Cosa produrrà in uscita il seguente modulo di programma? a := 156; x := a div 10; y := a mod 10; se x > y allora scrivi(x + y) altrimenti scrivi(x – y);
21 9 57 56
A B C D
Se "x", "y" e "z" sono surreali, e "x"="y", allora "x" "z"="y" "z". Allora, per i numeri "x" e "y" si ha che "x" < "y" sse vale una delle seguenti proprietà:

Per i numeri "x" e "y" si ha che "x" ≤ "y" sse "x" < "y" ∨ "x" = "y", "x" > "y" sse "y" < "x", e "x" ≥ "y" sse "y" ≤ "x". Per esempio, se "X=(X, X, X)" e "Y=(Y, Y)" sono vettori casuali, allora
Cov("X, Y") è una matrice 3 x 2 il cui "ij"-esimo elemento è Cov("X, Y)". Ad esempio, (s11 '(lambda (x y) (+ x y)) 3) valuta a (lambda (y) ((lambda (x y) (+ x y)) 3 y)). Se per due variabili aleatorie "X" e "Y" si ha che "P"("Y" = "y" | "X" = "x") = "P"("Y" = "y") per ogni "x" e "y" o, nel caso continuo, "f"("y" | "X=x") = "f"("y") per ogni "x" e "y", allora le due variabili sono dette indipendenti Per esempio la seguente definizione fornisce una relazione che ordina bene gli interi negativi: "x" < "y", se |"x"| < |"y"|, o se |"x"| = |"y"| e "x" < "y". L'addizione e la moltiplicazione di numeri surreali sono definite dalle tre regole seguenti:


dove "X" + "y" = { "x" + "y" | "x" appartiene a "X" } e "x" + "Y" = { "x" + "y" | "y" appartiene a "Y" }. dove "XY" = { "xy" | "x" appartiene a "X" e "y" appartiene a "Y" }, "Xy" = "X"{"y"} e "xY" = {"x"}"Y". Se x e y sono una coppia di radici di questa equazione con x < y allora formula_2
è approssimativamente uguale a y/x. Se * è un'operazione binaria, allora "h"("x" * "y") = "h"("x") * "h"("y"). Allora "R' " si dice "sottoreticolo" di "R" se per ogni "x", "y" ∈ "R"' implica "x" ∨ "y" ∈ "R' " e "x" ∧ "y" ∈ "R' ". Viceversa, assegnato un anello booleano "A", esso può essere trasformarlo in un'algebra booleana definendo "x" formula_38 "y" = "x" + "y" − "x" formula_54 "y" e "x" formula_37 "y" = "x" formula_54 "y". Una definizione alternativa di rivestimento è la seguente: "p": "Y" → "X" è un rivestimento se

Un rivestimento "p": "Y" → "X" induce una funzione iniettiva sui gruppi fondamentali "p": π("Y","y") → π("X","x"), per ogni "x" e "y" tali che "x" = "p"("y"). In questo modo si ha che "x" < "y" se è vera una delle seguenti proprietà:

Equivalentemente, sia δ("x","y") = min({ dom("x"), dom("y")} ∪ { α: 
α < dom("x") ∧ α < dom("y") ∧ "x"(α) ≠ "y"(α) }),
in modo tale che "x" = "y" sse δ("x","y") = dom("x") = dom("y"). Ma se "x", "y" e "z" sono giochi, e "x"="y", allora non è sempre vero che "x" "z"="y" "z". Cioè

dove Pr("X" = "x","Y" = "y") è la distribuzione congiunta di "X" e "Y", mentre Pr("X" = "x"|"Y" = "y") è la distribuzione condizionata di "X" dato "Y". Ad esempio, dato il seguente programma Prolog:

nonno(X,Z) :- padre(X,Y), genitore(Y,Z). Questo è facile da vedere in una sola direzione: se "X" e "Y" sono indipendenti, allora "p"("x","y") = "p"("x") "p"("y"), e perciò:

Inoltre, la mutua informazione è non negativa (cioè "I"("X";"Y") ≥ 0; vedi sotto) e simmetrica (cioè "I"("X";"Y") = "I"("Y";"X")). In particolare, se "B"={y} e "A"={x}, si ha
che, lasciando fisso "y", può essere mediato:
definendo quindi E["X"|"Y"] come quella variabile casuale che vale E["X"|"Y"="y"] quando "Y"="y". Si ha allora che "x" < "y" se "x"("z") = - o "y"("z") = + (o entrambi). Un sottoinsieme "D" di un insieme ordinato "X" si dice denso in "X" se "D" ∩ ("x","y") ≠ ∅ per ogni "x" < "y" (la notazione ("x","y") sta per l'intervallo di elementi strettamente compresi tra "x" e "y"), cioè per ogni "x" < "y" esiste uno "z" in "D" tale che "x" < "z" < "y". Se "a" e "b" sono coprimi e "bx" ≡ "by" (mod "a"), allora "x" ≡ "y" (mod "a"). genitore(X,Y) :- padre(X,Y). genitore(X,Y) :- madre(X,Y). I vertici della parte "A" possono essere colorati dello stesso colore in quanto: per ogni "x","y" appartenenti ad "A", con "x" ≠ "y", l'arco {"x","y"} non appartiene a "G"; e anche per la parte "B": per ogni "x","y" appartenenti a "B", con "x" ≠ "y", l'arco {"x","y"} non appartiene a "G". Se "x", "y" e "z" sono surreali, e "x"="y", allora "x" "z"="y" "z". Allora, per i numeri "x" e "y" si ha che "x" < "y" sse vale una delle seguenti proprietà:

Per i numeri "x" e "y" si ha che "x" ≤ "y" sse "x" < "y" ∨ "x" = "y", "x" > "y" sse "y" < "x", e "x" ≥ "y" sse "y" ≤ "x". Per esempio, se "X=(X, X, X)" e "Y=(Y, Y)" sono vettori casuali, allora
Cov("X, Y") è una matrice 3 x 2 il cui "ij"-esimo elemento è Cov("X, Y)". Ad esempio, (s11 '(lambda (x y) (+ x y)) 3) valuta a (lambda (y) ((lambda (x y) (+ x y)) 3 y)). Se per due variabili aleatorie "X" e "Y" si ha che "P"("Y" = "y" | "X" = "x") = "P"("Y" = "y") per ogni "x" e "y" o, nel caso continuo, "f"("y" | "X=x") = "f"("y") per ogni "x" e "y", allora le due variabili sono dette indipendenti Per esempio la seguente definizione fornisce una relazione che ordina bene gli interi negativi: "x" < "y", se |"x"| < |"y"|, o se |"x"| = |"y"| e "x" < "y". L'addizione e la moltiplicazione di numeri surreali sono definite dalle tre regole seguenti:


dove "X" + "y" = { "x" + "y" | "x" appartiene a "X" } e "x" + "Y" = { "x" + "y" | "y" appartiene a "Y" }. dove "XY" = { "xy" | "x" appartiene a "X" e "y" appartiene a "Y" }, "Xy" = "X"{"y"} e "xY" = {"x"}"Y". Se x e y sono una coppia di radici di questa equazione con x < y allora formula_2
è approssimativamente uguale a y/x. Se * è un'operazione binaria, allora "h"("x" * "y") = "h"("x") * "h"("y"). Allora "R' " si dice "sottoreticolo" di "R" se per ogni "x", "y" ∈ "R"' implica "x" ∨ "y" ∈ "R' " e "x" ∧ "y" ∈ "R' ". Viceversa, assegnato un anello booleano "A", esso può essere trasformarlo in un'algebra booleana definendo "x" formula_38 "y" = "x" + "y" − "x" formula_54 "y" e "x" formula_37 "y" = "x" formula_54 "y". Una definizione alternativa di rivestimento è la seguente: "p": "Y" → "X" è un rivestimento se

Un rivestimento "p": "Y" → "X" induce una funzione iniettiva sui gruppi fondamentali "p": π("Y","y") → π("X","x"), per ogni "x" e "y" tali che "x" = "p"("y"). In questo modo si ha che "x" < "y" se è vera una delle seguenti proprietà:

Equivalentemente, sia δ("x","y") = min({ dom("x"), dom("y")} ∪ { α: 
α < dom("x") ∧ α < dom("y") ∧ "x"(α) ≠ "y"(α) }),
in modo tale che "x" = "y" sse δ("x","y") = dom("x") = dom("y"). Ma se "x", "y" e "z" sono giochi, e "x"="y", allora non è sempre vero che "x" "z"="y" "z". Cioè

dove Pr("X" = "x","Y" = "y") è la distribuzione congiunta di "X" e "Y", mentre Pr("X" = "x"|"Y" = "y") è la distribuzione condizionata di "X" dato "Y". Ad esempio, dato il seguente programma Prolog:

nonno(X,Z) :- padre(X,Y), genitore(Y,Z). Questo è facile da vedere in una sola direzione: se "X" e "Y" sono indipendenti, allora "p"("x","y") = "p"("x") "p"("y"), e perciò:

Inoltre, la mutua informazione è non negativa (cioè "I"("X";"Y") ≥ 0; vedi sotto) e simmetrica (cioè "I"("X";"Y") = "I"("Y";"X")). In particolare, se "B"={y} e "A"={x}, si ha
che, lasciando fisso "y", può essere mediato:
definendo quindi E["X"|"Y"] come quella variabile casuale che vale E["X"|"Y"="y"] quando "Y"="y". Si ha allora che "x" < "y" se "x"("z") = - o "y"("z") = + (o entrambi). Un sottoinsieme "D" di un insieme ordinato "X" si dice denso in "X" se "D" ∩ ("x","y") ≠ ∅ per ogni "x" < "y" (la notazione ("x","y") sta per l'intervallo di elementi strettamente compresi tra "x" e "y"), cioè per ogni "x" < "y" esiste uno "z" in "D" tale che "x" < "z" < "y". Se "a" e "b" sono coprimi e "bx" ≡ "by" (mod "a"), allora "x" ≡ "y" (mod "a"). genitore(X,Y) :- padre(X,Y). genitore(X,Y) :- madre(X,Y). I vertici della parte "A" possono essere colorati dello stesso colore in quanto: per ogni "x","y" appartenenti ad "A", con "x" ≠ "y", l'arco {"x","y"} non appartiene a "G"; e anche per la parte "B": per ogni "x","y" appartenenti a "B", con "x" ≠ "y", l'arco {"x","y"} non appartiene a "G". Se "x", "y" e "z" sono surreali, e "x"="y", allora "x" "z"="y" "z". Allora, per i numeri "x" e "y" si ha che "x" < "y" sse vale una delle seguenti proprietà:

Per i numeri "x" e "y" si ha che "x" ≤ "y" sse "x" < "y" ∨ "x" = "y", "x" > "y" sse "y" < "x", e "x" ≥ "y" sse "y" ≤ "x". Per esempio, se "X=(X, X, X)" e "Y=(Y, Y)" sono vettori casuali, allora
Cov("X, Y") è una matrice 3 x 2 il cui "ij"-esimo elemento è Cov("X, Y)". Ad esempio, (s11 '(lambda (x y) (+ x y)) 3) valuta a (lambda (y) ((lambda (x y) (+ x y)) 3 y)). Se per due variabili aleatorie "X" e "Y" si ha che "P"("Y" = "y" | "X" = "x") = "P"("Y" = "y") per ogni "x" e "y" o, nel caso continuo, "f"("y" | "X=x") = "f"("y") per ogni "x" e "y", allora le due variabili sono dette indipendenti Per esempio la seguente definizione fornisce una relazione che ordina bene gli interi negativi: "x" < "y", se |"x"| < |"y"|, o se |"x"| = |"y"| e "x" < "y". L'addizione e la moltiplicazione di numeri surreali sono definite dalle tre regole seguenti:


dove "X" + "y" = { "x" + "y" | "x" appartiene a "X" } e "x" + "Y" = { "x" + "y" | "y" appartiene a "Y" }. dove "XY" = { "xy" | "x" appartiene a "X" e "y" appartiene a "Y" }, "Xy" = "X"{"y"} e "xY" = {"x"}"Y". Se x e y sono una coppia di radici di questa equazione con x < y allora formula_2
è approssimativamente uguale a y/x. Se * è un'operazione binaria, allora "h"("x" * "y") = "h"("x") * "h"("y"). Allora "R' " si dice "sottoreticolo" di "R" se per ogni "x", "y" ∈ "R"' implica "x" ∨ "y" ∈ "R' " e "x" ∧ "y" ∈ "R' ". Viceversa, assegnato un anello booleano "A", esso può essere trasformarlo in un'algebra booleana definendo "x" formula_38 "y" = "x" + "y" − "x" formula_54 "y" e "x" formula_37 "y" = "x" formula_54 "y". Una definizione alternativa di rivestimento è la seguente: "p": "Y" → "X" è un rivestimento se

