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一般化されたストークスの定理
一般化されたストークスの定理またはストークス-カルタンの定理とは、ベクトル解析や微分幾何学における多様体上の微分形式の積分についての定理であり、ベクトル解析におけるいくつかの定理の単純化および一般化である。これはニュートンの微分積分学の基本定理の一般化であり、2次元の線積分を3次元の面積分に関連付ける。
一般化されたストークスの定理によると、向き付け可能な多様体 の境界 上の微分形式 の積分は 全体にわたるその外微分 の積分に等しい。すなわち
が成り立つ。
シンボリックに、この積分を積分領域と微分形式の内積 のように考えると、
と書ける。すなわち一般化されたストークスの定理は、領域の境界を取り出す演算子 が外微分 の随伴作用素になっていることを主張しているということもできる。
ヴィト・ヴォルテラ、、アンリ・ポアンカレによるベクトル解析の定理の一般化に関する初期の研究に続き、一般化されたストークスの定理の現代的な定式化は1945年にエリ・カルタンによってなされた。
ストークスの定理のこの現代的な形式は、ケルビン卿が1850年7月2日付けの手紙でジョージ・ストークスに伝えた古典的な結果の一般化である。ストークスはこの定理を1854年のスミス賞試験の質問として設定し、その結果、彼の名前が付けられた。最初に出版されたのは1861年にヘルマン・ハンケルによってである。この古典的なケースは、3次元ユークリッド空間における曲面上のベクトル場 の回転の面積分（つまりcurl の流束）を、曲面の境界上のベクトル場の線積分（周回積分）に関連付けている。
ベクトル解析における発散定理やグリーンの定理のような微分積分学の基本定理の古典的な一般化は、微分形式（古典的な定理ごとに異なる）を標準的な方法でベクトル場とみなした場合の、上記の一般的な定理の特殊なケースである。