Sommairement, , c’est-à-dire que si les solutions d’un système d’EDO sont paramétrables par $m$ fonctions arbitraires, il existe un tel paramétrage localement bijectif. Le cas $m=1$ est une conséquence des résultat de Charlet *et al.* [@Charlet1989] ou dans le cas d’un paramétrage rationnel du théorème de Lüroth–Ritt, mais qui n’a pas d’analogue en dimension différentielle $2$ [@Ollivier1998].

La définition de la platitude peut varier selon que l’on impose ou non à un système stationnaire de posséder un paramétrage indépendant du temps (*cf.* Pereira da Silva et Rouchon [@PereiraRouchon2004]). On montrera que, en dimension différentielle au plus $2$, ces deux définitions coïncident, c’est-à-dire que .

Diffiétés plates
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Pour la notion de diffiété [@vinogradov; @zharinov], nous adoptons les conventions de [@OllivierSadik2006a]. Soit $I$ un ensemble dénombrable, on appellera un ouvert $V$ de $\R^{I}$ pour la topologie la plus grossière rendant pour tout $i_{0}\in I$ les projections $\pi_{i_{0}}:(x_{i})_{i\in I}\mapsto x_{i_{0}}$ continues, muni d’une dérivation $\delta=\sum_{i\in I} c_{i}(x){\partial\over\partial
x_{i}}$, où les $c_{i}$ appartiennent à $\cO(V)$, l’anneau des applications $\cC^{\infty}$ de $V$ dans $\R$ ne dépendant que d’un nombre de coordonnées. Par concision, $\partial/\partial x$ sera noté $\partial_{x}$.

Un est une application $\phi:V_{\delta_{1}}\mapsto V_{\delta_{2}}$, définie par des fonctions $\cO(V)$ et telle que $\delta_{1}\circ\phi^{\ast}=\phi^{\ast}\circ\delta_{2}$, où $\phi^{\ast}:\cO(V_{2})\mapsto\cO(V_{1})$ est l’application duale de $\phi$.

Une , ou un , noté $V/U$, est un couple de diffiétés muni d’une projection $\pi:V\mapsto
U$ surjective qui est un morphisme de diffiétés. Il s’agit donc d’un fibré sur $U$, avec une projection compatible avec la structure de diffiété. Un morphime d’extensions $\phi:V_{1}/U\mapsto V_{2}/U$ est un morphisme de $V_{1}$ dans $V_{2}$ tel que $\pi_{2}\circ\phi=\pi_{1}$. Un $W/U$ de $V/U$ est une extension de $U$ telle que $\cO(W)\subset\cO(V)$. Soient $V/U$ et $W/U$ deux extensions de diffiétés, leur produit fibré est muni d’une structure naturelle d’extension de $U$ (ainsi que de $V$ ou de $W$), notée $V\times_{U} W$.

Un $m$ $V/U_{\delta_{0}}$ est un ouvert de $\R^{n}\times\left(\R^{\N}\right)^{m}\times U$ muni d’une dérivation de la forme $\delta_{0}+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x,z)\partial_{x_{i}}+\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=0}^{\infty} 
z_{j}^{(k+1)}\partial_{z_{j}^{(k)}}$. de dimension différentielle $m$, que l’on note $T^{m}/U_{\delta_{0}}$, est $\left(\R^{\N}\right)^{m}\times U$ muni de la dérivation $$\delta_{0}+\sum_{i=1}^{m}\sum_{k=0}^{\infty}
z_{i}^{(k+1)}\partial_{z_{i}^{(k)}}.$$

\[platitude\] Un système $V/U_{\ast}$ est s’il existe un système $U/U_{\ast}$ et $\phi:W/U\mapsto
V\times_{U_{\ast}}U$ un morphisme d’extension de $U$, où $W$ est un ouvert de $T^{\mu}/U$, tel que $\mathrm{Im}\phi$ est dense dans $V\times_{U_{\ast}}U$.

Un système $V/U$ sera dit s’il existe un ouvert dense $W$ de $V$ tel que tout $x$ appartenant à $W$ admette un voisinage $O$ isomorphe par $\phi: O\mapsto \tilde O$ à un ouvert $\tilde O$ de $\T^{m}\times U$. Les fonctions ${\phi^{\ast}}(z_{i})$, où les $z_{i}$ définissent l’extension triviale, sont appelées .

\[endogene=exogene\] Une extension paramétrable de dimension différentielle au plus $2$ est plate.

