Viene dato un modulo di programma che deve essere in grado di leggere i numeri finché non vengono scritti 15 numeri positivi. Il programma deve scrivere il valore medio dei numeri positivi immessi. Quale istruzione si deve scrivere sulla linea lasciata in bianco acciocché il programma esegua esattamente le istruzioni? s := 0; k := 0; { leggi(x); se x > 0 allora { s := s + x; k := k + 1; } } p:= s / k; scrivi(p)
per i:= 0 fino a 15 esegui per i:= 1 fino a 15 esegui finché k <= 15 esegui finché k < 15 esegui
A B C D
In modo equivalente, se "s" > 0 per qualsiasi "k" > 3, allora pure "s" > 0, e l'ipotesi del tempo esponenziale sarebbe vera. Inoltre, se "a", "a", ..., "a" sono "k"-potenti in una progressione aritmetica di ragione "d", allora

sono numeri ("s" + 1)"k"-potenti in progressione aritmetica. Analogamente, "K" divergono in "x"=0. Supponiamo di sapere che esistono numeri reali "x" tali che "p"("x") = 0 (per esempio se il polinomio è di grado dispari). La restrizione di "x", "y", e "z" ai numeri positivi è cruciale per la difficoltà del problema, dal momento che, se i valori negativi fossero ammessi, il problema potrebbe essere risolto banalmente da una delle due identità 4/(4"k"+1) = 1/"k" - 1/"k"(4"k"+1) e 4/(4"k"-1) = 1/"k" + 1/"k"(4"k"-1). Inoltre, definendo "k(x)" come il numero di numeri potenti nell'intervallo [1,"x"], si ha che "k(x)" è asintotico alla radice quadrata di "x". Nel linguaggio dell'aritmetica del primo ordine esistono dei termini "standard" per denotare i numeri naturali chiamati numerali:
Se indichiamo con "S(0)" il termine "S(S(S(...S(S(0)))...)))" in cui il simbolo "S" compare "n" volte possiamo dire che "S(0)" è il "numerale" del numero "n". Se il set di somme "a" + "a" + ... + "a" è limitato per "n" e "k" ≥ 0, allora la serie infinita di cui sopra converge nel semipiano aperto di "s" tanele che Re("s") > 0. I punti di intersezione con l'asse reale (detti di diramazione) si ottengono sempre dal sistema:
Si trovano così le coppie di s* e k* che corrispondono sul luogo ai punti (s*,0), con k=k*. Un altro modo per esprimere questo è dire che "x" è un punto di chiusura di "S" se la distanza "d"("x", "S") := inf{"d"("x", "s") : "s" in "S"} = 0. Di seguito è rappresentato un numero in una stringa di 32 bit:

Il valore del numero rappresentato è calcolabile come:

Il campo "s" specifica il segno del numero: 0 per i numeri positivi, 1 per i numeri negativi. I segnali di ingresso sono numerati da X a X, e gli ingressi di selezione sono numerati S, S e S. Se S e S sono a '1' e S è a '0', per esempio, l'uscita sarà uguale a X. Si consideri un insieme "S" di "n" elementi, preventivamente ordinati e si consideri un intero naturale "k" tale che 0≤k≤n. Ovvero scrivere i due numeri "A" e "B" in una opportuna base "X" in modo che entrambi consistano in "k" parti. Se per esempio S e S sono a '1' e S è a '0', l'uscita A sarà uguale ad X e tutte le altre uscite saranno messe a 0. Sia data una sequenza di "n" numeri reali "distinti" "x" per "k"=1...,k="n" chiamati nodi e per ogni "x" sia dato un secondo numero reale "y". Consideriamo l'insieme di p:=n-k+1 elementi G := {m=k, k+1, ...,n :| "x" }. Non è possibile per "s" essere uguale a "s" per qualsiasi "k" finito: come mostrarono , esiste una costante "α" tale che "s" ≤ "s"(1 − "α"/"k"). La lettura vale allora k + x/p, dove k è il valore per difetto letto sulla scala principale, x quello letto sulla scala secondaria, p l'estremo superiore di numerazione della scala secondaria (di solito 10). Perciò, dopo che un votante ha deciso sulle sue preferenze, deve solo decidere su quanti candidati voterà: nel caso di "n" candidati egli vota sui suoi "k" candidati più favoriti, dove si deve decidere sul valore di "k", con 0 < "k" < "n" ("k" = 0 o "n" è inutile in ogni caso). Va osservato che il numero di radici, a meno di cancellazioni tra "kN(s)" e "P(s)=D(s)+kN(s)", è esattamente pari al grado di "P(s)"; in un sistema strettamente proprio (questa ipotesi verrà mantenuta nel resto dell'articolo), tale quantità pareggia l'ordine di "D(s)", che è proprio "p", per qualunque "k". Se per i reattori nucleari il valore di K non deve superare mai il valore di 1 se non di una quantità bassissima (come quando si aumenta la potenza del reattore e allora si può arrivare a K = 1,005) per le armi nucleari il valore di K deve essere il più alto possibile e in tal caso si può arrivare a K=1,2. Se formula_1 sono variabili, si definisca, per formula_2, il polinomio formula_3 come la somma delle formula_4-esime potenze di formula_1, cioè:

