Quale tra gli algoritmi indicati di seguito produrrà sempre la somma di n numeri inseriti?
somma := 1; per i := 1 fino a n esegui somma := somma + n; stampa(somma); somma := 0; per i := 1 fino a n esegui somma := somma + i; stampa(somma); per i := 1 fino a n esegui { leggi(x); somma := somma + i; } stampa(somma); somma := 0; per i := 1 fino a n esegui { leggi(x); somma := somma + x; } stampa(somma);
A B C D
La somma dei numeri da 1 a n è data dall'equazione n × (n + 1) / 2. Così come l<nowiki>'</nowiki>"n"-simo numero triangolare è dato dalla somma dei numeri interi da 1 a "n", e l<nowiki>'</nowiki>"n"-simo numero tetraedrico è dato dalla somma dei numeri triangolari da 1 all<nowiki>'</nowiki>"n"-simo, l<nowiki>'</nowiki>"n"-simo numero pentatopico è dato dalla somma dei numeri tetraedrici da 1 all<nowiki>'</nowiki>"n"-simo. Per ottenere un numero entro il range richiesto, da 0 a "n-1", dalla somma, la funzione prende il valore del modulo tra la somma e "n", "sum%n". In altri termini, $(m, n)$ sono numeri fidanzati se $s(m) = n + 1$ e $s(n) = m + 1$, dove $s(n)$ è la somma dei divisori propri di $n$: una condizione equivalente è che $σ(m) = σ(n) = m + n + 1$, dove $σ$ è la funzione somma dei divisori. la somma della k-esime potenze dei divisori di "n", inclusi 1 ed "n"). Ci sono due generalizzazioni molto conosciute della somma di Cesaro: il semplice concetto che ritiene che la somma (H, "n") opera sui numeri naturali "n". La sua somma vale

La somma
è definibile come
per "n" che tende a infinito. La somma dei numeri sulla riga "n-esima" è formula_10. Questo numero è pari a 8 volte la somma dei divisori di "n" per "n" dispari; mentre è pari a 24 volte la somma dei divisori di "n", se "n" è pari. La somma magica delle stelle magiche ad "n" punte è 
Infatti, i 2"n" interi della stella magica sono interi consecutivi, quindi la loro somma corrisponde al 2"n"-esimo numero triangolare, che è chiaramente dato da 2"n"(2"n"+1)/2; moltiplicando per "n" la costante magica, ogni numero viene considerato due volte, e quindi la somma di tutti i numeri viene raddoppiata; da ciò si arriva facilmente alla formula sopra descritta. A volte la fase 1 è divisa in due fasi: fase N/1 con una somma angolare compresa tra 0 ° e 5 ° e il grado 1 con una somma compresa tra 6 ° e 45 °. L<nowiki>'</nowiki>"n"-esimo numero tetraedrico è la somma dei primi "n" numeri triangolari. Possiamo dire che la somma di Ramanujan "c"("n") è la somma delle "n"-esime potenze della radice dell'unità q-esima primitiva. I primi numeri esagonali centrati sono

Si è verificato che la somma dei primi "n" numeri esagonali centrati è "n". Essa afferma che per ogni intero "n" > 2, la somma di "n" − 1 potenze "n"-esime di interi positivi non può uguagliare una potenza "n"-esima. Egli ha infatti dimostrato che la somma (C, "n") e la somma (H, "n") danno lo stesso risultato, nonostante il diverso sfondo storico. Numero perfetto totiente

In teoria dei numeri, si dice numero perfetto totiente un numero naturale "n" uguale alla somma dei suoi totienti iterati, da "n" fino ad 1. Naturalmente la somma degli "n" sarà pari a formula_2. L"'n"-simo numero stellato può essere visto come la somma di 1 punto centrale e di sei volte l'("n"-1)-esimo numero triangolare. Sui numeri reali le cose cambiano, perché la somma delle molteplicità di un polinomio di grado "n" può essere inferiore a "n". La somma di questi due numeri è 10 + 1. La funzione σ("n") è la somma delle potenze "k"-esime dei divisori positivi di "n", incluso 1 e "n", dove "k" è un numero complesso. L'indice risulta:
formula_2

Il Breidbart Index Version 2 (BI2) è un criterio più stringente, definito come la somma della radice quadrata di n , più la somma di n , divisa per due. Quest'ultimo può facilmente essere riguardato come una somma del tipo 1 + 2 + 3 + ... + "n", ovverosia come l"'n"-esimo numero triangolare. Somma di Ramanujan

