Cosa produrrà il seguente algoritmo? leggi(n); k := 0; per i := 1 fino a n esegui { leggi (a); se a mod 2 = 1 allora k := k + 1; } stampa (k);
somma di numeri dispari tra quelli inseriti conta i numeri pari tra quelli inseriti conta i numeri dispari tra quelli inseriti somma di numeri pari tra quelli inseriti
A B C D
Si avrà quindi: 

formula_1 con "d" = "i" /("i"+1) e "k" = 0, 1, 2..., "n"- 1

formula_2 per "k" = 0

formula_3 per "k" = 1, 2.., "n"-1

formula_4 per "k" = "n". Quindi formula_1 è la somma di una quota interessi pagata all'inizio del periodo "k" (con "k" = 0, 1, 2, .., "n" -1) e una quota capitale pagata alla fine del periodo k (con "k" = 1, 2.., "n"), vale pertanto quanto segue:

formula_2 per "k" = 0

formula_3 per "k" = 1, 2, ..., "n" -1

formula_4 per "k" = "n". Il debito residuo è presto calcolato:

formula_6 per "k" = 0, 1, 2, ..., "n"-1

formula_7 per "k" = "n"

Analogamente la quota interesse:

formula_8 con "d" = "i" / (1+"i") e "k" = 0, 1, 2, ..., "n" -1. formula_15 con "k"= 1, 2.., "n - 1" 

formula_16 con "k"= 1, 2.., "n". Per il numero successivo "k + 1" possiamo dire che ("k" + 1) + ("k" + 1) = "k" + 1 + "k" + 2"k" + 1 = ("k" + "k") + 2("k" + 1) è anch'esso un numero pari dato che 2("k" + 1) è pari, ("k" + "k") è un numero che avevamo ipotizzato essere pari e la somma di due numeri pari è pari. Se si impone che "k" = 0, "k" = "n"−1, si ottiene la definizione di una matrice triangolare superiore; similmente, con "k" = "n"−1, "k" = 0 si ottiene una matrice triangolare inferiore. Esso fu generalizzato da James Joseph Sylvester (1814-1897), che dimostrò che, se "n" > "k", tra i numeri della sequenza "n", "n" + "1", ..., "n" + "k" − 1 vi è un numero con un divisore primo maggiore di "k". Consideriamo l'insieme di p:=n-k+1 elementi G := {m=k, k+1, ...,n :| "x" }. Indichiamo: formula_11 e
formula_12
dove "σ"=1,2...,"k"; "η"="k"+1,"k"+2...,"k"+"n". La ragione ed il termine "N" risultano ("n" va incrementato a partire da "0" fino a "k-1"):

Il valore "k" varia a seconda della serie: per la E6 "k"=6, per la E12 "k"=12, ecc. Le permutazioni del multiinsieme {1, 1, 2, 2, ···, "n", "n"} con la proprietà che, per ogni "k", tutti i numeri compresi tra le due occorrenze di "k" nella permutazione sono maggiori di "k," possono essere contate attraverso il semifattoriale formula_20. Quindi sia "k" il periodo in considerazione e formula_7 il debito residuo valutato subito prima dell'inizio di tale periodo si ha:

formula_8 per "k"= 0, 1, 2, ..., "n"-1 

formula_9 per "k"= n

ovvero (scrivendo il debito in funzione dell'intero importo "S"):

formula_10 per k=0

formula_11 per "k"= 1, 2, ..., "n"-1

formula_12 per k=n

Si noti che formula_13 vale a dire che il debito residuo calcolato immediatamente prima del pagamento della rata in scadenza nel periodo "k" coincide con il debito residuo calcolato immediatamente dopo il pagamento della rata che scade nel periodo "k-1". Inoltre dalla (2) si ricava facilmente (impostando k=n):

formula_12

e impostando k=1:

formula_13

ne consegue per la quota capitale della rata "k"-esima:

