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Mathématiques, enseignement commun, classe de seconde.
Mathématiques Classe de seconde, enseignement commun
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Mathématiques, enseignement commun, classe de seconde. 2
Sommaire
Préambule 3
Intentions majeures 3
Quelques lignes directrices pour l'enseignement 4
Organisation du programme 5
Programme 6
Nombres et calculs 6
Géométrie 8
Fonctions 10
Statistique et probabilités 12
Algorithmique et programmation 14
Vocabulaire ensembliste et logique 15
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Mathématiques, enseignement commun, classe de seconde. 3
Préambule
Intentions majeures La classe de seconde est conçue pour
permettre aux élèves de consolider leur maîtrise du socle commun de
connaissances, de compétences et de culture afin de réussir la
transition du collège au lycée. Elle les prépare à déterminer leur
choix d'un parcours au sein du cycle terminal jusqu'au baccalauréat
général ou technologique dans l'objectif d'une poursuite d'études
supérieures réussie et, au-delà, de leur insertion
professionnelle.
L'enseignement des mathématiques de la classe de seconde est
conçu à partir des intentions suivantes :
permettre à chaque élève de consolider les acquis du collège et
une culture mathématique de base, de développer son goût des
mathématiques, d'en apprécier les démarches et les objets afin
qu'il puisse faire l'expérience personnelle de l'efficacité des
concepts mathématiques ainsi que de la simplification et de la
généralisation que permet la maîtrise de l'abstraction ;
préparer au choix de l'orientation : choix de la spécialité
mathématiques dans la voie générale, choix de la série dans la voie
technologique ;
assurer les bases mathématiques nécessaires à toutes les
poursuites d'études au lycée.
Le programme de mathématiques définit un ensemble de
connaissances et de compétences qui s'appuie sur le programme de
collège, en réactivant les notions déjà étudiées et en y ajoutant
un nombre raisonnable de nouvelles notions, à étudier de manière
suffisamment approfondie.
Compétences mathématiques
Dans le prolongement des cycles précédents, six grandes
compétences sont travaillées :
chercher, expérimenter – en particulier à l'aide d'outils
logiciels ;
modéliser, faire une simulation, valider ou invalider un modèle
;
représenter, choisir un cadre (numérique, algébrique,
géométrique...), changer de registre ;
raisonner, démontrer, trouver des résultats partiels et les
mettre en perspective ;
calculer, appliquer des techniques et mettre en œuvre des
algorithmes ;
communiquer un résultat par oral ou par écrit, expliquer une
démarche.
La résolution de problèmes est un cadre privilégié pour
développer, mobiliser et combiner plusieurs de ces compétences.
Cependant, pour prendre des initiatives, imaginer des pistes de
solution et s'y engager sans s'égarer, l'élève doit disposer
d'automatismes. Ceux-ci facilitent en effet le travail intellectuel
en libérant l'esprit des soucis de mise en œuvre technique et
élargissent le champ des démarches susceptibles d'être engagées.
L'acquisition de ces réflexes est favorisée par la mise en place
d'activités rituelles, notamment de calcul (mental ou réfléchi,
numérique ou littéral). Elle est menée conjointement avec la
résolution de problèmes motivants et substantiels, afin de
stabiliser connaissances, méthodes et stratégies.
Diversité de l'activité de l'élève
La diversité des activités mathématiques proposées permet aux
élèves de prendre conscience de la richesse et de la variété de la
démarche mathématique et de la situer au sein de l'activité
scientifique. Cette prise de conscience est un élément essentiel
dans la définition de leur orientation. Il importe donc que cette
diversité se retrouve dans les travaux proposés à la classe. Parmi
ceux-ci, les travaux écrits faits hors du temps scolaire
permettent, à travers l'autonomie laissée à chacun, le
développement des qualités d'initiative, tout en assurant la
stabilisation des connaissances et des compétences. Ces travaux
doivent prendre en compte la diversité et l'hétérogénéité des
aptitudes des élèves.
Le calcul est un outil essentiel pour la résolution de problème.
Il est important en classe de seconde de poursuivre l'entraînement
des élèves dans ce domaine par la pratique régulière du calcul
numérique et du calcul littéral, sous ses diverses formes :
mentale, écrite, instrumentée.
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Mathématiques, enseignement commun, classe de seconde. 4
Utilisation de logiciels
L'utilisation de logiciels (calculatrice ou ordinateur),
d'outils de visualisation et de représentation, de calcul
(numérique ou formel), de simulation, de programmation développe la
possibilité d'expérimenter, ouvre largement le dialogue entre
l'observation et la démonstration et change profondément la nature
de l'enseignement.
