---
abstract: 'Геометрическая медиана плоской области — это точка, минимизирующая среднее расстояние от самой себя до всех точек этой области. Здесь мы выпишем некоторую градиентную систему для вычисления геометрической медианы треугольной области и сформулируем наглядное характеристическое свойство этой медианы. Оно заключается в том, что все три средних расстояния от геометрической медианы до трех сторон границы треугольной области равны между собой. Дальше эти результаты обобщаются на другие виды областей, а также на другие медианоподобные точки.'
author:
- |
    Петр Панов[$^1$]{}, Алексей Савватеев$^{2,3}$\
    $^1$Национальный исследовательский университет\
    &gt;, <panovpeter@mail.ru>\
    $^2$Московский физико-технический институт, <hibiny@mail.ru>\
    $^3$Центральный экономико-математический институт РАН
title: О геометрической медиане треугольной области и других медианоподобных точках
---

> **Ключевые слова:** геометрическая медиана, градиентная система, треугольная область.

Геометрическая медиана является естественным пространственным обобщением статистической медианы одномерной выборки, которая, как известно, минимизирует суммарное расстояние до всех элементов выборки. Именно это минимизирующее свойство положено в основу определения геометрической медианы $m$ конечного набора точек $P_1,\dots P_n$ на плоскости $$\label{eq:nmedian}
    m = \mathop{\mathrm{arg\,min}}\limits_{X\in\mathbb R^2}
    \sum_{i=1}^n{|P_i-X|}.$$

С начала прошлого века геометрическая медиана и ее непосредственные обобщения используются в экономической науке в качестве полезного инструмента [@Weber1909]. Параллельно продолжают исследоваться математические свойства дискретной медианы и разрабатываются эффективные численные методы для ее нахождения [@Wesolowsky1993]. А ближе к концу века интерес смещается в сторону непрерывного случая — развиваются исследования, связанные с геометрическими медианами кривых и областей [@Fekete2005; @Zhang2014].

В своем изложении мы как раз сосредоточимся на непрерывном случае. Мы начнем с вывода градиентной системы для нахождения геометрической медианы треугольной области (Теорема \[TriangleSystem\]). Это позволит получить простое и компактное характеристическое свойство геометрической медианы этой области (Предложение \[TriangleSystem’\]). Дальше эти результаты обобщаются на другие виды областей, а также на другие медианоподобные точки.

Напомним, что по аналогии с дискретным случаем (\[eq:nmedian\]) геометрическая медиана $m$ области $\Omega\subset \mathbb R^2$ определяется как $$m = \mathop{\mathrm{arg\,min}}\limits_{X\in\mathbb R^2}\int_{P\in\Omega}{|P - X|}\,dP,$$ где $|P - X|$ — это обычное евклидово расстояние между точками $P$ и $X$. После введения обозначения $$\label{eq:SigmaOmega}
    \Sigma_\Omega(X) = \int_{P\in\Omega}|P-X|\,dP$$ то же самое определение можно записать короче $$m = \mathop{\mathrm{arg\,min}}\limits_{X\in\mathbb R^2} \Sigma_\Omega(X).$$ Нам понадобится еще одно одно обозначение, пусть $P_1$ и $P_2$ — некоторые точки на плоскости, тогда $$\Sigma_{P_1P_2}(X) = \int_{P\in P_1P_2}|P-X|\,dP,$$ где интегрирование ведется по отрезку $P_1P_2$. Заметим, что среднее расстояние от точки $X$ до точек отрезка $P_1P_2$ имеет вид $\Sigma_{P_1P_2}(X)/|P_2-P_1|$. Теперь приступим к формулировке первого результата.

\[TriangleSystem\] Точка $m$ тогда и только будет геометрической медианой треугольной области $\Delta$ с вершинами $P_1,P_2,P_3$, когда выполняется равенство $$\label{eq:TriangleSystem}
    \frac{\Sigma_{P_1P_2}(m)}{|P_2 - P_1|}\,\overrightarrow{P_1P_2} +
    \frac{\Sigma_{P_2P_3}(m)}{|P_3 - P_2|}\,\overrightarrow{P_2P_3} +
    \frac{\Sigma_{P_3P_1}(m)}{|P_1 - P_3|}\,\overrightarrow{P_3P_1} = 0.$$