formula_14 con "k"= 1, 2.., "n". Infatti, ("k" + 1) = "k" + 2k +1, e quindi ("k" + 1) - "k" = 2"k" + 1. Un numero "n" è dispari se esiste un numero intero "k" tale che "n = 2k + 1". Si dice che un algoritmo funziona in tempo quasi-lineare se "T"("n") = O("n" log "n") per una qualsiasi costante "k"; il tempo linearitmico è il caso "k" = 1. Il teorema afferma che, se "p" è un numero di Proth, nella forma "k"2 + 1 con "k" dispari e "k" < 2, allora se per qualche numero intero "a",

allora "p" è primo (ed è chiamato primo di Proth). La restrizione di "x", "y", e "z" ai numeri positivi è cruciale per la difficoltà del problema, dal momento che, se i valori negativi fossero ammessi, il problema potrebbe essere risolto banalmente da una delle due identità 4/(4"k"+1) = 1/"k" - 1/"k"(4"k"+1) e 4/(4"k"-1) = 1/"k" + 1/"k"(4"k"-1). La precedente associazione pone in corrispondenza biunivoca le combinazioni con ripetizioni di lunghezza k degli elementi di {1, 2, ... , "n"} con le combinazioni semplici di lunghezza "k" degli interi in {1, 2, ... , "n"+"k"-1}. Per gli interi dispari "k" ≥ 1 si dimostra che 
mentre per gli interi pari "k" ≥ 2

La disuguaglianza di Boole si ottiene come caso particolare relativo a "k" = 1. Allora "a" ≡ "k" ≡ 1 (mod "p") per il piccolo teorema di Fermat. Riguardo ai numeri "k"-potenti, abbiamo la seguente identità:

che ci fornisce infinite ("l" + 1)-uple di numeri "k"-potenti la cui somma è anch'essa "k"-potente. A partire dal K-1, vennero sviluppati i Kalinin K-2, K-3 e K-4. Se N tende a K allora il rapporto formula_4 tende ad 1 ed il termine formula_6 a 0, condizione di equilibrio stabile. Per induzione, il sottoalbero sinistro ha k+1 nodi esterni mentre il destro ne ha N-k per un totale di N+1. Si avrà quindi: 

formula_1 con "d" = "i" /("i"+1) e "k" = 0, 1, 2..., "n"- 1

formula_2 per "k" = 0

formula_3 per "k" = 1, 2.., "n"-1

formula_4 per "k" = "n". Il debito residuo è presto calcolato:

formula_6 per "k" = 0, 1, 2, ..., "n"-1

formula_7 per "k" = "n"

Analogamente la quota interesse:

formula_8 con "d" = "i" / (1+"i") e "k" = 0, 1, 2, ..., "n" -1. Quindi formula_1 è la somma di una quota interessi pagata all'inizio del periodo "k" (con "k" = 0, 1, 2, .., "n" -1) e una quota capitale pagata alla fine del periodo k (con "k" = 1, 2.., "n"), vale pertanto quanto segue:

formula_2 per "k" = 0

formula_3 per "k" = 1, 2, ..., "n" -1

formula_4 per "k" = "n". Per il numero successivo "k + 1" possiamo dire che ("k" + 1) + ("k" + 1) = "k" + 1 + "k" + 2"k" + 1 = ("k" + "k") + 2("k" + 1) è anch'esso un numero pari dato che 2("k" + 1) è pari, ("k" + "k") è un numero che avevamo ipotizzato essere pari e la somma di due numeri pari è pari. formula_15 con "k"= 1, 2.., "n - 1" 