L'utilisation régulière de ces outils peut intervenir selon
trois modalités :
par le professeur, en classe, avec un dispositif de
visualisation collective adapté ;
par les élèves, sous forme de travaux pratiques de mathématiques
;
dans le cadre du travail personnel des élèves hors du temps de
classe (par exemple au CDI ou à un autre point d'accès au réseau
local).
Évaluation des élèves
Les élèves sont évalués en fonction des capacités attendues et
selon des modalités variées : devoirs surveillés avec ou sans
calculatrice, devoirs libres, rédaction de travaux de recherche,
travaux pratiques pouvant s'appuyer sur des logiciels.
Quelques lignes directrices pour l'enseignement
Le professeur veille à créer dans la classe de mathématiques une
atmosphère de travail favorable aux apprentissages, combinant
bienveillance et exigence. Il est important de développer chez
chaque élève des attitudes positives à l'égard des mathématiques et
sa capacité à résoudre des problèmes stimulants.
L'élève doit être incité à s'engager dans une recherche
mathématique, individuellement ou en équipe, et à développer sa
confiance en lui. Il cherche, essaie des pistes, prend le risque de
se tromper. Il ne doit pas craindre l'erreur, mais en tirer profit
grâce au professeur, qui l'aide à l'identifier, à l'analyser et la
comprendre. Ce travail sur l'erreur participe à la construction de
ses apprentissages.
Les problèmes proposés aux élèves peuvent être internes aux
mathématiques, provenir de l'histoire des mathématiques, être issus
des autres disciplines ou du monde réel, en prenant garde que la
simple inclusion de références au monde réel ne suffit pas toujours
à transformer un exercice de routine en un bon problème. Dans tous
les cas, ils doivent être bien conçus et motivants, afin de
développer les connaissances et compétences mathématiques du
programme.
Le professeur veille à établir un équilibre entre divers temps
de l'apprentissage :
les temps de recherche, d'activité, de manipulation ;
les temps de dialogue et d'échange, de verbalisation ;
les temps de cours, où le professeur expose avec précision,
présente certaines démonstrations et permet aux élèves d'accéder à
l'abstraction ;
les temps où sont présentés et discutés des exemples, pour
vérifier la bonne compréhension de tous les élèves ;
les exercices et problèmes, allant progressivement de
l'application la plus directe au thème d'étude ;
les rituels, afin de consolider les connaissances et les
méthodes.
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Mathématiques, enseignement commun, classe de seconde. 5
Organisation du programme
Le programme s'organise en cinq grandes parties : « Nombres et
calculs », « Géométrie », « Fonctions », « Statistiques et
probabilités » et « Algorithmique et programmation ». Ce découpage
n'est pas un plan de cours et il est essentiel d'exploiter les
possibilités d'interaction entre ces parties. Le professeur est
maître de sa progression. Les connaissances du collège sont
systématiquement réactivées à travers des problèmes.
Démontrer est une composante fondamentale de l'activité
mathématique. Le programme propose quelques démonstrations
exemplaires, que les élèves découvrent selon des modalités variées
: présentation par le professeur, élaboration par les élèves sous
la direction du professeur, devoirs à la maison, etc.
Le programme propose un certain nombre d'approfondissements
possibles, mais en aucun cas obligatoires.
Il peut être judicieux d'éclairer le cours par des éléments de
contextualisation d'ordre historique ou épistémologique. L'histoire
peut aussi être envisagée comme une source féconde de problèmes
clarifiant le sens de certaines notions. Les items « Histoire des
mathématiques » identifient quelques possibilités en ce sens. Pour
les étayer, le professeur peut s'appuyer sur l'étude de documents
historiques.
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Programme
Nombres et calculs
Objectifs
Cette partie prolonge le thème « Nombres et calculs » du cycle 4
avec pour objectifs de :
Approfondir la connaissance des divers types et ensembles de
nombres.
Développer la pratique du calcul numérique ou algébrique.
Travailler sur les inégalités.
Résoudre des problèmes modélisés par des équations ou
inéquations se ramenant au premier degré.
Les élèves rencontrent les nombres réels comme abscisses des
points d'une droite graduée, et plus largement comme nombres
permettant de mesurer des grandeurs. Ils les comparent, ils
apprennent qu'il existe des nombres irrationnels, les encadrent par
des nombres décimaux ou rationnels. Ils comprennent que
calculatrices et logiciels font des calculs approchés. En liaison
avec un approfondissement de l'étude des multiples et diviseurs,
ils consolident la pratique du calcul sur les fractions.