[*Доказательство*]{}. Из определения следует, что медиана $m= m(\Delta)$ — это критическая точка функции $\Sigma_\Delta$. Возьмем малый вектор $\vec \delta$, $|\vec \delta| = \delta$ и вычислим приращение функции $\Sigma_\Delta$ при смещении аргумента на этот вектор $$\delta\Sigma_\Delta(X)=
    \Sigma_\Delta(X + \vec \delta) - \Sigma_\Delta(X).$$ В критической точке $m$ оно должно иметь порядок $o(\delta)$.

Положим $P'_i = P_i - \vec \delta$ и обозначим через $\Delta'$ сдвинутый треугольник с штрихованными вершинами (рис. \[fig:BrownTriangle\]).

![Треугольник $\Delta'$ сдвинут относительно $\Delta$ на вектор $-\vec \delta$[]{data-label="fig:BrownTriangle"}](BrownTrianglePM)

Этот рисунок показывает, что приращение функции $\Sigma_\Delta$ при смещении аргумента на вектор $\vec \delta$ мы можем записать также и в виде $$\delta\Sigma_\Delta(X) =
    \Sigma_{\Delta'}(X) - \Sigma_\Delta(X).$$

Для параллелограмма с вершинами $P_i,P_{i+1},P'_{i+1},P'_i$ введем обозначение $\pi_i$ и, заодно, введем обозначение $|\pi_i|$ для его площади. Тогда, как показывает рисунок \[fig:BrownTriangle\], это приращение представляется суммой трех слагаемых вида $\Sigma_{\pi_i}(X)$, взятых с подходящими знаками. Причем при $\delta \to 0$ средние значения интегралов $\Sigma_{\pi_i}(X)$ и $\Sigma_{P_iP_{i+1}}(X)$ сближаются друг с другом, а именно, $$\frac{\Sigma_{\pi_i}(X)}{|\pi_i|} =
    \frac{\Sigma_{P_iP_{i+1}}(X)}{|P_{i+1}-P_i|} + o(1).$$ Вопрос о знаке, с которым слагаемое $\Sigma_{\pi_i}(X)$ должно входить в приращение $\delta\Sigma_\Delta(X)$, решается следующим образом. Умножим обе части предыдущего равенства на ориентированную площадь параллелограмма $\pi_i$, а именно, на $-\vec\delta\wedge\overrightarrow{P_iP_i}_{+1}$, $$-\frac{\vec\delta\wedge\overrightarrow{P_iP_i}_{+1}}{|\pi_i|}\, \Sigma_{\pi_i}(X) =
    -\vec\delta\wedge\overrightarrow{P_iP_i}_{+1}\,
    \frac{\Sigma_{P_iP_{i+1}}(X)}{|P_{i+1}-P_i|} + o(\delta).$$ Нетрудно проверить, что дробь, стоящая перед $\Sigma_{\pi_i}(X)$, как раз и является тем самым необходимым знаком. Таким образом, $$\begin{gathered}
\label{eq:deltaSigma}
    \delta\Sigma_\Delta(X) = \\
    = -\vec\delta\wedge\
    \left(
    \frac{\Sigma_{P_1P_2}(X)}{|P_2 - P_1|}\,\overrightarrow{P_1P_2} +
    \frac{\Sigma_{P_2P_3}(X)}{|P_3 - P_2|}\,\overrightarrow{P_2P_3} +
    \frac{\Sigma_{P_3P_1}(X)}{|P_1 - P_3|}\,\overrightarrow{P_3P_1}
    \right) + o(\delta).\end{gathered}$$ Мы видим, что приращение $\delta\Sigma_\Delta(X)$ в точке $X$ в том и только в том случае будет иметь порядок $o(\delta)$, когда выражение, стоящее в скобках, будет равно нулю. Теорема доказана.

На самом деле вектор, расположенный в скобках в выражении (\[eq:deltaSigma\]) — это градиент функции $\Sigma_\Delta(X)$, повернутый на $-90^\circ$, так что уравнение (\[eq:TriangleSystem\]) — это, действительно, градиентная система.

