I corpi X e Y all’inizio sono in quiete alla stessa altezza da un piano orizzontale. In un dato istante il corpo X viene lanciato orizzontalmente con velocità v, mentre il corpo Y viene lasciato cadere liberamente nello stesso istante. Quale delle seguenti asserzioni è esatta, se non consideriamo la resistenza dell’aria?
Arriverà al suolo prima il corpo Y. Arriveranno al suolo allo stesso istante sia X che Y. Arriverà al suolo prima il corpo X.
A B C
Cioè

dove Pr("X" = "x","Y" = "y") è la distribuzione congiunta di "X" e "Y", mentre Pr("X" = "x"|"Y" = "y") è la distribuzione condizionata di "X" dato "Y". Allora, per i numeri "x" e "y" si ha che "x" < "y" sse vale una delle seguenti proprietà:

Per i numeri "x" e "y" si ha che "x" ≤ "y" sse "x" < "y" ∨ "x" = "y", "x" > "y" sse "y" < "x", e "x" ≥ "y" sse "y" ≤ "x". Se i valori X e Y non si trovano su un muro, il metodo chiamerà se stesso con tutti i valori X e Y adiacenti, assicurandosi che non abbia già utilizzato quei valori X e Y prima. In questo modo si ha che "x" < "y" se è vera una delle seguenti proprietà:

Equivalentemente, sia δ("x","y") = min({ dom("x"), dom("y")} ∪ { α: 
α < dom("x") ∧ α < dom("y") ∧ "x"(α) ≠ "y"(α) }),
in modo tale che "x" = "y" sse δ("x","y") = dom("x") = dom("y"). Questo è facile da vedere in una sola direzione: se "X" e "Y" sono indipendenti, allora "p"("x","y") = "p"("x") "p"("y"), e perciò:

Inoltre, la mutua informazione è non negativa (cioè "I"("X";"Y") ≥ 0; vedi sotto) e simmetrica (cioè "I"("X";"Y") = "I"("Y";"X")). Consideriamo quindi due sistemi di riferimento, il primo con coordinate "x, y, z e t" e il secondo che muove rispetto al primo a velocità "v" lungo la direzione "x", con coordinate "x', y', z' e t"'. Cioè

dove "p"("x","y") da la distribuzione congiunta di "X" e "Y", mentre "p"("x"|"y") fornisce la distribuzione condizionata per "X" dato "Y". L'addizione e la moltiplicazione di numeri surreali sono definite dalle tre regole seguenti:


dove "X" + "y" = { "x" + "y" | "x" appartiene a "X" } e "x" + "Y" = { "x" + "y" | "y" appartiene a "Y" }. Per esempio, se "X=(X, X, X)" e "Y=(Y, Y)" sono vettori casuali, allora
Cov("X, Y") è una matrice 3 x 2 il cui "ij"-esimo elemento è Cov("X, Y)". Ad esempio, l'equazione:

individua una retta sul piano (x,y), mentre all'equazione:

corrisponde un piano nello spazio (x,y,z). In altri termini, l'identità è un predicato duale tale che per ogni “x” e “y”, "x" = "y" è vero se e solo se "x" è lo stesso che “y”. La relazione di < è una proprietà transitiva, e per tutti i numeri "x" e "y" è vera soltanto una delle relazioni seguenti: "x" < "y", "x" = "y", "x" > "y" (proprietà di tricotomia). I campioni Y, Cr e Cb sono "coacquisiti", cioè acquisiti nello stesso istante di tempo, e il campione Y' è acquisito nell'intervallo di tempo tra due campioni Y adiacenti. Un metodo per determinarlo è confrontare ciascun pixel (X,Y) con tre pixel adiacenti sul piano, ovvero (X-1,Y), (X, Y-1) e (X-1,Y-1). Ma se "x", "y" e "z" sono giochi, e "x"="y", allora non è sempre vero che "x" "z"="y" "z". Se su due insiemi "X" e "Y" sono definite le operazioni binarie arbitrarie formula_7 e formula_8 rispettivamente, allora un isomorfismo da "X" a "Y" è una funzione biiettiva "f" : "X" → "Y" tale che

per ogni "u", "v" in "X". Ad ogni istante, il segmento sarà tangente alla curva "y=y(x)" descritta dall'oggetto, cosicché la sua traiettoria venga determinata dal movimento del trascinatore. Se "x", "y" e "z" sono surreali, e "x"="y", allora "x" "z"="y" "z". Se X, Y, e Z sono i tre valori che identificano un colore e X+Y+Z la loro somma, ponendo:

x = X/(X+Y+Z)

y = Y/(X+Y+Z)

z = Z/(X+Y+Z)

risulta, con semplici passaggi algebrici, che x+y+z è sempre uguale ad 1 per qualsiasi valore originario di X, Y e Z. Da questo si ricava che:

z = 1-x-y

È dunque possibile utilizzare due sole coordinate cromatiche (x e y, ad esempio) per identificare un colore essendo la terza (z, in questo caso) ricavabile sottraendo all'unità le altre due. Se ("x") è una rete da un insieme diretto da "A" in "X", e se "Y" è un sottoinsieme di "X", diremo che ("x") è "definitivamente in" "Y" se esiste α in "A" tale che per ogni β in "A" con β ≥ α, il punto "x" appartiene a "Y". Se la coppia di elettrodi viene posizionata a 

y=y

x=x

allora il momento dipolare elettrico registrato dalla coppia di elettrodi sarà equivalente al vettore v rappresentato in figura 9. Un sottoinsieme "D" di un insieme ordinato "X" si dice denso in "X" se "D" ∩ ("x","y") ≠ ∅ per ogni "x" < "y" (la notazione ("x","y") sta per l'intervallo di elementi strettamente compresi tra "x" e "y"), cioè per ogni "x" < "y" esiste uno "z" in "D" tale che "x" < "z" < "y". I vertici della parte "A" possono essere colorati dello stesso colore in quanto: per ogni "x","y" appartenenti ad "A", con "x" ≠ "y", l'arco {"x","y"} non appartiene a "G"; e anche per la parte "B": per ogni "x","y" appartenenti a "B", con "x" ≠ "y", l'arco {"x","y"} non appartiene a "G". Se per due variabili aleatorie "X" e "Y" si ha che "P"("Y" = "y" | "X" = "x") = "P"("Y" = "y") per ogni "x" e "y" o, nel caso continuo, "f"("y" | "X=x") = "f"("y") per ogni "x" e "y", allora le due variabili sono dette indipendenti All'altro estremo, se "X" e "Y" sono identiche allora tutte le informazioni trasmesse da "X" sono condivise con "Y": la conoscenza di "X" determina il valore di "Y" e viceversa. In questo modo si ha che "x" < "y" se è vera una delle seguenti proprietà:

Equivalentemente, sia δ("x","y") = min({ dom("x"), dom("y")} ∪ { α: 
α < dom("x") ∧ α < dom("y") ∧ "x"(α) ≠ "y"(α) }),
in modo tale che "x" = "y" sse δ("x","y") = dom("x") = dom("y"). Allora, per i numeri "x" e "y" si ha che "x" < "y" sse vale una delle seguenti proprietà:

Per i numeri "x" e "y" si ha che "x" ≤ "y" sse "x" < "y" ∨ "x" = "y", "x" > "y" sse "y" < "x", e "x" ≥ "y" sse "y" ≤ "x". Cioè

dove Pr("X" = "x","Y" = "y") è la distribuzione congiunta di "X" e "Y", mentre Pr("X" = "x"|"Y" = "y") è la distribuzione condizionata di "X" dato "Y". In altri termini, l'identità è un predicato duale tale che per ogni “x” e “y”, "x" = "y" è vero se e solo se "x" è lo stesso che “y”. Ad ogni istante, il segmento sarà tangente alla curva "y=y(x)" descritta dall'oggetto, cosicché la sua traiettoria venga determinata dal movimento del trascinatore. Se i valori X e Y non si trovano su un muro, il metodo chiamerà se stesso con tutti i valori X e Y adiacenti, assicurandosi che non abbia già utilizzato quei valori X e Y prima. Questo è facile da vedere in una sola direzione: se "X" e "Y" sono indipendenti, allora "p"("x","y") = "p"("x") "p"("y"), e perciò:

Inoltre, la mutua informazione è non negativa (cioè "I"("X";"Y") ≥ 0; vedi sotto) e simmetrica (cioè "I"("X";"Y") = "I"("Y";"X")). L'addizione e la moltiplicazione di numeri surreali sono definite dalle tre regole seguenti:


dove "X" + "y" = { "x" + "y" | "x" appartiene a "X" } e "x" + "Y" = { "x" + "y" | "y" appartiene a "Y" }. Cioè

dove "p"("x","y") da la distribuzione congiunta di "X" e "Y", mentre "p"("x"|"y") fornisce la distribuzione condizionata per "X" dato "Y". Per esempio, se "X=(X, X, X)" e "Y=(Y, Y)" sono vettori casuali, allora
Cov("X, Y") è una matrice 3 x 2 il cui "ij"-esimo elemento è Cov("X, Y)". I campioni Y, Cr e Cb sono "coacquisiti", cioè acquisiti nello stesso istante di tempo, e il campione Y' è acquisito nell'intervallo di tempo tra due campioni Y adiacenti. Consideriamo quindi due sistemi di riferimento, il primo con coordinate "x, y, z e t" e il secondo che muove rispetto al primo a velocità "v" lungo la direzione "x", con coordinate "x', y', z' e t"'. Ma se "x", "y" e "z" sono giochi, e "x"="y", allora non è sempre vero che "x" "z"="y" "z". I vertici della parte "A" possono essere colorati dello stesso colore in quanto: per ogni "x","y" appartenenti ad "A", con "x" ≠ "y", l'arco {"x","y"} non appartiene a "G"; e anche per la parte "B": per ogni "x","y" appartenenti a "B", con "x" ≠ "y", l'arco {"x","y"} non appartiene a "G". Se X, Y, e Z sono i tre valori che identificano un colore e X+Y+Z la loro somma, ponendo:

x = X/(X+Y+Z)

y = Y/(X+Y+Z)

z = Z/(X+Y+Z)

risulta, con semplici passaggi algebrici, che x+y+z è sempre uguale ad 1 per qualsiasi valore originario di X, Y e Z. Da questo si ricava che:

z = 1-x-y

È dunque possibile utilizzare due sole coordinate cromatiche (x e y, ad esempio) per identificare un colore essendo la terza (z, in questo caso) ricavabile sottraendo all'unità le altre due. Ad esempio, l'equazione:

individua una retta sul piano (x,y), mentre all'equazione:

corrisponde un piano nello spazio (x,y,z). Se su due insiemi "X" e "Y" sono definite le operazioni binarie arbitrarie formula_7 e formula_8 rispettivamente, allora un isomorfismo da "X" a "Y" è una funzione biiettiva "f" : "X" → "Y" tale che

per ogni "u", "v" in "X". Un sottoinsieme "D" di un insieme ordinato "X" si dice denso in "X" se "D" ∩ ("x","y") ≠ ∅ per ogni "x" < "y" (la notazione ("x","y") sta per l'intervallo di elementi strettamente compresi tra "x" e "y"), cioè per ogni "x" < "y" esiste uno "z" in "D" tale che "x" < "z" < "y". La relazione di < è una proprietà transitiva, e per tutti i numeri "x" e "y" è vera soltanto una delle relazioni seguenti: "x" < "y", "x" = "y", "x" > "y" (proprietà di tricotomia). Un metodo per determinarlo è confrontare ciascun pixel (X,Y) con tre pixel adiacenti sul piano, ovvero (X-1,Y), (X, Y-1) e (X-1,Y-1). Se ("x") è una rete da un insieme diretto da "A" in "X", e se "Y" è un sottoinsieme di "X", diremo che ("x") è "definitivamente in" "Y" se esiste α in "A" tale che per ogni β in "A" con β ≥ α, il punto "x" appartiene a "Y". Se "x", "y" e "z" sono surreali, e "x"="y", allora "x" "z"="y" "z". Se per due variabili aleatorie "X" e "Y" si ha che "P"("Y" = "y" | "X" = "x") = "P"("Y" = "y") per ogni "x" e "y" o, nel caso continuo, "f"("y" | "X=x") = "f"("y") per ogni "x" e "y", allora le due variabili sono dette indipendenti Una definizione alternativa di rivestimento è la seguente: "p": "Y" → "X" è un rivestimento se

Un rivestimento "p": "Y" → "X" induce una funzione iniettiva sui gruppi fondamentali "p": π("Y","y") → π("X","x"), per ogni "x" e "y" tali che "x" = "p"("y"). Così se "x" e "y" appartengono alla stessa classe di equivalenza, si ha che ["x"] = ["y"]. Cioè

dove Pr("X" = "x","Y" = "y") è la distribuzione congiunta di "X" e "Y", mentre Pr("X" = "x"|"Y" = "y") è la distribuzione condizionata di "X" dato "Y". Consideriamo quindi due sistemi di riferimento, il primo con coordinate "x, y, z e t" e il secondo che muove rispetto al primo a velocità "v" lungo la direzione "x", con coordinate "x', y', z' e t"'. Se i valori X e Y non si trovano su un muro, il metodo chiamerà se stesso con tutti i valori X e Y adiacenti, assicurandosi che non abbia già utilizzato quei valori X e Y prima. Allora, per i numeri "x" e "y" si ha che "x" < "y" sse vale una delle seguenti proprietà:

Per i numeri "x" e "y" si ha che "x" ≤ "y" sse "x" < "y" ∨ "x" = "y", "x" > "y" sse "y" < "x", e "x" ≥ "y" sse "y" ≤ "x". Questo è facile da vedere in una sola direzione: se "X" e "Y" sono indipendenti, allora "p"("x","y") = "p"("x") "p"("y"), e perciò:

Inoltre, la mutua informazione è non negativa (cioè "I"("X";"Y") ≥ 0; vedi sotto) e simmetrica (cioè "I"("X";"Y") = "I"("Y";"X")). In questo modo si ha che "x" < "y" se è vera una delle seguenti proprietà:

Equivalentemente, sia δ("x","y") = min({ dom("x"), dom("y")} ∪ { α: 
α < dom("x") ∧ α < dom("y") ∧ "x"(α) ≠ "y"(α) }),
in modo tale che "x" = "y" sse δ("x","y") = dom("x") = dom("y"). Per esempio, se "X=(X, X, X)" e "Y=(Y, Y)" sono vettori casuali, allora
Cov("X, Y") è una matrice 3 x 2 il cui "ij"-esimo elemento è Cov("X, Y)". Cioè

dove "p"("x","y") da la distribuzione congiunta di "X" e "Y", mentre "p"("x"|"y") fornisce la distribuzione condizionata per "X" dato "Y". Ad esempio, l'equazione:

individua una retta sul piano (x,y), mentre all'equazione:

corrisponde un piano nello spazio (x,y,z). L'addizione e la moltiplicazione di numeri surreali sono definite dalle tre regole seguenti:


dove "X" + "y" = { "x" + "y" | "x" appartiene a "X" } e "x" + "Y" = { "x" + "y" | "y" appartiene a "Y" }. Se ("x") è una rete da un insieme diretto da "A" in "X", e se "Y" è un sottoinsieme di "X", diremo che ("x") è "definitivamente in" "Y" se esiste α in "A" tale che per ogni β in "A" con β ≥ α, il punto "x" appartiene a "Y". In altri termini, l'identità è un predicato duale tale che per ogni “x” e “y”, "x" = "y" è vero se e solo se "x" è lo stesso che “y”. Se su due insiemi "X" e "Y" sono definite le operazioni binarie arbitrarie formula_7 e formula_8 rispettivamente, allora un isomorfismo da "X" a "Y" è una funzione biiettiva "f" : "X" → "Y" tale che

per ogni "u", "v" in "X". La relazione di < è una proprietà transitiva, e per tutti i numeri "x" e "y" è vera soltanto una delle relazioni seguenti: "x" < "y", "x" = "y", "x" > "y" (proprietà di tricotomia). Un metodo per determinarlo è confrontare ciascun pixel (X,Y) con tre pixel adiacenti sul piano, ovvero (X-1,Y), (X, Y-1) e (X-1,Y-1). Ma se "x", "y" e "z" sono giochi, e "x"="y", allora non è sempre vero che "x" "z"="y" "z". Il punteggio viene calcolato con la formula "Y=X²-X". Se X, Y, e Z sono i tre valori che identificano un colore e X+Y+Z la loro somma, ponendo:

x = X/(X+Y+Z)

y = Y/(X+Y+Z)

z = Z/(X+Y+Z)

risulta, con semplici passaggi algebrici, che x+y+z è sempre uguale ad 1 per qualsiasi valore originario di X, Y e Z. Da questo si ricava che:

z = 1-x-y

È dunque possibile utilizzare due sole coordinate cromatiche (x e y, ad esempio) per identificare un colore essendo la terza (z, in questo caso) ricavabile sottraendo all'unità le altre due. Se "x", "y" e "z" sono surreali, e "x"="y", allora "x" "z"="y" "z". Un sottoinsieme "D" di un insieme ordinato "X" si dice denso in "X" se "D" ∩ ("x","y") ≠ ∅ per ogni "x" < "y" (la notazione ("x","y") sta per l'intervallo di elementi strettamente compresi tra "x" e "y"), cioè per ogni "x" < "y" esiste uno "z" in "D" tale che "x" < "z" < "y". Se la coppia di elettrodi viene posizionata a 

y=y

x=x

allora il momento dipolare elettrico registrato dalla coppia di elettrodi sarà equivalente al vettore v rappresentato in figura 9. La somma "x" + "y" di due numeri "x" e "y" è definita per induzione su dom("x") e dom("y") da "x" + "y" = σ("L","R"), dove

L'elemento neutro dell'addizione è dato dal numero 0 = { }, e cioè il numero 0 è l'unica funzione il cui dominio è l'ordinale 0, e l'opposto del numero "x" è il numero - "x", dato da dom(- "x") = dom("x") e, per α < dom("x"), (- "x")(α) = - 1 se "x"(α) = + 1, e (- "x")(α) = + 1 se "x"(α) = - 1. I maschi tipicamente hanno un cromosoma X e uno Y in ogni cellula diploide del loro corpo. Espressa per intero, dato "X" spazio metrico con metrica "d", "x" è un punto di chiusura di "S" se per ogni "r" > 0, esiste un "y" in "S" tale che la distanza "d"("x", "y") < "r" (ancora, possiamo avere "x" = "y"). All'altro estremo, se "X" e "Y" sono identiche allora tutte le informazioni trasmesse da "X" sono condivise con "Y": la conoscenza di "X" determina il valore di "Y" e viceversa.