Một vật nhỏ khối lượng m, dao động điều hòa với phương trình li độ x=Acos(ωt+φ) (A, ω, φ là các hằng số). Cơ năng của vật là
12mωA2. mωA2. 12mω2A2. mω2A2.
A B C D
Phương trình biểu diễn li độ: x = Acos (ωt + φ)

x là hàm tuần hoàn theo t.

Li độ trong dao động điều hoà là hàm cos và đồ thị là hình sin. Trong tín hiệu hình sin x = A sin(ωt+φ) thì A là biên độ dao động (hay li độ cực đại) (Đơn vị là m hay cm). Chú thích 

X: Ly độ (có thể âm hoặc dương)

A: Biên độ (cm,m)

ω: Tần số gốc (rad/s)

t: Thời gian (s)

φ: Pha ban đầu (rad)

(ωt + φ): Pha dao động tại thời điểm <t> Sóng sin

Sóng sin là loại sóng dao động điều hòa và thường được diễn tả dưới 1 hàm toán học theo thời gian: 
y(t) = A. sin (ω t + φ)


y(x,t) = A. sin (ω t - kx + φ) + D

Đồ thị sóng. Vị trí của một vật chuyển động theo dao động điều hòa đơn, "x"("t") có thể biểu diễn phụ thuộc vào thời gian "t" theo công thức:
Với "A" là biên độ, f là tần số, φ là pha. Ví dụ, hàm lượng totient "N"("m") () là số các đáp án của φ("x") = "m". Một trong các trường hợp đơn giản nhất của sóng điện từ là sóng phẳng điều hòa (một nghiệm đặc biệt của hệ phương trình Maxwell) với thành phần điện trường lan truyền trong không gian theo hàm sóng:

với "A" và "A" là các biên độ dao động theo trục "x" và "y"; "Φ" là độ lệch pha giữa dao động theo trục "y" với dao động theo trục "x" (sóng tổng hợp là chồng chập của 2 dao động này và 2 dao động đó không nhất thiết phải đồng pha, chỉ cần có cùng tần số và bước sóng); "k" là số sóng, "ω" là tần số góc ("ω" = "kc" với "c" là tốc độ lan truyền của sóng). Phương trình dao động điều hòa cổ điển:

formula_7

trong đó "a" là số phức (đã được chuẩn hóa theo quy ước), và "ω" là tần số dao động. Cụ thể đối với một trường vô hướng trong hệ tọa độ Descartes ba chiều ("x","x","x"), số hạng đối lưu là:

Xem xét một đại lượng vô hướng "φ" = "φ"(x, "t"), trong đó "t" được hiểu là thời gian và "x" là vị trí. Dao động tử điều hòa

Các dao động tử điều hòa là lượng tử cơ học tương tự của các dao động điều hòa trong lĩnh vực Vật lý. Khi góc κ là zero, thì các trục ω và φ trùng khớp. Klein-Gordon là một phương trình sóng, do đó nghiệm của nó có thể viết dưới dạng tổng của các mode (thu được thông qua biến đổi Fourier) như sau:

formula_5

trong đó "a" là một số phức (đã được chuẩn hóa), * kí hiệu cho liên hợp phức, và "ω"

là tần số của mode dao động cơ bản:

formula_6

Do đó mỗi mode tương ứng với một p có thể coi như là một dao động điều hòa với tần số "ω"

Lượng tử hóa chính tắc

Quá trình lượng tử hóa cho trường vô hướng cũng tương tự như sự thăng tiến từ dao động tử điều hòa lên thành dao động tử điều hòa lượng tử. Trong đó, "μ" là khối lượng trung bình của phân tử tính theo electron, "m" là khối lượng của khối lượng của nguyên tử hydrogen, và "ω"≈2.018236 là hằng số phụ thuộc vào kết quả phương trình Lane-Emden. Ví dụ, đối với một trường vô hướng vĩ mô "φ"(x, "t") và một trường vector vĩ mô ta có:

Trong trường hợp trường vô hướng "φ" thì ∇"φ" đơn giản chỉ là gradient của một đại lượng vô hướng, trong khi ∇A là đạo hàm hiệp biến của trường vector vĩ mô. Ta thấy với điều kiện φ liên tục và φ(0)=φ(1) thì cho ta đường cong Jordan là một vòng liên tục và điều kiện hạn chế của φ lên [0,1) là đơn ánh cho ta vòng này không tự cắt. Đồng thời "φ'(t)" là khả tích trên ["a","b"] và