La mise en évidence de la puissance du calcul littéral comme
outil de résolution de problème, déjà rencontrée au collège, reste
un objectif important. L'élève doit être confronté à des
situations, internes ou externes aux mathématiques, dans lesquelles
une modélisation est nécessaire, faisant intervenir variables,
expressions algébriques, équations ou inéquations. Les situations
internes sont l'occasion de réactiver les connaissances du collège,
notamment sur les thèmes « Espace et géométrie » et « Grandeurs et
mesures » (longueurs, aires, volumes, angles, vitesses). Il
convient d'équilibrer la formation, d'une part en proposant des
applications variées et significatives des notions et techniques
étudiées, d'autre part, en veillant à l'acquisition des
automatismes, par la pratique fréquente de
calculs routiniers. On réactivera notamment les formes décimales
exactes de 1
2 ,1
4, 3
4 et des fractions
𝑘
5 pour 𝑘 dans
{1,2,3,4}, et arrondies de 1
3 et
2
3 .
Histoire des mathématiques
La notion apparemment familière de nombre ne va pas de soi. Deux
exemples : la crise provoquée par la découverte des irrationnels
chez les mathématiciens grecs, la différence entre « nombres réels
» et « nombres de la calculatrice ». Il s'agit également de
souligner le gain en efficacité et en généralité qu'apporte le
calcul littéral, en expliquant qu'une grande partie des
mathématiques n'a pu se développer qu'une fois ce formalisme
stabilisé au cours des siècles. Il est possible d'étudier des
textes anciens d'auteurs tels que Diophante, Euclide, Al-Khwarizmi,
Fibonacci, Viète, Fermat, Descartes et mettre en évidence leurs
aspects algorithmiques.
Manipuler les nombres réels
Au cycle 4, les élèves ont étudié les inégalités pour comparer
des valeurs numériques. La notion d'intervalle, présentée comme
ensemble de nombres vérifiant des inégalités, est nouvelle.
Connaissances
Ensemble ℝ des nombres réels, droite numérique.
Intervalles de ℝ. Notations +∞ et −∞.
Notation |𝑎|. Distance entre deux nombres réels.
Représentation de l'intervalle [𝑎 − 𝑟, 𝑎 + 𝑟] puis
caractérisation par la condition |𝑥 − 𝑎| ≤ 𝑟.
Ensemble 𝔻 des nombres décimaux. Encadrement décimal d'un nombre
réel à 10−𝑛 près.
Ensemble ℚ des nombres rationnels. Nombres irrationnels ;
exemples fournis par la géométrie, par
exemple √2 et π.
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Mathématiques, enseignement commun, classe de seconde. 7
Capacités associées
Associer à chaque point de la droite graduée un unique nombre
réel et réciproquement.
Représenter un intervalle de la droite numérique. Déterminer si
un nombre réel appartient à un intervalle donné.
Donner un encadrement d'un nombre réel par des décimaux,
d'amplitude donnée.
Dans le cadre de la résolution de problèmes, arrondir en donnant
le nombre de chiffres significatifs adapté à la situation
étudiée.
Démonstrations
Le nombre rationnel 1
3 n'est pas décimal.
Le nombre réel √2 est irrationnel.
Exemple d'algorithme
Déterminer par balayage un encadrement de √2 d'amplitude
inférieure ou égale à 10−𝑛.
Approfondissements
Développement décimal illimité d'un nombre réel.
Observation, sur des exemples, de la périodicité du
développement décimal de nombres rationnels, du fait qu'un
développement décimal périodique correspond à un rationnel.
Utiliser les notions de multiple, diviseur et de nombre
premier
Connaissances
Notations ℕ et ℤ.
Définition des notions de multiple, de diviseur, de nombre pair,
de nombre impair.
Capacités associées
Modéliser et résoudre des problèmes mobilisant les notions de
multiple, de diviseur, de nombre pair, de nombre impair, de nombre
premier.
Présenter les résultats fractionnaires sous forme
irréductible.
Démonstrations
Pour une valeur numérique de 𝑎, la somme de deux multiples de 𝑎
est multiple de 𝑎.
Le carré d'un nombre impair est impair.
Exemples d'algorithme
Déterminer si un entier naturel 𝑎 est multiple d'un entier
naturel 𝑏.
Pour des entiers 𝑎 et 𝑏 donnés, déterminer le plus grand
multiple de 𝑎 inférieur ou égal à 𝑏.
Déterminer si un entier naturel est premier.
Utiliser le calcul littéral
Connaissances
Règles de calcul sur les puissances entières relatives, sur les
racines carrées. Relation √𝑎2 = |𝑎|.
Identités 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏), (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 et
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2, à connaître dans les deux sens.
Exemples simples de calcul sur des expressions algébriques, en
particulier sur des expressions fractionnaires.
Somme d'inégalités. Produit d'une inégalité par un réel positif,
négatif, en liaison avec le sens de variation d'une fonction
affine.
Ensemble des solutions d'une équation, d'une inéquation.
Capacités associées
Effectuer des calculs numériques ou littéraux mettant en jeu des
puissances, des racines carrées, des écritures fractionnaires.