Les diffiétés $U_{\ast}$ et $U$ (déf. \[platitude\]) peuvent, par exemple, faire intervenir une variable temps $t$ avec $t'=0$: si celui-ci n’apparaît pas dans $U_{\ast}$, il est absent des sorties plates de $V/U_{\ast}$.

Lemme de Rouchon et itération
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Par convention, $\ord_{z}A=-\infty$ si $A$ est indépendent de $z$ et de ses dérivées.derivatives. Pour une diffiété paramétrable, on identifiera la fonction $x\in\cO(V)$ avec la fonction $x(z)=\phi^{\ast}(x)\in\cO(W)$.

\[Rouchon\] Soit $V/U_{\ast}$ un système paramétrable, $x_{i}\in\cO(V)$, $i=1\ldots n$ une famille de fonctions non constantes sur $V$, $H(x)=0$ une équation différentielle satisfaite par les $x_{i}$ et $e_{i}:=\ord_{x_{i}}H$.

Avec les notations de la déf. \[platitude\], soient $z_{j}$ des coordonnées sur $T^{\mu}$ telles que $\max_{i=1}^{n}\ord_{z_{1}}
x_{i}=r>-\infty$. Si $e_{i}=0$ $\Rightarrow$ $\ord_{z_{1}}
x_{i_{0}}<r$, alors notant $D:=\sum_{e_{i}>0}C_{i}\partial_{x_{i}^{(e_{i})}}$ où les $C_{i}$ sont de nouvelles variables avec $DC_{1}=0$, le $n$-uplet $(\partial_{z_{1}^{(r)}}
x_{i}^{(e_{i})})$ est solution des équations $\phi^{\ast}(D^{k}P)=0$.

Il suffit de remarquer que $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}x_{i}^{(e_{i})}=\partial_{z_{1}^{(r)}}x_{i}$ pour $e_{i}>0$, de sorte que $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}^{2}x_{i}=0$. Substituant $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}x_i$ to $C_{i}$ dans $D^{k}P$, on obtient $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}^{k}P=0$.

Nous nous limitons maintenant à la dimension différentielle $2$. On peut compléter des coordonnées $x_{i}$ sur $V$, considérées comme des fonctions des $z_{j}$ grâce au morphisme $\phi$, pour obtenir des coordonnées locales sur $W$, *e.g.* en choisissant $z_{i}, \ldots, z_{i}^{(s_{i})}$, $i=1,2$, ($s_{1}\le r$), et les $z_{j}^{(k)}$, $j>2$, $k\in\N$. On peut alors exprimer les dérivations $\partial_{z_{1}^{(k)}}$ dans les coordonnées de $V$. De la sorte, pour des équations d’état définissant $V$, le *lemme* \[Rouchon\] signifie que $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}$ et $\partial_{z_{1}^{(r)}}=[\delta,\partial_{z_{1}^{(r+1)}}]$ commutent. Le lemme suivant va un cran plus loin en considérant $\partial_{z_{1}^{(r-1)}}=[\delta,\partial_{z_{1}^{(r)}}]$ (*cf.* [@zharinov1996]).

\[Rouchon2\] Sous les hypothèses du th. \[Rouchon\], supposons que le système $V/U$ est localement défini par des équations explicites d’ordre $1$: $$\label{state-eq}
P_{i}:=x_{i}'-h_{i}(x,x_{1}',x_{2}',u)=0,\quad 2< i\le n.$$

Si $V/U$ est paramétrable, l’idéal homogène $(D^{k}P_{i}|1\le i\le n-2,\> k\in\N)$ est de dimension projective $0$ ssi ssi l’une des équations $P_{i}$ est non linéaire en les dérivées $x_{i}'$.

Alors, les équations (\[state-eq\]) se réécrivent $x_{i}'=f_{i}(x,v_{2},u)v_{1}+g_{i}(x,v_{2},u)$ $(2)$, où les $v_{i}$ sont des fonctions des $x_{i}$ et des $x_{j}'$, $j=1,2$, telles que $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}v_{2}=0$, $f_{1}=1$ ( $v_{1}=x_{1}'$) et $f_{2}=v_{2}$ si $f_{2}$ dépend de $v_{2}$.