formula_16 con "k"= 1, 2.., "n". Esso fu generalizzato da James Joseph Sylvester (1814-1897), che dimostrò che, se "n" > "k", tra i numeri della sequenza "n", "n" + "1", ..., "n" + "k" − 1 vi è un numero con un divisore primo maggiore di "k". Se si impone che "k" = 0, "k" = "n"−1, si ottiene la definizione di una matrice triangolare superiore; similmente, con "k" = "n"−1, "k" = 0 si ottiene una matrice triangolare inferiore. Consideriamo l'insieme di p:=n-k+1 elementi G := {m=k, k+1, ...,n :| "x" }. Le permutazioni del multiinsieme {1, 1, 2, 2, ···, "n", "n"} con la proprietà che, per ogni "k", tutti i numeri compresi tra le due occorrenze di "k" nella permutazione sono maggiori di "k," possono essere contate attraverso il semifattoriale formula_20. Indichiamo: formula_11 e
formula_12
dove "σ"=1,2...,"k"; "η"="k"+1,"k"+2...,"k"+"n". La ragione ed il termine "N" risultano ("n" va incrementato a partire da "0" fino a "k-1"):

Il valore "k" varia a seconda della serie: per la E6 "k"=6, per la E12 "k"=12, ecc. Inoltre dalla (2) si ricava facilmente (impostando k=n):

formula_12

e impostando k=1:

formula_13

ne consegue per la quota capitale della rata "k"-esima:

formula_14 con "k"= 1, 2.., "n". Quindi sia "k" il periodo in considerazione e formula_7 il debito residuo valutato subito prima dell'inizio di tale periodo si ha:

formula_8 per "k"= 0, 1, 2, ..., "n"-1 

formula_9 per "k"= n

ovvero (scrivendo il debito in funzione dell'intero importo "S"):

formula_10 per k=0

formula_11 per "k"= 1, 2, ..., "n"-1

formula_12 per k=n

Si noti che formula_13 vale a dire che il debito residuo calcolato immediatamente prima del pagamento della rata in scadenza nel periodo "k" coincide con il debito residuo calcolato immediatamente dopo il pagamento della rata che scade nel periodo "k-1". Infatti, ("k" + 1) = "k" + 2k +1, e quindi ("k" + 1) - "k" = 2"k" + 1. La restrizione di "x", "y", e "z" ai numeri positivi è cruciale per la difficoltà del problema, dal momento che, se i valori negativi fossero ammessi, il problema potrebbe essere risolto banalmente da una delle due identità 4/(4"k"+1) = 1/"k" - 1/"k"(4"k"+1) e 4/(4"k"-1) = 1/"k" + 1/"k"(4"k"-1). Si dice che un algoritmo funziona in tempo quasi-lineare se "T"("n") = O("n" log "n") per una qualsiasi costante "k"; il tempo linearitmico è il caso "k" = 1. A partire dal K-1, vennero sviluppati i Kalinin K-2, K-3 e K-4. La precedente associazione pone in corrispondenza biunivoca le combinazioni con ripetizioni di lunghezza k degli elementi di {1, 2, ... , "n"} con le combinazioni semplici di lunghezza "k" degli interi in {1, 2, ... , "n"+"k"-1}. Allora "a" ≡ "k" ≡ 1 (mod "p") per il piccolo teorema di Fermat. Se N tende a K allora il rapporto formula_4 tende ad 1 ed il termine formula_6 a 0, condizione di equilibrio stabile. Per induzione, il sottoalbero sinistro ha k+1 nodi esterni mentre il destro ne ha N-k per un totale di N+1. Una matrice a banda con "k" = "k" = 0 è una matrice diagonale: una con "k" = "k" = 1 è una matrice tridiagonale; Se "k" = "k" = 2 si ha una matrice pentadiagonale, e così via. J. Chernick dimostrò nel 1939 che se i numeri 6"k"+1, 12"k"+1 e 18"k"+1 sono primi, allora il loro prodotto è un numero di Carmichael; non è noto però se i numeri in questa forma siano finiti o infiniti. Test di Lucas-Lehmer-Riesel

In matematica, il test di Lucas-Lehmer-Riesel è un test di primalità per i numeri della forma "N" = "k"2 − 1, con 2 > "k". Il risultato finale è:

Generalizzando, se abbiamo n elementi da raggruppare a k a k, dobbiamo effettuare il seguente rapporto:

Se moltiplichiamo numeratore e denominatore per (n-k)! Si avrà quindi: 

formula_1 con "d" = "i" /("i"+1) e "k" = 0, 1, 2..., "n"- 1

formula_2 per "k" = 0

formula_3 per "k" = 1, 2.., "n"-1

formula_4 per "k" = "n". Il debito residuo è presto calcolato:

formula_6 per "k" = 0, 1, 2, ..., "n"-1

formula_7 per "k" = "n"

Analogamente la quota interesse:

formula_8 con "d" = "i" / (1+"i") e "k" = 0, 1, 2, ..., "n" -1. Quindi formula_1 è la somma di una quota interessi pagata all'inizio del periodo "k" (con "k" = 0, 1, 2, .., "n" -1) e una quota capitale pagata alla fine del periodo k (con "k" = 1, 2.., "n"), vale pertanto quanto segue:

formula_2 per "k" = 0

formula_3 per "k" = 1, 2, ..., "n" -1

formula_4 per "k" = "n". formula_15 con "k"= 1, 2.., "n - 1" 

formula_16 con "k"= 1, 2.., "n". Esso fu generalizzato da James Joseph Sylvester (1814-1897), che dimostrò che, se "n" > "k", tra i numeri della sequenza "n", "n" + "1", ..., "n" + "k" − 1 vi è un numero con un divisore primo maggiore di "k". Se si impone che "k" = 0, "k" = "n"−1, si ottiene la definizione di una matrice triangolare superiore; similmente, con "k" = "n"−1, "k" = 0 si ottiene una matrice triangolare inferiore. Consideriamo l'insieme di p:=n-k+1 elementi G := {m=k, k+1, ...,n :| "x" }. Per il numero successivo "k + 1" possiamo dire che ("k" + 1) + ("k" + 1) = "k" + 1 + "k" + 2"k" + 1 = ("k" + "k") + 2("k" + 1) è anch'esso un numero pari dato che 2("k" + 1) è pari, ("k" + "k") è un numero che avevamo ipotizzato essere pari e la somma di due numeri pari è pari. Le permutazioni del multiinsieme {1, 1, 2, 2, ···, "n", "n"} con la proprietà che, per ogni "k", tutti i numeri compresi tra le due occorrenze di "k" nella permutazione sono maggiori di "k," possono essere contate attraverso il semifattoriale formula_20. Indichiamo: formula_11 e
formula_12
dove "σ"=1,2...,"k"; "η"="k"+1,"k"+2...,"k"+"n". La ragione ed il termine "N" risultano ("n" va incrementato a partire da "0" fino a "k-1"):

Il valore "k" varia a seconda della serie: per la E6 "k"=6, per la E12 "k"=12, ecc. Inoltre dalla (2) si ricava facilmente (impostando k=n):

formula_12

e impostando k=1:

formula_13

ne consegue per la quota capitale della rata "k"-esima:

formula_14 con "k"= 1, 2.., "n". Quindi sia "k" il periodo in considerazione e formula_7 il debito residuo valutato subito prima dell'inizio di tale periodo si ha:

formula_8 per "k"= 0, 1, 2, ..., "n"-1 

formula_9 per "k"= n

ovvero (scrivendo il debito in funzione dell'intero importo "S"):

