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初等同値性
数理論理学の一分野であるモデル理論において、同じシグネチャ "σ" の2つの構造 "M" と "N" が同じ一階"σ"-文を満たすとき、"M" と "N" は初等的同値であるという。
"N" が "M" の部分構造であるとき、さらに強い条件について考える場合がある。"N" が "M" の初等部分構造 であるとは一階 "σ"-式 "φ"("a"1, …, "a""n")（ただしパラメータ "a"1, …, "a""n" は全て "N" の元）が "N" で真であることと "M" で真であることが同値であること。"N" が "M" の初等部分構造であるとき、"M" は "N" の 初等拡大 という。埋め込み "h": "N" → "M" は "h"("N") が "M" の初等部分構造であるとき、"N" から "M" への 初等埋め込みと呼ぶ。
"M" の部分構造 "N" が初等的であるのは、それがタルスキ–ヴォートテストを通ることと同値である: すなわち "x" を未知数とする任意の1階の式 "φ"("x", "b"1, …, "b""n")（ただし、パラメータは全て "N" の元）が "M" に解を持つならいつでも "N" でも解を持つこと。また、二つの構造の初等同値性を示すにはEhrenfeucht–Fraïssé gamesを用いた判定法もある。
初等埋め込みはrank-into-rank基数を含む巨大基数研究に用いられる。