On a en outre $\partial_{z_{1}^{(r)}}f_{i}(x,v_{2},u)=0$.

— Par le th. \[Rouchon\], la dimension est au moins $0$. Si $P_{i}$ est non linéaire en les $x_{i}'$, $i=1,2$, alors il existe une équation non triviale $D^{2}P_{i}=0$, et la dimension est au plus $0$. — À permutation près, on peut supposer $C_{1}\neq0$. Alors, $C_{2}=F(x,x_{1}',x_{2}')C_{1}$ avec $\partial_{z_{1}^{(r)}}F=0$. Nous prenons $v_{1}=x_{1}'$. Si $F$ dépend de $x_{2}'$, on pose $v_{2}=F$, $f_{2}(v_{2})=v_{2}$ et $g_{2}=x_{2}'-v_{2}$ ou sinon $f_{2}(x)=F(x)$, $v_{2}=x_{2}'-f_{2}(x)v_{1}$ et $g_{2}(v_{2})=v_{2}$. — Nous avons $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}=A\partial_{v_{1}}+2A'\partial_{v_{1}'}+\cdots+B\partial
v_{2}'+\cdots$  Donc $\partial_{z_{1}^{(r)}}=\sum_{i=1}^{n}Af_{i}\partial_{x_{i}}+
A'\partial_{v_{1}}\cdots+B\partial_{v_{2}}+\cdots$ Au cran suivant, comme les terme en $A'$ s’annulent, on a: $\partial_{z_{1}^{(r-1)}}=\sum_{i=1}^{n}\left(Af_{i}'+
\hbox{des termes d'ordre au plus $r$ en $z_{1}$}\right)\partial_{x_{i}}+\cdots$ Comme $[\partial_{z_{1}^{(r+1)}},\partial_{z_{1}^{(r-1)}}]=0$, on doit avoir, $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}f_{i}'=\partial_{z_{1}^{(r)}}f_{i}=0$.

Mise en œuvre du lemme de Rouchon
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Soient $z$, $v$, $u$ $u_{\ast}$ des coordonnées sur $T^{\mu}$, $V$, $U$, $U_{\ast}$. Si le théorème est faux, il existe un ouvert $O=\phi(\tilde O)\subset V$ tel qu’aucun ouvert $O_{\prime}=\phi(\tilde O_{\prime})\subset O$ n’est plat. Nous allons chercher une contradiction.

Dans le cas $m=1$, soient $x_{i}$, $1\le i\le n$ des fonctions définissant avec leurs dérivées des coordonnées locales de $O_{\prime}\subset O$. On suppose en outre qu’elles satisfont des équations d’ordre $1$ $x_{i}'=h_{i}(x, x_{1}', u_{\ast})$, $1<i\le n$ et que $n$ est minimal. Si $n=1$, $O_{\prime}$ est plat.

Sinon, le th. \[Rouchon\] implique que les $h_{i}$ sont linéaires en $x_{1}'$: $h_{i}=f_{i}x_{i}'+g_{i}$. On peut alors remplacer les $x_{i}$ par $n-1$ solutions indépendantes $y(x,u_{\ast})$ de l’équation $\partial_{x_{1}} Y+\sum_{i=2}^{n}f_{i}\partial_{x_{i}}
Y=0$. Les dérivées $y_{i}'$ ne dépendent pas de $x_{1}'$, de sorte que les $y_{i}$ satisfont un nouveau système d’ordre $1$ contredisant la minimalité de $n$.

Dans le cas $m=2$, on considère aussi $x_{i}(z,u,u_{\ast})$, $1\le i\le n$, qui satisfont un système d’ordre $1$ $x_{i}'=h_{i}(x, x_{1}',
x_{2}',u_{\ast})$, $2<i\le n$ and $\max_{i=1}^{n}\ord_{z_{1}} x_{i}=r>-\infty$. Nous supposons le couple $(r, n)$ minimal pour l’ordre lexicographique.