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Mathématiques, enseignement commun, classe de seconde. 8
Sur des cas simples de relations entre variables (par exemple 𝑈
= 𝑅𝐼, 𝑑 = 𝑣𝑡, 𝑆 = 𝜋𝑟2, 𝑉 = 𝑎𝑏𝑐, 𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ), exprimer une variable en
fonction des autres. Cas d'une relation du premier degré 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 =
𝑐.
Choisir la forme la plus adaptée (factorisée, développée
réduite) d'une expression en vue de la résolution d'un
problème.
Comparer deux quantités en utilisant leur différence, ou leur
quotient dans le cas positif.
Modéliser un problème par une inéquation.
Résoudre une inéquation du premier degré.
Démonstrations
Quels que soient les réels positifs 𝑎, 𝑏 on a √𝑎𝑏 = √a√𝑏.
Si 𝑎 et 𝑏 sont des réels strictement positifs, √𝑎 + 𝑏 < √𝑎 +
√𝑏.
Pour 𝑎 et 𝑏 réels positifs, illustration géométrique de
l'égalité 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2.
Exemple d'algorithme
Déterminer la première puissance d'un nombre positif donné
supérieure ou inférieure à une valeur donnée.
Approfondissements
Développement de (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2.
Développement de (𝑎 + 𝑏)3.
Inégalité entre moyennes géométrique et arithmétique de deux
réels strictement positifs.
Géométrie
Objectifs
Les objectifs de cette partie sont les suivants :
Consolider les notions sur les configurations géométriques
abordées au collège et prolonger leur étude.
Introduire les vecteurs du plan comme outil permettant d'étudier
des problèmes issus des mathématiques et des autres disciplines, en
particulier de la physique.
Poursuivre l'étude de la géométrie repérée, qui relie nombres,
calculs algébriques, fonctions et géométrie et constitue un outil
utile à d'autres disciplines. En particulier, introduire la notion
d'ensemble de points du plan décrit par une équation, en
explicitant le cas des équations de droites.
Les élèves découvrent les vecteurs, qui sont un outil efficace
pour démontrer en géométrie et pour modéliser en physique. Ils les
manipulent dans le plan muni d'un repère orthonormé. Ils
approfondissent leurs connaissances sur les configurations du plan,
disposent de nouveaux outils pour analyser des figures
géométriques, résoudre des problèmes. Ils étudient les équations de
droite, font le lien entre représentations géométrique, algébrique,
et fonctionnelle.
La géométrie développe des capacités de représentation. Il
importe de s'appuyer sur des figures, selon des modalités diverses
(tracé à main levée, schéma, figure soignée, utilisation de
logiciels). Dans le cadre de la résolution de problèmes,
l'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique par les élèves
leur donne une plus grande autonomie et encourage leur prise
d'initiative.
Le programme se place dans le cadre de la géométrie plane.
Cependant, le professeur peut proposer des activités mobilisant les
notions de géométrie dans l'espace vues au collège (sections,
aires, volumes) enrichies de celles étudiées en seconde
(vecteurs).
Il convient de mettre en valeur l'intervention de la géométrie
dans les autres parties du programme, notamment « Nombres et
calculs » et « Fonctions ».
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Mathématiques, enseignement commun, classe de seconde. 9
Histoire des mathématiques
Les progrès apportés par la « méthode des coordonnées » de
Descartes, puis par la notion de vecteur, permettent de relier
efficacement géométrie, physique et calcul.
On pourra évoquer les mathématiques grecques, en mettant en
évidence le rôle central de la géométrie dans la naissance de
l'idée de démonstration ainsi que le faible développement de
l'algèbre sous l'Antiquité, en partie dû à l'appui systématique sur
la géométrie.
Manipuler les vecteurs du plan
Le professeur peut définir les opérations vectorielles à partir
des coordonnées, ou bien commencer par leur construction
géométrique. Dans tous les cas, la relation �⃗� = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 est mise
en évidence. La relation de Chasles est introduite pour illustrer
l'addition des vecteurs, mais ne fait pas l'objet d'un travail
spécifique.
Connaissances
Vecteur 𝑀𝑀′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ associé à la translation qui transforme 𝑀
en 𝑀′. Direction, sens et norme.
Égalité de deux vecteurs. Notation �⃗� . Vecteur nul.
Somme de deux vecteurs en lien avec l'enchaînement des
translations. Relation de Chasles.
Base orthonormée. Coordonnées d'un vecteur. Expression de la
norme d'un vecteur.
Expression des coordonnées de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ en fonction de celles de
𝐴 et de 𝐵.
Produit d'un vecteur par un nombre réel. Colinéarité de deux
vecteurs.
Déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormée, critère
de colinéarité. Application à l'alignement, au parallélisme.
Capacités associées
Représenter géométriquement des vecteurs.