Nella teoria dei numeri, la somma di Ramanujan, in genere indicata con la notazione formula_1, è una funzione di due variabili intere "q" ed "n" nella formula

dove ("a", "q") = 1 significa che "a" assume solamente valori coprimi con "q". Per ottenere un numero entro il range richiesto, da 0 a "n-1", dalla somma, la funzione prende il valore del modulo tra la somma e "n", "sum%n". La somma dei numeri da 1 a n è data dall'equazione n × (n + 1) / 2. Così come l<nowiki>'</nowiki>"n"-simo numero triangolare è dato dalla somma dei numeri interi da 1 a "n", e l<nowiki>'</nowiki>"n"-simo numero tetraedrico è dato dalla somma dei numeri triangolari da 1 all<nowiki>'</nowiki>"n"-simo, l<nowiki>'</nowiki>"n"-simo numero pentatopico è dato dalla somma dei numeri tetraedrici da 1 all<nowiki>'</nowiki>"n"-simo. La sua somma vale

La somma
è definibile come
per "n" che tende a infinito. Ci sono due generalizzazioni molto conosciute della somma di Cesaro: il semplice concetto che ritiene che la somma (H, "n") opera sui numeri naturali "n". La somma dei numeri sulla riga "n-esima" è formula_10. A volte la fase 1 è divisa in due fasi: fase N/1 con una somma angolare compresa tra 0 ° e 5 ° e il grado 1 con una somma compresa tra 6 ° e 45 °. In altri termini, $(m, n)$ sono numeri fidanzati se $s(m) = n + 1$ e $s(n) = m + 1$, dove $s(n)$ è la somma dei divisori propri di $n$: una condizione equivalente è che $σ(m) = σ(n) = m + n + 1$, dove $σ$ è la funzione somma dei divisori. I primi numeri esagonali centrati sono

Si è verificato che la somma dei primi "n" numeri esagonali centrati è "n". Possiamo dire che la somma di Ramanujan "c"("n") è la somma delle "n"-esime potenze della radice dell'unità q-esima primitiva. Questo numero è pari a 8 volte la somma dei divisori di "n" per "n" dispari; mentre è pari a 24 volte la somma dei divisori di "n", se "n" è pari. L<nowiki>'</nowiki>"n"-esimo numero tetraedrico è la somma dei primi "n" numeri triangolari. La somma magica delle stelle magiche ad "n" punte è 
Infatti, i 2"n" interi della stella magica sono interi consecutivi, quindi la loro somma corrisponde al 2"n"-esimo numero triangolare, che è chiaramente dato da 2"n"(2"n"+1)/2; moltiplicando per "n" la costante magica, ogni numero viene considerato due volte, e quindi la somma di tutti i numeri viene raddoppiata; da ciò si arriva facilmente alla formula sopra descritta. la somma della k-esime potenze dei divisori di "n", inclusi 1 ed "n"). Egli ha infatti dimostrato che la somma (C, "n") e la somma (H, "n") danno lo stesso risultato, nonostante il diverso sfondo storico. Allora, la somma di Ramanujan soddisfa la proprietà di ortogonalità:

Sìa "n", "k" > 0. La somma di tutti i numeri è 613. In particolare, la somma formula_10 di 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ è calcolata come:
la somma diverge e non significa che la somma dei numeri interi tendente a infinito è una frazione negativa. Naturalmente la somma degli "n" sarà pari a formula_2. La somma di questi due numeri è 10 + 1. Dati i due numeri reali formula_1 e formula_16, la loro somma formula_17 può essere definita come l'unico numero reale individuato per localizzazione dagli intervalli

Grazie alla definizione di somma di numeri reali attraverso una successione di intervalli in cui essa è contenuta, possiamo stimare l'errore che commettiamo nella somma di due numeri reali, troncati alla "n"-esima cifra. Tuttavia, esistono definizioni generalizzate della somma di una serie, come la già richiamata somma di Cesaro, la somma di Abel, la somma di Eulero, che forniscono il valore 1/2. Somma di Hölder