Un rivestimento "p": "Y" → "X" induce una funzione iniettiva sui gruppi fondamentali "p": π("Y","y") → π("X","x"), per ogni "x" e "y" tali che "x" = "p"("y"). In questo modo si ha che "x" < "y" se è vera una delle seguenti proprietà:

Equivalentemente, sia δ("x","y") = min({ dom("x"), dom("y")} ∪ { α: 
α < dom("x") ∧ α < dom("y") ∧ "x"(α) ≠ "y"(α) }),
in modo tale che "x" = "y" sse δ("x","y") = dom("x") = dom("y"). Ma se "x", "y" e "z" sono giochi, e "x"="y", allora non è sempre vero che "x" "z"="y" "z". Cioè

dove Pr("X" = "x","Y" = "y") è la distribuzione congiunta di "X" e "Y", mentre Pr("X" = "x"|"Y" = "y") è la distribuzione condizionata di "X" dato "Y". Ad esempio, dato il seguente programma Prolog:

nonno(X,Z) :- padre(X,Y), genitore(Y,Z). Questo è facile da vedere in una sola direzione: se "X" e "Y" sono indipendenti, allora "p"("x","y") = "p"("x") "p"("y"), e perciò:

Inoltre, la mutua informazione è non negativa (cioè "I"("X";"Y") ≥ 0; vedi sotto) e simmetrica (cioè "I"("X";"Y") = "I"("Y";"X")). In particolare, se "B"={y} e "A"={x}, si ha
che, lasciando fisso "y", può essere mediato:
definendo quindi E["X"|"Y"] come quella variabile casuale che vale E["X"|"Y"="y"] quando "Y"="y". Si ha allora che "x" < "y" se "x"("z") = - o "y"("z") = + (o entrambi). Un sottoinsieme "D" di un insieme ordinato "X" si dice denso in "X" se "D" ∩ ("x","y") ≠ ∅ per ogni "x" < "y" (la notazione ("x","y") sta per l'intervallo di elementi strettamente compresi tra "x" e "y"), cioè per ogni "x" < "y" esiste uno "z" in "D" tale che "x" < "z" < "y". Se "a" e "b" sono coprimi e "bx" ≡ "by" (mod "a"), allora "x" ≡ "y" (mod "a"). genitore(X,Y) :- padre(X,Y). genitore(X,Y) :- madre(X,Y). I vertici della parte "A" possono essere colorati dello stesso colore in quanto: per ogni "x","y" appartenenti ad "A", con "x" ≠ "y", l'arco {"x","y"} non appartiene a "G"; e anche per la parte "B": per ogni "x","y" appartenenti a "B", con "x" ≠ "y", l'arco {"x","y"} non appartiene a "G". Se "x", "y" e "z" sono surreali, e "x"="y", allora "x" "z"="y" "z". Allora, per i numeri "x" e "y" si ha che "x" < "y" sse vale una delle seguenti proprietà:

Per i numeri "x" e "y" si ha che "x" ≤ "y" sse "x" < "y" ∨ "x" = "y", "x" > "y" sse "y" < "x", e "x" ≥ "y" sse "y" ≤ "x". Per esempio, se "X=(X, X, X)" e "Y=(Y, Y)" sono vettori casuali, allora
Cov("X, Y") è una matrice 3 x 2 il cui "ij"-esimo elemento è Cov("X, Y)". Ad esempio, (s11 '(lambda (x y) (+ x y)) 3) valuta a (lambda (y) ((lambda (x y) (+ x y)) 3 y)). Se per due variabili aleatorie "X" e "Y" si ha che "P"("Y" = "y" | "X" = "x") = "P"("Y" = "y") per ogni "x" e "y" o, nel caso continuo, "f"("y" | "X=x") = "f"("y") per ogni "x" e "y", allora le due variabili sono dette indipendenti Per esempio la seguente definizione fornisce una relazione che ordina bene gli interi negativi: "x" < "y", se |"x"| < |"y"|, o se |"x"| = |"y"| e "x" < "y". L'addizione e la moltiplicazione di numeri surreali sono definite dalle tre regole seguenti:


dove "X" + "y" = { "x" + "y" | "x" appartiene a "X" } e "x" + "Y" = { "x" + "y" | "y" appartiene a "Y" }. dove "XY" = { "xy" | "x" appartiene a "X" e "y" appartiene a "Y" }, "Xy" = "X"{"y"} e "xY" = {"x"}"Y". Se x e y sono una coppia di radici di questa equazione con x < y allora formula_2
è approssimativamente uguale a y/x. Se * è un'operazione binaria, allora "h"("x" * "y") = "h"("x") * "h"("y"). Allora "R' " si dice "sottoreticolo" di "R" se per ogni "x", "y" ∈ "R"' implica "x" ∨ "y" ∈ "R' " e "x" ∧ "y" ∈ "R' ". Viceversa, assegnato un anello booleano "A", esso può essere trasformarlo in un'algebra booleana definendo "x" formula_38 "y" = "x" + "y" − "x" formula_54 "y" e "x" formula_37 "y" = "x" formula_54 "y". Una definizione alternativa di rivestimento è la seguente: "p": "Y" → "X" è un rivestimento se

Un rivestimento "p": "Y" → "X" induce una funzione iniettiva sui gruppi fondamentali "p": π("Y","y") → π("X","x"), per ogni "x" e "y" tali che "x" = "p"("y"). In questo modo si ha che "x" < "y" se è vera una delle seguenti proprietà:

Equivalentemente, sia δ("x","y") = min({ dom("x"), dom("y")} ∪ { α: 
α < dom("x") ∧ α < dom("y") ∧ "x"(α) ≠ "y"(α) }),
in modo tale che "x" = "y" sse δ("x","y") = dom("x") = dom("y"). Ma se "x", "y" e "z" sono giochi, e "x"="y", allora non è sempre vero che "x" "z"="y" "z". Cioè

dove Pr("X" = "x","Y" = "y") è la distribuzione congiunta di "X" e "Y", mentre Pr("X" = "x"|"Y" = "y") è la distribuzione condizionata di "X" dato "Y". Ad esempio, dato il seguente programma Prolog:

nonno(X,Z) :- padre(X,Y), genitore(Y,Z). Questo è facile da vedere in una sola direzione: se "X" e "Y" sono indipendenti, allora "p"("x","y") = "p"("x") "p"("y"), e perciò:

Inoltre, la mutua informazione è non negativa (cioè "I"("X";"Y") ≥ 0; vedi sotto) e simmetrica (cioè "I"("X";"Y") = "I"("Y";"X")). In particolare, se "B"={y} e "A"={x}, si ha
che, lasciando fisso "y", può essere mediato:
definendo quindi E["X"|"Y"] come quella variabile casuale che vale E["X"|"Y"="y"] quando "Y"="y". Si ha allora che "x" < "y" se "x"("z") = - o "y"("z") = + (o entrambi). Un sottoinsieme "D" di un insieme ordinato "X" si dice denso in "X" se "D" ∩ ("x","y") ≠ ∅ per ogni "x" < "y" (la notazione ("x","y") sta per l'intervallo di elementi strettamente compresi tra "x" e "y"), cioè per ogni "x" < "y" esiste uno "z" in "D" tale che "x" < "z" < "y". Se "a" e "b" sono coprimi e "bx" ≡ "by" (mod "a"), allora "x" ≡ "y" (mod "a"). genitore(X,Y) :- padre(X,Y). genitore(X,Y) :- madre(X,Y). I vertici della parte "A" possono essere colorati dello stesso colore in quanto: per ogni "x","y" appartenenti ad "A", con "x" ≠ "y", l'arco {"x","y"} non appartiene a "G"; e anche per la parte "B": per ogni "x","y" appartenenti a "B", con "x" ≠ "y", l'arco {"x","y"} non appartiene a "G".