Construire géométriquement la somme de deux vecteurs.
Représenter un vecteur dont on connaît les coordonnées. Lire les
coordonnées d'un vecteur.
Calculer les coordonnées d'une somme de vecteurs, d'un produit
d'un vecteur par un nombre réel.
Calculer la distance entre deux points. Calculer les coordonnées
du milieu d'un segment.
Caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité de
vecteurs.
Résoudre des problèmes en utilisant la représentation la plus
adaptée des vecteurs.
Démonstration
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur
déterminant est nul.
Approfondissement
Définition vectorielle des homothéties.
Résoudre des problèmes de géométrie
Connaissances
Cercle circonscrit à un triangle. Cas du triangle rectangle.
Projeté orthogonal d'un point sur une droite.
Capacités associées
Résoudre des problèmes de géométrie plane sur des figures
simples ou complexes (triangles, quadrilatères, cercles).
Calculer des longueurs, des angles, des aires et des volumes.
Veiller à mobiliser les connaissances du collège, notamment la
trigonométrie.
Traiter de problèmes d'optimisation.
Démonstrations
Le projeté orthogonal du point 𝑀 sur une droite ∆ est le point
de la droite ∆ le plus proche du point 𝑀.
Relation trigonométrique cos2(𝛼) + sin2(𝛼) = 1 dans un triangle
rectangle.
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Mathématiques, enseignement commun, classe de seconde. 10
Le point de concours des médiatrices est le centre du cercle
circonscrit.
Approfondissements
Démontrer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Expression de l'aire d'un triangle : 1
2𝑎𝑏 sin𝐶.
Formule d'Al-Kashi.
Représenter et caractériser les droites du plan
Dans cette section, le plan est muni d'un repère orthonormé.
Connaissances
Vecteur directeur d'une droite.
Application du déterminant aux équations de droite : équation
cartésienne, équation réduite.
Pente (ou coefficient directeur) d'une droite non parallèle à
l'axe des ordonnées.
Capacités associées
Déterminer une équation de droite à partir de deux points, un
point et un vecteur directeur ou un point et la pente.
Déterminer la pente ou un vecteur directeur d'une droite donnée
par une équation ou une représentation graphique.
Tracer une droite connaissant son équation cartésienne ou
réduite.
Établir que trois points sont alignés ou non.
Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes.
Résoudre un système de deux équations linéaires à deux
inconnues, déterminer le point d'intersection de deux droites
sécantes.
Démonstration
En utilisant le déterminant, établir la forme générale d'une
équation de droite.
Exemples d'algorithme
Étudier l'alignement de trois points dans le plan.
Déterminer une équation de droite passant par deux points
donnés.
Approfondissements Ensemble des points équidistants d'un point
et de l'axe des abscisses. Représentation, sur des exemples, de
parties du plan décrites par des inégalités sur les
coordonnées.
Fonctions
Objectifs
Au cycle 4, les élèves ont découvert progressivement la notion
de fonction, manipulé différents modes de représentation :
expression algébrique, tableau de valeurs, représentation
graphique, programmes de calcul. Ils connaissent le vocabulaire de
base : variable, fonction, antécédent, image et la notation 𝑓(𝑥).
Selon le mode de représentation choisi, ils déterminent une image
ou des antécédents d'un nombre par une fonction. Ils ont étudié les
fonctions linéaires, les fonctions affines et leur représentation
graphique.
En seconde, les objectifs sont les suivants :
consolider la notion de fonction, comme exprimant la dépendance
d'une variable par rapport à une autre ;
exploiter divers registres, notamment le registre algébrique et
le registre graphique ;
étendre la panoplie des fonctions de référence ;
étudier les notions liées aux variations et aux extremums des
fonctions.
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Mathématiques, enseignement commun, classe de seconde. 11
Les fonctions définies sur un intervalle de ℝ permettent de
modéliser des phénomènes continus. On peut confronter les élèves à
des exemples de fonctions définies sur ℕ pour modéliser des
phénomènes discrets. La notation 𝑢(𝑛) est alors utilisée.
La modélisation d'une dépendance par une fonction apparaît dans
des domaines très variés : géométrie dans le plan ou dans l'espace,
biologie, économie, physique, sciences sociales. La modélisation de
phénomènes dépendant du temps, la variable étant alors notée 𝑡 est
mise en évidence
Les outils numériques sont mis à profit :
un logiciel de géométrie dynamique, pour la représentation
graphique et l'utilisation de curseurs ;
Python, le tableur ou la calculatrice, pour mettre en évidence
l'aspect de programme de calcul.
Dans un premier temps, les élèves découvrent, manipulent et
verbalisent certaines propriétés (parité, monotonie sur un
intervalle …) sur les fonctions de référence. Ces propriétés se
généralisent peu à peu aux fonctions quelconques. Leur maîtrise est
un objectif de fin d'année. Leur formalisation est l'occasion d'un
travail sur les quantificateurs.