Per "k" ≥ 0 siano "e"("x",…,"x") i polinomi simmetrici elementari, cioè, la somma di tutti i possibili prodotti di "k" variabili distinte:

Le identità di Newton possono essere allora enunciate come:

per tutti i "k" ≥ 1. "x" è normale nella base b se
formula_4 per ogni successione "s" di lunghezza "k". Con "k">2, l'iterazione del procedimento conduce sempre a 1 per i numeri a cifra ripetuta e a 0 per tutti gli altri numeri. La restrizione di "x", "y", e "z" ai numeri positivi è cruciale per la difficoltà del problema, dal momento che, se i valori negativi fossero ammessi, il problema potrebbe essere risolto banalmente da una delle due identità 4/(4"k"+1) = 1/"k" - 1/"k"(4"k"+1) e 4/(4"k"-1) = 1/"k" + 1/"k"(4"k"-1). Inoltre, se "a", "a", ..., "a" sono "k"-potenti in una progressione aritmetica di ragione "d", allora

sono numeri ("s" + 1)"k"-potenti in progressione aritmetica. Inoltre, definendo "k(x)" come il numero di numeri potenti nell'intervallo [1,"x"], si ha che "k(x)" è asintotico alla radice quadrata di "x". In modo equivalente, se "s" > 0 per qualsiasi "k" > 3, allora pure "s" > 0, e l'ipotesi del tempo esponenziale sarebbe vera. Consideriamo l'insieme di p:=n-k+1 elementi G := {m=k, k+1, ...,n :| "x" }. Sia data una sequenza di "n" numeri reali "distinti" "x" per "k"=1...,k="n" chiamati nodi e per ogni "x" sia dato un secondo numero reale "y". Non è possibile per "s" essere uguale a "s" per qualsiasi "k" finito: come mostrarono , esiste una costante "α" tale che "s" ≤ "s"(1 − "α"/"k"). Di seguito è rappresentato un numero in una stringa di 32 bit:

Il valore del numero rappresentato è calcolabile come:

Il campo "s" specifica il segno del numero: 0 per i numeri positivi, 1 per i numeri negativi. ., x ) sia una relazione "k+1"-aria fissata sui numeri naturali. I segnali di ingresso sono numerati da X a X, e gli ingressi di selezione sono numerati S, S e S. Se S e S sono a '1' e S è a '0', per esempio, l'uscita sarà uguale a X. Ovvero scrivere i due numeri "A" e "B" in una opportuna base "X" in modo che entrambi consistano in "k" parti. Supponiamo di sapere che esistono numeri reali "x" tali che "p"("x") = 0 (per esempio se il polinomio è di grado dispari). Se per i reattori nucleari il valore di K non deve superare mai il valore di 1 se non di una quantità bassissima (come quando si aumenta la potenza del reattore e allora si può arrivare a K = 1,005) per le armi nucleari il valore di K deve essere il più alto possibile e in tal caso si può arrivare a K=1,2. I punti di intersezione con l'asse reale (detti di diramazione) si ottengono sempre dal sistema:
Si trovano così le coppie di s* e k* che corrispondono sul luogo ai punti (s*,0), con k=k*. J. Chernick dimostrò nel 1939 che se i numeri 6"k"+1, 12"k"+1 e 18"k"+1 sono primi, allora il loro prodotto è un numero di Carmichael; non è noto però se i numeri in questa forma siano finiti o infiniti. Un altro modo per esprimere questo è dire che "x" è un punto di chiusura di "S" se la distanza "d"("x", "S") := inf{"d"("x", "s") : "s" in "S"} = 0. Analogamente, "K" divergono in "x"=0. Per il numero successivo "k + 1" possiamo dire che ("k" + 1) + ("k" + 1) = "k" + 1 + "k" + 2"k" + 1 = ("k" + "k") + 2("k" + 1) è anch'esso un numero pari dato che 2("k" + 1) è pari, ("k" + "k") è un numero che avevamo ipotizzato essere pari e la somma di due numeri pari è pari. La lettura vale allora k + x/p, dove k è il valore per difetto letto sulla scala principale, x quello letto sulla scala secondaria, p l'estremo superiore di numerazione della scala secondaria (di solito 10). Quindi i due numeri vengono visti come due polinomi in "X" con "k" coefficienti, il loro prodotto sarà dunque un polinomio sempre in "X" ma di grado doppio, quindi con "2k-1" parti. Nel linguaggio dell'aritmetica del primo ordine esistono dei termini "standard" per denotare i numeri naturali chiamati numerali:
Se indichiamo con "S(0)" il termine "S(S(S(...S(S(0)))...)))" in cui il simbolo "S" compare "n" volte possiamo dire che "S(0)" è il "numerale" del numero "n". Se il set di somme "a" + "a" + ... + "a" è limitato per "n" e "k" ≥ 0, allora la serie infinita di cui sopra converge nel semipiano aperto di "s" tanele che Re("s") > 0. Va osservato che il numero di radici, a meno di cancellazioni tra "kN(s)" e "P(s)=D(s)+kN(s)", è esattamente pari al grado di "P(s)"; in un sistema strettamente proprio (questa ipotesi verrà mantenuta nel resto dell'articolo), tale quantità pareggia l'ordine di "D(s)", che è proprio "p", per qualunque "k". Se per esempio S e S sono a '1' e S è a '0', l'uscita A sarà uguale ad X e tutte le altre uscite saranno messe a 0. "x" è normale nella base b se
formula_4 per ogni successione "s" di lunghezza "k". Inoltre, se "a", "a", ..., "a" sono "k"-potenti in una progressione aritmetica di ragione "d", allora