Si $n=2$, $O_{\prime}$ est plat. Si les $h_{i}$ ne dépendent pas de $x_{1}'$ ou $x_{2}'$, on se ramène au cas $m=1$, déjà traité. On distingue deux situations.

i\) Si les $h_{i}$ sont tous linéaires en $x_{1}'$ et $x_{2}'$: $h_{i}=\sum_{j=1}^{2}f_{i,j}x_{j}'+g_{i}$, $1\le i\le n$, on remplace les $x_{i}$ par $n-1$ solutions indépendantes $y(x, u_{\ast})$ de l’équation $\partial_{x_{1}}
Y+\sum_{i=3}^{n}f_{i,1}\partial_{x_{i}} Y=0$. L’ordre $\max_{i=1}^{n-1}\ord_{z_{1}} y_{i}$ est au plus $r$. Les $y_{i}'$ ne dépendent pas de $x_{1}'$, et satisfont donc un nouveau système d’ordre $1$. Si les $y_{i}'$ dependent de $x_{1}$, ils satisfont nos hypothèses, contredisant la minimalité de $n$. Sinon, on est ramené au cas $m=1$ et il suffit de compléter la sortie plate de la diffiété définie par les $y_{i}$ avec $x_{1}$ pour conclure.

ii\) Si les $h_{i}$ ne sont pas linéaires en $x_{1}'$ et $x_{2}'$, par le  \[Rouchon2\] les équation d’état peuvent être réécrites $x_{i}'=f_{i}(x,v_{2},u_{\ast})*v_{1}+g_{i}(x,v_{2},u_{\ast})$, avec $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}v_{2}=0$ et $\partial_{z_{1}^{(r)}}f_{i}(x,v_{2},u)=0$. On remplace les $x_{i}$ par $n-1$ solutions indépendantes $y_{i}(x,v_{2},u_{\ast})$ de l’équation différentielle $\sum_{i=1}^{n}f_{i}\partial_{x_{i}}Y=0$, cpomplétées avec $v_{2}$ si les $f_{i}$ dépendent de $v_{2}$. Les $y_{i}'$ doivent dépendre de $x_{1}$; sinon les $f_{i}$ seraient des constantes, et les $y_{i}'$ satisferaient un système linéaire de sorte que $h_{i}$ seraient aussi linéaires en les $x_{j}'$, $j=1,2$.

Donc, les $y_{i}$ (et $v_{2}$ si $f_{2}=v_{2}$) engendrent $\cO(O_{\prime})$, doivent satisfaire un système d’ordre $1$ et, selon le  \[Rouchon2\] sont d’ordre strictement inférieur à $r$ en $z_{1}$: une contradiction finale qui achève la preuve.

Considérons $V$ défini par un modèle de voiture $\theta'=u/d\tan \phi$, $x'=u\cos\theta$, $y'=u\sin\theta$ (*cf.* [@fliess (18)]). Les diffiétés $U=U_{0}$ sont définies par $d'=0$. Soient les paramétrages $\phi$ exprimés par $\theta
  =\arctan(z_{2}'/z_{1}') \mp
  \arctan(z_{3}'/((z_{1}')^{2}+(z_{2}')^{2}-(z_{3}')^{2})^{1/2})+(1\mp
  1)\pi/2$, $x=z_{1}+z_{3}\sin\theta$ et $y=z_{2}-z_{3}\cos\theta$. Quand ${x_{3}'}^2$ tend vers ${x_{1}'}^{2}+{x_{2}'}^{2}$, les deux paramétrages tendent vers le lieu où $x'=y'=0$. Une famille de sorties plates est donnée, *e.g.*, par $B_{1}:=x+C\sin\theta$ et $B_{2}:=y-C\cos\theta$, $C\in\R$.

Tout choix de fonctions $B_{i}$ de $x$, $y$ et $\theta$ minimise $\epsilon(=2)$, mais pas nécessairement $e_{2}(\in\{0,1\})$. Si $e_{2}=1$, il peut être abaissé en remplaçant $P_{1}$ par une solution de (\[state-eq\]) (*cf.* i) *supra*). Si $e_{2}=0$ et $s=1$, alors on obtient $s=0$ en remplaçant $A_{2}$ par $P_{1}$ (*cf.* ii) a) *supra*).

En prenant $U$ défini par $t'=1$ et en substituant $t$ à $z_{3}$ dans les formules de l’exemple précédent, on obtient bien de nouveaux paramétrages indépendants de $t$.