Histoire des mathématiques
On peut évoquer la très lente élaboration de la notion de
fonction, depuis l'Antiquité jusqu'à la codification actuelle par
Dirichlet, en mettant en évidence quelques étapes importantes :
Newton, Leibniz, Euler. On souligne alors l'importance de la
notation algébrique.
Fonctions de référence
Les élèves doivent se constituer un répertoire d'images mentales
des courbes représentatives des fonctions de référence, sur
lesquelles s'appuyer lors de l'étude des propriétés des
fonctions.
Connaissances
Fonctions carré, inverse, racine carrée, cube : définitions et
courbes représentatives.
Capacités associées
Pour deux nombres 𝑎 et 𝑏 donnés et une fonction de référence 𝑓,
comparer 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏) numériquement ou graphiquement.
Pour les fonctions affines, carré, inverse, racine carrée et
cube, résoudre graphiquement ou algébriquement une équation ou une
inéquation du type 𝑓(𝑥) = 𝑘, 𝑓(𝑥) < 𝑘.
Démonstration
Étudier la position relative des courbes d'équation 𝑦 = 𝑥, 𝑦 =
𝑥2, 𝑦 = 𝑥3, pour 𝑥 ≥ 0.
Fonctions, courbes représentatives
Connaissances
Fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle ou une
réunion finie d'intervalles de ℝ.
Courbe représentative : la courbe d'équation 𝑦 = 𝑓(𝑥) est
l'ensemble des points du plan dont les coordonnées (𝑥, 𝑦) vérifient
𝑦 = 𝑓(𝑥).
Fonction paire, impaire. Traduction géométrique.
Capacités associées
Exploiter l'équation 𝑦 = 𝑓(𝑥) d'une courbe : appartenance,
calcul de coordonnées.
Modéliser par des fonctions des situations issues des
mathématiques, des autres disciplines.
Résoudre une équation ou une inéquation du type 𝑓(𝑥) = 𝑘, 𝑓(𝑥)
< 𝑘, en choisissant une méthode adaptée : graphique, algébrique,
logicielle.
Résoudre une équation, une inéquation produit ou quotient, à
l'aide d'un tableau de signes.
Résoudre graphiquement ou à l'aide d'un outil numérique une
équation ou inéquation du type 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥).
Étudier la parité d'une fonction sur des exemples.
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Mathématiques, enseignement commun, classe de seconde. 12
Variations et extremums
Connaissances
Croissance, décroissance, monotonie d'une fonction définie sur
un intervalle. Tableau de variations.
Maximum, minimum d'une fonction sur un intervalle.
Pour une fonction affine, interprétation du coefficient
directeur comme taux d'accroissement, variations selon son
signe.
Variations des fonctions carré, inverse, racine carrée,
cube.
Capacités associées
Relier représentation graphique et tableau de variations.
Déterminer graphiquement les extremums d'une fonction sur un
intervalle.
Exploiter un logiciel de géométrie dynamique ou de calcul
formel, la calculatrice ou Python pour décrire les variations d'une
fonction donnée par une formule.
Relier sens de variation, signe et droite représentative d'une
fonction affine.
Démonstration
Variations des fonctions carré, inverse, racine carrée.
Exemples d'algorithme
Pour une fonction dont le tableau de variations est donné,
algorithmes d'approximation numérique d'un extremum (balayage,
dichotomie).
Algorithme de calcul approché de longueur d'une portion de
courbe représentative de fonction.
Approfondissement
Relier les courbes représentatives de la fonction racine carrée
et de la fonction carré sur ℝ+.
Statistique et probabilités
Objectifs
En matière d'information chiffrée, les élèves ont travaillé au
cycle 4 effectifs, fréquences, proportions, pourcentages,
coefficient de proportionnalité, taux d'évolution, coefficient
multiplicateur. L'objectif est de consolider et de prolonger ce
travail par l'étude de situations multiplicatives : proportion de
proportion, évolutions successives ou réciproques. Les élèves
doivent distinguer si un pourcentage exprime une proportion ou une
évolution.
En statistique descriptive, les élèves ont étudié moyenne,
médiane et étendue. On introduit la notion de moyenne pondérée et
deux indicateurs de dispersion : écart interquartile et écart
type.
Au cycle 4, les élèves ont travaillé sur les notions
élémentaires de probabilité : expérience aléatoire, issue,
événement, probabilité. Ils ont construit leur intuition sur des
situations concrètes fondées sur l'équiprobabilité, puis en
simulant la répétition d'épreuves identiques et indépendantes pour
observer la stabilisation des fréquences. Ils sont capables de
calculer des probabilités dans des contextes faisant intervenir une
ou deux épreuves.