sono numeri ("s" + 1)"k"-potenti in progressione aritmetica. La restrizione di "x", "y", e "z" ai numeri positivi è cruciale per la difficoltà del problema, dal momento che, se i valori negativi fossero ammessi, il problema potrebbe essere risolto banalmente da una delle due identità 4/(4"k"+1) = 1/"k" - 1/"k"(4"k"+1) e 4/(4"k"-1) = 1/"k" + 1/"k"(4"k"-1). Inoltre, definendo "k(x)" come il numero di numeri potenti nell'intervallo [1,"x"], si ha che "k(x)" è asintotico alla radice quadrata di "x". In modo equivalente, se "s" > 0 per qualsiasi "k" > 3, allora pure "s" > 0, e l'ipotesi del tempo esponenziale sarebbe vera. Consideriamo l'insieme di p:=n-k+1 elementi G := {m=k, k+1, ...,n :| "x" }. Analogamente, "K" divergono in "x"=0. I punti di intersezione con l'asse reale (detti di diramazione) si ottengono sempre dal sistema:
Si trovano così le coppie di s* e k* che corrispondono sul luogo ai punti (s*,0), con k=k*. Sia data una sequenza di "n" numeri reali "distinti" "x" per "k"=1...,k="n" chiamati nodi e per ogni "x" sia dato un secondo numero reale "y". ., x ) sia una relazione "k+1"-aria fissata sui numeri naturali. Si consideri un insieme "S" di "n" elementi, preventivamente ordinati e si consideri un intero naturale "k" tale che 0≤k≤n. La lettura vale allora k + x/p, dove k è il valore per difetto letto sulla scala principale, x quello letto sulla scala secondaria, p l'estremo superiore di numerazione della scala secondaria (di solito 10). Tra gli elementi di S notevole importanza hanno i "k"-cicli (con "k" ≤ "n"), ossia gli elementi di S che hanno ordine "k" e che hanno esattamente "n-k" punti fissi. Non è possibile per "s" essere uguale a "s" per qualsiasi "k" finito: come mostrarono , esiste una costante "α" tale che "s" ≤ "s"(1 − "α"/"k"). Ovvero scrivere i due numeri "A" e "B" in una opportuna base "X" in modo che entrambi consistano in "k" parti. Per il numero successivo "k + 1" possiamo dire che ("k" + 1) + ("k" + 1) = "k" + 1 + "k" + 2"k" + 1 = ("k" + "k") + 2("k" + 1) è anch'esso un numero pari dato che 2("k" + 1) è pari, ("k" + "k") è un numero che avevamo ipotizzato essere pari e la somma di due numeri pari è pari. "x" è normale nella base b se
formula_4 per ogni successione "s" di lunghezza "k". Se la teoria della relatività ristretta può essere generalizzata nel caso di tempo a "k"-dimensioni, ("t","t",…,"t" "") e spazio a "n"-dimensioni ("x", "x"..., "x"), allora l'intervallo ("k"+"n")-dimensionale, essendo invariante, è dato dall'espressione (d"s")=("c"d"t")+…+("c"d"t" "")−(d"x")−…−(d"x"). Se per i reattori nucleari il valore di K non deve superare mai il valore di 1 se non di una quantità bassissima (come quando si aumenta la potenza del reattore e allora si può arrivare a K = 1,005) per le armi nucleari il valore di K deve essere il più alto possibile e in tal caso si può arrivare a K=1,2. Perciò, dopo che un votante ha deciso sulle sue preferenze, deve solo decidere su quanti candidati voterà: nel caso di "n" candidati egli vota sui suoi "k" candidati più favoriti, dove si deve decidere sul valore di "k", con 0 < "k" < "n" ("k" = 0 o "n" è inutile in ogni caso). Supponiamo che per un allineamento k, P venga confrontato con T fino al carattere c di T. Allora se P viene spostato in un k tale che la sua estremità sinistra sia compresa tra c e k, nella prossima fase di confronto un prefisso di P deve corrispondere alla sottostringa T[(k - n)..k]. Le steli confinarie di Amarna note sono 15, classificate con lettere dell'alfabeto solo in parte progressive (A, B, F, J, K, L, M, N, P, Q, R, S, U, V, X). Le stele confinarie di Amarna note sono 15, classificate con lettere dell'alfabeto solo in parte progressive (A, B, F, J, K, L, M, N, P, Q, R, S, U, V, X). In ogni punto del luogo infine, il valore assoluto di "k" coincide con il rapporto tra la produttoria dei valori assoluti dei poli e la produttoria dei valori assoluti degli zeri:

formula_4

La posizione delle radici di L(s) all'istante "k" è individuata dagli zeri del polinomio "P(s)", ossia dalla condizione "G(s)=-k". J. Chernick dimostrò nel 1939 che se i numeri 6"k"+1, 12"k"+1 e 18"k"+1 sono primi, allora il loro prodotto è un numero di Carmichael; non è noto però se i numeri in questa forma siano finiti o infiniti. Sia "n" un tale numero; una partizione di "n" riguarda un modo di esprimere tale intero come somma di numeri positivi: "n" = "k" + "k" + ... + "k", dove "k" ≥ "k" ≥ ... Una partizione di "n" è quindi una sequenza non crescente di interi positivi di peso "n". Inoltre, se "a", "a", ..., "a" sono "k"-potenti in una progressione aritmetica di ragione "d", allora