In matematica, la somma di Hölder è una definizione di somma di serie più generale rispetto alla somma usuale o alla somma di Cesaro. La somma (E, 0) è l'ordinario limite delle somme parziali della successione, mentre (E, 1) è la somma di Eulero. Cosicché la somma di tutti i punteggi dei giocatori è sempre 0. La somma dei numeri da 1 a n è data dall'equazione n × (n + 1) / 2. Così come l<nowiki>'</nowiki>"n"-simo numero triangolare è dato dalla somma dei numeri interi da 1 a "n", e l<nowiki>'</nowiki>"n"-simo numero tetraedrico è dato dalla somma dei numeri triangolari da 1 all<nowiki>'</nowiki>"n"-simo, l<nowiki>'</nowiki>"n"-simo numero pentatopico è dato dalla somma dei numeri tetraedrici da 1 all<nowiki>'</nowiki>"n"-simo. Per ottenere un numero entro il range richiesto, da 0 a "n-1", dalla somma, la funzione prende il valore del modulo tra la somma e "n", "sum%n". Ci sono due generalizzazioni molto conosciute della somma di Cesaro: il semplice concetto che ritiene che la somma (H, "n") opera sui numeri naturali "n". La somma dei numeri sulla riga "n-esima" è formula_10. In altri termini, $(m, n)$ sono numeri fidanzati se $s(m) = n + 1$ e $s(n) = m + 1$, dove $s(n)$ è la somma dei divisori propri di $n$: una condizione equivalente è che $σ(m) = σ(n) = m + n + 1$, dove $σ$ è la funzione somma dei divisori. La sua somma vale

La somma
è definibile come
per "n" che tende a infinito. I primi numeri esagonali centrati sono

Si è verificato che la somma dei primi "n" numeri esagonali centrati è "n". La somma magica delle stelle magiche ad "n" punte è 
Infatti, i 2"n" interi della stella magica sono interi consecutivi, quindi la loro somma corrisponde al 2"n"-esimo numero triangolare, che è chiaramente dato da 2"n"(2"n"+1)/2; moltiplicando per "n" la costante magica, ogni numero viene considerato due volte, e quindi la somma di tutti i numeri viene raddoppiata; da ciò si arriva facilmente alla formula sopra descritta. L<nowiki>'</nowiki>"n"-esimo numero tetraedrico è la somma dei primi "n" numeri triangolari. la somma della k-esime potenze dei divisori di "n", inclusi 1 ed "n"). Questo numero è pari a 8 volte la somma dei divisori di "n" per "n" dispari; mentre è pari a 24 volte la somma dei divisori di "n", se "n" è pari. Possiamo dire che la somma di Ramanujan "c"("n") è la somma delle "n"-esime potenze della radice dell'unità q-esima primitiva. A volte la fase 1 è divisa in due fasi: fase N/1 con una somma angolare compresa tra 0 ° e 5 ° e il grado 1 con una somma compresa tra 6 ° e 45 °. Egli ha infatti dimostrato che la somma (C, "n") e la somma (H, "n") danno lo stesso risultato, nonostante il diverso sfondo storico. Dati i due numeri reali formula_1 e formula_16, la loro somma formula_17 può essere definita come l'unico numero reale individuato per localizzazione dagli intervalli

Grazie alla definizione di somma di numeri reali attraverso una successione di intervalli in cui essa è contenuta, possiamo stimare l'errore che commettiamo nella somma di due numeri reali, troncati alla "n"-esima cifra. Sui numeri reali le cose cambiano, perché la somma delle molteplicità di un polinomio di grado "n" può essere inferiore a "n". La somma di tutti i numeri è 613. Naturalmente la somma degli "n" sarà pari a formula_2. La somma di questi due numeri è 10 + 1. Numero perfetto totiente

In teoria dei numeri, si dice numero perfetto totiente un numero naturale "n" uguale alla somma dei suoi totienti iterati, da "n" fino ad 1. Questo programma calcola la somma di due numeri "x" e "y". In particolare, la somma formula_10 di 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ è calcolata come:
la somma diverge e non significa che la somma dei numeri interi tendente a infinito è una frazione negativa. Esagono magico

Un esagono magico di ordine "n" è una disposizione di numeri tra loro distinti in una tabella esagonale composta da "n" celle per ogni lato, in modo che la somma dei numeri in ogni riga, in ciascuna delle tre direzioni possibili, abbia come somma la stessa costante magica. L'indice risulta:
formula_2