Thì

Công thức này có thể ghi nhớ thông qua công thức Leibniz: thế cùng lúc"x" = φ("t") và "dx" = φ'("t") "dt" (do "dx" / "dt" = φ'("t")) vào biểu thức tích phân. Trong cơ học cổ điển, động năng của một vật không quay có khối lượng m di chuyển với tốc độ v là ½ mv². Trong một môi trường đồng nhất và đẳng hướng, Joseph Fourier đã tìm thấy là mọi hàm sóng sẽ có dạng tổng quát sau:

có thể được miêu tả như là sự chồng nhau của nhiều sóng điều hoà

Ở đây "A"("x", "t") là biên độ của sóng điều hòa, ω là tần số góc, "k" là số sóng và φ là pha ban đầu. "φ" có thể là một số biến vật lý nào đó như nhiệt độ hay nồng độ hóa chất. Trong cơ học cổ điển, động năng của một chất điểm (một vật nhỏ đến nỗi mà khối lượng của nó có thể được xem là chỉ tồn tại tại một điểm), hay một vật không quay, được cho bởi phương trình
với formula_2 là khối lượng và formula_3 là tốc độ (hay vận tốc) của vật. Photon có động lượng (xung lượng) pp và năng lượng ε Nếu trong 1 giây có n photon đập tới vuông góc với thành có diện tích S, thì rõ ràng là: n=φ/ε trong đó φ là quang thông. Phương trình động năng là hàm số bậc nhị vận tốc:

"N" ∝ "m v" ("v" « "c")

("m" là khối lượng phi thuyền), con phương trình năng lượng chạy các hệ thống năng phi thuyền là hàm số nghịch biến của vận tốc (bậc nhất của thời gian):

"N" ∝ "k"/"v"

Tổng cộng năng lượng bằng

"N" = "b" "m v" + "b" "k"/"v"

và "b" và "b" là hai hằng số. Khi viết "X" dưới dạng tọa độ cực, ta thu được biên độ "A / N" và pha "φ" từ modulus và argument của "X":

trong đó atan2 là dạng hai đối số của hàm arctan. sin(ωt), với ω = 2πf. Nói cách khác, một đường cong Jordan là ảnh của một ánh xạ liên tục φ: [0,1]formula_1 "R" sao cho φ(0)=φ(1) và hạn chế của φ lên [0,1) là đơn ánh. Phương trình biểu diễn li độ: x = Acos (ωt + φ)

x là hàm tuần hoàn theo t.

Li độ trong dao động điều hoà là hàm cos và đồ thị là hình sin. Trong tín hiệu hình sin x = A sin(ωt+φ) thì A là biên độ dao động (hay li độ cực đại) (Đơn vị là m hay cm). Chú thích 

X: Ly độ (có thể âm hoặc dương)

A: Biên độ (cm,m)

ω: Tần số gốc (rad/s)

t: Thời gian (s)

φ: Pha ban đầu (rad)

(ωt + φ): Pha dao động tại thời điểm <t> Sóng sin

Sóng sin là loại sóng dao động điều hòa và thường được diễn tả dưới 1 hàm toán học theo thời gian: 
y(t) = A. sin (ω t + φ)


y(x,t) = A. sin (ω t - kx + φ) + D

Đồ thị sóng. Vị trí của một vật chuyển động theo dao động điều hòa đơn, "x"("t") có thể biểu diễn phụ thuộc vào thời gian "t" theo công thức:
Với "A" là biên độ, f là tần số, φ là pha. Ví dụ, hàm lượng totient "N"("m") () là số các đáp án của φ("x") = "m". Một trong các trường hợp đơn giản nhất của sóng điện từ là sóng phẳng điều hòa (một nghiệm đặc biệt của hệ phương trình Maxwell) với thành phần điện trường lan truyền trong không gian theo hàm sóng:

với "A" và "A" là các biên độ dao động theo trục "x" và "y"; "Φ" là độ lệch pha giữa dao động theo trục "y" với dao động theo trục "x" (sóng tổng hợp là chồng chập của 2 dao động này và 2 dao động đó không nhất thiết phải đồng pha, chỉ cần có cùng tần số và bước sóng); "k" là số sóng, "ω" là tần số góc ("ω" = "kc" với "c" là tốc độ lan truyền của sóng). Phương trình dao động điều hòa cổ điển:

formula_7

trong đó "a" là số phức (đã được chuẩn hóa theo quy ước), và "ω" là tần số dao động. Cụ thể đối với một trường vô hướng trong hệ tọa độ Descartes ba chiều ("x","x","x"), số hạng đối lưu là:

Xem xét một đại lượng vô hướng "φ" = "φ"(x, "t"), trong đó "t" được hiểu là thời gian và "x" là vị trí. Dao động tử điều hòa

Các dao động tử điều hòa là lượng tử cơ học tương tự của các dao động điều hòa trong lĩnh vực Vật lý. Khi góc κ là zero, thì các trục ω và φ trùng khớp. Klein-Gordon là một phương trình sóng, do đó nghiệm của nó có thể viết dưới dạng tổng của các mode (thu được thông qua biến đổi Fourier) như sau:

formula_5

trong đó "a" là một số phức (đã được chuẩn hóa), * kí hiệu cho liên hợp phức, và "ω"

là tần số của mode dao động cơ bản:

formula_6

Do đó mỗi mode tương ứng với một p có thể coi như là một dao động điều hòa với tần số "ω"

Lượng tử hóa chính tắc

Quá trình lượng tử hóa cho trường vô hướng cũng tương tự như sự thăng tiến từ dao động tử điều hòa lên thành dao động tử điều hòa lượng tử. Trong đó, "μ" là khối lượng trung bình của phân tử tính theo electron, "m" là khối lượng của khối lượng của nguyên tử hydrogen, và "ω"≈2.018236 là hằng số phụ thuộc vào kết quả phương trình Lane-Emden. Ví dụ, đối với một trường vô hướng vĩ mô "φ"(x, "t") và một trường vector vĩ mô ta có:

Trong trường hợp trường vô hướng "φ" thì ∇"φ" đơn giản chỉ là gradient của một đại lượng vô hướng, trong khi ∇A là đạo hàm hiệp biến của trường vector vĩ mô. Ta thấy với điều kiện φ liên tục và φ(0)=φ(1) thì cho ta đường cong Jordan là một vòng liên tục và điều kiện hạn chế của φ lên [0,1) là đơn ánh cho ta vòng này không tự cắt. Đồng thời "φ'(t)" là khả tích trên ["a","b"] và

Thì

Công thức này có thể ghi nhớ thông qua công thức Leibniz: thế cùng lúc"x" = φ("t") và "dx" = φ'("t") "dt" (do "dx" / "dt" = φ'("t")) vào biểu thức tích phân. Trong cơ học cổ điển, động năng của một vật không quay có khối lượng m di chuyển với tốc độ v là ½ mv². Trong một môi trường đồng nhất và đẳng hướng, Joseph Fourier đã tìm thấy là mọi hàm sóng sẽ có dạng tổng quát sau:

có thể được miêu tả như là sự chồng nhau của nhiều sóng điều hoà

Ở đây "A"("x", "t") là biên độ của sóng điều hòa, ω là tần số góc, "k" là số sóng và φ là pha ban đầu. "φ" có thể là một số biến vật lý nào đó như nhiệt độ hay nồng độ hóa chất. Trong cơ học cổ điển, động năng của một chất điểm (một vật nhỏ đến nỗi mà khối lượng của nó có thể được xem là chỉ tồn tại tại một điểm), hay một vật không quay, được cho bởi phương trình
với formula_2 là khối lượng và formula_3 là tốc độ (hay vận tốc) của vật. Photon có động lượng (xung lượng) pp và năng lượng ε Nếu trong 1 giây có n photon đập tới vuông góc với thành có diện tích S, thì rõ ràng là: n=φ/ε trong đó φ là quang thông. Phương trình động năng là hàm số bậc nhị vận tốc:

"N" ∝ "m v" ("v" « "c")

("m" là khối lượng phi thuyền), con phương trình năng lượng chạy các hệ thống năng phi thuyền là hàm số nghịch biến của vận tốc (bậc nhất của thời gian):

"N" ∝ "k"/"v"

Tổng cộng năng lượng bằng

"N" = "b" "m v" + "b" "k"/"v"

và "b" và "b" là hai hằng số. Khi viết "X" dưới dạng tọa độ cực, ta thu được biên độ "A / N" và pha "φ" từ modulus và argument của "X":

trong đó atan2 là dạng hai đối số của hàm arctan. sin(ωt), với ω = 2πf. Nói cách khác, một đường cong Jordan là ảnh của một ánh xạ liên tục φ: [0,1]formula_1 "R" sao cho φ(0)=φ(1) và hạn chế của φ lên [0,1) là đơn ánh. Phương trình biểu diễn li độ: x = Acos (ωt + φ)

x là hàm tuần hoàn theo t.