sono numeri ("s" + 1)"k"-potenti in progressione aritmetica. La restrizione di "x", "y", e "z" ai numeri positivi è cruciale per la difficoltà del problema, dal momento che, se i valori negativi fossero ammessi, il problema potrebbe essere risolto banalmente da una delle due identità 4/(4"k"+1) = 1/"k" - 1/"k"(4"k"+1) e 4/(4"k"-1) = 1/"k" + 1/"k"(4"k"-1). Inoltre, definendo "k(x)" come il numero di numeri potenti nell'intervallo [1,"x"], si ha che "k(x)" è asintotico alla radice quadrata di "x". In modo equivalente, se "s" > 0 per qualsiasi "k" > 3, allora pure "s" > 0, e l'ipotesi del tempo esponenziale sarebbe vera. Consideriamo l'insieme di p:=n-k+1 elementi G := {m=k, k+1, ...,n :| "x" }. Analogamente, "K" divergono in "x"=0. I punti di intersezione con l'asse reale (detti di diramazione) si ottengono sempre dal sistema:
Si trovano così le coppie di s* e k* che corrispondono sul luogo ai punti (s*,0), con k=k*. Sia data una sequenza di "n" numeri reali "distinti" "x" per "k"=1...,k="n" chiamati nodi e per ogni "x" sia dato un secondo numero reale "y". ., x ) sia una relazione "k+1"-aria fissata sui numeri naturali. Si consideri un insieme "S" di "n" elementi, preventivamente ordinati e si consideri un intero naturale "k" tale che 0≤k≤n. La lettura vale allora k + x/p, dove k è il valore per difetto letto sulla scala principale, x quello letto sulla scala secondaria, p l'estremo superiore di numerazione della scala secondaria (di solito 10). Tra gli elementi di S notevole importanza hanno i "k"-cicli (con "k" ≤ "n"), ossia gli elementi di S che hanno ordine "k" e che hanno esattamente "n-k" punti fissi. Non è possibile per "s" essere uguale a "s" per qualsiasi "k" finito: come mostrarono , esiste una costante "α" tale che "s" ≤ "s"(1 − "α"/"k"). Ovvero scrivere i due numeri "A" e "B" in una opportuna base "X" in modo che entrambi consistano in "k" parti. Per il numero successivo "k + 1" possiamo dire che ("k" + 1) + ("k" + 1) = "k" + 1 + "k" + 2"k" + 1 = ("k" + "k") + 2("k" + 1) è anch'esso un numero pari dato che 2("k" + 1) è pari, ("k" + "k") è un numero che avevamo ipotizzato essere pari e la somma di due numeri pari è pari. "x" è normale nella base b se
formula_4 per ogni successione "s" di lunghezza "k". Se la teoria della relatività ristretta può essere generalizzata nel caso di tempo a "k"-dimensioni, ("t","t",…,"t" "") e spazio a "n"-dimensioni ("x", "x"..., "x"), allora l'intervallo ("k"+"n")-dimensionale, essendo invariante, è dato dall'espressione (d"s")=("c"d"t")+…+("c"d"t" "")−(d"x")−…−(d"x"). Se per i reattori nucleari il valore di K non deve superare mai il valore di 1 se non di una quantità bassissima (come quando si aumenta la potenza del reattore e allora si può arrivare a K = 1,005) per le armi nucleari il valore di K deve essere il più alto possibile e in tal caso si può arrivare a K=1,2. Perciò, dopo che un votante ha deciso sulle sue preferenze, deve solo decidere su quanti candidati voterà: nel caso di "n" candidati egli vota sui suoi "k" candidati più favoriti, dove si deve decidere sul valore di "k", con 0 < "k" < "n" ("k" = 0 o "n" è inutile in ogni caso). Supponiamo che per un allineamento k, P venga confrontato con T fino al carattere c di T. Allora se P viene spostato in un k tale che la sua estremità sinistra sia compresa tra c e k, nella prossima fase di confronto un prefisso di P deve corrispondere alla sottostringa T[(k - n)..k]. Le steli confinarie di Amarna note sono 15, classificate con lettere dell'alfabeto solo in parte progressive (A, B, F, J, K, L, M, N, P, Q, R, S, U, V, X). Le stele confinarie di Amarna note sono 15, classificate con lettere dell'alfabeto solo in parte progressive (A, B, F, J, K, L, M, N, P, Q, R, S, U, V, X). In ogni punto del luogo infine, il valore assoluto di "k" coincide con il rapporto tra la produttoria dei valori assoluti dei poli e la produttoria dei valori assoluti degli zeri:

formula_4

La posizione delle radici di L(s) all'istante "k" è individuata dagli zeri del polinomio "P(s)", ossia dalla condizione "G(s)=-k". J. Chernick dimostrò nel 1939 che se i numeri 6"k"+1, 12"k"+1 e 18"k"+1 sono primi, allora il loro prodotto è un numero di Carmichael; non è noto però se i numeri in questa forma siano finiti o infiniti. Sia "n" un tale numero; una partizione di "n" riguarda un modo di esprimere tale intero come somma di numeri positivi: "n" = "k" + "k" + ... + "k", dove "k" ≥ "k" ≥ ... Una partizione di "n" è quindi una sequenza non crescente di interi positivi di peso "n".