En classe de seconde, on formalise la notion de loi (ou
distribution) de probabilité dans le cas fini en s'appuyant sur le
langage des ensembles et on précise les premiers éléments de calcul
des probabilités. On insiste sur le fait qu'une loi de probabilité
(par exemple une équiprobabilité) est une hypothèse du modèle
choisi et ne se démontre pas. Le choix du modèle peut résulter
d'hypothèses implicites d'équiprobabilité (par exemple, lancers de
pièces ou dés équilibrés, tirage au hasard dans une population)
qu'il est recommandable d'expliciter ; il peut aussi résulter d'une
application d'une version vulgarisée de la loi des grands nombres,
où un modèle est construit à partir de fréquences observées pour un
phénomène réel (par exemple : lancer de punaise, sexe d'un enfant à
la naissance). Dans tous les cas, on distingue nettement le modèle
probabiliste abstrait et la situation réelle.
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Mathématiques, enseignement commun, classe de seconde. 13
Histoire des mathématiques
L'histoire des probabilités fournit un cadre pour dégager les
éléments de la mathématisation du hasard. Un exemple est le
problème des partis, dit aussi du chevalier de Méré, l'échange de
lettres entre Pascal et Fermat sur ce point puis les travaux de
Pascal, Fermat et Huygens qui en découlent. Le problème du duc de
Toscane ou les travaux de Leibniz sur le jeu de dés peuvent aussi
être évoqués.
Information chiffrée et statistique descriptive
Connaissances
Proportion, pourcentage d'une sous-population dans une
population.
Ensembles de référence inclus les uns dans les autres :
pourcentage de pourcentage.
Évolution : variation absolue, variation relative.
Évolutions successives, évolution réciproque : relation sur les
coefficients multiplicateurs (produit, inverse).
Indicateurs de tendance centrale d'une série statistique :
moyenne pondérée.
Linéarité de la moyenne.
Indicateurs de dispersion : écart interquartile, écart type.
Capacités associées
Exploiter la relation entre effectifs, proportions et
pourcentages.
Traiter des situations simples mettant en jeu des pourcentages
de pourcentages.
Exploiter la relation entre deux valeurs successives et leur
taux d'évolution.
Calculer le taux d'évolution global à partir des taux
d'évolution successifs. Calculer un taux d'évolution
réciproque.
Décrire verbalement les différences entre deux séries
statistiques, en s'appuyant sur des indicateurs ou sur des
représentations graphiques données.
Pour des données réelles ou issues d'une simulation, lire et
comprendre une fonction écrite en Python renvoyant la moyenne 𝑚,
l'écart type 𝑠, et la proportion d'éléments appartenant à [𝑚 − 2𝑠,𝑚
+ 2𝑠].
Probabilités sur un ensemble fini
Connaissances
Ensemble (univers) des issues. Évènements. Réunion,
intersection, complémentaire.
Loi (distribution) de probabilité. Probabilité d'un évènement :
somme des probabilités des issues.
Relation P(A ∪ B) + P(A ∩ B) = P(A) + P(B).
Dénombrement à l'aide de tableaux et d'arbres.
Capacités associées
Utiliser des modèles théoriques de référence (dé, pièce
équilibrée, tirage au sort avec équiprobabilité dans une
population) en comprenant que les probabilités sont définies a
priori.
Construire un modèle à partir de fréquences observées, en
distinguant nettement modèle et réalité.
Calculer des probabilités dans des cas simples : expérience
aléatoire à deux ou trois épreuves.
Échantillonnage
En liaison avec la partie « Algorithmique et programmation », on
définit la notion d'échantillon. L'objectif est de faire percevoir,
sous une forme expérimentale, la loi des grands nombres, la
fluctuation d'échantillonnage et le principe de l'estimation d'une
probabilité par une fréquence observée sur un échantillon.
Connaissances
Échantillon aléatoire de taille n pour une expérience à deux
issues.
-
Mathématiques, enseignement commun, classe de seconde. 14
Version vulgarisée de la loi des grands nombres : « Lorsque 𝑛
est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la
probabilité. »
Principe de l'estimation d'une probabilité, ou d'une proportion
dans une population, par une fréquence observée sur un
échantillon.
Expérimentations
Lire et comprendre une fonction Python renvoyant le nombre ou la
fréquence de succès dans un échantillon de taille 𝑛 pour une
expérience aléatoire à deux issues.
Observer la loi des grands nombres à l'aide d'une simulation sur
Python ou tableur.
Simuler 𝑁 échantillons de taille 𝑛 d'une expérience aléatoire à
deux issues. Si 𝑝 est la probabilité d'une issue et 𝑓 sa fréquence
observée dans un échantillon, calculer la proportion des cas où
l'écart entre 𝑝 et 𝑓
est inférieur ou égal à 1/√𝑛.