Li độ trong dao động điều hoà là hàm cos và đồ thị là hình sin. Trong tín hiệu hình sin x = A sin(ωt+φ) thì A là biên độ dao động (hay li độ cực đại) (Đơn vị là m hay cm). Chú thích 

X: Ly độ (có thể âm hoặc dương)

A: Biên độ (cm,m)

ω: Tần số gốc (rad/s)

t: Thời gian (s)

φ: Pha ban đầu (rad)

(ωt + φ): Pha dao động tại thời điểm <t> Sóng sin

Sóng sin là loại sóng dao động điều hòa và thường được diễn tả dưới 1 hàm toán học theo thời gian: 
y(t) = A. sin (ω t + φ)


y(x,t) = A. sin (ω t - kx + φ) + D

Đồ thị sóng. Vị trí của một vật chuyển động theo dao động điều hòa đơn, "x"("t") có thể biểu diễn phụ thuộc vào thời gian "t" theo công thức:
Với "A" là biên độ, f là tần số, φ là pha. Ví dụ, hàm lượng totient "N"("m") () là số các đáp án của φ("x") = "m". Một trong các trường hợp đơn giản nhất của sóng điện từ là sóng phẳng điều hòa (một nghiệm đặc biệt của hệ phương trình Maxwell) với thành phần điện trường lan truyền trong không gian theo hàm sóng:

với "A" và "A" là các biên độ dao động theo trục "x" và "y"; "Φ" là độ lệch pha giữa dao động theo trục "y" với dao động theo trục "x" (sóng tổng hợp là chồng chập của 2 dao động này và 2 dao động đó không nhất thiết phải đồng pha, chỉ cần có cùng tần số và bước sóng); "k" là số sóng, "ω" là tần số góc ("ω" = "kc" với "c" là tốc độ lan truyền của sóng). Phương trình dao động điều hòa cổ điển:

formula_7

trong đó "a" là số phức (đã được chuẩn hóa theo quy ước), và "ω" là tần số dao động. Cụ thể đối với một trường vô hướng trong hệ tọa độ Descartes ba chiều ("x","x","x"), số hạng đối lưu là:

Xem xét một đại lượng vô hướng "φ" = "φ"(x, "t"), trong đó "t" được hiểu là thời gian và "x" là vị trí. Dao động tử điều hòa

Các dao động tử điều hòa là lượng tử cơ học tương tự của các dao động điều hòa trong lĩnh vực Vật lý. Khi góc κ là zero, thì các trục ω và φ trùng khớp. Klein-Gordon là một phương trình sóng, do đó nghiệm của nó có thể viết dưới dạng tổng của các mode (thu được thông qua biến đổi Fourier) như sau:

formula_5

trong đó "a" là một số phức (đã được chuẩn hóa), * kí hiệu cho liên hợp phức, và "ω"

là tần số của mode dao động cơ bản:

formula_6

Do đó mỗi mode tương ứng với một p có thể coi như là một dao động điều hòa với tần số "ω"

Lượng tử hóa chính tắc

Quá trình lượng tử hóa cho trường vô hướng cũng tương tự như sự thăng tiến từ dao động tử điều hòa lên thành dao động tử điều hòa lượng tử. Trong đó, "μ" là khối lượng trung bình của phân tử tính theo electron, "m" là khối lượng của khối lượng của nguyên tử hydrogen, và "ω"≈2.018236 là hằng số phụ thuộc vào kết quả phương trình Lane-Emden. Ví dụ, đối với một trường vô hướng vĩ mô "φ"(x, "t") và một trường vector vĩ mô ta có:

Trong trường hợp trường vô hướng "φ" thì ∇"φ" đơn giản chỉ là gradient của một đại lượng vô hướng, trong khi ∇A là đạo hàm hiệp biến của trường vector vĩ mô. Ta thấy với điều kiện φ liên tục và φ(0)=φ(1) thì cho ta đường cong Jordan là một vòng liên tục và điều kiện hạn chế của φ lên [0,1) là đơn ánh cho ta vòng này không tự cắt. Đồng thời "φ'(t)" là khả tích trên ["a","b"] và