formula_10 per k=0

formula_11 per "k"= 1, 2, ..., "n"-1

formula_12 per k=n

Si noti che formula_13 vale a dire che il debito residuo calcolato immediatamente prima del pagamento della rata in scadenza nel periodo "k" coincide con il debito residuo calcolato immediatamente dopo il pagamento della rata che scade nel periodo "k-1". Infatti, ("k" + 1) = "k" + 2k +1, e quindi ("k" + 1) - "k" = 2"k" + 1. Un numero "n" è dispari se esiste un numero intero "k" tale che "n = 2k + 1". La restrizione di "x", "y", e "z" ai numeri positivi è cruciale per la difficoltà del problema, dal momento che, se i valori negativi fossero ammessi, il problema potrebbe essere risolto banalmente da una delle due identità 4/(4"k"+1) = 1/"k" - 1/"k"(4"k"+1) e 4/(4"k"-1) = 1/"k" + 1/"k"(4"k"-1). Si dice che un algoritmo funziona in tempo quasi-lineare se "T"("n") = O("n" log "n") per una qualsiasi costante "k"; il tempo linearitmico è il caso "k" = 1. A partire dal K-1, vennero sviluppati i Kalinin K-2, K-3 e K-4. Il teorema afferma che, se "p" è un numero di Proth, nella forma "k"2 + 1 con "k" dispari e "k" < 2, allora se per qualche numero intero "a",

allora "p" è primo (ed è chiamato primo di Proth). La precedente associazione pone in corrispondenza biunivoca le combinazioni con ripetizioni di lunghezza k degli elementi di {1, 2, ... , "n"} con le combinazioni semplici di lunghezza "k" degli interi in {1, 2, ... , "n"+"k"-1}. Per gli interi dispari "k" ≥ 1 si dimostra che 
mentre per gli interi pari "k" ≥ 2

La disuguaglianza di Boole si ottiene come caso particolare relativo a "k" = 1. Allora "a" ≡ "k" ≡ 1 (mod "p") per il piccolo teorema di Fermat. Se N tende a K allora il rapporto formula_4 tende ad 1 ed il termine formula_6 a 0, condizione di equilibrio stabile. Per induzione, il sottoalbero sinistro ha k+1 nodi esterni mentre il destro ne ha N-k per un totale di N+1. Una matrice a banda con "k" = "k" = 0 è una matrice diagonale: una con "k" = "k" = 1 è una matrice tridiagonale; Se "k" = "k" = 2 si ha una matrice pentadiagonale, e così via. Si avrà quindi: 

formula_1 con "d" = "i" /("i"+1) e "k" = 0, 1, 2..., "n"- 1

formula_2 per "k" = 0

formula_3 per "k" = 1, 2.., "n"-1

formula_4 per "k" = "n". Quindi formula_1 è la somma di una quota interessi pagata all'inizio del periodo "k" (con "k" = 0, 1, 2, .., "n" -1) e una quota capitale pagata alla fine del periodo k (con "k" = 1, 2.., "n"), vale pertanto quanto segue:

formula_2 per "k" = 0

formula_3 per "k" = 1, 2, ..., "n" -1

formula_4 per "k" = "n". Per il numero successivo "k + 1" possiamo dire che ("k" + 1) + ("k" + 1) = "k" + 1 + "k" + 2"k" + 1 = ("k" + "k") + 2("k" + 1) è anch'esso un numero pari dato che 2("k" + 1) è pari, ("k" + "k") è un numero che avevamo ipotizzato essere pari e la somma di due numeri pari è pari. Il debito residuo è presto calcolato:

formula_6 per "k" = 0, 1, 2, ..., "n"-1

formula_7 per "k" = "n"

Analogamente la quota interesse:

formula_8 con "d" = "i" / (1+"i") e "k" = 0, 1, 2, ..., "n" -1. formula_15 con "k"= 1, 2.., "n - 1" 

formula_16 con "k"= 1, 2.., "n". Se si impone che "k" = 0, "k" = "n"−1, si ottiene la definizione di una matrice triangolare superiore; similmente, con "k" = "n"−1, "k" = 0 si ottiene una matrice triangolare inferiore. Esso fu generalizzato da James Joseph Sylvester (1814-1897), che dimostrò che, se "n" > "k", tra i numeri della sequenza "n", "n" + "1", ..., "n" + "k" − 1 vi è un numero con un divisore primo maggiore di "k". Consideriamo l'insieme di p:=n-k+1 elementi G := {m=k, k+1, ...,n :| "x" }. Indichiamo: formula_11 e
formula_12
dove "σ"=1,2...,"k"; "η"="k"+1,"k"+2...,"k"+"n". La ragione ed il termine "N" risultano ("n" va incrementato a partire da "0" fino a "k-1"):