Algorithmique et programmation La démarche algorithmique est,
depuis les origines, une composante essentielle de l'activité
mathématique. Au cycle 4, en mathématiques et en technologie, les
élèves ont appris à écrire, mettre au point et exécuter un
programme simple. Une consolidation des acquis du cycle 4 est
proposée autour de deux idées essentielles :
la notion de fonction ;
la programmation comme production d'un texte dans un langage
informatique.
Dans le cadre de cette activité, les élèves s'exercent à :
décrire des algorithmes en langage naturel ou dans un langage de
programmation ;
en réaliser quelques-uns à l'aide d'un programme simple écrit
dans un langage de programmation textuel ;
interpréter, compléter ou modifier des algorithmes plus
complexes.
Un langage de programmation simple d'usage est nécessaire pour
l'écriture des programmes informatiques. Le langage choisi est
Python, langage interprété, concis, largement répandu et pouvant
fonctionner dans une diversité d'environnements. Les élèves sont
entraînés à passer du langage naturel à Python et inversement.
L'algorithmique a une place naturelle dans tous les champs des
mathématiques et les problèmes ainsi traités doivent être en
relation avec les autres parties du programme (fonctions,
géométrie, statistiques et probabilité, logique) mais aussi avec
les autres disciplines ou la vie courante.
À l'occasion de l'écriture d'algorithmes et de petits
programmes, il convient de transmettre aux élèves l'exigence
d'exactitude et de rigueur, et de les entraîner aux pratiques
systématiques de vérification et de contrôle. En programmant, les
élèves revisitent les notions de variables et de fonctions sous une
forme différente.
Histoire des mathématiques
Les textes évoqués dans la thématique « Nombres et calculs »
indiquent une préoccupation algorithmique tout au long de
l'Histoire. Lorsqu'un texte historique a une visée algorithmique,
transformer les méthodes qu'il présente en un algorithme, voire en
un programme, ou inversement, est l'occasion de travailler des
changements de registre qui donnent du sens au formalisme
mathématique.
Variables et instructions élémentaires
Connaissances
Variables informatiques de type entier, flottant, chaîne de
caractère.
Affectation (notée ← en langage naturel).
Séquence d'instructions.
Instruction conditionnelle.
Boucle bornée (for), boucle non bornée (while).
-
Mathématiques, enseignement commun, classe de seconde. 15
Capacités associées
Choisir ou déterminer le type d'une variable (entier, flottant
ou chaîne de caractères).
Concevoir et écrire une instruction d'affectation, une séquence
d'instructions, une instruction conditionnelle.
Écrire une formule permettant un calcul combinant des
variables.
Programmer, dans des cas simples, une boucle bornée, une boucle
non bornée.
Dans des cas plus complexes : lire, comprendre, modifier ou
compléter un algorithme ou un programme.
Notion de fonction
Connaissances Fonctions à un ou plusieurs arguments.
Fonction renvoyant un nombre aléatoire. Série statistique
obtenue par la répétition de l'appel d'une telle fonction.
Capacités associées
Écrire des fonctions simples ; lire, comprendre, modifier,
compléter des fonctions plus complexes. Appeler une fonction.
Lire et comprendre une fonction renvoyant une moyenne, un écart
type. Aucune connaissance sur les listes n'est exigée.
Écrire des fonctions renvoyant le résultat numérique d'une
expérience aléatoire, d'une répétition d'expériences aléatoires
indépendantes.
Vocabulaire ensembliste et logique L'apprentissage des notations
mathématiques et de la logique ne doit pas faire l'objet de
séquences spécifiques mais prend naturellement sa place dans tous
les chapitres du programme.
Les élèves doivent connaître les notions d'élément d'un
ensemble, de sous-ensemble, d'appartenance et d'inclusion, de
réunion, d'intersection et de complémentaire et savoir utiliser les
symboles de base correspondant : ∈, ⊂, ∩, ∪ ainsi que la notation
des ensembles de nombres et des intervalles. Ils rencontrent
également la notion de couple.
Pour le complémentaire d'un sous-ensemble 𝐴 de 𝐸, on utilise la
notation des probabilités �̅�, ou la notation 𝐸 ∖𝐴.
Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves
rencontrent via des exemples :
les connecteurs logiques « et », « ou » ;
les quantificateurs universel et existentiel (les symboles ∀ et
∃ sont hors programme) ;
des implications et équivalences logiques ;
la réciproque d'une implication ;
l'utilisation d'un contre-exemple pour infirmer une proposition
universelle ;
des raisonnements par disjonction des cas, des raisonnements par
l'absurde.
Ils distinguent le statut des égalités (identité, équation) et
celui des lettres utilisées (variable, indéterminée, inconnue,
paramètre).