Thì

Công thức này có thể ghi nhớ thông qua công thức Leibniz: thế cùng lúc"x" = φ("t") và "dx" = φ'("t") "dt" (do "dx" / "dt" = φ'("t")) vào biểu thức tích phân. Trong cơ học cổ điển, động năng của một vật không quay có khối lượng m di chuyển với tốc độ v là ½ mv². Trong một môi trường đồng nhất và đẳng hướng, Joseph Fourier đã tìm thấy là mọi hàm sóng sẽ có dạng tổng quát sau:

có thể được miêu tả như là sự chồng nhau của nhiều sóng điều hoà

Ở đây "A"("x", "t") là biên độ của sóng điều hòa, ω là tần số góc, "k" là số sóng và φ là pha ban đầu. "φ" có thể là một số biến vật lý nào đó như nhiệt độ hay nồng độ hóa chất. Trong cơ học cổ điển, động năng của một chất điểm (một vật nhỏ đến nỗi mà khối lượng của nó có thể được xem là chỉ tồn tại tại một điểm), hay một vật không quay, được cho bởi phương trình
với formula_2 là khối lượng và formula_3 là tốc độ (hay vận tốc) của vật. Photon có động lượng (xung lượng) pp và năng lượng ε Nếu trong 1 giây có n photon đập tới vuông góc với thành có diện tích S, thì rõ ràng là: n=φ/ε trong đó φ là quang thông. Phương trình động năng là hàm số bậc nhị vận tốc:

"N" ∝ "m v" ("v" « "c")

("m" là khối lượng phi thuyền), con phương trình năng lượng chạy các hệ thống năng phi thuyền là hàm số nghịch biến của vận tốc (bậc nhất của thời gian):

"N" ∝ "k"/"v"

Tổng cộng năng lượng bằng

"N" = "b" "m v" + "b" "k"/"v"

và "b" và "b" là hai hằng số. Khi viết "X" dưới dạng tọa độ cực, ta thu được biên độ "A / N" và pha "φ" từ modulus và argument của "X":

trong đó atan2 là dạng hai đối số của hàm arctan. sin(ωt), với ω = 2πf. Nói cách khác, một đường cong Jordan là ảnh của một ánh xạ liên tục φ: [0,1]formula_1 "R" sao cho φ(0)=φ(1) và hạn chế của φ lên [0,1) là đơn ánh. Phương trình biểu diễn li độ: x = Acos (ωt + φ)

x là hàm tuần hoàn theo t.

Li độ trong dao động điều hoà là hàm cos và đồ thị là hình sin. Trong tín hiệu hình sin x = A sin(ωt+φ) thì A là biên độ dao động (hay li độ cực đại) (Đơn vị là m hay cm). Chú thích 

X: Ly độ (có thể âm hoặc dương)

A: Biên độ (cm,m)

ω: Tần số gốc (rad/s)

t: Thời gian (s)

φ: Pha ban đầu (rad)

(ωt + φ): Pha dao động tại thời điểm <t> Sóng sin

Sóng sin là loại sóng dao động điều hòa và thường được diễn tả dưới 1 hàm toán học theo thời gian: 
y(t) = A. sin (ω t + φ)


y(x,t) = A. sin (ω t - kx + φ) + D

Đồ thị sóng. Vị trí của một vật chuyển động theo dao động điều hòa đơn, "x"("t") có thể biểu diễn phụ thuộc vào thời gian "t" theo công thức:
Với "A" là biên độ, f là tần số, φ là pha. Ví dụ, hàm lượng totient "N"("m") () là số các đáp án của φ("x") = "m". Một trong các trường hợp đơn giản nhất của sóng điện từ là sóng phẳng điều hòa (một nghiệm đặc biệt của hệ phương trình Maxwell) với thành phần điện trường lan truyền trong không gian theo hàm sóng:

với "A" và "A" là các biên độ dao động theo trục "x" và "y"; "Φ" là độ lệch pha giữa dao động theo trục "y" với dao động theo trục "x" (sóng tổng hợp là chồng chập của 2 dao động này và 2 dao động đó không nhất thiết phải đồng pha, chỉ cần có cùng tần số và bước sóng); "k" là số sóng, "ω" là tần số góc ("ω" = "kc" với "c" là tốc độ lan truyền của sóng). Phương trình dao động điều hòa cổ điển:

formula_7

trong đó "a" là số phức (đã được chuẩn hóa theo quy ước), và "ω" là tần số dao động. Cụ thể đối với một trường vô hướng trong hệ tọa độ Descartes ba chiều ("x","x","x"), số hạng đối lưu là:

Xem xét một đại lượng vô hướng "φ" = "φ"(x, "t"), trong đó "t" được hiểu là thời gian và "x" là vị trí. Dao động tử điều hòa

Các dao động tử điều hòa là lượng tử cơ học tương tự của các dao động điều hòa trong lĩnh vực Vật lý. Khi góc κ là zero, thì các trục ω và φ trùng khớp. Klein-Gordon là một phương trình sóng, do đó nghiệm của nó có thể viết dưới dạng tổng của các mode (thu được thông qua biến đổi Fourier) như sau:

formula_5

trong đó "a" là một số phức (đã được chuẩn hóa), * kí hiệu cho liên hợp phức, và "ω"

là tần số của mode dao động cơ bản:

formula_6

Do đó mỗi mode tương ứng với một p có thể coi như là một dao động điều hòa với tần số "ω"

Lượng tử hóa chính tắc

Quá trình lượng tử hóa cho trường vô hướng cũng tương tự như sự thăng tiến từ dao động tử điều hòa lên thành dao động tử điều hòa lượng tử. Trong đó, "μ" là khối lượng trung bình của phân tử tính theo electron, "m" là khối lượng của khối lượng của nguyên tử hydrogen, và "ω"≈2.018236 là hằng số phụ thuộc vào kết quả phương trình Lane-Emden. Ví dụ, đối với một trường vô hướng vĩ mô "φ"(x, "t") và một trường vector vĩ mô ta có:

Trong trường hợp trường vô hướng "φ" thì ∇"φ" đơn giản chỉ là gradient của một đại lượng vô hướng, trong khi ∇A là đạo hàm hiệp biến của trường vector vĩ mô. Ta thấy với điều kiện φ liên tục và φ(0)=φ(1) thì cho ta đường cong Jordan là một vòng liên tục và điều kiện hạn chế của φ lên [0,1) là đơn ánh cho ta vòng này không tự cắt. Đồng thời "φ'(t)" là khả tích trên ["a","b"] và

Thì

Công thức này có thể ghi nhớ thông qua công thức Leibniz: thế cùng lúc"x" = φ("t") và "dx" = φ'("t") "dt" (do "dx" / "dt" = φ'("t")) vào biểu thức tích phân. Trong cơ học cổ điển, động năng của một vật không quay có khối lượng m di chuyển với tốc độ v là ½ mv². Trong một môi trường đồng nhất và đẳng hướng, Joseph Fourier đã tìm thấy là mọi hàm sóng sẽ có dạng tổng quát sau:

có thể được miêu tả như là sự chồng nhau của nhiều sóng điều hoà

Ở đây "A"("x", "t") là biên độ của sóng điều hòa, ω là tần số góc, "k" là số sóng và φ là pha ban đầu. "φ" có thể là một số biến vật lý nào đó như nhiệt độ hay nồng độ hóa chất. Trong cơ học cổ điển, động năng của một chất điểm (một vật nhỏ đến nỗi mà khối lượng của nó có thể được xem là chỉ tồn tại tại một điểm), hay một vật không quay, được cho bởi phương trình
với formula_2 là khối lượng và formula_3 là tốc độ (hay vận tốc) của vật. Photon có động lượng (xung lượng) pp và năng lượng ε Nếu trong 1 giây có n photon đập tới vuông góc với thành có diện tích S, thì rõ ràng là: n=φ/ε trong đó φ là quang thông. Phương trình động năng là hàm số bậc nhị vận tốc:

"N" ∝ "m v" ("v" « "c")

("m" là khối lượng phi thuyền), con phương trình năng lượng chạy các hệ thống năng phi thuyền là hàm số nghịch biến của vận tốc (bậc nhất của thời gian):

"N" ∝ "k"/"v"

Tổng cộng năng lượng bằng

"N" = "b" "m v" + "b" "k"/"v"

và "b" và "b" là hai hằng số. Khi viết "X" dưới dạng tọa độ cực, ta thu được biên độ "A / N" và pha "φ" từ modulus và argument của "X":

trong đó atan2 là dạng hai đối số của hàm arctan. sin(ωt), với ω = 2πf. Nói cách khác, một đường cong Jordan là ảnh của một ánh xạ liên tục φ: [0,1]formula_1 "R" sao cho φ(0)=φ(1) và hạn chế của φ lên [0,1) là đơn ánh.