Il valore "k" varia a seconda della serie: per la E6 "k"=6, per la E12 "k"=12, ecc. Le permutazioni del multiinsieme {1, 1, 2, 2, ···, "n", "n"} con la proprietà che, per ogni "k", tutti i numeri compresi tra le due occorrenze di "k" nella permutazione sono maggiori di "k," possono essere contate attraverso il semifattoriale formula_20. Quindi sia "k" il periodo in considerazione e formula_7 il debito residuo valutato subito prima dell'inizio di tale periodo si ha:

formula_8 per "k"= 0, 1, 2, ..., "n"-1 

formula_9 per "k"= n

ovvero (scrivendo il debito in funzione dell'intero importo "S"):

formula_10 per k=0

formula_11 per "k"= 1, 2, ..., "n"-1

formula_12 per k=n

Si noti che formula_13 vale a dire che il debito residuo calcolato immediatamente prima del pagamento della rata in scadenza nel periodo "k" coincide con il debito residuo calcolato immediatamente dopo il pagamento della rata che scade nel periodo "k-1". Inoltre dalla (2) si ricava facilmente (impostando k=n):

formula_12

e impostando k=1:

formula_13

ne consegue per la quota capitale della rata "k"-esima:

formula_14 con "k"= 1, 2.., "n". Infatti, ("k" + 1) = "k" + 2k +1, e quindi ("k" + 1) - "k" = 2"k" + 1. Sia "k"= 0, 1, 2, ..., "n"-1 uno degli "n" periodi, si ha che la quota della rata formula_1 al periodo "k" è pari alla somma di una quota d'interessi formula_2 e di una quota di capitale formula_3:

formula_4

mentre 

formula_5. Si dice che un algoritmo funziona in tempo quasi-lineare se "T"("n") = O("n" log "n") per una qualsiasi costante "k"; il tempo linearitmico è il caso "k" = 1. La restrizione di "x", "y", e "z" ai numeri positivi è cruciale per la difficoltà del problema, dal momento che, se i valori negativi fossero ammessi, il problema potrebbe essere risolto banalmente da una delle due identità 4/(4"k"+1) = 1/"k" - 1/"k"(4"k"+1) e 4/(4"k"-1) = 1/"k" + 1/"k"(4"k"-1). La precedente associazione pone in corrispondenza biunivoca le combinazioni con ripetizioni di lunghezza k degli elementi di {1, 2, ... , "n"} con le combinazioni semplici di lunghezza "k" degli interi in {1, 2, ... , "n"+"k"-1}. Allora "a" ≡ "k" ≡ 1 (mod "p") per il piccolo teorema di Fermat. Riguardo ai numeri "k"-potenti, abbiamo la seguente identità:

che ci fornisce infinite ("l" + 1)-uple di numeri "k"-potenti la cui somma è anch'essa "k"-potente. A partire dal K-1, vennero sviluppati i Kalinin K-2, K-3 e K-4. Il debitore paga ogni anno una quota d'interesse (si ipotizza posticipata) pari a:

formula_1 con "k"= 1, 2.., "n"

e la quota di accumulazione(costante) pari a:

formula_2 con "k"= 1, 2.., "n"

La somma totale delle quote deve ricostituire la somma S.

Nota: se "i’" = "i" si ha che la rata di ammortamento periodale calcolata, coincide con quella dell'ammortamento di tipo francese. Se N tende a K allora il rapporto formula_4 tende ad 1 ed il termine formula_6 a 0, condizione di equilibrio stabile. Per induzione, il sottoalbero sinistro ha k+1 nodi esterni mentre il destro ne ha N-k per un totale di N+1. la somma della k-esime potenze dei divisori di "n", inclusi 1 ed "n").