Conclusion {#conclusion .unnumbered}
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Nous espérons une adaptation de cette preuve dans le cadre de l’algèbre différentielle ou en dimension différentielle supérieure à $2$, mais de nombreuses difficultés se présentent que nous ne savons pas surmonter.

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É. <span style="font-variant:small-caps;">Cartan</span>, Sur l’intégration de certains systèmes indéterminés d’équations différentielles», *Journal für die reine und angewandte Mathematik*, [**145**]{}, 86–91, 1915.

B. Charlet, J. Lévine et R. Marino, On dynamic feedback linearization, *Systems & Control Letters*, [**13**]{}, 143–151, North-Holland, 1989.

M. <span style="font-variant:small-caps;">Fliess</span>, J. <span style="font-variant:small-caps;">Lévine</span>, Ph. <span style="font-variant:small-caps;">Martin</span> et P. <span style="font-variant:small-caps;">Rouchon</span>, Flatness and defect of nonlinear systems: introductory theory and applications, *Internat. J. Control*, 61, p. 1327–1887, 1995.

M. <span style="font-variant:small-caps;">Fliess</span>, J. <span style="font-variant:small-caps;">Lévine</span>, Ph. <span style="font-variant:small-caps;">Martin</span> et P. <span style="font-variant:small-caps;">Rouchon</span>, “Deux applications de la géométrie locale des diffiétés”, *Annales de l’IHP, section A*, **66**, (3), 275–292, 1997.

M. <span style="font-variant:small-caps;">Fliess</span>, J. <span style="font-variant:small-caps;">Lévine</span>, Ph. <span style="font-variant:small-caps;">Martin</span> et P. <span style="font-variant:small-caps;">Rouchon</span>, A Lie-Bäcklund approach to equivalence and flatness of nonlinear systems, *IEEE AC.* 44:922–937, 1999.

D. <span style="font-variant:small-caps;">Hilbert</span>, Über den Begriff der Klasse von Differentialgleichungen, [ *Math. Annalen*]{}, 73, 95–108, 1912.

G. <span style="font-variant:small-caps;">Monge</span>, Supplément où l’on fait savoir…», [ *Histoire de l’Académie royale des sciences*]{}, Paris, 502–576, 1787.

F. <span style="font-variant:small-caps;">Ollivier</span>, Une réponse négative au problème de Lüroth différentiel en dimension 2, *C. R. Acad. Sci. Paris*, t. 327, Série I. p. 881–886, 1998.

J. Lévine, *Analysis and Control of Nonlinear Systems: A Flatness-based Approach*, Springer, 2009.

F. Ollivier et B. Sadik, La borne de Jacobi pour une diffiété définie par un système quasi régulier, , [**345**]{}, 3, 139–144, 2007.

P.S. Pereira da Silva et P. Rouchon, On time-invariant systems possessing time-dependent flat outputs, actes de *NOLCOS 2004*, Elsevier, 2004.

P. Rouchon, Necessary condition and genericity of dynamic feedback linearization, *Journal of Mathematical Systems Estimation and Control*, Birkhaüser Boston, **4**, (2), 1–14, 1994.

H. <span style="font-variant:small-caps;">Sira-Ramírez</span> and S. <span style="font-variant:small-caps;">Agrawal</span>, *Differentially Flat Systems*, Marcel Dekker, New York, 2004.

I.S. <span style="font-variant:small-caps;">Krasil’shchik</span>, V.V. <span style="font-variant:small-caps;">Lychagin</span> (V.V.) et A.M. <span style="font-variant:small-caps;">Vinogradov</span>, *Geometry of Jet Spaces and Nonlinear Partial Differential Equations*, Gordon and Breach, New York, 1986.

V.V. <span style="font-variant:small-caps;">Zharinov</span>, *Geometrical aspects of partial differential equations*, Series on Soviet and East European Mathematics, vol. 9, World Scientific, Singapore, 1992.

V.V. <span style="font-variant:small-caps;">Zharinov</span>, “On differentiations in differential algebras”, *Integral Transforms and Special Functions*, **4**, (1,2), 163–180, 1996.

P. <span style="font-variant:small-caps;">Zervos</span>, , Mémorial des Sciences Math., fasc. LIII, Gauthier-Villars, Paris, 1932.