Градиентную систему (\[eq:TriangleSystem\]) можно записать в более компактном и симметричном виде. Из Теоремы \[TriangleSystem\] вытекает следующее утверждение.

\[TriangleSystem’\] Точка $m$ тогда и только тогда будет геометрической медианой треугольной области $\Delta$ с вершинами $P_1,P_2,P_3$, когда $$\label{eq:TriangleSystem'}
    \frac{\Sigma_{P_1P_2}(m)}{|P_2-P_1|} = \frac{\Sigma_{P_2P_3}(m)}{|P_3-P_2|} = \frac{\Sigma_{P_3P_1}(m)}{|P_1-P_3|} .$$ Таким образом геометрическая медиана треугольной области — это точка, для которой три средних расстояния до трех сторон граничного треугольника равны между собой.

[*Доказательство*]{}. В треугольнике одну из сторон выразим через две другие $\overrightarrow{P_3P_1} = -\overrightarrow{P_1P_2} - \overrightarrow{P_2P_3}$, тогда для него равенство (\[eq:TriangleSystem\]) можно переписать в виде $$\overrightarrow{P_1P_2}\,\left(\frac{\Sigma_{P_1P_2}(m)}{|P_2 - P_1|} - \frac{\Sigma_{P_3P_1}(m)}{|P_1 - P_3|}\right) +
\overrightarrow{P_2P_3}\,\left(\frac{\Sigma_{P_2P_3}(m)}{|P_2 - P_1|} - \frac{\Sigma_{P_3P_1}(m)}{|P_1 - P_3|}\right) = 0.$$ Из-за независимости векторов $P_1P_2$ и $P_2P_3$ следует, что соответствующие им коэффициенты должны быть равны 0, и соотношение (\[eq:TriangleSystem’\]) в критической точке выполняется. Следствие доказано.

Отметим, что все интегралы вида $\Sigma_{PQ}(X)$, присутствующие в градиентных системах (\[eq:TriangleSystem\]) и (\[eq:TriangleSystem’\]), вычисляются в конечном виде, подынтегральная функция тут — это квадратный корень из квадратного трехчлена. Таким образом, геометрическая медиана это общий ноль двух элементарных функций. Тем не менее, аналитическая формула конечного вида для нее, по-видимому, неизвестна. Во всяком случае среди 25000 точек, перечисленных в Encyclopedia of Triangle Centers [@Kimb] Кларка Кимберлинга, геометрическая медиана треугольной области отсутствует. Заметим, что эта энциклопедия постоянно пополняется и, кроме того, она снабжена проверочными инструментами, позволяющими выяснить, принадлежит ли ей данная точка или нет.

Точно так же, как и Теорема \[TriangleSystem\], доказывается следующий результат.

\[PiSystem\] Точка $m$ тогда и только будет геометрической медианой многоугольной области $\Pi$ с вершинами $P_1,\dots,P_n$, когда выполняется равенство $$\label{eq:PiSystem}
    \frac{\Sigma_{P_1P_2}(m)}{|P_2 - P_1|}\, \overrightarrow{P_1P_2}+ \dots +
        \frac{\Sigma_{P_nP_{n+1}}(m)}{|P_{n+1} - P_n|}\,\overrightarrow{P_nP_n}_{+1} = 0.$$

Не приводя доказательства, ограничимся здесь только размещением следующего рисунка \[fig:BrownPoly\] — аналога рисунка \[fig:BrownTriangle\].

![Расположение точки $X + \vec\delta$ в многоугольнике $\Pi$ такое же, как у точки $X$ в сдвинутом многоугольнике $\Pi'$[]{data-label="fig:BrownPoly"}](BrownPoly)

Для произвольной плоской области $\Omega$, как непосредственное следствие соотношения (\[eq:PiSystem\]), получаем следующий результат.

\[OmegaSystem\] Пусть задана плоская область $\Omega$ с кусочно гладкой границей. Точка $m$ тогда и только будет ее геометрической медианой, когда выполняется равенство $$\label{eq:OmegaSystem}
    \int_{P\in\partial\Omega}{f(P-m)}\,\overrightarrow{dP} = 0.$$

Чтобы убедиться в правильности этого утверждения, достаточно вписать в кривую $\partial\Omega$ многоугольник с вершинами $P_1,\dots,P_n$, записать для его геометрической медианы равенство (\[eq:PiSystem\]) и убедиться, что левая часть этого равенства представляет собой интегральную сумму для интеграла (\[eq:OmegaSystem\]).

