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Calcul intégral
Comment justifier qu'une primitive de la fonction $f$ a telle ou telle propriété si on connaît la courbe de cette fonction $f$.
On sait que l'on peut déduire certaines propriétés d'une fonction de l'étude de sa dérivée. Si est une primitive de , alors est la dérivée de , donc on peut déduire certaines propriétés de de l'étude de .
Raisonner sur une fonction telle que si on connaît la courbe représentative de
Ci-dessous la courbe représentative de la fonction :
Function f is graphed. The x-axis goes from negative 2 to 14. The graph is a U-shaped curve opening downward. The curve starts in quadrant 3, moves upward through (0, 0) to a relative maximum at (5, 5), moves downward through (10, 0), and ends in quadrant 4.
Soit . est une primitive de et . On peut déduire des propriétés de la fonction de la courbe de .
Par exemple, est positive sur l'intervalle , donc est croissante sur cet intervalle.
The graph of function f has the region of the curve above the x-axis, between x-intercepts 0 and 10, labeled f is positive and g is increasing.
s'annule en changeant de signe en , donc le point d'abscisse est un extremum de la fonction . Comme est positive pour les valeurs de inférieures à et négative pour les valeurs de supérieures à , cet extremum est un maximum.
The graph of function f has the x-intercept at 10 labeled "g has a relative max". The 2 regions of the curve below the x-axis, to the left of x-intercept 0 and to the right of x-intercept 10, are labeled "f is negative, g is decreasing".
On peut aussi en déduire quelle est la concavité de la fonction . est croissante sur l'intervalle , donc est convexe sur cet intervalle. est décroissante sur l'intervalle , donc est concave sur cet intervalle. change de concavité en , donc le point d'abscisse est un point d'inflexion.
The graph of function f has the relative maximum labeled g has an inflection point. The region of the curve to the left of this maximum is labeled f is increasing, g is concave up. The region of the curve to the right of the maximum is labeled f is decreasing, g is concave down.
Exercice 1
Soit la courbe représentative de la fonction .
est la fonction définie par .
La propriété de la fonction qui permet de justifier que est convexe sur l'intervalle est :
Exercice 2
Soit la courbe représentative de la fonction .
est la fonction définie par .
La propriété de la fonction qui permet de justifier que le point d'abscisse est un minimum de la fonction est :
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Attention à ne pas confondre une propriété de la fonction avec celle de l'une de ses primitives. Par exemple, il ne faut pas faire la faute de dire que telle primitive de est positive car la fonction est croissante ; en l'occurrence c'est l'inverse : la primitive de est croissante car la fonction est positive.
Voici un tableau récapitulatif :
|Si la fonction ...||Sa primitive ...|
|est positive||est croissante|
|est négative||est décroissante|
|est croissante||est convexe|
|est décroissante||est concave|
|s'annule en changeant de signe||a un extremum|
|a un extremum||a un point d'inflexion|
Un dernier exercice
Soit la courbe représentative de la fonction .
est la fonction définie par .
La propriété de la fonction qui permet de justifier que est positive sur l'intervalle est :