Il Breidbart Index Version 2 (BI2) è un criterio più stringente, definito come la somma della radice quadrata di n , più la somma di n , divisa per due. Per ottenere un numero entro il range richiesto, da 0 a "n-1", dalla somma, la funzione prende il valore del modulo tra la somma e "n", "sum%n". La somma dei numeri da 1 a n è data dall'equazione n × (n + 1) / 2. Così come l<nowiki>'</nowiki>"n"-simo numero triangolare è dato dalla somma dei numeri interi da 1 a "n", e l<nowiki>'</nowiki>"n"-simo numero tetraedrico è dato dalla somma dei numeri triangolari da 1 all<nowiki>'</nowiki>"n"-simo, l<nowiki>'</nowiki>"n"-simo numero pentatopico è dato dalla somma dei numeri tetraedrici da 1 all<nowiki>'</nowiki>"n"-simo. La sua somma vale

La somma
è definibile come
per "n" che tende a infinito. Ci sono due generalizzazioni molto conosciute della somma di Cesaro: il semplice concetto che ritiene che la somma (H, "n") opera sui numeri naturali "n". Questo programma calcola la somma di due numeri "x" e "y". Estendendo la funzione ai sottoinsiemi di "E" attraverso la somma; "w"("A") è la somma dei "w"("x") sugli "x" in "A". La somma dei numeri sulla riga "n-esima" è formula_10. A volte la fase 1 è divisa in due fasi: fase N/1 con una somma angolare compresa tra 0 ° e 5 ° e il grado 1 con una somma compresa tra 6 ° e 45 °. In altri termini, $(m, n)$ sono numeri fidanzati se $s(m) = n + 1$ e $s(n) = m + 1$, dove $s(n)$ è la somma dei divisori propri di $n$: una condizione equivalente è che $σ(m) = σ(n) = m + n + 1$, dove $σ$ è la funzione somma dei divisori. Possiamo dire che la somma di Ramanujan "c"("n") è la somma delle "n"-esime potenze della radice dell'unità q-esima primitiva. Questo numero è pari a 8 volte la somma dei divisori di "n" per "n" dispari; mentre è pari a 24 volte la somma dei divisori di "n", se "n" è pari. L<nowiki>'</nowiki>"n"-esimo numero tetraedrico è la somma dei primi "n" numeri triangolari. la somma della k-esime potenze dei divisori di "n", inclusi 1 ed "n"). I primi numeri esagonali centrati sono

Si è verificato che la somma dei primi "n" numeri esagonali centrati è "n". La derivata della somma (algebrica) di una serie di funzioni derivabili in x è uguale alla somma delle singole derivate. Se "n" è un intero positivo e "f"("x") è una funzione liscia (cioè una funzione differenziabile un numero sufficientemente elevato di volte) definita per tutti i numeri reali "x" tra 0 e "n", allora l'integrale

può essere approssimato con la somma

(vedi regola del trapezio). Questo risultato generalizza la somma di Abel, la quale viene recuperata applicando φ("x") = exp(−"x"). La somma magica delle stelle magiche ad "n" punte è 
Infatti, i 2"n" interi della stella magica sono interi consecutivi, quindi la loro somma corrisponde al 2"n"-esimo numero triangolare, che è chiaramente dato da 2"n"(2"n"+1)/2; moltiplicando per "n" la costante magica, ogni numero viene considerato due volte, e quindi la somma di tutti i numeri viene raddoppiata; da ciò si arriva facilmente alla formula sopra descritta. Ciò non è vero se consideriamo la somma di cubi, con più di due addendi: 


la somma dei primi n cubi è l' n-esimo numero triangolare quadrato

formula_8

Ad esempio la somma dei primi 5 cubi perfetti è il quadrato del quinto numero triangolare

ma x, y devono soddisfare l'equazione di Pell negativa formula_10. Egli ha infatti dimostrato che la somma (C, "n") e la somma (H, "n") danno lo stesso risultato, nonostante il diverso sfondo storico. Allora, la somma di Ramanujan soddisfa la proprietà di ortogonalità:

Sìa "n", "k" > 0. In particolare, la somma formula_10 di 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ è calcolata come:
la somma diverge e non significa che la somma dei numeri interi tendente a infinito è una frazione negativa. Naturalmente la somma degli "n" sarà pari a formula_2. La somma di questi due numeri è 10 + 1.