Теперь дополнительно снимем ограничение $n=2$ на размерность и вместо функции $\Sigma_\Omega$, определенной равенством (\[eq:SigmaOmega\]), будем рассматривать функции более общего вида, определенные равенством $$\label{eq:SimgaOmegaf}
    \Sigma_\Omega^f(X) = \int_{P\in\Omega}{f(P-X)}\,dP,$$ где $f$ — это некоторая функция аргумента $P\in \mathbb R^n$. Здесь имеет место следующий общий результат, который покрывает все предыдущие.

\[th:fOmegaSystem\] Пусть функция $f$ непрерывна и $\Omega$ — это ограниченная область с кусочно гладкой границей, расположенная в пространстве $\mathbb R^n$. Тогда для функции $\Sigma^f_\Omega$ условие критичности точки $m$ равносильно выполнению следующего равенства $$\label{eq:fromStokes}
    \int_{P\in\partial\Omega}{f(P-m)}\,\overrightarrow{n(P)}\,dP = 0,$$ где $\overrightarrow{n(P)}$ — это единичный вектор внешней нормали к границе области $\Omega$ в точке $P$.

Доказательство этой теоремы вполне аналогично доказательству Теоремы \[OmegaSystem\].

Вернемся к тому, с чего мы начали, а именно, к геометрической медиане треугольной области. Как уже говорилось, в общем случае не удается найти точное решение градиентной системы (\[eq:TriangleSystem\]) или системы (\[eq:TriangleSystem’\]). Мы смогли это сделать только в одном тривиальном случае, речь о “сплюснутом” треугольнике со сторонами $\alpha,\beta,\gamma$, в котором $\gamma = |\alpha - \beta|$. Имеется ввиду следующее утверждение.

Рассмотрим треугольники со сторонами $\alpha,\beta,\gamma$, где две большие стороны $\alpha$ и $\beta$ фиксированы, а меньшая $\gamma$ является параметром. Обозначим геометрическую медиану такого треугольника $m(\gamma)$. Пусть теперь $\gamma$ стремится к $|\alpha-\beta|$, тогда $m(\gamma)$ стремится к точке $m$, которая отстоит от общей вершины сторон $\alpha$ и $\beta$ на расстояние $\sqrt{\alpha\beta/2}$.

Это утверждение является простым следствием равенства (\[eq:TriangleSystem’\]), примененного непосредственно к сплюснутому треугольнику со сторонами $\alpha,\beta$ и $|\alpha-\beta|$, для которого оно имеет смысл и для которого в то же самое время само понятие геометрической медианы не вполне определено.

Добавим, что среди сплюснутых треугольников имеются два типа равнобедренных — это треугольники со сторонами $\alpha,\alpha/2,\alpha/2$ и $\alpha,\alpha,0$. В работе [@Panov2018] содержится более точная асимптотическая информация о расположении их геометрических медиан.

[9]{}

Alfred Weber, Über den Standort der Industrien. 1.Teil: Reine Theorie des Standorts. 2. Auflage. Tübingen 1909

G.O. Wesolowsky, *The Weber Problem: History and Perspectives*, Location Sciense, 1993, 1 , pp 5-23

Sandor P. Fekete, Joseph S.B. Mitchell, and Karin Beurer, *On the Continuous Fermat–Weber Problem*, Operations Research, 2005, V. 53, no 1, pp 61–76

Thomas T.C.K. Zhang, John G. Carlsson *Continuous Fermat–Weber Problem for a Convex Polygon Using Euclidean Distance*, 2014 <https://arxiv.org/abs/1403.3715>

Clark Kimberling, *Encyclopedia of Triangle Centers*\
<http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/>

П.А. Панов, *О геометрической медиане выпуклых, а также треугольных и других многоугольных областей*, Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика, в печати
